两角和与差的正切公式及应用5-21
人教A版高中数学必修一 《三角恒等变换》三角函数(第3课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式)
当堂达标 固双基
31
1．思考辨析 (1)存在 α，β∈R，使 tan(α＋β)＝tan α＋tan β 成立．( ) (2)对任意 α，β∈R，tan(α＋β)＝1t－antαan＋αttaannββ都成立．( ) (3)tan(α＋β)＝1t－antαan＋αttaannββ等价于 tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)．( )
3.熟悉两角和与差的正切公式的常 素养.
见变形，并能灵活应用．(难点)
2
自主预习 探新知
3
两角和与差的正切公式
名称 简记符号
公式
使用条件
两角和 的正切 T(α＋β)
tan(α＋β)＝1t_－a_n_t_αa_n＋_α_t_taa_nn_β_β α，β，α＋β≠kπ＋π2(k∈Z) 且 tan α·tan β≠1
两角差 T(α－β)
的正切
tan(α－β)＝1t_＋a_n_t_αa_n－_α_t_taa_nn_β_β α，β，α－β≠kπ＋π2(k∈Z) 且 tan α·tan β≠－1
4
1．已知 tan α＋tan β＝2，tan(α
C [∵tan(α＋β)＝1t－antαan＋αttaannββ
＋β)＝4，则 tan αtan β 等于( ) ＝4，且 tan α＋tan β＝2，
A．2
B．1
∴1－tan2αtan β＝4，解得 tan αtan
C.12
D．4
β＝12.]
5
2．求值：tan1112π＝________.
－2＋ 3Biblioteka [tan11π 12
＝－tan
π 12
＝
－tanπ4－π6
两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式 课件
探
究
返 首 页
17
课
前 自 主
5．若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝
.
回 顾
课
1 7
[tan β＝tan[(α＋β)－α]＝1t＋antaαn＋αβ＋－βttaannαα＝1＋12－12×31 31＝17.]
课 后 限 时 集 训
堂
考
点
探
究
返 首 页
18
课
前
自
主回顾 第1课时Fra bibliotek时 集 训
堂
考 点 探 究
cos 2α＝ccooss22αα－＋ssiinn22αα＝11－ ＋ttaann22αα.
返 首 页
7
课 前
2．降幂公式
自
主 回 顾
sin2α＝1－c2os 2α；
课 后
限
课
cos2α＝1＋c2os 2α；
时 集 训
堂
考 点 探
sin αcos α＝12sin 2α.
究
用．
返
首
页
34
公式的变形用
课
1
前 自
sin235°－2
主
(1)化简cos 10°cos 80°＝
.
回
课
顾
(2)化简sin2α－π6＋sin2α＋π6－sin2α的结果是
．
后 限 时
课 堂 考 点
(1)－1
(2)12
[(1)cossin1203°5c°o－s 8120°＝1c－osc1o20s°s7i0n°－1012°＝－112cos
课
前
二、教材改编
自
主 回 顾
1．已知cos α＝－35，α是第三象限角，则cosπ4＋α为(
一轮复习课件 第3章 第5节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
考情分析
1.会用向量的数量积推导出 两角差的余弦公式．
1.从考查内容看，利用两角和 与差的正弦、余弦、正切公式
2.能利用两角差的余弦公式 进行三角函数式的化简、求值
导出两角差的正弦、正切公 式．
是高考的重点，公式的逆用、
3.能利用两角差的余弦公式 导出两角和的正弦、余弦、
变形应用是高考的热点． 2.从考查题型看，三种题型都 可能出现，常将公式变形与三
辅助角公式中，当 φ 为特殊角，即|ab|的值为 1 或
3或
3 3
时要熟练掌握，对 φ 是非特殊角的情况，只要求会求最值即
可．
【活学活用】 2．已知函数 f(x)＝ 3sin 2x－2sin2x. (1)求函数 f(x)的最大值； (2)求函数 f(x)的零点的集合． 解：(1)f(x)＝ 3sin 2x－(1－cos 2x)＝2sin2x＋π6－1， 所以，当 2x＋π6＝2kπ＋π2，k∈Z，
三角函数式化简要遵循的“三看”原则 (1) 一 看 “ 角 ” ． 这 是 最 重 要 的 一 点 ， 通 过 角 之 间 的 关 系，把角进行合理拆分与拼凑，从而正确使用公式． (2)二看“函数名称”．看函数名称之间的差异，从而确 定使用的公式． (3)三看“结构特征”．分析结构特征，可以帮助我们找 到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等．
答案：7102
5．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则tan 2α＝______.
