《信号与系统》绪论例题
信号与系统第二章习题
rt et ht
sin tut ut 1ut ut 1
t
0
sin
d
τ
u
t
ut
2
1
t 1
sin
τ
d
τut
u
t
2
1 1 costut ut 2
X
20
第
例2-4 计算卷积 f1(t) f2(t)，并画出波形。
页
f1 t
f2 t
2
1
1 e t1u t 1
则得
A1 A2 3 3A1 2A2 2
解得
A1 A2
4 7
代入（1）得
ht 4e2t 7e3t ut X
18
例2-3
第
页
已知线性时不变系统的一对激励和响应波形如下图所示，
求该系统对激励的 et sin tut ut 1零状态响应。
et
r t
1
1
O 12
t
对激励和响应分别微分一次，得
t0
因为特解为3，所以 强迫响应是3，自由响应是 4 et e2t
X
12
方法二
第
页
零状态响应rzs t是方程
d2 r dt
t
2
3
dr d
t
t
2r
t
2
t
6ut
且满足rzs 0 rzs0 0的解
（5）
由于上式等号右边有 t项 ，故rzst应含有冲激函数，
从而rzs t 将发生跳变，即 rzs 0 rzs 0
d2 rt 3 d rt 2rt 0
dt2
dt
郑君里《信号与系统》(第3版)(上册)(课后习题 绪 论)【圣才出品】
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（1） ut ut T sin 4π t ；
T
（2） ut 2ut T ut 2T sin 4π t 。
T
解：（1）信号 sin 4π t 的周期为 T ，截取信号 sin 4π t 在区间[0，T]上的波形如
T
2
T
图 1-5(a)所示。
（2）信号 sin 4π t 的周期为 T ，截取信号 sin 4π t 在区间[0，T]上的波形，在区
2
1-3 分别求下列各周期信号的周期 T：
（1） cos10t cos30t；
（2） e j10t ；
（3） 5sin8t2 ；
（4）
1n
ut
nT
ut
nT
T
n为正整数。
|
解：（1）分量 cos(10t) 的周期T1
2 10
5
，分量 cos(30t) 的周期T2
，两者的 15
最小公倍数是 ，所以此信号的周期T 。
eatu(t) 台eatu(t t0 ) eatu(t t0 ) ea(tt0 )u(t t0 )
eatu(t) ea(tt0 )u(t t0 )
（2）表达式（1-17）为
t
（f ）d
1
=
a
(1 eat ), (0
t
t0 )
1 a
(1
e at
)
1 a
1
e a (tt0 )
以上各式中 n 为正整数。
解：（1） eat sin(t) 时间、幅值均连续取值，故为连续时间信号（模拟信号）；
（2） enT 时间离散、幅值连续，故为离散时间信号（抽样信号）；
（3） cos(n ) 时间、幅值均离散，故为离散时间信号（数字信号）；
信号与系统
《信号与系统》第一章绪论（本章的重点在于系统的模型的分类）1 什么是阶跃信号？什么是冲激信号？它们之间有什么联系？答案：阶跃信号仅仅是用来形容用阶跃函数描述的信号。
积分关系，积分界限的确定（因果系统从0开始）系统在单位冲激作用下产生的零状态响应叫单位冲激响应。
系统在单位阶跃信号作用下产生的零状态响应叫阶跃响应2 解释下面的概念连续时间系统/离散时间系统即时系统/动态系统集总参数系统/分布参数系统线性系统/非线性系统时变系统/时不变系统可逆系统/不可逆系统叠加性与均匀性时不变特性因果性（重点，本章可考的就只有这些）答案：若系统的输入和输出都是连续时间信号，且其内部也未转换为离散时间信号，则称此系统为连续时间系统。
若系统输入和输出都是离散时间信号，则称为离散时间系统。
如果系统的输出信号只取决于同时刻的激励信号，与它过去的工作状态无关，则称次系统为即时系统。
若系统的输出信号不只取决于同时刻的激励信号，还与它过去的工作状态有关，这种系统为动态系统。
只有集中参数元件组成的系统叫集总参数系统，含有分布参数元件的系统叫分布参数系统。
具有叠加性和均匀性的系统称为线性系统，所谓叠加性指当几个激励信号同时作用与系统时，总的输出响应等于每个激励单独作用产生的响应之和。
均匀性指当输入信号乘以某常数时输出信号倍乘同样的常数。
如果系统参数不随时间变化称时不变系统。
如果系统在不同的激励下产生不同的响应，则称此系统为可逆系统。
因果系统指系统在T时刻只与T0=T和T0〈T时刻输入有关。
