2010全国高中数学联赛模拟试题10
2010年全国高中数学联赛试题参考答案
2010年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷）考试时间：2010年10月17日 8：00—9：20一、填空题（本题满分64分，每小题8分）1.函数()f x =的值域是______________.2.已知函数2(cos 3)sin y a x x =-的最小值为3-，则实数a 的取值范围是_____________.3.双曲线221x y -=的右半支与直线100x =围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是___________.4.已知{}n a 是公差不为0的等差数列，{}n b 是等比数列，其中1122533,1,,3a b a b a b ====，且存在常数,αβ使得对每一个正整数n 都有log n n a b αβ=+，则αβ+=____________.5. 函数2()32(0,1)x x f x a a a a =+->≠在区间[1,1]x ∈-上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是___________________.6. 两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率为_________________.7.正三棱柱111ABC A B C -的9条棱长都相等，P 是1CC 的中点，二面角11B A P B α--=,则sin α=_____________.8.方程2010x y z ++= 满足x y z ≤≤的正整数解(,,)x y z 的个数是_____________.二、解答题（本题满分56分）9.(本小题满分16分)已知函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，当01x ≤≤时，|()|1f x '≤，试求a 的最大值.10. (本小题满分20分)已知抛物线26y x =上的两个动点11(,)A x y 和22(,)B x y ,其中12x x ≠且124x x +=.线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ,求△ABC 面积的最大值.11. (本小题满分20分)证明：方程32520x x +-=恰有一个实根r ，且存在唯一的严格递增正整数列{}n a ，使得31225a a a r r r =+++.2010年全国高中数学联合竞赛加试试题（A 卷）考试时间：2010年10月17日 9：40—12：10一、（本题满分40分）如图，锐角三角形ABC 的外心为O ，K 是边BC 上一点（不是边BC 的中点），D 是线段AK 延长线上一点，直线BD 与AC 交于点N ，直线CD 与AB 交于点M .求证：若OK MN ⊥,则,,,A B D C 四点共圆.二、（本题满分40分）设k 是给定的正整数，12r k =+.记()()f r f r r r ==⎡⎤⎢⎥（1）,(1)()(()),2l l f r f f r l -=≥（）.证明：存在正整数m ,使得()()m f r 为一个整数.这里，x ⎡⎤⎢⎥表示不小于实数x 的最小整数，例如11,112⎡⎤==⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥.三、（本题满分50分）给定整数2n >,设正实数12,,,n a a a 满足1k a ≤,1,2,,k n =,记12,1,2,,.k k a a a A k n k +++==求证：1112n n k k k k n a A ==--<∑∑.四、（本题满分50分）一种密码锁的密码设置是在正n 边形12n A A A 的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个，同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同.问：这种密码锁共有多少种不同的密码设置.2010年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案与评分标准说明：1.评阅试卷时，请依据本评分标准。
2010年全国高中数学联赛试题及答案
PA1 B .
过 O 在平面 PA1 B 上作 OE ^ A1 P ,垂足为 E . 连结 B1 E ,则 ÐB1 EO 为二面角 B - A1 P - B1 的平面 设 AA1 = 2 ,则易求得 PB = PA1 = 5, AO = B1O = 1 在直角 DPA1O 中， A1O × PO = A1 P × OE ,即
2 4 2 4
5
声明：本资料未经过编辑加工，可能存在错误，敬请谅解。 更多资料详见华东师大版《高中数学联赛备考手册（预赛试题集锦） 》
容 易 知 道 当 -1 £ z £ 1 时 ， 0 £ h ( z ) £ 2, 0 £ h(-z) £ 2 . 从 而 当 -1 £ z £ 1 时 ，
0£
h( z ) + h(- z ) £2 ， 即 2
a1 = 3, b1 = 1, a2 = b2 ,3a5 = b3 ，且存在常数 a, b 使得对每一个正整数 n 都有 an = log a bn + b ，
则a+b = 5. .
2x
函数 f ( x ) = a
+ 3a x - 2( a > 0, a ¹ 1) 在区间 x Î [- 1,1] 上的最大值为 8，则它在这个
A1 C1 OA1 = OB, OA = OB , E 1 A 1B ^ AB1 B1 O A P
6 . 4
所以 sin a =
解法二：如图， PC = PC1 , PA1 = PB . 设 .
A1 B
与
AB1
交
于
点
O,
则
因为 PA = PB1 , 所以 PO ^ AB1 , 从而 AB1 ^ 平
面
区间上的最小值是 . 6. 两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于 6 者为胜，否则轮 由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 . 7. 正 三 棱 柱 ABC - A1 B1C1 的 9 条 棱 长 都 相 等 ， P 是 CC1 的 中 点 ， 二 面 角 . .
2010年全国高中数学联赛(江苏赛区复赛)含答案
2010年全国高中数学联赛江苏赛区复赛一、填空题（本题满分64分，每小题8分） 1．已知数列{a n }、{b n }满足a n ＝22n +35，b n ＝1nlog 2(a 1a 2a 3…a n )，n ∈N*，则数列{b n }的通项公式是 ．2．已知两点M (0，2)、N (－3，6)到直线l 的距离分别为1和4，则满足条件的直线l 的条数是 ． ．3．设函数f (x )＝ax 2＋x ．已知f (3)＜f (4)，且当n ≥8，n ∈N*时，f (n )＞f (n ＋1)恒成立，则实数a 的取值范围是 ．4．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是边长为3的正方体， 点P 、Q 、R 分别是棱AB 、AD 、AA 1上的 点，AP ＝AQ ＝AR ＝1，则四面体C 1PQR 的 体积为 ．5．数列{}n a 满足1112,1nn na a a a ++==-，n ∈N *．记T n ＝a 1a 2…a n ，则T 2010等于 ． 6．骰子是一个立方体，6个面上分别刻有1、2、3、4、5、6点. 现有质地均匀的 骰子10只. 一次掷4只、3只骰子，分别得出各只骰子正面朝上的点数之和为6的 概率的比为 ．7．在△ABC 中，已知BC ＝5，AC ＝4，cos(A －B )＝78，则cos C ＝ ．ABC(第7题)(第4题)C A BD D 1C 1 B 1A 1P Q R8．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝2x 的焦点为F . 设M 是抛物线上的动点，则MOMF的最大值为 ．二、解答题（本题满分16分）如图，点P 是半圆C ：x 2＋y 2＝1(y ≥0)上位于x 轴上方的任意一点，A 、B 是直径的两个端点，以AB 为一边作正方形ABCD ，PC 交AB 于E ，PD交AB 于F ，求证：BE ，EF ，F A 成等比数列．三、解答题（本题满分20分）设实数a ，m 满足1a ≤，0m <≤()()2221amx mx f x a a a m-=+-，()0,x a ∈. 若存在a ，m ，x ，使()2f x ≥，求所有的实数x 的值．四、解答题（本题满分20分）数列{a n }中，已知a 1∈(1，2)，a n ＋1＝a n 3－3a n 2＋3a n ，n ∈N*，求证：(a 1－a 2)( a 3－1)＋(a 2－a 3)( a 4－1)＋…＋(a n －a n ＋1)( a n ＋2－1)＜14．