第八节 棱柱、棱锥
合集下载
棱柱、棱锥的概念和性质
知能迁移3
如图，四棱锥P—ABCD中，
PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角
梯形，且AB∥CD，∠BAD=90°，
PA=AD=DC=2，AB=4. （1）求证：BC⊥PC；
（2）求PB与平面PAC所成的角的正弦值；
（3）求点A到平面PBC的距离. （1）证明 在直角梯形ABCD中，因为AB∥CD， ∠BAD=90°，AD=DC=2， 所以∠ADC=90°，且AC=2 2 .
1 17 OH AG a. 3 17
探究提高
（1）解决空间角度问题，应特别注意垂
直关系.如果空间角为90°，就不必转化为平面角来
求；（2）注意借助辅助平面（如本题中的平面 PAC），将空间距离转化为平面距离来求；（3）棱 锥体积具有自等性，即把三棱锥的任何一个顶点看 作顶点，相对的面作为底面，利用等积法可求点到 平面的距离等.
E，使DE∥平面AB1C1？证明你的结论. 思维启迪 （1）充分挖掘已知条件，利用线面垂 直的判定定理； （2）利用线面平行的判定定理或面面平行的性质
定理.
证明
（1）∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC.
∵三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱，∴BC⊥CC1.
∵AC∩CC1=C，∴BC⊥平面ACC1A1.
又CD 平面PDC,∴平面PDC⊥平面PAD. ∵正三角形PAD中，E为PD的中点， ∴AE⊥PD. 又平面PDC∩平面PAD=PD. ∴AE⊥平面PCD.
题型三
棱柱、棱锥中的角和距离
【例3】 如图所示，四棱锥P—ABCD的
底面是边长为a的正方形，侧面PAB和
侧面PAD都垂直于底面AC，且侧棱PB、 PD都和底面成45°角.
互相平行的面 其余各面
8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积课件(人教版)
(1) 共得到多少个棱长为1cm的小立方体？ (2) 三面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？ (3) 两面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？ (4) 一面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？ (5) 六面均没有颜色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？它 们占有多少立方厘米的空间？
解：(3) 两面是红色的小立方体有24个, 表面积之和是144cm2. (4) 一面是红色的小立方体有24个, 表面积之和是144cm2.
(5) 六面均没有颜色的小立方体有8个, 表面积之和是 32cm2，它们占有的空间是8cm3.
练习
－ － － － － － － － － － 教材116页
4. 求证：直三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积.
3
课堂小结
棱柱、棱锥、棱台的表面积
棱柱、棱锥、棱台都是多面体，表面积就是围成多面体各个面的面积的和.
棱柱、棱锥、棱台的体积
棱柱
棱锥
棱台
底面积为 S ，高为 h V棱柱 Sh
底面积为 S ，高为 h
V棱锥
1 3
Sh
上底面积为 S ，下底面积
为 S ，高为 h
V棱台
1 3
h(S
SS S)
如图已知棱长为a的正四面体P-ABC，求它的体积．
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱 台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和. 例1 如图已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体P-ABC，求它的表面积．
P
【解析】因为△PBC是正三角形，其边长为a，
所以
1 SPBC 2 a a sin 60
3 a2. 4
A
解：(3) 两面是红色的小立方体有24个, 表面积之和是144cm2. (4) 一面是红色的小立方体有24个, 表面积之和是144cm2.
(5) 六面均没有颜色的小立方体有8个, 表面积之和是 32cm2，它们占有的空间是8cm3.
练习
－ － － － － － － － － － 教材116页
4. 求证：直三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积.
3
课堂小结
棱柱、棱锥、棱台的表面积
棱柱、棱锥、棱台都是多面体，表面积就是围成多面体各个面的面积的和.
棱柱、棱锥、棱台的体积
棱柱
棱锥
棱台
底面积为 S ，高为 h V棱柱 Sh
底面积为 S ，高为 h
V棱锥
1 3
Sh
上底面积为 S ，下底面积
为 S ，高为 h
V棱台
1 3
h(S
SS S)
如图已知棱长为a的正四面体P-ABC，求它的体积．
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱 台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和. 例1 如图已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体P-ABC，求它的表面积．
P
【解析】因为△PBC是正三角形，其边长为a，
所以
1 SPBC 2 a a sin 60
3 a2. 4
A
棱柱、棱锥的有关概念及性质 PPT课件 人教课标版
4.三棱锥S-ABC是底面边长为a的正三角形，A
在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心.
(1)证明三棱锥S—ABC是正三棱锥；
(2)设BC中点为D，若
HD 3 ，求侧棱与 HB 4
底面所成的角.
【解题回顾】(1)证明一个三棱锥是正三棱 锥，必须证明它满足正三棱锥的定义. (2)在找线段关系时常利用两个三角形相似.
•
56、远大抱负始于高中，辉煌人生起于今日。
•
57、理想的路总是为有信心的人预备着。
•
58、抱最大的希望，为最大的努力，做最坏的打算。
•
59、世上除了生死，都是小事。从今天开始，每天微笑吧。
•
60、一勤天下无难事，一懒天下皆难事。
•
61、在清醒中孤独，总好过于在喧嚣人群中寂寞。
•
62、心里的感觉总会是这样，你越期待的会越行越远，你越在乎的对你的伤害越大。
13、人生最大的错误是不断担心会犯错。
•
14、忍别人所不能忍的痛，吃别人所不能吃的苦，是为了收获别人得不到的收获。
•
15、不管怎样，仍要坚持，没有梦想，永远到不了远方。
•
16、心态决定命运，自信走向成功。
•
17、第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力的。
