山西省孝义市2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题 文(扫描版)
山西省高二上学期期末数学试题(解析版)
高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知数列满足，则（ ） {}n a *1112,,N 3n n n a a a n a +-==∈+4a =A ．B ．C ．D ．1514-511-47-【答案】C【分析】根据递推关系即可逐一代入求值. 【详解】. 312234123111115,,3534311a a a a a a a a a ---====-==-+++故选:C2．已知函数，则（ ） ()sin cos f x x x x =+()f x '=A ． B ． cos x x cos x x -C ． D ．2sin cos x x x +sin x x 【答案】A【分析】根据导数运算法则直接求解即可.【详解】. ()()()sin sin cos sin cos sin cos f x x x x x x x x x x x x ''''=++=+-=故选：A.3．《红楼梦》是中国古代章回体长篇小说，中国古典四大名著之一，《红楼梦》第三十七回贾探春提议邀集大观园中有文采的人组成海棠诗社．诗社成立目的旨在“宴集诗人於风庭月榭；醉飞吟盏於帘杏溪桃，作诗吟辞以显大观园众姊妹之文采不让桃李须眉．”诗社成员有8人：林黛玉、薛宝钗、史湘云、贾迎春、贾探春、贾惜春、贾宝玉及李纨，若这8人排成一排进人大观园，且林黛玉、薛宝钗、贾宝玉3人不相邻，则不同的排法种数有（ ） A ．1440 B ．2400 C ．14400 D ．86400【答案】C【分析】根据插空法，利用排列数公式求解.【详解】不相邻问题用插空法，先将其他5人排好，有种不同的排法，再将林黛玉、薛宝钗、55A 贾宝玉3人排入其他5人隔开的6个空中，有种不同的排法，所以有（种）不同36A 5356A A 14400⋅=的排法. 故选：C4．有6名选手（含选手甲、乙）参加了男子100米赛跑决赛，则在甲的名次比乙高的条件下，甲、乙两人名次相邻的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．13161214【答案】A【分析】分甲第一名，甲第二名，甲第三名，甲第四名，甲第五名五种情况讨论分别求出甲的名次比乙高和甲的名次比乙高且甲乙相邻的基本事件的个数，再根据条件概率公式即可得解. 【详解】甲的名次比乙高，当甲第一名时，乙有5种位置，其中甲乙相邻有1种情况， 当甲第二名时，乙有4种位置，其中甲乙相邻有1种情况， 当甲第三名时，乙有3种位置，其中甲乙相邻有1种情况， 当甲第四名时，乙有2种位置，其中甲乙相邻有1种情况， 当甲第五名时，乙有1种位置，其中甲乙相邻有1种情况， 所以甲的名次比乙高共有种情况， 5432115++++=甲的名次比乙高且甲乙相邻有5种情况，所以在甲的名次比乙高的条件下，甲、乙两人名次相邻的概率为. 51153=故选：A.5．若角的终边经过点，则（ ）θ()1,2-sin (1sin 2)sin cos θθθθ+=+A ．B ．C ．D ．6565-2525-【答案】C【分析】根据题意可求得，利用同角的三角函数关系结合二倍角公式化简tan 2θ=-sin (1sin 2)sin cos θθθθ++，代入求值，可得答案.【详解】根据角的终边经过点，得，θ()1,2-tan 2θ=-又2sin (1sin 2)sin (sin cos )sin cos sin cos θθθθθθθθθ++=++()2222sin sin cos sin sin cos sin sin c o os sin c s θθθθθθθθθθθ+=+=+=+,22tan tan 422tan 1415θθθ+-===++故选:C.另解：根据三角函数的定义，得，，sin θ=cos θ=所以， 4sin 22sin cos 25θθθ⎛===- ⎝所以， sin (1sin 2)2sin cos 5θθθθ+==+故选：C.6．某班开展阅读比赛，老师选择了5本不同的课外书，要求每位同学在3天内阅读完这5本课外书，每天至少选一本阅读，选择的课外书当天需阅读完，则不同的选择方式有（ ） A ．540种 B ．300种 C ．210种 D ．150种【答案】D【分析】先将本数分成3组，有和两种分组方案，然后再分配到每天即可. 51,2,23,1,1【详解】先将每天读书的本数分组，有和两种分组方案，1,2,23,1,1当按分组时，有种方法，1,2,222353322C C A 90A =当按按分组时，有种方法，3,1,13353C A 60=所以不同的选择方式有种. 9060150+=故选：D.7．已知数列满足，，设数列的前项和为，若，{}n a 11a =1113n n a a +=+{}1n n a a +n n T ()33101k T k *>∈N 则的最小值是（ ） k A ． B ． C ． D ．16171819【答案】B【分析】根据等差数列定义和通项公式可推导得到，由此可得，利用裂项相消法可求得n a 1n n a a +n T ，由可构造不等式求得的范围，进而得到最小值. 33101k T >k 【详解】，，数列是以为首项，为公差的等差数列， 1113n n a a +=+111a =∴1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭13，则， ()113132n n n a ∴=+-=-132n a n =-，()()11111323133231n n a a n n n n +⎛⎫∴==- ⎪-+-+⎝⎭， 11111111111344771035323231n T n n n n ⎛⎫∴=-+-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪---+⎝⎭11133131⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭nn n 由得：，解得：，又，.33101k T >3331101k k >+332k >k *∈N min 17k ∴=故选：B.8．已知函数与函数的图像上恰有两对关于轴对称的点，则实数的()ln f x ax x x =-()e 1xg x =-x a 取值范围为（ ） A ． B ．C ．D ．(],1e -∞-1e ,2-⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦(),1e -∞-1e ,2-⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】根据题意函数与的图像上恰有两对关于轴对称的点，得到方程有两解，分离()f x ()g x x 参数构造新函数，利用导数求出最值，结合题意分析即可得.【详解】因为函数与的图像上恰有两对关于轴对称的点， ()f x ()g x x 所以， ()()f x g x -=即有两解，ln e 1x ax x x -+=-所以有两解，ln e 1x x x a x -+=令，()ln e 1x x x h x x-+=则，()()()2e11xx h x x--'=所以当时，0，此时函数在上单调递增； ()0,1x ∈()h x '>()h x ()0,1当时，，函数在上单调递减， ()1,x ∈+∞()0h x '<()h x ()1,+∞所以在处取得极大值，， ()h x 1x =()11e h =-且时，的值域为，()0,1x ∈()h x (),1e -∞-时，的值域为，()1,x ∈+∞()h x (),1e -∞-因此有两解时，实数的取值范围为，ln e 1x x x a x -+=a (),1e -∞-故选：C.二、多选题9．已知直线与直线平行，且与圆相切，则直线的方程是l 3460x y -+=()()22:119C x y -++=l （ ）A ．B ． 3480x y -+=3480x y --=C ．D ． 34220x y --=34220x y -+=【答案】AC【分析】由圆的方程可确定圆心和半径，设，根据直线与圆相切可知圆心到直线:340l x y m -+=距离等于半径，由此可构造方程求得结果.【详解】由圆的方程可知：圆心，半径； ()1,1C -3r =设直线， :340l x y m -+=则圆心到直线的距离，解得：或， C l 735md +==8m =22m =-直线的方程为：或.∴l 3480x y -+=34220x y --=故选：AC. 10．若，则（ ）()()20232320230123202332x a a x a x a x a x x -=++++⋅⋅⋅+∈R A ．B ． 202302a =20230242022152a a a a -+++⋅⋅⋅+=C ．D ．20231352023512a a a a --+++⋅⋅⋅+=20233202312232023213333a a a a +++⋅⋅⋅+=-【答案】BD【分析】利用赋值法令求出判断A ，令，得到两式，两式相加、相减即可判断0x =0a 1,1x =-BC ，令判断D ．13x =【详解】令时，，故A 错误；0x =()320223020022a --==时，；1x =01220202233(32)1...a a a a =-+++=+时，；=1x -0122022203202232302(3)5.2..a a a a a =--+---+-=所以，，B 正确； 20230242022152a a a a -+++⋅⋅⋅+=，C 错误； 20231352023152a a a a ++++⋅⋅⋅+=令，可得， 13x =20233202312023202313233333a a a a a ⎛⎫⨯-=++++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭故，故D 正确. 2023202332023122320231(2)213333a a a a +++⋅⋅⋅+=---=-故选：BD ．11．已知是数列的前项和，，，，则（ ）n S {}n a n ()113202,n n n a a a n n *+--+=≥∈N 11a =24a =A ．583S =B ．数列是等比数列{}1n n a a +-C ．1323n n a -=⋅-D ．3223nn S n =⋅--【答案】ABD【分析】根据递推关系式依次求得数列的前项，加和即可知A 正确；将递推关系式转化为{}n a 5，结合，由等比数列定义可得B 正确；利用累加法可求得C 错误；()112n n n n a a a a +--=-213a a -=采用分组求和的方式，结合等比数列求和公式可求得D 正确.【详解】对于A ，，，，()113202,n n n a a a n n *+--+=≥∈N 11a =24a =，，， 3213210a a a ∴=-=4323222a a a =-=5433246a a a =-=，A 正确；51410224683S ∴=++++=对于B ，由得：，()113202,n n n a a a n n *+--+=≥∈N ()112n n n n a a a a +--=-又，数列是以为首项，为公比的等比数列，B 正确；213a a -=∴{}1n n a a +-32对于C ，由B 知：，1132n n n a a -+-=⋅当时，2n ≥()()()()11223211n n n n n n n a a a a a a a a a a -----=-+-+-+⋅⋅⋅+-+=，()()1231112322213321132212n n n n n ------++⋅⋅⋅++=⨯=-+=⋅--又满足，，C 错误；11a =1322n n a -=⋅-()1322n n a n -*∴=⋅-∈N 对于D ，，D 正确.