matlab求解线性方程组
MATLAB计算方法3解线性方程组计算解法
直到(n-1) 原方程组化为
a11 x1 a12 x2 a1n xn a1,n1 a22 x2 a2 n xn a2 ,n1
ann xn an ,n1
(上三角方程组) （3.2) 以上为消元过程。
(n) 回代求解公式
a n ,n1 xn a nn n x k 1 [a k ,n1 a kj x j ] a kk j k 1 ( k n 1, n 2,...,1)
由矩阵乘法 (1) 1) l11 a11 l11
umj 1 ukj a kj ukj a kj l km umj
m 1
k 1
2 求L的第k列：用L的第i行 u的第k列
(i k 1, , n)，即 ( l i 1 , , l ik , l kk , 0 0) ( u1k , u2 k , , ukk , 0 0)' a ik
( 2) 1)求u的第2行：用L的第2行 u的第j列 （j 2, , n) l 21 u1 j 1 u2 j a 2 j u2 j a 2 j l 21u1 j 2)求L的第2列：用L的第i行 u的第2列 （i 3,4, , n) l i 1 u12 l i 2 u22 a i 2 l i 2 (a i 2 l i 1 u12 ) / u22
m 1
l
k 1
im
umk l ik ukk a ik
k 1
l ik a ik l im umk ukk m 1
LU分解式： u1 j a1 j ( j 1,2, n) l i 1 a i 1 u11 ( i 2,3, , n) k 1 ukj a kj l km umj a kj m 1 ( j k , k 1, , n) k 1 l ik a ik l im umk ukk a ik m 1 ( i k 1, , n) ( k 2, 3, , n )
matlab高斯赛德尔迭代法
标题：深入探讨MATLAB中的高斯-赛德尔迭代法一、概述MATLAB是一种强大的数学计算软件，被广泛应用于科学、工程和金融等领域。
在数值分析中，迭代法是解决非线性方程组和矩阵方程组的重要方法之一。
高斯-赛德尔迭代法是其中的一种，其在求解线性方程组时具有较好的收敛性和效率。
本文将深入探讨MATLAB中高斯-赛德尔迭代法的原理和实现方法。
二、高斯-赛德尔迭代法原理高斯-赛德尔迭代法是一种求解线性方程组的迭代法。
给定线性方程组Ax=b，其中A为系数矩阵，b为常数向量，迭代法的基本思想是通过不断逼近方程组的解x。
高斯-赛德尔迭代法的迭代公式如下：\[ x^{(k+1)} = D^{-1} (b - (L+U)x^{(k)}) \]其中，D、L和U分别为系数矩阵A的对角线、严格下三角部分和严格上三角部分。
迭代法的初始值可以任意选择，通常选取一个与解接近的初值，然后通过迭代逼近真实解。
三、MATLAB中高斯-赛德尔迭代法的实现MATLAB提供了丰富的数值计算函数和工具箱，使得高斯-赛德尔迭代法的实现变得非常简单。
下面我们将介绍如何在MATLAB中使用高斯-赛德尔迭代法求解线性方程组。
1. 设置参数在使用高斯-赛德尔迭代法之前，我们首先需要设置一些参数，如系数矩阵A、常数向量b、迭代步数等。
在MATLAB中可以通过定义变量来实现这些参数的设置。
2. 编写迭代函数接下来，我们需要编写高斯-赛德尔迭代法的迭代函数。
通过编写一个MATLAB函数来实现迭代公式的计算和迭代过程的控制。
3. 调用函数求解完成迭代函数的编写后，我们就可以通过调用该函数来求解线性方程组。
在MATLAB中，可以使用循环语句控制迭代步数，并在每一步更新迭代值，直到满足收敛条件为止。
四、案例分析为了更好地理解高斯-赛德尔迭代法在MATLAB中的应用，我们以一个具体的案例来进行分析和实践。
假设我们需要求解以下线性方程组：\[ \begin{cases} 4x_1 - x_2 + x_3 = 8 \\ -x_1 + 4x_2 - x_3 = 9 \\2x_1 - x_2 + 5x_3 = 7 \end{cases} \]我们可以通过MATLAB编写高斯-赛德尔迭代法的函数，并调用该函数来求解以上线性方程组。
MATLAB计算方法3解线性方程组计算解法
MATLAB计算方法3解线性方程组计算解法线性方程组是数学中的一个重要问题，解线性方程组是计算数学中的一个基本计算，有着广泛的应用。
