第四讲：使用公式(上)
必修五 第二章第四讲：公式Sn-Sn-1的应用(1对1辅导精品)
第四讲：公式()21≥-=-n S S a n n n 的应用课程目标 1.掌握和与通项的关系.2.灵活运用和与通项的互化关系解题 课程重点 灵活运用和与通项的互化关系解题 课程难点 灵活运用和与通项的互化关系解题教学方法建议通过经典考题知识点细致梳理，对“公式()21≥-=-n S S a n n n 的应用”部分出现高考题型和方法精讲精练，对不同层次学生可以分层教学，一对一可以就学生的层次有针对性的选择例题讲解。
层次较好的学员可以全部讲解。
选材程度及数量课堂精讲例题 搭配课堂训练题课后作业 A 类（1）道 （ 1）道 （ 3）道 B 类 （2）道 （2）道 （3）道 C 类（ 1）道（ 1）道（ 1）道一：考纲解读、有的放矢公式()21≥-=-n S S a n n n 的应用是高考重点考察的对象，高考中对公式()21≥-=-n S S a n n n 的应用的考察既有选择题、填空题也有解答题，既有容易题和中档题，也有难题；客观题小而巧，主观题大而全。
二:核心梳理、茅塞顿开对任意数列{}n a ，()()⎩⎨⎧≥-==-2111n S S n S a n nn 总是成立的，它解决了已知数列求和公式求通项公式的问题，也为通项公式与求和互化提供了工具。
三：例题诠释，举一反三知识点1：已知数列的前n 项和，求通项公式例题1（2019培英月测A ）已知下列数列{}n a 的前n 项和n S ，分别求它们的通项公式n a . ⑴n n S n 322+=； ⑵13+=n n S .变式：已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，1322-+=n n S n 求数列{}n a 的通项公式：例题2（常考经典题B ）已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，n n S n 211212+=；数列{}n b 满足：113=b ，n n n b b b -=++122，其前9项和为.153⑴求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； ⑵设n T 为数列{}n c 的前n 项和，)12)(112(6--=n n n b a c ，求使不等式57kT n >对+∈∀N n 都成立的最大正整数k 的值.变式：（2010广州外国语学校B ）已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，31=a ，)2(21≥=-n a S S n n n . ⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵数列{}n a 中是否存在正整数k ，使得不等式1+>k k a a 对任意不小于k 的正整数都成立？若存在，求最小的正整数k ，若不存在，说明理由.知识点2：通项与和的互化例题3设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知()21n n n ba b S -=- ⑴证明：当2b =时，{}12n n a n --⋅是等比数列； ⑵求{}n a 的通项公式变式：（2019深圳中学期末调研B 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，1a a =，13n n n a S +=+，*n ∈N . ⑴ 设3n n n b S =-，求数列{}n b 的通项公式； ⑵ 若)(1++∈≥N n a a n n ，求a 的取值范围．例题 4 （2019湖北高考B ）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：1a a =(0)a ≠，n n rS a =+1 (n ∈N *，,1)r R r ∈≠-.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若存在k ∈ N *，使得1+k S ，k S ，2+k S 成等差数列，试判断：对于任意的m ∈N *，且2m ≥，1+m a ，m a ，2+m a 是否成等差数列，并证明你的结论.变式 （2019江苏高考C ） 设M 为部分正整数组成的集合，数列}{n a 的首项11=a ，前n 项和为n S ，已知对任意整数k 属于M ，当n>k 时，)(2k n k n k n S S S S +=+-+都成立.（1）设M=｛1｝，22=a ，求5a 的值；（2）设M=｛3，4｝，求数列}{n a 的通项公式.四：方向预测、胜利在望1.（A 级）已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足：m n m n S S S +=+，且11=a ，那么=10a A.1 B.9 C.10 D.552.（A 级）.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，,52n n S n +=则=n a .3.（A 级）用砖砌墙,第一层(底层)用去了全部砖块的一半多一块,第二层用去了剩下的一半多一块,…依次类推,每一层都用去了上次剩下的砖块的一半多一块,到第十层恰好把砖块用完，问共用了多少块?4.（B 级）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，11=a ，)2(212≥⎪⎭⎫⎝⎛-=n S a S n n n . ⑴求{}n a 的通项； ⑵设12+=n S b nn ，求数列{}n b 的前n 项和n T .5（B 级）.已知1,0≠>a a ，数列{}n b 的前n 项和[])()1(1)1(lg 2+∈-+--=N n a na n a a a S nn ，若数列{}n b 的每一项总小于它后面的项，求a 的取值范围.6.（B 级）数列{}n a 首项11a =，前n 项和n S 与n a 之间满足22 (2)21n n n S a n S =≥-.⑴求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； ⑵求数列{}n a 的通项公式； ⑶设存在正数k ，使()()()1211121n S S S kn +++≥+对+∈∀N n 都成立，求k 的最大值.7.（C 级）设实数数列{}n a 的前n 项和n S ，满足11,()n n n S a S n N *++=∈（Ⅰ）若122,,2a s a -成等比数列，求2S 和3a ； （Ⅱ）求证：对3k ≥有1403k k a a +≤≤≤参考答案： 例题1：14+=∴n a n .⑵⎩⎨⎧≥⨯==∴-)2(32)1(41n n a n n .变式:⎩⎨⎧≥+==∴)2(14)1(4n n n a n 例题2：5+=n a n ；23)1(35+=-+=n n b n .所求最大正整数k 的值为37.变式：⎪⎩⎪⎨⎧≥--=)2()53)(83(18)1(3n n n n ； 最小的正整数.3=k ；例题3()121122222n n n n a b b n b-=⎧⎪=⎨⎡⎤+-≥⎪⎣⎦-⎩; 变式：13(3)2n n n n b S a -=-=-，+∈N n ． a 的取值范围是[)9-+∞，．例题4：21(1),2n n an a r r a n -=⎧=⎨+≥⎩是变式：58;a =2 1.n a n =- 方向预测：1.A2.42+n3. 2046块.4.22)12(2122-=-=n S S a n n n .12)1211(21+=+-=n nn T n5.a 的取值范围().,121,0+∞⎪⎭⎫⎝⎛ 6. 1 (1)2 (2)(21)(23)n n a n n n =⎧⎪∴=⎨-≥⎪--⎩k 的最大值是233 7. 22S =-323a =。