2010年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分标准加 试一、（本题满分40分）圆心为I 的ABC ∆的内切圆分别切边AC 、AB 于点E 、F . 设M 为线段EF 上一点， 证明：MAB ∆与MAC ∆面积相等的充分必要条件是MI BC ⊥.二、（本题满分40分）将凸n 边形12n A A A 的边与对角线染上红、蓝两色之一，使得没有三边均为蓝色的三角形. 对k =1, 2,…，n ，记k b 是由顶点k A 引出的蓝色边的条数，求证：2122n n b b b +++≤.三、（本题满分50分）设正整数的无穷数列{}n a （n ∈N *）满足44a =，2111n n n a a a -+-=（2n ≥），求{}n a 的通项公式．四、（本题满分50分）A B CEF M I (第1题)设p 是一个素数， 3 (mod 4)p ≡. 设x ，y 是整数，满足221|4p p x xy y +-+. 求证：存在整数u ，v ，使得222211()44p p x xy y p u uv v ++-+=-+.2010年全国高中数学联赛江苏赛区复赛一、填空题（本题满分64分，每小题8分） 1．已知数列{a n }、{b n }满足a n ＝22n +35，b n ＝1nlog 2(a 1a 2a 3…a n )，n ∈N*，则数列{b n }的通项公式是 ． 答案：b n ＝n ＋45，n ∈N*简解：由a n ＝22n +35，得a 1a 2a 3…a n ＝22(1＋2＋…＋n )＋3n5＝2n (n ＋4)5，n ∈N*．所以b n ＝1n ×n (n ＋4)5＝n ＋45，n ∈N*．2．已知两点M (0，2)、N (－3，6)到直线l 的距离分别为1和4，则满足条件的直线l 的条数是 ． 答案：3简解：易得MN ＝5，以点M 为圆心，半径1为的圆与以点N 为圆心，半径为4的圆外切，故满足条件的直线l 有3条．3．设函数f (x )＝ax 2＋x ．已知f (3)＜f (4)，且当n ≥8，n ∈N*时，f (n )＞f (n ＋1)恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 答案：(－17，－117)简解：(方法一) 因为当n ≥8时，f (n )＞f (n ＋1)恒成立，所以a ＜0，此时f (n )＞f (n ＋1)恒成立等价于f (8)＞f (9)，即64a ＋8＞81a ＋9，解得a ＜－117．因为f (3)＜f (4)，所以9a ＋3＜16a ＋4，解得a ＞－17．即a ∈(－17，－117)．(方法二)考察二次函数f (x )＝ax 2＋x 的对称轴和开口方向．因为当n ≥8时，f (n )＞f (n ＋1)恒成立，所以a ＜0，且－12a ＜172，解得a ＜－117．因为f (3)＜f (4)，所以－12a ＞72，解得a ＞－17．即a ∈(－17，－117)．4．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是边长为3的正方体，点P 、Q 、R 分别是棱AB 、AD 、AA 1上的 点，AP ＝AQ ＝AR ＝1，则四面体C 1PQR 的 体积为 ．D 1C 1B 1A 1答案：43简解：因为C 1C ⊥面ABCD ，所以C 1C ⊥BD ．又因为AC ⊥BD ，所以BD ⊥面ACC 1，所以AC 1⊥BD ． 又PQ ∥BD ，所以AC 1⊥PQ ．同理AC 1⊥QR ．所以AC 1⊥面PQR ．因为AP ＝AQ ＝AR ＝1，所以PQ ＝QR ＝RP ＝2．因为AC 1＝33，且V A －PQR ＝13·12·12·1＝16，所以V C 1－PQR ＝13·34·(2)2·33－V A －PQR ＝43．5．数列{}n a 满足1112,1nn na a a a ++==-，n ∈N *．记T n ＝a 1a 2…a n ，则T 2010等于 ． 答案：－6简解：易得：a 1＝2，a 2＝－3，a 3＝－12，a 4＝13，a 1a 2 a 3a 4＝1．又a 5＝2＝a 1，由归纳法易知a n ＋4＝a n ，n ∈N*．所以T 2010＝T 2008×a 2009×a 2010＝a 1a 2＝－6．6．骰子是一个立方体，6个面上分别刻有1、2、3、4、5、6点. 现有质地均匀的 骰子10只. 一次掷4只、3只骰子，分别得出各只骰子正面朝上的点数之和为6的 概率的比为 ．答案：1：6.提示：掷3只骰子，掷出6点的情况为1，1，4；1，2，3；2，2，2. 共 3+3!+1=10种，概率为 3106 .掷4只骰子，掷出6点的情况为1，1，1，3；1，1，2，2. 共 4+24C =10种，概率为 4106 . 所以概率的比为 3106:4106 = 1:6 .7．在△ABC 中，已知BC ＝5，AC ＝4，cos(A －B )＝78，则cos C ＝ ． 答案：1116简解：因BC AC >，故A B ∠>∠. 如图，作AD ，使∠BAD ＝∠B ，则∠DAC ＝∠A －∠B ．设AD ＝BD ＝x ，则DC ＝5－x ．在△ADC 中，ABD C(第7题)由余弦定理得x ＝3．再由余弦定理得cos C ＝1116．8．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝2x 的焦点为F . 设M 是抛物线上的动点，则MOMF 的最大值为 ． 答案：233简解：设点M (x ，y )，则(MO MF )2＝x 2＋y 2(x ＋12)2＝4x 2＋8x 4x 2＋4x ＋1＝1＋4x －14x 2＋4x ＋1．令4x －1＝t ，当t ≤0时，显然MOMF ≤1．当t ＞0时，则(MO MF)2＝1＋4t ＋6＋9t ≤1＋13＝43，且当t ＝3，即x ＝1时，等号成立． 所以MO MF 的最大值为233，此时点M 的坐标为(1，±2)．二、解答题（本题满分16分）如图，点P 是半圆C ：x 2＋y 2＝1(y ≥0)上位于x 轴上方的任意一点，A 、B 是直径的两个端点，以AB 为一边作正方形ABCD ，PC 交AB 于E ，PD交AB 于F ，求证：BE ，EF ，F A 成等比数列．证明：设P (cos α，sin α)，C (－1，－2)，D (1，－2)，E (x 1，0)，F (x 2，0)． 因为点P 、E 、C 三点共线，所以sin α＋2cos α＋1＝2x 1＋1，所以x 1＝2(cos α＋1)sin α＋2－1． ………………5分由点P 、F 、D 三点共线，所以sin α＋2cos α－1＝2x 2－1，所以x 2＝2(cos α－1)sin α＋2＋1． ………………10分所以BE ＝x 1＋1＝2(cos α＋1)sin α＋2，EF ＝x 2－x 1＝2sin αsin α＋2 ，F A ＝2(cos α－1)sin α＋2．所以BE ·F A ＝2(cos α＋1)sin α＋2×2(cos α－1)sin α＋2＝4sin 2α(sin α＋2)2＝EF 2．即BE ，EF ，F A 成等比数列． ………………16分三、解答题（本题满分20分）设实数a ，m 满足1a ≤，023m <≤，函数()()2221amx mx f x a a a m-=+-，()0,x a ∈. 若存在a ，m ，x ，使()3f x ≥，求所有的实数x 的值． 解答：因为(0, )x a ∈时，2222()244x ma ma amx mx m a -=--+≤， 当且仅当2ax =时等号成立， ……………5分 所以2222222234(1)(1)4(1(1))a mamx mx am a a a m a a a m a m -≤≤=+-+-+- 344am m ≤≤≤， ……………15分 当且仅当2ax =及1a =与23m =时等号成立. 故1x =. ……………20分四、解答题（本题满分20分）数列{a n }中，已知a 1∈(1，2)，a n ＋1＝a n 3－3a n 2＋3a n ，n ∈N*，求证：(a 1－a 2)( a 3－1)＋(a 2－a 3)( a 4－1)＋…＋(a n －a n ＋1)( a n ＋2－1)＜14．证明：(方法一) 由a n ＋1＝a n 3－3a n 2＋3a n ，得a n ＋1－1＝(a n －1)3．令b n ＝a n －1，则0＜b 1＜1，b n ＋1＝b n 3＜b n ，0＜b n ＜1． ………………5分 所以 (a k －a k ＋1)( a k ＋2－1)＝(b k －b k ＋1)×b k ＋2＝(b k －b k ＋1)×b k ＋13＜14(b k －b k ＋1)×(b k 3＋b k 2b k ＋1＋b k b k ＋12＋b k ＋13)＜14(b k 4－b k ＋14)． ………………15分所以 (a 1－a 2)(a 3－1)＋(a 2－a 3)(a 4－1)＋…＋(a n －a n ＋1)(a n ＋2－1)＜14(b 14－b 24)＋14(b 24－b 34)＋…＋14(b n 4－b n ＋14) ＝14(b 14－b n ＋14)＜14b 14＜14． ………………20分 (方法二) 由a n ＋1＝a n 3－3a n 2＋3a n ，得a n ＋1－1＝(a n －1)3．