沪教版七年级数学秋季班讲义第五讲整式的乘法
11.1.4整式的乘法(课件)七年级数学上册(沪教版2024)
3
(1)3x·4x ;
(3)(-4ax2)·(-3a2x3);
(2) xy ·(-4x2y4);
2
解：(1)3x·4x3=(3×4)·(x·x3)=12x4
1 2
1
2
4
(2) xy ·(-4x y )=[ ×(-4)]·(x·x2)·(y2·y4)=-2x3y6
2
2
(3)(-4ax2)·(-3a2x3)=[(-4)×(-3)]·(a·a2)·(x2·x3)=12a3x5
(2)(x+y)·(x2-2xy+y2)-y·(x2+y2);
(2)(x+y)·(x2-2xy+y2)-y·(x2+y2)
=(x2-xy+xy-y2)·(x2+y2)
=x3-2x2y+xy2+x2y-2xy2+y3-x2y-y3
=x4+x2y2-x2y2-y4
=x3-2x2y-xy2
=x4-y4
典例分析
1
1
1 2
(6)( +a)·( -a)·( +a ).
3
3
9
解： (4)(m-n)·(m2+mn+n2)
=m3+m2n+mn2-m2n-mn2-n3
=m3-n3
(5)(x+1)·(x-2)·(2x-1)
=(x2-2x+x-2)·(2x-1)
=(x2-x-2)·(2x-1)
=2x3-x2-2x2+x-4x+2
1.计算：
(1)(x+2)·(x+1);
解：(1)(x+2)·(x+1)
数学：8.2《整式乘法》课件(沪科版七年级上)
人民广场 住宅用地
商业用地
课本练习
计算：
⑴ 3x(x2-2x-1)-2x2(x-3) ⑵ -6xy(x2-2xy-y2)+3xy(2x2-4xy+y2) ⑶ x2-2x[2x2-3(x2-2x-3)] ⑷ 2a(a2-3a-4)-a(2a2+6a-1)
解方程： ⑴ 2x(x-1)-x(3x+2)=-x(x+2)-12 ⑵x2(3x+5)＋5=x(-x2+4x2+5x)+x
(1) (a+b)(m+n) (2) a(m+n)+b(m+n) (3) am+an+bm+bn 从上面的计算中你发现什么？再
找一组看看
你能从图中 得到这个结 论吗？
a
b
m
n
小结与回顾
布置作业
2V红 V蓝
2 2x2x(2x5) (3x 2x)(3x 2 2x)(2x 5)
8x2 (2x 5) 7x2 (2x 5) 16x3 40x2 14x3 35x2
=30x3 75x2.
若a=2,b=5,m=3,n=4,分别求下 列各式的值：
已知：xy2=-6,求-xy(x3y7-3x2y5-y)
计算：
(1)0.5ab( 2 ab2 2ab); 3
(2)x(x2 xy y2 ) y(x2 xy y2 );
(3)4ab[2a2b (ab ab2 ) 3b].
求图中物体的体积.
2x
3x
2x 3x
解 :V V黄 V红 V蓝
b
c
d
a
如果把它看成三个小长方形，那么它们的 面积可分别表示为___a__b、___a__c、____a_d.
沪教版(五四制)七年级数学上册 9.3整式的乘法同步讲义(带答案)
-------------整式的乘法（★★★）1.掌握底数、指数、同底数幂的概念；；2.掌握同底数幂的乘法运算法则，并能灵活地运用法则进行计算；3.掌握幂的乘方、积的乘方的概念，并知道他们的区别；4.掌握幂的乘方、积的乘方的运算法则并能够准确运算；5.理解并掌握单项式与单项式相乘法则，能够熟练地进行单项式的乘法计算；6.理解和掌握单项式与多项式相乘法则，能够熟练地进行多项式的乘法计算；7.熟练运用法则进行多项式与多项式的相乘、单项式与多项式相乘的计算。
知识结构1. 同底数幂的乘法性质：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
（、都是正整数）2. 幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
（、都是正整数）3. 积的乘方：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
（为正整数）4. 单项式与单项式相乘单项式与单项式相乘的法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘的积作为积的因式，其余字母连同它的指数不变，也作为积的因式。
运算步骤是：①系数相乘为积的系数；②同底数幂相乘，作为积的因式；③只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数也作为积的一个因式；注：1、单项式与单项式相乘的法则，对于三个以上的单项式相乘也适用．2、单项式与单项式相乘的实质是乘法的交换律与结合律以及幂的运算性质．5. 单项式与多项式相乘单项式与多项式相乘的法则：单项式与多项式相乘，用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加。
注：①用单项式遍乘多项式的各项，不要漏乘，②要注意符号。
单项式乘以多项式的实质是乘法的分配律与单项式乘以单项式的和．“知识结构”这一部分的教学，可采用下面的策略：1.本部分建议时长5分钟.2.请学生先试着自己写出计算公式，发现学生有遗忘时教师帮助学生完成.1.本部分建议时长20分钟.2.进行例题讲解时，教师宜先请学生试着自行解答.若学生能正确解答，则不必做过多的讲解；若学生不能正确解答，教师应对相关概念、公式进行进一步辨析后再讲解例题.3.在每一道例题之后设置了变式训练题，应在例题讲解后鼓励学生独立完成，以判断学生是否真正掌握了相关考点和题型.4.教师应正确处理好例题与变式训练题之间的关系，宜采用讲练结合的方式，切不可将所有例题都讲完后再让学生做变式训练题.例题1计算：(★★)答案：解：原式同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
沪科版七年级数学下册课件 第8章 整式的乘法与因式分解 8.2整式乘法 1.单项式与单项式相乘(1)
注：以上 m，n 均为正整 数
自学互研
知识模块一 单项式与单项式 相乘
问题：光的速度约为3×105千米/秒，从太阳系以外距离地球最 近的一颗恒星（比邻星）发出的光，需要4年才能到达地球，1 年以3×107计算，试问地球与这颗恒星的距离约是多少千米吗？
分析：距离=速度×时间； 即:（3×105）×（4×3×107）； 怎样计算（3×105）×（4×3×107）?
