统计通信理论

px x dx 1
（2.21b）
（2.21c） （2.21d）
n
Fx X
X2 x

p u du
x
1
X
X1
p x dx p X
x X2
n
E x xpx x dx


Ex
x


px x dx
引言
1.移动无线电信号所处的环境复杂多变；
2.移动无线电在传播过程中会因复杂的环境而产生能量损耗，
主要表现为“多径”衰落（高速运动环境需考虑多普勒频移） 以及不可忽视的噪声特性和时延扩散； 3.移动通信中的多径衰落现象主要存在于3种环境，只能在统计 意义上对其建模研究； 4.统计通信理论就是通过对复杂通信环境概率建模给出自己的
1 2 xy 1, 2 1
2
（2.36）
jv y y v2 E e y 0, v2
2
（2.37）
当 z
x
i 1
N
i
时 z v
v
i 1 xi
N
pz z


exp jvz v dv
评估结果，它是解决复杂问题的数学工具。
1/15
第2章 统计通信理论
2-1统计方法
一个移动中的移动台接收到N个入射波的合成信号可以表达为：
s t a0 ai exp j w0t 0 Vt cos i i At exp j t exp j w0t 0 （1.21）
（2.17） 具有下列一般的特性： （2.18a） （2.18b） （2.18c） （当M=中值） （2.18d）
非负有界 累计递增 中值平分
0 Fx X 1 Fx 1 Fx 0
P X1 x X 2 Fx X 2 Fx X1
px x | y Y
式2.41与2.42满足下列关系
pxy x, y p y Y
（2.42）
py y | x X
px x | y Y p y Y px X
（2.43）
式2.43是Bayes定理的连续形式。
13/15
例2.5 当信号的分布是 Fx ( X ) 1 exp X 2 / 2 ,则通过使用2.4的 方法条件CPD可以表示为： p x X , x a 解： p x X | x a P x X | x a Fx X | x a p x a
组成两个或多个随机变量的数值相容可以构成一个新的随机变量。其分布规 律依据在概率论中的中心极限定理（独立分布的中心极限定理，李雅普诺夫定 理，棣莫弗-拉普拉斯定理）。 式2.2与2.3所示的R和S也是随机变量，可表示为如下：
R
R
i 1
N

i
（2.6）
S
S
i 1
N
i
（2.7） 3/15
如下图 R 在（0,1）间隔内是均匀分布的，R是三个变量的和 R 那 么R的概率密度就非常接近于高斯（正态）分布。
p x, y 2 Fxy X , Y X Y |x X , y Y
（2.28）
x和y的联合pdf有下列特性：
p x, y 0

（2.29）

p x, y dxdy 1


（2.30）
通常讨论得较多的复合随机变量z, z f x, y 求z的pdf时需要用到两个变量的 联合pdf。
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2-5-3边缘PDF
当一个随机变量处于边界状态时，需要研究另一个随机变量的 统计特性时，就得研究它的边缘pdf,此时分布函数 F X 表达为：
x
Fx X Fxy X ,
X

p , d d
xy
（2.31）
通过对x的式（2.31）微分，可以得到X边缘pdf或 px X ：
（2.21e） 9/15
pdf 方法可以指出哪里是集中随机变量最大数量的地方。
2-5-2两个变量的联合PDF
令随机变量x和y的联合累计概率分布由下式定义：
Fxy X , Y P x X , y Y
（2.27）
如果假定 Fxy x, y 存在二阶偏导数，该数值就是随机变量的x和y的联合 pdf,定义为：
i 1
N
式中参数
ai---------------ai ---------------0 ---------------w0---------------- ---------------- i ----------------V ---------------- i ---------------N
（2.34）
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2-5-4联合特征函数
X t E 特征函数：设随机变量X的分布函数为Fx x 则称 e
为X的特征函数。 一般在难以从 p x, y 直接获得随机变量z的 p z 时，可以用联合特征函数的方 式作为从 p x, y 得到 p z 的桥梁。两个随机变量x和y 的联合特征函数定义如下：
N
（2.10）
在讨论统计平均值（期望或总体平均值）时，应该以上面的算术平均 作大量的检验，则平均值是基于事件的发生概率，这就是统计平均值，统 计平均值的表达式是： 5/15
N N ni ni E x lim xi lim xi P xi xi n n i 1 n i 1 n i 1 N
（2.3） （2.4）
式2.3与1.21的关系为：
At R S
2
2 1/2

t tan 1
S R
（2.5）
R与S分别表示各个波的实数和虚数部分，对于第i波而言， ai 是振 幅， i 是相位，实际上不可能分别测量第i波的 ai 与 i 所以有必要 将 ai 与 i 看成随机变量。
载波信号的振幅 第i条路径的传播衰减因子 载波信号的初始相位 角频率 波数 第i个散射波的入射角度 移动台的移动速度 第i个散射波的初始相位 （2.1）
欧拉展开后整理得：
R a0 ai cos i
S a0 ai sin i
i 1
i 1 N
（2.2） 2/15
可以写成：
s t R jS exp j 2 f 0t 0
x t x t
（2.16）
遍历过程是平稳的原因样本的总体平均值都独立于观察时间，且保持式 (2.14)和（2.15）的关系。但一个平稳过程并不一定是遍历的，大多数静态 （平稳）物理现象的随机数据通常都是遍历的，无线电领域中所收集的数据 就是遍历的，这样可以通过完成单个采样函数 x t 的时间平均确定随机过程 的所有特性。 7/15
2-5-1单个变量的PDF
在决定单个变量的pdf时，cpd的导数是概率密度函数 px X
px X
或 满足下列特性：

d Fx X dX
（2.19 ）
px X dX p X x X dX
（2.20 ）
（2.21a）
px x 0
x
2-3遍历过程
如果统计平均值和无偏时平均值的表达式之间存在以下某些等同特性，即：
E x t x t
2 2 E x t x t
（2.14） （2.15a） （2.15b）
n n E x t x t
这些等式成立的随机过程的类型称为“遍历”，遍历的关键在于样本空 间要涵盖所有可能的情况，也就是统计无偏。 一个遍历过程也是一个平稳的过程，即统计结果不受数据的起始时间 t 到 t 影响的，若起始时间为 这段时间内的任意时刻，即满足下式：
（2.11）
有偏时平均值是通过产生一个时间内的连续变式 x t 得到的，一个 有限周期T内的 x t 均值可定义为：
1 x x t dt T0
T
（2.12）
无偏时平均值是通过产生一个趋向无限的周期T内的连续 x t 变式 得到的，此条件可表示为：
x t
无偏：若估计量 X1 , X 2 ,
px X
同样，y 的边缘pdf表示为：


p X , y dy
xy
（2.32）
p y Y


p x, Y dx
xy
（2.33）
当两个随机变量x和y相互独立时，则有：
pxy x, y px x py y
一般用 p x, y 简写 pxy x, y 。
x
x
i 1
N
i
N
（2.8）
假设所有的 xi 具有相等的概率，在对 xi 观察 ni 次得到观察值的总 和为： N
n1 x1 n2 x2 n3 x3
nN xN ni xi
i 1
（2.9）
采样平均值变成
x ni xi / ni
i 1 i 1
N
N
ni xi i 1 n
P x M 50%
在计算一个移动无线电信号的cpd时，可以将采样函数 x t 数字化， 所以每一个 xi 采样都可和不同的信号电平X相关，可以用具有信号强度小 于预定电平的采样数来除以总采样数，以确定在该电平上的累计概率。
2-5概率密度函数（PDF） （probability density function）