【第九章 计数原理、概率与统计】-2018年高三数学周考(江苏版) (word版含答案)
2018年高考江苏数学(含答案)
2 6 ， 7
（1）证明：函数 f ( x) x 与 g ( x) x2 2 x 2 不存在“S 点”； （2）若函数 f ( x) ax2 1 与 g ( x) ln x 存在“S 点”，求实数 a 的值； （3） 已知函数 f ( x) x2 a ，g ( x)
f ( f (15)) 的值为
▲ ． 10．如图所示，正方体的棱长为 2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ▲ ．
11．若函数 f ( x) 2 x3 ax2 1(a R) 在 (0, ) 内有且只有一个零点，则 f ( x) 在 [1,1] 上的最
-2-
大值与最小值的和为 ▲ ． 12．在平面直角坐标系 xOy 中，A 为直线 l : y 2 x 上在第一象限内的点， B(5,0) ，以 AB 为直 径的圆 C 与直线 l 交于另一点 D．若 AB CD 0 ，则点 A 的横坐标为 ▲ ． 13．在 △ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ， ABC 120 ， ABC 的平分线交 AC 于 点 D，且 BD 1 ，则 4a c 的最小值为 ▲ ． 14．已知集合 A {x | x 2n 1, n N*} ， B {x | x 2n , n N*} ．将 A
be x ． 对任意 a 0 ， 判断是否存在 b 0 ， 使函数 f ( x) x
与 g ( x) 在区间 (0, ) 内存在“S 点”，并说明理由． 20． （本小题满分 16 分） 设 {an } 是首项为 a1 ，公差为 d 的等差数列， {bn } 是首项为，公比为 q 的等比数列． （1）设 a1 0, b1 1, q 2 ，若 | an bn | b1 对 n 1, 2,3, 4 均成立，求 d 的取值范围； （2） 若 a1 b1 0, m N* , q (1, m 2] ， 证明： 存在 d R ， 使得 | an bn | b1 对 n 2,3, 均成立，并求的取值范围（用 b1 , m, q 表示） ．
【概率与统计单元测试】-2018年高三数学周考、月考、段考测试卷(江苏版)试卷 (word版含答案)
【2018年高三数学优质试卷原创精品】专题21 1月第二次周考试题测试时间： 班级： 姓名： 分数： 一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.1.高中数学联赛期间，某宾馆随机安排E D C B A 、、、、五名男生入住3个标间（每个标间至多住2人），则B A 、入住同一标间的概率为 . 【答案】512. 【2016年河南商丘高三二模】某地市高三理科学生有15000名，在一次调研测试中，数学成绩ξ服从正态分布),100(2σN ，已知35.0)10080(=≤<ξP ，若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析，则应从120分以上的试卷中抽取 份. 【答案】15份【解析】因为数学成绩ξ服从正态分布,且均值100μ=,所以(120)=(80)0.5(80100)0.50.350.15P P P ξξξ≥≤=-<≤=-=,根据分层抽样,应该抽1000.1515⨯=份.3.某研究机构对儿童记忆能力x 和识图能力y 进行统计分析，得到如下数据：由表中数据，求得线性回归方程为，a x yˆ5ˆ+=,若某儿童的记忆能力为12时，则他的识图能力约为 . 【答案】5.9【解析】由表中的数据7, 5.5x y ==，由(,)x y 在直线4ˆˆ5y x a =+，解得1ˆ10a =-，即回归直线方程为41ˆ510yx =-，所以当12x =时，41ˆ129.5510y=⨯-=，即他的识图能力为9.5，故填5.9. 4.不等式组2204x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的点集记为M ，不等式组220x y y x-+≥⎧⎨≥⎩表示的点集记为N ，在M 中任取一点P ，则P ∈N 的概率为 .【答案】3295.为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程ˆ0.76ya x =+，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为 . 【答案】8.11【解析】因为ˆ0.76ya x =+过点(,)(10,8)x y =，所以0.4a =，因此当15x =时，ˆ11.8y =，应填8.11. 6.在区间[]0,10内随机取出两个数，则这两个数的平方和在区间[]0,10内的概率为 . 【答案】40π【解析】所求概率为几何概型，测度为面积，设这两个数为,x y ，则0,10x y ≤≤，构成一个正方形，面积为210，这两个数的平方和22[0,10]x y +∈在正方形中阴影面积为104π，因此所求概率为210410π=40π，应填40π.7.从1,2,3,4,5种任取2个不同的数，事件A =“取到的2个数之和为偶数”，事件=B “取到的2个数均为偶数”，则()|P B A = . 【答案】14【解析】()()2223222255421,10510C C C P A P AB C C +=====，由条件概率公式()()()1110|245P AB P B A P A === 8.某疾病研究所想知道吸烟与患肺病是否有关，于是随机抽取1000名成年人调查是否吸烟及是否患有肺病，得到22⨯列联表，经计算得2 5.231K =，已知在假设吸烟与患肺病无关的前提条件下，22( 3.841)0.05,( 6.635)0.01P K P K ≥=≥=，则该研究所可以 .【答案】有95%以上的把握认为“吸烟与患肺病有关”9.如图，在正方形OABC 内，阴影部分是由两曲线)10(,2≤≤==x x y x y 围成，在正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是.【答案】31【解析】阴影部分面积dx x x S ⎰-=102)(3101|)3132(323=-=x x ,所以所求概率为113113P ==⨯.故应填31.10.为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据 (x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，(x 4，y 4)，(x 5，y 5)．根据收集到的数据可知x 1+x 2 +x 3 +x 4 +x 5 =150,由最小二乘法求得回归直线方程为y $= 0.67x+ 54.9，则y 1+y 2+y 3+y 4+y 5的值为 . 【答案】375【解析】由题意，得30)(5154321=++++=x x x x x x ，且回归直线9.5467.0+=∧x y 恒过点),(y x ，则759.543067.0=+⨯=y ，375554321==++++x y y y y y ；故应填375．11.高三二模手若能连续命中两次，即停止投篮，晋级下一轮．假设某选手每次命中率都是0．6，且每次投篮结果相互独立，则该选手恰好投篮4次晋级下一轮的概率为 .【答案】12518【解析】根据题意得，第一次中或不中，第二次不中，第三次和第四次必须投中，得概率为125186.06.04.01=⨯⨯⨯. 12.某地市高三理科学生有15000名，在一次调研测试中，数学成绩ξ服从正态分布2(100,)N σ，已知40.0)10080(=≤<ξP ，若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析，则应从120分以上的试卷中抽取 . 【答案】10份 【解析】1(120)[12(80100)]0.12P P ξξ≥=-<≤=，∴应从120分以上的试卷中抽取1000.110⨯=． 11.已知随机变量X 服从正态分布X ～N (2，σ2), P (X <4)＝0.84, 则P (X ≤0)的值为 ． 【答案】0.1612.一个总体中有60个个体，随机编号0，1，2，…，59，依编号顺序平均分成6个小组，组号依次为1，2，3，…，60．现用系统抽样方法抽取一个容量为6的样本，若在第1组随机抽取的号码为3，则在第5组中抽取的号码是 ． 答案：43【解析】16.0)4(1)4(=<-=≥X P X P 因为60106=，所以，抽到编号为3、13、23、33、43、53，第5组为43. 二、解答题15.某校高三数学备课组为了更好的制定二轮复习的计划，开展了试卷讲评后效果的调研，从上学期期末数学试题中选出一些学生易错题，重新进行测试，并认为做这些题不出任何错误的同学为“过关”，出了错误的同学认为“不过关”，现随机抽查了年级50人，他们的测试成绩的频数分布如下表：(I)由以上统计数据完成如下2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为期末数学成绩不 低于90分与测试“过关”是否有关？说明你的理由．(II)在期末分数段[105，120）的5人中，从中随机选3人，记抽取到过关测试“过关”的人 数为X ，求X 的分布列及数学期望． 下面的临界值表供参考：【答案】（Ⅰ）有95%的把握认为期末数学成绩不低于90分与测试 “过关”有关；(Ⅱ)略． 【解析】试题解析：(I)依题意得12,18,14,6a b c d ====2501261814)225= 4.327>3.8413020262452K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯（因此有95%的把握认为期末数学成绩不低于90分与测试 “过关”有关.（6分）（II ）在期末分数段[105,120）的5人中，有3人 测试“过关”，随机选3人，抽取到过关测试“过关”的人数为X 的可能取值为1,23，2112323233333555361(1)(2)(3)101010C C C C C P X P X P X C C C =========，，X 的分布列为：36118()123 1.810101010E X =⨯+⨯+⨯== ------------------（12分） 16.（12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[55,65),[65,75),[75,85]内的频率之比为4:2:1.（1）求这些产品质量指标值落在区间[75,85]内的频率；（2）若将频率视为频率，从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，记这3件产品中质量指标值位于区 间[45,75)内的产品件数为X ，求X 的分布列与数学期望. 【答案】（1）0.05；（2）1.8．试题解析：（1）设区间[]75,85内的频率为x ， 则区间[)55,65，[)65,75内的频率分别为4x 和2x依题意得()0.0040.0120.0190.0310421x x x +++⨯+++= 解得0.05x =．所以区间[]75,85内的频率为0.05．………………………………………………6分 （2）从该企业生产的该种产品中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复试验， 所以X 服从二项分布(),B n p ，其中3n =．由（1）得，区间[)45,75内的频率为0.30.2+0.1=0.6+， 将频率视为概率得0.6p =因为X 的所有可能取值为0，1，2，3，且0033(0)C 0.60.40.064P X ==⨯⨯=，1123(1)C 0.60.40.288P X ==⨯⨯=， 2213(2)C 0.60.40.432P X ==⨯⨯=，3303(3)C 0.60.40.216P X ==⨯⨯=． 所以X 的分布列为：X 0 1 2 3 P0.0640.2880.4320.216所以X 的数学期望为00.06410.28820.43230.216 1.8EX =⨯+⨯+⨯+⨯=． （或直接根据二项分布的均值公式得到30.6 1.8EX np ==⨯=）……………12分 17.（本小题满分12分）某校为了解本校学生的课后玩电脑游戏时长情况，随机抽取了100名学生进行调查．下面是根据调查结果绘制的学生每天玩电脑游戏的时长的频率分布直方图．（Ⅰ）根据频率分布直方图估计抽取样本的平均数x 和众数m （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）已知样本中玩电脑游戏时长在]60,50[的学生中，男生比女生多1人，现从中选3人进行回访，记选出的男生人数为ξ，求ξ的分布列与期望)(ξE ．【答案】(Ⅰ)2.29=x ;35=m (Ⅱ)详见解析.,103)1(352213===C C C P ξ,53106)2(351223====C C C P ξ101)3(3533===C C P ξ ξ的分布列为所以510352101)(=⨯+⨯+⨯=ξE 18．私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力．为此，很多城市实施了机动车车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：2人不赞成的概率；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，令选中的．．．4．人中．．不．赞成．．“．车辆限行”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．