解析：∵2α＝(α＋β)＋(α－β)， ∴tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)] ＝1t－antaαn＋αβ＋＋βttaannαα－－ββ＝1－3＋3×5 5＝－814＝－47. 答案：－47
【考向探寻】 利用公式化简三角函数式．
高考数学复习考点知识讲解课件20 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式
2 cos(45°－ 15°) ＝
2×
3 2
＝
6 2.
(3)原式＝coss1in01°－0°co3ss1i0n°10°＝212cossin1100°－°co2s31s0i°n10°
＝4sin30°c2ossin1100°－°cocso1s03°0°sin10°
＝4sins3in02°－0°10°＝4.
— 返回 —
运用和、差、倍角公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的逆用及变形应用， 如 tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)和二倍角的余弦公式的多种变形等．
— 20 —
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角度 2：辅助角公式的运用 【例 2】 化简：(1)sin1π2－ 3cos1π2； (2)cos15°＋sin15°； (3)sin110°－sin830°； (4)3 15sinx＋3 5cosx.
— 18 —
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[解析]
(1)a ＝
3 2
cos29°－
1 2
sin29°＝
sin(60°－
29°)
＝
sin31°，
b
＝
1－c2os66°＝
2sin16° 2sin2233°＝ sin33°， c ＝ 1＋2tatann1261°6°＝ 1＋cocssoi1ns62211°66°°＝ 2sin16°cos16°＝ sin32°， 显 然
— 7—
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2．已知 cosα＝－45，α∈π，32π，则 sinα＋π4等于( C )
A．－
2 10
B．
2 10
22第四章 三角函数、解三角形 简单的三角恒等变换 第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
(2)设 α 为锐角，若 cosα＋π6＝54，则 sin2α＋π3的值为
12 A.25
√24
B.25
C.－2245
解析 因为 α 为锐角，且 cosα＋π6＝54，
D.－1225
所以 sinα＋π6＝ 1－cos2α＋π6＝35，
所以 sin2α＋π3＝sin 2α＋π6 ＝2sinα＋6πcosα＋π6＝2×53×54＝2245，故选 B.
tan α＋tan β
tan(α＋β)＝ 1－tan
αtan
(T(α＋β)) β
2.二倍角公式
sin 2α＝ 2sin αcos α ； cos 2α＝ cos2α－sin2α ＝ 2cos2α－＝1
2tan α tan 2α＝ 1－tan2α .
1－2sin2α ；
【概念方法微思考】 1.诱导公式与两角和差的三角函数公式有何关系？ 提示 诱导公式可以看成和差公式中 β＝k·π2(k∈Z)时的特殊情形. 2.怎样研究形如f(x)＝asin x＋bcos x函数的性质？ 提示 先根据辅助角公式 asin x＋bcos x＝ a2＋b2·sin(x＋φ)，将 f(x)化成 f(x)
解析
cos2α2
＝ 121＋cos α ＝ 1＋cos α ＝4sin α.
1234567
2
PART TWO
题型分类 深度剖析
第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
自主演练
题型一 和差公式的直接应用
1.(2018·石家庄质检)若 sin(π－α)＝13，且π2≤α≤π，则 sin 2α 的值为
A.－
2 10
B.
2 10
√C.－7102
D.7102
2020版高考数学复习第四章三角函数解三角形第3节两角和与差的正弦余弦和正切公式课件理新人教A版
2 2 2 2
sin(α＋φ)其中tan
b φ＝a
· cos(α－φ)其中tan
a φ＝b.
[微点提醒] 1.tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β).
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
2sin αcos α sin 2α＝_____________. 1－2sin2α cos2α－sin2α ＝_____________ 2cos2α－1 ＝_____________. cos 2α＝_____________
2tan α 2 1 － tan α tan 2α＝________________ .
多维探究
cos 10° － 3cos（－100° ） 【例 2－1】 (1)计算： ＝________. 1－sin 10°
解析
cos 10° － 3cos（－100° ） cos 10° ＋ 3cos 80° cos 10° ＋ 3sin 10° ＝ ＝ ＝ 2· sin 40° 1－sin 10° 1－cos 80°
1 A. 2 3 B. 2 1 C.－ 2 3 D.－ 2
)
解析 由三角函数定义，sin α＝cos 47°，cos α＝sin 47°， 则sin(α－13°)＝sin αcos 13°－cos αsin 13°
＝cos 47°cos 13°－sin 47°sin 13° 1 ＝cos(47° ＋13° )＝cos 60° ＝ . 2 答案 A
解析 (1)cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝cos[(α＋β)－β]＝cos α.