第四讲_贝叶斯公式_独立事件
0.9,0.85,0.8。 求这段时间内有机床需 要工人照管的概率。
已知：P(A)=0.1, P(B)= 0.15, P(C)= 0.2
P(A B C) 1 P(A B C)
1 P(A B C) 1 P(A )P(B)P(C)
1 0.9 0.85 0.8 0.388
P( A1 ) P( A2 ) P( A1 ) P( A3 ) P( A2 A1 A3 )
0.8 2 0.8 2 0.8 3 0.768
例 ： 甲 、 乙 两 人 进 行乓 球 比 赛 ， 每 局 甲 胜概 率 为 , 乒 的 p p 1 / 2.问 对 甲 而 言 ， 采 用 三 二 胜 制 有 利 ， 还 是 采 用 局 五 局 三 胜 制 有 利 。 设局 胜 负 相 互 独 立 。 各
{Y 1500 }
表示抽取的产品的寿命 1500 大于 小时。
例3： 抛 掷 一 枚 硬 币 ， 记 Y分 别 表 示 正 面 、 反 面 现 X、 出 的 次 数 。 {H} {X 1} {Y 0}
作业
P26 23、 26、 34(2) 38 、
例3.证 明 ： 如 果 ( A | B) P ( A | B )， 则 事 件 与 事 件 P A B 相互独立。
本点的函数。 注 ：1、随机变量可以说是样
2、随机变量的取值随试 验结果的变化而变化。
用随机变量取值来表示 事件
的寻呼次数记作, X 例1：某段时间内寻呼台收到
X是随机变量。
“收到 次寻呼” { X 20} 20
问： X 100}表示？ {30
例2：从一大批产品中随机 抽取一件，记产品寿命Y(小时). 为
高一物理第四讲匀变速直线运动 vtxa关系学生版
第四讲 匀变速直线运动中的v 、x 、t 、a 的关系【基础知识】一、匀加速（减速）直线运动的定义：物体的速度随时间均匀增加（减少）的变速直线运动，即相同时间Δt 内速度变化量Δv 都相等。
二、匀变速直线运动的运动规律①速度与时间关系：②位移与时间关系：③速度与位移关系：三、公式推导及深入理解 （一）速度与时间1、由匀变速直线运动的规律a tv=∆∆可得t v ∆=∆·a 即v -v 0=at ，v =v 0+at 2、矢量性：(1)公式中的v 0、v 、a 为矢量，应用公式解题时，一般取v 0的方向为正方向，a 、v 与v 0的方向相同时取正值，与v 0的方向相反时取负值．(2)a 与v 0方向相同时，物体做匀加速运动，a 与v 0方向相反时，物体做匀减速直线运动． （二）位移与时间1、在匀变速直线运动中，其v -t 图象是一条倾斜的直线，要求t 时间内物体的位移，我们可以把时间分成n 小段，从每小段起始时刻的速度乘以时间tn 就近似等于这段时间的位移，各段位移可用一高而窄的小矩形的面积表示，把所有小矩形的面积相加，就近似等于总位移．如图甲所示．如果n 的取值趋向于无穷大，那么结果就很精确了，实际上v -t 直线下面梯形的面积就表示了物体的位移．如图乙所示，面积为：S ＝12(OC ＋AB )×OA ，换上对应的物理量得x ＝12(v 0＋v )t ，把v ＝v 0＋at代入，即得x ＝v 0t ＋12at 2.2、矢量性：因为v 0、a 、x 均为矢量，使用公式时应先规定正方向．一般以v 0的方向为正方向． (1)若a 与v 0同向，则a 取正值； (2)若a 与v 0反向，则a 取负值； (3)若位移计算结果为正值，说明这段时间内位移的方向为正； (4)若位移计算结果为负值，说明这段时间内位移的方向为负．3、重要推论（1）匀变速直线运动的平均速度等于初速度和末速度之和的一半即： （2）某段时间内中间时刻的瞬时速度等于这段时间的平均速度即：（三）速度与位移 1、公式推导 由v =v 0+at 可得a v -v t 0=代入x =v 0t +21at 2可得v 2-v 02=2ax 2、速度与位移的关系式v 2－v 20＝2ax 为矢量式，应用它解题时，一般先规定初速度v 0的方向为正方向 (1)物体做加速运动时，a 取正值，做减速运动时，a 取负值．(2)x >0，说明位移的方向与初速度的方向相同，x <0，说明位移的方向与初速度的方向相反．(3)当v 0＝0时，公式简化为v 2＝2ax . 当加速度一定时，可通过位移求解末速度或通过末速度求解位移． (4)当v ＝0时，公式简化为－v 02＝2ax .在加速度一定时，可通过位移求解初速度或通过初速度求解位移．四、匀变速直线运动的基本公式的比较1．关于基本公式的比较(1)⎭⎪⎬⎪⎫v ＝v 0＋atx ＝v 0t ＋12at 2为基本公式，原则上可解决任何匀变速直线运动问题．如果问题中涉及运动时间，一般优先考虑用两个基本公式求解问题．(2)如果题中无运动时间t ，也不让求运动时间，一般选用导出公式v 2－v 20＝2ax . (3)如果题中无加速度a ，也不涉及到加速度的问题，用v －＝x t ＝v 0＋v 2计算比较方便.【课堂精讲】题型一、速度公式v ＝v 0＋at 的应用例1、（2013•金山区一模）质量为lkg 的小球从空中某处自由下落，与水平地面相碰后弹到空中某一高度，其速度随时间变化的关系如图所示，则（ ） A ．小球下落时离地面的高度为0.45m B ．小球在0.8s 内的路程为0.8mC ．小球第一次反弹后的加速度大小为10m /s2D ．小球与地面碰撞过程中速度的变化量的大小为2m /s解析：A 、小球下落时离地面的高度等于图象在0﹣0.5s 内“面积”大小，即得h 1=m 55.021⨯⨯=1.25m ．故A 错误．B 、小球在0.5﹣0.8s 时间内上升的高度为h 2=m m 45.03.03.021=⨯⨯．则小球在0.8s 内的路程为S =h 1+h 2=1.7m ．故B 错误．C 、速度图象的斜率等于物体的加速度，则得小球第一次反弹后的加速度大小为a =t v ∆∆=3.03m /s 2=10m /s 2．故C 正确．D 、小球与地面碰撞过程中速度的变化量为△v =﹣3m /s ﹣5m /s =﹣8m /s ，速度的变化量的大小为8m /s ．故D 错误．答题技巧：本题解题的关键在于正确理解图象的意义：速度图象的“面积”大小等于物体在某一段时间内发生的位移、斜率等于物体的加速度．熟练掌握运用图象处理物理问题的能力．变式1、（2013•郑州一模）做匀加速沿直线运动的质点在第一个3s内的平均速度比它在第一个5s内的平均速度小3m/s，则质点的加速度大小为（）A．1 m/s2 B．2 m/s2 C．3 m/s2 D．4 m/s2变式2、一质点由静止开始做匀加速直线运动，当它时间为t时，未速度为v t，当它的时间为nt时，末速度为（）A．nv t B．v t n C．n2v t D．n t v变式3、如图所示，在一条平直的公路上有等间距的五个点A，B，C，D，E，相邻两点间距离为L=30m．一辆汽车在公路上做匀加速直线运动，经过这五个点，已知汽车（车头最前端）通过AB段和BC段所用时间分别为3s和2s．试求：（1）汽车的加速度a的大小；（2）汽车（车头最前端）经过E点时刻的速度V的大小．（3）汽车（车头最前端）经过BE所用时间．变式4、猎豹是目前世界上在陆地奔跑速度最快的动物，时速可达上百公里，但不能维持长时间高速奔跑，否则会因身体过热而危及生命．