单项式与单项式相乘法则: (1)各单项式的系数相乘；注意符号 (2)底数相同的幂分别相乘,用它们的指数的 和作为积里这个字母的指数，
(3)只在一个单项式因式里含有的字母, 连同它的指数一起作为积的一个因式.
（2）（-2a2b3）·（-3a） =〔(-2)·(-3)〕(a2a)·b3 =6a3b3
（3）（4×106）·(5×107) =( 4×5)·(106×107) =20×1013 =2×1014
（4）x2y3·（-xy2）2 =x2y3·x2y4 =-(x2·x2)(y3y4) =-x4y7
知识梳理
乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它 的指
数作为积的一个因式。
当堂练习
1.计算： （1）（2xy2）·（xy） （2）（-2a2b3）·（-3a） （3）（4×106）·(5×107) （1）（2xy2）·（xy） = 2（xx）·（y2y） = 2x2y3
第8章 整式乘法与因式分解
8.2 整式乘法
1.单项式与单项式相乘
学习目标
1．在具体情景中，了解单项式和单项式相乘的意义. 2．在通过学生活动中，理解单项式相乘的法则，会用 它们进行计算．
知识回顾
1、同底数幂相乘底：数不变，指数相加。 式子表达：am ·an =am + n
沪科版七年级下册数学整式乘法第5课时课件
注意:(1)漏乘;(2)符号问题;(3)最后结果应化成 最简情势（是同类项的要合并）.
例2 先化简，再求值：(a－2b)(a2＋2ab＋4b2) －a(a－5b)(a＋3b)，其中a＝－1，b＝1.
解：原式＝a3－8b3－(a2－5ab)(a＋3b)
4.计算：(x 2)(x 3) x2 _5_ x _6 _; (x 4)(x 1) x2 _(-3_) x (_-4_); (x 4)(x 2) x2 _2_ x (_-8_); (x 2)(x 3) x2 _(-_5)x _6_ .
视察上面四个等式，你能发现什么规律？并应用这 个规律解决下面的问题.
＝a3－8b3－a3－3a2b＋5a2b＋15ab2 ＝－8b3＋2a2b＋15ab2. 当a＝－1，b＝1时，原式＝－8＋2－15＝－21.
方法总结：化简求值的题型，一定要注意先化简， 再求值，不能先代值，再计算．
当堂练习
1.判别下列解法是否正确，若错请说出理由.
（1） (2x 3)(x 2) (x 1)2; 解：原式 2x2 4x 6 ( x 1)( x 1)
解： (1) 原式=1×0.6－1×x－x·0.6+x·x =0.6－x－0.6x+x2 =0.6－1.6x+x2；
(2) 原式=2x·x－2x·y+y·x－y·y
=2x2－2xy+xy－y2 =2x2－xy－y2；
(3) (x+y)(x2－xy+y2). 解：原式=x·x2－x·xy+xy2+x2y－xy2+y·y2
= ma+mb+na+nb.
沪科版初中数学七年级下册《8.2整式乘法》课堂教学课件 (5)
（2）（3 ab2 3ab 1) 1 ab
4
3
解：原式= 3 ab2 1 ab （ 3ab） 1 ab （1） 1 ab
43
3
3
1 a2b3 a2b2 1 ab
4
3
单项式与多项式相乘，用单项式乘多项式 的每一项，再把所得的积相加.
辩析：下面是小明同学做的几道题,你能帮他 找出错误吗
(1) 2a(3a 5b) 6a2 10ab
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单项式与多项式相乘
根据乘法的分配律
a(b+c+d)
ab+ac+ad
a(b+c+d)
ab+ac+ad
a(b+c+d)
ab+ac+ad
利用乘法分配律计算：
x(5x 3y)
x(x2 y 2xy)
3a+2b
2a-b
人民广场 住宅用地
解：S= 4a(3a+2b)+3a(2a-b) = 12a2+8ab+6a2-3ab = 18a2+5ab
答：这块地的面积为18a2+5ab.