()011123222232322312nn n n S n n n --=++⋅⋅⋅+-=⨯-=⋅---故选：ABD. 12．已知函数的两个极值点分别是，则（ ） ()21ln 2f x x ax a x =-+12,x x A ．或a<04a >B ．22128x x +>C ．存在实数，使得 a ()()120f x f x +>D ． ()()()221212164f x f x x x +<+-【答案】BD【分析】对于A ，由题意可得在上有2个不等的实根，从而可求出的范围，对于()0f x '=()0,∞+aB ，根据根与系数的关系结合的范围进行判断，对于C ，由题意得a ()()2121ln 2f x f x a a a a+=--+，令，利用导数可求得，从而可进行判断，对于D ，()()11ln ,4,2g a a a a ∞=--+∈+()0g a <，令，利用()()()22212121316ln 6442f x f x x x a a a a +-++=--+()()231ln 6,4,42h a a a a a a =--+∈+∞导数可求出其在上的最大值小于零即可. ()4,+∞【详解】由有两个极值点，得在上有2个不等的实根， ()f x 12,x x ()0af x x a x'=-+=()0,∞+即在上有2个不等的实根，则解得，A 错误；20x ax a -+=()0,∞+2Δ400a a a ⎧=->⎨>⎩4a >由韦达定理，得，当时，()222221212121212,,22(1)1x x a x x a x x x x x x a a a +==+=+-=-=--4a >，B 正确；22212(1)18x x a +=-->， ()()()()()2221212121211ln ln ln 22f x f x x x a x x a x x a a a a +=+-+++=--+令，则，()()11ln ,4,2g a a a a ∞=--+∈+()1102g a a=-'+<所以在上单调递减，所以， ()g a ()4,+∞()()4ln430g a g <=-<所以恒成立，C 错误；()()()2121ln 02f x f x a a a a a g a +=--+=⋅<， ()()()22212121316ln 6442f x f x x x a a a a +-++=--+令，()()()23131ln 6,4,,ln 4222h a a a a a a h a a a ∞=--+∈=-+'+令，()()()3113ln ,0222a h a a a a a ϕϕ==-+=-'<'所以在上单调递减， ()a ϕ()4,+∞所以，即， ()()1114ln462ln2022a ϕϕ<=-+=-<()()0h a a ϕ'=<所以在上单调递减，.()h a ()4,+∞()()23144ln44468ln28042h a h <=-⨯-⨯+=-<所以，D 正确. ()()()2212121604f x f x x x +-++<故选：BD.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数解决函数极值问题，解题的关键是根据题意可得在上有2个不等的实根，即在上有()0af x x a x'=-+=()0,∞+20x ax a -+=()0,∞+2个不等的实根，然后利用根与系数的关系分析判断，考查数学计算能力，属于较难题.三、填空题13．有一批同规格的产品，由甲、乙、丙三家工厂生产，其中甲、乙、丙工厂分别生产3000件、3000件、4000件，而且甲、乙、丙工厂的次品率依次为6%、5%、5%，现从这批产品中任取一件，则取到次品的概率为______． 【答案】##0.043431000【分析】设任取一件产品来自甲厂为事件、来自乙厂为事件、来自丙厂为事件，根据题意1A 2A 3A 求出各自的概率，然后利用全概率公式可求出从中任取一件，取到次品的概率.【详解】设任取一件产品来自甲厂为事件、来自乙厂为事件、来自丙厂为事件，则彼此互1A 2A 3A 斥，且,123A A A ⋃⋃=Ω，，130003()30003000400010P A ==++230003()30003000400010P A ==++340002()3000300040005P A ==++，设任取一件产品，取到的是次品为事件，则B123()()()()P B P A B P A B P A B =++112233()()()()()()P A P B A P A P B A P A P B A =++ 332436%5%5%0.0431********=⨯+⨯+⨯==故答案为：0.04314．如图，在平行四边形中，点，分别在，边上，且，，ABCD E F BC DC DF FC = 2CE EB = 若，，，则______.120ABC ∠=︒8AB = 6AD = DE BF ⋅=【答案】24-【分析】由题知，，再根据数量积的运算律运算求解即可.23DE AB BC =- 12BF BC AB =-【详解】解：因为，，DF FC = 2CE EB =所以，，，23DE DC CE AB BC =+=- 12BF BC CF BC AB =+=-因为，，，120ABC ∠=︒8AB =6AD =所以222141232323DE BF AB BC BC AB AB BC AB BC⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ . 2241128686243223=⨯⨯⨯-⨯-⨯=-故答案为：24-15．若曲线与曲线__________. e x y a =y ==a 【分析】令，，结合导数几何意义可构造方程组()e xf x a =()g x =()00,x y ，由此可解得，进而求得的值. ()()()()0000f x g x f x g x ⎧==''⎪⎨⎪⎩0x a 【详解】令，，()e x f x a =()g x =()e xf x a '=()g x '=设与的公共点为，()f x ()g x ()00,x y 与在公动点处有相同的切线，()f x ()g x ，即， ()()()()0000f xg x f x g x '⎧=∴'⎪⎨=⎪⎩00e e x x aa ⎧=⎪⎨⎪=⎩=012x =，解得：12e a ∴=a ==16．过抛物线的焦点F 作直线PQ ，MN 分别与抛物线C 交于P ，Q 和M ，N ，若直线2:8C x y =PQ ，MN 的斜率分别为，，且满足，则的最小值为______． 1k 2k 2212141k k +=PQ MN +【答案】88【分析】求出直线方程，再与抛物线联立，利用弦长公式分别求出弦，再利用基本不等,PQ MN 式即可得出答案.【详解】抛物线的焦点， 2:8C x y =()0,2F 则直线的方程为，PQ 12y k x =+联立，消得，1228y k x x y =+⎧⎨=⎩y 218160x k x --=设，()()1122,,,P x y Q x y则，121128,16x x k x x +==-则，()2121121484y y k x x k +=++=+所以，2121488PQ y y k =++=+同理可得， 2288MN k =+所以，()2212816PQ MN k k +=++由， 2212141k k +=得，()2222222112122222121241459k k k k k k k k k k ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭当且仅当，即时，取等号，222122124k k k k =22123,6k k ==所以的最小值为. PQ MN +891688⨯+=故答案为：.88四、解答题17．在的展开式中，第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的4倍． 2nx ⎫⎪⎭(1)求n 的值；(2)求的展开式中的常数项．2nx ⎫⎪⎭【答案】(1)9 (2) 672-【分析】（1）根据二项展开式的通项公式及二项式系数的概念求解； （2）由二项展开式通项公式，令求解即可. 39219(2)C k kkk Tx-+=-⋅3902k -=【详解】（1）由二项展开式通项公式可知，，321C (2)(2)C n kk n k k k kk k nnT x x--+=⋅-=-⋅所以由题意知，解得.21C 4C =n n 9n =（2）由（1）知二项展开式的通项公式为，39219(2)C k kk k Tx-+=-⋅令，解得， 3902k -=3k =故展开式中的常数项为.3349(2)C 884672T =-=-⨯=-18．如图，在直四棱柱中，底面是正方形，，为的中1111ABCD A B C D -ABCD 122AA AB ==E 1DD 点.(1)证明：平面；CE ⊥11B C E (2)求平面与平面夹角的余弦值. 11B C E 1AC E 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）利用勾股定理和线面垂直的性质可证得，，由线面垂直的判定定1C E CE ⊥11B C CE ⊥理可证得结论；（2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法可求得结果. A 【详解】（1）四边形为矩形，，为中点， 11CDD C 1112CD DD ==E 1DD，又，，；1C E CE ∴==12CC =22211C E CE CC ∴+=1C E CE ∴⊥平面，平面，；11B C ⊥ 11CDD C CE ⊂11CDD C 11B C CE ∴⊥，平面，平面.1111B C C E C = 111,B C C E ⊂11B C E CE ∴⊥11B C E （2）以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，A 1,,AB AD AA,,x y z则，，，，()0,0,0A ()11,1,2C ()0,1,1E ()1,1,0C ，，； ()11,1,2AC ∴= ()0,1,1AE = ()1,0,1CE =-设平面的法向量，1AC E (),,n x y z =则，令，解得：，，； 1200AC n x y z AE n y z ⎧⋅=++=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 1y =1x =1z =-()1,1,1n ∴=- 由（1）知：平面，平面的一个法向量为，CE ⊥11B C E ∴11B C E ()1,0,1CE =-cos ,CE n CE n CE n ⋅∴<>===⋅ 即平面与平面. 11B C E 1AC E 19．为丰富师生的课余文化生活，倡导“每天健身一小时，健康生活一辈子”，深入开展健身运动，增强学生的身体素质和团队的凝聚力，某中学将举行趣味运动会．某班共有8名同学报名参加“四人五足”游戏，其中男同学4名，女同学4名．