两角和与差的正、余弦公式、正切公式、二倍角公式
1.已知tan 2α=，则tan 2α的值为 ． 【答案】43-【分析】222tan 224tan 21tan 123ααα⨯===---. 2．已知P （－3，4）为角α终边上的一点，则cos （π+α）= ．【考点】任意角的三角函数的定义．【答案】35【分析】∵P （－3，4）为角α终边上的一点，∴x =－3，y =4，r =|OP |=5，∴cos （π+α）=－cos α=x r -=35--=35，故答案为35． 3．已知cos(α－β)=35，sin β=513-且α∈（0，π2），β∈（π2-，0），则sin α= ．【考点】两角和与差的余弦函数；同角三角函数间的基本关系．【答案】3365【分析】∵α∈（0，π2），β∈（π2-，0），∴α－β∈（0，π）， 又cos （α－β）=35，sin β=513-，∴sin （α－β）=21cos ()αβ--=45，cos β=21sin β-=1213，则sin α=sin[（α－β）+β]= sin （α－β）cos β+cos （α－β）sin β=45×1213+35×（513-）=3365．故答案为3365. 4.若0≤x ≤π2，则函数y =cos （x -π2）sin （x +π6）的最大值是 ．【考点】两角和与差的正余弦公式的应用．【答案】234+ 【分析】y =sin x （sin x 32⋅+12cos x ）=322sin x +12sin x cos x =()31cos 24x -+14sin2x =12sin （2x -π3）+34， ∵0≤x ≤π2，∴-π3≤2x -π3≤2π3，∴max y =12+34=234+. 5.已知过点（0，1）的直线l ：x tan α－y －3tan β=0的一个法向量为（2，－1），则tan （α+β）=________．【考点】平面的法向量． 【答案】1【分析】∵过点（0，1）的直线l ：x tan α－y －3tan β=0的一个法向量为（2，－1），∴－1－3tan β=0，12-tan α=－1．∴1tan 3β=-，tan α=2． ∴tan （α+β）=12tan tan 3111tan tan 123αβαβ-+==-+⨯，故答案为1． 6.在ABC △中，已知BC =8，AC =5，三角形面积为12，则cos2C = ．【考点】三角形面积公式，二倍角公式的应用． 【答案】725【分析】∵已知BC =8，AC =5，三角形面积为12， ∴12⋅BC ⋅AC sin C =12,∴sin C =35,∴cos2C =122sin C -=1-2×925=725. 7.某种波的传播是由曲线()()()sin 0f x A x A ωϕ=+>来实现的，我们把函数解析式()()sin f x A x ωϕ=+称为“波”，把振幅都是A 的波称为“A 类波”，把两个解析式相加称为波的叠加．（1）已知“1 类波”中的两个波()()11sin f x x ϕ=+与()()22sin f x x ϕ=+叠加后仍是“1类波”，求21ϕϕ-的值；（2）在“A 类波“中有一个是()1sin f x A x =，从 A 类波中再找出两个不同的波()()23,f x f x ，使得这三个不同的波叠加之后是平波，即叠加后()()()1230f x f x f x ++=，并说明理由．（3）在()2n n n ∈N,≥个“A 类波”的情况下对（2）进行推广，使得（2）是推广后命题的一个特例．只需写出推广的结论，而不需证明． 【考点】两角和与差的正弦函数；归纳推理．【解】（1）()()()()1212sin sin f x f x x x ϕϕ+=+++ =1212(cos cos )sin (sin sin )cos x x ϕϕϕϕ+++，振幅是221212(cos cos )(sin sin )ϕϕϕϕ+++=()1222cos ϕϕ+-，则()1222cos ϕϕ+-=1，即()121cos 2ϕϕ-=-，所以122π2π,3k k ϕϕ-=±∈Z ． （2）设()()21sin f x A x ϕ=+，()()32sin f x A x ϕ=+， 则()()()()()12312sin sin sin f x f x f x A x A x A x ϕϕ++=++++=()()1212sin 1cos cos cos sin sin 0A x A x ϕϕϕϕ++++=恒成立， 则121cos cos 0ϕϕ++=且12sin sin 0ϕϕ+=， 即有：21cos cos 1ϕϕ=--且21sin sin ϕϕ=-，消去2ϕ可解得11cos 2ϕ=-， 若取12π3ϕ=，可取24π3ϕ=（或22π3ϕ=-等），此时，()22πsin 3f x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()34πsin 3f x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（或()32πsin 3f x A x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭等）， 则()()()1231313sin sin cos sin cos 02222f x f x f x A x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=+-++--=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以是平波．（3）()1sin f x A x =，()22πsin f x A x n ⎛⎫=+⎪⎝⎭，()34πsin f x A x n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，…， ()()21πsin n n f x A x n -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，这n 个波叠加后是平波．