【答案】 (Ⅰ)7522;(Ⅱ) 65E ξ=.（Ⅱ）ξ的所有可能取值为：0,1,2,3()22642251061545150=,104522575C C p C C ξ==⋅=⋅=()21112646442222510510415624102341=,1045104522575C C C C C p C C C C ξ⋅==⋅+⋅=⋅+⋅= ()124422510461243=,104522575C C p C C ξ==⋅=⋅=所以ξ的分布列是：所以ξ的数学期望5E ξ=． 19．若对 2.5PM 采用如下标准：某市环保局从180天的市区 2.5PM 监测数据中，随机抽取10天的数据作为样本，检测值如茎叶图所示 （十位为茎，个位为叶）.（Ⅰ）从这10天的数据中任取3天的数据，记ξ表示空气质量达到一级的天数，求ξ的分布列； （Ⅱ）以这10天的 2.5PM 日均值来估计这180天的空气质量情况，其中大约有多少天的空气质量达到一 级?【答案】(Ⅰ)分布列见解析；(Ⅱ)72. 【解析】21463103(2)10C C P C ξ===，…………………………5分30463101(3)30C C P C ξ===，…………………………6分所以，ξ的分布列为：…………………………7分（Ⅱ）由已知可得总体容量10N =，空气质量达到一级的天数4M =，…………………………8分因为这10天中 2.5PM 日均值空气质量达到一级的频率为25，…………………………9分 所以180天中 2.5PM 日均值空气质量达到一级的概率为25；…………………………11分设η为180天中每天空气质量达到一级的天数，则2(180,)5B η ，2180725E η=⨯=，因此180天中空气质量达到一级的天数为72天.…………………………12分20．“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目．选手面对18 号8扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．在一次场外调查中，发现参赛选手大多在以下两个年龄段：2130 ，3140 （单位：岁），统计这两个年龄段选手答对歌曲名称与否的人数如下图所示．（Ⅰ）写出22⨯列联表，并判断是否有90%的把握认为答对歌曲名称与否和年龄有关，说明你的理由．（下面的临界值表供参考）（Ⅱ）在统计过的参赛选手中按年龄段分层选取9名选手，并抽取3名幸运选手，求3名幸运选手中在2130 岁年龄段的人数的分布列和数学期望．（参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++） 【答案】(Ⅰ) 有90%以上的把握认为答对歌曲名称和年龄有关；(Ⅱ)1.【解析】（Ⅰ）根据题意，列出22⨯列联表如下：由列联表计算得()22120107010303201004080K ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯． 因为3 2.706>，所以有90%以上的把握认为答对歌曲名称和年龄有关． 概率分别为：()()0312363633995150,12128C C C C P X P X C C ⋅⋅======， ()()213036363399312,31484C C CC P X P X C C ⋅⋅======． 所以，随机变量X （抽取的3名幸运选手中在2130 岁年龄段的人数）的分布列为：随机变最X （抽取的3名幸运选手中在2130 岁年龄段的人数）的期望为 515310123121281484EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．。
(完整版)2018江苏数学高考真题含答案解析
2018年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：锥体的体积13V Sh=，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．．1．已知集合{0,1,2,8}A=，{1,1,6,8}B=-，那么A B=▲．2．若复数z满足i12iz⋅=+，其中i是虚数单位，则z的实部为▲．3．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为▲．4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为▲．5．函数()f x =的定义域为 ▲ ．6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为 ▲ ．7．已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则ϕ的值是 ▲ ． 8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(,0)F c 到一条渐近，则其离心率的值是 ▲ ． 9．函数()f x 满足(4)()()f x f x x +=∈R ，且在区间(2,2]-上，cos ,02,2()1||,20,2x x f x x x π⎧<≤⎪⎪=⎨⎪+<≤⎪⎩-则((15))f f 的值为▲ ．10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ▲ ．11．若函数32()21()f x x ax a =-+∈R 在(0,)+∞内有且只有一个零点，则()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的和为 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为 ▲ ． 13．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为 ▲ ．14．已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ，*{|2,}n B x x n ==∈N ．将AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111,AA AB AB B C =⊥． 求证：（1）11AB A B C 平面∥； （2）111ABB A A BC ⊥平面平面． 16．（本小题满分14分）已知,αβ为锐角，4tan 3α=，5cos()αβ+=．（1）求cos2α的值； （2）求tan()αβ-的值． 17．（本小题满分14分）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为CDP △，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积，并确定sin θ的取值范围；（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1(3,)2，焦点12(3,0),(3,0)F F ，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △26， 求直线l 的方程． 19．（本小题满分16分）记(),()f x g x ''分别为函数(),()f x g x 的导函数．若存在0x ∈R ，满足00()()f x g x =且00()()f x g x ''=，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”．（1）证明：函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”； （2）若函数2()1f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点”，求实数a 的值；（3）已知函数2()f x x a =-+，e ()xb g x x=．对任意0a >，判断是否存在0b >，使函数()f x 与()g x 在区间(0,)+∞内存在“S 点”，并说明理由． 20．（本小题满分16分）设{}n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列，{}n b 是首项为1b ，公比为q 的等比数列． （1）设110,1,2a b q ===，若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立，求d 的取值范围； （2）若*110,,2]m a b m q =>∈∈N ，证明：存在d ∈R ，使得1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+均成立，并求d 的取值范围（用1,,b m q 表示）．数学Ⅰ试题参考答案一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法．每小题5分，共计70分． 1．{1，8}2．23．904．8 5．[2，+∞） 6．310 7．π6-8．2 9．2 10．4311．–312．313．914．27二、解答题15．本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．满分14分．证明：（1）在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ∥A 1B 1． 因为AB ⊄平面A 1B 1C ，A 1B 1⊂平面A 1B 1C ， 所以AB ∥平面A 1B 1C ．（2）在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，四边形ABB 1A 1为平行四边形． 又因为AA 1=AB ，所以四边形ABB 1A 1为菱形， 因此AB 1⊥A 1B ．又因为AB 1⊥B 1C 1，BC ∥B 1C 1， 所以AB 1⊥BC ．又因为A 1B ∩BC =B ，A 1B ⊂平面A 1BC ，BC ⊂平面A 1BC ， 所以AB 1⊥平面A 1BC ． 因为AB 1⊂平面ABB 1A 1， 所以平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC ．16．本小题主要考查同角三角函数关系、两角和（差）及二倍角的三角函数，考查运算求解能力．满分14分．解：（1）因为，，所以． 因为，所以，因此，．（2）因为为锐角，所以．4tan 3α=sin tan cos ααα=4sin cos 3αα=22sin cos 1αα+=29cos 25α=27cos22cos 125αα=-=-,αβ(0,π)αβ+∈又因为，所以， 因此．因为，所以，因此，．17．本小题主要考查三角函数的应用、用导数求最值等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力．满分14分． 解：（1）连结PO 并延长交MN 于H ，则PH ⊥MN ，所以OH =10． 过O 作OE ⊥BC 于E ，则OE ∥MN ，所以∠COE =θ， 故OE =40cos θ，EC =40sin θ，则矩形ABCD 的面积为2×40cos θ（40sin θ+10）=800（4sin θcos θ+cos θ）， △CDP 的面积为12×2×40cos θ（40–40sin θ）=1600（cos θ–sin θcos θ）． 过N 作GN ⊥MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，则GK =KN =10． 令∠GOK =θ0，则sin θ0=14，θ0∈（0，π6）． 当θ∈[θ0，π2）时，才能作出满足条件的矩形ABCD ， 所以sin θ的取值范围是[14，1）． 答：矩形ABCD 的面积为800（4sin θcos θ+cos θ）平方米，△CDP 的面积为 1600（cos θ–sin θcos θ），sin θ的取值范围是[14，1）． （2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k （k >0）， 则年总产值为4k ×800（4sin θcos θ+cos θ）+3k ×1600（cos θ–sin θcos θ） =8000k （sin θcos θ+cos θ），θ∈[θ0，π2）． 设f （θ）= sin θcos θ+cos θ，θ∈[θ0，π2）， 则222()cos sin sin (2sin sin 1)(2sin 1)(sin 1)f θθθθθθθθ=--=-+-=--+′． 令()=0f θ′，得θ=π6， 当θ∈（θ0，π6）时，()>0f θ′，所以f （θ）为增函数； 5cos()αβ+=-225sin()1cos ()αβαβ+=-+=tan()2αβ+=-4tan 3α=22tan 24tan 21tan 7ααα==--tan 2tan()2tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+当θ∈（π6，π2）时，()<0f θ′，所以f （θ）为减函数， 因此，当θ=π6时，f （θ）取到最大值． 答：当θ=π6时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 18．本小题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等知识，考查分析问题能力和运算求解能力．满分16分． 解：（1）因为椭圆C的焦点为12(),F F -，可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>．