按照游戏规则，每班只能选4名同学参加这个游戏，因此要从这8名报名的同学中随机选出4名． (1)求选出的4名同学中有男生的概率；(2)记选出的4名同学中女同学的人数为，求随机变量的分布列及数学期望． X X 【答案】(1)6970(2)分布列见解析， ()2E X =【分析】（1）根据古典概型求解即可；（2）先写出随机变量的所有可能取值，再求出对应随机变量的概率，即可得出分布列，再根据X 期望公式求出期望即可.【详解】（1）选出的4名同学中有男生的概率为； 4448C 691C 70-=（2）随机变量可取，X 0,1,2,3,4，， ()044448C C 10C 70P X ===()134448C C 81C 35P X ===，， ()224448C C 182C 35P X ===()314448C C 83C 35P X ===， ()404448C C 14C 70P X ===则分布列为X 0 1 2 34P 170 8351835835170期望. ()1818810123427035353570E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=20．在数列中，.{}n a *11122,,N 33n n a a a n +==+∈(1)证明：是等比数列；{}1n a -(2)若数列的前项和，求数列的前项和.{}n b n ()2*2,1,N n n n n S n n c b a n =+=-∈{}n c n n T 【答案】(1)证明见解析 (2)()11623n n T n -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据已知可得，进而可证明为等比， ()11113n n a a +-=-{}1n a -（2）根据 的关系可求解，由（1）知，进而可得,n n S b *21,N n b n n =+∈1113n n a -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，由错位相减法即可求解.()()111213n n n n c b a n -⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭【详解】（1）证明：因为，所以，11233n n a a +=+()11113n n a a +-=-又，所以，所以. 12a =111a -=11113n n a a +-=-所以是首项为1，公比为的等比数列.{}1n a -13（2）由（1）知，1113n n a -⎛⎫-= ⎪⎝⎭因为数列的前项和，所以当时，，当时，{}n b n 22n S n n =+2n ≥121n n n b S S n -=-=+1n =113b S ==，满足上式，所以.*21,N n b n n =+∈所以.()()111213n n n n c b a n -⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，①()01211111357213333n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭由①，得，②13⨯()123111113572133333nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭①②相减得()()()112121133211111132213214241333333313n n nn n n T n n n --⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦=++++-+=+-+=-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-所以.()11623n n T n -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭21．在平面直角坐标系中，，，为平面内的一个动点，且，线xOy ()1,0A -()10B ,M xOy 4BM =段的垂直平分线交于点，设点的轨迹是曲线. AM BM N N C (1)求曲线的方程；C (2)设动直线与曲线有且只有一个公共点，且与直线相交于点，问是否存在:l y kx m =+C P 4x =Q 定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.H PQ H H 【答案】(1)22143x y +=(2)存在，定点 ()1,0H【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到，得到轨迹为椭圆，再计算得到椭圆方程.4AN BN +=（2）联立方程，根据有唯一交点得到，解得的坐标，假设存在定点22430k m -+=,P Q ()00,H x y ，则，代入数据计算得到答案.0HP HQ ⋅=【详解】（1）由垂直平分线的性质可知，所以. MN AN =4AN BN MN BN BM +=+==又，所以点N 的轨迹C 是以，为焦点，长轴长为4的椭圆.24=<AB ()1,0A -()10B ,设曲线C 的方程为，则，，所以，()222210x y a b a b+=>>2a =1c =2223b a c =-=所以曲线C 的方程为.22143x y +=（2）由，消去y 并整理，得，22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()2224384120k x kmx m +++-=因为直线与椭圆C 有且只有一个公共点P ，:l y kx m =+所以，即，所以，()()()22284434120km k m ∆=-+-=22430k m -+=0m ≠此时，， 24443P km k x k m =-=-+22443P k k m y k m m m m -+⎛⎫=-+== ⎪⎝⎭所以，由得，43,k P m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭4y kx m x =+⎧⎨=⎩()4,4Q k m +假设存在定点，使得以PQ 为直径的圆恒过点H ，则， ()00,H x y 0HP HQ ⋅=又，， 0043,k HP x y m m ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭()004,4HQ x k m y =-+-所以， ()()000043440k HP HQ x x y k m y m m ⎛⎫⎛⎫⋅=---+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭整理得对任意实数，k 恒成立. ()22000004314430k x m k y x y x m m ⎛⎫⋅-+---++-+= ⎪⎝⎭()0m m ≠所以，解得，002200010430x y x y x =⎧⎪=⎨⎪+-+=⎩0010x y =⎧⎨=⎩故存在定点，使得以PQ 为直径的圆恒过点H .()1,0H 【点睛】本题考查了椭圆的轨迹方程，定点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中将题目条件转化为向量的乘积为零是解题的关键. 22．已知函数，（，为自然对数的底数）. ()ln 21x f x x-=+()()e x g x m f x =+m ∈R e (1)求函数的极值；()f x (2)若对，恒成立，求的取值范围.()0,x ∀∈+∞()0g x <m【答案】(1)极大值为，无极小值 311e +(2)31,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【分析】（1）求导后，根据的正负可求得的单调性，根据极值的定义可求得结果； ()f x '()f x （2）分离变量可将问题转化为在上恒成立；求导后可令()2ln exx xm h x x --<=()0,∞+，利用导数可求得的单调性，利用零点存在定理可求得的零点，并得()3ln x x x ϕ=-+()x ϕ()x ϕ'到的单调性，由此可求得，化简可得，由此可求得的取值范围. ()h x ()min h x ()3min 1e h x =-m 【详解】（1）定义域为，， ()f x ()0,∞+()23ln xf x x -'=当时，；当时，；∴()30,e x ∈()0f x ¢>()3e ,x ∞∈+()0f x '<在上单调递增，在上单调递减， ()f x \()30,e ()3e ,+∞的极大值为，无极小值. ()f x \()331e 1ef =+（2）由得：，在上恒成立； ()0g x <ln 2e 10x x m x -++<2ln exx xm x --∴<()0,∞+令，则； ()2ln e xx x h x x --=()()()()()22112ln 113ln e e x x x x x x x x x x h x x x ⎛⎫-----+ ⎪+-+⎝⎭'==令，则， ()3ln x x x ϕ=-+()1110x x x xϕ+'=+=>在上单调递增，又，， ()x ϕ∴()0,∞+()2ln 210ϕ=-<()3ln 30ϕ=>，使得，则，()02,3x ∴∃∈()00x ϕ=00ln 3x x =-当时，；当时，；∴()00,x x ∈()0h x '<()0,x x ∈+∞()0h x '>在上单调递减，在上单调递增，；()h x ∴()00,x ()0,x +∞()()0000min 02ln e x x x h x h x x --∴==由得：，，00ln 3x x =-()0000ln ln e ln e 3x x x x +==030e e x x ∴=，，()()00003min 02ln 1e e x x x h x h x x --∴===-31e m ∴<-则实数的取值范围为.m 31,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解函数的极值、恒成立问题的求解；本题求解恒成立问题的关键是能够通过分离变量的方式，将问题转化为变量与函数最值之间的大小关系问题，从而利用导数求解函数最值来求得变量的取值范围.。
学2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题文(含解析)