8. (4分)已知sin α=3cos α，则cos 21sin 2αα=+ ________．【参考答案】 12-【测量目标】 运算能力/能根据法则准确的进行运算和变形. 【考点】二倍角的余弦；二倍角的正弦.【试题分析】 由已知先求tan α，因为sin α=3cos α，所以tan α=3，把所求的式子中的三角函数利用二倍角公式进行化简，然后化为正切形式，即可求值:222222cos 2cos sin 1tan 1911sin 2cos 2sin cos +sin 12tan tan 1692ααααααααααα---====-++++++.9.若tan （α－π4）=14，则tan α=______． 【参考答案】 53【测量目标】 数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识. 【考点】 两角和与差的正切函数.【试题分析】 ∵tan （α－π4）=14， ∴πtan tan4π1tan tan4αα-+=tan 11tan αα-+=14，解得tan α=53．故答案为53． 10.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3cos 4B =. (1)求2sin 2cos2A CB ++的值； (2)若3b =，求ABC △面积的最大值. 【考点】余弦定理，二倍角的正弦、余弦. 【解】(1)因为3cos 4B =,所以7sin 4B =, 又22π1sin 2cos2sin cos cos 2sin cos (1cos )222A CB B B B B B B +-+=+=+- =73113724488+⨯⨯+=. (2)由已知可得：2223cos 24a cb B ac +-==, 又因为3b =，所以22332a c ac +-=, 又因为223322a c ac ac +=+≥， 所以6ac ≤，当且仅当6a c ==时，ac 取得最大值.此时11737sin 62244ABC S ac B ==⨯⨯=△. 所以△ABC 的面积的最大值为374. 11.已知1sin 4θ=，则sin 2()4θπ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦__________. 【答案】78-【分析】27sin 2()cos 212sin 48θθθπ⎡⎤-=-=-+=-⎢⎥⎣⎦.12. 已知α为第二象限的角，sin α=35，则tan2α=_______________. 【答案】247-【分析】因为α为第二象限的角，又sin α=35，所以cos α=45-，tan α=sin cos αα=34-，tan2α=22tan 1tan αα-=247-.【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式. 13.若△ABC 的内角A 满足sin2A =23，则sin A +cos A 等于（ ） A.153 B.153- C.53 D.53-【答案】A 【分析】∵0＜A ＜π，0＜2A ＜2π，又sin2A =23，即2sin A cos A =23，∴0＜A ＜π2, 2(sin cos )A A +=53，sin A +cos A =153，故选A. 【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式. 14.已知sin θ+cos θ=15，且π2≤θ≤3π4，则cos2θ的值是___________. 【答案】725-【分析】由已知sin θ+cos θ=15①，2sin θcos θ= 2425-，又π2≤θ≤3π4，∴cos θ＜0，sin θ＞0. 2(cos sin )θθ-=4925，则sin θ－cos θ=75②，由①②知cos2θ=22cossin θθ-=725-. 【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式.15.已知0＜α＜π2，sin α=45.（1）求22sin sin 2cos cos 2αααα++的值；（2）求tan(α－5π4)的值.【解】∵0＜α＜π2，sin α=45，∴cos α=35，tan α=43.（1）22sin sin2cos cos2αααα++=222sin2sin cos2cos sinααααα+-=22tan2tan2tanααα+-=2244()23342()3+⨯-=20；（2）tan(α－5π4)=tan11tanαα-+=413413-+=17.【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式.16.已知x∈(π2-,0)，cos x=45，tan2x=（）A.724B.724- C.247D.247-【答案】D【分析】sin x=35-，tan x=34-，tan2x=22tan1tanxx-=247-，故选D.【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式.17.cos20cos351sin20︒︒-︒=（）A.1B. 2C.2D.3【答案】C【分析】cos20cos351sin20︒︒-︒=22cos10sin10cos35(cos10sin10)︒-︒︒︒-︒=cos10sin10cos35︒+︒︒=2sin55cos35︒︒=2，故选C.【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式.18.设a=sin14°+cos14°，b=sin16°+cos16°，c =62，则a、b、c大小关系是（）A.a＜b＜cB.b＜a＜cC. c＜b＜aD. a＜c＜b【答案】D【分析】由题意知，a =2sin59°，b =2sin61°，c =2sin60°，所以a＜c＜b，故选D.【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式.19.tan20°+tan40°+ 3tan20°tan40°=_____________.