哈尔滨市第六中学校2010届第一次模拟考试 数学

哈尔滨市第六中学校2010届第一次模拟考试理科数学考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚；（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 参考公式：样本数据n x x x ,,,21 的标准差[]22221)()()(1x x x x x x ns n -++-+-=，其中x 为样本的平均数柱体体积公式Sh V =，其中S 为底面面积，h 为高；锥体体积公式Sh V 31=，其中S 为底面面积，h 为高 球的表面积和体积公式24R S π=，334R V π=，其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知复数i a z +=)(R a ∈在复平面内对应的点在二象限，且2|)1(|>+⋅i z ，则实数a 的取值范围是（ ）（A ）1>a 或1-<a （B ）1-<a （C ）12+>a 或21-<a （D ）1>a 2．已知n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，若8,653==a S ，则912S S -的值是（ ）（A ）24 （B ）42 （C ）60 （D ）783．用二分法求函数()lg 3f x x x =+-的一个零点，根据参考数据，可得函数()f x 的一个零点的近似解（精确到1.0）为（ ）（参考数据：409.05625.2lg ,419.0625.2lg ,439.075.2lg ,398.05.2lg ≈≈≈≈）（A ） 4.2 （B ）5.2 （C ） 2.6 （D ）56.24．已知点),(y x P 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+≤632x y y x x y ，则y x z 2-=的最大值是（ ）（A ）3- （B ）2- （C ）1- （D ）25．如下程序框图的功能是：给出以下十个数：5，9，80，43，95，73，28，17，60，36，把大于60的数找出来，则框图中的①②应分别填入的是（ ） （A ）1?,60+=>i i x （B ）1?,60+=<i i x （C ）1?,60-=>i i x （D ）1?,60-=<i i x6．已知双曲线12222=-by a x 的焦点到渐近线的距离为32，且双曲线右支上一点P 到右焦点的距离的最小值为2，则双曲线的离心率为（ ）（A ）3 （B ）3 （C ）2 （D ）217．n x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-13的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（ ）（A ）28 （B ）28- （C ）70 （D ）70-①②8．已知函数)cos()(ϕω+=x x f （πϕω20,0<<>）的导函数)('x f 的图象如图所示，则=ϕ（ ） （A ）6π（B ）3π（C ）34π （D ）35π9．设n m l ,,表示三条不同的直线，γβα,,表示三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若βα⊥⊥⊥m l m l ,,，则βα⊥；②若β⊂m ，n 是l 在β内的射影，n m ⊥，则l m ⊥；③若m 是平面α的一条斜线，α∉A ，l 为过A 的一条动直线，则可能有α⊥⊥l m l ,； ④若γαβα⊥⊥,，则βα//其中真命题的个数为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 10．在直角梯形ABCD 中，CD AB //，︒=∠90BAD ，且121===CD AD AB ，M 是AB 的中点，且ND BN 2=，则AN CM ⋅的值为（ ）（A ）45 （B ）45- （C ）67 （D ）67-11．利用计算机在区间)1,0(上产生两个随机数a 和b ，则方程x a xb-=2有实根的概率为（ ）（A ）31 （B ）21（C ）32 （D ）112．设函数⎩⎨⎧>-≤-=0),1(0],[)(x x f x x x x f ，其中][x 表示不超过x 的最大整数，如1]1[,1]2.1[,2]2.1[==-=-，若k kx x f +=)(有三个不同的根，则实数k 的取值范围是（ ）（A ）]31,41( （B ）]41,0( （C ）]31,41[ （D ）)31,41[第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本试卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置． 13．抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，准线l 与x 轴交于点M ，若N 为l 上一点，当MNF ∆为等腰三角形，22=NF 时，则=p _____14．