学2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题文（含解析）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知数列是等比数列，且，则的公比为（）A. 2B. -2C.D.【答案】B【解析】因为数列是等比数列，且，所以, ,故选B.2.已知，则的值为（）A. 1B. -1C.D.【答案】D【解析】试题分析：，，则．考点：导数的计算．3.在中，已知，则等于( )A. B. C. 或 D.【答案】D【解析】分析：根据余弦定理推论求得，然后可求得．详解：∵，∴．由余弦定理的推论得，又，∴．故选D．点睛：本题考查余弦定理推论的应用，解题时容易出现的错误是在求得角的三角函数值后忽视了角的范围，从而得到错误的结果．4.设命题：方程的两根符号不同；命题：方程的两根之和为3，判断命题“”、“”、“”、“”为假命题的个数为 ( )A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】试题分析：命题P为真，命题q为假，故“¬p”为假、“¬q”为真、“p∧q”为假、“p∨q”为真，故选C．.考点：复合命题的真假.5. 下列命题正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】A选项中为0时不能成立，B选项中不等式的两边同时乘以-1，不等号的方向应改变，C选项中的为负数时，不等号的方向要改变，所以C不成立，选D6.椭圆的焦距是2,则实数的值是( )A. 5B. 8C. 5或8D. 3或5【答案】D【解析】【分析】讨论椭圆的焦点轴，利用，结合焦距即可得解.【详解】当椭圆的焦点在x轴上时有：.由焦距是2,可知，所以，解得；当椭圆的焦点在y轴上时有：.由焦距是2,可知，所以，解得.故选D.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程和椭圆的几何性质，属于基础题.7.下列曲线中离心率为的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由得，选B.【此处有视频，请去附件查看】8.抛物线上的一点到焦点的距离为1，则点的纵坐标是( )A. B. 1 C. D.【答案】D【解析】【分析】由抛物线方程先计算出的值，然后再根据焦半径公式计算出的纵坐标.【详解】因为是抛物线的方程，所以；因为，所以，所以，故选D.【点睛】本题考查抛物线的焦半径公式的应用，难度较易.对于形如的抛物线，抛物线上任意一点到其焦点的距离为；对于形如的抛物线，抛物线上任意一点到其焦点的距离为.9.设函数f(x)＝，若f′(－1)＝4，则a的值为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题，求导，将x=-1代入可得答案.【详解】函数的导函数，因为f′(－1)＝4，即，解得故选D【点睛】本题考查了函数的求导，属于基础题.10.已知数列的前n项和，则的值为( )A. 80B. 40C. 20D. 10【答案】C【解析】试题分析：，．故选C．考点：已知数列的前项和，求项．11.椭圆中，以点为中点的弦所在的直线斜率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设该直线与椭圆交于，则，则，则，所以.故选B.点睛：本题考查直线和椭圆相交的中点弦；在解决直线和圆锥曲线的中点弦问题，往往利用点差法进行求解，其主要步骤是：（1）代点：；（2）作差：；（3）确定中点坐标和直线斜率的等量关系：. 12.双曲线的左右焦点分别为，，且恰为抛物线的焦点，设双曲线与该抛物线的一个交点为，若是以为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】试题分析：∵，∴焦点，即，∵，∴，即，∴，则，即，∴．考点：抛物线的标准方程及几何性质．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.答案填在题中横线上.13.命题，则为___________；.【答案】【解析】【分析】根据特称命题的否定方法：修改量词，否定结论，得到的结果.【详解】因为修改为，修改为，所以.故答案为：【点睛】本题考查特称命题的否定，难度较易.注意修改量词的同时否定结论.14.等差数列中，，则．【答案】．【解析】试题分析：．考点：1．等差数列的性质；2．等差数列的前项和．15.曲线在点处的切线方程为____________.【答案】【解析】【分析】先根据导函数求解出在点处切线的斜率，然后根据直线的点斜式方程求解出切线方程.【详解】因为，所以，所以切线方程为：即.故答案为：.【点睛】本题考查曲线在切点处的切线方程的求解，难度较易.求解曲线在切点处的切线方程，先根据函数的导函数求解出切线的斜率，然后利用直线的点斜式方程求解出切线方程.16.过点双曲线的渐近线方程为为双曲线右支上一点，为双曲线的左焦点，点则的最小值为_________.【答案】8【解析】【分析】根据条件求解出双曲线的方程中的值，作出示意图利用双曲线的定义，将转变为的形式，通过点共线判断并计算出的最小值.【详解】如图所示：设双曲线右焦点为，设双曲线方程为：，所以，所以，连接，由双曲线定义可知：，所以，取等号时三点共线，又因为，所以，所以，所以的最小值为.故答案为：.【点睛】本题考查双曲线方程的求解以及利用双曲线的定义求解距离之和的最小值，难度一般.利用双曲线的定义求解线段和的最值时，注意利用点共线构造出最小值然后完成求解.三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.等差数列的前项和记为，已知．（1）求通项；（2）若，求．【答案】（1）；（2）n=11.【解析】【详解】试题分析：（1）设等差数列的公差为，根据条件用基本量列方程求解即可；（2）先求出，再令解方程即可.试题解析：1设等差数列的公差为，由得方程组，解得所以2由得方程，解得18.已知命题：方程表示焦点在y轴上椭圆；命题：双曲线的离心率, 若有且只有一个为真, 求的取值范围.【答案】【解析】试题分析：先将方程化成椭圆标准方程,再根据焦点在y轴上确定的取值范围;由双曲线标准方程确定 ,再由确定的取值范围;由有且只有一个为真,得一真一假，分别求对应方程组的解，可得的取值范围.试题解析：将方程改写为，只有当即时，方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，所以命题p等价于；因为双曲线的离心率，所以，且，解得，所以命题q等价于;若p真q假，则；若p假q真，则综上：的取值范围为19.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，为，的等差中项.(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面积为，求b，c的值.【答案】(1) A；(2) b＝c＝2.【解析】【详解】(1)∵为，的等差中项，∵,∴A(2)△ABC的面积，故bc＝4.而a2＝b2＋c2－2bccosA，故b2＋c2＝8.解得b＝c＝2.20.设为实数，函数.（1）求的极值；（2）当在什么范围内取值时，曲线与轴仅有一个交点？【答案】（1）极大值是，极小值是.（2）【解析】【详解】(1)f′(x)＝3x2－2x－1.令f′(x)＝0，则x＝－或x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：(－∞，－)－(－，1)所以f(x)的极大值是f(－)＝＋a，极小值是f(1)＝a－1.(2)函数f(x)＝x3－x2－x＋a＝(x－1)2(x＋1)＋a－1，由此可知，x取足够大的正数时，有f(x)＞0，x取足够小的负数时，有f(x)＜0，曲线y＝f(x)与x轴至少有一个交点．由(1)知f(x)极大值＝f(－)＝＋a，f(x)极小值＝f(1)＝a－1.∵曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点，∴f(x)极大值＜0或f(x)极小值＞0，即＋a＜0或a－1＞0，∴a＜－或a＞1，∴当a∈(－∞，－)∪(1，＋∞)时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点．点睛：(1)可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．(2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．21.设椭圆C：过点，右焦点为，（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l：分别交x轴，y轴于两点，且与椭圆C交于两点，若，求k的值，并求弦长．【答案】(Ⅰ)(Ⅱ).【解析】试题分析：Ⅰ将Q的坐标代入椭圆方程，以及的关系，解方程可得，进而得到椭圆方程；Ⅱ求出直线l与轴的交点，代入椭圆方程，运用韦达定理，以及向量共线的坐标表示，可得k的值，运用弦长公式可得弦长．试题解析：Ⅰ椭圆过点，可得，由题意可得，即，解得，即有椭圆C的方程为；Ⅱ直线l：与x轴交点轴交点，联立，消y得，设，则，，由，得：，解得由得代入得，，可得．22.已知双曲线C:x2-y2=1及直线l:y=kx+1.(1)若l与C有两个不同的交点,求实数k的取值范围;(2)若l与C交于A,B两点,且线段AB中点的横坐标为,求线段AB的长.【答案】（1）；（2）6【解析】【分析】（1）联立直线与双曲线方程，利用方程组与两个交点，求出k 的范围．（2）设交点A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理以及弦长公式求解即可．【详解】(1)若双曲线C与直线l有两个不同的交点,则方程组有两个不同的实数根,整理得(1-k2)x2-2kx-2=0,∴解得-<k<且k≠±1.故双曲线C与直线l有两个不同的交点时,k的取值范围是(-,-1)∪(-1,1)∪(1,).(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由(1)得x1+x2==2,即k2+k-=0,解得k=或k=-.∵-<k<且k≠±1,∴k=,∴x1x2==-4,∴|AB|=·=6.【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．学2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题文（含解析）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知数列是等比数列，且，则的公比为（）A. 2B. -2C.D.【答案】B【解析】因为数列是等比数列，且，所以,,故选B.2.已知，则的值为（）A. 1B. -1C.D.【答案】D【解析】试题分析：，，则．考点：导数的计算．3.在中，已知，则等于( )A. B. C. 或 D.【答案】D【解析】分析：根据余弦定理推论求得，然后可求得．详解：∵，∴．由余弦定理的推论得，又，∴．故选D．点睛：本题考查余弦定理推论的应用，解题时容易出现的错误是在求得角的三角函数值后忽视了角的范围，从而得到错误的结果．4.设命题：方程的两根符号不同；命题：方程的两根之和为3，判断命题“”、“”、“”、“”为假命题的个数为 ( )A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】试题分析：命题P为真，命题q为假，故“¬p”为假、“¬q”为真、“p∧q”为假、“p∨q”为真，故选C．.考点：复合命题的真假.5. 下列命题正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】DA选项中为0时不能成立，B选项中不等式的两边同时乘以-1，不等号的方向应改变，C选项中的为负数时，不等号的方向要改变，所以C不成立，选D6.椭圆的焦距是2,则实数的值是( )A. 5B. 8C. 5或8D. 3或5【答案】D【解析】【分析】讨论椭圆的焦点轴，利用，结合焦距即可得解.【详解】当椭圆的焦点在x轴上时有：.由焦距是2,可知，所以，解得；当椭圆的焦点在y轴上时有：.由焦距是2,可知，所以，解得.