•
18、励志照亮人生，创业改变命运。
•
2.正棱锥 (1)概念：如果一个棱锥的底面是正多边形，且 顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥 叫正棱锥
(2)性质：①各侧棱相等，各侧面都是全等的等
正棱锥的斜高 ②棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成 一直角三角形，棱锥的高、侧棱和侧棱在底面
返回
课前热身
1.下列四个命题中：
棱柱与棱锥的概念与计算
棱柱与棱锥的概念与计算在几何学中，棱柱和棱锥是两个常见的三维几何体。
它们具有不同的形状和特点，并且在计算其面积和体积时需要使用不同的公式。
一、棱柱的概念与计算棱柱是一种具有两个相等且平行的底面的几何体。
其侧面由若干个矩形组成，而底面则是由相等的多边形构成。
棱柱的名字通常根据底面的形状来命名，例如正方形棱柱、长方形棱柱等。
棱柱的计算主要涉及到面积和体积的计算。
下面将介绍一些常用的计算公式。
1. 底面积（B）：棱柱的底面积可以根据底面的形状来计算。
例如，正方形底面的棱柱的底面积可以用公式B = 边长^2来计算。
2. 侧面积（S）：棱柱的侧面积是指所有侧面的总和。
对于矩形侧面，可以用长乘以宽来计算。
因此，棱柱的侧面积可以用公式S = 周长 ×高来计算。
3. 总面积（A）：棱柱的总面积是指所有面积的总和。
可以用底面积加上两倍的侧面积来计算。
公式为A = 2B + S。
4. 体积（V）：棱柱的体积可以通过将底面积乘以高来计算。
因此，公式为V = B ×高。
二、棱锥的概念与计算棱锥是一种具有一个底面和一个顶点的几何体。
棱锥的侧面由多个三角形组成，而底面则可以是不规则的多边形。
和棱柱一样，棱锥的名字也通常根据底面的形状来命名，例如正三角锥、正四边锥等。
棱锥的计算也涉及到面积和体积的计算。
下面介绍一些常用的计算公式。
1. 底面积（B）：棱锥的底面积可以根据底面的形状来计算。
例如，正三角形底面的棱锥的底面积可以使用公式B = (边长 ×高) / 2来计算。
2. 侧面积（S）：棱锥的侧面积是指所有侧面的总和。
对于三角形侧面，可以使用海伦公式来计算面积，然后将其累加。
因此，棱锥的侧面积可以用公式S = ∑(边长 ×半周长)来计算。
3. 总面积（A）：棱锥的总面积是指底面积加上所有侧面积的总和。
公式为A = B + S。
4. 体积（V）：棱锥的体积可以通过将底面积乘以高再除以3来计算。
棱柱和棱锥(新编201912)
两个底面所在平面的公垂线段叫 做棱柱的高。
；cosplay：/
；
得赏的，就请杀了我吧。” 听到这样的话，青年一愣。 “您在说什么呀！③我跟您怎么会是敌人呢？我的敌人应该是别人。现在战争正在北方进行着，我要到那里去参战了。”说完这些，青年就走了。 在国界线上，孤零零地只剩下老人了。自从青年离开的那一日起，老人就开始茫然 地打发日子。野蔷薇开了，蜜蜂从日出到日落，成群地飞舞。④此刻，战争正在很远的地方进行着，即使老人竖起了耳朵去听，睁大了眼睛去看，也没办法听到一丝铁炮的声音，或者看到一点黑色的硝烟。 老人从那天起，就一直担心着青年的安危。日子就这么一天天地过去了。 一天， 这里来了一个过路的人。 老人就向他询问起战争的情况。那个人就告诉老人，小国战败了，那个国家的士兵都被杀了，战争结束了。老人想，那样的话，青年不是也死了吗？他心里放不下，垂头往石碑座上一坐，就迷迷糊糊地打起盹来了。他感到从远方来了很多人，一瞧，是一支军队 ，而且骑马指挥的就是那个青年。这支军队非常肃静，一点声音都没有。当他们从老人身边经过的时候，青年默默地向老人敬了一下礼，并且闻了闻野蔷薇花。 老人刚想说什么，一下子就醒了。打那以后过了一个多月，野蔷薇就枯死了。 后来，就在这年的秋天，老人也请假回南方去了 。 （选自杜志建主编《大家小文》） 9.色调有冷暖之分，读完此文，你觉得这篇童话的色调是怎样的？请简述理由。（3分） 答：? 10.文章安排老人与青年下棋的情节有什么作用？（3分） 答：? 11.质疑是走向深入阅读的重要一步。文中画线句有什么看似矛盾或不合理的地方？请选 一句，写出你的疑问。（3分）? 答：? 12.本文以“野蔷薇”为题有什么好处？说说你的理解。（4分） 答：? 9.（3分） 示例1：先是暖色调，再是冷色调。文章开头的景物描写明亮美好，两人的相处温馨和谐，令人温暖；随着战争的到来，一切美好的东西都毁灭消失了，令人感伤。 示例2：冷色调。因为这个故事中那些美好的事物都随着战争消逝了，年轻的生命死亡了，美丽的野蔷薇凋零了，老人与青年的友情无以为继，给人以悲凉的感觉。 示例3：暖色调。因为故事发生的地方环境优美，人与自然和谐相处，人和人之间的情感温暖感人。虽然战争最终不可避免 ，但战场却在遥远的北方，战争也没有改变他们的友谊，让人觉得温暖。 10.（3分）示例：下棋的情节一方面表现两人相处的和谐愉快；另一方面也为故事的发展做了铺垫，暗示两人将会经受真实战争的考验；棋盘上的战争与真实的战争形成对比：一个温馨和谐，一个冰冷残酷。（答 出一点得1分，答出两点得3分） 11.（3分）示例1：选①，阳光总是照在头顶上就能让他们成为好朋友？ 示例2：选②，从上下文看，应该用“这个地方”，为什么说成“那个地方”？或，这一句删去也通顺，为什么非要说“也有冬天”？ 示例3：选③，两国交战，他们作为士兵，为什 么不是敌人呢？? 示例4：选④，为什么战争是在“很远的地方进行”，而不是在他们所处的边境？ 12.（4分）示例：营造了美好的环境氛围，勾勒出故事的线索，野蔷薇催生并见证了两人的友谊，始终伴随着情节的展开（2分，环境、线索各1分）；野蔷薇是美好的自然与善良的人性的 象征：它无人培植却茂盛生长，如同边界线上两人的友情，自然产生，真诚相守；不管人间如何利益纷争，它都带着芬芳与生机应时而发，反衬出人类争斗的愚蠢与丑陋；野蔷薇最终随着青年之死而凋零，暗示战争的死亡之吻不放过任何美好的生命，让人痛惜，引人深思（2分，象征写 法、具体分析各1分）。 把自己变成一朵花，香给这个世界看（2017·曲靖市中考） 林清玄 ①有时会在晚上去逛花市。 ②夜里九点以后，花贩会将店里的花整理一遍，把一些盛开着的，不会再有顾客挑选的花放在方形的大竹篮推到屋外，准备丢弃了。 ③多年以前，我没有多余的钱买 花，就在晚上去挑选竹篮中的残花，那虽然是已被丢弃的，看起来都还很美，尤其是它们正好开在高峰，显得格外辉煌。在竹篮里随意翻翻就会找到一大把，带回家插在花瓶里，自己看了也非常欢喜。 ④从竹篮里拾来的花，至少可以插一两天，甚至有开到四五天的。每当我把花一一插 进瓶里，会兴起这样的遐想：花的生命原本短暂，它若有知，知道临谢前几天还被宝爱着，应该感叹不枉一生，能毫无遗憾地凋谢了。 ⑤花的盛放是那么美丽，但凋落时也有一种难言之美。在清冷的寒夜，我坐在案前，看到花瓣纷纷落下，无声地辞枝，以一种优雅的姿势飘散，安静地 俯在桌边。那颤抖离枝的花瓣时而给我是一瓣耳朵的错觉，仿佛在倾听着远处土地的呼唤，闻着它熟悉的田园声息。那还留在枝上的花则是眼睛一样，努力张开，深情地看着人间，那深情的最后一瞥真是令人惆怅。 ⑥每一朵花都是安静地来到这个世界，又沉默离开。