令b n ＝a n －1，则0＜b 1＜1，b n ＋1＝b n 3，0＜b n ＜1． ………………5分所以 (a 1－a 2)( a 3－1)＋(a 2－a 3)( a 4－1)＋…＋(a n －a n ＋1)( a n ＋2－1)＝(b 1－b 2) b 3＋(b 2－b 3) b 4＋…＋(b n －b n ＋1) b n ＋2 ＝(b 1－b 2) b 23＋(b 2－b 3) b 33＋…＋(b n －b n ＋1) b n ＋1313014x dx <=⎰． ………………20分2010年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分标准加 试一、（本题满分40分）圆心为I 的ABC ∆的内切圆分别切边AC 、AB 于点E 、F . 设M 为线段EF 上一点， 证明：MAB ∆与MAC ∆面积相等的充分必要条件是MI BC ⊥.证明：过点M 作MP AC ⊥、MQ AB ⊥，垂足分别为P 、Q . 圆I 切边BC 于点D ，则ID BC ⊥, IF AB ⊥, IE AC ⊥.显然AF=AE , 所以AFM AEM ∠=∠, 从而推知Rt Rt QFMPEM ∆∆, 得MQ MFMP ME=. A BCEFPQM IDA B C EF M I (第1题)又 1212MAB MAC MQ ABS MQ AB MF AB S MP AC ME ACMP AC ∆∆⋅==⋅=⋅⋅, 所以 MAB ∆与MAC ∆面积相等的充要条件是AB MEAC MF=. ① 由①可知，问题转化为证明：AB MEAC MF =的充分必要条件是MI BC ⊥. ………10分 首先证明：若MI BC ⊥，则AB MEAC MF=. 由MI BC ⊥可知点M 在直线ID 上.因为B 、D 、I 、F 四点共圆，所以MIF DBF B ∠=∠=∠，MIE ECD C ∠=∠=∠.又 IE=IF ，则由正弦定理得sin sin sin()sin MF FI IE MEMIF IMF IMF MIEπ===∠∠-∠∠,即sin sin ME C MF B =，而sin sin AB C AC B =. 所以AB MEAC MF=. ……………30分 其次证明：若AB MEAC MF=，则MI BC ⊥. 设直线ID 与EF 交于点'M ，则由上述证明可知''AB M EAC M F=，于是有 ''AB M EAC M F=，从而 'M M ≡. 故命题成立. ……………40分二、（本题满分40分）将凸n 边形12n A A A 的边与对角线染上红、蓝两色之一，使得没有三边均为蓝色的三角形. 对k =1, 2,…，n ，记k b 是由顶点k A 引出的蓝色边的条数，求证：2122n n b b b +++≤.证明：不妨设12max{,,,}n b b b b =，并且由点A 向12,,,b A A A 引出b 条蓝色边，则12,,,b A A A 之间无蓝色边，12,,,b A A A 以外的n b -个点，每点至多引出b 条蓝色边，因此蓝色边总数()n b b ≤-22()24n b b n-+⎛⎫≤= ⎪⎝⎭. …………20分故 2212242n n n b b b +++≤⨯=. 命题得证. ……………40分三、（本题满分50分）设正整数的无穷数列{}n a （n ∈N *）满足44a =，2111n n n a a a -+-=（2n ≥），求{}n a 的通项公式． 解：由已知得11n n n na aa a -+>. 若有某个n ，使11n na a -≥，则 1n n a a +>， …………10分 从而112n n n n a a a a -++≥>>>，这显然不可能，因为*{} (N )n a n ∈是正整数的无穷数列. 故数列{}n a 中的项是严格递增的. …………20分 从而由44a =可知， 11a =，22a =，33a =. …………30分于是由{}n a 的递推公式及数学归纳法知*(N )n a n n =∈. …………40分显然数列*{} (N )n n ∈满足要求，故所求的正整数无穷数列为{}n (1)n ≥. …………50分 四、（本题满分50分）设p 是一个素数， 3 (mod 4)p ≡. 设x ，y 是整数，满足221|4p p x xy y +-+. 求证：存在整数u ，v ，使得222211()44p p x xy y p u uv v ++-+=-+. 证明：由条件可知22|(2)p x y py -+，则2|(2)p x y -.因p 是素数，故有|2p x y -. 设2x y pk -=， …………20分 则 222211((2))44p x xy y py x y +-+=+-2221((2))4x pk p p k =-+ 22((2))4p x pk pk =-+ …………30分 22((2))4p x pk k k pk =-+-+ 22((2))4p u v pv =-+ （这里(1)2k p u x -=-，v k =） 22(44(1))4p u uv p v =-++ 221()4p p u uv v +=-+. 命题得证. …………50分。
2010年全国高中数学联赛模拟卷
６已 ． 知不等式口 ÷ 一ｘ ４ ６ 解集为｛１≤ ≤ ｝其中０ 口 ｂ则ｂ 一 ≤ ３＋≤ 的 ０ ６， ＜ 边长 分别 为 １ ，４，５ 有 ４个半径 同为 ｒ的圆 ０， ０ ， ３ ｌ １． ０ ， ０ 放在 ＡＡ Ｃ内 ， 且 圆 ０ Ｂ 并 。 与边 Ａ Ａ Ｂ， Ｃ相 切 ， ０ 与 边 Ｂ ， Ｃ相 切 ， ０ 圆 ： ＡＢ 圆 ，与边 Ｃ Ｃ Ｂ，Ａ相 切 ， ０与 圆 ０ ， ： ０ 相 切 ， ｒ 圆 ０ ，３ 则 ＝
ｆ＋Ｉ ０ 了， ≤ ≤
９已 （ ． 知， ）：Ｊ
ｌ１ ）１ ≤ ２一，＜ １ （
２ ２
， 定义 （）＝ （ ， （ （ ） ∈ ， 厂 ） ）： 一（） ， Ｎ’求证： 集合
｛ ｆ （ ， ０ １ ｝ ｔ ）＝ ∈［ ，］ 中至少含 有 ９个元 素． ，
即当 ） 时，＝ 此时显然 ＝ ÷， （） ， ＝ 故
∈Ｂ 因为 ．
且
ａ ２＋ｂ 一Ｒ 一 ＝ —
。
ａ －
一
案 ≤ ， ）（ 口
ｌ Ｂ Ｉ 口一ｂ Ａ ≤ ．
ｏ 丢Ｉ）ｌ ） ， ） √１ １ ｏ ＝ ＝ ＝
所 以 当 ∈ｃ＝ ０ ， １
・
４ ６・
中学教研 （ 学） 数
２１ ００盎
都 说 自己讨论 了 １次 ， 在统 计时 ， 就被算作 了 ２次． 在 ｌ个人中， １ 若每 人刚好 只讨论 了 ３次 ， 则总 次数将 是 ｌ ３＝ ３次 ， １ Ｘ ３ 由于其 中有 ２个人 是讨论 的 ４次 ， 因此 总次数
考察 函数
（ ｏ ’ ＞ ）
程 为 Ｙ＝奴 ＋ｍ． 为点 Ａ既 在 椭 圆上 ， 在 直 线 因 又
一
2010全国高中数学联赛试题及答案
2010年全国高中数学联合竞赛一试试卷（考试时间：10月17日上午8∶00—9∶20）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在横线上．1．函数()f x 的值域是 ．2．已知函数()2cos 3sin y a x x =-的最小值为3-，则实数a 的取值范围是 ． 3．双曲线221x y -=的右半支与直线100x =围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是 ．4．已知{}n a 是公差不为0的等差数列，{}n b 是等比数列，其中13a =，11b =，22a b =，533a b =，且存在常数α，β使得对每一个正整数n 都有log n n a b αβ=+，则αβ+= ．5．函数()232xx f x aa =+-（0a >，1a ≠）在区间[]1,1x ∈-上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是 ．6．两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷．先投掷人的获胜概率是 ．7．正三棱柱111ABC A B C -的9条棱长都相等，P 是1CC 的中点，二面角11B A P B α--=，则sin α= ．8．方程2010x y z ++=满足x y z ≤≤的正整数解（x ，y ，z ）的个数是 ．二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本小题满分16分）已知函数()32f x ax bx cx d =+++（0a ≠），当01x ≤≤时，()'1f x ≤，试求a 的最大值．10．（本小题满分20分）已知抛物线26y x =上的两个动点A （1x ，1y ）和B （2x ，2y ），其中12x x ≠且124x x +=．线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ，求ABC ∆面积的最大值．11．（本小题满分20分）证明：方程32520x x +-=恰有一个实数根r ，且存在唯一的严格递增正整数数列{}n a ，使得31225a a a r r r =+++．解 答1. ]3,3[- 提示：易知)(x f 的定义域是[]8,5，且)(x f 在[]8,5上是增函数，从而可知)(x f 的值域为]3,3[-.2. 