2014-2015年江苏省扬州市邗江中学高一(上)期中数学试卷及参考答案

2014-2015学年江苏省扬州市邗江中学高一（上）期中数学试卷一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．（答案请写在答题卡的指定位置）江苏省邗江中学2014-2015学年度第一学期高一数学期中试卷命题人魏跃兵霍庆元1．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={1，3}，则C A B．2．（5分）已知a是实数，若集合{x|ax=1}是任何集合的子集，则a的值是．3．（5分）已知函数f（2x+1）=4x2，则f（5）=．4．（5分）函数y=ln（3﹣2x）的定义域是．5．（5分）设a=log1.20.9，b=1.10.8，则a，b的大小关系是．6．（5分）方程log3x+x=3的解的个数是．7．（5分）函数f（x）=x2﹣2x+3，x∈[0，3]的值域是．8．（5分）已知幂函数y=f（x）的图象过点，则f（﹣2）=．9．（5分）函数f（x）=log2（x﹣1）的单调递增区间是．10．（5分）若f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2+2x，则f（﹣1）=．11．（5分）若函数y=a x（a＞0，a≠1）在区间x∈[0，1]上的最大值与最小值之和为3，则实数a的值为．12．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，对于任意的x∈R，都满足f（﹣x）=f（x），且对于任意的a，b∈（﹣∞，0]，当a≠b时，都有＜0．若f（m+1）＜f（2），则实数m的取值范围是．13．（5分）函数f（x）=x2+bx+3满足f（2+x）=f（2﹣x），若f（m）＜0，则f （m+2）与f（log2π）的大小关系是f（m+2）f（log2π）．14．（5分）下列几个命题，其中正确的命题有．（填写所有正确命题的序号）①函数y=log2（x﹣3）+2的图象可由y=log2x的图象向上平移2个单位，向右平移3个单位得到；②函数的图象关于点（1，2）成中心对称；③在区间（0，+∞）上函数的图象始终在函数y=x的图象上方；④任一函数图象与垂直于x轴的直线都不可能有两个交点．二.解答题：本大题共6小题，共计90分．解答应写出必要的文字步骤．（请写在答题卡的指定位置）15．（10分）（1）计算log3+log3﹣log24；（2）已知+=3，求x+的值．16．（12分）设集合A={x|x＜﹣3，或x＞6}，B={x|3＜x＜7}．（1）求A∩B；（2）设C={x|x≥m}，且B∩C=B，求实数m的取值范围．17．（12分）设函数f（x）=（）10﹣ax，其中a为常数，且f（3）=．（1）求a的值；（2）若f（x）≥4，求x的取值范围．18．（15分）甲商店某种商品11月份（30天，11月1日为第一天）的销售价格P（元）与时间t（天）函数关系如图（一）所示，该商品日销售量Q（件）与时间t（天）函数关系如图（二）所示．（1）写出图（一）表示的销售价格与时间的函数关系式P=f（t）及其定义域，写出图（二）表示的日销售量与时间的函数关系式Q=g（t）及其定义域；（2）写出日销售金额M（元）与时间t的函数关系式M=h（t）及其定义域并求M的最大值．（注：日销售金额M=销售价格P×日销售量Q）．19．（15分）已知函数f（x）=，x∈（﹣1，1）．（1）用单调性的定义证明f（x）在x∈（﹣1，1）上是单调减函数；（2）若关于x的不等式f（x）≥a（x2﹣3x+2）对于任意x∈（﹣1，1）恒成立，求实数a的取值范围．20．（16分）已知函数f（x）=ax2﹣|x|+2a﹣1 （a为实常数）．（1）判断函数f（x）的奇偶性并给出证明；（2）若函数f（x）在区间[1，2]上是增函数，求实数a的取值范围；（3）若a＞0，设g（x）=|f（x）﹣x|在区间[﹣2，2]上的最大值为h（a），求h （a）的表达式．2014-2015学年江苏省扬州市邗江中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．（答案请写在答题卡的指定位置）江苏省邗江中学2014-2015学年度第一学期高一数学期中试卷命题人魏跃兵霍庆元1．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={1，3}，则C A B{2，4} ．【解答】解：因为集合A={1，2，3，4}，B={1，3}，所以C A B={2，4}，故答案为：{2，4}．2．（5分）已知a是实数，若集合{x|ax=1}是任何集合的子集，则a的值是0．