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2013年普通高等学校统一考试试题 A 卷2013年湖北省理科数学高考试题WORD 解析版一、选择题 1、在复平面内，复数21iz i=+（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【解析与答案】211iz i i==++，1z i ∴=-。

故选D【相关知识点】复数的运算2、已知全集为R ，集合112xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}2|680B x x x =-+≤，则R A C B = （ ）A.{}|0x x ≤B.C. {}|024x x x ≤<>或D.{}|024x x x <≤≥或【解析与答案】[)0,A =+∞，[]2,4B =，[)()0,24,R A C B ∴=+∞ 。

故选C【相关知识点】不等式的求解，集合的运算3、在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ） A.()()p q ⌝∨⌝ B. ()p q ∨⌝ C. ()()p q ⌝∧⌝ D.p q ∨ 【解析与答案】“至少有一位学员没有降落在指定范围” 即：“甲或乙没有降落在指定范围内”。

故选A 。

【相关知识点】命题及逻辑连接词4、将函数()sin y x x x R =+∈的图像向左平移()0m m >个长度单位后，所得到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ） A.12πB.6πC.3πD.56π【解析与答案】2cos 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像向左平移()0m m >个长度单位后变成2cos 6y x m π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以m 的最小值是6π。

故选B 。

【相关知识点】三角函数图象及其变换5、已知04πθ<<，则双曲线22122:1cos sin x y C θθ-=与222222:1sin sin tan y x C θθθ-=的（ ）A.实轴长相等B.虚轴长相等C.焦距相等D. 离心率相等 【解析与答案】双曲线1C 的离心率是11cos e θ=，双曲线2C 的离心率是21cos e θ==，故选D 【相关知识点】双曲线的离心率，三角恒等变形6、已知点()1,1A -、()1,2B 、()2,1C --、()3,4D ，则向量AB 在CD方向上的投影为（ ）A.C. D.【解析与答案】()2,1AB = ，()5,5CD = ，AB CD CD∴==A 。

【相关知识点】向量的坐标运算，向量的投影7、一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度()25731v t t t=-++（t 的单位：s ，v 的单位：/m s ）行驶至停止。

在此期间汽车继续行驶的距离（单位;m ）是（ ）A. 125ln 5+B. 11825ln3+ C. 425ln 5+ D. 450ln 2+ 【解析与答案】令 ()257301v t t t=-+=+，则4t =。

汽车刹车的距离是402573425ln 51t dt t ⎛⎫-+=+ ⎪+⎝⎭⎰，故选C 。

【相关知识点】定积分在实际问题中的应用8、一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为1V ，2V ，3V ，4V ，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（ ）A. 1243V V V V <<<B. 1324V V V V <<<C. 2134V V V V <<<D. 2314V V V V <<<【解析与答案】C 由柱体和台体的体积公式可知选C 【相关知识点】三视图，简单几何体体积9、如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割成125个同样大小的小正方体。

经过搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的涂油漆面数为X ，则X 的均值为()E X = A.126125 B. 65 C. 168125 D. 75第9题图【解析与答案】三面涂有油漆的有8块，两面涂有油漆的有36块，一面涂有油漆的有54块，没有涂有油漆的有27块，所以()8365463211251251255E X =⨯+⨯+⨯=。

故选B 。

【相关知识点】古典概型，数学期望10、已知a 为常数，函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点1212,()x x x x <，则（ ）A.121()0,()2f x f x >>- B. 121()0,()2f x f x <<- C.121()0,()2f x f x ><-D. 121()0,()2f x f x <>-【解析与答案】令()12ln 0f x ax x '=-+=得021a <<，ln 21(1,2)i i x ax i =-=。

又102f a ⎛⎫'>⎪⎝⎭，121012x x a ∴<<<<。

()222111111111()ln 210f x x x ax x ax ax ax x ∴=-=--=-<，()222222211()11122f x ax x x ax ax a a =-=->->⨯-=- 故选D 。