第二章连续时间系统的时域分析1 本章的重点在于卷积和卷积的性质2 可能问的问题1 什么是零输入相应？什么是零状态相应？什么是自由响应？什么是强迫响应？答案：换路后，电路中无独立的激励电源，仅由储能元件的初始储能维持的响应.也可以表述为,由储能元件的初始储能的作用在电路中产生的响应称为零输入响应通路后,电路中的储能元件无初始储能,仅由激励电源维持的响应.一定要是外部施加的激励产生。
《信号》思考题
《信号与系统》思考讨论题 2005绪论与时域分析：一、画出)]1()([cos )(--=t t t t f εεπ的波形，画出)t (f '的波形。
二、1、已知信号x （t ）波形如图，画出x （-2t-3）的波形。
t2、已知)(n x 如图所示，画出∑-∞=nm m x )(的序列图。
三、系统的输入输出方程式如下，判断系统是否线性系统？是否时不变系统？是否因果系统？())1(.)10(..)2(.510.10.22k x k y f t x y y e xyy d t x y t y c x y y b xy dtdy a zs -=+=+'=+'-=+'=++'=+四、某线性时不变系统，在初始条件相同的情况下，当激励为)t (δ时，全响应为)()()(1t e t t y t εδ-+=。
当激励为)(t ε时，全响应为)(3)(2t e t y tε-=。
求：零输入响应和阶跃响应。
五、某线性时不变系统阶跃响应为：)()2(2t e e t t ε++--。
初始状态 为()}0,0{1x 时的零输入响应为：)()(2t e e t t ε--+；初始状态为(){}0,02x 时的零输入响应为：)()2(2t e e t t ε--+。
求：该系统初始状态为()()}02,0{21x x ，激励为()t 2δ时的全响应。
六、用三种方法求下列两函数的卷积。
t t七、某LTI 系统对)1(2)(3-=-t e t e t ε的零状态响应为r(t)。
即r(t)=H[e(t)]。
又已知)()(3)(2t e t r t e dt dH tε-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡。
求：单位冲激响应)t (h 。
八、某LTI 系统，其输入和输出关系如下：()()⎰∞-τ--τ-τ=tt d 2x e)t (y(1) 求该系统的单位冲激响应；(2)当输入为ε(t+1)-ε(t-2)时，求系统的响应。
信号与系统(郑君里版河北工程大学)第一章 绪论
反褶
f(2t)
0
1
t
1.2 信号的运算
1 t 代替f(2t)中的t，所得的f(t)波形将是f(2t)波 （3）比例：以 2 形在时间轴上扩展两倍。
4 (t 1)
f (t )
比例 由f(2t)
－1 0 1 2
f(t)
t 两边积分，得
证明: ( at )
1 (t ) |a|
f (t ) f e (t ) f o (t ) f e t f e t e : even f e (t ): 偶分量 f o (t ): 奇分量 f o t f o t
o : odd
1 f e (t ) f (t ) f (t ) 2
一、定义：
系统：是一个有若干互有关联的单元组成的 并具有 某种功能用来达到某些特定目的的有机整体。 系统（电）：指的是各种不同复杂程度用作信号传输 和处理的元件或部件的组合体。
1.5 系统的描述与分类
四、系统分类
1、按特性分： 1）线性系统：同时满足齐次性和叠加性的系统。 线性系统和非线性系统 a、齐次性 若 e(t)→r(t) 则 ke(t)→kr(t) b、叠加性 若 e1(t)→r1(t), e2(t)→r2(t) 则 e1(t)+e2(t)→ r1(t)+r2(t) c、齐次性和叠加性 若 e1(t)→r1(t), e2(t)→r2(t) 则 k 1e1(t)+k 2e2(t)→ k1 r1(t)+k2 r2(t)
1.2 信号的运算
例1-1：已知f（t）波形，求 f (t t0 ), f (t t0 )
解：方法一、先反转后平移
f (t )
信号与系统例题详解
例：若已知()()f t F j Ω↔，求下列函数的频谱： （1）(1)(1)t f t -- （2）(32)jt e f t - （3）()1df t dt tπ* 解：（1）(1)(1)t f t -- 由频域的微分性质可得()()dtf t jF j d ΩΩ↔ 由反转特性可得 ()()dt f t j F j d ΩΩ--↔-- 又由时移性质可得(1)(1)()j dt f t je F j d ΩΩΩ--+-+↔-- （2）(32)jt e f t - 由尺度变换特性可得1(2)()22f t F j Ω-↔- 由时移特性可得321(32)()22j f t e F j ΩΩ--↔- 又由频移性质可得3(1)211(32)()22j jte f t eF j ΩΩ----↔- （3）()1df t dt tπ* 由时域微分特性可得 ()()df t j F j dt ΩΩ↔ 又有1sgn()j Ωπ↔-则由时域卷积定理可得()1()()sgn()()df t j F j j F j dt tΩΩΩΩΩπ*↔⋅-=例：如图所示周期矩形脉冲信号的傅里叶变换。