又点1)2在椭圆C 上，所以2222311,43,a ba b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得224,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 因此，椭圆C 的方程为2214x y +=．因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=．（2）①设直线l 与圆O 相切于0000(),,(00)P x y x y >>，则22003x y +=， 所以直线l 的方程为0000()x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+． 由220001,43,x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消去y ，得222200004243640()x y x x x y +-+-=．（*） 因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以222222000000()()(24)(44364820)4x x y y y x ∆=--+-=-=． 因为00,0x y >，所以001x y =． 因此，点P的坐标为． ②因为三角形OAB，所以1 2AB OP ⋅=，从而AB ． 设1122,,()(),A x y B x y ，由（*）得001,2x =，所以2222121()()x B y y x A =-+- 222000222200048(2)(1)(4)x y x y x y -=+⋅+． 因为22003x y +=，所以22022016(2)32(1)49x AB x -==+，即42002451000x x -+=， 解得22005(202x x ==舍去），则2012y =，因此P的坐标为．综上，直线l的方程为y =+19．本小题主要考查利用导数研究初等函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力．满分16分．解：（1）函数f （x ）=x ，g （x ）=x 2+2x -2，则f ′（x ）=1，g ′（x ）=2x +2． 由f （x ）=g （x ）且f ′（x ）= g ′（x ），得 222122x x x x ⎧=+-⎨=+⎩，此方程组无解， 因此，f （x ）与g （x ）不存在“S ”点．（2）函数21f x ax =-（），()ln g x x =， 则12f x ax g x x'='=（），（）． 设x 0为f （x ）与g （x ）的“S ”点，由f （x 0）=g （x 0）且f ′（x 0）=g ′（x 0），得200001ln 12ax x ax x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，即200201ln 21ax x ax ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，（*） 得01ln 2x =-，即120e x -=，则1221e 22(e )a -==． 当e2a =时，120e x -=满足方程组（*），即0x 为f （x ）与g （x ）的“S ”点．因此，a 的值为e2．（3）对任意a >0，设32()3h x x x ax a =--+．因为(0)0(1)1320h a h a a =>=--+=-<，，且h （x ）的图象是不间断的，所以存在0x ∈（0，1），使得0()0h x =，令03002e (1)x x b x =-，则b >0．函数2e ()()xb f x x a g x x =-+=，，则2e (1)()2()x b x f x x g x x -=-=′，′． 由f （x ）=g （x ）且f ′（x ）=g ′（x ），得22e e (1)2xx b x a x b x x x ⎧-+=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩，即00320030202e e (1)2e (1)2e (1)x x xx x x a x x x x x x x ⎧-+=⋅⎪-⎪⎨-⎪-=⋅⎪-⎩（**） 此时，0x 满足方程组（**），即0x 是函数f （x ）与g （x ）在区间（0，1）内的一个“S 点”．因此，对任意a >0，存在b >0，使函数f （x ）与g （x ）在区间（0，+∞）内存在“S 点”． 20．本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分． 解：（1）由条件知：． 因为1||n n a b b -≤对n =1，2，3，4均成立， 即对n =1，2，3，4均成立， 即11，1d 3，32d 5，73d 9，得． 112(,)n n n a n d b -=-=1 12|()1|n n d ---≤≤≤≤≤≤≤≤7532d ≤≤因此，d 的取值范围为．（2）由条件知：．若存在d ，使得1||n n a b b -≤（n =2，3，···，m +1）成立， 即，即当时，d 满足．因为，则，从而，，对均成立．因此，取d =0时，1||n n a b b -≤对均成立．下面讨论数列的最大值和数列的最小值（）．①当时，， 当时，有，从而． 因此，当时，数列单调递增，故数列的最大值为． ②设，当x >0时，， 所以单调递减，从而<f （0）=1．当时，， 因此，当时，数列单调递减，故数列的最小值为．因此，d 的取值范围为．75[,]32111(1),n n n a b n d b b q -=+-=1111 |1|2,3,,(1())n b n d b q b n m -+--≤=+2,3,,1n m =+1111211n n q q b d b n n ---≤≤--q ∈112n m q q -<≤≤11201n q b n --≤-1101n q b n ->-2,3,,1n m =+2,3,,1n m =+12{}1n q n ---1{}1n q n --2,3,,1n m =+2n m ≤≤111 2222111()()()n n n n n n n n q q nq q nq n q q q n n n n n n -------+--+-==---112mq <≤2n m q q ≤≤1() 20n n n n q q q ---+>21n m ≤≤+12{}1n q n ---12{}1n q n ---2m q m-()()21x f x x =-ln 21(0(n )l 22)x f x x '=--<()f x ()f x 2n m ≤≤111112111()()()nn n q q n n f q n n n n --=≤-=<-21n m ≤≤+1{}1n q n --1{}1n q n --mq m11(2)[,]m mb q b q m m-数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括 A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内．．．．．．．．．．．．．．．．．．．作答．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，圆O 的半径为2，AB 为圆O 的直径，P 为AB 延长线上一点，过P 作圆O 的切线，切点为C ．若23PC =，求 BC 的长． B ．[选修4—2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵2312⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ． （1）求A 的逆矩阵1-A ；（2）若点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到点(3,1)P '，求点P 的坐标． C ．[选修4—4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在极坐标系中，直线l 的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=，求直线l被曲线C 截得的弦长．D ．[选修4—5：不等式选讲](本小题满分10分)若x ，y ，z 为实数，且x +2y +2z =6，求222x y z ++的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB =AA 1=2，点P ，Q 分别为A 1B 1，BC 的中点．（1）求异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值； （2）求直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值． 23．(本小题满分10分)设*n ∈N ，对1，2，···，n 的一个排列12n i i i ，如果当s <t 时，有s t i i >，则称(,)s t i i 是排列12n i i i 的一个逆序，排列12n i i i 的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231的逆序数为2．记()n f k 为1，2，···，n 的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数． （1）求34(2),(2)f f 的值；（2）求(2)(5)n f n 的表达式(用n 表示)．数学Ⅱ(附加题)参考答案21．【选做题】A ．[选修4—1：几何证明选讲]本小题主要考查圆与三角形等基础知识，考查推理论证能力．满分10分． 证明：连结OC ．因为PC 与圆O 相切，所以OC ⊥PC ．又因为PC =OC =2，所以OP ．又因为OB =2，从而B 为Rt △OCP 斜边的中点，所以BC =2． B ．[选修4—2：矩阵与变换]本小题主要考查矩阵的运算、线性变换等基础知识，考查运算求解能力．满分10分． 解：（1）因为2312⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，det()221310=⨯-⨯=≠A ，所以A 可逆， 从而1-A 2312-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦． （2）设P (x ，y )，则233121x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以13311x y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦A ， 因此，点P 的坐标为(3，–1)． C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分． 解：因为曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ， 所以曲线C 的圆心为（2，0），直径为4的圆． 因为直线l 的极坐标方程为πsin()26ρθ-=，则直线l 过A （4，0），倾斜角为π6， 所以A 为直线l 与圆C 的一个交点． 设另一个交点为B ，则∠OAB =π6． 连结OB ，因为OA 为直径，从而∠OBA =π2，所以π4cos6AB ==．因此，直线l 被曲线C截得的弦长为 D ．[选修4—5：不等式选讲]本小题主要考查柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力．满分10分． 证明：由柯西不等式，得2222222()(122)(22)x y z x y z ++++≥++． 因为22=6x y z ++，所以2224x y z ++≥， 当且仅当122x y z ==时，不等式取等号，此时244333x y z ===，，， 所以222x y z ++的最小值为4．22．【必做题】本小题主要考查空间向量、异面直线所成角和线面角等基础知识，考查运用空间向量解决问题的能力．满分10分．解：如图，在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，设AC ，A 1C 1的中点分别为O ，O 1，则OB ⊥OC ，OO 1⊥OC ，OO 1⊥OB ，以1,{},OB OC OO 为基底，建立空间直角坐标系O −xyz ． 因为AB =AA 1=2，所以1110,1,0,,0,1,0,0,1,())()()2,,0,1,2)()A B C A B C --．（1）因为P 为A 1B 1的中点，所以1,2)2P -，从而131(,,2)(0,2,22),BP AC ==--，故111|||cos ,|||||5BP AC BP AC BP AC ⋅===⋅．因此，异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值为．（2）因为Q 为BC 的中点，所以1,0)2Q ，因此33(,0)2AQ =，11(0,2,2),(0,0,2)AC CC ==．设n =（x ，y ，z ）为平面AQC 1的一个法向量， 则10,0,AQ AC ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=n n 即30,2220.y y z +=⎪+=⎩不妨取1,1)=-n ，设直线CC 1与平面AQC 1所成角为θ，则111||sin |cos |,|||CC CC CC |θ==⋅⋅==n n n ，所以直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值为．23．【必做题】本小题主要考查计数原理、排列等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力．满分10分．解：（1）记()abc τ为排列abc 的逆序数，对1，2，3的所有排列，有(123)=0(132)=1(213)=1(231)=2(312)=2(321)=3ττττττ，，，，，，所以333(0)1(1)(2)2f f f ===，．对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置． 因此，4333(2)(2)(1)(0)5f f f f =++=．（2）对一般的n （n ≥4）的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n ，所以(0)1n f =． 逆序数为1的排列只能是将排列12…n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以(1)1n f n =-．为计算1(2)n f +，当1，2，…，n 的排列及其逆序数确定后，将n +1添加进原排列，n +1在新排列中的位置只能是最后三个位置． 因此，1(2)(2)(1)(0)(2)n n n n n f f f f f n +=++=+． 当n ≥5时，112544(2)[(2)(2)][(2)(2)][(2)(2)](2)n n n n n f f f f f f f f ---=-+-++-+…242(1)(2)4(2)2n n n n f --=-+-+⋯++=， 因此，n ≥5时，(2)n f =222n n --．。