猎豹在一次追击猎物时（如图），经过4s匀加速，速度由零达到最大，然后匀速运动保持了4s仍没追上猎物，为保护自己它放弃了这次行动，以大小为3m/s2的加速度减速，经过10s停下，设此次追捕猎豹始终沿直线运动，求：（1）画出猎豹奔跑过程的速度﹣﹣时间图象；（2）猎豹加速时的加速度多大；（3）全过程中，猎豹奔跑的位移为多少？题型二、位移公式x ＝v 0t ＋12at 2的应用例2、（2010•江西模拟）一架飞机静止在水平直跑道上．飞机起飞过程可分为两个匀加速运动阶段，其中第一阶段飞机的加速度为a 1，运动时间为t 1．当第二阶段结束时，飞机刚好达到规定的起飞速度v 0．飞机起飞过程中，在水平直跑道上通过的路程为s ；求第二阶段飞机运动的加速度a 2的大小和时间t 2．解析：第一、二阶段结束时飞机运动速度分别为V 1=a 1t 1 V 0=V 1+a 2t 2 运动的距离分别为211121t a s =22221221t a t V s +=所以总距离为s =s 1+s 2解得a 2=2112121202t a -s t a -Vt 2=1102112t a V t a -s + 答题技巧：本题是匀变速直线运动规律的直接应用，比较简单．变式1、（2007•北京）图示为高速摄影机拍摄到的子弹穿透苹果瞬间的照片．该照片经放大后分辨出，在曝光时间内，子弹影象前后错开的距离约为子弹长度的1%～2%．已知子弹飞行速度约为500m /s ，由此可估算出这幅照片的曝光时间最接近（ ） A ．10﹣3s B ．10﹣6s C ．10﹣9s D ．10﹣12s变式2、为了测试某一赛车的加速性能，让该赛车在平直的道路上做匀加速直线运动，它经过某一路标时开始计时，此时的速度是6m /s ，经2s 它的速度提升到14m /s ，求： （1）该赛车的加速度有多大？ （2）5S 末该赛车的速度是多少？ （3）经过6s 该赛车通过的位移是多少？变式3、（2014•蒙山县模拟）“10米折返跑”的成绩反应了人体的灵敏素质．测定时，在平直跑道上，受试者以站立式起跑姿势站在起点终点线前，当听到“跑”的口令后，全力跑向正前方10米处的折返线，测试员同时开始计时．受试者到达折返线处时，用手触摸折返线处的物体（如木箱），再转身跑向起点终点线，当胸部到达起点终点线的垂直面时，测试员停表，所用时间即为“10米折返跑”的成绩．设受试者起跑的加速度大小为4m /s 2，运动过程中的最大速度为4m /s ，快到达折返线处时需减速到零，减速的加速度大小为8m /s 2，返回时达到最大速度后不需减速，保持最大速度冲线．求：（1）该受试者在前10米的过程中匀速运动的时间； （2）该受试者“10米折返跑”的成绩为多少秒？变式4、甲乙两辆汽车都从静止出发做加速直线运动，加速度方向一直不变．在第一段时间间隔t 内，两辆汽车的加速度大小不变，汽车甲的加速度大小是a ，汽车乙的加速度大小是2a ；在接下来的相同时间间隔t 内，汽车甲的加速度大小变为2a ，汽车乙的加速度大小变为a ．求甲乙两车各自在这两段时间间隔内走过的总路程之比．题型三、速度与位移公式v 2－v 20＝2ax 的应用例3、做匀加速直线运动的物体，速度从v 增加到2v 时经过的位移是x ，则它的速度从3v 增加到4v 时所发生的位移是（ ）A ．x 23B ．x 25C ．x 35D ．x 37解析：令物体做匀加速直线运动的加速度为a ，则根据匀变速直线运动的速度位移关系v 2﹣v 02=2ax 有：（2v ）2﹣v 2=2ax ，则有x v a 232=当物体速度由3v 增加到4v 时，同样根据速度位移关系有：（4v ）2﹣（3v ）2=2ax ′代入x v a 232=得：x ’=x 37故选D答题技巧：根据速度位移关系列式求解，注意速度因为是匀加速直线运动，物体速度由v 增加到2v 和由3v 增加到4v 时间相同，物体在这两段加速的时间里平均速度不同．变式1、（2011•河南模拟）甲乙丙三辆汽车以相同的速度经过同一路标，从此时开始，甲做匀速直线运动，乙车先加速后减速，丙车先减速后加速，他们通过下一路标的速度相同，则（ ）A ．甲车先通过下一路标B ．乙车先通过下一路标C ．丙车先通过下一路标D ．三辆车同时通过下一路标变式2、列车长为L ，铁路桥长也是L ，列车沿平直轨道匀加速过桥，车头过桥头的速度是v 1，车头过桥尾的速度是v 2，则车尾通过桥尾时的速度为（ ）A ．22v v 1+B ．2v 2﹣v 1C ．2v v 22+21 D ．212v -v 22变式3、一个物体由静止开始以加速度a 1匀加速运动，经过一段时间后加速度突然反向，且大小变为a 2，经过相同时间恰好回到出发点，速度大小为5m /s ．求：（1）21a a 的值； （2）物体加速度改变时速度的大小．题型四、匀变速直线运动规律的灵活应用例4、如图所示，一滑雪运动员从85 m 长的山坡上匀加速滑下，初速度是1.8 m /s ，末速度是5.0 m /s ，滑雪运动员通过这段斜坡需要多长时间？解法一：利用公式v =v 0+at 和x ＝v 0t ＋12at 2求解由公式v =v 0+at 得at =v 一v 0代入x ＝v 0t ＋12at 2有2tv -v t v x 00）（+=故 2520=+=v v xt 解法二：利用公式v 2－v 02=2ax 和v =v 0+at 求解 由公式2ax =v 2－v 02得，加速度 2128.0m/s a = 由公式v =v 0+at 得，需要的时间t=25s解法三：利用平均速度的公式2v v v +=和vt x =求解 平均速度m/s v 4.3= 由vt x =得，需要的时间t=25s变式1、一辆正在匀加速直线行驶的汽车，在5 s 内先后经过路旁两个相距50 m 的电线杆，它经过第二根杆的速度是15 m /s ，求它经过第一根杆的速度及行驶的加速度．变式2、正在匀加速沿水平直轨道运行的列车长为L ，列车通过长度也为L 的桥，前、后速度分别是v 1和v 2，则列车的加速度为( )A .v 22－v 21LB .v 22－v 212LC .v 22－v 214LD ．无法计算变式3、2011年8月10日，改装后的瓦良格号航空母舰首次进行出海航行试验，中国成为拥有航空母舰的国家之一．2012年9月2日，瓦良格航母开始描线涂装舷号，与此前舰艇上黑色字体不同，航母上的“16”为白色字．2012年9月25日，正式更名“辽宁号”，交付予中国人民解放军海军．2013年11月，辽宁舰从青岛赴中国南海展开为期47天的综合南海海域科研试验和训练，期间中国海军以辽宁号航空母舰为主编组了大型远洋航空母舰战斗群，战斗群编列近20艘各类舰艇．2014新年第一天，辽宁号航空母舰顺利返航靠泊青岛某军港．已知该航空母舰飞行甲板长度为L =300m ，某种战斗机在航空母舰上起飞过程中的最大加速度为a =4.5m /s 2，战斗机速度要达到V =60m /s 才能安全起飞（1）如果航空母舰静止，战斗机被弹射装置弹出后开始加速，要保证战斗机起飞安全，战斗机被弹射装置弹出时的速度至少是多大？（2）如果航空母舰匀速前进，在没有弹射装置的情况下，要保证飞机安全起飞，航空母舰前进的速度至少是多少？题型五、追及与相遇问题例5、甲、乙两人在一直道上赛跑，开始时两人相距7m ．比赛开始时两人同时开始运动，假设开始时甲在前即刻能以6m /s 速度匀速运动，而乙在后从静止以2m /s 2的加速度匀加速运动，问： （1）经多长时间乙追上甲？ （2）乙追上甲时的速度多大？ 解析：△S =5m ，V 甲=6m /s ，a 2=2m /s2甲的位移：S 甲=v 0t ① 乙的位移：221at S =乙②∴S 乙=S 甲+△S ③S t v at 0∆+=221 762212+=⨯t tt 2﹣6t ﹣7=0 解得：t =7s t =﹣1s （舍去） 乙追上甲时的速度：V 乙t =at =14m /s答：（1）经过7s 乙追上甲．