测量误差的基本知识
第五章 测量误差的基本知识
在测量工作中，如某个误差超过了容许误差，则相应 观测值应舍去重测。
3.相对误差
绝对误差值与观测值之比，称为相对误差。在某 些测量工作中，有时用中误差还不能完全反映测量精度， 例如测量某两段距离，一段长200m，另一段长100m， 它们的测量中误差均为±0.2m，为此用观测值的中误差 与观测值之比，并将其分子化为1，即用1/K表示，称为 相对误差。
180°00ˊ00"
0
0
179°59ˊ57"
-3
9
180°00ˊ01"
+1
1
24
130
m2
2 3.6 10
两组观测值的误差绝对值相等 m1 < m2，第一组的观测成果的精度高于第二组观测成
果的精度
2.容许误差
容许误差又称极限误差。根据误差理论及实践证明， 在大量同精度观测的一组误差中，绝对值大于两倍中误差 的偶然误差，其出现的可能性约为5%；大于三倍中误差 的偶然误差，其出现的可能性仅有3‰，且认为是不大可 能出现的。因此一般取三倍中误差作为偶然误差的极限误 差。
全微分
dZ Kdx
得中误差式 mZ K 2mx2 Kmx
例：量得 1:1000 地形图上两点间长度l =168.5mm0.2mm,
计算该两点实地距离S及其中误差ms： 解：列函数式 S 1000 l
求全微分 dS 1000dl
mS 1000ml 1000 0.2 200mm 0.2m
测量误差＝观测值－真值
观测误差来源于仪器误差、人的感官能力和外界环境 （如温度、湿度、风力、大折光等）的影响，这三方面的 客观条件统称观测条件。
测量误差的基本知识汇总
测量误差的基本知识在测量工作中，对某量( 如某一个角度、某一段距离或某两点间的高差等 ) 进行多次观测，所得的各次观测结果总是存在着差异，这种差异实质上表现为每次测量所得的观测值与该量的真值之间的差值，这种差值称为测量真误差，即:测量真误差 =真值 - 观测值一、误差产生的原因 :1．观测者由于观测者感觉器官鉴别能力有一定的局限性，在仪器安置、照准、读数等方面都产生误差。
同时观测者的技术水平、工作态度及状态都对测量成果的质量有直接影响。
2．测量仪器每种仪器有一定限度的精密程度，因而观测值的精确度也必然受到一定的限度。
同时仪器本身在设计、制造、安装、校正等方面也存在一定的误差，如钢尺的刻划误差、度盘的偏心等。
3．外界条件观测时所处的外界条件，如温度、湿度、大气折光等因素都会对观测结果产生一定的影响。
外界条件发生变化，观测成果将随之变化。
上述三方面的因素是引起观测误差的主要来源，因此把这三方面因素综合起来称为观测条件。
观测条件的好坏与观测成果的质量有着密切的联二观测误差分类：1．系统误差在相同的观测条件下，对某量进行一系列的观测，若观测误差的符号及大小保持不变，或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。
这种误差往往随着观测次数的增加而逐渐积累。
如某钢尺的注记长度为 30m，经鉴定后，它的实际长度为 30.016m，即每量一整尺，就比实际长度量小0.016m，也就是每量一整尺段就有+0.016m 的系统误差。
这种误差的数值和符号是固定的，误差的大小与距离成正比，若丈量了五个整尺段，则长度误差为 5×(+0.016)=+0.080m。
若用此钢尺丈量结果为 167.213ｍ，则实际长度为：167.213＋167.213×0.0016=167.213＋0.089=167.302(ｍ) 30系统误差对测量成果影响较大，且一般具有累积性，应尽可能消除或限制到最小程度，其常用的处理方法有：1．检校仪器，把系统误差降低到最小程度。
测量误差的基本知识
第五章测量误差的基本知识本章摘要：本章主要介绍测量误差的种类；偶然误差的统计特征和处理方法；精度的含义；评定测量精度的指标；不同精度指标表达的意义及其适用范围。
§5-1测量误差及分类摘要内容：学习误差理论知识的目的，使我们能了解误差产生的规律，正确地处理观测成果，即根据一组观测数据，求出未知量的最可靠值，并衡量其精度；同时，根据误差理论制定精度要求，指导测量工作选用适当观测方法，以符合规定精度。
讲课重点：测量误差的概念、测量与观测值分类、测量误差及其来源、测量误差的种类、偶然误差的特性及其概率密度函数。
讲课难点：偶然误差的特性及其概率密度函数。
讲授重点内容提要：一、测量误差的概念人们对客观事物或现象的认识总会存在不同程度的误差，这种误差在对变量进行观测和量测的过程中反映出来，称为测量误差。