若是我们倾听，在 安静中仿佛有深思，而在沉默里也有美丽的雄辩。 ⑦许久没有晚上去花市了，最近去过一次，竟捡回几十朵花，那捡来的花与买回的花感觉不同，由于不花钱反而觉得每一朵都是无价的。尤其是将谢未谢，更显得楚楚可怜，比起含苞时的精神抖擞也自有一番风姿。 ⑧说花是无价的，可 能只有卖花的人反对。花虽是有形之物，却往往是无形的象征，莲之清净、梅之坚贞、兰之高贵、菊之傲骨、牡丹之富贵、百合之闲逸，乃至玫瑰里的爱情、康乃馨的母爱都是高洁而不能以金钱衡量的。 ⑨花所以无价，是花有无求的品格。如果我们送人一颗钻石，里面的情感就不易纯 粹，因为没有人会白送人钻石的;如果是送一朵玫瑰，它就很难掺进一丝杂质，由于它的纯粹，钻石在它面前就显得又俗又胖了。 ⑩花的威力真是不小，但花的因缘更令人怀想。我国民间有一种说法，说世上有三种行业是前世修来的，就是卖花、卖香、卖伞。因为卖花是纯善的行业，买 花的人不是供养佛菩萨，就是与人结善缘，即使自己放置案前也能调养身心。卖香、卖伞也都是纯善的行业，如果不是前世的因缘，哪里有福分经营这么好的行业呢？ ?卖花既是因缘，爱花也是因缘，我常觉得爱花者不是后天的培养，而是天生的直觉。 ?这种直觉来自良善的品格与温柔 的性情，也来自对物质生活的淡泊，一个把物质追求看得很重的人，肯定是与花无缘的。 ?爱花的人如果能自花中提炼智慧之香，用智慧之花来使心灵庄严，就能使我们有最深刻的觉醒，激发我们追求真实和永恒的智慧。当我们面对人间的一朵好花，心里有美、有香、有平静、有种种动 人的质地，就会使我们有更洁净的心灵来面对人生。 ?让我们看待自己如一枝花吧！香给这世界看！ （文章有删改） 20．选文采用了的表现手法，以花为线索，按拾花、、爱花、的顺序构思全文，层层深入，结构严谨。（3分） ：托物言志（或象征、以物喻人）选花（或悟花）变花（ 或学花） 21．结合语境，说说句中加点词的含义及其作用。（3分） 每一朵花都是安静地来到这个世界，又沉默离开。若是我们倾听，在安静中仿佛有深思，而在沉默里也有美丽的雄辩。 答： 答题示例：“雄辩”本义指有说服力、强有力的辩论，这里有“有力证明或辩护”之意。（1 分）作者用拟人的手法，（1分）表现了花朵平静的心态和洁净的心灵，虽然凋落，依然沉静庄严地开放，倾听土地的呼唤，从而展现一种难言的美丽。（1分） 22．请赏析第⑤段画线句子。（3分） 赏析： 答题示例：画线句子运用了比喻、拟人的修辞手法，（1分）以花喻人、花像眼 睛，“努力张开”“深情地看着”“深情的最后一瞥”无不展示了花对土地的呼唤及对人间深情的依恋，落花有情，即使凋落，也依然美丽，同时也怕美丽的失去，“惆怅”一词正是作者复杂心境的体现。（1分） 23．简要分析第?段在文中的作用。（3分） 答： 答题示例：过渡段，起 承上启下的作用。（1分）作者巧妙地由上段卖因缘过渡到下段的爱花因缘，文章衔接自然，浑然一体。（2分） 24．通读全文，谈谈文题“把自己变成一朵花，香给这个世界看”的深刻含义。（3分） 答： 答题示例：文章托物言志，借花寓意了高远的人生志向；（1分）作者珍爱人间 的每一朵好花，花里有美、有香、有平静、有种种动人的质地和永恒的智慧，所以作者愿把自己变成一朵花。（1分）同时，作者更愿像花那样，即使不被欣赏，依然沉静庄严地开放，倾听土地的呼唤，深情地注视人间的美好，用更洁净的心灵来面对人生，把花的“芬芳”“香给这个世 界看”。（1分）（言之有理即可） 想起那年读书时（2017·青岛市中考） 谷煜 真的，读书，是件特别好玩的事情。 十来岁，三年级，天不怕地不怕的，不管生疏，常常和同学去串门。到了别人家里，是安静的，不声不响，微笑，直盯着土屋墙壁上的黑白报纸。那些报纸，是一些富 裕人家不知从哪里弄来的，贴在墙上，给土屋一点美观，不至于到处露着暗灰的墙皮。有字，可读，真好。 看着看着，身子会趴下，因为，靠底下的一些字，实在是看不清了。而下面的报纸，往往是更旧一些，泛着黄色，伴随着一丝丝潮潮的味道。而于我，是温润，是隆重，闪着华丽 的光，仿佛是琥珀。 慢慢读完一面墙，真畅快呀。 当时，除了课本之外，再也找不到书可读，偶然在同学家发现这样的“报纸墙”，自是欣喜若狂，也就有了这“串门”的雅好。 慢慢地，很多人知道我喜欢“读字”，便有人告诉我，谁谁那里有小人书，可以借着看看的。哪里认识人 家呀？怎么办？ 便央求妈妈去借，大人总会和人家说上话的吧。 那时候的小人书，人人当宝贝的，自是不会轻易借出。便苦口婆心地求人家，一遍遍保证，不会弄丢的，不会弄脏的，不会弄扯的，一定按时还……终于，在人家一遍遍的叮嘱里，在犹豫的眼光里，拿到了小人书。 抱着 书，飞奔回家，小心翼翼放在床头一角，赶紧吃饭写作业，然后，扎在灯下，一声不吭，一页页，仔仔细细看过去。 夜，深了，抚摸着小人书，恋恋不舍地睡去，天亮，它就该物归原主了。 还有让人欢喜的，是过年放鞭炮，很多的鞭炮是用废弃的书本卷成的，鞭炮在炸开的刹那，很多 带着字的碎片，仿佛一个个精灵，舞蹈着，纷纷而来。我笑着跑着去迎接着那些碎片，在碎片里，看到一个个的“断句”，或者几个词语，那种此起彼伏的文字阅读，仿佛海边的波浪，一波波地涌动而来，真好。 当然，也会有大的收获，就是包鞭炮的纸张是大一些的（有时放学路上也 会捡到一张大大
；cosplay：/
；
得赏的，就请杀了我吧。” 听到这样的话，青年一愣。 “您在说什么呀！③我跟您怎么会是敌人呢？我的敌人应该是别人。现在战争正在北方进行着，我要到那里去参战了。”说完这些，青年就走了。 在国界线上，孤零零地只剩下老人了。自从青年离开的那一日起，老人就开始茫然 地打发日子。野蔷薇开了，蜜蜂从日出到日落，成群地飞舞。④此刻，战争正在很远的地方进行着，即使老人竖起了耳朵去听，睁大了眼睛去看，也没办法听到一丝铁炮的声音，或者看到一点黑色的硝烟。 老人从那天起，就一直担心着青年的安危。日子就这么一天天地过去了。 一天， 这里来了一个过路的人。 老人就向他询问起战争的情况。那个人就告诉老人，小国战败了，那个国家的士兵都被杀了，战争结束了。老人想，那样的话，青年不是也死了吗？他心里放不下，垂头往石碑座上一坐，就迷迷糊糊地打起盹来了。他感到从远方来了很多人，一瞧，是一支军队 ，而且骑马指挥的就是那个青年。这支军队非常肃静，一点声音都没有。当他们从老人身边经过的时候，青年默默地向老人敬了一下礼，并且闻了闻野蔷薇花。 老人刚想说什么，一下子就醒了。打那以后过了一个多月，野蔷薇就枯死了。 后来，就在这年的秋天，老人也请假回南方去了 。 （选自杜志建主编《大家小文》） 9.色调有冷暖之分，读完此文，你觉得这篇童话的色调是怎样的？请简述理由。（3分） 答：? 10.文章安排老人与青年下棋的情节有什么作用？（3分） 答：? 11.质疑是走向深入阅读的重要一步。文中画线句有什么看似矛盾或不合理的地方？请选 一句，写出你的疑问。（3分）? 答：? 12.本文以“野蔷薇”为题有什么好处？说说你的理解。（4分） 答：? 9.（3分） 示例1：先是暖色调，再是冷色调。文章开头的景物描写明亮美好，两人的相处温馨和谐，令人温暖；随着战争的到来，一切美好的东西都毁灭消失了，令人感伤。 示例2：冷色调。因为这个故事中那些美好的事物都随着战争消逝了，年轻的生命死亡了，美丽的野蔷薇凋零了，老人与青年的友情无以为继，给人以悲凉的感觉。 