故选D.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程和椭圆的几何性质，属于基础题.7.下列曲线中离心率为的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由得，选B.【此处有视频，请去附件查看】8.抛物线上的一点到焦点的距离为1，则点的纵坐标是( )A. B. 1 C. D.【答案】D【分析】由抛物线方程先计算出的值，然后再根据焦半径公式计算出的纵坐标.【详解】因为是抛物线的方程，所以；因为，所以，所以，故选D.【点睛】本题考查抛物线的焦半径公式的应用，难度较易.对于形如的抛物线，抛物线上任意一点到其焦点的距离为；对于形如的抛物线，抛物线上任意一点到其焦点的距离为.9.设函数f(x)＝，若f′(－1)＝4，则a的值为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题，求导，将x=-1代入可得答案.【详解】函数的导函数，因为f′(－1)＝4，即，解得故选D【点睛】本题考查了函数的求导，属于基础题.10.已知数列的前n项和，则的值为( )A. 80B. 40C. 20D. 10【答案】C【解析】试题分析：，．故选C．考点：已知数列的前项和，求项．11.椭圆中，以点为中点的弦所在的直线斜率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设该直线与椭圆交于，则，则，则，所以.故选B.点睛：本题考查直线和椭圆相交的中点弦；在解决直线和圆锥曲线的中点弦问题，往往利用点差法进行求解，其主要步骤是：（1）代点：；（2）作差：；（3）确定中点坐标和直线斜率的等量关系：.12.双曲线的左右焦点分别为，，且恰为抛物线的焦点，设双曲线与该抛物线的一个交点为，若是以为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】试题分析：∵，∴焦点，即，∵，∴，即，∴，则，即，∴．考点：抛物线的标准方程及几何性质．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.答案填在题中横线上.13.命题，则为___________；.【答案】【解析】【分析】根据特称命题的否定方法：修改量词，否定结论，得到的结果.【详解】因为修改为，修改为，所以.故答案为：【点睛】本题考查特称命题的否定，难度较易.注意修改量词的同时否定结论.14.等差数列中，，则．【答案】．【解析】试题分析：．考点：1．等差数列的性质；2．等差数列的前项和．15.曲线在点处的切线方程为____________.【答案】【解析】【分析】先根据导函数求解出在点处切线的斜率，然后根据直线的点斜式方程求解出切线方程.【详解】因为，所以，所以切线方程为：即.故答案为：.【点睛】本题考查曲线在切点处的切线方程的求解，难度较易.求解曲线在切点处的切线方程，先根据函数的导函数求解出切线的斜率，然后利用直线的点斜式方程求解出切线方程.16.过点双曲线的渐近线方程为为双曲线右支上一点，为双曲线的左焦点，点则的最小值为_________.【答案】8【解析】【分析】根据条件求解出双曲线的方程中的值，作出示意图利用双曲线的定义，将转变为的形式，通过点共线判断并计算出的最小值.【详解】如图所示：设双曲线右焦点为，设双曲线方程为：，所以，所以，连接，由双曲线定义可知：，所以，取等号时三点共线，又因为，所以，所以，所以的最小值为.故答案为：.【点睛】本题考查双曲线方程的求解以及利用双曲线的定义求解距离之和的最小值，难度一般.利用双曲线的定义求解线段和的最值时，注意利用点共线构造出最小值然后完成求解.三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.等差数列的前项和记为，已知．（1）求通项；（2）若，求．【答案】（1）；（2）n=11.【解析】【详解】试题分析：（1）设等差数列的公差为，根据条件用基本量列方程求解即可；（2）先求出，再令解方程即可.试题解析：1设等差数列的公差为，由得方程组，解得所以2由得方程，解得18.已知命题：方程表示焦点在y轴上椭圆；命题：双曲线的离心率, 若有且只有一个为真, 求的取值范围.【答案】【解析】试题分析：先将方程化成椭圆标准方程,再根据焦点在y轴上确定的取值范围;由双曲线标准方程确定 ,再由确定的取值范围;由有且只有一个为真,得一真一假，分别求对应方程组的解，可得的取值范围.试题解析：将方程改写为，只有当即时，方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，所以命题p等价于；因为双曲线的离心率，所以，且，解得，所以命题q等价于;若p真q假，则；若p假q真，则综上：的取值范围为19.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，为，的等差中项.(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面积为，求b，c的值.【答案】(1) A；(2) b＝c＝2.【解析】【详解】(1)∵为，的等差中项，∵,∴A(2)△ABC的面积，故bc＝4.而a2＝b2＋c2－2bccosA，故b2＋c2＝8.解得b＝c＝2.20.设为实数，函数.（1）求的极值；（2）当在什么范围内取值时，曲线与轴仅有一个交点？【答案】（1）极大值是，极小值是.（2）【解析】【详解】(1)f′(x)＝3x2－2x－1.令f′(x)＝0，则x＝－或x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：(－∞，－)－(－，1)所以f(x)的极大值是f(－)＝＋a，极小值是f(1)＝a－1.(2)函数f(x)＝x3－x2－x＋a＝(x－1)2(x＋1)＋a－1，由此可知，x取足够大的正数时，有f(x)＞0，x取足够小的负数时，有f(x)＜0，曲线y＝f(x)与x轴至少有一个交点．由(1)知f(x)极大值＝f(－)＝＋a，f(x)极小值＝f(1)＝a－1.∵曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点，∴f(x)极大值＜0或f(x)极小值＞0，即＋a＜0或a－1＞0，∴a＜－或a＞1，∴当a∈(－∞，－)∪(1，＋∞)时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点．点睛：(1)可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．(2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．21.设椭圆C：过点，右焦点为，（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l：分别交x轴，y轴于两点，且与椭圆C交于两点，若，求k的值，并求弦长．【答案】(Ⅰ)(Ⅱ).【解析】试题分析：Ⅰ将Q的坐标代入椭圆方程，以及的关系，解方程可得，进而得到椭圆方程；Ⅱ求出直线l与轴的交点，代入椭圆方程，运用韦达定理，以及向量共线的坐标表示，可得k的值，运用弦长公式可得弦长．试题解析：Ⅰ椭圆过点，可得，由题意可得，即，解得，即有椭圆C的方程为；Ⅱ直线l：与x轴交点轴交点，联立，消y得，设，则，，由，得：，解得由得代入得，，可得．22.已知双曲线C:x2-y2=1及直线l:y=kx+1.(1)若l与C有两个不同的交点,求实数k的取值范围;(2)若l与C交于A,B两点,且线段AB中点的横坐标为,求线段AB的长.【答案】（1）；（2）6【解析】【分析】（1）联立直线与双曲线方程，利用方程组与两个交点，求出k的范围．（2）设交点A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理以及弦长公式求解即可．【详解】(1)若双曲线C与直线l有两个不同的交点,则方程组有两个不同的实数根,整理得(1-k2)x2-2kx-2=0,∴解得-<k<且k≠±1.故双曲线C与直线l有两个不同的交点时,k的取值范围是(-,-1)∪(-1,1)∪(1,).(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由(1)得x1+x2==2,即k2+k-=0,解得k=或k=-.∵-<k<且k≠±1,∴k=,∴x1x2==-4,∴|AB|=·=6.【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．。
2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题文_15
2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题文考试时长：120分钟试卷总分：150分说明：本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分。
考试用时120分钟注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求.1．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0．5毫米签字笔填写在答题卡和答题纸上。
2．作答非选择题必须用书写黑色字迹的0．5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效。
作答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持卡面清洁和答题纸清洁，不折叠、不破损。
3．考试结束后，答题纸交回。
第I卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分）复数第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知抛物线C:y=4x2,则该抛物线的焦点坐标为（）A. （1,0）B. （0,1）C.（,0）D.（0，）3.命题“”的否定是（）4.下列说法正确的是（）A.B.C.双曲线上的点到两焦点的距离之差等于D.若原命题为真命题，则否命题一定为假命题5.已知A.3B. 12C.32D. 486.已知（）A.x<2B.0<x<2C.0<x<1D.0<x<37.求函数的图象经过原点的切线方程为（）A．B．C． D．8.函数在定义域上是增函数，求实数的取值范围（）A. B. C. D.10函数的图象大致为（）A． B．C． D．11.已知椭圆上一点关于原点的对称点为点，为其右焦点，若，，则该椭圆的离心率的取值范围是（）第Ⅱ卷填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）已知复数满足 .已知双曲线的离心率是．则n＝____________．若是函数的极值点，则的值为___________.16.已知直线与椭圆相交于两点，且（为坐标原点），若椭圆的离心率，则的最大值为___________．三、解答题（本大题共6小题，共计70分）17.（本小题满分10分）已知命题命题。
2019-2020学年度最新高二数学上学期期末考试试题 文(含解析)1
（2）讨论函数的单调性；
【答案】（1）1；（2）
........................