3a+2 b
2a-b
人民广场 住宅用地
4a
3 a
S=4a(3a+2b+2a-b)-(;2 b
2a-b
人民广场 住宅用地
4a
3 a
S=3a(3a+2b+2a-b)+(4a3a)(3a+2b)
1、计算： a(a2 ab b2 ) b(a2 ab b2 )
沪教版 七年级(上)数学 秋季课程 第5讲 乘法公式(解析版)
本节课学习乘法公式，需要掌握会用文字和字母表示平方差公式、完全平方公式，知道平方差公式和完全平方公式的结构特征．理解平方差公式和完全平方公式中的字母，既可以表示数，又可以表示单项式或多项式等．做到能够理解补充的立方和、差公式以及完全立方公式．重点是在数的简捷运算、代数式的化简求值及解方程中正确、熟悉地运用平方差公式和完全平方公式．难点是在运用乘法公式时，逐步树立代换的思想，利用字母的意义，灵活进行乘法运算．1．平方差公式两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差，即：22()()a b a b a b +-=-． 2．公式变化（1）位置变化：()()22()()a b b a a b a b a b +-+=+-=-．（2）符号变化：()()2222()()()a b a b a b a b a b b a ---=-+-=--=-．（3）公式中的字母，可以表示具体的数字，可以表示单项式，也可以表示多项式．乘法公式内容分析知识结构模块一：平方差公式知识精讲2 / 25【例1】计算：（1）()2(2)_____a a +-=；（2）()2(2)______x y x y -++=； （3）220.10.1______33m n m n ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（4）()()_______n n x y x y -+=；（5）()()22______x y z x y z z -+-++=-（）；（6）()224(_______)16x y y x -=-；（7）()220.23(_______)0.049a b a b -=-．【答案】（1）24a -； （2）224y x -； （3）2240.019m n -； （4）22n x y -；（5）x y -； （6）4x y --； （7）0.23a b +． 【解析】略．【总结】本题考察了平方差公式的运用．【例2】如图，在边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形()a b >，把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形的面积，验证了公式________________．【答案】22()()a b a b a b -=+-． 【解析】略．【总结】本题考察了用面积法推导基本公式．【例3】对于任意整数n ，能整除代数式(3)(3)(2)(2)n n n n +--+-的整数是（）．baabba 例题解析A ．4B ．3C ．5D ．2【答案】C【解析】原式=22(9)(4)5n n ---=-， ∴能被5整除，选择C ． 【总结】本题考察了平方差公式．【例4】若3a b -=-，229a b -=，求a b +的值． 【答案】-3．【解析】22()()a b a b a b +-=-，223a b a b a b -∴+==--．【总结】本题考察了平方差公式．【例5】若()122a m a ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的结果中不含关于a 的一次项，那么m 的值为（ ）．A ．12B ．12-C ．14D ．14-【答案】D ．【解析】1202a m +=的系数是：14m ∴=-，故选D ．【总结】本题考察了多项式相乘及项与系数的概念．【例6】简便计算：（1）8892⨯；（2）16252477⨯；（3）2201620152017-⨯．【答案】（1）8096； （2）4862449； （3）1． 【解析】（1）原式=(902)(902)810048096-+=-=；4 / 25（2）原式=11148(25)(25)625624774949+-=-=；（3）原式=2222016(20161)(20161)2016(20161)1--+=--=． 【总结】本题考察了用平方差公式进行简便运算．【例7】计算：（1）()()2323(32)(32)m n m n m n m n +---+； （2）()()()2224x x x +-+； （3）()()()()2222a b a b a a +---⋅-．【答案】（1）2255m n --； （2）416x -； （3）422a b -． 【解析】（1）原式=22222249(94)55m n m n m n ---=--； （2）原式=224(4)(4)16x x x -+=-； （3）原式=424422a b a a b -+=-． 【总结】本题考察了整式的混合运算．【例8】解方程：()()()()22223(3)2x x x x x x -+-+=-+-． 【答案】8x =．【解析】222242182x x x x -+-=-- 216x -=- 8x =【总结】本题考察了平方差公式在解方程中的应用．【例9】已知()()22122163a b a b +++-=，求a b +的值． 【答案】4±．【解析】2(22)163a b +-= 24()64a b += 2()16a b +=4a b +=±【总结】本题考察了平方差公式的应用．【例10】计算：()()2114412124x x x ⎛⎫⋅-⋅+⋅+ ⎪⎝⎭．【答案】4161x -．【解析】原式=2(21)(21)(41)x x x -++ =22(41)(41)x x -+ =4161x -【总结】本题考察了平方差公式的应用．【例11】已知()258654481t +=，求()()4868t t ++的值． 【答案】654381．【解析】原式=(5810)(5810)t t +-++ =2(58)100t +- =654481-100 =654381．【总结】本题考察了平方差公式的应用．【例12】计算：2222100999897-+-+···221+-． 【答案】5050．【解析】原式=(10099)(10099)(9897)(9897)(21)(21)+-++-+++-=10099989721++++++ =(1001)1002+=5050． 【总结】本题考察了平方差公式的应用．【例13】已知2431-可能被20至30之间的两个整数整除，求这两个整数． 【答案】26，28．【解析】原式=1212(31)(31)+- =1266(31)(31)(31)++- =12633(31)(31)(31)(31)+++-，6 / 25∴原式可以被26，28整除．【总结】本题考察了平方差公式的应用以及对整除的概念理解．【例14】计算： （1）()()()24212121+++···()32211++；（2）()()42241(1)1x x x x x x ⎡⎤⎡⎤++⋅++⋅++⎣⎦⎣⎦．【答案】（1）642；（2）88(1)x x +-． 