【答案】3【分析】tan60°= tan(20°+40°)=tan20+tan401tan20tan40︒︒-︒︒=3，∴3－3tan20°tan40°=tan20°+tan40°，移向即可得结果为3. 【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式. 20.已知sin2θ+cos 2θ=233，那么sin θ =______,cos2θ =___________. 【答案】13，79【分析】2(sin cos )22θθ+=1+ sin θ=43，sin θ=13，cos2θ=1－22sin θ=79. 【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式. 21.若1tan 1tan αα+-=2008，则1cos 2α+tan2α=_______________.【答案】2008【分析】1cos 2α+tan2α=1sin 2cos 2cos 2ααα+=1sin 2cos 2αα+=222(cos +sin )cos sin αααα-= cos +sin cos sin αααα-=1+tan 1tan αα-=2008.【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式. 22.计算：sin65+sin15sin10sin 25cos15cos80︒︒︒︒-︒︒=________.【答案】2+3【分析】sin65+sin15sin10sin 25cos15cos80︒︒︒︒-︒︒=sin80cos15sin15cos10︒︒︒︒=cos15sin15︒︒=2+3．【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式.23．求值：(1)sin6°sin42°sin66°sin78°;(2)22sin 20cos 50︒+︒+sin20°cos50°.【解】原式＝sin6°cos12°cos24°cos48°=sin 6cos 6cos12cos 24cos 48cos 6︒︒︒︒︒︒=1sin12cos12cos 24cos 482cos6︒︒︒︒︒=1sin 24cos 24cos 484cos6︒︒︒︒=1sin 48cos 488cos6︒︒︒=1sin 9616cos6︒︒=1cos616cos6︒︒=116; (2)原式＝1cos 401cos1001(sin 70sin 30)222-︒+︒++︒-︒ ＝1+111(cos100cos 40)sin 70224︒-︒+︒-=31sin 70sin 30sin 7042-︒⋅︒+︒=34.【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式. 24.已知tan α、tan β是方程2x -5x +6=0的两个实根，求22sin ()αβ+-3sin ()αβ+cos ()αβ++2cos ()αβ+的值． 【解】由韦达定理得tan α+tan β=5，tan α·tan β=6，所以tan(α+β)=tan tan 1tan tan αβαβ+-⋅=－1.原式=[22sin ()αβ+－3sin(α+β)cos(α+β)+2cos ()αβ+]/[22sin ()cos ()αβαβ+++]=222tan ()3tan()1tan ()1αβαβαβ+-++++=213(1)111⨯-⨯-++=3.【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式.。
中职数学 第五章 三角计算及其应用
第二节 二倍角的正弦、余弦和正切公式
【例3】
第二节 二倍角的正弦、余弦和正切公式
课堂练习
第三节 三角函数的积化和差和差化积
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ sinαcosβ= ［sin(α+β)+sin(α-β)］.
第一节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
【例10】
第一节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
想一想
例10求tan285° 的值还有其 他算法吗？
第一节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
【例11】
第一节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
【例12】
第一节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
课堂练习
第三节 三角函数的积化和差和差化积
【例2】
第三节 三角函数的积化和差和差化积
第三节 三角函数的积化和差和差化积
第三节 三角函数的积化和差和差化积
课堂练习
1. 1）2sin64°cos10°;
2. 1）sin54°+sin22°;
(2)2sin84°cos132°. (2)sin5α-sin3α.
y=Asin(ωx+φ)=Asinz.
第四节 正弦型曲线
第四节 正弦型曲线
【例1】
第四节 正弦型曲线
【例2】
第四节 正弦型曲线
第四节 正弦型曲线
第四节 正弦型曲线
图 5-2
第四节 正弦型曲线
第四节 正弦型曲线
【例3】
第四节 正弦型曲线
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活学活用
4 1 （1）已知 cos , 0, , tan( ) , 5 2 求 tan 及 tan(2 )的值。
4 12 （2）已知 sin( ) , 0, , cos( ) , 2 5 2 13
（2） tan75
tan 42 tan18 (3) ; 1 tan 42 tan18 tan 30 tan 75 (4) . 1 tan 30 tan 75
（ 1） -2- 3； （2）2+ 3； (3) 3; (4) 1. (5) 1.