MATLAB是一种功能强大的数学软件，提供了多种解线性方程组的计算方法。
本文将介绍MATLAB中的三种解线性方程组的计算方法。
第一种方法是用MATLAB函数“linsolve”解线性方程组。
该函数使用高斯消元法和LU分解法求解线性方程组，可以处理单个方程组以及多个方程组的情况。
使用该函数的语法如下：X = linsolve(A, B)其中A是系数矩阵，B是常数向量，X是解向量。
该函数会根据A的形式自动选择求解方法，返回解向量X。
下面是一个使用“linsolve”函数解线性方程组的例子：A=[12;34];B=[5;6];X = linsolve(A, B);上述代码中，A是一个2×2的系数矩阵，B是一个2×1的常数向量，X是一个2×1的解向量。
运行代码后，X的值为[-4.0000;4.5000]。
第二种方法是用MATLAB函数“inv”求解逆矩阵来解线性方程组。
当系数矩阵A非奇异（可逆）时，可以使用逆矩阵求解线性方程组。
使用“inv”函数的语法如下：X = inv(A) * B其中A是系数矩阵，B是常数向量，X是解向量。
该方法先计算A的逆矩阵，然后将逆矩阵与B相乘得到解向量X。
下面是一个使用“inv”函数解线性方程组的例子：A=[12;34];B=[5;6];X = inv(A) * B;上述代码中，A是一个2×2的系数矩阵，B是一个2×1的常数向量，X是一个2×1的解向量。
运行代码后，X的值为[-4.0000;4.5000]。
第三种方法是用MATLAB函数“mldivide”（或“\”）求解线性方程组。
该函数使用最小二乘法求解非方阵的线性方程组。
使用“mldivide”函数的语法如下：X=A\B其中A是系数矩阵，B是常数向量，X是解向量。
如何使用Matlab解决数学问题
如何使用Matlab解决数学问题使用Matlab解决数学问题引言:数学作为一门基础学科，广泛应用于各个学科领域。
而Matlab作为一款数学软件，拥有强大的计算能力和丰富的函数库，成为了数学问题解决的得力工具。
本文将介绍如何使用Matlab解决数学问题，并通过实例来展示其强大的功能和灵活性。
一、Matlab的基本使用方法1. 安装和启动Matlab首先，我们需要从官方网站下载并安装Matlab软件。
安装完成后，打开软件即可启动Matlab的工作环境。
2. 变量和运算符在Matlab中，变量可以用来存储数据。
我们可以通过赋值运算符“=”将数值赋给一个变量。
例如，可以使用“a=5”将数值5赋给变量a。
Matlab支持常见的运算符，如加、减、乘、除等，可以通过在命令行输入相应的表达式进行计算。
3. Matirx和向量的操作Matlab中，Matrix和向量（Vector）是常用的数据结构。
我们可以使用方括号将数值组成的矩阵或向量输入Matlab，比如“A=[1 2; 3 4]”可以创建一个2x2的矩阵。
4. 函数和脚本Matlab提供了丰富的内置函数和函数库，可以通过函数来解决各种数学问题。
同时，我们还可以自己编写函数和脚本。
函数用于封装一段可复用的代码，而脚本则是按照特定的顺序执行一系列的命令。
二、解决线性代数问题1. 线性方程组求解Matlab提供了“solve”函数用于求解线性方程组。
例如，我们可以使用“solve([2*x + y = 1, x + 3*y = 1], [x, y])”来求解方程组2x + y = 1和x + 3y = 1的解。
2. 矩阵运算Matlab提供了丰富的矩阵运算函数，如矩阵的加法、乘法、转置等。
通过这些函数，我们可以快速进行矩阵运算，解决线性代数问题。
三、解决数值计算问题1. 数值积分对于某些无法解析求解的积分问题，Matlab可以通过数值积分方法求得近似解。
Matlab提供了“integral”函数用于数值积分，我们只需要给出被积函数和积分区间即可。
matlab 解线性方程组的迭代法
迭代过程本质上就是计算极限的过程，一般不能 得到精确解。
迭代法的优点是程序简单，适合于大型方程组求 解，但缺点是要判断迭代是否收敛和收敛速度问题 。 1. 雅可比(Jacobi(1804-1851))迭代法（简单迭代法） 2. 赛得尔 (Seidel (1821 - 1896))迭代法
2、简单迭代法