【解析】（1）原式=22432(21)(21)(21)(21)1-++++=64211-+ =642；（2）原式=2244(1)(1)[(1)][(1)]x x x x x x x x +++-++++ =222244[(1)][(1)][(1)]x x x x x x +-++++ =4444[(1)][(1)]x x x x +-++ =88(1)x x +-．【总结】本题主要考查了通过添项构造平方差公式的基本形式，综合性较强．1．完全平方公式 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的两倍，即：()2222a b a ab b +=++ ()2222a b a ab b -=-+与平方差公式一样，公式中的字母可以代表一个数字，可以代表一个单项式，也可以是一个多项式． 2．完全平方变形应用（1）()2222()22a b a b a b ++-=+；()()224a b a b ab +--=；模块二：完全平方公式 知识精讲（2）()()224a b a b ab +=-+；()()224a b a b ab -=+-；（3）()()222222a b a b ab a b ab +=+-=-+；（4）()()224a b a b ab +--=；()()22222a b a b a b ++-+=．3．完全平方公式推广应用 （1）()2222222a b c a b c ab ac bc ++=+++++；（2）()()22222()2a b c a b c a b c a ab b c +++-=+-=++-； （3）()()()222222222222a b a c b c a b c ab ac bc +++++=+++++； （4）()()()222222222222a b a c b c a b c ab ac bc -+-+-=++---．【例15】填空：（1）()223________a b +=； （2）213_________2x y ⎛⎫-= ⎪⎝⎭；（3）()222________a b --=；（4）()2(2)________x y x y +--=；（5）()222____164x y x y ++=+； （6）2246_____(2_____)a ab a ++=+； （7）()()223_____69m n n mn m -⋅=-+．【答案】（1）224129a ab b ++； （2）221394x xy y -+；（3）22444a ab b ++；（4）2244x xy y ---； （5）8xy ； （6）29342b b ；；（7）3m n -．例题解析8 / 25【解析】略．【总结】本题考察了完全平方公式的运用．【例16】填空．（1）()2_______________a b c ++=； （2）()223__________________a b c --=； （3）212____________3x y z ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭； （4）()()223232__________x x x x ++--=．【解析】（1）原式=222222a b c ab bc ac +++++； （2）原式=222491264a b c ab bc ac ++-+-；（3）原式=22214244933x y z xy yz xz ++--+；（4）原式=4242(32)9124x x x x x -+=---．【总结】本题考察了三项和的完全平方公式和平方差公式的运用．【例17】填空：()2232(32)_______a b a b +--=． 【答案】24ab ．【解析】原式=2222(9124)(9124)24a ab b a ab b ab ++--+=． 【总结】本题考察了完全平方公式的运用．【例18】计算：（1）()()2223(31)31x x x ---+； （2）()2229(3)(9)(3)a a a a --++-；（3）()()222323x y x y ++-； （4）22110.5(0.5)33a b a b ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭．【解析】（1）原式=422424129(91)42110x x x x x -+--=-+；（2）原式=42421881(81)18162a a a a -+--=-+；（3）原式22222241294129818x xy y x xy y x y =+++-+=+； （4）原式222211111124394393a ab b a ab b ab =++-+-=．【总结】本题考察了完全平方公式的运用．【例19】下列各式能用完全平方公式计算的有（）个．① ()()2332a b b a --；②()23(23)a b a b -+--； ③()23(32)a b b a --+；④()()2332a b a b -+．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】两个括号内各项都相等或都互为相反数，则适用于完全平方公式．两个括号内有些项相等，有些项互为相反数，则适用平方差公式．则①③适用于完全平方公式，选择B ．【总结】本题主要考查对完全平方公式的理解和运用． 【例20】若2,1a b a c -=-=，则()()222a b c c a --+-的值是（ ）．A ．9B ．10C ．2D ．1【答案】B【解析】由已知得：23a b c a b a c --=-+-=， 9110∴=+=原式，选择B ． 【总结】本题考察了完全平方公式的运用．【例21】如果实数a b c ，，满足222a b c ab ac bc ++=++，那么（）．A ．a b c ，，全相等B ．a b c ，，不全相等C ．a b c ，，全不相等D ．a b c ，，可能相等，也可能不等【答案】A【解析】化简得：2220a b c ab ac bc ++---=2220a b c ab ac bc ++---= 2221(222222)02a b c ab ac bc ++---=2221[()()()]02a b b c a c -+-+-= a b c ∴==．10 / 25【总结】本题考察了完全平方公式的变形及其运用．【例22】已知123a b a c b c +=+=+=，，，则222_______a b c ab ac bc +++++=． 【答案】7．【解析】原式=2221[()()()]2a b b c a c +++++=1(149)72++=．【总结】本题考察了完全平方公式的变形及其运用．【例23】如果多项式219x kx ++是一个完全平方式，那么k 的值为________． 【答案】23k =±．【解析】由已知得：2211()93x kx x ++=±，23k ∴=±． 【总结】本题考察了完全平方式的概念，注意两种情况的考虑．【例24】若()227499x a x bx -=-+，则_______a b +=． 【答案】45．