2018年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学试题及详解精校版
2018年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1 •本试卷共4页，均为非选择题（第1题〜第20题，共20题）。
本卷满分为160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。
2 .答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3 •请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4•作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5 •如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
参考公式：1锥体的体积V =」Sh,其中S是锥体的底面积，h是锥体的高.3一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分•请把答案填写在答题卡相应位置上.1.已知集合A 二｛0,1,2,8｝, B 二｛-1,1,6,8｝，那么.1・【答案】「1,8?【解析】由题设和交集的定义可知，AnB=〈1,8?.2 •若复数z满足i N =1 2i，其中i是虚数单位，则z的实部为▲2. 【答案】2【解析】因为i n =1 • 2i，则=2 -i，则z的实部为2. i3•已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为▲.n 1 13. 【答案】90【解析】由茎叶图可知，5位裁判打出的分数分别为89，89, 90，91, 91，故平89 89 90 91 91 均数为90 .54 •一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为▲.—I■While /<6 ；:1+2 :；5—2S \■End While:■Prim S；…［科遍4. 【答案】8【解析】由伪代码可得1=3 , S=2 ; 1=5, S=4 ; 1=7, S=8 ;因为7 6 ,所以结束循环，输出S = 8 .5 .函数f (x^ log2 x -1的定义域为▲.5•【答案】12,::【解析】要使函数f x有意义，则log2x-1_0，解得x —2，即函数f x的定义域为2 •：：.6 •某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为▲.36. 【答案】-10【解析】从5名学生中抽取2名学生，共有10种方法，其中恰好选中2名女生的方法有3种，因此所求概率为—.107 •已知函数y二sin(2x •「)( )的图象关于直线x •对称，贝U ：的值是▲2 2 3n7. 【答案】-丄6【解析】由题意可得sin . 2 n+® = ±1，所以—n+® =」+ k n，13 丿 3 2:护二一n• k n k ■ Z ，因为_n< -，所以k = 0，：护二一n.6 2 2 6【解析】因为双曲线的焦点F c,0到渐近线y = _^x即bx_ay = O的距离为a穿£上=b，所以b卫c ,.a2b2 c 22 2x y -&在平面直角坐标系xOy中，若双曲线 2 - 2 =1(a 0,b 0)的右焦点F(c,0)到一条渐近a b线的距离为fc，则其离心率的值是▲8. 【答案】2因此a2 =c2—b2 =c2—?c2=丄『，a =1c，e = 2 .4 4 27：Xcos ,0 ：： x _ 2,29.函数f(x)满足f(x，4) =f(x)(x・R)，且在区间(-2,2］上, f(x)二2则1| x |,-2：：：x_0,L 2 f(f(15))的值为▲.29. 【答案】二2【解析】由f x • 4二f x得函数f x的周期为4，1 i 所以f (15 )= f (16 —1 )= f (―1 )= —1 +乙=-，因此 f f15 = f — = cos —.v f12 丿 4 210•如图所示，正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为▲.(第10题)410. 【答案】—3【解析】由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1, 底面正方形的边长等于、、2，所以该多面体的体积为2 - 1 .2 2 = 3 4 .3 33 211•若函数f(x) 2x -ax 1(a R)在(0,；)内有且只有一个零点，则f(x)在［-1,1］上的最大值与最小值的和为▲.11. 【答案】-3且仅有一个零点且f(0)=1，所以a>0 , f Lo,； 3 13 丿因此2 \ —-a\—*1=0 , a=3 ,13丿13丿从而函数f x在丨-1,0 I上单调递增，在0,1 1上单调递减，所以f xmax 二f 0，f xmin 二min〈f -1, f 仁=f -1,fX max fX min 二f 0 f一1" 一4 一3 -12. 在平面直角坐标系xOy中，A为直线l:y=2x上在第一象限内的点，B(5,0)，以AB为直径的圆C与直线I交于另一点D.若云B CD =0，则点A的横坐标为▲.12. 【答案】3【解析】设A a,2a a 0，则由圆心C为AB中点得c邑2 a ,I 2 丿易得C : x -5 x—a!亠yy -2a ]=0 ,与y "x联立解得点D的横坐标X D = 1,所以D 1,2 .所以"AB 二5-a,-2a , CD = ：1-^5^ - a ,a2-2a- 3= 0 , a = 3 或a=-1，因为a 0，所以a = 3 .13. 在△ ABC中，角A,B,C所对的边分别为a, b,c , - ABC =120 , ■ ABC的平分线交AC 于点D,且BD =1，则4a c的最小值为▲.13. 【答案】9【解析】由题意可知，S\ABC =S U B D BCD，由角平分线性质和三角形面积公11 1 1 1式得—acsi n120 a 1 si n 60 — c 1 si n60,化简得ac = a c, 1 ,2 2 2 a c因此4a+c = (4a+c)Q +1 =5 + c+空巧口伫如=9 ,la c 丿a c i a c当且仅当c=2a =3时取等号，则4a c的最小值为9.14. 已知集合A={x|x=2n-1,n，N*} , B={x|x=2n,n，N*}.将AU B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n}.记£为数列{a n}的前n项和，则使得S n 12a n -1成立的n的最小值为_▲ ___________________【解析】由f x =6x -2ax=0得x=0.14. 【答案】27【解析】设a n=2k,贝U S n = [(2工1 _1 )+(2 过 2 _1 )+ 山十(2，2k』一1 )〕+ _2 + 22+|||+2鋼二、解答题：本大题共 6小题，共计90分•请在答题卡指定区域.内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤.〔5.（本小题满分〔4分） 在平行六面体 ABCD —ARGD ,中，AA= AB, AB ,丄B,G .求证：（D AB //平面AB ,C ； （2）平面 ABB , A -平面 A ,BC .〔5.【答案】（〔）见解析；（2）见解析.【解析】⑴在平行六面体ABCD - ABCP 中, AB// AB .AB , u 平面ARC ，所以AB II 平面A ,B ,C .（2）在平行六面体ABCD-ABGD,中，四边形ABBA 为平行四边形. 又因为AA = AB ，所以四边形ABBA 为菱形，因此 AB , _ AB .又因为 AB , _ BG ，BC I BG ，所以 AB , _ BC .又因为 ABPl BC = B ，AB U 平面 ABC ，BCu 平面 ABC ， 所以AB , _平面ABC .因为AB, 平面ABBA ， 所以平面ABB, A 丄平面ABC .,6.（本小题满分,4分）已知:■,:为锐角，tan :• ， cos （、£ ' 巧 5 .3 5（,）求cos2＞的值； （2） 求 tan （…）的值.7 2 16.【答案】（,）-丄;（2） --.2511【解析】（1）因为tan 〉= -， ta n ＞ =虫 ，所以si n ＞二* cos 〉. 3 cos 。
2018年高考数学试题(江苏卷)含答案
绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ题答题要求参考公式：锥体的体积13V Sh=，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1．已知集合{0,1,2,8}A=，{1,1,6,8}B=-，那么A B=▲．2．若复数z满足i12iz⋅=+，其中i是虚数单位，则z的实部为▲．3．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为▲．4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为▲．5．函数()f x 的定义域为 ▲ ．6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为 ▲ ．7．已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则ϕ的值是 ▲ ．8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(,0)F c到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是 ▲ ． 9．函数()f x 满足(4)()()f x f x x +=∈R ，且在区间(2,2]-上，cos ,02,2()1||,20,2x x f x x x π⎧<≤⎪⎪=⎨⎪+<≤⎪⎩-则((15))f f 的值为▲ ．10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ▲ ．11．若函数32()21()f x x ax a =-+∈R 在(0,)+∞内有且只有一个零点，则()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的和为 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为 ▲ ．13．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为 ▲ ．14．已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ，*{|2,}n B x x n ==∈N ．将A B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111,AA AB AB B C =⊥． 求证：（1）AB ∥平面11A B C ； （2）平面11ABB A ⊥平面1A BC ． 16．（本小题满分14分）已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()αβ+=（1）求cos 2α的值； （2）求tan()αβ-的值． 17．（本小题满分14分）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为CDP △，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积，并确定sin θ的取值范围；（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为43∶．