巩固练习 化简： (1)tan(α+β)(1-tanαtanβ)
两角和与差的正切公式
课 前 小 测
3 1.已知 sin ， 是第四象限角, 求 sin( ), 5 4 cos( ), tan( )的值。 4 4
5 3 2.sin ， , 求 cos 6 6 5 3
答案:
tan(α-β)+tanβ (2) 1-tan(α-β)tanβ (1)tanα+ tanβ
(2)tanα
tan tan tan 1 tan tan tan tan tan 1 tan tan
典例剖析
1 2 例题2、（ 1）已知 tan , tan( ) , 求 tan （2 ） . 2 5
4 4 （2）已知 tan( ) , tan( ) , 求 tan 2 . 5 5
2 π 1 π （3）已知 tan( ) , tan( ) , 求 tan( ). 5 4 4 4
）
3.tan10°tan20°+tan10°tan60°+tan20°tan60
4、已知tanα=3，tanβ=2，α、β∈（0， ）， 2 3
。
1 2、已知tan（α+β）= ，tanα=-2，则 tanβ＝ 。 3
求证：α+β= 4
思维拓展
tan 20 tan 40 tan120 6、求值： tan 20 tan 40
b tan tan tan tan a 代入即可 分析 : tan( ) 而 . c 1 tan tan tan tan a
2、已知tanα、tanβ是方程3x２+5x-1=0的两根， 则tan（α+β）= 。
5 4
活学活用
1.已知、 满足
4
，求(1 tan )(1 tan )的值.
2、已知 tan 和tan( )是方程x 2 px q 0的两 4 个根，问p、q满足的关系式？
课堂检测： 1、化简
1 tan 750 1 tan 750
=（
3 3
5 10 （2）已知， 均为锐角， sin , cos , 5 10 求 -的值。
4
变式： (1)已知向量a (cos ,sin ), b (cos ,sin ), 2 5 a b , 求 cos( ). 5
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5
基础训练题
（） 1 tan105
典例剖析
1 tan15 例1.求 的值. 1 tan15
1 tan105 的值呢？ 1 tan105
分析, 1 tan 45 , 1 tan15 tan 45 tan15 3 1 tan15 1 tan 45 tan15
1 tan （2）已知 , 化简 4 1 tan
0 0 0 0 3. （1） sin 72 cos 42 cos 72 sin 42
（2） cos 20 cos 70 sin 20 sin 70
0 0 0
2015-5-21 两角和与差的正弦余弦正切公式
0
2
应用
3 1 sin x sin x ① cos x 2 2 6
2 1.是否存在锐角，，使得 +2 = 且tan tan 3 2 说明理由。 .
活学活用
=2- 3同时成立？若存在，求出 , 的值；若不存在，
能力训练题
例4.已知一元二次方程ax2 bx c 0(a 0且a c) 的根是 tan , tan , 求 tan( )的值.
2
及
2
分别为为第二、第三象限角，求 tan
+
2
的值。
典例剖析
1 1 例3：（1）求tan( - )= ,tan =- ,且 , (0, ) 2 7 求2 -的值.
10 1 （2）求sin = ,tan = ,且 , (0, ) 10 7 2 求 +2的值.
∴tan17+tan28=tan(17+28)(1tan17 tan28) =1 tan17tan28 ∴原式=1 tan17tan28+ tan17tan28=1
tan20+tan40+ 3 tan20tan40呢？ 你发现了 什么规律？ tan23+tan37+ 3 tan23tan37呢？
活学活用
1 tan15 （1）计算 3 tan 60 tan15
1- 3tan75 (2) 呢？ o 3 + tan75
o
tan17+tan28+tan17tan28 例2：求值：
解： ∵
tan 17 tan 28 tan( 17 28 ) 1 tan17 tan 28
cos x 3
3 1 ② cos x 3 sin x 2( cos x sin x) 2 2 2sin x 6 ③ 2 cos x 6 sin x 2 2 sin x 6
例1：
3 3 (1)已知 , 0 , cos( ) , 4 4 4 4 5 5 sin( ) 4 13 求（1）sin( + )的值；（2） cos( - )的值。