二、测量与观测值通过一定的仪器、工具和方法对某量进行量测，称为观测，获得的数据称为观测值。
三、观测与观测值的分类1.同精度观测和不同精度观测观测条件：构成测量工作的要素包括观测者、测量仪器和外界条件，通常将这些测量工作的要素统称为观测条件。
同精度观测：在相同的观测条件下，即用同一精度等级的仪器、设备，用相同的方法和在相同的外界条件下，由具有大致相同技术水平的人所进行的观测称为同精度观测，其观测值称为同精度观测值或等精度观测值。
反之，则称为不同精度观测，其观测值称为不同（不等）精度观测值。
2.直接观测和间接观测直接观测：为确定某未知量而直接进行的观测，即被观测量就是所求未知量本身，称为直接观测，观测值称为直接观测值。
间接观测：通过被观测量与未知量的函数关系来确定未知量的观测称为间接观测，观测值称为间接观测值。
（说明：例如，为确定两点间的距离，用钢尺直接丈量属于直接观测；而视距测量则属于间接观测。
）3.独立观测和非独立观测独立观测：各观测量之间无任何依存关系，是相互独立的观测，称为独立观测，观测值称为独立观测值。
第5章 测量误差的基本知识
结论
在观测过程中，系统误差和偶然误差往往是同时存在 的。当观测值中有显著的系统误差时，偶然误差就居 于次要地位，观测误差呈现出系统误差的性质；反之， 呈现出偶然误差的性质。因此，对一组剔除了粗差的 观测值，首先应寻找、判断和排除系统误差，或将其 控制在允许的范围内，然后根据偶然误差的特性对该 组观测值进行数学处理，求出最接近未知量真值的估 值，称为最或是值；同时，评定观测结果质量的优劣， 即评定精度。这项工作在测量上称为测量平差，简称 平差。
2 相对误差
对于衡量精度来说，有时单靠中误差还不能完全表达观 测结果的质量。 例如，测得某两段距离，一段长200m，另一段长1000m， 观测值的中误差均为±0.2m 。从表面上看，似乎二者精 度相同，但就单位长度来说，二者的精度并不相同。这 时应采用另一种衡量精度的标准，即相对误差。 相对误差：是中误差与观测值之比，是个无量纲数，在 测量上通常将其分子化为1。即用K=1/N的形式来表示。 上例前者的相对中误差为0.2/200=1/1000，后者为 0.2/1000=1/5000。显然，相对中误差愈小（分母愈 大），说明观测结果的精度愈高，反之愈低。
解：水准测量每一站高差： hi ai bi (i 1,2....,n)
则每站高差中误差
m站 m读 m读 m读 2
2 2 2.8m m
观测n站所得总高差 h h1 h2 hn 则n站总高差h的总误差
2
2
m总 m站 n 2.8 nmm
2
第二组观测 观测值 l Δ 0 180°00ˊ00" +1 159°59ˊ59" -7 180°00ˊ07" -2 180°00ˊ02" -1 180°00ˊ01" 179°59ˊ59" 179°59ˊ52" 180°00ˊ00" 179°59ˊ57" 180°00ˊ01" +1 +8 0 +3 -1 24
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（三）误差处理原则
粗差（错误） 测错，记错，算错……可以避免
错误在测量成果中不允许存在，舍弃重测。
防止粗差和提高成果精度（偶然误差方面）
“ 多余观测”发现粗差剔除或重测，由 多余观测产生的往返差、不符值、闭合差， 可根据差值大小评定精度，超限重测，不超 限调整之。
系统误差应尽可能按其产生的原因和 规律加以改正、抵消或削弱，如： 校正 仪器、观测值加改正数、对称观测：水准， 前后视距离相等；测角，盘左盘右取平均 值。
不同时间的多次观测，有可能削弱部 分情况不明的系统误差
四、偶然误差的特性 测量误差理论主要讨论具有偶然误差的
一系列观测值中如何求得最可靠的结果和评 定成果的精度
n
n
可证明其合理性和可靠性
推导过程
设未知量的真值为X，可写出观测值的真 误差公式为
i li X （i=1，2，…，n） 将上式相加得
1 2 n ( l1 l2 ln ) nX
或
[][l]nX
故
X l
nn
观测值的算术平均值 x 算术平均值真误差x
则有
X xx
由偶然误差第四特性知道，当观测次数无限 增多时，Δx趋近于零，
标准差为
第二节 评定精度的标准
为对观测值的精度作出科学的评定，常 用中误差、极限误差、相对误差为评定精度 的标准。
一.中误差
定义 在相同条件下，对某量（真值为X）