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1)2，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F ． （1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △，求直线l 的方程． 19．（本小题满分16分）记(),()f x g x ''分别为函数(),()f x g x 的导函数．若存在0x ∈R ，满足00()()f x g x =且00()()f x g x ''=，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”．（1）证明：函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”； （2）若函数2()1f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点”，求实数a 的值；（3）已知函数2()f x x a =-+，e ()xb g x x=．对任意0a >，判断是否存在0b >，使函数()f x 与()g x 在区间(0,)+∞内存在“S 点”，并说明理由．20．（本小题满分16分）设{}n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列，{}n b 是首项为1b ，公比为q 的等比数列． （1）设110,1,2a b q ===，若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立，求d 的取值范围；（2）若*110,,(1a b m q =>∈∈N ，证明：存在d ∈R ，使得1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+ 均成立，并求d 的取值范围（用1,,b m q 表示）．数学Ⅰ试题参考答案一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法．每小题5分，共计70分． 1．{1，8}2．23．904．8 5．[2，+∞） 6．310 7．π6-8．29 10．4311．–312．313．914．27二、解答题15．本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．满分14分．证明：（1）在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ∥A 1B 1． 因为AB ⊄平面A 1B 1C ，A 1B 1⊂平面A 1B 1C ，所以AB ∥平面A 1B 1C ．（2）在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，四边形ABB 1A 1为平行四边形． 又因为AA 1=AB ，所以四边形ABB 1A 1为菱形， 因此AB 1⊥A 1B ．又因为AB 1⊥B 1C 1，BC ∥B 1C 1， 所以AB 1⊥BC ．又因为A 1B ∩BC =B ，A 1B ⊂平面A 1BC ，BC ⊂平面A 1BC ， 所以AB 1⊥平面A 1BC ． 因为AB 1⊂平面ABB 1A 1， 所以平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC ．16．本小题主要考查同角三角函数关系、两角和（差）及二倍角的三角函数，考查运算求解能力．满分14分．解：（1）因为4tan 3α=，sin tan cos ααα=，所以4sin cos 3αα=． 因为22sin cos 1αα+=，所以29cos 25α=， 因此，27cos22cos 125αα=-=-． （2）因为,αβ为锐角，所以(0,π)αβ+∈．又因为cos()αβ+=，所以sin()αβ+==， 因此tan()2αβ+=-．因为4tan 3α=，所以22tan 24tan 21tan 7ααα==--， 因此，tan 2tan()2tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+． 17．本小题主要考查三角函数的应用、用导数求最值等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力．满分14分．解：（1）连结PO 并延长交MN 于H ，则PH ⊥MN ，所以OH =10． 过O 作OE ⊥BC 于E ，则OE ∥MN ，所以∠COE =θ， 故OE =40cos θ，EC =40sin θ，则矩形ABCD 的面积为2×40cos θ（40sin θ+10）=800（4sin θcos θ+cos θ）， △CDP 的面积为12×2×40cos θ（40–40sin θ）=1600（cos θ–sin θcos θ）． 过N 作GN ⊥MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，则GK =KN =10． 令∠GOK =θ0，则si n θ0=14，θ0∈（0，π6）． 当θ∈[θ0，π2）时，才能作出满足条件的矩形ABCD ， 所以sin θ的取值范围是[14，1）． 答：矩形ABCD 的面积为800（4sin θcos θ+cos θ）平方米，△CDP 的面积为 1600（cos θ–sin θcos θ），sin θ的取值范围是[14，1）． （2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k （k >0）， 则年总产值为4k ×800（4sin θcos θ+cos θ）+3k ×1600（cos θ–sin θcos θ） =8000k （sin θcos θ+cos θ），θ∈[θ0，π2）． 设f （θ）=sin θcos θ+cos θ，θ∈[θ0，π2）， 则222()cos sin sin (2sin sin 1)(2sin 1)(sin 1)f θθθθθθθθ=--=-+-=--+′． 令()=0f θ′，得θ=π6， 当θ∈（θ0，π6）时，()>0f θ′，所以f （θ）为增函数；当θ∈（π6，π2）时，()<0f θ′，所以f （θ）为减函数， 因此，当θ=π6时，f （θ）取到最大值． 答：当θ=π6时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 18．本小题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等知识，考查分析问题能力和运算求解能力．满分16分． 解：（1）因为椭圆C 的焦点为12(),F F -，可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>．又点1)2在椭圆C 上，所以2222311,43,a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得224,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩因此，椭圆C 的方程为2214x y +=．因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=．（2）①设直线l 与圆O 相切于0000(),,(00)P x y x y >>，则22003x y +=， 所以直线l 的方程为0000()x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+． 由220001,43,x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去y ，得222200004243640()x y x x x y +-+-=．（*） 因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以222222000000()()( 24)(44364820)4x x y y y x ∆=--+-=-=． 因为00,0x y >，所以001x y =． 因此，点P的坐标为． ②因为三角形OAB，所以1 2AB OP ⋅=，从而AB =．设1122,,()(),A x y B x y ，由（*）得001,2x =，所以2222121()()x B y y x A =-+- 222000222200048(2)(1)(4)x y x y x y -=+⋅+． 因为22003x y +=，所以22022016(2)32(1)49x AB x -==+，即42002451000x x -+=， 解得22005(202x x ==舍去），则2012y =，因此P的坐标为． 综上，直线l的方程为y =+19．本小题主要考查利用导数研究初等函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力．满分16分．解：（1）函数f （x ）=x ，g （x ）=x 2+2x -2，则f ′（x ）=1，g ′（x ）=2x +2． 由f （x ）=g （x ）且f ′（x ）= g ′（x ），得 222122x x x x ⎧=+-⎨=+⎩，此方程组无解， 因此，f （x ）与g （x ）不存在“S ”点． （2）函数21f x ax =-（），()ln g x x =， 则12f x ax g x x'='=（），（）． 设x 0为f （x ）与g （x ）的“S ”点，由f （x 0）=g （x 0）且f ′（x 0）=g ′（x 0），得200001ln 12ax x ax x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，即200201ln 21ax x ax ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，（*） 得01ln 2x =-，即120e x -=，则1221e 22(e )a -==． 当e2a =时，120e x -=满足方程组（*），即0x 为f （x ）与g （x ）的“S ”点．因此，a 的值为e2．（3）对任意a >0，设32()3h x x x ax a =--+．因为(0)0(1)1320h a h a a =>=--+=-<，，且h （x ）的图象是不间断的，所以存在0x ∈（0，1），使得0()0h x =．令03002e (1)x x b x =-，则b >0．函数2e ()()xb f x x a g x x=-+=，，则2e (1)()2()x b x f x x g x x -=-=′，′． 由f （x ）=g （x ）且f ′（x ）=g ′（x ），得22e e (1)2xx b x a xb x x x ⎧-+=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩，即00320030202e e (1)2e (1)2e (1)x x xx x x a x x x x x x x ⎧-+=⋅⎪-⎪⎨-⎪-=⋅⎪-⎩，（**） 此时，0x 满足方程组（**），即0x 是函数f （x ）与g （x ）在区间（0，1）内的一个“S 点”． 因此，对任意a >0，存在b >0，使函数f （x ）与g （x ）在区间（0，+∞）内存在“S 点”．20．本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分． 解：（1）由条件知：112(,)n n n a n d b -=-=． 因为1||n n a b b -≤对n =1，2，3，4均成立， 即1 12|()1|n n d ---≤对n =1，2，3，4均成立， 即1≤1，1≤d ≤3，3≤2d ≤5，7≤3d ≤9，得7532d ≤≤． 因此，d 的取值范围为75[,]32．（2）由条件知：111(1),n n n a b n d b b q -=+-=．若存在d ，使得1||n n a b b -≤（n =2，3，···，m +1）成立， 即1111 |1|2,3,,(1())n b n d b q b n m -+--≤=+ ，即当2,3,,1n m =+ 时，d 满足1111211n n q q b d b n n ---≤≤--．因为q ∈，则112n m q q -<≤≤，从而11201n q b n --≤-，1101n q b n ->-，对2,3,,1n m =+ 均成立．因此，取d =0时，1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+ 均成立．下面讨论数列12{}1n q n ---的最大值和数列1{}1n q n --的最小值（2,3,,1n m =+ ）． ①当2n m ≤≤时，111 2222111()()()n n n n n n n n q q nq q nq n q q q n n n n n n -------+--+-==---， 当112mq <≤时，有2n m q q ≤≤，从而1() 20n n n n q q q ---+>．因此，当21n m ≤≤+时，数列12{}1n q n ---单调递增，故数列12{}1n q n ---的最大值为2m q m-． ②设()()21x f x x =-，当x >0时，ln 21(0(n )l 22)x f x x '=--<， 所以()f x 单调递减，从而()f x <f （0）=1．