示例3：暖色调。因为故事发生的地方环境优美，人与自然和谐相处，人和人之间的情感温暖感人。虽然战争最终不可避免 ，但战场却在遥远的北方，战争也没有改变他们的友谊，让人觉得温暖。 10.（3分）示例：下棋的情节一方面表现两人相处的和谐愉快；另一方面也为故事的发展做了铺垫，暗示两人将会经受真实战争的考验；棋盘上的战争与真实的战争形成对比：一个温馨和谐，一个冰冷残酷。（答 出一点得1分，答出两点得3分） 11.（3分）示例1：选①，阳光总是照在头顶上就能让他们成为好朋友？ 示例2：选②，从上下文看，应该用“这个地方”，为什么说成“那个地方”？或，这一句删去也通顺，为什么非要说“也有冬天”？ 示例3：选③，两国交战，他们作为士兵，为什 么不是敌人呢？? 示例4：选④，为什么战争是在“很远的地方进行”，而不是在他们所处的边境？ 12.（4分）示例：营造了美好的环境氛围，勾勒出故事的线索，野蔷薇催生并见证了两人的友谊，始终伴随着情节的展开（2分，环境、线索各1分）；野蔷薇是美好的自然与善良的人性的 象征：它无人培植却茂盛生长，如同边界线上两人的友情，自然产生，真诚相守；不管人间如何利益纷争，它都带着芬芳与生机应时而发，反衬出人类争斗的愚蠢与丑陋；野蔷薇最终随着青年之死而凋零，暗示战争的死亡之吻不放过任何美好的生命，让人痛惜，引人深思（2分，象征写 法、具体分析各1分）。 把自己变成一朵花，香给这个世界看（2017·曲靖市中考） 林清玄 ①有时会在晚上去逛花市。 ②夜里九点以后，花贩会将店里的花整理一遍，把一些盛开着的，不会再有顾客挑选的花放在方形的大竹篮推到屋外，准备丢弃了。 ③多年以前，我没有多余的钱买 花，就在晚上去挑选竹篮中的残花，那虽然是已被丢弃的，看起来都还很美，尤其是它们正好开在高峰，显得格外辉煌。在竹篮里随意翻翻就会找到一大把，带回家插在花瓶里，自己看了也非常欢喜。 ④从竹篮里拾来的花，至少可以插一两天，甚至有开到四五天的。每当我把花一一插 进瓶里，会兴起这样的遐想：花的生命原本短暂，它若有知，知道临谢前几天还被宝爱着，应该感叹不枉一生，能毫无遗憾地凋谢了。 ⑤花的盛放是那么美丽，但凋落时也有一种难言之美。在清冷的寒夜，我坐在案前，看到花瓣纷纷落下，无声地辞枝，以一种优雅的姿势飘散，安静地 俯在桌边。那颤抖离枝的花瓣时而给我是一瓣耳朵的错觉，仿佛在倾听着远处土地的呼唤，闻着它熟悉的田园声息。那还留在枝上的花则是眼睛一样，努力张开，深情地看着人间，那深情的最后一瞥真是令人惆怅。 ⑥每一朵花都是安静地来到这个世界，又沉默离开。若是我们倾听，在 安静中仿佛有深思，而在沉默里也有美丽的雄辩。 ⑦许久没有晚上去花市了，最近去过一次，竟捡回几十朵花，那捡来的花与买回的花感觉不同，由于不花钱反而觉得每一朵都是无价的。尤其是将谢未谢，更显得楚楚可怜，比起含苞时的精神抖擞也自有一番风姿。 ⑧说花是无价的，可 能只有卖花的人反对。花虽是有形之物，却往往是无形的象征，莲之清净、梅之坚贞、兰之高贵、菊之傲骨、牡丹之富贵、百合之闲逸，乃至玫瑰里的爱情、康乃馨的母爱都是高洁而不能以金钱衡量的。 ⑨花所以无价，是花有无求的品格。如果我们送人一颗钻石，里面的情感就不易纯 粹，因为没有人会白送人钻石的;如果是送一朵玫瑰，它就很难掺进一丝杂质，由于它的纯粹，钻石在它面前就显得又俗又胖了。 ⑩花的威力真是不小，但花的因缘更令人怀想。我国民间有一种说法，说世上有三种行业是前世修来的，就是卖花、卖香、卖伞。因为卖花是纯善的行业，买 花的人不是供养佛菩萨，就是与人结善缘，即使自己放置案前也能调养身心。卖香、卖伞也都是纯善的行业，如果不是前世的因缘，哪里有福分经营这么好的行业呢？ ?卖花既是因缘，爱花也是因缘，我常觉得爱花者不是后天的培养，而是天生的直觉。 ?这种直觉来自良善的品格与温柔 的性情，也来自对物质生活的淡泊，一个把物质追求看得很重的人，肯定是与花无缘的。 ?爱花的人如果能自花中提炼智慧之香，用智慧之花来使心灵庄严，就能使我们有最深刻的觉醒，激发我们追求真实和永恒的智慧。当我们面对人间的一朵好花，心里有美、有香、有平静、有种种动 人的质地，就会使我们有更洁净的心灵来面对人生。 ?让我们看待自己如一枝花吧！香给这世界看！ （文章有删改） 20．选文采用了的表现手法，以花为线索，按拾花、、爱花、的顺序构思全文，层层深入，结构严谨。（3分） ：托物言志（或象征、以物喻人）选花（或悟花）变花（ 或学花） 21．结合语境，说说句中加点词的含义及其作用。（3分） 每一朵花都是安静地来到这个世界，又沉默离开。若是我们倾听，在安静中仿佛有深思，而在沉默里也有美丽的雄辩。 答： 答题示例：“雄辩”本义指有说服力、强有力的辩论，这里有“有力证明或辩护”之意。（1 分）作者用拟人的手法，（1分）表现了花朵平静的心态和洁净的心灵，虽然凋落，依然沉静庄严地开放，倾听土地的呼唤，从而展现一种难言的美丽。（1分） 22．请赏析第⑤段画线句子。（3分） 赏析： 答题示例：画线句子运用了比喻、拟人的修辞手法，（1分）以花喻人、花像眼 睛，“努力张开”“深情地看着”“深情的最后一瞥”无不展示了花对土地的呼唤及对人间深情的依恋，落花有情，即使凋落，也依然美丽，同时也怕美丽的失去，“惆怅”一词正是作者复杂心境的体现。（1分） 23．简要分析第?段在文中的作用。（3分） 答： 答题示例：过渡段，起 承上启下的作用。（1分）作者巧妙地由上段卖因缘过渡到下段的爱花因缘，文章衔接自然，浑然一体。（2分） 24．通读全文，谈谈文题“把自己变成一朵花，香给这个世界看”的深刻含义。（3分） 答： 答题示例：文章托物言志，借花寓意了高远的人生志向；（1分）作者珍爱人间 的每一朵好花，花里有美、有香、有平静、有种种动人的质地和永恒的智慧，所以作者愿把自己变成一朵花。（1分）同时，作者更愿像花那样，即使不被欣赏，依然沉静庄严地开放，倾听土地的呼唤，深情地注视人间的美好，用更洁净的心灵来面对人生，把花的“芬芳”“香给这个世 界看”。（1分）（言之有理即可） 想起那年读书时（2017·青岛市中考） 谷煜 真的，读书，是件特别好玩的事情。 十来岁，三年级，天不怕地不怕的，不管生疏，常常和同学去串门。到了别人家里，是安静的，不声不响，微笑，直盯着土屋墙壁上的黑白报纸。那些报纸，是一些富 裕人家不知从哪里弄来的，贴在墙上，给土屋一点美观，不至于到处露着暗灰的墙皮。有字，可读，真好。 看着看着，身子会趴下，因为，靠底下的一些字，实在是看不清了。而下面的报纸，往往是更旧一些，泛着黄色，伴随着一丝丝潮潮的味道。而于我，是温润，是隆重，闪着华丽 的光，仿佛是琥珀。 慢慢读完一面墙，真畅快呀。 当时，除了课本之外，再也找不到书可读，偶然在同学家发现这样的“报纸墙”，自是欣喜若狂，也就有了这“串门”的雅好。 慢慢地，很多人知道我喜欢“读字”，便有人告诉我，谁谁那里有小人书，可以借着看看的。哪里认识人 家呀？怎么办？ 便央求妈妈去借，大人总会和人家说上话的吧。 那时候的小人书，人人当宝贝的，自是不会轻易借出。便苦口婆心地求人家，一遍遍保证，不会弄丢的，不会弄脏的，不会弄扯的，一定按时还……终于，在人家一遍遍的叮嘱里，在犹豫的眼光里，拿到了小人书。 抱着 书，飞奔回家，小心翼翼放在床头一角，赶紧吃饭写作业，然后，扎在灯下，一声不吭，一页页，仔仔细细看过去。 夜，深了，抚摸着小人书，恋恋不舍地睡去，天亮，它就该物归原主了。 还有让人欢喜的，是过年放鞭炮，很多的鞭炮是用废弃的书本卷成的，鞭炮在炸开的刹那，很多 带着字的碎片，仿佛一个个精灵，舞蹈着，纷纷而来。我笑着跑着去迎接着那些碎片，在碎片里，看到一个个的“断句”，或者几个词语，那种此起彼伏的文字阅读，仿佛海边的波浪，一波波地涌动而来，真好。 当然，也会有大的收获，就是包鞭炮的纸张是大一些的（有时放学路上也 会捡到一张大大