【解析】由已知得：2914a a b⎧=⎨=⎩， 解得：334242a a b b ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩或． 45a b ∴+=．【总结】本题考察了完全平方式的概念．【例25】若22151525m n m n -=+=，，则()2013mn 的值为_________．【答案】1．【解析】由已知得：2221()25m n m -=，2222()()2mn m n m n ∴=+--=， 1mn ∴=， 2013()1mn ∴=．【总结】本题考察了完全平方式的应用．【例26】已知()()22364a b a b +=-=，，则______ab =． 【答案】8．【解析】224()()32ab a b a b =+--=， 8ab ∴=．【总结】本题考察了完全平方式的应用以及变形．【例27】若712a b ab +==，，则22a ab b -+的值为_________． 【答案】13．【解析】原式=2()3493613a b ab +-=-=． 【总结】本题考察了完全平方式的应用以及变形．【例28】用简便方法运算：（1）299.7；（2）221.372 1.378.638.63+⨯⨯+；（3）229.610.4⨯．【答案】（1）9940.09； （2）100； （3）9968.0256． 【解析】（1）原式=2(1000.3)10000600.099940.09-=-+=； （2）原式=22(1.378.63)10100+==； （3）原式=22(100.4)(100.4)-+12 / 252(1000.16)=- 10000320.0256=-+ 9968.00256=．【总结】本题考察了完全平方式在简便运算中的应用．【例29】若2(1)()6m m m n ---=，求222m n mn +-的值．【答案】18．【解析】化简得：226m m m n --+=， 即：6m n -=-，∴原式=2()361822m n -==．【总结】本题考察了完全平方式的应用及其变形．【例30】（1）已知()2133a b ab -==，，求()2a b +与()223a b +的值．（2）已知22410a b a b +=+=，，求22a b 与()2a b -的值．【答案】（1）25，57； （2）9， 4． 【解析】（1）22()()4131225a b a b ab +=-+=+=， 2223()3[()2]31957a b a b ab +=-+=⨯=； （2）2222[()()]16106ab a b a b =+-+=-=， 3ab ∴=，229a b ∴=．∴222()21024a b a ab b ab -=-+=-=． 【总结】本题考察了完全平方式的应用．【例31】（1）已知222x y z a xy xz yz b ++=++=，，求()()222()x y x z y z +++++的值；（2）已知2225a b c bc ac ab ++---=，求()()()222a b b c a c -+-+-的值． 【答案】（1）22a b +； （2）10．【解析】（1）原式=2222()22x y z xy yz xz a b +++++=+； （2）原式=2222()10a b c ab ac bc ++---=． 【总结】本题考察了完全平方式的应用．【例32】已知(2018)(2016)2017x x --=，求22(2018)(2016)x x -+-的值． 【答案】4038．【解析】原式=2[(2018)(2016)]2(2018)(2016)x x x x ---+-- =422017+⨯ =4038．【总结】本题综合性较强，考察了完全平方式的应用，注意对题目的准确理解．【例33】已知35a b b c -=-=，2221a b c ++=，求ab ac bc ++的值． 【答案】225-． 【解析】2222221[()()()]2a b c ab ac bc a b b c a c ++---=-+-+-，199361()2252525ab ac bc ∴---=++，27212525ab ac bc ∴++=-=-． 【总结】本题考察了完全平方式的应用及其变形．【例34】（1）已知222450x y x y +--+=，求()2112x xy --的值； （2）试说明不论x y 、取何值，代数式226415x y x y ++-+的值总是正数． 【答案】（1）2-；（2）略．【解析】（1）由已知，得：22(1)(2)0x y -+-=，所以12x y ==，， 2∴=-原式；（2）原式=22(3)(2)2x y ++-+，22(3)0(2)0x y +≥-≥，．∴不论x y 、取何值，代数式226415x y x y ++-+的值总是正数．【总结】本题考察了完全平方式的应用及其变形，另外考察了利用完全平方公式的思想完成配方，从而说明代数式的值恒正，综合性较强．14 / 25【例35】（1）已知16x x -=，求221x x+的值；（2）已知2310x x ++=，求①1x x +； ②221x x +； ③441x x+的值． 【答案】（1）38． （2）-3， 7， 47．【解析】(1)22211()238x x x x +=-+=；(2)由已知得：11303x x x x++=+=-，即：， ∴22211()27x x x x +=+-=； ∴ 4224211()247x x x x+=+-=． 【总结】本题考察了完全平方式的应用及其变形的应用．1、立方和、差公式 两数和（或差）乘以它们的平方和与积的差（或和），等于这两个数的立方和（或差）， 这两个公式叫做乘法的立方和公式与立方差公式．即：()2233()a b a ab b a b +-+=+，()2233()a b a ab b a b -++=-．2、完全立方公式 ()3322333a b a a b ab b +=+++．()3322333a b a a b ab b -=-+-．模块三：立方和、差，完全立方公式知识精讲【例36】填空，使之符合立方和或立方差公式： （1）()33(__________)27x x -=-； （2）()323(__________)827x x +=+；（3）()()22_____24__________a ab b ++=；（4）()()22_____964__________a ab b -+=．【答案】（1）239x x -+； （2）2469x x -+； （3）3328a b a b --，； （4）3332278a b a b ++，． 【解析】略．【总结】本题考察了立方和与立方差公式的应用．【例37】用完全立方公式计算： （1）()32x +；（2）()332x y +；（3）()345a b -．【解析】（1）原式=326128x x x +++． （2）原式=32232754368x x y xy y +++． （3）原式=322364240300125a a b ab b -+-． 【总结】本题考察了完全立方公式的应用．【例38】计算： （1）()()()22223(39)339x y x xy y x y x xy y +-+--++．（2）()2222()()()a b a b a ab b a ab b +-++-+． 