【解答】解：由于a是实数，若集合{x|ax=1}是任何集合的子集，则此集合必是空集，故方程ax=1无根，所以a=0故答案为：0．3．（5分）已知函数f（2x+1）=4x2，则f（5）=16．【解答】解：已知函数f（2x+1）=4x2，令t=2x+1，则x=，故有f（t）=4 ．故f（5）=4=16，故答案为16．4．（5分）函数y=ln（3﹣2x）的定义域是（﹣∞，）．【解答】解：由3﹣2x＞0，得x＜．∴原函数的定义域为（﹣∞，）．故答案为：（﹣∞，）．5．（5分）设a=log1.20.9，b=1.10.8，则a，b的大小关系是a＜b．【解答】解：∵a=log1.20.9＜0，b=1.10.8＞1，∴a＜b．故答案为：a＜b．6．（5分）方程log3x+x=3的解的个数是1．【解答】解：根据函数y=log3x，函数y=3﹣x，图象的交点个数可判断：方程log3x+x=3的解的个数是1，故答案为：17．（5分）函数f（x）=x2﹣2x+3，x∈[0，3]的值域是[2，6] ．【解答】解：函数f（x）=x2﹣2x+3，x∈[0，3]的对称轴为x=1，开口向上，在区间[0，3]不是单调增，∴f（x）max=f（3）=6，f（x）min=f（1）=2，∴函数的值域为[2，6]．故答案为：[2，6]．8．（5分）已知幂函数y=f（x）的图象过点，则f（﹣2）=．【解答】解：设f（x）=x a，因为幂函数图象过，则有8=，∴a=﹣3，即f（x）=x﹣3，∴f（﹣2）=（﹣2）﹣3=﹣故答案为：﹣9．（5分）函数f（x）=log2（x﹣1）的单调递增区间是（1，+∞）．【解答】解：f（x）=log2（x﹣1）由y=log2t和t=x﹣1复合而成，∵t=x﹣1＞0，由复合函数的单调性可知f（x）=log2（x﹣1）的单调增区间是（1，+∞）．故答案为：（1，+∞）．10．（5分）若f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2+2x，则f（﹣1）=﹣3．【解答】解：∵f（x）为定义在R上的奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1），∵当x≥0时，f（x）=x2+2x，∴f（1）=1+2=3，即f（﹣1）=﹣f（1）=﹣3．故答案为：﹣3．11．（5分）若函数y=a x（a＞0，a≠1）在区间x∈[0，1]上的最大值与最小值之和为3，则实数a的值为2．【解答】解：①当0＜a＜1时函数y=a x在[0，1]上为单调减函数∴函数y=a x在[0，1]上的最大值与最小值分别为1，a∵函数y=a x在[0，1]上的最大值与最小值和为3∴1+a=3∴a=2（舍）②当a＞1时函数y=a x在[0，1]上为单调增函数∴函数y=a x在[0，1]上的最大值与最小值分别为a，1∵函数y=a x在[0，1]上的最大值与最小值和为3∴1+a=3∴a=2故答案为：2．12．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，对于任意的x∈R，都满足f（﹣x）=f（x），且对于任意的a，b∈（﹣∞，0]，当a≠b时，都有＜0．若f（m+1）＜f（2），则实数m的取值范围是（﹣3，1）．【解答】解：由f（﹣x）=f（x），可得函数f（x）为偶函数，∴f（|x|）=f（x），再根据对任意的a，b∈（﹣∞，0]，当a≠b时，都有，故函数在（﹣∞，0]上是减函数，∴函数在[0，+∞）上是增函数，故由f（m+1）＜f（2），∴f（|m+1|）＜2∴|m+1|＜2可得﹣2＜m+1＜2，解得﹣3＜m＜1，故答案为：（﹣3，1）．13．（5分）函数f（x）=x2+bx+3满足f（2+x）=f（2﹣x），若f（m）＜0，则f （m+2）与f（log2π）的大小关系是f（m+2）＞f（log2π）．【解答】解：∵函数f（x）=x2+bx+3满足f（2+x）=f（2﹣x）∴抛物线的对称轴为2∴b=﹣4∴f（x）=（x﹣3）（x﹣1）即抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）点∵f（m）＜0∴1＜m＜3∴3＜m+2＜5∴f（m+2）＞0∵2＜π＜4∴1＜log2π＜2∴f（log2π）＜0f（m+2）＞f（log2π）．14．（5分）下列几个命题，其中正确的命题有①④．（填写所有正确命题的序号）①函数y=log2（x﹣3）+2的图象可由y=log2x的图象向上平移2个单位，向右平移3个单位得到；②函数的图象关于点（1，2）成中心对称；③在区间（0，+∞）上函数的图象始终在函数y=x的图象上方；④任一函数图象与垂直于x轴的直线都不可能有两个交点．