图 周期矩形脉冲信号解：⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛========⎰⎰--2Sa 2sin 2)()2()(2)sin(21)(1111111111111221221011τωττωωωτωπτωπττπτπτττn T E n T n E n F n Sa E T n Sa T E T n n E a T E dt E T dt t f T a n TT周期信号频谱的特点有：离散性、谐波性、收敛性。
当脉冲持续时间τ不变，周期T 变大时，谱线间的间隔减小，同频率分量的振幅减小； 当脉冲持续时间τ变小，周期T 不变时，谱线间的间隔不变，同频率分量的振幅减小。
例：求下列函数的拉普拉斯变换并注明收敛区。
()()1(1)1te u t αα-- ()()32(2)21tt u t -+)]1()([sin )()3(--=t u t u t t f π )(s i n )()4(t tu t t f =解：)(1]11[1)}()1{(1)}()(1{)1(ααααααα+=+-=-=---s s s s t u e t u e t t L L收敛域为],0max[αδ->。
管致中《信号与线性系统》(第5版)(章节题库 绪 论)
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三、分析计算题
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1．已知两信号分别为 f1（t）＝2cos（πt）＋4sin（3t），f2（t）
2．系统 y（t）＝2（t＋1）x（t）＋cos（t＋1）是_____。（说明因果／非因果性、时 变／非时变性、线性／非线性）。
【答案】因果、时变、非线性。 【解析】y（t）＝2（t＋1）x（t）＋cos（t＋1），输出仅与现在的输入有关，系统是 因果的；响应随激励加入的时间不同而发生变换，系统是时变的；不满足齐次性和叠加性， 系统是非线性的。
图 1-4 答：（1）移位：f（－2t＋1）＝ f[－2（t－1/2）]，f（－2t＋1）波形向左平移 1/2 可得 f（－2t）； （2）扩展：将 f（－2t）做尺度变换，横坐标放大 2 倍，求得 f（－t）； （3）反转：将 f（－t）反转，求得 f（t）波形，如图 1-5 所示。
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图 1-2 答：翻转:先将 f（t）的图形翻转，成为 f（－t）； 移位：再将图形向右平移 2，成为 f（－t＋2）；
扩展：然后波形扩展为原来的 3 倍，成为
，如图 1-3 所示。
图 1-3 4．已知 f（－2t＋1）波形如图 1-4 所示，试画出 f（t）的波形。
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第 1 章 绪 论
一、填空题 1．系统的输入为 x（r），输出为 y（r）＝tx（t），判断系统是否是线性的（ ）。 【答案】线性的
郑君里《信号与系统》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(1-2章)【圣才出品】
第1章绪论
1.1复习笔记
本章作为《信号与系统》的开篇章节，是整个信号与系统学习的基础。
本章介绍了有关信号与系统的基本概念和术语，给出几种典型的信号和系统的表现形式，讲述了各信号与系统的特点以及信号之间的运算和转换。
通过本章学习，读者应掌握：如何判断信号类型、不同信号之间的运算、信号的分解以及系统类型的判断。
一、信号概述
1．信号的概念及分类（见表1-1-1）
表1-1-1信号的概念及分类
2．典型的连续信号（见表1-1-2）
表1-1-2典型的信号及表示形式
3．信号的运算（见表1-1-3）
表1-1-3信号的运算
4．阶跃函数和冲激函数
阶跃信号和冲激信号是信号与系统中最基础的两种信号，许多复杂信号皆可由二者或二者的线性组合表示。
具体见表1-1-4及表1-1-5。
（1）单位阶跃信号u（t）
表1-1-4单位阶跃信号u（t）