【答案】（1）354y ； （2）66a b -．【解析】（1）原式=33333(27)(27)54x y x y y +--=；（2）原式=333366()()a b a b a b -+=-． 【总结】本题考察了立方和与立方差公式的综合运用．【例39】化简求值：()()22224(1)(1)x x x x x x +-++-++，其中23x =-．例题解析16 / 25【答案】11627． 【解析】原式=3338127x x x ++-=+，当23x =-时，原式=3216112()77632727⨯-+=-+=．【总结】本题考察了立方和与立方差公式的运用．【例40】已知3a b +=且2ab =，求33a b +的值． 【答案】9．【解析】原式=22()()a b a ab b +-+=2()[()3]a b a b ab ++-， 当3a b +=且2ab =时，原式=3(96)9⨯-=． 【总结】本题考察了立方和与立方差公式的运用．【例41】已知：14x x +=．求下列各式的值：（1）221x x +；（2）331x x+． 【答案】（1）14； （2）52．【解析】（1）原式=21()216214x x+-=-=；（2）原式=22111()()()52x x x x x x ++-+=．【总结】本题考察了立方和立方差公式．【习题1】填空：（1）__________4343a b a b ⎛⎫⎛⎫---= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（2）212_______23a b ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭；随堂检测（3）()()____________x y z z x y +---=；（4）212___________3x y z ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭．【答案】（1）22916b a -； （2）22124439a ab b -+；（3）222222x y z xy xz yz ----++； （4）22212444933x y z xy xz yz ++-+-．【解析】略．【总结】本题考察了完全平方公式和平方差公式的综合运用．【习题2】若22848x y x y +=-=，，则______y x -=． 【答案】-6．【解析】22()()x y x y x y +-=-，6x y ∴-=， 6y x ∴-=-．【总结】本题考察了平方差公式的运用．【习题3】已知()22210x y x y +--+=，则()999______x y +=．【答案】1．【解析】由已知得：2()2()10x y x y +-++= 2(1)0x y +-= 1x y ∴+= ∴原式=1．【总结】本题考察了完全平方公式的应用．【习题4】若2216x kxy y -+是一个完全平方式，则k 的值是（ ）．A ．8B ．16C ．8±D ．16±【答案】C【解析】由已知得：原式=2(4)x y ± 8k ∴=±，故选C ．【总结】本题考察了完全平方公式的概念，注意两种情况的分类．18 / 25【习题5】计算： （1）()2(2)()()x y x y x y x y +--+-+； （2）241645255x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（3）()22(2)a b a b +--； （4）()2()()x y x y x y +-++；（5）2224(2)(42)m n m mn n +-+．【答案】（1）2225x y -； （2）4256625x -； （3）236a ab -+； （4）222x xy +； （5）368m n +． 【解析】（1）原式=2222224()25x y y x x y ---=-； （2）原式=2241616256()()2525625x x x -+=-； （3）原式=222222(44)36a ab b a ab b a ab ++--+=-+； （4）原式=22222222x y x xy y x xy -+++=+； （5）原式=368m n +．【总结】本题考察了平方差公式与完全平方公式在整式乘法中的应用．【习题6】运用平方差公式计算： （1）()()9783-⨯-；（2）21899033⨯；（3）9.610.4⨯；（4）22016201620152017-⨯．【答案】（1）8051； （2）880999； （3）99.84； （4）2016．【解析】（1）原式=(907)(907)8100498051+-=-=； （2）原式=1118(90)(90)810080993399-+=-=；（3）原式=(100.4)(100.4)1000.1699.84-+=-=；（4）原式=22016201620161)20161)--+（（=2016．【总结】本题考察了平方差公式在简便运算的中运用．【习题7】如果()332(332)32a b a b +++-=，求a b +的值． 【答案】2±．【解析】化简得：2(33)432a b +-=，即29()36a b +=， 所以2()4a b +=，所以2a b +=±．【总结】本题考察了平方差公式的运用，注意结果中的两种情况的讨论．【习题8】已知2254690a ab b a ++-+=，求a b +的值． 【答案】-3．【解析】化简得：222(69)(44)0a a a ab b -++++=，即22(3)(2)0a a b -++= ∴3020a a b -=+=，， 解得：36a b ==-，，3a b ∴+=-．【总结】本题考察了完全平方公式的应用．【习题9】已知132a b ab +==，，求：（1）22a b +；（2）22a ab b ++；（3）44a b +；（4）b aa b+；（5）33a b +的值．【答案】（1）8； （2）182； （3）1632； （4）16； （5）452．【解析】（1）原式=2()2918a b ab +-=-=； （2）原式=211()9822a b ab +-=-=； （3）原式=2222211()2646322a b a b +-=-=； （4）原式=2216a b ab+=；20 / 25（5）原式=222345()()()[()3]3(9)22a b a ab b a b a b ab +-+=++-=⨯-=．【总结】本题考察了完全平方公式的变形及其应用．【习题10】计算： （1）已知15a a+=，则4221_______a a a ++=． （2）2217a a +=，则1_____a a +=，1______a a -=．（3）已知14a a -=，求221a a +和441a a+的值． 【答案】（1）24； （2）35±，； （3）18， 322． 【解析】（1）原式=222111()2124a a a a++=+-+=； （2）22211()29a a a a +=++=， 13a a ∴+=±；22211()25a a a a -=+-=， 15a a ∴+=±．（3）22211()218a a a a +=-+=，4224211()2322a a a a +=+-=．