如图一个几何体的正视图和俯视图如图所示，其中俯视图为边长为32的正三角形，且圆与三角形内切，则侧视图的面积为_____15．已知数列}{n a 满足)2,(*112≥∈=+-n N n a a a n n n ，若4,111164654==++a a a a a ，则=++654a a a _____ 16．已知圆1)sin 2()cos 2(:221=-+-θθy x C 与圆1:222=+y x C ，在下列说法中：①对于任意的θ，圆1C 与圆2C 始终相切；②对于任意的θ，圆1C 与圆2C 始终有四条公切线； ③当6πθ=时，圆1C 被直线013:=--y x l 截得的弦长为3；P ADBC④Q P ,分别为圆1C 与圆2C 上的动点，则||PQ 的最大值为4．其中正确命题的序号为______三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）“神州”号飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回舱预计到达的区域安排了同一条直线上的三个救援中心（记为D C B ,,）．当返回舱距地面1万米的P 点时（假定以后垂直下落，并在A 点着陆），C 救援中心测得飞船位于其南偏东 60方向，仰角为 60，B 救援中心测得飞船位于其南偏西 30方向，仰角为 30．D 救援中心测得着陆点A 位于其正东方向． （1）求C B ,两救援中心间的距离；（2）D 救援中心与着陆点A 间的距离． 18．（本小题满分12分）班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25位女同学，15位男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析．（1）如果按性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本（只要求写出算式即可，不必计算出结果）；（2）随机抽取8位同学，数学分数依次为：60，65，70，75，80，85，90，95； 物理成绩依次为：72，77，80，84，88，90，93，95， ①若规定90分（含90分）以上为优秀，记ξ为这8位同学中数学和物理分数均为优秀的人数，求ξ的分布列和数学期望； ②若这8位同学的数学、物理分数事实上对应下表：根据上表数据可知，变量y 与x 之间具有较强的线性相关关系，求出y 与x 的线性回归方程（系数精确到0.01）．（参考公式：a bx y +=^，其中∑∑==---=ni i ni i i x x y y x x b 121)())((，x b y a -=；参考数据：5.77=x ，875.84=y ，1050)(812≈-∑=i i x x ，688))((81≈--∑=i i i y y x x ，4.321050≈，4.21457≈，5.23550≈）19．（本小题满分12分）在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是一直角梯形，90=∠BAD ，a AD AB BC AD ==,//，⊥=PD a BC ,2底面ABCD ．（1）在PD 上是否存在一点F ，使得//PB 平面ACF ，若存在，求出FDPF的值； 若不存在，试说明理由；（2）在（1）的条件下，若PA 与CD 所成的角为︒60，求二面角D CF A --的余弦值．20．（本小题满分12分）已知椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的离心率为22，且短轴长为2．（1）求椭圆的方程；BA D CP 东北（2）若与两坐标轴都不垂直的直线l 与椭圆交于B A ,两点，O 为坐标原点，且32=⋅OB OA ，32=∆AOB S ，求直线l 的方程． 21．（本小题满分12分） 已知x x f ln )(=，xax x g +=)()(R a ∈． （1）求)()(x g x f -的单调区间；（2）若1≥x 时，)()(x g x f ≤恒成立，求实数a 的取值范围； （3）当2,*≥∈n N n 时，证明：nn n 11ln 43ln 32ln <+⋅⋅⋅ ． 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，已知C 点在⊙O 直径的延长线上，CA 切⊙O 于A 点，DC 是ACB ∠的平分线，且交AE 于F 点，交AB 于D 点． （1）求ADF ∠的度数；（2）若AC AB =，求BC AC :． 23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲 已知曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθcos sin 2y x （θ为参数），曲线2C 的参数方程为⎩⎨⎧+==12t y tx （t 为参数）.（1）若将曲线1C 与2C 上各点的横坐标都缩短为原来的一半，分别得到曲线'1C 和'2C ，求出曲线'1C 和'2C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求过极点且与'2C 垂直的直线的极坐标方程． 