（Ⅱ）求出导函数f'（x），通过时，判断函数的单调性，当或时，判断导函数的符号，判断函数的单调性．
试题解析：
（1）由已知得，
函数的图象与函数的图象在处有公共的切线．
，所以
（2）由第一问得，
当 所以函数f（x）在定义域内单调递增，
(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；
(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.
【答案】（1）；（2）
【解析】试题分析：（1）根据条件求出M的坐标，利用直线MN的斜率为，建立关于a，c的方程即可求C的离心率；
（2）根据直线MN在y轴上的截距为2，以及|MN|=5|F1N|，建立方程组关系，求出N的坐标，代入椭圆方程即可得到结论．
试题解析：
（1）
因为对任意的恒成立，
设 ，所以在恒成立
设，
在恒成立，所以
所以在恒成立，所以函数为增函数；
所以，所以.
（2）由（1）知，令a=2，（x+1）lnx≥2（x﹣1），
∴x≥1，且当且仅当
令
即，， ，，
将上述个式子相乘得：∴原命题得证
∴，即x1x2=1．
直线l1：，l2：．
取x=0分别得到A（0，1﹣lnx1），B（0，﹣1+lnx2），
|AB|=|1﹣lnx1﹣（﹣1+lnx2）|=|2﹣（lnx1+lnx2）|=|2﹣lnx1x2|=2．
联立两直线方程可得交点P的横坐标为x=，
∴x=．
∵函数y=x+在（0，1）上为减函数，且0＜x1＜1，
学2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题文(含解析)
学2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题文（含解析）（试卷满分150分，考试时间120分钟）第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题（每小题5分，共60分）1. 设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用对数不等式化简集合，再利用集合之间的交集运算求得结果即可.【详解】因为，，所以.故选：B.【点睛】本题考查了对数不等式和集合的交集运算，属于基础题.2. 等差数列的前n项和为，且，，则( )A. 10B. 20C.D.【答案】D【解析】【分析】由等差数列的前项和的性质可得：，，也成等差数列，即可得出．【详解】解：由等差数列的前项和的性质可得：，，也成等差数列，，，解得．故选．【点睛】本题考查了等差数列的前项和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入的值分别为，则输出的值为A. B. C. D.【答案】C【解析】依据流程图中的运算程序，可知第一步，则；第二步程序继续运行，则；第三步程序继续运行；则，运算程序结束，输出，应选答案C．4. 在中，，点D,E分别为边BC,AC的中点，则向量与的数量积（）A. 7B. 7C. 9D. 9【答案】B【解析】【分析】把，都用，表示出来，求出其数量积，再把已知条件带入即可求解．【详解】解：由三角形中线性质可得：（）；；∴•（）•（）•22﹣0 42＝﹣7；故选：B．【点睛】本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查数形结合思想，考查计算能力．5. 新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考）.其中“选择考”成绩将计入高考总成绩，即“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为、、、、五个等级.某试点高中2018年参加“选择考”总人数是2016年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校2016年和2018年“选择考”成绩等级结果，得到如下图表：针对该校“选择考”情况，2018年与2016年比较，下列说法正确的是（）A. 获得A等级的人数减少了B. 获得B等级的人数增加了1.5倍C. 获得D等级的人数减少了一半D. 获得E等级的人数相同【答案】B【解析】【分析】设出两年参加考试的人数，然后根据图表计算两年等级为A,B,C,D,E的人数，由此判断出正确选项.【详解】设年参加考试人，则年参加考试人，根据图表得出两年各个等级的人数如下图所示：由图可知A,C,D选项错误，B选项正确，故本小题选B.【点睛】本小题主要考查图表分析，考查数据分析与处理能力，属于基础题.6. 已知条件P：①是奇函数；②值域为R；③函数图象经过第四象限．则下列函数中满足条件Р的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用奇函数的定义和值域的定义及其图象逐一进行判断即可.【详解】对于A选项： ,又因为的定义域为,关于原点对称,所以为定义在上的偶函数，故选项A不符合题意；对于B选项: 定义域为,所以的定义域关于原点对称,又因为,所以为奇函数，①成立,当时，，当时，，故的值域为,②不成立,所以选项B不符合题意；对于C选项：因为,所以的定义域为,关于原点对称,又因为,故为奇函数，因为函数的图象是由幂函数的图象关于轴翻折得到的,所以函数值域为，图像经过第四象限，所以选项C符合题意；对于D选项:因为的定义域为,关于原点对称,又因为,所以函数为奇函数,因为 ,所以函数的值域为,不符合题意.所以选项D不符合题意；故选 C【点睛】本题考查函数的基本性质——奇函数的概念和值域的求解及其图象;求解本题的关键是熟练掌握函数的图象及性质;属于中档题.7. 下列命题中，是假命题的是( )A. ，B. ，C. 函数的最小正周期为D.【答案】C【解析】【分析】根据三角函数性质和对数运算，依次判断每个选项的正误，判断得到答案.【详解】对于A，，，，即，正确；对于B，，，，故，正确；对于C，函数最小正周期为，，最小正周期，错误；对于D，，根据对数运算法则知：，正确．故选：C．【点睛】本题考查了三角函数的大小比较，周期，对数计算，意在考查学生的综合应用能力．8. 函数的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】通过函数在处函数有意义，在处函数无意义，可排除A、D；通过判断当时，函数的单调性可排除C，即可得结果.【详解】当时，，函数有意义，可排除A；当时，，函数无意义，可排除D；又∵当时，函数单调递增，结合对数函数的单调性可得函数单调递增，可排除C；故选B.【点睛】本题主要考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合与分类讨论的思维能力，属于中档题.9. 设函数，将函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，若为偶函数，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用恒等变换公式和诱导公式化简，根据平移变换得，根据为偶函数可得结果.【详解】因为，所以，因为为偶函数，所以，，所以，，因为，所以时，取最小值.故选：A.【点睛】本题考查了三角恒等变换公式、诱导公式，考查了根据三角函数的奇偶性求参数，属于中档题.10. 三棱锥A-BCD的所有顶点都在球的表面上，平面，，，则球的表面积为 ( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，在中，利用正弦定理和余弦定理，求得所在小圆的半径，在根据平面，利用勾股定理求得球的半径，即可求解求得表面积，得到答案．【详解】由题意，设所在小圆的半径为，且，在中，由余弦定理得，所以又由正弦定理得，又因为平面，且，设球的半径为，所以，所以，所以球的表面积为，故选D．【点睛】本题考查了有关球的组合体问题，以及三棱锥的体积的求法，解答时要认真审题，注意球的性质的合理运用，求解球的组合体问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）利用球的截面的性质，根据勾股定理列出方程求解球的半径．11. 已知圆的方程为，点在直线上，线段为圆的直径，则的最小值为（）A. 2B.C. 3D.【答案】B【解析】【分析】将转化为，利用圆心到直线的距离求得的取值范围求得的最小值.【详解】.故选B.【点睛】本小题主要考查向量的线性运算，考查点到直线距离公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.12. 已知函数，若关于的方程有8个不等的实数根，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】画出函数的图象，利用函数的图象，判断的范围，然后利用二次函数的性质求解的范围．【详解】解：函数，的图象如图：关于的方程有8个不等的实数根，必须有两个不相等的实数根且两根位于之间，由函数图象可知，．令，方程化为：，，，开口向下，对称轴为：，可知：的最大值为：，的最小值为：2．．故选：．【点睛】本题考查函数与方程的应用，函数的零点个数的判断与应用，考查数形结合以及计算能力，属于中档题．第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题（每小题5分，共20分）13. 若满足约束条件则的最大值为__________．【答案】【解析】【分析】作出可行域，根据目标函数的几何意义可知当时，.【详解】不等式组表示的可行域是以为顶点的三角形区域，如下图所示，目标函数的最大值必在顶点处取得，易知当时，.【点睛】线性规划问题是高考中常考考点，主要以选择及填空形式出现，基本题型为给出约束条件求目标函数的最值，主要结合方式有：截距型、斜率型、距离型等.14. 某货轮在处看到灯塔在北偏东方向，它以每小时36海里的速度向正北方向航行，经过40分钟航行到处，看灯塔在北偏东方向，此时货轮到灯塔的距离为______海里【答案】【解析】【分析】根据题意画出草图,在中利用正弦定理,即可求得的长.【详解】由题意可知,海里 .在中,根据正弦定理可得:解得:海里此时货轮到灯塔的距离为海里.故答案为: .【点睛】本题考查正弦定理的实际应用和数形结合思想,能够根据题意画出图像是解决本题的关键.15. 已知直线的倾斜角为且这条直线经过点P(3,5)，则直线的一般式方程为___________________.【答案】或【解析】【分析】先由倾斜角求直线的斜率，然后写出直线的点斜式方程，最后化为直线的一般式方程.