while(norm(x-x1)>eps) x1=x; x=(I-A)*x1+b; n = n + 1; if(n>=M) disp('Warning: 迭代次数太多，现
在退出！'); return;
end end
例：求解方程组
clear all; A =[ 1.0170 -0.0092 0.0095;
遗传算法是一种基于自然选择的用于求解有约束和无约束 最优问题的方法。遗传算法反复修改包含若干个体的种群 。遗传算法在每一步中，随机从当前种群中选择若干个个 体作为父辈，并用它们产生下一代子辈。在若干代之后， 种群就朝着最优解“进化”。我们可以利用遗传算法去解决 各种最优化问题，包括目标函数是不连续、不可微、随机 或者高度非线性的问题。
若不满足收敛条件，适当调整方程次序或作一 定的线性组合，就可能满足收敛条件。
5、MATLAB的线性方程组求解函数 2
格式
solve('eqn1','eqn2',...,'eqnN','var1,var2,...,varN')
matlab 方程组 解
matlab 方程组解一、概述Matlab是一种强大的数学计算软件，它可以用来解决各种数学问题，包括解方程组。
在Matlab中，求解方程组是一个非常重要的功能，因为很多实际问题都可以转化为方程组的形式。
本文将详细介绍如何使用Matlab求解线性方程组和非线性方程组。
二、线性方程组1. 线性方程组的定义线性方程组是指各个未知量的次数都不超过1次的代数方程组。
例如：2x + 3y = 54x - 5y = 6就是一个包含两个未知量x和y的线性方程组。
2. Matlab中求解线性方程组方法在Matlab中，可以使用“\”或者“inv()”函数来求解线性方程组。
其中，“\”表示矩阵左除，即Ax=b时，求解x=A\b；“inv()”函数表示矩阵求逆，即Ax=b时，求解x=inv(A)*b。
例如，在Matlab中求解以下线性方程组：2x + 3y = 54x - 5y = 6可以使用以下代码：A=[2,3;4,-5];b=[5;6];x=A\b输出结果为：x =1.00001.0000其中，“A”为系数矩阵，“b”为常数矩阵，“x”为未知量的解。
三、非线性方程组1. 非线性方程组的定义非线性方程组是指各个未知量的次数超过1次或者存在乘积项、幂项等非线性因素的代数方程组。
例如：x^2 + y^2 = 25x*y - 3 = 0就是一个包含两个未知量x和y的非线性方程组。
2. Matlab中求解非线性方程组方法在Matlab中，可以使用“fsolve()”函数来求解非线性方程组。
该函数需要输入一个函数句柄和初始值向量，输出未知量的解向量。
例如，在Matlab中求解以下非线性方程组：x^2 + y^2 = 25x*y - 3 = 0可以使用以下代码：fun=@(x)[x(1)^2+x(2)^2-25;x(1)*x(2)-3];x0=[1;1];[x,fval]=fsolve(fun,x0)输出结果为：Local minimum found.Optimization completed because the size of the gradient is less thanthe default value of the function tolerance.<stopping criteria details>ans =1.60561.8708其中，“fun”为函数句柄，表示要求解的非线性方程组，“x0”为初始值向量，“[x,fval]”为输出结果，其中“x”表示未知量的解向量，“fval”为函数值。
matlab中jacobi迭代法
一、简介Matlab中jacobi迭代法是一种用于求解线性方程组的迭代方法，适用于系数矩阵为对称、正定矩阵的情况。
该迭代方法通过将系数矩阵分解为对角矩阵、上三角矩阵和下三角矩阵的形式，然后通过迭代计算得到方程组的解。
在Matlab中，可以利用矩阵运算和迭代循环来实现jacobi迭代法。
二、 jacobi迭代法原理1. 基本思想jacobi迭代法的基本思想是将系数矩阵分解为对角矩阵D、上三角矩阵U和下三角矩阵L的形式，即A=D+L+U，其中D为系数矩阵A 的对角线元素组成的对角矩阵，L为系数矩阵A的下三角部分，U为系数矩阵A的上三角部分。
令x为方程组的解向量，b为方程组的右端向量，则方程组可表示为Ax=b。