（2）单位冲激信号δ（t）
表1-1-5单位冲激信号δ（t）表示形式及性质
5．信号的分解
一个一般信号根据不同类型可分解为以下几种分量，具体见表1-1-6。
表1-1-6信号的分解
二、系统
1．系统概念及分类（见表1-1-7）
表1-1-7系统的概念及分类
系统模型如下：
输入信号经过不同系统可得到不同输出信号，具体见表1-1-8。
表1-1-8不同系统特性
1.2课后习题详解
1-1分别判断图1-2-1所示各波形是连续时间信号还是离散时间信号，若是离散时间信号是否为数字信号？
（a）
（b）
（c）
（d）
（e）
（f）。
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(a)
f (t＋ 1)
1 －2
－1 0
1t
－1
(b)
f (－t＋ 1)
f (1 － t2)
1 1
－1 0 －1
2t
11
2
10
1t
2 －1
(c)
图 1.3-7 例1.3-1用图之二 (d)
(3) 按“展缩-平移-翻转”顺序。先以坐标原点为中心，
将f(t)的波形沿t轴压缩 1 ， 得到f(2t)的波形。再将f(2t)的 2
例１―１０试模拟y″(t)+a1y′(t)+a0y(t)=b1f′(t)+b0f(t)所描述的 系统。
解因为本例激励部分中比上例多了一项b1f′(t)。我们 在上例的基础上作出该系统的模拟图。设新变量q(t)，它满 足方程
q″(t)+a1q′(t)+a0q(t)=f(t)
即为例１―９所满足的数学模型，因而其模拟图也 如图1.１9所示。我们再将此式乘以b1后求导，然后再与b0f(t) 相加，得
转得到如图1.3-6(b)所示的f(-t)波形。然后，以坐标原点为中心，
将f(-t)波形沿t轴压缩1/2，得到f(-2t)波形如图1.3-6(c)所示。由
于f(1-2t)可以改写为f
2
t
1
，
所以只要将f(-2t)
沿t轴右
移1/2个单位，即可得到f(1-2t)波2 形。信号的波形变换过程如图
例１―７已知某线性系统，当其初始状态y(0)=2时，系统 的零输入响应yx(t)=6e-4t，t>0。而在初始状态y(0)=8以及输 入激励f(t)共同作用下产生的系统完全响应y(t)=3e-4t+5e-t， t>0。
试求：(１)系统的零状态响应yf(t)；(２)系统在初始 状态y(0)=1以及输入激励为3f(t)共同作用下系统的完全响应。
(b)
f (2t＋ 1)
f (1 － t2)
11 2
－1 0 1 －1 2
(c)
11
2
t
10
1t
2 －1
图 1.3-8 例1.3 - 1用图之三 (d)
例 利用冲激函数的性质计算
例 1.4 –1 试化简下列各信号的表达式。
例 1.4 – 2 计算下列各式：
例１―１已知信号f(t)的波形如图１.１０ (a)所示，试画出信号f(-2-t)的波形。
－3
0
1 ln3
t
2
(a)
(b)
f3(t)
1
0
t
(c)
f4(t)
f5(t)
1 1
f6(t) e－t
－1 0 1 2 3 4 t
0 12345 t
0
－1
－1
(d) f7(t)
(e) f8(t)
1
2t
－e－t (f)
1
1
－2 －1 0
1
2t
－2 －1 0
1 2t
(g)
(h)
图1.13 例1―4图
例１―５判断下列输出响应所对应的系统是否为线性系统(其 中y(0)为系统的初始状态，f(t)为系统的输入激励，y(t)为系统 的输出响应)。
(1) y(t)=5y(0)+4f(t)； (2) y(t)=2y(0)+6f2(t)； (3) y(t)=4y(0)f(t)+3f(t)； (4) y(t)=2t2y(0)+7 (5) y(t)=4y(0)+4t (6) y(t)=6y2(0)+4f(t) (7)y(t)=4y(0)+3f(t)+2
解 描绘信号波形是本课程的一项基本训练。在绘图时应注意 信号的基本特征、变化趋势、起始和终点位置，并应标出信 号的初值、终值以及一些关键的点及线，如极大值、极小值、 渐近线等。
f1(t) 2 2u(t)＝fa(t)
f2(t) 1.9 2
1
f 1(t) 4
0 123 －1
t
－2
－ e3－tu(t)＝fb(t)
例 1.3-1 已f (t)知信号f(t)的波形如图1.3-6(a)所f (示－t)，试画出 f(1-2t)的波形。
1
1
－1 0 －1
12t
－ 2－ 1
0
1t
－1
(a)
(b)
f (－ 2t)
f (1 － t2)
1
11
2
－1 0
1
－1
2t
10
1
t
2 －1
(c) 图 1.3-6 例1.3-1用图之一 (d)
f (4 － t2)
2 1
－ 4－ 3－ 2－ 1 0 1 2 3 4 t (b)