(2)乙追上甲时的速度为14m /s ．答题技巧：解决本题的关键掌握匀变速直线运动的运动学公式，并能灵活运用．变式1、（2010•孝感一模）一辆摩托车能达到的最大速度为30m /s ，要想在3min 内由静止起沿一条平直公路追上在前面1000m 处以20m /s 的速度匀速行驶的汽车，则摩托车至少以多大的加速度起动？ 甲解法是：设摩托车恰好在3min 时追上汽车，则21at 2=υt +s 0，代入数据得：a =0.28m /s 2． 乙解法是：设摩托车追上汽车时，摩托车的速度恰好是30m /s ，则υm 2=2as =2a （υt +s 0），代入数据得：a =0.1m /s 2你认为甲、乙的解法正确吗？若错误请说明其理由，并写出正确的解题过程．变式2、（2011•泰兴市模拟）甲、乙两汽车沿同一平直公路同向匀速行驶，甲车在前，乙车在后，它们行驶的速度均为16m /s ．已知甲车紧急刹车时加速度大小a l =3m /s 2，乙车紧急刹车时加速度大小a 2=4m /s 2，乙车司机的反应时间为0.5s ．为保证在紧急刹车中两车不相撞，甲、乙两车行驶过程中至少应保持多大距离？【巩固提高】1、甲、乙两辆汽车以相同的恒定速度直线前进，甲车在前，乙车在后．甲车上的人A 和乙车上的人B 各用石子瞄准对方，以相对自身为v 0的初速度同时水平射击对方，若不考虑石子的竖直下落，则（ ） A ．A 先被击中 B ．B 先被击中C ．同时被击中D ．可以击中B 而不能击中A2、质点做直线运动的位移s 与时间t 的关系为s =5t +t 2 （各物理量均采用国际单位制单位），则下列说法正确的是（ ） A ．s 的单位是m ，是国际单位制的一个基本单位 B ．前2s 内的平均速度是6m /s C ．任意相邻1s 内的位移差都是1m D ．任意1s 内的速度增量都是2m /s3、一队伍以某一速度v 0做匀速直线运动，因有紧急情况通知排头兵，一通讯兵以不变的速率跑步从队尾赶到排头，又从排头回到队尾，在此过程中通讯兵的平均速度为v ，则（ ） A .2v v 0=B .v 0=vC .23vv 0= D .v 0=2v4、一质点沿x 轴运动，其位置x 随时间t 变化的规律为：x =15+10t -5t 2（m ），t 的单位为s ．下列关于该质点运动的说法正确的是（ ）A ．该质点的加速度大小为5m /s 2B ．t =3s 时刻该质点速度为零C ．0～3s 内该质点的平均速度大小为5m /sD ．物体处于x =0处时其速度大小为20m /s5、汽车从A 点由静止开始沿直线ACB 做匀变速直线运动，第4s 末通过C 点关闭发动机匀减速前进，再经6s 到达B 点停止．已知AB 长为30m ，则下列说法正确的是（ ） A ．通过C 点时速度大小为3m /s B ．通过C 点时速度大小为6m /s C ．AC 段位移为12mD ．汽车在AC 段与CB 段平均速度相同6、一物体沿光滑斜面由静止开始匀加速下滑，当下滑距离为L 时，物体速度为v ，当物体的速度是2v时，它沿斜面下滑的距离是（ ） A. 4L B . 2LC . 22L D .43L7、子弹以初速度v 0打入两块完全相同的木板，并恰好穿过这两块木板．假设子弹在木板中的运动是匀减速直线运动，则子弹穿越第一块木板后速度为（ ） A .20v B . 30vC . 20v D . 20v8、一物体从t 0=0时刻开始做匀减速直线运动，设位移中点时刻为t 1，速度为v 1，中间时刻为t 2，速度为v 2，下列说法正确的是（ ） A ．t 1=t 2，v 1=v 2 B ．t 1＞t 2，v 1＞v 2C ．t 1＜t 2，v 1＜v 2D ．t 1＜t 2，v 1＞v 29、如图所示，一修路工在长为S =100m 的隧道中，突然发现一列火车出现在离右隧道口200m 处，修路工所处的位置恰好处在无论向左还是向右跑均能脱离危险的位置，问这个位置离隧道右出口的距离是多少？他奔跑的最小速度至少应是火车速度的多少倍？10、2010年4月22日14时43分，某记者从厦门火车站的1号站台上了一列和谐号动车，提前体验福厦高铁的高速．该记者记录了如下数据：动车从静止开始启动经过时间280s 达到速率为70m /s ，并以此速率连续运行了1小时后开始减速进福州站，又经过280s 停靠在站台旁．设动车加速与减速阶段都做匀变速直线运动．试求： （1）动车在加速过程的加速度为多少？ （2）厦门站到福州站的总路程为多少？11、A、B两辆汽车在笔直的公路上同向行驶．当B车在A车前84m处时，B车速度为4m/s，且正以2m/s2的加速度做匀加速运动；经过一段时间后，B车加速度突然变为零．A车一直以20m/s的速度做匀速运动．经过12s后两车相遇．问B车加速行驶的时间是多少？12、超载、超速都会危及人民的生命安全，一货车严重超载后的总质量为50t，以54km/h的速率匀速行驶，发现红灯时司机刹车，货车即做匀减速直线运动，加速度的大小为2.5m/s2不超载时则为5m/s2．（1）若前方无阻挡，问从刹车到停下来此货车在超载及不超载时分别前进多远？（2）在一小学附近，限速为36km/h，若该货车不超载，仍以54km/h的速率匀速行驶，看见正前方有一小孩后立即刹车到停止，幸运的是没有发生车祸，问货车比不超速行驶至少多前进了多远？13、2011年以来我国高速公路发生多起有关客车相撞的严重交通事故，原因之一就是没有掌握好车距．据经验丰富的司机总结：在高速公路上，一般可按你的车速来确定与前车距离，如车速为80km/h，就应与前车保持80m的距离，以此类推．现有一辆客车以108km/h速度行驶，一般司机反应时间为0.5s，反应时间内视为匀速运动，刹车时最大加速度为6m/s2，求：（1）若司机发现前车因故突然停车，则从司机发现危险到客车停止运动，该客车通过的最短路程？并说明按经验，车距保持108m是否可行？（2）若客车超载，刹车最大加速度减为5m/s2；司机为赶时间而超速，速度达到144km/h；且晚上疲劳驾驶，反应时间增为1.5s，则从司机发现危险到客车停止运动，客车通过的最短路程？并说明经验是否可靠？。
高一物理 第四讲 匀变速直线运动-v、t、x、a关系 (学生版)
第四讲 匀变速直线运动中的v 、x 、t 、a 的关系【基础知识】一、匀加速（减速）直线运动的定义：物体的速度随时间均匀增加（减少）的变速直线运动，即相同时间Δt 内速度变化量Δv 都相等。
二、匀变速直线运动的运动规律①速度与时间关系：②位移与时间关系： ③速度与位移关系： 三、公式推导及深入理解 （一）速度与时间1、由匀变速直线运动的规律a tv=∆∆可得t v ∆=∆·a 即v -v 0=at ，v =v 0+at 2、矢量性：(1)公式中的v 0、v 、a 为矢量，应用公式解题时，一般取v 0的方向为正方向，a 、v 与v 0的方向相同时取正值，与v 0的方向相反时取负值．(2)a 与v 0方向相同时，物体做匀加速运动，a 与v 0方向相反时，物体做匀减速直线运动． （二）位移与时间1、在匀变速直线运动中，其v -t 图象是一条倾斜的直线，要求t 时间内物体的位移，我们可以把时间分成n 小段，从每小段起始时刻的速度乘以时间tn 就近似等于这段时间的位移，各段位移可用一高而窄的小矩形的面积表示，把所有小矩形的面积相加，就近似等于总位移．如图甲所示．如果n 的取值趋向于无穷大，那么结果就很精确了，实际上v -t 直线下面梯形的面积就表示了物体的位移．如图乙所示，面积为：S ＝12(OC ＋AB )×OA ，换上对应的物理量得x ＝12(v 0＋v )t ，把v ＝v 0＋at代入，即得x ＝v 0t ＋12at 2.2、矢量性：因为v 0、a 、x 均为矢量，使用公式时应先规定正方向．