专题13相似三角形定理与圆幂定理

专题十三相似三角形定理与圆幂定理

本专题主要复习相似三角形的进一步认识、圆的进一步的认识．通过本专题的复习，了解平行线等分线段定理和平行截割定理；掌握相似三角形的判定定理及性质定理；理解直角三角形射影定理．理解圆周角定理及其推论；掌握圆的切线的判定定理及性质定理；理解弦切角定理及其推论．掌握相交弦定理、割线定理、切割线定理；理解圆内接四边形的性质定理与判定定理．【知识要点】

1．相似三角形概念

相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形是相似三角形．

相似比：相似三角形对应边的比．

2．相似三角形的判定

如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似(简叙为：两角对应相等两三角形相似)．

如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似(简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似)．

如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似(简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似)．

3．直角三角形相似的判定定理

直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似．

如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．

4．相似三角形的性质

相似三角形对应角相等，对应边成比例．

相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．

相似三角形周长的比等于相似比．

相似三角形的面积比等于相似比的平方．

5．相关结论

平行于三角形一边的直线截其他两边，截得的三角形与原三角形的对应边成比例．

三角形的内角平分线分对边成两段的长度比等于夹角两边长度的比．

经过梯形一腰中点而平行于底边的直线平分另一腰．

梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．

若一条直线截三角形的两边(或其延长线)所得对应线段成比例，则此直线与三角形的第三边平行．

6．弦切角定理

弦切角定义：切线与弦所夹的角．

弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半．

7．圆内接四边形的性质

圆的内接四边形的对角互补，并且任意一个外角等于它的内对角．

8．圆幂定理

相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．

割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B、C、D则有PA·PB＝PC·PD．【复习要求】

1．了解平行线等分线段定理和平行截割定理；掌握相似三角形的判定定理及性质定理；理解直角三角形射影定理．

2．理解圆周角定理及其推论；掌握圆的切线的判定定理及性质定理；理解弦切角定理及其推

论．

3．掌握相交弦定理、割线定理、切割线定理；理解圆内接四边形的性质定理与判定定理． 【例题分析】

例1 如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，E 为AC 中点，AD ⊥BC 于D ，DE 交BA 的延长线于F ．求证：BF ∶DF ＝AB ∶AC ．

【分析】欲证

AF

DF

AC AB =

，虽然四条线段可分配于△ABC 和△DFB 中，由于△ABC 和△FBD 一个是直角三角形，一个是钝角三角形，不可能由这一对三角形相似直接找到对应边而得结论，故需借助中间比牵线搭桥，易证Rt △BAC ∽Rt △BDA ，得出=AC AB AD BD ，于是只需证出AD

BD

AF DF =

，进而须证△DFB ∽△AFD 即可．

证明：∵AB ⊥AC ，AD ⊥BC ， ∴Rt △ABD ∽Rt △CAD ，∠DAC ＝∠B ，∴AD

BD

AC AB =

……① 又∵AD ⊥BC ，E 为AC 中点，

∴DE ＝AE ，∠DAE ＝∠ADE ，∴∠B ＝∠ADE ， 又∵∠F ＝∠F ，∴△FAD ∽△FDB ，∴DF

BF

AD BD =

………②， 由①②得

⋅=DF

BF

AC AB 【说明】由于△ABC 和△FBD 这两个三角形一个是直角三角形，一个是钝角三角形，明显不相似，不可能由这一对三角形相似直接找到对应边而得结论，且图中又没有相等的线段来代换，势必要找“过渡”的线段或线段比，这种寻找“中间”搭桥的线段或线段比是重要的解题技巧．此题用到直角三角形中斜边上的高这个“双垂直”的基本图形，这里有三对相似三角形，这个图形在证相似三角形中非常重要．

例2 △ABC 中，∠A ＝60°，BD ，CE 是两条高，求证：BC DE 2

1=

【分析】欲证BC DE 2

1=

，只须证21=BC DE ．

由已知易得21

=AB AD ，于是只须证明,AB

AD BC DE =

进而想到证明△ADE ∽△ABC ，这可以由2

1

==AC AE AB AD 证得．

证明：∵∠A ＝60°，BD ，CE 是两条高，∴∠ABD ＝∠ACE ＝30°

∵AB AD 21=

，AC AE 2

1=，∴21==AC AE AB AD ，又∠A ＝∠A

∴△ADE ∽△ABC ，∴BC DE AB AD BC DE 2

1

21=∴==.

【说明】在判定相似三角形时，应特别注意应用“两边对应成比例且夹角相等，则两三角形相似”这条判定定理．

例3 已知：如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，CE ⊥AB 于E ，AD 、EC 交于F ，求证

BD

FD

AD CD =

【分析】CD 、FD 在△FDC 中，AD 、BD 在△BDA 中，所以证△FDC 与△BDA 相似便可以得到结论．

证明：∵AD ⊥BC 于D ，CE ⊥AB 于E ，∴∠ADC ＝∠ADB ＝90°，

∵∠BAD ＋∠B ＝90°，∠BCE ＋∠B ＝90°，∴∠BAD ＝∠BCE ，∴△FDC ∽△BDA ， ∴

⋅=BD

FD

AD CD 【说明】为什么找到△FDC 与△BDA 相似呢?从求证的比例式出发，“竖看”，线段CD 、AD 在