【详解】因为所以所以直线的斜率为又因为直线经过点P(3,5)，所以直线的方程为或，所以直线的一般式方程为或.故答案为或.【点睛】本题主要考查利用直线的点斜式方程求解直线的方程，根据倾斜角求解直线的斜率是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.16. 已知数列的前项和为（），且满足，若对恒成立，则首项的取值范围是__________．【答案】【解析】因为，所以，两式作差得，所以，两式再作差得，可得数列的偶数项是以4为公差的等差数列，从起奇数项也是以4为公差的等差数列.若对恒成立，当且仅当.又，，所以，解得：.即首项的取值范围是.17. 如图, 在△中, 点在边上, .（Ⅰ）求；（Ⅱ）若△的面积是, 求.【答案】（I）；（II）.【解析】试题分析：（I）根据余弦定理，求得，则△是等边三角形.，故（II）由题意可得，又由，可得以，再结合余弦定理可得，最后由正弦定理可得，即可得到的值试题解析：(Ⅰ)在△中, 因为,由余弦定理得,所以,整理得,解得.所以.所以△是等边三角形.所以(Ⅱ)法1: 由于是△的外角, 所以.因为△的面积是, 所以.所以.在△中,,所以.在△中, 由正弦定理得,所以.法2: 作, 垂足为,因为△是边长为的等边三角形,所以.因为△的面积是, 所以.所以. 所以.在Rt△中, ,所以, .所以.18. 已知等比数列的前项和为成等差数列，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）根据等比数列的性质以及等差中项可求得公比，代入中，求出q，即可求得数列的通项公式；（2）把数列的通项公式代入中化简，代入求得，再利用裂项相消求得．【详解】（1）设等比数列的公比为，由成等差数列知，，所以，即.又，所以，所以，所以等差数列的通项公式.（2）由（1）知，所以所以数列的前项和：所以数列的前项和【点睛】本题考查数列的知识，掌握等差等比数列的性质、通项是解题的关键，同时也需要掌握好数列求和的方法：分组求和、裂项相消、错位相减等，属于中档题．19. 如图，矩形中，平面，，为上的点，且平面，．（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（Ⅰ）由是中点证得是中点，得中位线平行，再由线面平行的判定定理得平面；（Ⅱ）由等积法可得：解法一：，计算即可．解法二：计算即可．【详解】（Ⅰ）证明：依题意可知：是中点．平面，则，而．∴是中点．在中，，平面,平面，∴平面；（Ⅱ）解法一：平面平面，，又平面，平面，平面，，而，，．解法二：，因为，．【点睛】本题考查了直线与平面平行的判定定理，和三棱锥体积的计算，属于基础题.20. 《中华人民共和国道路交通安全法》第条的相关规定：机动车行经人行道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”，《中华人民共和国道路交通安全法》第条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣分，罚款元的处罚.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员“礼让斑马线”行为统计数据：（1）请利用所给数据求违章人数与月份之间的回归直线方程；（2）预测该路口月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数.参考公式：,参考数据：.【答案】（1）；（2）49.【解析】【分析】（1）由表中的数据，根据最小二乘法和公式，求得的值，得到回归直线方程；（2）令，代入回归直线的方程，即可得到该路口9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数.【详解】（1）由表中数据知，，∴，，∴所求回归直线方程为.（2）令，则人.【点睛】本题主要考查了回归直线方程的求解及其应用，其中解答中认真审题，根据最小二乘法的公式准确计算，求得的值是解答的关键和解答的难点，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.21. 已知圆，直线是圆与圆的公共弦所在直线方程，且圆的圆心在直线上．（1）求公共弦的长度；（2）求圆的方程；（3）过点分别作直线，，交圆于，，，四点，且，求四边形面积的最大值与最小值．【答案】（1）；（2）；（3）最大值17，最小值12．【解析】【分析】（1）根据直线和圆相交求弦长用直角三角形勾股定理等价条件进行求解即可；（2）圆的圆心在直线上，设圆心，求出圆心的半径即可得到圆的方程；（3）对直线，分两种情况讨论，即当过点的互相垂直的直线，为轴，垂直于轴时和当过点的互相垂直的直线，不垂直于轴时，写出四边形面积的的表达式，再利用函数知识求最大值与最小值．【详解】圆，所以圆的圆心坐标，半径，（1）圆心到直线的距离，公共弦；（2）圆的圆心在直线上，设圆心，由题意得，，即，到的距离，所以的半径，所以圆的方程：；（3）当过点的互相垂直的直线，为轴，垂直于轴时，，这时直线的方程为，代入到圆中，，所以，四边形的面积；当过点的互相垂直的直线，不垂直于轴时，设直线为：，则直线为：，所以圆心到直线的距离，圆心到直线的距离，，，设，当或1时，正好是轴及垂直轴，面积，当时，最大且，或1时，最小，四边形面积的最大值17，最小值．【点睛】本题主要考查直线和圆相交求相交弦长，及利用勾股定理弦长距离半径之间的关系求解，属于中难度题．22. 已知函数.（1）若，恒成立，求的取值范围；（2）若，是否存在实数，使得，都成立？请说明理由.【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据的奇偶性和单调性，将函数值的比较变为自变量的比较，得到恒成立，利用参变分离，得到的取值范围；（2）假设存在，整理和，设，，得到，按照和进行分类讨论，从而证明不存在所需的.【详解】（1），为上的奇函数，单调递减，所以恒成立，可得所以恒成立即恒成立，当时，该不等式恒成立，当时，，设，则，当且仅当，即时，等号成立，所以.（2）所以，假设存在实数，使得和都成立，设，，则，，若，则，解得，或，，均不有理数，若，则，其中，而，所以不成立，综上所述，故不存在实数，使得，都成立.【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性解决不等式恒成立问题，诱导公式，同角三角函数关系，研究是否为有理数的问题，涉及分类讨论的思想，属于难题.学2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题文（含解析）（试卷满分150分，考试时间120分钟）第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题（每小题5分，共60分）1. 设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用对数不等式化简集合，再利用集合之间的交集运算求得结果即可.【详解】因为，，所以.故选：B.【点睛】本题考查了对数不等式和集合的交集运算，属于基础题.2. 等差数列的前n项和为，且，，则( )A. 10B. 20C.D.【答案】D【解析】【分析】由等差数列的前项和的性质可得：，，也成等差数列，即可得出．【详解】解：由等差数列的前项和的性质可得：，，也成等差数列，，，解得．故选．【点睛】本题考查了等差数列的前项和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入的值分别为，则输出的值为A. B. C. D.【答案】C【解析】依据流程图中的运算程序，可知第一步，则；第二步程序继续运行，则；第三步程序继续运行；则，运算程序结束，输出，应选答案C．4. 在中，，点D,E分别为边BC,AC的中点，则向量与的数量积（）A. 7B. 7C. 9D. 9【答案】B【解析】【分析】把，都用，表示出来，求出其数量积，再把已知条件带入即可求解．【详解】解：由三角形中线性质可得：（）；；∴•（）•（）•22﹣042＝﹣7；故选：B．【点睛】本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查数形结合思想，考查计算能力．5. 新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考）.其中“选择考”成绩将计入高考总成绩，即“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为、、、、五个等级.某试点高中2018年参加“选择考”总人数是2016年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校2016年和2018年“选择考”成绩等级结果，得到如下图表：针对该校“选择考”情况，2018年与2016年比较，下列说法正确的是（）A. 获得A等级的人数减少了B. 获得B等级的人数增加了1.5倍C. 获得D等级的人数减少了一半D. 获得E等级的人数相同【答案】B【解析】【分析】设出两年参加考试的人数，然后根据图表计算两年等级为A,B,C,D,E的人数，由此判断出正确选项.【详解】设年参加考试人，则年参加考试人，根据图表得出两年各个等级的人数如下图所示：由图可知A,C,D选项错误，B选项正确，故本小题选B.【点睛】本小题主要考查图表分析，考查数据分析与处理能力，属于基础题.6. 已知条件P：①是奇函数；②值域为R；③函数图象经过第四象限．则下列函数中满足条件Р的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用奇函数的定义和值域的定义及其图象逐一进行判断即可.【详解】对于A选项： ,又因为的定义域为,关于原点对称,所以为定义在上的偶函数，故选项A不符合题意；对于B选项: 定义域为,所以的定义域关于原点对称,又因为,所以为奇函数，①成立,当时，，当时，，故的值域为,②不成立,所以选项B不符合题意；对于C选项：因为,所以的定义域为,关于原点对称,又因为,故为奇函数，因为函数的图象是由幂函数的图象关于轴翻折得到的,所以函数值域为，图像经过第四象限，所以选项C符合题意；对于D选项:因为的定义域为,关于原点对称,又因为,所以函数为奇函数,因为 ,所以函数的值域为,不符合题意.所以选项D不符合题意；故选 C【点睛】本题考查函数的基本性质——奇函数的概念和值域的求解及其图象;求解本题的关键是熟练掌握函数的图象及性质;属于中档题.7. 下列命题中，是假命题的是( )A. ，B. ，C. 函数的最小正周期为D.