根据方程组的性质，可将方程组表示为(D+L+U)x=b，然后利用迭代的方式逐步逼近方程组的解。
2. 迭代公式假设迭代到第k次，方程组可表示为(D+L+U)x=b，将其转化为迭代形式x(k+1)=(D+L)^(-1)(b-Ux(k))，利用迭代公式可以逐步计算出方程组的解。
3. 收敛条件对于jacobi迭代法，收敛条件为系数矩阵A为对角占优矩阵或正定矩阵。
如果满足这一条件，迭代计算会逐步收敛于方程组的解。
三、 Matlab中jacobi迭代法实现在Matlab中，可以利用矩阵运算和迭代循环来实现jacobi迭代法。
具体步骤如下：1. 对系数矩阵进行分解将系数矩阵A分解为对角矩阵D、上三角矩阵U和下三角矩阵L的形式。
2. 初始化迭代变量初始化迭代的初始值x0、迭代次数k、逐次逼近解向量x(k+1)。
3. 迭代计算利用迭代公式x(k+1)=(D+L)^(-1)(b-Ux(k))来逐步计算出方程组的解。
4. 判断收敛条件在迭代计算过程中，需要实时判断迭代计算是否满足收敛条件，如果满足则停止迭代计算，得到方程组的解。
四、实例分析假设有如下方程组：2x1 + x2 + 4x3 = 103x1 + 4x2 - x3 = 10x1 + 2x2 + 3x3 = 0可以利用jacobi迭代法来求解该方程组，在Matlab中可以通过编程实现迭代计算过程。
利用matlab解线性方程组
数值计算实验——解线性方程组西南交通大学2012级茅7班20123257 陈鼎摘要本报告主要介绍了基于求解线性方程组的高斯消元法和列主消元法两种数值分析方法的算法原理及实现方法。
运用matlab数学软件辅助求解。
实验内容1．编写用高斯消元法解线性方程组的MATLAB程序，并求解下面的线性方程组，然后用逆矩阵解方程组的方法验证。
2．编写用列主消元法解线性方程组的MATLAB程序，并求解下面的线性方程组，然后用逆矩阵解方程组的方法验证。
给定方程组如下：①0.325x1+2.564x2+3.888x3+5x4=1.521②-1.548x1+3.648x2+4.214x3-4.214x4=2.614③-2.154x1+1.647x2+5.364x3+x4=3.978④0x1+2.141x2-2.354x3-2x4=4.214A.高斯消元法一、算法介绍高斯消元法是一种规则化的加减消元法。
基本思想是通过逐次消元计算把需要求解的线性方程组转化成为上三角方程组，即把现形方程组的系数矩阵转化为上三角矩阵，从而使一般线性方程组的求解转化为等价的上三角方程组的求解。
二、matlab程序function [RA,RB,n,X]=gaus(A,b)B=[A b]; n=length(b); RA=rank(A);RB=rank(B);zhica=RB-RA;if zhica>0,disp(‘因为RA~=RB，所以此方程组无解.')returnendif RA==RBif RA==ndisp(‘因为RA=RB=n，所以此方程组有唯一解.')X=zeros(n,1); C=zeros(1,n+1);for p= 1:n-1for k=p+1:nm= B(k,p)/ B(p,p); B(k,p:n+1)= B(k,p:n+1)-m* B(p,p:n+1);endendb=B(1:n,n+1);A=B(1:n,1:n); X(n)=b(n)/A(n,n);for q=n-1:-1:1X(q)=(b(q)-sum(A(q,q+1:n)*X(q+1:n)))/A(q,q);endelsedisp(‘因为RA=RB<n，所以此方程组有无穷多解.')endend三、实验过程与结果输入的量：系数矩阵A和常系数向量b；输出的量：系数矩阵A和增广矩阵B的秩RA、RB，方程中未知量的个数n和有关方程组解X及其解的信息。
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MatLab 解线性方程组一文通！-------------------作者：liguoy （2005-2-3）写在阅读本文前的引子。
一：读者对线性代数与Matlab 要有基本的了解；二：文中的通用exp.m 文件，你须把具体的A 和b 代进去。
一：基本概念1． N 级行列式A ：|A|等于所有取自不同行不同列的n 个元素的积的代数和。
2． 矩阵B ：矩阵的概念是很直观的，可以说是一张表。