1223≤≤-a 提示：令t x =sin ，则原函数化为t a at t g )3()(2-+-=，即 t a at t g )3()(3-+-=.由3)3(3-≥-+-t a at ，0)1(3)1(2≥----t t at ，0)3)1()(1(≥-+--t at t 及01≤-t 知03)1(≤-+-t at 即3)(2-≥+t t a . （1）当1,0-=t 时（1）总成立；对20,102≤+<≤<t t t ；对041,012<+≤-<<-t t t .从而可知 1223≤≤-a . 3. 9800 提示：由对称性知，只要先考虑x 轴上方的情况，设)99,,2,1( ==k k y 与双曲线右半支于k A ,交直线100=x 于k B ，则线段k k B A 内部的整点的个数为99k -，从而在x 轴上方区域内部整点的个数为991(99)99494851k k =-=⨯=∑.又x 轴上有98个整点，所以所求整点的个数为98009848512=+⨯.3 提示 ：设}{n a 的公差为}{,n b d 的公比为q ，则,3q d =+ （1） 2)43(3q d =+， （2）（1）代入（2）得961292++=+d d d ，求得9,6==q d .从而有βα+=-+-19log )1(63n n 对一切正整数n 都成立，即βα+-=-9log )1(36n n 对一切正整数n 都成立.从而βαα+-=-=9log 3,69log ，求得 3,33==βα，333+=+βα.5. 41- 提示：令,y a x=则原函数化为23)(2-+=y y y g ,)(y g 在3(,+)2-∞上是递增的.当10<<a 时，],[1-∈a a y ,211max 1()32822g y a a a a ---=+-=⇒=⇒=， 所以412213)21()(2min -=-⨯+=y g ；当1>a 时，],[1a a y -∈，2823)(2max =⇒=-+=a a a y g ，所以412232)(12min -=-⨯+=--y g .综上)(x f 在]1,1[-∈x 上的最小值为41-.6. 1217 提示：同时投掷两颗骰子点数和大于6的概率为1273621=，从而先投掷人的获胜概率为+⨯+⨯+127)125(127)125(1274217121442511127=-⨯=.提示：解法一：如图，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 中点O 为原点，OC 所在直线为y 轴，建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为2，则)1,3,0(),2,0,1(),2,0,1(),0,0,1(11P A B B -，从而，)1,3,1(),0,0,2(),1,3,1(),2,0,2(1111--=-=-=-=P B A B BP BA .设分别与平面P BA 1、平面P A B 11垂直的向量是),,(111z y x m =、),,(222z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=++-=⋅=+-=⋅,03,022111111z y x BP m z x BA m⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=⋅=-=⋅,03,022221211z y x P B n x A B n 由此可设 )3,1,0(),1,0,1(==n m ，所以cos m n m n α⋅=⋅，即2cos cos 4αα=⇒=. 所以 410sin =α. 解法二：如图，PB PA PC PC ==11, . 设BA 1与1AB 交于点,O则1111,,OA OB OA OB A B AB ==⊥ .11,,PA PB PO AB =⊥因为 所以 从而⊥1AB 平面B PA 1 .过O 在平面B PA 1上作P A OE 1⊥,垂足为E .连结E B 1,则EO B 1∠为二面角11B P A B --的平面角.设21=AA ,则易求得3,2,5111=====PO O B O A PA PB .在直角O PA 1∆中，OE P A PO O A ⋅=⋅11,即 56,532=∴⋅=⋅OE OE .又 554562,222111=+=+=∴=OE O B E B O B . 4105542sin sin 111===∠=E B O B EO B α. 8. 336675 提示：首先易知2010=++z y x 的正整数解的个数为1004200922009⨯=C .把2010=++z y x 满足z y x ≤≤的正整数解分为三类： （1）z y x ,,均相等的正整数解的个数显然为1；OEPC 1B 1A 1CBA（2）z y x ,,中有且仅有2个相等的正整数解的个数，易知为1003； (3)设z y x ,,两两均不相等的正整数解为k . 易知100420096100331⨯=+⨯+k ，所以110033*********-⨯-⨯=k200410052006123200910052006-⨯=-⨯+-⨯=， 即3356713343351003=-⨯=k .从而满足z y x ≤≤的正整数解的个数为33667533567110031=++.9. 解法一： ,23)(2c bx ax x f ++='由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++='++='='cb a fc b a f c f 23)1(,43)21(,)0( 得)21(4)1(2)0(23f f f a '-'+'=.所以)21(4)1(2)0(23f f f a '-'+'=)21(4)1(2)0(2f f f '+'+'≤ 8≤， 所以38≤a . 又易知当m x x x x f ++-=23438)(（m 为常数）满足题设条件，所以a 最大值为38. 解法二：c bx ax x f ++='23)(2. 设1)()(+'=x f x g ，则当10≤≤x 时，2)(0≤≤x g .设 12-=x z ，则11,21≤≤-+=z z x . 14322343)21()(2++++++=+=c b az b a z a z g z h .容易知道当11≤≤-z 时，2)(0,2)(0≤-≤≤≤z h z h . 从而当11≤≤-z 时，22)()(0≤-+≤z h z h ， 即21434302≤++++≤c b a z a ， 从而 0143≥+++c b a ,2432≤z a ，由 102≤≤z 知38≤a .又易知当m x x x x f ++-=23438)(（m 为常数）满足题设条件，所以a 最大值为38.10. 解法一：设线段AB 的中点为),(00y x M ，则 2,22210210y y y x x x +==+=， 01221221212123666y y y y y y y x x y y k AB =+=--=--=. 线段AB 的垂直平分线的方程是)2(30--=-x y y y . （1） 易知0,5==y x 是（1）的一个解，所以线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点C 为定点，且点C 坐标为)0,5(.由（1）知直线AB 的方程为)2(30-=-x y y y ，即 2)(300+-=y y y x . （2） （2）代入x y 62=得12)(2002+-=y y y y ，即012222002=-+-y y y y . （3）依题意，21,y y 是方程（3）的两个实根，且21y y ≠，所以22200044(212)4480y y y ∆=--=-+>,32320<<-y .221221)()(y y x x AB -+-=22120))()3(1(y y y -+=]4))[(91(2122120y y y y y -++=))122(44)(91(202020--+=y y y)12)(9(322020y y -+=. 定点)0,5(C 到线段AB 的距离 202029)0()25(y y CM h +=-+-==.220209)12)(9(3121y y y h AB S ABC +⋅-+=⋅=∆ )9)(224)(9(2131202020y y y +-+=3202020)392249(2131y y y ++-++≤7314= . 当且仅当2202249y y -=+，即0y =,A B 或A B -时等号成立. 所以，ABC ∆面积的最大值为7314. 解法二：同解法一，线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点C 为定点，且点C 坐标为)0,5(.设4,,,222121222211=+>==t t t t t x t x ，则161610521222121t t t t S ABC =∆的绝对值, 2222122112))656665(21(t t t t t t S ABC --+=∆ 221221)5()(23+-=t t t t)5)(5)(24(23212121++-=t t t t t t 3)314(23≤,所以7314≤∆ABC S , 当且仅当5)(21221+=-t t t t 且42221=+t t ，即,6571-=t6572+-=t,66((33A B +-或66((33A B -时等号成立. 