高二数学棱柱、棱锥和棱台知识精讲
高二数学棱柱、棱锥和棱台【本讲主要内容】棱柱、棱锥和棱台棱柱的概念及性质、棱锥的概念及性质和棱台的概念及性质【知识掌握】 【知识点精析】1. 棱柱的有关概念和性质。
（1）棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫做棱柱。
（2）棱柱的几个概念。
这里，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面；两个面的公共边叫做棱柱的棱，其中两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点，不在同一个面内的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线，两个底面的距离叫做棱柱的高。
（3）棱柱的表示方法：棱柱用表示底面各顶点的字母来表示，如三棱柱ABC A B C -111（4）棱柱的分类。
棱柱按底面边数可以分为三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 按侧面与地面是否垂直，棱柱又可以分为直棱柱和斜棱柱。
底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。
正棱柱是特殊的直棱柱。
（5）棱柱的性质： ①侧棱都相等；②侧面都是平行四边形；③两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；④过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形。
平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱； 直平行六面体：侧棱与底面垂直的平行六面体； 长方体：底面是矩形的直平行六面体； 正方体：棱长都相等的长方体叫做正方体。
四棱柱与特殊的平行六面体有如下关系：{正方体}⊂{正四棱柱}⊂{长方体}⊂{直平行六面体}⊂{平行六面体}⊂{四棱柱} 长方体的性质：长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和。
2. 棱锥的有关概念。
（1）棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫做棱锥。
（2）棱锥的几个概念。
这个多边形叫做棱锥的底面，其余各面叫做棱锥的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱，各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点，顶点到底面的距离叫做棱锥的高。
（3）棱锥的表示方法：棱锥用表示顶点和底面各顶点，或者底面一条对角线端点的字母来表示，如棱锥S －ABCDE ，或者棱锥S －AC 。
棱柱、棱锥的概念和性质
（3）∵BD⊥AC,BD⊥PA,∴BD⊥平面PAC.
2
又∴得M平N面t∥aPnABCD⊥，P平∴C面MANPM⊥N平2.2面. PAC.
设MN∩AC=Q，连结PQ， 则平面PAC∩平面PMN=PQ. 作OH⊥PQ，垂足为H， 则OH⊥平面PMN， OH的长即为O到平面PMN的距离， 作AG⊥PQ于G. 在Rt△PAQ中，PA=a,
AQ 3 AC 3 2 a,
4
4
PQ 34 a. AG PA AQ 3 17 a.
4
PQ 17
OH 1 AG 17 a.
3
17
探究提高 （1）解决空间角度问题，应特别注意垂 直关系.如果空间角为90°，就不必转化为平面角来 求；（2）注意借助辅助平面（如本题中的平面 PAC），将空间距离转化为平面距离来求；（3）棱 锥体积具有自等性，即把三棱锥的任何一个顶点看 作顶点，相对的面作为底面，利用等积法可求点到 平面的距离等.
题型三 棱柱、棱锥中的角和距离 【例3】 如图所示，四棱锥P—ABCD的
底面是边长为a的正方形，侧面PAB和 侧面PAD都垂直于底面AC，且侧棱PB、 PD都和底面成45°角. （1）求PC与BD所成的角； （2）求PC与底面ABCD所成角的正切值； （3）若M、N分别为BC、CD的中点，求底面中心 O到平面PMN的距离.
知能迁移1 设有以下四个命题： ①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体； ②底面是矩形的平行六面体是长方体； ③直四棱柱是直平行六面体； ④棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此 棱锥可能是六棱锥. 其中真命题的序号是 ① . 解析 命题①符合平行六面体的定义,故命题①是 正确的；底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与 底面不垂直,故命题②是错误的；因直四棱柱的底 面不一定是平行四边形,故命题③是错误的,若六 棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边 形.由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长 必然要大于底面边长，故命题④是错误的.
棱柱、棱锥的概念和性质
5.体积公式
（1）柱体体积公式为V= Sh ，其中 S 为底面面
积， h 为高; （2）锥体体积公式为V=
1 Sh 3
，其中
S
为底面面
积， h 为高.
6.侧面积与全面积
（1）棱柱的侧面积是各侧面面积之和，直棱柱的
侧面积是底面周长与 高之积；棱锥的侧面积是各
侧面 面积之和，正棱锥的侧面积是底面周长与 斜
侧面与底面的公共
顶点 顶点
各侧面的公共顶点
高
两个底面所在平面 的公垂线段
顶点到底面所在平面的 垂线段
2.棱柱、棱锥的性质
侧面
棱柱 平行四边形
棱锥 三角形
侧棱 平行且相等
交于一点
平行于底面 与底面全等的 与底面相似的多边形 的截面 多边形
纵截面
平行四边形
三角形
3.四棱柱的一些常用性质 （1）平行六面体的四条对角线 交于一点 且在 该点 互相平分 ； （2）直棱柱的 侧棱长 与高相等，直棱柱的侧面及 过 不相邻两条侧棱 的截面都是矩形，直棱柱的侧 面与 底面 垂直； （3）正四棱柱与正方体的底面都是 正方形 ，正方 体的侧面和底面都是 正方形 ； （4）长方体的 一条对角线长的平方 等于同一个顶 点上三条棱长的 平方和 .