当2n m ≤≤时，111112111()()()nn n q q n n f q n n n n --=≤-=<-， 因此，当21n m ≤≤+时，数列1{}1n q n --单调递减，故数列1{}1n q n --的最小值为m q m． 因此，d 的取值范围为11(2)[,]m mb q b q m m-．数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，圆O 的半径为2，AB 为圆O 的直径，P 为AB 延长线上一点，过P 作圆O 的切线，切点为C ．若PC =，求BC 的长．B ．[选修4—2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵2312⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ． （1）求A 的逆矩阵1-A ；（2）若点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到点(3,1)P '，求点P 的坐标．C ．[选修4—4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在极坐标系中，直线l 的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．D ．[选修4—5：不等式选讲](本小题满分10分)若x ，y ，z 为实数，且x +2y +2z =6，求222x y z ++的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB =AA 1=2，点P ，Q 分别为A 1B 1，BC 的中点．（1）求异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值；（2）求直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值．23．(本小题满分10分)设*n ∈N ，对1，2，···，n 的一个排列12n i i i ，如果当s <t 时，有s t i i >，则称(,)s t i i 是排列12n i i i 的一个逆序，排列12n i i i 的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231的逆序数为2．记()n f k 为1，2，···，n 的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数．（1）求34(2),(2)f f 的值；（2）求(2)(5)n f n 的表达式(用n 表示)．数学Ⅱ(附加题)参考答案21．【选做题】A．[选修4—1：几何证明选讲]本小题主要考查圆与三角形等基础知识，考查推理论证能力．满分10分．证明：连结OC．因为PC与圆O相切，所以OC⊥PC．又因为PC=OC=2，所以OP．又因为OB=2，从而B为Rt△OCP斜边的中点，所以BC=2．B．[选修4—2：矩阵与变换]本小题主要考查矩阵的运算、线性变换等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．解：（1）因为2312⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A，det()221310=⨯-⨯=≠A，所以A可逆，从而1-A2312-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦．（2）设P(x，y)，则233121xy⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以13311xy-⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦A，因此，点P的坐标为(3，–1)．C．[选修4—4：坐标系与参数方程]本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．解：因为曲线C的极坐标方程为=4cosρθ，所以曲线C的圆心为（2，0），直径为4的圆．因为直线l的极坐标方程为πsin()26ρθ-=，则直线l过A（4，0），倾斜角为π6，所以A为直线l与圆C的一个交点．设另一个交点为B，则∠OAB=π6．连结OB，因为OA为直径，从而∠OBA=π2，所以π4cos 6AB ==因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为．D ．[选修4—5：不等式选讲]本小题主要考查柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力．满分10分．证明：由柯西不等式，得2222222()(122)(22)x y z x y z ++++≥++．因为22=6x y z ++，所以2224x y z ++≥， 当且仅当122x y z ==时，不等式取等号，此时244333x y z ===，，， 所以222x y z ++的最小值为4．22．【必做题】本小题主要考查空间向量、异面直线所成角和线面角等基础知识，考查运用空间向量解决问题的能力．满分10分．解：如图，在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，设AC ，A 1C 1的中点分别为O ，O 1，则OB ⊥OC ，OO 1⊥OC ，OO 1⊥OB ，以1,{},OB OC OO 为基底，建立空间直角坐标系O −xyz ．因为AB =AA 1=2，所以1110,1,0,,0,1,0,0,1,())()()2,,0,1,2)()A B C A B C --．（1）因为P 为A 1B 1的中点，所以1,2)2P -，从而11(,2)(0,2,22),BP AC ==- ，故111|||cos ,|||||BP AC BP AC BP AC ⋅==⋅ ． 因此，异面直线BP 与AC 1（2）因为Q 为BC的中点，所以1,0)2Q ，因此3,0)2AQ = ，11(0,2,2),(0,0,2)AC CC == ． 设n =（x ，y ，z ）为平面AQC 1的一个法向量，则10,0,AQ AC ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅= n n即30,2220.y y z +=⎪+=⎩不妨取1,1)=-n ，设直线CC 1与平面AQC 1所成角为θ，则111||sin |cos |,|||CC CC CC |θ==⋅⋅== n n n 所以直线CC 1与平面AQC 123．【必做题】本小题主要考查计数原理、排列等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力．满分10分．解：（1）记()abc τ为排列abc 的逆序数，对1，2，3的所有排列，有(123)=0(132)=1(213)=1(231)=2(312)=2(321)=3ττττττ，，，，，，所以333(0)1(1)(2)2f f f ===，．对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，4333(2)(2)(1)(0)5f f f f =++=．（2）对一般的n （n ≥4）的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n ，所以(0)1n f =．逆序数为1的排列只能是将排列12…n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以(1)1n f n =-．为计算1(2)n f +，当1，2，…，n 的排列及其逆序数确定后，将n +1添加进原排列，n +1在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，1(2)(2)(1)(0)(2)n n n n n f f f f f n +=++=+．当n ≥5时，112544(2)[(2)(2)][(2)(2)][(2)(2)](2)n n n n n f f f f f f f f ---=-+-++-+ (242)(1)(2)4(2)2n n n n f --=-+-+⋯++=，因此，n ≥5时，(2)n f =222n n --．。
2018年江苏省高三上学期期末数学试题分类之概率、统计
三、统计（一）试题细目表（二）试题解析1.（2018·南通泰州期末·3）已知某校高一、高二、高三的学生人数分别为400，400，500.为了解该校学生的身高情况，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为65的样本，则应从高三年级抽取名学生.【答案】252.（2018·无锡期末·3）某高中共有学生2800人，其中高一年级960人，高三年级900人，现采用分层抽样的方法，抽取140人进行体育达标检测，则抽取高二年级学生人数为．【答案】473.（2018·扬州期末·3）若数据31，37，33，a，35的平均数是34，则这组数据的标准差为_________.【答案】24.（2018·扬州期末·4）为了了解某学校男生的身体发育情况，随机调查了该校100名男生的体重情况，整理所得数据并画出样本的频率分布直方图，根据此图估计该校2000名男生中体重在70-80kg的人数为________.【答案】240 5.（2018·常州期末·4）若一组样本数据2015，2017，x ，2018，2016的平均数为2017，则该组样本数据的方差为 ．【答案】26.（2018·南京盐城期末·3）.为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50,100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70,80)(单位：分钟)内的学生人数为 ．【答案】12007.（2018·苏北四市期末·5）某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1 000名学生的成绩，并根据这1 000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，时间(单位:分钟)50 60 70 80 90 100 0.035a 0.020 0.010 0.005第3题图则成绩在[250，400)内的学生共有 人．【答案】750四、概率（一）试题细目表（二）试题解析1.（2018·南通泰州期末·5）某同学欲从数学建模、航模制作、程序设计和机器人制作4个社团中随机选择2个，则数学建模社团被选中的概率为 .【答案】122.（2018·无锡期末·4）已知,{1,2,3,4,5,6}a b ∈，直线1:210l x y +-=，2:30l ax by -+=，则直线12l l ⊥的概率为 ．150 200 250 300 350 400 450（第5题） （第17题）【答案】1123.（2018·扬州期末·6）从两名男生2名女生中任选两人，则恰有一男一女的概率为__________.【答案】234.（2018·常州期末·6） 函数1()ln f x x=的定义域记作集合D ．随机地投掷一枚质地均匀的正方体骰子（骰子的每个面上分别标有点数1,2,,6 ），记骰子向上的点数为t ，则事件“t D ∈”的概率为 ． 【答案】565.（2018·南京盐城期末·5）.口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为 ． 【答案】236.（2018·苏州期末·4）苏州轨道交通1号线每5分钟一班，其中，列车在车站停留0.5分钟，假设乘客到达站台的时刻是随机的，则该乘客到达站台立即能乘上车的概率为 ． 【答案】1107.（2018·苏北四市期末·7）连续2次抛掷一颗质地均匀的骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体），观察向上的点数，则事件“点数之积是3的倍数”的概率为 ． 【答案】59。
2018年高考数学理一轮复习课时达标：第九章 计数原理与概率、随机变量及其分布59 含答案 精品