所以，ABC ∆面积的最大值是7314. 11.令252)(3-+=x x x f ，则056)(2>+='x x f ，所以)(x f 是严格递增的.又043)21(,02)0(>=<-=f f ，故)(x f 有唯一实数根1(0,)2r ∈.所以 32520r r +-=，3152rr-=4710r r r r =++++.故数列),2,1(23 =-=n n a n 是满足题设要求的数列. 若存在两个不同的正整数数列 <<<<n a a a 21和 <<<<n b b b 21满足52321321=+++=+++ b b b a a a r r r r r r ， 去掉上面等式两边相同的项，有+++=+++321321t t t s s s r r r r r r ，这里 <<<<<<321321,t t t s s s ，所有的i s 与j t 都是不同的.不妨设11t s <，则++=++<21211t t s s s r r r r r ，112111111121211=--<--=++≤++<--rr r r r s t s t ，矛盾.故满足题设的数列是唯一的.2010年全国高中数学联合竞赛加试试卷（A 卷）（考试时间：10月17日上午9∶40—12∶10）一、（本题满分40分）如图，锐角三角形ABC 的外心为O ，K 是边BC 上一点（不是边BC 的中点），D 是线段AK 延长线上一点，直线BD 与AC 交于点N ，直线CD 与AB 交于点M ．求证：若OK MN ⊥，则A ，B ，D ，C 四点共圆．二、（本题满分40分）设k 是给定的正整数，12r k =+．记()()()1f r f r r r ==⎡⎤⎢⎥， ()()()()()1l l f r f f r -=，2l ≥．证明：存在正整数m ，使得()()m f r 为一个整数．这里x ⎡⎤⎢⎥表示不小于实数x 的最小整数，例如：112⎡⎤=⎢⎥⎢⎥，11=⎡⎤⎢⎥．三、（本题满分50分）给定整数2n >，设正实数1a ，2a ，…，n a 满足1k a ≤，1k =，2，…，n ，记12kk a a a A k+++=，1k =，2，…，n ．求证：1112n nk k k k n a A ==--<∑∑． 四、（本题满分50分）一种密码锁的密码设置是在正n 边形12n A A A 的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个，同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同．问：该种密码锁共有多少种不同的密码设置？M解 答1. 用反证法．若A ，B ，D ，C 不四点共圆，设三角形ABC 的外接圆与AD 交于点E ，连接BE 并延长交直线AN 于点Q ，连接CE 并延长交直线AM 于点P ，连接PQ ． 因为2PK =P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ） ()()2222PO r KO r=-+-，同理()()22222QK QO r KO r =-+-，所以 2222PO PK QO QK -=-， 故OK ⊥PQ ． 由题设，OK ⊥MN ，所以PQ ∥MN ，于是AQ APQN PM=． ① 由梅内劳斯（Menelaus ）定理，得1NB DE AQBD EA QN⋅⋅=， ② 1MC DE APCD EA PM ⋅⋅=． ③ 由①，②，③可得NB MC BD CD =， 所以ND MDBD DC=，故△DMN ∽ △DCB ，于是DMN DCB ∠=∠，所以BC ∥MN ，故OK ⊥BC ，即K 为BC 的中点，矛盾！从而,,,A B D C 四点共圆.注1：“2PK =P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ）”的证明：延长PK 至点F ，使得PK KF AK KE ⋅=⋅， ④则P ，E ，F ，A 四点共圆，故PFE PAE BCE ∠=∠=∠，从而E ，C ，F ，K 四点共圆，于是PK PF PE PC ⋅=⋅，⑤⑤-④，得2PK PE PC AK KE =⋅-⋅=P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ）．MFE OK CBA注2：若点E 在线段AD 的延长线上，完全类似．2. 记2()v n 表示正整数n 所含的2的幂次．则当2()1m v k =+时，()()m f r 为整数．下面我们对2()v k v =用数学归纳法． 当0v =时，k 为奇数，1k +为偶数，此时()111()1222f r k k k k ⎛⎫⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎝⎭为整数． 假设命题对1(1)v v -≥成立．对于1v ≥，设k 的二进制表示具有形式1212222v v v v v k αα++++=+⋅+⋅+，这里，0i α=或者1，1,2,i v v =++．于是 ()111()1222f r k k k k ⎛⎫⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎝⎭2122kk k =+++ 11211212(1)2()222v v v vv v v ααα-++++=+++⋅++⋅+++12k '=+， ①这里1121122(1)2()22v v v v v v v k ααα-++++'=++⋅++⋅+++.显然k '中所含的2的幂次为1v -．故由归纳假设知，12r k ''=+经过f 的v 次迭代得到整数，由①知，(1)()v fr +是一个整数，这就完成了归纳证明．3. 由01k a <≤知，对11k n ≤≤-，有110,0kniii i k ak an k ==+<≤<≤-∑∑．注意到当,0x y >时，有{}max ,x y x y -<，于是对11k n ≤≤-，有11111kn n k i i i i k A A a a n k n ==+⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭∑∑11111n ki i i k i a a n k n =+=⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∑∑ 11111max ,nk i i i k i a a n k n =+=⎧⎫⎛⎫<-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭∑∑ 111max (),n k k n k n ⎧⎫⎛⎫≤--⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭1kn=-， 故111nnnk kn k k k k a AnA A ===-=-∑∑∑()1111n n nk n k k k AA A A --===-≤-∑∑111n k k n -=⎛⎫<-⎪⎝⎭∑12n -=． 4. 对于该种密码锁的一种密码设置，如果相邻两个顶点上所赋值的数字不同，在它们所在的边上标上a ，如果颜色不同，则标上b ，如果数字和颜色都相同，则标上c ．于是对于给定的点1A 上的设置（共有4种），按照边上的字母可以依次确定点23,,,n A A A 上的设置．为了使得最终回到1A 时的设置与初始时相同，标有a 和b 的边都是偶数条．所以这种密码锁的所有不同的密码设置方法数等于在边上标记a ，b ，c ，使得标有a 和b 的边都是偶数条的方法数的4倍．设标有a 的边有2i 条，02n i ⎡⎤≤≤⎢⎥⎣⎦，标有b 的边有2j 条，202n i j -⎡⎤≤≤⎢⎥⎣⎦．选取2i 条边标记a 的有2in C 种方法，在余下的边中取出2j 条边标记b 的有22jn i C -种方法，其余的边标记c ．由乘法原理，此时共有2i n C 22jn i C -种标记方法．对i ，j 求和，密码锁的所有不同的密码设置方法数为222222004n n i i j n n i i j C C -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-==⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭∑∑． ① 这里我们约定001C =．当n 为奇数时，20n i ->，此时22221202n i jn i n ij C-⎡⎤⎢⎥⎣⎦---==∑． ②代入①式中，得()()2222222221222000044222n n i n n i j i n i i n i n n i n n i j i i C C C C -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦----====⎛⎫ ⎪== ⎪⎪⎝⎭∑∑∑∑ 022(1)(21)(21)nnk n kk n kk n n nn k k C C --===+-=++-∑∑ 31n =+．当n 为偶数时，若2n i <，则②式仍然成立；若2ni =，则正n 边形的所有边都标记a ，此时只有一种标记方法．于是，当n 为偶数时，所有不同的密码设置的方法数为222222004n n i i j n n i i j C C -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-==⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭∑∑()122210412n i n i n i C ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦--=⎛⎫ ⎪⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭∑ ()222124233n i n i n n i C ⎡⎤⎢⎥⎣⎦--==+=+∑．综上所述，这种密码锁的所有不同的密码设置方法数是：当n 为奇数时有31n+种；当n 为偶数时有33n+种．。