一般以v 0的方向为正方向． (1)若a 与v 0同向，则a 取正值； (2)若a 与v 0反向，则a 取负值； (3)若位移计算结果为正值，说明这段时间内位移的方向为正； (4)若位移计算结果为负值，说明这段时间内位移的方向为负．3、重要推论（1）匀变速直线运动的平均速度等于初速度和末速度之和的一半即： （2）某段时间内中间时刻的瞬时速度等于这段时间的平均速度即：（三）速度与位移 1、公式推导 由v =v 0+at 可得av -v t 0=代入x =v 0t +21at 2可得v 2-v 02=2ax2、速度与位移的关系式v 2－v 20＝2ax 为矢量式，应用它解题时，一般先规定初速度v 0的方向为正方向 (1)物体做加速运动时，a 取正值，做减速运动时，a 取负值．(2)x >0，说明位移的方向与初速度的方向相同，x <0，说明位移的方向与初速度的方向相反．(3)当v 0＝0时，公式简化为v 2＝2ax . 当加速度一定时，可通过位移求解末速度或通过末速度求解位移． (4)当v ＝0时，公式简化为－v 02＝2ax .在加速度一定时，可通过位移求解初速度或通过初速度求解位移．四、匀变速直线运动的基本公式的比较1．关于基本公式的比较(1)⎭⎪⎬⎪⎫v ＝v 0＋atx ＝v 0t ＋12at 2为基本公式，原则上可解决任何匀变速直线运动问题．如果问题中涉及运动时间，一般优先考虑用两个基本公式求解问题．(2)如果题中无运动时间t ，也不让求运动时间，一般选用导出公式v 2－v 20＝2ax . (3)如果题中无加速度a ，也不涉及到加速度的问题，用v －＝x t ＝v 0＋v 2计算比较方便.【课堂精讲】题型一、速度公式v ＝v 0＋at 的应用例1、（2013•金山区一模）质量为lkg 的小球从空中某处自由下落，与水平地面相碰后弹到空中某一高度，其速度随时间变化的关系如图所示，则（ ） A ．小球下落时离地面的高度为0.45m B ．小球在0.8s 内的路程为0.8mC ．小球第一次反弹后的加速度大小为10m /s2D ．小球与地面碰撞过程中速度的变化量的大小为2m /s解析：A 、小球下落时离地面的高度等于图象在0﹣0.5s 内“面积”大小，即得h 1=m 55.021⨯⨯=1.25m ．故A 错误．B 、小球在0.5﹣0.8s 时间内上升的高度为h 2=m m 45.03.03.021=⨯⨯．则小球在0.8s 内的路程为S =h 1+h 2=1.7m ．故B 错误．C 、速度图象的斜率等于物体的加速度，则得小球第一次反弹后的加速度大小为a =t v ∆∆=3.03m /s 2=10m /s 2．故C 正确．D 、小球与地面碰撞过程中速度的变化量为△v =﹣3m /s ﹣5m /s =﹣8m /s ，速度的变化量的大小为8m /s ．故D 错误．答题技巧：本题解题的关键在于正确理解图象的意义：速度图象的“面积”大小等于物体在某一段时间内发生的位移、斜率等于物体的加速度．熟练掌握运用图象处理物理问题的能力．变式1、（2013•郑州一模）做匀加速沿直线运动的质点在第一个3s内的平均速度比它在第一个5s内的平均速度小3m/s，则质点的加速度大小为（）A．1 m/s2 B．2 m/s2 C．3 m/s2 D．4 m/s2变式2、一质点由静止开始做匀加速直线运动，当它时间为t时，未速度为v t，当它的时间为nt时，末速度为（）A．nv t B．v t n C．n2v t D．n t v变式3、如图所示，在一条平直的公路上有等间距的五个点A，B，C，D，E，相邻两点间距离为L=30m．一辆汽车在公路上做匀加速直线运动，经过这五个点，已知汽车（车头最前端）通过AB段和BC段所用时间分别为3s和2s．试求：（1）汽车的加速度a的大小；（2）汽车（车头最前端）经过E点时刻的速度V的大小．（3）汽车（车头最前端）经过BE所用时间．变式4、猎豹是目前世界上在陆地奔跑速度最快的动物，时速可达上百公里，但不能维持长时间高速奔跑，否则会因身体过热而危及生命．猎豹在一次追击猎物时（如图），经过4s匀加速，速度由零达到最大，然后匀速运动保持了4s仍没追上猎物，为保护自己它放弃了这次行动，以大小为3m/s2的加速度减速，经过10s停下，设此次追捕猎豹始终沿直线运动，求：（1）画出猎豹奔跑过程的速度﹣﹣时间图象；（2）猎豹加速时的加速度多大；（3）全过程中，猎豹奔跑的位移为多少？题型二、位移公式x ＝v 0t ＋12at 2的应用例2、（2010•江西模拟）一架飞机静止在水平直跑道上．飞机起飞过程可分为两个匀加速运动阶段，其中第一阶段飞机的加速度为a 1，运动时间为t 1．当第二阶段结束时，飞机刚好达到规定的起飞速度v 0．飞机起飞过程中，在水平直跑道上通过的路程为s ；求第二阶段飞机运动的加速度a 2的大小和时间t 2．解析：第一、二阶段结束时飞机运动速度分别为V 1=a 1t 1 V 0=V 1+a 2t 2 运动的距离分别为211121t a s =22221221t a t V s +=所以总距离为s =s 1+s 2解得a 2=2112121202t a -s t a -Vt 2=1102112t a V t a -s + 答题技巧：本题是匀变速直线运动规律的直接应用，比较简单．变式1、（2007•北京）图示为高速摄影机拍摄到的子弹穿透苹果瞬间的照片．该照片经放大后分辨出，在曝光时间内，子弹影象前后错开的距离约为子弹长度的1%～2%．已知子弹飞行速度约为500m /s ，由此可估算出这幅照片的曝光时间最接近（ ） A ．10﹣3s B ．10﹣6s C ．10﹣9s D ．10﹣12s变式2、为了测试某一赛车的加速性能，让该赛车在平直的道路上做匀加速直线运动，它经过某一路标时开始计时，此时的速度是6m /s ，经2s 它的速度提升到14m /s ，求： （1）该赛车的加速度有多大？ （2）5S 末该赛车的速度是多少？ （3）经过6s 该赛车通过的位移是多少？变式3、（2014•蒙山县模拟）“10米折返跑”的成绩反应了人体的灵敏素质．测定时，在平直跑道上，受试者以站立式起跑姿势站在起点终点线前，当听到“跑”的口令后，全力跑向正前方10米处的折返线，测试员同时开始计时．受试者到达折返线处时，用手触摸折返线处的物体（如木箱），再转身跑向起点终点线，当胸部到达起点终点线的垂直面时，测试员停表，所用时间即为“10米折返跑”的成绩．设受试者起跑的加速度大小为4m /s 2，运动过程中的最大速度为4m /s ，快到达折返线处时需减速到零，减速的加速度大小为8m /s 2，返回时达到最大速度后不需减速，保持最大速度冲线．求：（1）该受试者在前10米的过程中匀速运动的时间； （2）该受试者“10米折返跑”的成绩为多少秒？变式4、甲乙两辆汽车都从静止出发做加速直线运动，加速度方向一直不变．在第一段时间间隔t 内，两辆汽车的加速度大小不变，汽车甲的加速度大小是a ，汽车乙的加速度大小是2a ；在接下来的相同时间间隔t 内，汽车甲的加速度大小变为2a ，汽车乙的加速度大小变为a ．求甲乙两车各自在这两段时间间隔内走过的总路程之比．题型三、速度与位移公式v 2－v 20＝2ax 的应用例3、做匀加速直线运动的物体，速度从v 增加到2v 时经过的位移是x ，则它的速度从3v 增加到4v 时所发生的位移是（ ）A ．x 23B ．x 25C ．x 35D ．x 37解析：令物体做匀加速直线运动的加速度为a ，则根据匀变速直线运动的速度位移关系v 2﹣v 02=2ax 有：（2v ）2﹣v 2=2ax ，则有x v a 232=当物体速度由3v 增加到4v 时，同样根据速度位移关系有：（4v ）2﹣（3v ）2=2ax ′代入x v a 232=得：x ’=x 37故选D答题技巧：根据速度位移关系列式求解，注意速度因为是匀加速直线运动，物体速度由v 增加到2v 和由3v 增加到4v 时间相同，物体在这两段加速的时间里平均速度不同．