课时达标 第59讲[解密考纲]古典概型在高考中常以选择题或填空题的形式出现，有时与集合、函数、不等式等知识综合，以解答题形式出现．一、选择题1．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数a ，从{1,2,3}中随机选取一个数b ，则a <b 的概率为( D )A ．45B ．35C ．25D ．15解析：从1,2,3,4,5中随机选取一个数的取法有5种，从1,2,3中随机选取一个数的取法有3种，所以a ，b 的可能结果有5×3＝15种，其中a <b 的结果有(1,2)，(1,3)，(2,3)，共3种．所以所求概率为P ＝315＝15，故选D ．2．随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过4的概率记为p 1，点数之和大于8的概率记为p 2，点数之和为奇数的概率记为p 3，则( A )A ．p 1<p 2<p 3B ．p 2<p 1<p 3C ．p 1<p 3<p 2D ．p 3<p 1<p 2解析：随机掷两枚质地均匀的骰子，共有36种不同结果，其中向上的点数之和不超过4的有6种不同结果；点数之和大于8的有10种不同结果；点数之和为奇数的有18种不同结果，故p 1＝636＝16，p 2＝1036＝518，p 3＝1836＝12，故p 1<p 2<p 3.3．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( A )A ．13B ．12C ．23D ．34解析：甲、乙两位同学参加3个小组的所有可能性有3×3＝9(种)，其中甲、乙两人参加同—个小组的情况有3种，故甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率P ＝39＝13.4．从1,2,3,4这四个数字中一次随机取两个，则取出的这两个数字之和为偶数的概率是( B )A ．16B ．13C ．12D ．15解析：从1,2,3,4这四个数字中一次随机取两个，共有6种情况，其中取出的这个数字之和为偶数的情况有(1,3)，(2,4)，共2种，所以P ＝26＝13.5．把一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为m ，第二次出现的点数记为n ，方程组⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋ny ＝3，2x ＋3y ＝2只有一组解的概率是( D ) A ．23B ．34C ．15D ．1718解析：方程组只有一组解，除了⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝3，⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ＝6这两种情况之外都可以，故所求概率P ＝6×6－26×6＝1718.6．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中a ，b ∈{1,2,3,4,5,6}，若|a －b |≤1，就称甲、乙“心相近”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心相近”的概率为( D )A ．19B ．29C ．718D ．49解析：试验包含的基本事件共有6×6＝36种结果．其中满足题设条件的有如下情况： 若a ＝1，则b ＝1,2；若a ＝2，则b ＝1,2,3； 若a ＝3，则b ＝2,3,4；若a ＝4，则b ＝3,4,5 ； 若a ＝5，则b ＝4,5,6；若a ＝6，则b ＝5,6. 共16种．故他们“心相近”的概率为P ＝1636＝49.二、填空题7．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为23.解析：设2本数学书分别为A ，B ，语文书为C ，则所有的排放顺序有ABC ，ACB ，BAC ，BCA ，CAB ，CBA ，共6种情况，其中数学书相邻的有ABC ，BAC,CAB ，CBA ，共4种情况，故2本数学书相邻的概率P ＝46＝23.8．甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为13.解析：甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种的所有可能情况为(红，白)，(白，红)，(红，蓝)，(蓝，红)，(白，蓝)，(蓝，白)，(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共9种，他们选择相同颜色运动服的所有可能情况为(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共3种．故所求概率为P ＝39＝13.9．(2017·山东潍坊模拟)如图，茎叶图表示甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中的得分，其中一个数字被污损，则甲的平均得分不超过乙的平均得分的概率为710.解析：由茎叶图知甲在五场比赛中的得分总和为18＋19＋20＋21＋22＝100；乙运动员在已知成绩的四场比赛中得分总和为15＋16＋18＋28＝77，乙的另一场得分是20到29十个数字中的任何一个的可能性是相等的，共有10个基本事件，而事件“甲的平均得分不超过乙的平均得分”就包含了其中的23,24,25,26,27,28,29共7个基本事件，所以甲的平均得分不超过乙的平均得分的概率为710.三、解答题10．一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4. (1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求n <m ＋2的概率．解析：(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个．从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件共有{1,2}，{1,3}两个．因此所求事件的概率P ＝26＝13.(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m ，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n ，其一切可能的结果(m ，n )有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．又满足条件n ≥m ＋2的事件为(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个， 所以满足条件n ≥m ＋2的事件的概率为P 1＝316.故满足条件n <m ＋2的事件的概率为1－P 1＝1－316＝1316.11．设连续掷两次骰子得到的点数分别为m ，n ，令平面向量a ＝(m ，n )，b ＝(1，－3)．(1)求使得事件“a ⊥b ”发生的概率； (2)求使得事件“|a |≤|b |”发生的概率．解析：(1)由题意知，m ∈{1,2,3,4,5,6}，n ∈{1,2,3,4,5,6}， 故(m ，n )所有可能的取法共36种．使得a ⊥b ，即m －3n ＝0，即m ＝3n ，共有2种：(3,1)，(6,2)， 所以事件a ⊥b 的概率为236＝118.(2)|a|≤|b|，即m 2＋n 2≤10，此时共有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)6种使得|a|≤|b|，其概率为636＝16.12．一个均匀的正四面体的四个面上分别涂有1,2,3,4四个数字，现随机投掷两次，正四面体面朝下的数字分别为b ，c .(1)z ＝(b －3)2＋(c －3)2，求z ＝4的概率；(2)若方程x 2－bx －c ＝0至少有一根x ∈{1,2,3,4}，就称该方程为“漂亮方程”，求方程为“漂亮方程”的概率．解析：(1)因为是投掷两次，因此基本事件(b ，c )：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)共16个．当z ＝4时，(b ，c )的所有取值为(1,3)，(3,1)， 所以P (z ＝4)＝216＝18.(2)①若方程一根为x ＝1，则1－b －c ＝0，即b ＋c ＝1，不成立． ②若方程一根为x ＝2，则4－2b －c ＝0，即2b ＋c ＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，c ＝2.③若方程一根为x ＝3，则9－3b －c ＝0，即3b ＋c ＝9，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝3.④若方程一根为x ＝4，则16－4b －c ＝0，即4b ＋c ＝16，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c ＝4.由①②③④知，(b ，c )的所有可能取值为(1,2)，(2,3)，(3,4)． 所以方程为“漂亮方程”的概率为P ＝316.。
精选江苏专用2018版高考数学专题复习专题10计数原理概率与统计第75练离散型随机变量及其概率分布练习理
（江苏专用）2018版高考数学专题复习 专题10 计数原理、概率与统计 第75练 离散型随机变量及其概率分布练习 理1．(2016·长春模拟)已知随机变量X 的概率分布为P (X ＝i )＝2a (i ＝1,2,3,4)，则P (2＜X ≤4)＝________.2．(2016·镇江模拟)甲、乙两人参加某高校的自主招生考试，若甲、乙能通过面试的概率都为23，且甲、乙两人能否通过面试相互独立，则面试结束后通过人数ξ的均值E (ξ)的值为________．3．袋中有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量X ，则X 所有可能取值的个数是________． 4．(2016·合肥模拟)随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝n )＝a n n ＋(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜X ＜52的值为________．5．设随机变量ξ的概率分布为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ξ＝k 5＝ak (k ＝1,2,3,4,5)，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110＜ξ＜710＝________.6．(2016·南京模拟)随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则V (ξ)＝________.7．(2016·无锡模拟)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴在y 轴的左侧，其中a ，b ，c ∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中，记随机变量ξ＝|a －b |的取值，则ξ的均值E (ξ)为________．8．若X ～B (n ，p )，且E (X )＝6，V (X )＝3，则P (X ＝1)的值为________．9．设非零常数d 是等差数列x 1，x 2，…，x 19的公差，随机变量ξ等可能地取值x 1，x 2，…，x 19，则方差V (ξ)＝______.10．(2016·长沙模拟)一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，其概率分布为P (X ＝k )，则P (X ＝5)的值为________．11．某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)，则选出的3名同学中女同学的人数X 的概率分布为________．12．若一批产品共10件，其中7件正品，3件次品，每次从这批产品中任取一件然后放回，则直至取到正品时所需次数X 的概率分布为P (X ＝k )＝________.13．均匀小正方体的六个面中，三个面上标有数字0，两个面上标有数字1，一个面上标有数字2，将这个小正方体抛掷两次，则向上的数字之积的均值是________．14．一袋中装有分别标记着数字1,2,3的3个小球，每次从袋中取出一个小球(每只小球被取到的可能性相同)．现连续取3次球，若每次取出一个球后放回袋中，记3次取出的球中标号最小的数字与最大的数字分别为X ，Y ，设ξ＝Y －X ，则E (ξ)＝________.答案精析1.7102.433.94.565.25解析 由已知，随机变量ξ的概率分布为由概率分布的性质可得a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a ＝1， ∴a ＝115，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110＜ξ＜710＝115＋215＋315＝25.6.25解析 设P (ξ＝1)＝a ，P (ξ＝2)＝b ， 则⎩⎪⎨⎪⎧15＋a ＋b ＝1，a ＋2b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝35，b ＝15，所以V (ξ)＝15＋35×0＋15×1＝25.7.89解析 ∵抛物线的对称轴在y 轴的左侧， ∴－b 2a ＜0，即ba ＞0，也就是a ，b 必须同号，∴ξ的概率分布为∴E (ξ)＝0×13＋1×49＋2×29＝89.8．3·2－10解析 ∵E (X )＝np ＝6，V (X )＝np (1－p )＝3， ∴p ＝12，n ＝12，则P (X ＝1)＝C 112·12·(12)11＝3·2－10.9．30d 2解析 E (ξ)＝x 10，V (ξ)＝d 219(92＋82＋…＋12＋02＋12＋…＋92)＝30d 2.10.2755解析 ∵从盒子中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X ＝5，即旧球的个数增加了2个，∴取出的3个球必为1个旧球，2个新球，故P (X ＝5)＝C 13C 29C 312＝2755.11.解析 随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3， P (X ＝k )＝C k4·C 3－k6C 310(k ＝0,1,2,3)， 所以随机变量X 的概率分布是12.(310)k －1710，k ＝1,2,3，…解析 由于每次取出的产品仍放回，每次取到正品的概率完全相同， 所以X 的可能取值是1,2，…，k ，…， 相应的取值概率为P (X ＝1)＝710， P (X ＝2)＝310×710＝21100， P (X ＝3)＝310×310×710＝631 000，…P (X ＝k )＝(310)k －1710(k ＝1,2,3，…)．13.49解析 记向上的数字之积为ξ，则ξ的所有可能取值为0,1,2,4.因为P (ξ＝0)＝34，P (ξ＝1)＝19，P (ξ＝2)＝19，P (ξ＝4)＝136，所以E (ξ)＝0×34＋1×19＋2×19＋4×136＝49.14.43 解析ξ＝Y －X ＝0,1,2，连续取3次球，它的取法有111,112,121,211,113,131,311,122,212,221,133,313,331,123,132,213,231,312,321,222,223,232,322,233,323,332,333，其中Y －X ＝0有3种，Y －X ＝1有12种，Y －X ＝2有12种，因此它们的概率分别为19，49，49，故E (ξ)＝0×19＋1×49＋2×49＝43.。