2010年全国高中数学联赛试题及答案_百度文库
11111k nnkiiiikAAaankn
11111nk iiikiaankn
1 1111max, n kiiikiaankn
条，02 ni，标有b的边有2j
条，202nij ．选取2i条边标记a的有2inC种方法，在余下的边中取出2j条边标记b的有22j niC种方法，其余的边标记c．由乘法原理，此时共有2inC22jniC种标记方法．对i，j求和，密码锁的所有不同的密码设置方法数为
声明：本资料未经过编辑加工，可能存在错误，敬请谅解。 更多资料详见华东师大版《高中数学联赛备考手册（预赛试题集锦）》
9 2. （40分）设k是给定的正整数
，1 2 rk ．记(1)()()frfrrr， ()()lfr(1)(()),2lffrl．证明：存在正整数m，使得()()mfr为一个整数．这里，x表示不 小于实数x
AQAP QNPM ． ① 由梅内劳斯（Menelaus）定理，得
EQ P O N M KD C B A
声明：本资料未经过编辑加工，可能存在错误，敬请谅解。 更多资料详见华东师大版《高中数学联赛备考手册（预赛试题集锦）》
10 1NBDEAQ BDEAQN ， ②
2222220 04nniijnniijCC ． ① 这里我们约定0 01C． 当n为奇数时，20ni，此时
为偶数时，若2ni ，则②
式仍然成立；若2 n i，则正n边形的所有边都标记a，此时只有一种标记方法．于是，当n为偶数时，所有不同的密码设置的方法数为
声明：本资料未经过编辑加工，可能存在错误，敬请谅解。 更多资料详见华东师大版《高中数学联赛备考手册（预赛试题集锦）》
2010年全国高中数学联合竞赛试题及参考答案及评分标淮(B卷)
2010年全国高中数学联合竞赛一试 试题参考答案及评分标准（B 卷）说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不要增加其他中间档次。
一、填空题（本题满分64分，每小题8分） 1. 函数x x x f 3245)(---=的值域是 ]3,3[-.解：易知)(x f 的定义域是[]8,5，且)(x f 在[]8,5上是增函数，从而可知)(x f 的值域为]3,3[-.2. 已知函数x x a y sin )3cos (2-=的最小值为3-，则实数a 的取值范围是1223≤≤-a . 解：令t x =sin ，则原函数化为t a at t g )3()(2-+-=，即t a at t g )3()(3-+-=.由 3)3(3-≥-+-t a at ， 0)1(3)1(2≥----t t at ，0)3)1()(1(≥-+--t at t 及01≤-t 知03)1(≤-+-t at 即 3)(2-≥+t t a （1）当1,0-=t 时（1）总成立； 对20,102≤+<≤<t t t ；对041,012<+≤-<<-t t t . 从而可知 1223≤≤-a .3. 双曲线122=-y x 的右半支与直线100=x 围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是 9800 .解：由对称性知，只要先考虑x 轴上方的情况，设)99,,2,1( ==k k y 与双曲线右半支于k A ,交直线100=x 于k B ，则线段k k B A 内部的整点的个数为99k -，从而在x 轴上方区域内部整点的个数为991(99)99494851k k =-=⨯=∑.又x 轴上有98个整点，所以所求整点的个数为 98009848512=+⨯.4. 已知}{n a 是公差不为0的等差数列，}{n b 是等比数列，其中3522113,,1,3b a b a b a ====，且存在常数βα,使得对每一个正整数n 都有βα+=n n b a log ，则=+βα3.解：设}{n a 的公差为}{,n b d 的公比为q ，则 ,3q d =+ （1） 2)43(3q d =+， （2）（1）代入（2）得961292++=+d d d ，求得9,6==q d .从而有 βα+=-+-19log )1(63n n 对一切正整数n 都成立，即 βα+-=-9log )1(36n n 对一切正整数n 都成立. 从而 βαα+-=-=9log 3,69log ， 求得 3,33==βα， 333+=+βα. 5. 函数)1,0(23)(2≠>-+=a a a ax f x x在区间]1,1[-∈x 上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是 41-. 解：令,y a x=则原函数化为23)(2-+=y y y g ,)(y g 在3(,+)2-∞上是递增的.当10<<a 时，],[1-∈a a y ,211max 1()32822g y a a a a ---=+-=⇒=⇒=， 所以 412213)21()(2min -=-⨯+=y g ； 当1>a 时，],[1a a y -∈，2823)(2max =⇒=-+=a a a y g ，所以 412232)(12min -=-⨯+=--y g .综上)(x f 在]1,1[-∈x 上的最小值为41-.6. 两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是1217. 解：同时投掷两颗骰子点数和大于6的概率为1273621=，从而先投掷人的获胜概率为 +⨯+⨯+127)125(127)125(12742 17121442511127=-⨯=.7. 正三棱柱111C B A ABC -的9条棱长都相等，P 是1CC 的中点，二面角α=--11B P A B ,则=αsin. 解一：如图，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 中点O 为原点，OC 所在直线为y 轴，建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为2，则)1,3,0(),2,0,1(),2,0,1(),0,0,1(11P A B B -，从而，)1,3,1(),0,0,2(),1,3,1(),2,0,2(1111--=-=-=-=B A B BA .设分别与平面P BA 1、平面P A B 11垂直的向量是),,(111z y x m =、),,(222z y x =，则⎪⎩⎪⎨⎧=++-=⋅=+-=⋅,03,022111111z y x z x BA ⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=⋅=-=⋅,03,022221211z y x B x A B n由此可设 )3,1,0(),1,0,1(==， 所以cos m n m n α⋅=⋅，2cos cos αα=⇒=. 所以 410sin =α. 解二：如图，PB PA PC PC ==11, .设B A 1与1AB 交于点,O 则1111,,OA OB OA OB A B AB ==⊥ . 11,,PA PB PO AB =⊥因为 所以从而⊥1AB 平面B PA 1 .过O 在平面B PA 1上作P A OE 1⊥,垂足为E . 连结E B 1,则EO B 1∠为二面角11B P A B --的平面角. 设21=AA ,则易求得3,2,5111=====PO O B O A PA PB .在直角O PA 1∆中，OE P A PO O A ⋅=⋅11, 即 56,532=∴⋅=⋅OE OE .又 554562,222111=+=+=∴=OE O B E B O B . 4105542sin sin 111===∠=E B O B EO B α. 8. 方程2010=++z y x 满足z y x ≤≤的正整数解（x ,y ,z ）的个数是 336675 .