变式1、（2011•河南模拟）甲乙丙三辆汽车以相同的速度经过同一路标，从此时开始，甲做匀速直线运动，乙车先加速后减速，丙车先减速后加速，他们通过下一路标的速度相同，则（ ）A ．甲车先通过下一路标B ．乙车先通过下一路标C ．丙车先通过下一路标D ．三辆车同时通过下一路标变式2、列车长为L ，铁路桥长也是L ，列车沿平直轨道匀加速过桥，车头过桥头的速度是v 1，车头过桥尾的速度是v 2，则车尾通过桥尾时的速度为（ ）A ．22v v 1+ B ．2v 2﹣v 1 C ．2v v 22+21D ．212v -v 22变式3、一个物体由静止开始以加速度a 1匀加速运动，经过一段时间后加速度突然反向，且大小变为a 2，经过相同时间恰好回到出发点，速度大小为5m /s ．求：（1）21a a 的值； （2）物体加速度改变时速度的大小．题型四、匀变速直线运动规律的灵活应用例4、如图所示，一滑雪运动员从85 m 长的山坡上匀加速滑下，初速度是1.8 m /s ，末速度是5.0 m /s ，滑雪运动员通过这段斜坡需要多长时间？解法一：利用公式v =v 0+at 和x ＝v 0t ＋12at 2求解由公式v =v 0+at 得at =v 一v 0代入x ＝v 0t ＋12at 2有2tv -v t v x 00）（+=故 2520=+=v v xt 解法二：利用公式v 2－v 02=2ax 和v =v 0+at 求解 由公式2ax =v 2－v 02得，加速度 2128.0m/s a = 由公式v =v 0+at 得，需要的时间t=25s解法三：利用平均速度的公式2v v v +=和vt x =求解 平均速度m/s v 4.3= 由vt x =得，需要的时间t=25s变式1、一辆正在匀加速直线行驶的汽车，在5 s 内先后经过路旁两个相距50 m 的电线杆，它经过第二根杆的速度是15 m /s ，求它经过第一根杆的速度及行驶的加速度．变式2、正在匀加速沿水平直轨道运行的列车长为L ，列车通过长度也为L 的桥，前、后速度分别是v 1和v 2，则列车的加速度为( )A .v 22－v 21LB .v 22－v 212LC .v 22－v 214LD ．无法计算变式3、2011年8月10日，改装后的瓦良格号航空母舰首次进行出海航行试验，中国成为拥有航空母舰的国家之一．2012年9月2日，瓦良格航母开始描线涂装舷号，与此前舰艇上黑色字体不同，航母上的“16”为白色字．2012年9月25日，正式更名“辽宁号”，交付予中国人民解放军海军．2013年11月，辽宁舰从青岛赴中国南海展开为期47天的综合南海海域科研试验和训练，期间中国海军以辽宁号航空母舰为主编组了大型远洋航空母舰战斗群，战斗群编列近20艘各类舰艇．2014新年第一天，辽宁号航空母舰顺利返航靠泊青岛某军港．已知该航空母舰飞行甲板长度为L =300m ，某种战斗机在航空母舰上起飞过程中的最大加速度为a =4.5m /s 2，战斗机速度要达到V =60m /s 才能安全起飞（1）如果航空母舰静止，战斗机被弹射装置弹出后开始加速，要保证战斗机起飞安全，战斗机被弹射装置弹出时的速度至少是多大？（2）如果航空母舰匀速前进，在没有弹射装置的情况下，要保证飞机安全起飞，航空母舰前进的速度至少是多少？题型五、追及与相遇问题例5、甲、乙两人在一直道上赛跑，开始时两人相距7m ．比赛开始时两人同时开始运动，假设开始时甲在前即刻能以6m /s 速度匀速运动，而乙在后从静止以2m /s 2的加速度匀加速运动，问： （1）经多长时间乙追上甲？ （2）乙追上甲时的速度多大？ 解析：△S =5m ，V 甲=6m /s ，a 2=2m /s2甲的位移：S 甲=v 0t ① 乙的位移：221at S =乙②∴S 乙=S 甲+△S ③S t v at 0∆+=221 762212+=⨯t tt 2﹣6t ﹣7=0 解得：t =7s t =﹣1s （舍去） 乙追上甲时的速度：V 乙t =at =14m /s答：（1）经过7s 乙追上甲．(2)乙追上甲时的速度为14m /s ．答题技巧：解决本题的关键掌握匀变速直线运动的运动学公式，并能灵活运用．变式1、（2010•孝感一模）一辆摩托车能达到的最大速度为30m /s ，要想在3min 内由静止起沿一条平直公路追上在前面1000m 处以20m /s 的速度匀速行驶的汽车，则摩托车至少以多大的加速度起动？ 甲解法是：设摩托车恰好在3min 时追上汽车，则21at 2=υt +s 0，代入数据得：a =0.28m /s 2． 乙解法是：设摩托车追上汽车时，摩托车的速度恰好是30m /s ，则υm 2=2as =2a （υt +s 0），代入数据得：a =0.1m /s 2你认为甲、乙的解法正确吗？若错误请说明其理由，并写出正确的解题过程．变式2、（2011•泰兴市模拟）甲、乙两汽车沿同一平直公路同向匀速行驶，甲车在前，乙车在后，它们行驶的速度均为16m /s ．已知甲车紧急刹车时加速度大小a l =3m /s 2，乙车紧急刹车时加速度大小a 2=4m /s 2，乙车司机的反应时间为0.5s ．为保证在紧急刹车中两车不相撞，甲、乙两车行驶过程中至少应保持多大距离？【巩固提高】1、甲、乙两辆汽车以相同的恒定速度直线前进，甲车在前，乙车在后．甲车上的人A 和乙车上的人B 各用石子瞄准对方，以相对自身为v 0的初速度同时水平射击对方，若不考虑石子的竖直下落，则（ ） A ．A 先被击中 B ．B 先被击中C ．同时被击中D ．可以击中B 而不能击中A2、质点做直线运动的位移s 与时间t 的关系为s =5t +t 2 （各物理量均采用国际单位制单位），则下列说法正确的是（ ） A ．s 的单位是m ，是国际单位制的一个基本单位 B ．前2s 内的平均速度是6m /s C ．任意相邻1s 内的位移差都是1m D ．任意1s 内的速度增量都是2m /s3、一队伍以某一速度v 0做匀速直线运动，因有紧急情况通知排头兵，一通讯兵以不变的速率跑步从队尾赶到排头，又从排头回到队尾，在此过程中通讯兵的平均速度为v ，则（ ） A .2v v 0=B .v 0=vC .23vv 0= D .v 0=2v4、一质点沿x 轴运动，其位置x 随时间t 变化的规律为：x =15+10t -5t 2（m ），t 的单位为s ．下列关于该质点运动的说法正确的是（ ）A ．该质点的加速度大小为5m /s 2B ．t =3s 时刻该质点速度为零C ．0～3s 内该质点的平均速度大小为5m /sD ．物体处于x =0处时其速度大小为20m /s5、汽车从A 点由静止开始沿直线ACB 做匀变速直线运动，第4s 末通过C 点关闭发动机匀减速前进，再经6s 到达B 点停止．已知AB 长为30m ，则下列说法正确的是（ ） A ．通过C 点时速度大小为3m /s B ．通过C 点时速度大小为6m /s C ．AC 段位移为12mD ．汽车在AC 段与CB 段平均速度相同6、一物体沿光滑斜面由静止开始匀加速下滑，当下滑距离为L 时，物体速度为v ，当物体的速度是2v时，它沿斜面下滑的距离是（ ） A. 4L B . 2LC . 22LD .43L7、子弹以初速度v 0打入两块完全相同的木板，并恰好穿过这两块木板．假设子弹在木板中的运动是匀减速直线运动，则子弹穿越第一块木板后速度为（ ） A .20v B . 30vC . 20v D . 20v8、一物体从t 0=0时刻开始做匀减速直线运动，设位移中点时刻为t 1，速度为v 1，中间时刻为t 2，速度为v 2，下列说法正确的是（ ） A ．t 1=t 2，v 1=v 2 B ．