图1.12 信号综合变换
通过以上分析，可以归纳出普通信号基本变换的一般步骤：
(1)若信号f(t)→f(at+b)，则先反转，后展缩，再平移； (２)若信号f(mt+n)→f(t)，则先平移，后展缩，再反 转；
(３)若信号f(mt+n)→f(at+b)，则先实现f(mt+n)→f(t)， 再进行f(t)→f(at+b)。
(c)
f (t)
1
2
－ 2 － 10 1
t
－1
(a)
f (－ 2t)
1 －2
－1 0 1 2 t －1
(b)
f (－ 2t(－ 1))
1 －1 －2 0 1 1 2 t
－1 2
1
－ 2 － 10 1 3 2 t －1 2
(c)
(d)
图1.11 信号的反转、展缩与平移
例１―３已知信号f(2t+2)的波形如图１.１２(a)所示，试画 出信号f(4-2t)的波形。
例 判断周期信号
例 1.1-1 试判断下列信号是否为周期信号。若是，确定其 周期。
(1) f1(t)=sin 2t+cos 3t (2) f2(t)=cos 2t+sinπt
解 我们知道，如果两个周期信号x(t)和y(t)的周期具有公 倍数，则它们的和信号
f(t)=x(t)+y(t) 仍然是一个周期信号， 其周期是x(t)和y(t)周期的最小公倍数。
例１―８试判断下列系统是否为非时变系统：
(1)y(t)=sin(f(t))；
(2)y(t)=cost·f(t)；
(3)y(t)=4f2(t)+3f(t)；
(4)y(t)=2t·f(t)。
解判断一个系统是否为非时变系统，只需判断当输 入激励f(t)变为f(t-t0)时，相应的输出响应是否也由y(t)变为 y(t-t0)。因为只涉及系统的零状态响应，所以无需考虑系统 的初始状态。
解(1)由于y(0)=2时yx(t)=6e-4t(t>0)， 故有y(0)=8时yx(t)=24e-4t(t>0)。
因此 yf(t)=y(t)-yx(t)=3e-4 t+5e-t-24e-4t=5e-t-21e-4t (t>0) (2) 同理，当y(0)=1,3f(t)作用下，有 y(t)= 1/2(6e-4t)+3(5e-t-21e-4t)=15e-t-60e-4t (t>0)
(b1
dq dt
)
a1(b1
dq dt
)
a0
(b1
dq dt
)
(b0q)
a1(b0q)
a0
(b0q)
b1
df dt
b0
f
(b1
dq dt
b0q)
a1(b1
dq dt
b0q)
a0
(b1
dq dt
b0q)
b1
df dt
b0
f
b1
＋
f (t)
Байду номын сангаас
＋
q″(t)
(1) 因为sin 2t是一个周期信号，其角频率ω1和周期T1为
1 2rad / s,T1
2 1
s
2
3rad / s,T2
2 2
2
3
2
3
s
(2) 同理，可先求得f2(t)中两个周期信号cos2t和sinπt的周期 分别为
T1 s
T2 2s
例 波形的变换
解 一般说来，在t轴尺度保持不变的情况下，信号 f(at+b)(a≠0) 的 波 形 可 以 通 过 对 信 号 f(t) 波 形 的 平 移 、 翻 转 ( 若 a<0)和展缩变换得到。根据变换操作顺序不同，可用多种方法 画出f(1-2t)的波形。
(1) 按“翻转-展缩-平移”顺序。 首先将f(t)的波形进行翻
解f(2t+2)→f(4-2t)，则对应有
t1=0,t2=4,m=2,n=2,a=-2,b=4 利用上述关系式计算出t11与t22：
t11=- 1/2 (2×0+2-4)=1 t22=-1/2 (2×4+2-4)=-3
f (2t＋ 2)
2 1
－ 4－ 3－ 2－ 1 0 1 2 3 4 t (a)
1.3-6所示。
(2) 按“平移-翻转-展缩”顺序。先将f(t)沿t轴左移一个 单位得到f(t+1)波形。再将该波形绕纵轴翻转180°，得到 f(-t+1)波形。最后，将f(-t+1)波形压缩1/2得到f(1-2t)的波形。 信号波形的变换过程如图1.3-7所示。
f (t)
1 －1 0
－1
12t
例１―４试粗略地画出下列信号的波形图： (1) f1(t)=(2-3e-t)·u(t)； (2) f2(t)=(5e-t-5e-3t)·u(t)； (3) f3(t)=e-|t|(-∞<t<∞)； (4) f4(t)=cosπ(t-1)·u(t+1)； (5) f5(t)=sin π /2 (1-t)·u(t-1)； (6) f6(t)=e-tcos10πt(u(t-1)-u(t-2))； (7) f7(t)= 1- |t|/2 (u(t+2)-u(t-2))； (8) f8(t)=u(t2-1)。