解：首先易知2010=++z y x 的正整数解的个数为 1004200922009⨯=C .OEPC 1B 1A 1CBA把2010=++z y x 满足z y x ≤≤的正整数解分为三类：（1）z y x ,,均相等的正整数解的个数显然为1；（2）z y x ,,中有且仅有2个相等的正整数解的个数，易知为1003； (3)设z y x ,,两两均不相等的正整数解为k .易知 100420096100331⨯=+⨯+k ， 110033*********-⨯-⨯=k200410052006123200910052006-⨯=-⨯+-⨯=， 3356713343351003=-⨯=k . 从而满足z y x ≤≤的正整数解的个数为 33667533567110031=++. 二、解答题（本题满分56分）9.（本小题满分16分）已知函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f ，当10≤≤x 时，1)(≤'x f ，试求a 的最大值.解一： ,23)(2c bx ax x f ++='由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++='++='='cb a fc b a f c f 23)1(,43)21(,)0( 得（4分）)21(4)1(2)0(23f f f a '-'+'=.（8分）所以)21(4)1(2)0(23f f f a '-'+'=)21(4)1(2)0(2f f f '+'+'≤ 8≤， 38≤a .（12分）又易知当m x x x x f ++-=23438)(（m 为常数）满足题设条件，所以a 最大值为38.（16分）解二：c bx ax x f ++='23)(2.设1)()(+'=x f x g ，则当10≤≤x 时，2)(0≤≤x g .设 12-=x z ，则11,21≤≤-+=z z x . 14322343)21()(2++++++=+=c b az b a z a z g z h .（4分）容易知道当11≤≤-z 时，2)(0,2)(0≤-≤≤≤z h z h .（8分）从而当11≤≤-z 时，22)()(0≤-+≤z h z h ，即 21434302≤++++≤c b a z a ， 从而 0143≥+++c b a ,2432≤z a，由 102≤≤z 知38≤a . （12分）又易知当m x x x x f ++-=23438)(（m 为常数）满足题设条件，所以a 最大值为38. （16分）10.（本小题满分20分）已知抛物线x y 62=上的两个动点1122(,)(,)A x y B x y 和，其中21x x ≠且421=+x x .线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ，求ABC ∆面积的最大值.解一：设线段AB 的中点为),(00y x M ，则 2,22210210y y y x x x +==+=， 01221221212123666y y y y y y y x x y y k AB =+=--=--=.线段AB 的垂直平分线的方程是 )2(30--=-x y y y . （1） 易知0,5==y x 是（1）的一个解，所以线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点C 为定点，且点C坐标为)0,5(.（5分）由（1）知直线AB 的方程为)2(300-=-x y y y ，即 2)(300+-=y y y x . （2） （2）代入x y 62=得12)(2002+-=y y y y ，即 012222002=-+-y y y y .（3）依题意，21,y y 是方程（3）的两个实根，且21y y ≠，所以22200044(212)4480y y y ∆=--=-+>,32320<<-y . 221221)()(y y x x AB -+-=22120))()3(1(y y y -+=]4))[(91(2122120y y y y y-++= ))122(44)(91(202020--+=y y y)12)(9(322020y y -+=. 定点)0,5(C 到线段AB 的距离 22029)0()25(y y CM h +=-+-==.（10分） 220209)12)(9(3121y y y h AB S ABC +⋅-+=⋅=∆ )9)(224)(9(2131202020y y y +-+=3202020)392249(2131y y y ++-++≤7314= .（15分）当且仅当2202249y y -=+，即0y =,66((33A B 或66((,33A B -时等号成立. 所以ABC∆面积的最大值为7314.（20分）解二：同解一，线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点C 为定点，且点C 坐标为)0,5(.（5分）设4,,,222121222211=+>==t t t t t x t x ，则161610521222121t t t t S ABC =∆的绝对值,（10分）2222122112))656665(21(t t t t t t S ABC --+=∆221221)5()(23+-=t t t t )5)(5)(24(23212121++-=t t t t t t3)314(23≤,7314≤∆ABC S ,（15分）当且仅当5)(21221+=-t t t t 且42221=+t t ，即,6571-=t 6572+-=t ,66((33A B 或A B -时等号成立. 所以ABC∆面积的最大值是7314.（20分）11.（本小题满分20分）数列{}n a 满足),2,1(1,312211 =+-==+n a a a a a n n n n .求证:n n n a a a 2212312131211-<+++<-- . （1） 证明：由1221+-=+n n n n a a a a 知 111121+-=+n n n a a a ，)11(1111-=-+nn n a a a . （2） 所以 211,111n n n n n n na a aa a a a ++==----即1111n n n n n a aa a a ++=---.（5分）从而 n a a a +++ 211133222*********++---++---+---=n n n n a a a a a a a aa a a a 11111112111++++--=---=n n n n a a a a a a . 所以（1）等价于n n n n a a 2112312112131211-<--<-++-， 即 n n n n a a 21123131<-<++- . （3） （10分）由311=a 及 1221+-=+n n n n a a a a 知 712=a .当1n =时 ，2216a a -=，11122363<<- ， 即1n =时，（3）成立.设)1(≥=k k n 时，（3）成立，即 k k k k a a 21123131<-<++-. 当1+=k n 时，由（2）知kk k k k k k k a a a a a a a 2211111223)1()1(11>->-=-+++++++；（15分）又由（2）及311=a 知 )1(1≥-n a a nn 均为整数， 从而由 k k k a a 21131<-++ 有 131211-≤-++k k k a a 即kk a 2131≤+ ， 所以122211122333111+<⋅<-⋅=-+++++k k k k k k k k a a a a a ，即（3）对1+=k n 也成立.所以（3）对1≥n 的正整数都成立，即（1）对1≥n 的正整数都成立. （20分）。
2010年全国高中数学联赛试题参考答案
2010年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷）考试时间：2010年10月17日 8：00—9：20一、填空题（本题满分64分，每小题8分）1.函数()f x =的值域是______________.2.已知函数2(cos 3)sin y a x x =-的最小值为3-，则实数a 的取值范围是_____________.3.双曲线221x y -=的右半支与直线100x =围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是___________.4.已知{}n a 是公差不为0的等差数列，{}n b 是等比数列，其中1122533,1,,3a b a b a b ====，且存在常数,αβ使得对每一个正整数n 都有log n n a b αβ=+，则αβ+=____________.5. 函数2()32(0,1)x x f x a a a a =+->≠在区间[1,1]x ∈-上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是___________________.6. 两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率为_________________.7.正三棱柱111ABC A B C -的9条棱长都相等，P 是1CC 的中点，二面角11B A P B α--=,则sin α=_____________.8.