【总结】本题考察了完全平方公式的变形及其应用．【习题11】已知2212x y x y +=+=，，求66x y +的值． 【答案】132． 【解析】222()2x y x y xy +=+-，2222()()121xy x y x y ∴=+-+=-=-，12xy ∴=-．方法一： 3325()[()3]2x y x y x y xy ∴+=++-=，663323313()22x y x y x y ∴+=+-=； 方法二：44222227()22x y x y x y +=+-=，662244222213()()2()2x y x y x y x y x y ∴+=++-+=． 【总结】本题考察了完全平方公式的变形及其应用．【习题12】若A =()24821(21)(2++()321，则2016A -的末位数字是多少？【答案】9．【解析】23264(21)(21)(21)(21)21A =-++-=-由12345222428216232=====，，，，得到：642的末位数字是6 6161--=-，2016A ∴-的末位数字是：9．【总结】本题考察了平方差公式的运用以及通过找规律得到个位数字的特征，综合性较强．【作业1】如果22()()4a b a b +--=，则一定成立的是( )．A ．a 是b 的相反数B ．a 是b -的相反数C ．a 是b 的倒数D ．a 是b -的倒数 【答案】C【解析】∵22()()44a b a b ab +--==，∴1ab =， a b ∴、互为倒数，选择C ．【总结】本题考察了完全平方公式的变形及其应用．【作业2】若整式241x Q ++是完全平方式，请你写一个满足条件的单项式Q 是 ．【答案】444x x ±或．【解析】（1）2241(21)x Q x ++=±，4Q x =±；（2）22241(21)Q x x ++=+，44Q x =；（3）22141(2)4x Q x x ++=+，2116Q x =，不符合题意． 【总结】本题考察了完全平方公式的变形．【作业3】若把代数式222x x +-化为2()x m k ++的形式，其中m k ，为常数，则m k +的值 为（ ）A ．2-B ．4-C ． 2D ．4【答案】A【解析】22222213(1)3x x x x x +-=++-=+-，13m k ∴==-，． 课后作业22 / 252m k ∴+=-，故选择A ．【总结】本题考察了利用完全平方公式的思想进行配方．【作业4】计算：2222222212345699100-+-+-++-的值是( ) A ．5050B ．5050-C ．10100D ．10100- 【答案】B【解析】原式(12)(12)(34)(34)(99100)(99100)=+-++-+++- (123499100)=-++++++ =5050-．【总结】本题考察了平方差公式的应用，注意符号的变化．【作业5】若22(2)(3)13x x ++-=，则(2)(3)x x +-= ．【答案】6．【解析】222[(2)(3)](2)2(2)(3)(3)25x x x x x x +--=+-+-+-=2(2)(3)251312x x ∴-+-=-=，(2)(3)6x x ∴-+-=，即：(2)(3)6x x +-=．【总结】本题考察了完全平方公式的应用．【作业6】计算：（1）22111933y x y x y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （2）22(5)(5)x x x x -++-；（3）22222()()()x y x y x y -++；（4）()2223(49)(49)(23)m n m n m n m n +--++-；（5）()22a b c -+；（6）2201620182017⨯-．【解析】（1）原式222244111()()9981y x y x y x =-+=-； （2）原式=4242(5)1025x x x x x --=-+-；（3）原式=2222224428448()()()2x y x y x y x x y y -+=-=-+；（4）原式=222222412916814129m mn n m n m mn n ++-++-+=22899m n -+；（5）原式=2224424a b c ab ac bc ++-+-；（6）原式=2(20171)(20171)20171-+-=-．【总结】本题主要考察了乘法公式在计算中的运用，注意公式的准确运用．【作业7】已知2(1)()5a a a b ---=-，求222a b ab +-的值． 【答案】252． 【解析】由已知得：225a a a b --+=-，5b a ∴-=-．2222()25222a b ab a b +--∴===原式． 【总结】本题考察了完全平方公式的变形及其应用．【作业8】已知实数a 、b 满足2()1a b +=，2()25a b -=，求22a b ab ++的值．【答案】7．【解析】由224()()24ab a b a b =+--=-，得：6ab =-，2()167a b ab ∴=+-=+=原式．【总结】本题考察了完全平方公式的变形．【作业9】已知201520172016a ⨯=，201620182017b ⨯=，201720192018c ⨯=，比较三者大小．24 / 25【答案】a b c <<． 【解析】2201611201620162016a -==-， 同理：112017,201820172018b c =-=-． a b c ∴<<．【总结】本题考察了平方差公式在比较大小中的运用．【作业10】已知22690x xy y -+=，求代数式2235(2)4x y x y x y +⋅+-的值． 【答案】145． 【解析】化简得：2(3)0x y -=，3x y ∴=，359514265x y y y x y y y ++∴===--原式． 【总结】本题考察了非负数的性质和平方差公式的运用．【作业11】已知12020a x =+，11920b x =+，12120c x =+，求222a b c ab bc ca ++---的 值．【答案】3．【解析】由已知得：121a b b c a c -=-=--=-，，， 2221[()()()]2a b b c a c ∴=-+-+-原式1(141)32=++=． 【总结】本题考察了完全平方公式的变形及其应用，综合性较强，要注意观察．【作业12】求多项式222451213x xy y y -+-+的最值．【答案】最小值是1．【解析】原式=2222(2)3(44)1x xy y y y -++-++=222()3(2)11x y y -+-+≥，∴代数式有最小值，最小值是1．【总结】本题考察了完全平方公式的逆用，从而判定代数式的大小．。
11.1 整式的乘法(第5课时 整式与整式相乘)(教学课件)-24-25学年七年级数学上册(沪教版)
＝22 a2＋16 ab ＋2 b2 (平方米).
答：铺地砖的面积为(22 a2＋16 ab ＋2 b2)平方米.
(2)当 a ＝2， b ＝3时，需要铺地砖的面积是多少？
【解】当 a ＝2， b ＝3时，原式＝22×22＋16×2×3＋2×32＝202(平方米).