知能迁移1 设有以下四个命题： ①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体； ②底面是矩形的平行六面体是长方体； ③直四棱柱是直平行六面体； ④棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此 棱锥可能是六棱锥. 其中真命题的序号是 ① . 解析 命题①符合平行六面体的定义,故命题①是 正确的；底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与 底面不垂直,故命题②是错误的；因直四棱柱的底 面不一定是平行四边形,故命题③是错误的,若六 棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边 形.由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长 必然要大于底面边长，故命题④是错误的.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
• 第八节 棱柱、棱锥
• 1．棱柱 • (1)棱柱的概念 互相平行 • 如果一个多面体有两个面 ，而其 余各面都是 形，并且每相邻两个 四边形 四边 互相平行的 公共边都几何体 ，这些面围成的 叫做棱柱． 垂直于 不垂直于 • 侧棱 底面的棱柱叫做斜棱柱；侧 正多边形 直 棱 底面的棱柱叫做直棱柱；底面是 的 棱柱叫做正棱柱．
• • • •
【解析】 ①正确； ②反例如图所示： 可令AB＝VB＝VC＝BC＝AC， 则△VBC为等边三角形而△VAB与△VCA 均为等腰三角形，但不能判定为正三棱锥； • ③侧面积相等只不过是斜高相等并不能表 示侧面为全等的三角形，故不能判定； • ④正确． • 【答案】 ①④
•
如右图，四棱锥S－ABCD的底面 ABCD是直角梯形，已知SD垂直底面 ABCD，且∠ADC＝∠BCD＝90°，BC＝ CD＝2AD. • (1)求证：平面SBC⊥平面SCD； • (2)E为侧棱SB上的一点， 为何值时， AE∥平面SCD，证明你的结论．
• 1．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1， 则侧棱与底面所成的角为 ( ) • A．75° B．60° • C．45° D．30°
• 【解析】 如图所示，∠PBO即非充分条 件是 ( ) • A．棱柱有一条侧棱和底面垂直 • B．棱柱有一条侧棱和底面的两边垂直 • C．棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直 • D．棱柱有一个侧面是矩形且和底面垂直 • 【解析】 A是充要条件；C是非必要条 件；D是充要条件． • ∴正确答案是B. • 【答案】 B
• (2)棱柱的性质 平行四边形 • ①所有的侧棱都相等，各个侧面都是 ． • 全等多边形 ②两个底面与平行于底面的截面是对应边 互相平行的 ． 平行四边形 • ③过不相邻的两条侧棱的截面都是 ． • (3)(A)棱柱的侧面积和体积公式 • ①直棱柱的侧面积和体积公式 Ch • 如果直棱柱的底面周长是C，高是h，那么 它的侧面积是S直棱柱侧＝ .
• 又∵AB1⊥CD，∴AB1⊥面A1DC. • (3)设AB1与A1D交于点H，∴AH⊥面A1DC • ∴AH即为点A到平面A1DC的距离
•
如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱 长都等于2，D为AC1的中点，F为BB1的中 点． • (1)求证：FD⊥AC1； • (2)求二面角F－AC1－C的大小； • (3)求点C1到平面AFC的距离．
• 解法2：(割法)沿B1OE割开，则AC⊥截面 B1OE.
• 解法3：(补法)把三棱锥补成四棱柱ABCD －A1B1C1得 • VB1－EAC＝VABCD－A1B1C1D1－2VB1－ AA1D1E－VB1－ABC－VE－ACD
•
本题解法2与解法3体现了求棱锥 体积最基本的一种方法——割补法，“切 割法”是把复杂几何体切割成简单体， “补法”是把复杂几何体延伸或补加，构 成简单体，锥体补成柱体，把四面体补成 外接平行六面体等等，其中的“手术”就 是“切”．
• 平面AEF∥平面SCD. • 而AE⊂平面AEF，∴AE∥平面SCD.
•
在棱锥、棱柱中进行线线、线面、 面面的平行与垂直的证明，除了要正确使 用判定定理与性质定理外，对几何体本身 所具有的性质也要正确把握．如正棱锥、 正棱柱的特性，特殊三角形、特殊梯形的 使用等，其次还要注意各种平行与垂直之 间的相互转化，如将线线平行转化为线面 平行或面面平行来解决．
•
1．如图，已知斜三棱柱ABC－ A1B1C1中，AC＝BC，D为AB的中点，平 面ABC⊥平面ABB1A1，异面直线BC1与AB1 互相垂直．
• (1)求证：AB1⊥CD； • (2)求证：AB1⊥平面A1CD； • (3)若AB1＝5，求点A到平面A1CD的距离．
• 【解析】 (1)证明：∵AC＝CB，D是AB 的中点，∴CD⊥AB • 又∵面ACB⊥面ABB1A1 • ∴CD⊥平面ABB1A1 • ∴CD⊥AB1. • (2)证明：取A1B1的中点为E，连C1E • ∴C1E⊥面ABB1A • ∴BC1在面ABB1A上的射影为BE • ∵AB1⊥BC1 ∴AB1⊥BE • 又∵BE∥A1D，∴AB1⊥A1D
• 如果直棱柱的底面面积是S，高是h，那么 它的体积是V直棱柱＝ . Sh • ②斜棱柱的侧面积和体积公式 • 如果斜棱柱的直截面(垂直于侧棱并与每 条侧棱都相交的截面)的周长为C，侧棱长 为l，那么斜棱柱的侧面积是S斜棱柱侧＝ . Cl • 如果斜棱柱的直截面的面积为S，侧棱长 为l，那么它的体积是V斜棱柱＝ .
• • • • • • • •
【解析】 (1)证明：∵SD⊥平面ABCD， ∴SD⊥BC. 又BC⊥CD，故BC⊥平面SCD. BC⊂平面SBC，故平面SBC⊥平面SCD. (2) 时，AE∥平面SCD.证明如下： 取SB的中点E，BC的中点F，连结AF、EF， 则AF∥CD，EF∥SC， 故EF∥平面SCD，AF∥平面SCD；
•
3．(2009年宁厦、海南卷)如图， 在三棱锥P－ABC中，△PAB是等边三角 形，∠PAC＝∠PBC＝90°. • (1)证明：AB⊥PC； • (2)若PC＝4，且平面PAC⊥平面PBC，求 三棱锥P－ABC的体积．
• 【解析】 (1)证明：因为△PAB是等边三 角形，所以PB＝PA. • 因为∠PAC＝∠PBC＝90°，PC＝PC， • 所以Rt△PBC≌Rt△PAC， • 所以AC＝BC. • 如图，取AB中点D，连结PD、CD， • 则PD⊥AB，CD⊥AB， • 所以AB⊥平面PDC， • 所以AB⊥PC.
•
(1)如果棱锥的各侧棱相等或各侧 棱与底面成等角，那么顶点在底面上的射 影是底面多边形的外心；(2)如果棱锥的各 侧面与底面所成二面角均相等，那么顶点 在底面上的射影是底面多边形的内心；(3) 如果三棱锥的三条侧棱两两垂直，那么顶 点在底面上的射影是底面三角形的垂心．
• (2)正棱锥的概念与性质 • 正棱锥：如果一个棱锥的底面是 ， 正多边形 并且顶点在底面的射影是 ， 底面的中心 这样的棱锥叫做正棱锥． • 正棱锥的性质： • ①正棱锥各侧棱 ，各侧面都是 相等 全等的等腰三 ， 角形 • 各等腰三角形底边上的高叫做正棱锥的斜 高，正棱锥的斜高相等．
• 【解析】 (1)延长AC到G使CG＝AC，连 结BG、DG，E是AB的中点，∴BG綊2CE. • 故直线BG和BD所成的锐角(或直角)就是 CE和BD所成的角． • ∵AC⊥平面BDC，∴AC⊥BC. • 又∠ABC＝45°，∴AC＝BC＝CD＝1.