24．（本小题满分10分） 选修4-5：不等式选讲设函数|32||12|)(-+-=x x x f ，R x ∈． （1）解不等式：5)(≤x f ； （2）若mx f x g +=)(1)(的定义域为R ，求实数m 的取值范围．理科数学答案1-5 BCCDA 6-10 CABBD 11-12 AD 13．2， 14．π+6，15.4， 16.①③④ 17：解：（1）由题意知AB PA AC PA ⊥⊥,，则PAB PAC ∆∆,均为直角三角形 (1)分在PAC Rt ∆中，︒=∠=60,1PCA PA ，解得33=AC …………………………2分在PAB Rt ∆中，︒=∠=30,1PBA PA ，解得3=AB …………………………3分 又︒=∠90CAB ，33022=+=BC AC BC 万米. …………………………5分（2）103sin sin =∠=∠ACB ACD ，101cos -=∠ACD ，…………………………7分又︒=∠30CAD ，所以102133)30sin(sin -=∠+︒=∠ACD ADC .…………………………9分在ADC ∆中，由正弦定理，ACDAD ADC AC ∠=∠sin sin …………………………10分 1339sin sin +=∠∠⋅=ADC ACD AC AD 万米…………………………12分18．（1）抽取男生数584025=⨯人，384015=⨯ (1)分则共有315525C C 个不同样本…………………………3分 （2）ξ的所有可能取值为0，1，2…………………………4分5620)0(886625===A A A P ξ，5630)1(8866151312===A A C C C P ξ，566)2(886623===A A A P ξ…………7分 ξ的分布列为4562561560=⨯+⨯+⨯=ξE …………………………9分 （3）655.0≈b ，11.34≈a （09.34≈a 或10.34≈a 也算正确）…………………………11分则线性回归方程为：11.34655.0+=x y …………………………12分19．（1）方法一：存在点F 使//PB 平面ACF ，2=DFPF …………………………1分连接BD 交AC 于E ，连接EF ，a BC a AD BC AD 2,,//==，所以21===PFDF EBDE BCAD ，所以EF PB //…4分又⊆EF 平面ACF ，PB 不在平面ACF 内，所以//PB 平面ACF ..............................5分 方法二：建立如图所示的空间直角坐标系，)0,0,0(D ，)0,,0(a A ，)0,,(a a B ，)0,,(a a C -， (1)分设b PD =，则),0,0(b P ，假设存在点F 使//PB 平面ACF ，)10)(,0,0(<<λλb F ………2分 设平面ACF 的一个法向量为),,(z y x n =，),,0(),0,2,(b a FA a a AC λ-=-=，),,(b a a PB -=⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00，),1,2(b an λ=，所以0=⋅，31,02==-+λλa a a ……4分 所以2=DFPF……5分 （2）),,0(b a -=，)0,,(a a -=，因为PA 与CD 所成的角为︒60 所以212|||||cos |60cos 222=⋅+⋅>⋅<=︒ab a a DC PA ，则b a =……………7分由（1）知平面ACF 的一个法向量为)3,1,2(=…………………………8分 因为a AD AB BAD ===∠,90 ，a BC 2=，所以,2,2a BD a CD ==所以222BD CD BC +=，所以BC BD ⊥，又⊥PD 底面ABCD ，则⊥BD 平面CDF ，所以)0,,(a a =是平面CDF 的一个法向量…………………………10分所以14732143||||cos =⋅=⋅⋅<aa DB n ，所以二面角的余弦值为1473…………12分20．（1）短轴长1,22==b b ，22==ac e …………………………1分又222c b a +=，所以1,2==c a ，所以椭圆的方程为1222=+y x …………………………4分（2）设直线l 的方程为)0(≠+=k m kx y ，),(),,(2211y x B y x A⎩⎨⎧=++=2222y x m kx y ，消去y 得，0224)21(222=-+++m mkx x k⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=⋅+-=+22212212122214k m x x k mk x x ，…………………………6分 322121=+=⋅y y x x 即3221223222=+--k k m 即810922+=k m …………………………8分32)21()21(821]4)[(21||||212222221221221=+-+=-+=-=∆k m k m x x x x m x x m S AOB即22222)21()21(9k m k m +=-+…………………………10分⎪⎩⎪⎨⎧+=+=-+8109)21()21(92222222k m k m k m ，解得2,122==m k ，所以2±±=x y ……………12分21．