t 1＞t 2，v 1＞v 2C ．t 1＜t 2，v 1＜v 2D ．t 1＜t 2，v 1＞v 29、如图所示，一修路工在长为S =100m 的隧道中，突然发现一列火车出现在离右隧道口200m 处，修路工所处的位置恰好处在无论向左还是向右跑均能脱离危险的位置，问这个位置离隧道右出口的距离是多少？他奔跑的最小速度至少应是火车速度的多少倍？10、2010年4月22日14时43分，某记者从厦门火车站的1号站台上了一列和谐号动车，提前体验福厦高铁的高速．该记者记录了如下数据：动车从静止开始启动经过时间280s 达到速率为70m /s ，并以此速率连续运行了1小时后开始减速进福州站，又经过280s 停靠在站台旁．设动车加速与减速阶段都做匀变速直线运动．试求： （1）动车在加速过程的加速度为多少？ （2）厦门站到福州站的总路程为多少？11、A、B两辆汽车在笔直的公路上同向行驶．当B车在A车前84m处时，B车速度为4m/s，且正以2m/s2的加速度做匀加速运动；经过一段时间后，B车加速度突然变为零．A车一直以20m/s的速度做匀速运动．经过12s后两车相遇．问B车加速行驶的时间是多少？12、超载、超速都会危及人民的生命安全，一货车严重超载后的总质量为50t，以54km/h的速率匀速行驶，发现红灯时司机刹车，货车即做匀减速直线运动，加速度的大小为2.5m/s2不超载时则为5m/s2．（1）若前方无阻挡，问从刹车到停下来此货车在超载及不超载时分别前进多远？（2）在一小学附近，限速为36km/h，若该货车不超载，仍以54km/h的速率匀速行驶，看见正前方有一小孩后立即刹车到停止，幸运的是没有发生车祸，问货车比不超速行驶至少多前进了多远？13、2011年以来我国高速公路发生多起有关客车相撞的严重交通事故，原因之一就是没有掌握好车距．据经验丰富的司机总结：在高速公路上，一般可按你的车速来确定与前车距离，如车速为80km/h，就应与前车保持80m的距离，以此类推．现有一辆客车以108km/h速度行驶，一般司机反应时间为0.5s，反应时间内视为匀速运动，刹车时最大加速度为6m/s2，求：（1）若司机发现前车因故突然停车，则从司机发现危险到客车停止运动，该客车通过的最短路程？并说明按经验，车距保持108m是否可行？（2）若客车超载，刹车最大加速度减为5m/s2；司机为赶时间而超速，速度达到144km/h；且晚上疲劳驾驶，反应时间增为1.5s，则从司机发现危险到客车停止运动，客车通过的最短路程？并说明经验是否可靠？。
第四讲：(相遇问题)
第四讲：小学应用题分类讲解（相遇问题）相对（相向），即两物体分别从A.B两地面对面运动。
常常出“同时”“不同时”两种情况。
结果特征：方向相反，时间同时（不同时），结果相遇。
它们的基本关系式如下：总路程=（甲速+乙速）×相遇时间相遇时间=总路程÷（甲速+乙速）另一个速度=甲乙速度和-已知的一个速度例1：两地相距500米，小红和小明同时从两地相向而行，小红每分钟行60米，小明每分钟行65米，几分钟相遇？例2.两地相距500米，小红和小明分别从两地相向而行，但是小红提前了10分钟。
小红每分钟行60米，小明每分钟行65米，几分钟相遇？例3：一列客车和一列货车分别从甲乙两地同时相对开出，10小时后在途中相遇。
已知货车平均每小时行45千米，客车每小时的速度比货车快20﹪，求甲乙相距多少千米？例4：一列货车和一列客车同时从相距648千米的两地相对开出，4.5小时相遇。
客车每小时行80千米，货车每小时行多少千米？同向：即运动物体的运动方向相同。
常常有同一出发点和不同出发点两种情况。
根据速度差、距离差和追及时间三者之间的关系，常用下面的公式：距离差=速度差×追及时间追及时间=距离差÷速度差速度差=距离差÷追及时间速度差=快速-慢速㈠同一出发点：例.甲乙两车同时从A地出发到达1000㎞远的B地，甲车60㎞/小时，乙车40㎞/小时，甲车到达B后立即返回A地。
①经过多少小时后甲乙两车相遇？②相遇点离B地多远？分析①甲车到达B后返回与乙车相遇，甲乙两车合行了2个AB全程，即1000×2㎞.甲乙合行2000㎞需要2000÷（60＋40）=20小时（即相遇时间）。
②相遇时乙行40×20=800㎞，距离B地1000－800=200（㎞）.列式①1000×2÷（60＋40）=20（小时）②1000-40×20=200（㎞）答：经过20小时两车相遇，相遇点距离B地200㎞。
(110920)第四讲：平行四边形法
思考: L W R R0 中的R0只代表当前费率,经验损失率 W 损失率法 中 ER0 T 的分母为经验期内用R0计算的承担保费,若经验期内不同年份的费 率发生过变化,则以往统计数据中的实际承担保费并不全由R0计 算而得,此时如何使用定过程
纯保费法
损失率法
上一讲重点
费率厘定过程
纯保费法：
PF R 1V Q
W R R0 T
为经验损失率， L T 为目标损失率
损失率法：
其中：W L
ER0
ER
损失率法的作用是什么? 用经验损失率和目标损失率调整当前费率（即调整现行费率）
非寿险精算
第四讲 2.费率厘定过程 之 平行四边形法
平行四边形法计算均衡保费
假设前提：假定危险单位在经验期内均匀分布（已承担的危险 单位随时间的增加而成比例增加） 计算方法：根据历次费率调整时点画出平行四边形——计算经验 期内每一年度的平均费率水平（对当时各费率进行加权平均）— 计算经验期内每一年度的均衡费率因子——计算每一年度均衡保 费
小结
平行四边形法计算均衡保费的作用体现
平行四边形法计算均衡保费
注：97年7月1日以后的费率水平才影响到2000年，因此设该费率水 平为1.000
平行四边形法计算均衡保费
平行四边形法计算均衡保费
平行四边形法计算均衡保费
练习: 计算2001年、2002年的费率平均水平和均衡费率因子。
平行四边形法计算均衡保费
平行四边形法：计算均衡保费的方法
由损失率法计算新费率时： 公式
R W R0 T
需要用到经验损失率 W
L ，其中分母为经验 ER0
高一英才班数学第四讲诱导公式
/4・41—cos a -sina 化简：-—6 十 1「cos ：「sin -■2015年寒春班高一英才数学第四讲（150206)诱导公式、复习与练习 1.同角三角比的三种关系八个关系式. （1）倒数关系: sin ： esc ： =1,cos ： sec ： =1,tan ： cot ： =1 。
（2）商的关系: , sin a , cosa tan , cot ：cosa sin a （3）平方关系: 2 2 2 2 2 2 sin 二 “ cos 1,1 tan sec 工,1 cot csc :。
这三种关系，八个公式，称为同角三角比的基本关系。
可以用右图表示出来。
复习练习【题目 1 cos ： 1 - cos ：“二 、-■ ，：（勺，二） 1】化简:Y1—cosa Y1+coso【题目 (1) 2】已知tan 〉=2，求下列各式的值:sin -cos: cos ： 2sin :(2) sin 2 ：亠sin _::cos ：亠3cos 2：(3)sin 2 二亠 sin ： cos:-【题目 4】2sin ： cos ：二 一、5，贝y tan ：【题目5】cos- .聖1,则角二是第1 tan2 二.1象限角1tan 2【题3】【题目6】已知sin ：• =2cos :•，求下列各式的值:2圆心在原点的单位圆上点的坐标为 P （cos a sin%）.【题目7】已知关于x 的方程2x -（■■、3-1）x • m = 0的两个根为sin^与cos^且［三［0,二，求:・2（1）一巴2°^ 的值.（2）m 的值•（ 3）tan 的值•sin 6 -co^ 1—tan O【题目8】已知tan 〉、an^是方程x 2 3x ^0的两根，且：•、1"（-一「），那么2 2 为 ___________ 。