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【2018年高三数学优质试卷原创精品】专题22 计数原理概率统计测试时间： 班级： 姓名： 分数： 一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.1．在某个容量为300的样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他8个小长方形面积和的15，则中间一组的频数为________．【答案】50【解析】由题意知中间一组的频率为16，则频数为300×16＝50.故填50.2．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：则该营业窗口上午9【答案】513．如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为【答案】18【解析】E F →有6种走法，F G →有3种走法，由乘法原理知，共6318⨯=种走法. 故填18.4．设i 为虚数单位，则6(i)x +的展开式中含4x 的项为 .【答案】415x -【解析】含4x 的项为24246C i 15x x =-,故填415x -. 5．用数字1，2，3，4，5构成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为________．【答案】72【解析】由题可知，五位数要为奇数，则个位数只能是1,3,5；分为两步：先从1,3,5三个数中选一个作为个位数有13C ，再将剩下的4个数字排列得到44A ，则满足条件的五位数有1434C A 72⋅=,故填72.6．从3名男生和1名女生中随机选取两人，则两人恰好是一名男生和一名女生的概率为________． 【答案】217．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X 的均值是__________．【答案】32【解析】由题可知，在一次试验中，试验成功（即至少有一枚硬币正面向上）的概率为1131224P =-⨯=,因2次独立试验成功次数X 满足二项分布3~2,4X B ⎛⎫⎪⎝⎭，则()33242E X =⨯=,故填32.8．将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点为正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ． 【答案】56【解析】将先后两次点数记为(),x y ，则共有6636⨯=个等可能基本事件，其中点数之和大于等于10有()()()()()()4,6,5,5,5,6,6,4,6,5,6,6六种，则点数之和小于10共有30种，概率为305366=,故填56. 9．某学校一共排7节课（其中上午4节，下午3节），某教师某天高三年级1班和2班各有一节课，但他要求不能连排2节课（其中上午第4节和下午第1节不算连排），那么该教师这一天的课的所有可能的排法种数共有 . 【答案】15 【解析】试题分析：运用分类计数原理求解:若第一节排课,则有5种排课方式；若第二节排课,则有4种排课方式；若第三节排课,则有3种排课方式；若第四节排课,则有3种排课方式；若第五节排课,则有1种排课方式.由分类计数原理共有32)13345(2=++++种排课方式.故应选15.11.高中数学联赛期间，某宾馆随机安排E D C B A 、、、、五名男生入住3个标间（每个标间至多住2人），则B A 、入住同一标间的概率为 . 【答案】51 【解析】∵某宾馆随机安排E D C B A 、、、、五名男生入住3个标间，共有9033222325=A A C C 种情形，B A 、入住同一标间有183323=A C 种情形，∴B A 、入住同一标间的概率为519018==P ,故填51.12.某地市高三理科学生有15000名，在一次调研测试中，数学成绩ξ服从正态分布),100(2σN ，已知35.0)10080(=≤<ξP ，若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析，则应从120分以上的试卷中抽取 份. 【答案】15份13．如图，点A 的坐标为(1,0)，点C 的坐标为(2,4)，函数2()f x x =，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 ．【答案】512【解析】因2x y =与x 轴的面积为37)12(313212=-==⎰dx x S ,故阴影部分的面积为35374=-=d ,而414=⨯==ABCDS D ,故由几何概型的计算公式得125==D d P ,应填答案512.14．在二项式62()x x-的展开式中，常数项的值是__________.（用具体数字作答） 【答案】160- 【解析】试题分析：因r r r r rr r x C xxC T 266661)2()2(--+-=-=,令026=-r 得3=r ,故常数项是1601234568)2(336-=⨯⨯⨯⨯⨯-=-C ,应填160-.二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．为了参加师大附中第30届田径运动会的开幕式，高三年级某6个班联合到集市购买了6根竹竿，作为班期的旗杆之用，它们的长度分别为3.8,4.3,3.6,4.5,4.0,4.1（单位：米）． （1）若从中随机抽取两根竹竿，求长度之差不超过0.5米的概率；（2）若长度不小于4米的竹竿价格为每根10元，长度小于4米的竹竿价格为每根a 元．从这6根竹竿中随机抽取两根，若期望这两根竹竿的价格之和为18元，求a 的值． 【答案】(1) 45；(2) 7a =. 【解析】（2）设任取两根竹竿的价格之和为ξ，则ξ的可能取值为2a ，10a +，20，其中2611(2)15P a C ξ===，1124268(10)15C C P a C ξ=+==，24266(20)15C P C ξ===， 所以1862402(10)201515153a E a a ξ+=⨯++⨯+⨯=． 令240183a +=，得7a =． 16.我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x （吨），一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费. 为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.（I ）求直方图中a 的值；（II ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由； （III ）若该市政府希望使85%的居民每月均用水量不超过标准x （吨），估计x 的值，并说明理由.（II ）由图，不低于3吨人数所占百分比为()0.50.120.080.04=12%⨯++ ∴全市月均用水量不低于3吨的人数为：3012%=3.6⨯(万)（III ）由图可知，月均用水量小于2.5吨的居民人数所占百分比为： ()0.50.080.160.30.40.520.73⨯++++=即73%的居民月均用水量小于2.5吨,同理， 88%的居民月均用水量小于3吨，故2.53x << 假设月均用水量平均分布，则()85%73%0.52.50.5 2.90.3x -÷=+⨯=（吨）.17.某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．⑶解：设本年度所交保费为随机变量X．平均保费=⨯++⨯+⨯+⨯+⨯EX a a a a a0.850.300.15 1.250.20 1.50.20 1.750.1020.05=+++++=，0.2550.150.250.30.1750.1 1.23a a a a a a a∴平均保费与基本保费比值为1.23．18．某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.（I ）求X 的分布列；（II ）若要求()0.5P X n ≤≥，确定n 的最小值；（III ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在19n =与20n =之中选其一，应选用哪个？设2台机器共需更换的易损零件数的随机变量为X ，则X 的可能的取值为16，17，18，19，20，21，22,所以()()()11160.20.20.04P X P A P B ===⨯=()()()()()1221170.20.40.40.20.16P X P A P B P A P B ==+=⨯+⨯=()()()()()()()132231180.20.20.20.20.40.40.24P X P A P B P A P B P A P B ==++=⨯+⨯+⨯=()()()()()()()()()14233241190.20.20.20.20.40.2P X P A P B P A P B P A P B P A P B ==+++=⨯+⨯+⨯0.20.40.24+⨯=()()()()()()()243342200.40.20.20.40.20.20.2P X P A P B P A P B P A P B ==++=⨯+⨯+⨯= ()()()()()3443210.20.20.20.20.08P x P A P B P A P B ==+=⨯+⨯=()()()44220.20.20.04P x P A P B ===⨯=⑵ 要令()0.5P x n ≤≥，0.040.160.240.5++< ，0.040.160.240.240.5+++≥ 则n 的最小值为19.19. 在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行学生互评. 某校高一年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：表1：男生 表2：女生(Ⅰ) 从表2的非优秀学生中随机选取2人交谈，求所选2人中恰有1人测评等级为合格的概率； （Ⅱ）由表中统计数据填写下边22⨯列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”.参考数据与公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.临界值表：【答案】(Ⅰ) 35; （Ⅱ）否. 【解析】（Ⅰ）设从高一年级男生中抽出m 人，则45500500400m =+，25m =， ∴ 21820,52025=-==-=y x ……………………………………………………2分 表2中非优秀学生共5人，记测评等级为合格的3人为,,a b c ，尚待改进的2人为,A B ， 则从这5人中任选2人的所有可能结果为：),(b a ，),(c a ，),(c b ，),(B A ，),(A a ，),(B a ，),(A b ，),(B b ，),(A c ，),(B c 共10种………………………………………………… 4分设事件C 表示“从表二的非优秀学生5人中随机选取2人，恰有1人测评等级为合格”， 则C 的结果为：()()()()()(),,,,,,,,,,,a A a B b A b B c A c B ，共6种………………………………………5分∴63()105P C==，故所求概率为35………………………………………………………8分20.若对 2.5PM采用如下标准：某市环保局从180天的市区 2.5PM监测数据中，随机抽取10天的数据作为样本，检测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）.（Ⅰ）从这10天的数据中任取3天的数据，记ξ表示空气质量达到一级的天数，求ξ的分布列；（Ⅱ）以这10天的 2.5PM日均值来估计这180天的空气质量情况，其中大约有多少天的空气质量达到一级?【答案】(Ⅰ)分布列见解析；(Ⅱ)72.【解析】试题分析：(Ⅰ)借助题设条件排列组合数公式求解；(Ⅱ)借助题设条件运用贝努力分布的公式求解.试题解析：（Ⅰ）ξ的可能取值为0,1,2,3，…………………………1分则03463101(0)6C CPCξ===，…………………………3分12463101(1)2C C P C ξ===，…………………………4分21463103(2)10C C P C ξ===，…………………………5分30463101(3)30C C P C ξ===，…………………………6分所以，ξ的分布列为：…………………………7分设η为180天中每天空气质量达到一级的天数，则2(180,)5B η ，2180725E η=⨯=， 因此180天中空气质量达到一级的天数为72天.…………………………12分。