【解答】解：①将y=log2x的图象向上平移2个单位，得到y=log2x+2的图象，再将所得图象向右平移3个单位得到y=log2（x﹣3）+2的图象，故①正确；②函数==2﹣，此函数是由反比例函数y=﹣向左平移一个单位，再向上平移2个单位得到的，由反比例函数的对称中心为（0，0）知，此函数的对称中心为（﹣1，2），故②错误；③∵点（0，0），（1，1）是函数的图象与函数y=x的图象的两个交点，且，故③错误；④由函数的定义，对于定义域内的任意一个x，由唯一的一个函数值与其对应，故任一函数图象与垂直于x轴的直线都不可能有两个交点．④正确故答案为①④二.解答题：本大题共6小题，共计90分．解答应写出必要的文字步骤．（请写在答题卡的指定位置）15．（10分）（1）计算log3+log3﹣log24；（2）已知+=3，求x+的值．【解答】解：（1）原式=．（2）由已知得．所以．16．（12分）设集合A={x|x＜﹣3，或x＞6}，B={x|3＜x＜7}．（1）求A∩B；（2）设C={x|x≥m}，且B∩C=B，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵A={x|x＜﹣3，或x＞6}，B={x|3＜x＜7}，∴A∩B={x|6＜x＜7}；（2）∵C={x|x≥m}，且B∩C=B，∴B⊆C，则m≤3．17．（12分）设函数f（x）=（）10﹣ax，其中a为常数，且f（3）=．（1）求a的值；（2）若f（x）≥4，求x的取值范围．【解答】解：（1）由f（3）=，可得（）10﹣3a=，所以，10﹣3a=1，解得a=3．（2）由已知（）10﹣3x≥4=（）﹣2，所以10﹣3x≤﹣2，解得x≥4，故f（x）≥4解集为{x|x≥4}．18．（15分）甲商店某种商品11月份（30天，11月1日为第一天）的销售价格P（元）与时间t（天）函数关系如图（一）所示，该商品日销售量Q（件）与时间t（天）函数关系如图（二）所示．（1）写出图（一）表示的销售价格与时间的函数关系式P=f（t）及其定义域，写出图（二）表示的日销售量与时间的函数关系式Q=g（t）及其定义域；（2）写出日销售金额M（元）与时间t的函数关系式M=h（t）及其定义域并求M的最大值．（注：日销售金额M=销售价格P×日销售量Q）．【解答】解：（1）设价格函数是y=kt+b，过点（0，15）、（30，30），则，∴b=15，k=；∴ff（t）=t+15（0＜t≤30，t∈N）；设销售量函数y=at+m，过点（0，160），（30，40），则，∴m=160，a=﹣4；∴g（t）=﹣4t+160（0＜t≤30）（t∈N）；（2）M=h（t）=（t+15）（﹣4t+160）=﹣2t2+20t+2400（0＜t≤30，t∈N）∴t=5时，M的最大值为2450元．19．（15分）已知函数f（x）=，x∈（﹣1，1）．（1）用单调性的定义证明f（x）在x∈（﹣1，1）上是单调减函数；（2）若关于x的不等式f（x）≥a（x2﹣3x+2）对于任意x∈（﹣1，1）恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）证明：任取x1，x2∈（﹣1，1），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=﹣=，又∵x1，x2∈（﹣1，1），x1＜x2，∴（1+x1）（1+x2）＞0，x2﹣x1＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），∴f（x）在x∈（﹣1，1）上是单调减函数．（2）∵y=x2﹣3x+2=（x﹣2）（x﹣1）在（﹣1，1）上单调递减且恒有y＞0，不等式f（x）≥a（x2﹣3x+2）对于任意x∈（﹣1，1）恒成立，即为a≤，对于任意x∈（﹣1，1）恒成立，令g（x）===，当x=时取得最小值，g（）=，所以a的取值范围是a≤．20．（16分）已知函数f（x）=ax2﹣|x|+2a﹣1 （a为实常数）．（1）判断函数f（x）的奇偶性并给出证明；（2）若函数f（x）在区间[1，2]上是增函数，求实数a的取值范围；（3）若a＞0，设g（x）=|f（x）﹣x|在区间[﹣2，2]上的最大值为h（a），求h （a）的表达式．【解答】解：（1）对于函数f（x）=ax2﹣|x|+2a﹣1，它的定义域为R，且满足f （﹣x）=f（x），故函数为偶函数．（2）当a=0时，在区间[1，2]上，f（x）=﹣|x|﹣1=﹣x﹣1，不满足在区间[1，2]上是增函数，故a≠0．在区间[1，2]上，函数f（x）=ax2﹣x+2a﹣1的图象对称轴方程为x=，根据函数f（x）在区间[1，2]上是增函数，可得①，或②，求得a≥．（3）当x∈[﹣2，2]时，g（x）=|f（x）﹣x|=，①0，即≥2，h（a）=max=6a﹣5；②a，即0＜2，h（a）=max=6a﹣1∴h（a）=．。