进行n次观测，观测值l1，l2，……，ln，偶然误
差（真误差）Δ1， Δ2，……，Δn，则中误 差M的定义式为：
M 2 lim n n
误差的容许误差，即Δ容=2m 或 Δ容=3m 。
测量学测量误差的基本知识
1 X X i X 0 n i 1
当n较大时，可用下式估算为：
。
n
X X
i
X
nn 1
二、中误差 定义 • 标准差(standard deviation)
[] lim n n
• 中误差(mean square error)
[] ˆ m n
1 2 n lim lim 0 n n n n
直方图
误差分布曲线
1 f () e 2
2 2 2
5.2 评定精度的指标
一、平均误差
平均误差即算术平均误差，其定义为：在对某量进行一 系列观测中，各次观测误差的绝对值的算术平均值叫算术平 均误差，记为 X 。
• 设三角形闭合差为
L3
i i i i 180
L1 L2
偶然误差分布情况统计
误差区间 dΔ （″）
0~3 3~6 6~9 9~12 12~15
正 误 差 个数k 频率k/n
30 21 15 14 12 0.138 0.097 0.069 0.065 0.055
合 计 负 误 差 个数k 频率k/n 个数k 频率k/n
vv n
2
因为 所以
L X
L X
n
l L
n
l X l X
n n
2 2
n2 1 2 2 1 22 2n 21 2 2 2 3 2 n 1 n n 2 2 2 (1 2 2 3 n 1 n ) n n
1 m D
0.02 1 D1 100 5000
测量误差的基本知识
项目二
测量误差的基本知识
任务1 任务1 测量误差 任务2 任务2 衡量精度的指标
任务1 任务1 测量误差
1.1 测量误差
任何观测量都存在一个真值(理论值) 任何观测量都存在一个真值(理论值)。由 于客观原因使得观测值总与它的理论值有一定 的差异，在测量上称为观测误差，用△表示。 表示。 的差异，在测量上称为观测误差， 观测误差
偶然误差具有如下特性： 偶然误差具有如下特性：
（1）有界性 在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。 在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。 （2）聚中性 绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多。 绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多。 （3）对称性 绝对值相等的正负误差出现的机会大致相等。 绝对值相等的正负误差出现的机会大致相等。 （4）抵偿性 随着观测次数的增加，偶然误差的算术平均值趋近于零。 随着观测次数的增加，偶然误差的算术平均值趋近于零。
2.极限误差 2.极限误差
极限误差就是最大误差。 极限误差就是最大误差。 我国现行的作业规范中，以二倍中误差做为极限误差。 我国现行的作业规范中，以二倍中误差做为极限误差。
△限=
3.相对误差 3.相对误差
测量误差基本知识
率为：
P() f ()d
1
e
2 2m2
d
2 m
误差出现在K倍中误差区间内的概率为：
km
P( km)
1
e
2 2m2
d
km 2 m
将K=1、2、3分别代入上式，可得到偶然误差分别出现在
一倍、二倍、三倍中误差区间内的概率：
P(|| m)=0.683=68.3
P(||2m)=0.954=95.4
§5.1 测量误差概述
◆测量与观测值
◆观测与观测值的分类
● 观测条件 ● 等精度观测和不等精度观测 ● 直接观测和间接观测 ● 独立观测和非独立观测
§5.1 测量误差概述
◆ 测量误差及其来源
● 测量误差（真误差=观测值-真值） l X
● 测量误差的表现形式
l X （观测值与真值之差） ij li l j （观测值与观测值之差）
解： K1=—01.00—02 =5—00—10 ； K2= —02.00—02 = —101—000 K2<K1，所以距离S2精度较高。
§5.5 误差传播定律
一.一般函数的中误差
设有函数： Z F(x1, x2,, xn )
(a)
xi为独立观测值
设 xi有真误差 xi ，函数 Z 也产生真误差
用DJ6经纬仪观测三角形内角时，每个内角观
测4个测回取平均，可使得三角形闭合差 m15 。
误差传播定律的应用