（1）)0(ln )()()(>--=-=x xa x x x g x f x F222'11)(x a x x x a x x F ++-=+-=…………………………1分 当041≤+=∆a ，即41-≤a 时，0)('≤x F ，所以)(x F 在),0(+∞上单调递减……………2分 当041>+=∆a ，即41->a 时，,2141,2141,0)(21'++=++-==a x a x x F①041≤<-a 时，0,021>≤x x ，单调增区间为),0(2x ，单调减区间为),(2+∞x ……………3分 ②0>a 时，0,021>>x x ，单调增区间为),,(21x x ，单调减区间为),(),,0(21+∞x x ………5分 综上：①41-≤a 时，)(x F 在),0(+∞上单调递减（只要写出以上三种情况即得5分）②041≤<-a 时，0,021>≤x x ，单调增区间为),0(2x ，单调减区间为),(2+∞x ③0>a 时，0,021>>x x ，单调增区间为),,(21x x ，单调减区间为),(),,0(21+∞x x（2）xax x +≤ln 恒成立，等价于max 2]ln [x x x a -≥…………………………6分2ln )(x x x x k -=，x x x k 2ln 1)('-+=，021)]([''<-=xx k)('x k 在),1[+∞上单调递减，01)1()(''<-=≤k x k ，)(x k 在),1[+∞上单调递减， 所以)(x k 的最大值为1)1(-=k ，所以1-≥a …………………………8分证法一：由（2）知当1-=a 时，1≥x 时，xx x 1ln -≤恒成立所以2,*≥∈n N n 时，有nn n n nn n 11ln 1ln -<+⇒-<…………………………10分所以nn n n 11ln ,3243ln ,2132ln -<+<<相乘得nn n 11ln 43ln 32ln <+⋅⋅⋅ …………………………12分方法二：数学归纳法（1）当2=n 时，显然成立…………………9分（2）假设k n =（2,*≥∈n N n ）成立，即kk k 11ln 43ln 32ln <+⋅⋅⋅ 那么当1+=k n 时，2)1ln(12)1ln(1ln 43ln 32ln ++⋅<++⋅+⋅⋅⋅k k k k k k k 下面只需证112)1ln(1+<++⋅k k k k ，)2()1ln()1(+<++k k k k 设31≥+=k t ，所以设1ln )(2+-=t t t t k由（2）知当1-=a 时，1≥x 时，xx x 1ln -≤恒成立，即01ln )(2<++-=t t t t k 在31≥+=k t 恒成立，所以112)1ln(1ln 43ln 32ln +<++⋅+⋅⋅⋅k k k k k 综合（1）（2）命题成立…………………………………………………………12分22．（1）因为AC 为⊙O 的切线，所以EAC B ∠=∠…………1分 因为DC 是ACB ∠的平分线，所以DCB ACD ∠=∠…………2分所以ACD EAC DCB B ∠+∠=∠+∠，即AFD ADF ∠=∠，…………3分又因为BE 为⊙O 的直径，所以︒=∠90DAE …………4分. 所以︒=∠-︒=∠45)180(21DAE ADF .…………5分 （2）因为EAC B ∠=∠，所以ACB ACB ∠=∠，所以ACE ∆∽BCA ∆，所以ABAE BCAC =，…7分 在ABC ∆中，又因为AC AB =，所以︒=∠∠=∠30ACB B ，………8分ABE Rt ∆中，3330tan tan =︒===B ABAE BCAC ………10分23．解：（1）⎩⎨⎧==θθcos sin :'1y x C （θ为参数），……………2分⎩⎨⎧+==1:'2t y t x C （t 为参数）………………4分 '1C 的普通方程：122=+y x ，'2C 的普通方程：1+=x y ………………6分 （2）在直角坐标系中过极点即为过原点与曲线'2C 垂直的直线方程：即为x y -=…………8分在极坐标系中，直线化为1tan =θ，方程为4πθ=或43πθ=………………10分（少写一个扣一分）24．（1）⎪⎩⎪⎨⎧≤-<54421x x 或⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤522321x 或⎪⎩⎪⎨⎧≤->54423x x …………3分不等式的解集为]49,41[-∈x ………5分 （2）若mx f x g +=)(1)(的定义域为R ，则0)(≠+m x f 恒成立，即0)(=+m x f 在R 上无解7分又2|3212||32||12|)(=+--≥-+-=x x x x x f ，)(x f 的最小值为2，…………9分 所以2-<m ………………………………………………10分。