式中的每一项， 再把所得的积相加．
课本例题
例12计算：
1 −2 ⋅ +3 ;
解 1 −2 ⋅ +3
= + 3 − 2 − 6.
(3)( + ) ⋅ (2 − + 2 ).
(2)(2 + ) ⋅ ( − 3);
2 2 + ⋅ − 3
= 2��2 − 6 + − 3 2
2
解: 小长方形的面积为
（ − 2） ⋅ ( − 2 )
= − 2 − 2 + 4 2
因此，小长方形的面积为 − 2 − 2 + 4 2 .
课堂练习
1. 计算：
1 +2 ⋅ +1 ;
(2)( − 2) ⋅ (3 + 1).
解： 1 + 2 ⋅ + 1
的大小关系是( A
)
A. P ＞ Q
B. P ＜ Q
C. P ＝ Q
D. 由 x 的取值而定
11. [2024广州天河区月考]有足够多张如图所示的A类、B类正方形卡片和C类长
方形卡片，若要拼出一个长为(3 a ＋2 b )、宽为( a ＋ b )的大长方形，则需
要C类长方形卡片的张数为(
A. 3
B. 4
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第五讲：整式的乘法
1．理解并掌握单项式与单项式相乘法则，能够熟练地进行单项式的乘法计算；
2．理解掌握单项式与多项式相乘法则及推导， 熟练进行单项式与多项式相乘的计算；
3．理解掌握多项式与多项式相乘法则及推导，熟练进行多项式与多项式的相乘的计算．
一、思考：
利用乘法的交换律和结合律计算：2223x y xy
运算步骤：
(1)系数相乘为积的系数；
(2)同底数幂相乘，作为积的因式；
单项式与单项式相乘的法则：
单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘的积作为积的因式，
其余字母连同它的指数不变，也作为积的因式。
(3)只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数也作为积的一个因式；
练习：
1． 计算以下各题：
(1)223(4)(3)ax a x -⋅- (2)322(2)(5)x x y -⋅
(3)23223(2)5()5x y xy x y -⋅⋅- (4)2232354()()53
xy xy xy x y ⋅+-⋅
练习：
1．计算下列各题：(1)222(32)ab a b ab ⋅- (2) 21
2()(12)43
x x y xy -⋅-
练习：
1．计算下列各题：
(1)(3)(23)x y x y -+； (2)22()()a b a ab b -++
注意：多项式与多项式相乘的结果中，如果有同类项，要合并同类项。
多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
例1. 计算下列各题：
(1)2352(4)2(5)x y xy x y -⋅ (2) 2332432521()(3)()32x y xy x y y -⋅--⋅
试一试：计算下列各题： (1)233221
(2)(3)72a b a b abc ⋅-⋅
(2) 42232134()345xy ax a x y -⋅⋅-
例2. 计算下列各题：
22221
3
(1)5(4)()22xy x y xy x xy y ⋅+-+-
2323(2)(2)(231)3(2)x x x x x x -+---
试一试：计算下列各题：
22211(1)(4)()323
ab ab ab b -⋅-⋅ 221(2)()()2a ab b a ab -+⋅⋅-
例3. 计算下列各题：
(1)(32)(45)m n n m --
(2)(23)(23)a b c a b c -++-
试一试：计算下列各题：
22(1)(23)(25)x y x xy y --+
22(2)(1)(1)a a a a ++-+
例4. 解方程：(1)(2)(23)(2)3(3)x x x x x x -+---=-．
试一试：先化简，再求值：22(3)(2)1x x x x x -+-+，其中3x =
1．计算：23322()(3)__________3
x y xy -⋅= ． 2．计算：()3
2322()2___________a ab b ⋅-⋅-= ． 3．计算：221(631)3
m n m mn --=____________________．
4．计算：2(4)(243)a a a -⋅+- = ．
5．计算：()()235___________.x x -+=
6．已知5,4=+=y x xy ，则)1)(1(++y x = ．
7．解方程：12)12()2(322+=+--+x x x x x x
8．先化简，再求值：(31)(23)(65)(4)x x x x +----，其中2x =-。
本节课主要知识点：整式的乘法运算，注意运算结果能合并的要合并
【巩固练习】
1．计算：321(36)3
x x x - = ． 2．计算：()3
432122m n m n ⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭=_________________ 3．计算：_____________)3)(3()2)(1(=+---+x x x x
4．计算下列各题，并观察乘式与结果的特征： (1)(2)(2)________________y y +-=
(2)(3)(3)_________________a a -+=
(3)(2)(2)___________________a b a b +-=
5．计算下列各题，并观察乘式与结果的特征：
2(1)()()()__________________a b a b a b +=++=
2(2)(23)(23)(23)__________________a b a b a b +=++=
2(3)()()()__________________x y x y x y -=--=
2(4)(23)(23)(23)__________________x y x y x y -=--=
【预习思考】
1. 计算下列各题，并观察乘式与结果的特征： (1)(2)(2)________________y y +-=
(2)(3)(3)_________________a a -+=
(3)(2)(2)___________________a b a b +-=
(4)()()___________________a b a b +-=
2. 算下列各题，并观察乘式与结果的特征：
2(1)()()()__________________a b a b a b +=++=
2(2)(23)(23)(23)__________________a b a b a b +=++=
2(3)()()()__________________x y x y x y -=--=
2(4)(23)(23)(23)__________________x y x y x y -=--=。