方程2010x y z ++= 满足x y z ≤≤的正整数解(,,)x y z 的个数是_____________.二、解答题（本题满分56分）9.(本小题满分16分)已知函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，当01x ≤≤时，|()|1f x '≤，试求a 的最大值.10. (本小题满分20分)已知抛物线26y x =上的两个动点11(,)A x y 和22(,)B x y ,其中12x x ≠且124x x +=.线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ,求△ABC 面积的最大值.11. (本小题满分20分)证明：方程32520x x +-=恰有一个实根r ，且存在唯一的严格递增正整数列{}n a ，使得31225a a a r r r =+++L . 2010年全国高中数学联合竞赛加试试题（A 卷）考试时间：2010年10月17日 9：40—12：10一、（本题满分40分）如图，锐角三角形ABC 的外心为O ，K 是边BC 上一点（不是边BC 的中点），D 是线段AK 延长线上一点，直线BD 与AC 交于点N ，直线CD 与AB 交于点M .求证：若OK MN ⊥,则,,,A B D C 四点共圆.二、（本题满分40分）设k 是给定的正整数，12r k =+.记()()f r f r r r ==⎡⎤⎢⎥（1）,(1)()(()),2l l f r f f r l -=≥（）.证明：存在正整数m ,使得()()m f r 为一个整数.这里，x ⎡⎤⎢⎥表示不小于实数x 的最小整数，例如11,112⎡⎤==⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥.三、（本题满分50分）给定整数2n >,设正实数12,,,n a a a L 满足1k a ≤,1,2,,k n =L ,记12,1,2,,.k k a a a A k n k+++==L L 求证：1112n n k k k k n a A ==--<∑∑.四、（本题满分50分）一种密码锁的密码设置是在正n 边形12n A A A L 的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个，同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同.问：这种密码锁共有多少种不同的密码设置.2010年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案与评分标准说明：1.评阅试卷时，请依据本评分标准。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2010全国高中数学联赛模拟试题10
第一试
一、选择题：（每小题6分，共36分）
1、设集合M ={-2,0,1}，N ={1,2,3,4,5}，映射f ：M →N 使对任意的x ∈M ，都有x +f (x )+xf (x )是奇数，则这样的映射f 的个数是 （A ）45
（B ）27
（C ）15
（D ）11
2、
已知sin2 =a ，cos2 =b ，0＜ ＜
4π，给出⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+4tan πθ值的五个答案： ①a b
-1； ②
b
a
-1； ③
a
b
+1； ④
b
a
+1； ⑤1
1-++-b a b a ． 其中正确的是： （A ）①②⑤
（B ）②③④
（C ）①④⑤
（D ）③④⑤
3、
若干个棱长为2、3、5的长方体，依相同方向拼成棱长为90的正方体，则正方体的一条对角线贯穿的小长方体的个数是 （A ）64
（B ）66
（C ）68
（D ）70
4、递增数列1,3,4,9,10,12,13,…，由一些正整数组成，它们或者是3的幂，或者是若干个3的幂之和，则此数列的第100项为 （A ）729
（B ）972
（C ）243
（D ）981
5、14951C C C C +++++m n n n n （其中⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=41n m ，[x ]表示不超过x 的最大整数）的值为 （A ）4
cos
2π
n n
（B ）4
sin
2πn n （C ）⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-4cos
22211πn n n （D ）⎪⎭
⎫
⎝⎛+-4sin 22211πn n n
6、一个五位的自然数abcde 称为“凸”数，当且仅当它满足a ＜b ＜c ，c ＞d ＞
e （如12430，13531等），则在所有的五位数中“凸”数的个数是 （A ）8568
（B ）2142 （C ）2139 （D ）1134
二、填空题：（每小题9分，共54分）
1、过椭圆12
32
2=+y x 上任意一点P ，作椭圆的右准线的垂线PH （H 为垂足），并延长PH 到Q ，使得HQ = PH （ ≥1）．当点P 在椭圆上运动时，点Q 的轨迹的离心率的取值范围是 ．
2、已知异面直线a 、b 所成的角为60°，过空间一点P 作与a 、b 都成角 （0＜ ＜90°）的直线l ，则这样的直线l 的条数是f ( )= ．
3、不等式
()
9221142
2+<+-
x x
x 的解集为 ．
4、设复数z 满足条件|z -i|=1，且z ≠0，z ≠2i ，又复数 使得
i
2i 2-⋅-z z
ωω为实数，则复数 -2的辐角主值的取值范围是 ． 5、设a 1,a 2,…,a 2002均为正实数，且
2
1
212121200221=++++++a a a ，
则a 1a 2…a 2002的最小值是 ．
6、在一个由十进制数字组成的数码中，如果它含有偶数个数字8，则称它为“优选”数码（如12883，787480889等），否则称它为“非优选”数码（如2348756，958288等），则长度不超过n （n 为自然数）的所有“优选”数码的个数之和为 ．
三、（20分）
已知数列{a n }是首项为2，公比为2
1
的等比数列，且前n 项和为S n ． （1） 用S n 表示S n +1；
（2） 是否存在自然数c 和k ，使得
c
S c
S k k --+1＞2成立．
四、（20分）
设异面直线a 、b 成60°角，它们的公垂线段为EF ，且|EF |=2，线段
AB 的长为4，两端点A 、B 分别在a 、b 上移动．求线段AB 中点P 的轨迹方程．
五、（20分）
已知定义在R +上的函数f (x )满足
（i ）对于任意a 、b ∈R +，有f (ab )=f (a )+f (b )； （ii ）当x ＞1时，f (x )＜0；
（iii ）f (3)=-1．
现有两个集合A 、B ，其中集合A ={(p ,q )|f (p 2+1)-f (5q )-2＞0，p 、q ∈R +}，集合B ={(p ,q )|f (
q
p
)+21=0，p 、q ∈R +}．试问是否存在p 、q ，使∅≠B A ，说明理由．
第二试
一、（50分）
如图，AM 、AN 是⊙O 的切线，M 、N 是切点，L 是劣弧MN 上异于M 、N 的点，过点A 平行于MN 的直线分别交ML 、NL 于点Q 、P ．若P
O Q O S S △⊙32π=，
求证：∠POQ =60°．
二、（50分）
已知数列a 1=20，a 2=30，a n +2=3a n +1-a n （n ≥1）．求所有的正整数n ，使得1+5a n a n +1是完全平方数．
三、（50分）
设M 为坐标平面上坐标为(p ·2002,7p ·2002)的点，其中p 为素数．求满足下列条件的直角三角形的个数：
（1） 三角形的三个顶点都是整点，而且M 是直角顶点； （2） 三角形的内心是坐标原点．
P
Q
参考答案 第一试
一、选择题：
二、填空题：
1、⎪
⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡1,33；
2、()⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧︒
<<︒︒=︒<<︒︒=︒<<︒=900,460,36030,230,1300,0ααααααf ；
3、⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡-845,00,21 ；
4、⎪⎭⎫⎢⎣
⎡
-ππ,34arctan ；
5、4002
2002
；
6、⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-+++63142789102111n n ．
三、（1）22
1
1+=+n n S S ； （2）不存在．
四、19
22
=+y x ．
五、不存在．
第二试
一、证略；
二、n =3．
三、 p ≠2,7,11,13时，324个；p =2时，162个；p =7,11,13时，180个．。