3． 线性无关：一向量组(a 1,a 2,…. a n )不线性相关，即没有不全为零的数k 1,k 2,……kn使得：k1* a 1+k2* a 2+…..+kn*an=04. 秩：向量组的极在线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩。
5．矩阵B 的秩：行秩，指矩阵的行向量组的秩；列秩类似。
记：R(B)6．一般线性方程组是指形式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=++sn sn s s n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a *.......**....................................................*......***.......**22112222212111212111……（1） 其中x1,x2,…….xn 为n 个未知数，s 为方程个数。
记：A*X=b7． 性方程组的增广矩阵：-A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛s sn s s n n b a a a b a a a b a a a ,,......,............................,,.....,,....,21222221111211 8. A*X=0 . (2)二：基本理论三种基本变换：1，用一非零的数乘某一方程；2，把一个方程的倍数加到另一个方程；3互换两个方程的位置。
以上称初等变换。
消元法（理论上分析解的情况，一切矩阵计算的基础）首先用初等变换化线性方程组为阶梯形方程组，把最后的一些恒等式”0=0”（如果出现的话）去掉，1：如果剩下的方程当中最后的一个等式是零等于一非零数，那么方程组无解；否则有解，在有解的情况下，2：如果阶梯形方程组中方程的个数r 等于未知量的个数，那么方程组有唯一的解，3：如果阶梯形方程组中方程的个数r 小于是未知量的个数，那么方程组就有无穷个解。
用初等变换化线性方程组为阶梯形方程组，相当于用初等行变换化增广矩阵成阶梯形矩阵。
化成阶梯形矩阵就可以判别方程组有解还是无解，在有解的情形下，回到阶梯形方程组去解。
定理1：线性方程组有解的充要条件为：R （A ）=R （-A ）线性方程组解的结构：1：对齐次线性方程组，a: 两个解的和还是方程组的解；b: 一个解的倍数还是方程组的解。
定义：齐次线性方程组的一组解u1,u2,….ui 称为齐次线性方程组的一个基础解系，如果：齐次线性方程组的任一解都能表成u1,u2,….ui 的线性组合，且u1,u2,….ui 线性无关。
2：对非齐次线性方程组（I ） 方程组（1） 的两个解的差是（2）的解。
（II ） 方程组（1） 的一个解与（2）的一个解之和还是（1）的解。
定理2 如果r0是方程组（1）的一个特解，那么方程组（1）的任一个解r 都可以表成： r=ro+v (3)其中v 是（2）的一个解，因此，对方程（1）的任一特解ro,当v 取遍它的全部解时，(3) 就给出了（1）的全部解。
三：基本思路线性方程的求解分为两类：一类是方程组求唯一解或求特解;一类是方程组求无穷解即通解。
I ） 判断方程组解的情况。
1：当R （A ）=R （-A ）时 有解（R （A ）=R （-A ）>=n 唯一解，R （A ）=R （-A ）〈n,有无穷解〉；2：当R （A ）+1=R （-A ）时无解。
II ） 求特解；III ） 求通解(无穷解), 线性方程组的无穷解 = 对应齐次方程组的通解+非齐次方程组的一个特解；注：以上针对非齐次线性方程组，对齐次线性方程组，主要是用到I)、III)步！ 四：基本方法基本思路将在解题的过程中得到体现。
1．（求线性方程组的唯一解或特解），这类问题的求法分为两类：一类主要用于解低阶稠密矩阵 —— 直接法；一类是解大型稀疏矩阵 —— 迭代法。
1．1利用矩阵除法求线性方程组的特解（或一个解）方程：AX=b ，解法：X=A\b ，(注意此处’\’不是’/’) 例1-1 求方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=++=++=+1x 5x 0x 6x 5x 0x 6x 5x 0x 6x 5x 1x 6x 55454343232121的解。