【相关知识点】函数导数与极值，函数的性质 二、填空题 （一）必考题11、从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，频率分布直方图所示。

（I ）直方图中x 的值为 ；（II ）在这些用户中，用电量落在区间[)100,250内的户数为 。

第11题图【解析与答案】()0.0060.00360.002420.0012501x ++⨯++⨯=，0.0044x =()0.00360.0060.00445010070++⨯⨯=【相关知识点】频率分布直方图12、阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i = 。

【相关知识点】程序框图13、设,,x y z R ∈，且满足：2221x y z ++=，23x y z++=，则x y z ++=。

【解析与答案】由柯西不等式知()()()222222212323xy z x y z ++++≥++，结合已知条件得123x y z==，从而解得123x y z ===x y z ++=。

【相关知识点】柯西不等式及其等号成立的条件）14、古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数。

如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为()2111222n n n n +=+。

记第n 个k 边形数为(),N n k ()3k ≥，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式： 三角形数 ()211,322N n n n =+ 正方形数 ()2,4N n n = 五边形数 ()231,522N n n n =- 六边形数 ()2,62N n n n =- ……可以推测(),N n k 的表达式，由此计算()10,24N = 。

【解析与答案】观察2n 和n 前面的系数，可知一个成递增的等差数列另一个成递减的等差数列，故()2,241110N n n n =-，()10,241000N ∴=【相关知识点】归纳推理，等差数列 （二）选考题15、如图，圆O 上一点C 在直线AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E 。

若3AB AD =，则CEEO的值为 。

【解析与答案】由射影定理知()()2222812AD AB AD CE CD AD BDEO OD OA AD AB AD -====-⎛⎫- ⎪⎝⎭【相关知识点】射影定理，圆幂定理16、在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩()0a b ϕ>>为参数，。

在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，直线l 与圆O的极坐标方程分别为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()m 为非零常数与b ρ=。

若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为 。

【解析与答案】直线l 的方程是x y m +=，作出图形借助直线的斜率可得c =，所以()2222c a c =-，e =【相关知识点】极坐标与直角坐标的转化，椭圆的几何性质，直线与圆 三、解答题17、在ABC ∆中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c 。

已知()cos23cos 1A B C -+=。

（I ）求角A 的大小；（II ）若ABC ∆的面积S =，5b =，求sin sin B C 的值。

OD E BA第15题图C【解析与答案】（I ）由已知条件得：cos23cos 1A A +=22cos 3cos 20A A ∴+-=，解得1cos 2A =，角60A =︒ （II）1sin 2S bc A ==4c ⇒=，由余弦定理得：221a =，()222228sin a R A == 25sin sin 47bc B C R ∴==【相关知识点】二倍角公式，解三角函数方程，三角形面积，正余弦定理 18、已知等比数列{}n a 满足：2310a a -=，123125a a a =。

（I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）是否存在正整数m ，使得121111ma a a +++≥ ？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由。

【解析与答案】（I ）由已知条件得：25a =，又2110a q -=，13q ∴=-或， 所以数列{}n a 的通项或253n n a -=⨯（II ）若1q =-，12111105m a a a +++=- 或，不存在这样的正整数m ； 若3q =，12111919110310mm a a a ⎡⎤⎛⎫+++=-<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，不存在这样的正整数m 。

【相关知识点】等比数列性质及其求和19、如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，E ，F 分别是PA ，PC 的中点。

（I ）记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面PAC 的位置关系，并加以证明；（II ）设（I ）中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ，且点Q 满足12DQ CP =。

记直线PQ与平面ABC 所成的角为θ，异面直线PQ 与EF 所成的角为α，二面角E l C --的大小为β，求证：sin sin sin θαβ=。

【解析与答案】（I ）EF AC ，AC ABC ⊆平面，EF ABC ⊆平面EF ABC ∴ 平面又EF BEF ⊆平面EF l ∴ l PAC ∴ 平面（II ）连接DF ，用几何方法很快就可以得到求证。