• ∴△BDG为等边三角形． • ∴∠DBG＝60°. • ∴直线BD和CE所成的角是60°.
• 4．底面半径为2的圆锥被过高的中点且平 行于底面的平面所截，则截面圆的面积为 ________． • 【解析】 由题意知截面圆的半径为1， 所以截面圆的面积为π. • 【答案】 π
• 5．如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱 长都为2，E、F分别是AB、A1C1的中点， 则EF的长为________． • 【解析】 取A1B1的中点H，连结EH、 FH，则EH＝2，FH＝1由正三棱柱的性质 知△EFH为Rt△，
棱柱和棱锥是现实生活中较为常 见的几何体，解这类问题首先要对这些几 何体有一个感性的认知，这样才能有较强 的空间想象能力；其次要善于挖掘几何体 中的隐含条件，例如本题中直三棱柱的侧 面都是矩形，侧面与底面垂直等，这些条 件往往是解决问题的关键．
•
2．如图，已知在三角形BCD 中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AC⊥ 平面BCD，∠ABC＝45°，E是AB的中 点． • (1)求直线BD和CE所成的角； • (2)求点C到平面ABD的距离； • (3)若F是线段AC上的一个动点，请确定点 F的位置，使得平面ABD⊥平面DEF.
• (3)由上可知，AB＝BD＝AD＝ ，又E是 AB的中点， • ∴DE⊥AB. • 由平面ABD∩平面DEF＝DE，得AB⊥平面 DEF. • ∴AB⊥EF，即F应为过E的AB的垂线和AC 的交点． • ∵AC＝BC， • ∴AB的中垂线过C点，即F为C点．
•
已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1，点E 在棱DD1上，截面EAC∥BD1，且面EAC 与底面ABCD所成的角为45°，AB＝a，(1) 求截面EAC的面积；(2)求三棱锥B1－EAC 的体积． • 【思路点拨】 本题关键是寻求体积公式 或截面三角形中的未知量，寻求未知量往 往是通过解三角形获得．
• 下面是关于三棱锥的四个命题： • ①底面是等边三角形，侧面与底面所成的 二面角都相等的三棱锥是正三棱椎； • ②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角 形的三棱锥是正三棱锥； • ③底面是等边三角形，侧面的面积都相等 的三棱锥是正三棱锥；
• ④侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与 底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三 棱锥． • 其中，真命题的编号是______．(写出所 有真命题的编号) • 【思路点拨】 根据正三棱锥的概念及性 质直接判定或者举反例．
• • • •
【解析】 (1)连结BD交AC于O，连EO， ∵面ABCD为正方形，∴DO⊥AC. ∵DE⊥面ACD∴EO⊥AC ∴∠EOD为所求二面角的平面角即∠EOD ＝45°.
• (2)解法1：∵D1B∥面EAC且面EAC∩面 D1DB＝EO • ∴EO∥D1B， • 又O是BD中点，∴E是DD1中点． • ∴BD1＝2EO＝2a，
• 3．一个三棱锥，如果它的底面是直角三 角形，那么它的三个侧面 ( ) • A．必然都是非直角三角形 • B．至多只能有一个是直角三角形 • C．至多只能有两个是直角三角形 • D．可能都是直角三角形 • 【解析】 例如三棱锥P—ABC中，若 PA⊥面ABC，∠ABC＝90°，则四个侧面 均为直角三角形． • 【答案】 D
• 【解析】 解法1：(1)证明：连结AF， FC1， • ∵三棱柱ABC－A1B1C1是正三棱柱且各棱 长都等于2，又F为BB1的中点， • ∴Rt△ABF≌Rt△C1B1F. • ∴AF＝FC1. • 在△AFC1中，D为AC1的中点， • ∴FD⊥AC1. • (2)取AC的中点E，连结BE及DE，易得DE 与FB平行且相等， • ∴四边形DEBF是平行四边形．
• 1．棱柱 • (1)棱柱的概念 互相平行 • 如果一个多面体有两个面 ，而其 余各面都是 形，并且每相邻两个 四边形 四边 互相平行的 公共边都几何体 ，这些面围成的 叫做棱柱． 垂直于 不垂直于 • 侧棱 底面的棱柱叫做斜棱柱；侧 正多边形 直 棱 底面的棱柱叫做直棱柱；底面是 的 棱柱叫做正棱柱．
• • • •
【解析】 ①正确； ②反例如图所示： 可令AB＝VB＝VC＝BC＝AC， 则△VBC为等边三角形而△VAB与△VCA 均为等腰三角形，但不能判定为正三棱锥； • ③侧面积相等只不过是斜高相等并不能表 示侧面为全等的三角形，故不能判定； • ④正确． • 【答案】 ①④
•
如右图，四棱锥S－ABCD的底面 ABCD是直角梯形，已知SD垂直底面 ABCD，且∠ADC＝∠BCD＝90°，BC＝ CD＝2AD. • (1)求证：平面SBC⊥平面SCD； • (2)E为侧棱SB上的一点， 为何值时， AE∥平面SCD，证明你的结论．
• 1．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1， 则侧棱与底面所成的角为 ( ) • A．75° B．60° • C．45° D．30°
• 【解析】 如图所示，∠PBO即非充分条 件是 ( ) • A．棱柱有一条侧棱和底面垂直 • B．棱柱有一条侧棱和底面的两边垂直 • C．棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直 • D．棱柱有一个侧面是矩形且和底面垂直 • 【解析】 A是充要条件；C是非必要条 件；D是充要条件． • ∴正确答案是B. • 【答案】 B
• (2)棱柱的性质 平行四边形 • ①所有的侧棱都相等，各个侧面都是 ． • 全等多边形 ②两个底面与平行于底面的截面是对应边 互相平行的 ． 平行四边形 • ③过不相邻的两条侧棱的截面都是 ． • (3)(A)棱柱的侧面积和体积公式 • ①直棱柱的侧面积和体积公式 Ch • 如果直棱柱的底面周长是C，高是h，那么 它的侧面积是S直棱柱侧＝ .
• 又∵AB1⊥CD，∴AB1⊥面A1DC. • (3)设AB1与A1D交于点H，∴AH⊥面A1DC • ∴AH即为点A到平面A1DC的距离
•
如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱 长都等于2，D为AC1的中点，F为BB1的中 点． • (1)求证：FD⊥AC1； • (2)求二面角F－AC1－C的大小； • (3)求点C1到平面AFC的距离．
• 解法2：(割法)沿B1OE割开，则AC⊥截面 B1OE.
• 解法3：(补法)把三棱锥补成四棱柱ABCD －A1B1C1得 • VB1－EAC＝VABCD－A1B1C1D1－2VB1－ AA1D1E－VB1－ABC－VE－ACD
•
本题解法2与解法3体现了求棱锥 体积最基本的一种方法——割补法，“切 割法”是把复杂几何体切割成简单体， “补法”是把复杂几何体延伸或补加，构 成简单体，锥体补成柱体，把四面体补成 外接平行六面体等等，其中的“手术”就 是“切”．
• 平面AEF∥平面SCD. • 而AE⊂平面AEF，∴AE∥平面SCD.