解: A =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡5,1,0,0,06,5,1,0,00,6,5,1,00,0,6,5,10,0,0,6,5;-A =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1,5,1,0,0,00,6,5,1,0,00,0,6,5,1,00,0,0,6,5,11,0,0,0,6,5；b=(1,0,0,0,1)’ 由于>>rank(A)=5,rank(-A )=5 %求秩，此为R （A ）=R （-A ）>=n 的情形，有唯一解。
>>X= A\b %求解 X =(2.2662, -1.7218,1.0571,-0.5940, 0.3188)’ 或用函数rref 求解，>>sv=rref(A:b);所得sv 的最后一列即为所要求的解。
1．2 利用矩阵的LU 、QR 和cholesky 分解求方程组的解 ，这三种分解，在求解大型方程组时很有用。
其优点是运算速度快、可以节省磁盘空间、节省内存。
I) LU 分解又称Gauss 消去分解，可把任意方阵分解为下三角矩阵的基本变换形式（行交换）和上三角矩阵的乘积。
即A=LU ，L 为下三角阵，U 为上三角阵。
则：A*X=b 变成L*U*X=b所以X=U\(L\b) 这样可以大大提高运算速度。
命令 [L ，U]=lu (A)在matlab 中可以编如下通用m 文件：在Matlab 中建立M 文件如下% exp1.mA;b;[L ，U]=lu (A);X=U\(L\b)II ）Cholesky 分解若A 为对称正定矩阵，则Cholesky 分解可将矩阵A 分解成上三角矩阵和其转置的乘积，即：R R A *'= 其中R 为上三角阵。
方程 A*X=b 变成 b X *R R =*'所以 )b \R (\R X '=在Matlab 中建立M 文件如下% exp2.mA;b;[R ’，R]=chol(A);X=R\(R’\b)III ）QR 分解对于任何长方矩阵A ，都可以进行QR 分解，其中Q 为正交矩阵，R 为上三角矩阵的初等变换形式，即：A=QR方程 A*X=b 变形成 QRX=b所以 X=R\(Q\b)上例中 [Q, R]=qr(A)X=R\(Q\B)在Matlab 中建立M 文件如下% exp3.mA;b;[Q ，R]=qr(A);X=R\(Q\b)2．求线性齐次方程组的通解(A*X=0)在Matlab 中，函数null 用来求解零空间，即满足A ·X=0的解空间，实际上是求出解空间的一组基（基础解系）。
在Matlab中建立M文件如下% exp4.mformat rat %指定有理式格式输出A;b=0;r=rank(A);bs=null(A，‘r’); %一组基含(n-r)个列向量% k1,k2,……,k)(rn-% X= k1*bs(:,1)+ k2*bs(:,2)+……+ k)(rn-*bs(:,n-r) 方程组的通解pretty(X) %让通解表达式更加精美3 求非齐次线性方程组的通解（A*X=b）非齐次线性方程组需要先判断方程组是否有解，若有解，再去求通解。
因此，步骤为：第一步：判断AX=b是否有解，(利用基本思路的第一条)若有解则进行第二步第二步：求AX=b的一个特解第三步：求AX=0的通解第四步：AX=b的通解为： AX=0的通解加上AX=b的一个特解。
在Matlab中建立M文件如下% exp4.mclear allA;b; %输入矩阵A,b[m,n]=size(A);R=rank(A);B=[A b];Rr=rank(B);format ratif R==Rr&R==n % n为未知数的个数，判断是否有唯一解x=A\b;elseif R==Rr&R<n %判断是否有无穷解x=A\b %求特解C=null(A,'r') %求AX=0的基础解系,所得C为n-R列矩阵，这n-R列即为对%应的基础解系% 这种情形方程组通解xx=k(p)*C(:,P)(p=1…n-R)else X='No solution!' % 判断是否无解end参考文献：1．<<高等代数>>,北京大学数学系编，19782．〈〈Matlab6.0数学手册〉〉, 蒲俊、吉家锋、伊良忠编著，2002。