【题目 10】若 sin^ - sin 2 -1,贝y cos - cof 二二2 2 2 2【题目 11】8. sin 1 °+sin 2°sin 3° + …+s ii 89°(1)sin ： -4cos ： 5sin = -2cos ：2(2)sin 二-2sin ： cos ：兀 1 【题目 9】已知 x 0,sinx cosx .(1)求 sinx-cosx 的值;(2)2 5 3sin 2x-2sin°co£ cosf-2 2 2的值•tanx -tanx89 2tan （_： ） _ - tan ：，cot （八）_ _ cot ：。
第四讲-平面图形的面积（一）
第四讲-平面图形的面积（一）第四讲平面图形的面积（一）在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么。
——毕达哥拉斯（古希腊数学家）【知识对对碰】基本概念：本讲中的平面图形面积计算主要指多边形及其组合图形面积的计算。
基本思路：1.切实掌握有关简单图形的概念、公式，牢固建立空间观念；2.仔细观察，认真思考，看清所求图形是由哪几个基本图形组合而成的；3.适当采用增加辅助线等方法帮助解题；4.采用割、补、分解、代换等方法，可将复杂问题变得简单。
关键问题：将一般多边形及其组合图形“转化”为基本图形。
公式： (1)三角形面积=底×高÷2 (2)平行四边形面积=底×高(3)梯形面积=（上底+下底）×高÷2 (4)长方形面积=长×宽(5)正方形面积=边长 2【名题典中典】模块一、等高的三角形、平行四边形和梯形。
【例1】已知平行四边形的面积是28平方厘米，求阴影部分的面积。
28÷4=7（厘米）7-5=2（厘米）S=ah ÷2=2×4÷2=4（平方厘米）答：面积是4平方厘米。
【思路导航】4厘米既是平行四边形的高，也是阴影三角形的高，平行四边形的面积是28平方厘米，它的底为28÷4=7（厘米），平行四边形的底减去5厘米就是三角形的底，7-5=2（厘米）。
根据三角形的面积公式直接求出阴影部分的面积。
画龙点睛：求阴影部分的面积最直接的方法是利用面积计算公式直接求阴影面积；还可以用总面积减去空白面积求得阴影部分面积。
这两种是最常用最简便的方法。
（tips ：解图形题时，最好能把关键数据在图中标出，以方便观察。
如边长、高、底等。
）【我能行】1、已知平行四边形的面积是18平方分米，求阴影部分的面积。
2下面的梯形中，阴影部分的面积是150平方厘米，求梯形的面积。
3、下图中，大梯形的面积是多少？（单位：厘米）模块二：三角形的面积画龙点睛：“等积变换”是解决图形题中经常用的一种方法。
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实例1 输入公式
实例要求：在Sheet1的若干单元格中输入各种不同形式的公式或函数。
应掌握的操作：
∙输入公式；
∙在公式中引用单元格；
∙输入公式中的函数。
具体操作
任务1：在单元格E1中输入公式：1*2+2*3；在单元格E3中输入公式：1*（2+2）*3。
1、单击E1 → 输入：=1*2+2*3 → 按Enter 键确认；
2、单击E3 → 在编辑栏中输入：=1*（2+2）*3 → 单击编辑栏上绿色对勾按钮确认。
说明：
（1）单击含运算结果的单元格，公式内容显示在编辑栏中；
（2）修改公式在单元格或编辑栏中进行均可；
（3）算术运算符的优先级别请参看教材47页表4.1。
任务2：在C3单元格中输入公式：A1*A2+A2*A3。
1、选中A3 → 输入：=A1*A2+（直接从键盘输入引用的单元格）；
2、单击A2 → 输入：* → 单击A3 → 确认（用鼠标选定引用的单元格）。
任务3：在单元格A6中直接输入函数：AVERAGE(A1:A4)。
选中A6 → 输入：= AV ERAGE(A1:A4) → 确认；
任务4：用“粘贴函数”的方式在单元格E5中输入公式：10+ AVERAGE(E1,C3,10)。
1、选中E5 → 输入：=10+；
2、单击“插入”菜单的“函数”项，打开“粘贴函数”对话框；
3、在“函数分类”列表中选中“常用函数” → 在“函数名”列表中选中“AVERAGE” → “确定”，打开“AVERAGE”对话框；
4、单击“Number1”参数框右端的“压缩”按钮→ 在工作表中选中E1 → 选中C3 →单击“还原”按钮；
5、在“Number2”参数框中输入：10 → “确定”。
说明：
（1）公式中单元格区域的引用，可以从键盘输入，也可以用鼠标在工作表中选定；
（2）函数可以从键盘输入，也可以粘贴；
（3）单击编辑栏上的“=”（编辑公式）按钮，左端的名称框自动变成函数框，可以直接从这里选择常用函数粘贴；√
（4）编辑栏上的“√”（输入）按钮的作用是确认单元格内容的输入，“×”（取消）按钮的作用是取消输入。
实例2 使用运算符
实例要求：在工作表Sheet2中进行各类运算符单独使用和多类运算符联合使用的练习。
应掌握的操作：
∙四类运算符的使用规则；
∙各类运算符的优先级别；
∙不同类型的数据之间进行运算时系统自动转换数据类型的功能。
具体操作
任务1：使用文本运算符“&”，在C1和E1两个单元格中各输入一个文字运算公式。
（在单元格A1中已输入abc三个字符。
）
1、在C1中输入公式：=A1& “123” → 确认；
2、在E1中输入公式：= “xyz”& “123” → 确认；
说明：
（1）在文本运算公式中，运算符“&”两边的文字常量要用双引号括起来；
（2）文本运算符只有一个。
任务2：使用比较运算符，在C3、E3、C4、E4处分别输入一个比较运算公式。
1、在单元格C3中输入公式：=10>=A3；
2、在单元格E3中输入公式：=A3<>10；
3、在单元格C4中输入公式：=A4> “2”；
4、在单元格E4中输入公式：= “ac”>=A1；
说明：
（1）比较运算的结果是一个逻辑值“TRUE”或“FALSE”；
（2）西文文字值的比较，依据其ASCII码值；汉字值的比较，依据其内码的码值，其中3755个一级汉字的内码值顺序与字母顺序一致；
（3）六个比较运算符的优先级别相同。
任务3：使用引用运算符，分别在E6、E7、E8、E9中输入一个引用运算公式。
（单元格区域A6:C8中已输入1-9九个数字。
）
1、在单元格E6中输入公式：=SUM(A6:C8)；
2、在单元格E7中输入公式：=SUM(A6,C7)；
3、在单元格E8中输入公式：=SUM(A6:B8 B6:C8)；
4、在单元格E9中输入公式：=SUM(A6:B7 B7:C7 , C8)；
说明：
（1）引用运算符有三个：
冒号—区域运算符，引用一个单元格区域；
空格—交叉运算符，引用同时隶属于两个引用的区域；
逗号—联合运算符，将多个引用合并起来；
（2）引用运算符的优先级别由高到低的排列为：冒号、空格、逗号。
任务4：多类运算符的联合使用。
1、在单元格A10中输入公式：=2+3>5；
2、在单元格C10中输入公式：= “12”*10；
3、在单元格E10中输入公式：= “1900/1/5”+ “1900/1/10”；
4、在单元格A12中输入公式：=2&3；
5、在单元格C12中输入公式：=2& “a”< “2b”；
6、在单元格E12中输入公式：= 2+3&“23”；
7、在单元格C14中输入公式：= 2+(3& “23”)。
说明：
（1）各类运算符的优先级别从高到低排列的次序为：引用运算符、算术运算符、文本运算符、比较运算符。
（2）各类运算符的运算对象是特定的，若公式中出现的运算对象与运算符不相配，Excel 一般会自动对其进行类型转换。