例2：试用中误差传播定律分析视距测量的精度。
解:(1)测量水平距离的精度
基本公式： D Kl cos2
求全微分：
dD D dl D d K cos2 dl (2Kl sin cos ) d
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1、对某一量进行观测后得到一组观测值,则该量的最或是值为这组观测值的（ ）。
A、最大值
B、 最小值
C、算术平均值
D、中间值
2、观测三角形三个内角后,将它们求和并减去180°,所得到的三角形闭合差为（ ）。
A、中误差
B、 真误差
C、相对误差
D、系统误差
3、系统误差具有的特点是（ ）。
A、偶然性
B、 统计性
C、累积性
D、抵偿性
4、一组测量值的中误差越小,表明测量精度越（ ）。
A、高
B、 低
C、精度与中误差没有关系
D、无法确定
5、边长测量往返差值的绝对值与边长平均值的比值称为（ ）。
A、系统误差
B、 平均中误差
C、偶然误差
D、相对误差
6、角度测量读数时的估读误差属于（ ）。
A、中误差
B、 系统误差
C、偶然误差
D、相对误差
7、对某角观测了9个测回,每测回的测角中误差为±6″,则该角平均值的中误差
是（ ）。
A、±0.67″
B、 ±2″
C、±18″
D、±6″
8、在水准测量中,每站观测高差的中误差为±5mm,若从已知点推算待定点高程要
求高程中误差不大于20mm,所设站数最大不能超过（ ）。
A、4站
B、 8站
C、16站
D、24站
9、下列水准测量误差中,属于偶然误差的是（ ）。
A、水准管居中误差
B、 水准尺倾斜误差
C、水准管轴不平行于视准轴的误差
D、地球曲率的影响
10、下列水平角测量误差中,属于系统误差的是（）。
A、度盘刻划误差
B、 瞄准误差
C、 对中误差
D、 横轴误差
11、甲、乙两组对同一观测量观测，其误差分别为：
甲组：0、-3、+2、+3、-2、+1、-1
乙组：+5、0、-1、0、-6、0、+1
对它们观测质量评价对的是（）。
A、甲组观测质量好
B、 乙组观测质量好
C、 甲、乙组观测质量一样
D、 无法评价
12、观测值的中误差，其概念是（ ）。
A、每个观测值平均水平的误差
B、 代表一组观测值的平均误差
C、 代表一组观测值中各观测值的误差
D、 代表一组观测值取平均后的误差
14、误差传播定律是用数学的方法建立（ ）。
A、各种误差之间关系的定律
B、 观测值中误差与其函数值中误差关系的定律
C、 观测值中误差与最或是值中误差关系的定律
D、 各种误差相互传递的定律
15、所谓等精度观测，一般是指（ ）。
A、相同技术水平的人，使用同精度的仪器，采用相同的方法在大致相同外界条
件下的观测
B、 相同技术水平的人，使用同一种仪器，采用相同的方法在大致相同外界条
件下的观测
C、 同一个人，使用同一种仪器，采用相同的方法在大致相同外界条件下的观
测
D、 根据观测数据，计算观测结果的精度是相同的
16、计算中误差时，一般多采用观测值的改正数v来计算，其原因是（ ）。
A、观测值的真值一般是不知道的
B、 为了使中误差计算得更正确
C、 观测值的改正数总和等于零，可作校核计算
D、 用观测值的改正数计算比较简便
18、根据测量误差理论，发现误差并提高观测结果精度的方法是进行（ ）。
A、 加改正数
B、 对称观测
C、 多余观测
D、 认真观测
20、在等精度观测条件下，对某角观测4个测回，其平均值的中误差为±20″，
若要使观测值的平均值中误差≤±10″，则该角至少应观测几个测回？（ ）
A、8
B、9
C、16
D、18
22、水平角测量中包括许多误差，如①视准误差、②度盘偏心误差、③读数误
差、④瞄准误差，上列误差中属于系统误差的是（ ）。
A、①、②
B、③、④
C、①、③
D、②、④
23、已知四边形各内角的中误差均为±20″，如容许误差为中误差的2倍，则由
此求得四边形内角和的容许误差如下，正确的是（ ）。
A、±10″
B、 ±20″
C、±40″
D、±80″
24、测量两条不同长度的距离，其中误差相同，则它们的精度比较叙述如下，
正确的是（ ）。
A、两直线测量的精度相同
B、 两直线测量的相对误差相同
C、较短直线测量的精度较高
D、较长直线测量的精度较高
25、偶然误差的特性如下，错误的是（ ）。
A、误差的大小不超过一定的界限
B、 大误差出现的机会比小误差多
C、互为反数的误差出现机会相同
D、误差的平均值随n增大趋于零