•
在棱锥、棱柱中进行线线、线面、 面面的平行与垂直的证明，除了要正确使 用判定定理与性质定理外，对几何体本身 所具有的性质也要正确把握．如正棱锥、 正棱柱的特性，特殊三角形、特殊梯形的 使用等，其次还要注意各种平行与垂直之 间的相互转化，如将线线平行转化为线面 平行或面面平行来解决．
•
1．如图，已知斜三棱柱ABC－ A1B1C1中，AC＝BC，D为AB的中点，平 面ABC⊥平面ABB1A1，异面直线BC1与AB1 互相垂直．
• (1)求证：AB1⊥CD； • (2)求证：AB1⊥平面A1CD； • (3)若AB1＝5，求点A到平面A1CD的距离．
• 【解析】 (1)证明：∵AC＝CB，D是AB 的中点，∴CD⊥AB • 又∵面ACB⊥面ABB1A1 • ∴CD⊥平面ABB1A1 • ∴CD⊥AB1. • (2)证明：取A1B1的中点为E，连C1E • ∴C1E⊥面ABB1A • ∴BC1在面ABB1A上的射影为BE • ∵AB1⊥BC1 ∴AB1⊥BE • 又∵BE∥A1D，∴AB1⊥A1D
• 如果直棱柱的底面面积是S，高是h，那么 它的体积是V直棱柱＝ . Sh • ②斜棱柱的侧面积和体积公式 • 如果斜棱柱的直截面(垂直于侧棱并与每 条侧棱都相交的截面)的周长为C，侧棱长 为l，那么斜棱柱的侧面积是S斜棱柱侧＝ . Cl • 如果斜棱柱的直截面的面积为S，侧棱长 为l，那么它的体积是V斜棱柱＝ .
• • • • • • • •
【解析】 (1)证明：∵SD⊥平面ABCD， ∴SD⊥BC. 又BC⊥CD，故BC⊥平面SCD. BC⊂平面SBC，故平面SBC⊥平面SCD. (2) 时，AE∥平面SCD.证明如下： 取SB的中点E，BC的中点F，连结AF、EF， 则AF∥CD，EF∥SC， 故EF∥平面SCD，AF∥平面SCD；
•
3．(2009年宁厦、海南卷)如图， 在三棱锥P－ABC中，△PAB是等边三角 形，∠PAC＝∠PBC＝90°. • (1)证明：AB⊥PC； • (2)若PC＝4，且平面PAC⊥平面PBC，求 三棱锥P－ABC的体积．
• 【解析】 (1)证明：因为△PAB是等边三 角形，所以PB＝PA. • 因为∠PAC＝∠PBC＝90°，PC＝PC， • 所以Rt△PBC≌Rt△PAC， • 所以AC＝BC. • 如图，取AB中点D，连结PD、CD， • 则PD⊥AB，CD⊥AB， • 所以AB⊥平面PDC， • 所以AB⊥PC.
•
(1)如果棱锥的各侧棱相等或各侧 棱与底面成等角，那么顶点在底面上的射 影是底面多边形的外心；(2)如果棱锥的各 侧面与底面所成二面角均相等，那么顶点 在底面上的射影是底面多边形的内心；(3) 如果三棱锥的三条侧棱两两垂直，那么顶 点在底面上的射影是底面三角形的垂心．
• (2)正棱锥的概念与性质 • 正棱锥：如果一个棱锥的底面是 ， 正多边形 并且顶点在底面的射影是 ， 底面的中心 这样的棱锥叫做正棱锥． • 正棱锥的性质： • ①正棱锥各侧棱 ，各侧面都是 相等 全等的等腰三 ， 角形 • 各等腰三角形底边上的高叫做正棱锥的斜 高，正棱锥的斜高相等．
• 【解析】 (1)延长AC到G使CG＝AC，连 结BG、DG，E是AB的中点，∴BG綊2CE. • 故直线BG和BD所成的锐角(或直角)就是 CE和BD所成的角． • ∵AC⊥平面BDC，∴AC⊥BC. • 又∠ABC＝45°，∴AC＝BC＝CD＝1.
• ∴△BDG为等边三角形． • ∴∠DBG＝60°. • ∴直线BD和CE所成的角是60°.
• 4．底面半径为2的圆锥被过高的中点且平 行于底面的平面所截，则截面圆的面积为 ________． • 【解析】 由题意知截面圆的半径为1， 所以截面圆的面积为π. • 【答案】 π
• 5．如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱 长都为2，E、F分别是AB、A1C1的中点， 则EF的长为________． • 【解析】 取A1B1的中点H，连结EH、 FH，则EH＝2，FH＝1由正三棱柱的性质 知△EFH为Rt△，
棱柱和棱锥是现实生活中较为常 见的几何体，解这类问题首先要对这些几 何体有一个感性的认知，这样才能有较强 的空间想象能力；其次要善于挖掘几何体 中的隐含条件，例如本题中直三棱柱的侧 面都是矩形，侧面与底面垂直等，这些条 件往往是解决问题的关键．
•
2．如图，已知在三角形BCD 中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AC⊥ 平面BCD，∠ABC＝45°，E是AB的中 点． • (1)求直线BD和CE所成的角； • (2)求点C到平面ABD的距离； • (3)若F是线段AC上的一个动点，请确定点 F的位置，使得平面ABD⊥平面DEF.
• (3)由上可知，AB＝BD＝AD＝ ，又E是 AB的中点， • ∴DE⊥AB. • 由平面ABD∩平面DEF＝DE，得AB⊥平面 DEF. • ∴AB⊥EF，即F应为过E的AB的垂线和AC 的交点． • ∵AC＝BC， • ∴AB的中垂线过C点，即F为C点．
•
已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1，点E 在棱DD1上，截面EAC∥BD1，且面EAC 与底面ABCD所成的角为45°，AB＝a，(1) 求截面EAC的面积；(2)求三棱锥B1－EAC 的体积． • 【思路点拨】 本题关键是寻求体积公式 或截面三角形中的未知量，寻求未知量往 往是通过解三角形获得．
• 下面是关于三棱锥的四个命题： • ①底面是等边三角形，侧面与底面所成的 二面角都相等的三棱锥是正三棱椎； • ②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角 形的三棱锥是正三棱锥； • ③底面是等边三角形，侧面的面积都相等 的三棱锥是正三棱锥；
• ④侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与 底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三 棱锥． • 其中，真命题的编号是______．(写出所 有真命题的编号) • 【思路点拨】 根据正三棱锥的概念及性 质直接判定或者举反例．
• • • •
【解析】 (1)连结BD交AC于O，连EO， ∵面ABCD为正方形，∴DO⊥AC. ∵DE⊥面ACD∴EO⊥AC ∴∠EOD为所求二面角的平面角即∠EOD ＝45°.
• (2)解法1：∵D1B∥面EAC且面EAC∩面 D1DB＝EO • ∴EO∥D1B， • 又O是BD中点，∴E是DD1中点． • ∴BD1＝2EO＝2a，
• 3．一个三棱锥，如果它的底面是直角三 角形，那么它的三个侧面 ( ) • A．必然都是非直角三角形 • B．至多只能有一个是直角三角形 • C．至多只能有两个是直角三角形 • D．可能都是直角三角形 • 【解析】 例如三棱锥P—ABC中，若 PA⊥面ABC，∠ABC＝90°，则四个侧面 均为直角三角形． • 【答案】 D
• 【解析】 解法1：(1)证明：连结AF， FC1， • ∵三棱柱ABC－A1B1C1是正三棱柱且各棱 长都等于2，又F为BB1的中点， • ∴Rt△ABF≌Rt△C1B1F. • ∴AF＝FC1. • 在△AFC1中，D为AC1的中点， • ∴FD⊥AC1. • (2)取AC的中点E，连结BE及DE，易得DE 与FB平行且相等， • ∴四边形DEBF是平行四边形．