【答案】C【解析】【分析】根据三角函数性质和对数运算，依次判断每个选项的正误，判断得到答案.【详解】对于A，，，，即，正确；对于B，，，，故，正确；对于C，函数最小正周期为，，最小正周期，错误；对于D，，根据对数运算法则知：，正确．故选：C．【点睛】本题考查了三角函数的大小比较，周期，对数计算，意在考查学生的综合应用能力．8. 函数的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】通过函数在处函数有意义，在处函数无意义，可排除A、D；通过判断当时，函数的单调性可排除C，即可得结果.【详解】当时，，函数有意义，可排除A；当时，，函数无意义，可排除D；又∵当时，函数单调递增，结合对数函数的单调性可得函数单调递增，可排除C；故选B.【点睛】本题主要考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合与分类讨论的思维能力，属于中档题.9. 设函数，将函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，若为偶函数，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用恒等变换公式和诱导公式化简，根据平移变换得，根据为偶函数可得结果.【详解】因为，所以，因为为偶函数，所以，，所以，，因为，所以时，取最小值.故选：A.【点睛】本题考查了三角恒等变换公式、诱导公式，考查了根据三角函数的奇偶性求参数，属于中档题.10. 三棱锥A-BCD的所有顶点都在球的表面上，平面，，，则球的表面积为 ( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，在中，利用正弦定理和余弦定理，求得所在小圆的半径，在根据平面，利用勾股定理求得球的半径，即可求解求得表面积，得到答案．【详解】由题意，设所在小圆的半径为，且，在中，由余弦定理得，所以又由正弦定理得，又因为平面，且，设球的半径为，所以，所以，所以球的表面积为，故选D．【点睛】本题考查了有关球的组合体问题，以及三棱锥的体积的求法，解答时要认真审题，注意球的性质的合理运用，求解球的组合体问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）利用球的截面的性质，根据勾股定理列出方程求解球的半径．11. 已知圆的方程为，点在直线上，线段为圆的直径，则的最小值为（）A. 2B.C. 3D.【答案】B【解析】【分析】将转化为，利用圆心到直线的距离求得的取值范围求得的最小值.【详解】.故选B.【点睛】本小题主要考查向量的线性运算，考查点到直线距离公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.12. 已知函数，若关于的方程有8个不等的实数根，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】画出函数的图象，利用函数的图象，判断的范围，然后利用二次函数的性质求解的范围．【详解】解：函数，的图象如图：关于的方程有8个不等的实数根，必须有两个不相等的实数根且两根位于之间，由函数图象可知，．令，方程化为：，，，开口向下，对称轴为：，可知：的最大值为：，的最小值为：2．．故选：．【点睛】本题考查函数与方程的应用，函数的零点个数的判断与应用，考查数形结合以及计算能力，属于中档题．第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题（每小题5分，共20分）13. 若满足约束条件则的最大值为__________．【答案】【解析】【分析】作出可行域，根据目标函数的几何意义可知当时，.【详解】不等式组表示的可行域是以为顶点的三角形区域，如下图所示，目标函数的最大值必在顶点处取得，易知当时，.【点睛】线性规划问题是高考中常考考点，主要以选择及填空形式出现，基本题型为给出约束条件求目标函数的最值，主要结合方式有：截距型、斜率型、距离型等.14. 某货轮在处看到灯塔在北偏东方向，它以每小时36海里的速度向正北方向航行，经过40分钟航行到处，看灯塔在北偏东方向，此时货轮到灯塔的距离为______海里【答案】【解析】【分析】根据题意画出草图,在中利用正弦定理,即可求得的长.【详解】由题意可知,海里 .在中,根据正弦定理可得:解得:海里此时货轮到灯塔的距离为海里.故答案为: .【点睛】本题考查正弦定理的实际应用和数形结合思想,能够根据题意画出图像是解决本题的关键.15. 已知直线的倾斜角为且这条直线经过点P(3,5)，则直线的一般式方程为___________________.【答案】或【解析】【分析】先由倾斜角求直线的斜率，然后写出直线的点斜式方程，最后化为直线的一般式方程.【详解】因为所以所以直线的斜率为又因为直线经过点P(3,5)，所以直线的方程为或，所以直线的一般式方程为或.故答案为或.【点睛】本题主要考查利用直线的点斜式方程求解直线的方程，根据倾斜角求解直线的斜率是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.16. 已知数列的前项和为（），且满足，若对恒成立，则首项的取值范围是__________．【答案】【解析】因为，所以，两式作差得，所以，两式再作差得，可得数列的偶数项是以4为公差的等差数列，从起奇数项也是以4为公差的等差数列.若对恒成立，当且仅当.又，，所以，解得：.即首项的取值范围是.。
2019-2020年高二上学期期末考试 数学文 含答案(II)
2019-2020年高二上学期期末考试 数学文含答案(II)2013.1本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
注意事项：1.考生务必用黑色0.5mm 签字笔将自己的学校、班级、姓名、准考证号、座号填写在答卷纸和答题卡上，并将答题卡上的准考证号、考试科目及试卷类型用2B 铅笔涂写。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；第Ⅱ卷一律答在答卷纸上，答在其它地方无效。
3.试题不交，请妥善保存，只交答卷纸和答题卡。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的。
1.在区间]3 1[，上任取一个实数x ，则25.1≤≤x 的概率等于A ．32 B ．21 C ．31 D ．41 2.下列命题中，真命题是A ．041 2>+-∈∀x x x ，R B ．1 0200-=+∈∃x x x ，R C ．01 2<--∈∀x x ，R D ．022 0200<++∈∃x x x ，R3.直线02=-y x 与直线042=+-a y x 的距离为5，则a 的值为A ．5±B ．10±C ．10D ．524.下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是A ．31x y =B ．x y tan =C ．x y 3=D ．x y lg =5.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的 两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的体积是A ．61 B ．31 C ．21 D ．16.在等差数列}{n a 中，已知1475=+a a ，则该数列前11项和=11SA ．196B ．132C ．88D ．777.若双曲线12222=-by a x 的焦距为10，点)1 2(，-P 在其渐近线上，则双曲线的方程为 俯视图（第5题图）A ．1208022=-y x B ．1802022=-y x C ．152022=-y x D ．120522=-y x 8.“1=a ”是“直线012=-+y ax 与直线03)1(=+++y a x 平行”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9.直线k y kx 31=+-，当k 变动时，所有直线都通过定点A ．（0，0）B ．（0，1）C ．（3，1）D ．（2，1）10.已知直线)0(0≠=++abc c by ax 与圆122=+y x 相离，则三条边长分别为||a 、||b 、||c 的三角形是A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．以上均有可能11.已知一个四面体其中五条棱的长分别为1，1，1，1，2，则此四面体体积的最大值是A ．123B ．122 C ．42 D ．33 12.已知直线)(a x k y +=)0(>a 与x 轴交于点A ，与直线c x =) 0(a c c <>，交于点M ，椭圆C 以A 为左顶点，以)0 (，c F 为右焦点，且过点M ，当2131<<k 时，椭圆C 的离心率的范围是A ．)32 0(，B ．)1 32(，C ．)1 21(， D ．)3221(，第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共计16分。
2019-2020年高二上学期期末数学文试题 含答案(I)
2019-2020年高二上学期期末数学文试题 含答案(I)1、已知物体的运动方程为s ＝t 2＋3t (t 是时间，s 是位移)，则物体在时刻t ＝2时的速度为( ) A.194 B.174 C.154 D.1342、已知不重合的两直线1l 与2l 对应的斜率分别为1k 与2k ，则“21k k =”是“1l ∥2l ”的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不是充分也不是必要条件3、双曲线1922=-my x 的焦距是10，则实数m 的值是（ ） A 、－16 B 、4 C 、16 D 、814、如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方 形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为（ ）A 、 4πB 、 54πC 、 πD 、 32π5、已知实数0,0,0><>c b a ，则直线0=-+c by ax 通过（ ） A 第一、二、三象限 B 第一、二、四象限C 第一、三、四象限D 第二、三、四象限6、下列说法中，错误．．的个数是（ ） ①一条直线与一个点就能确定一个平面 ②若直线a ∥b ，⊂b 平面α，则a ∥α ③若函数)(x f y =定义域内存在0x x =满足)(0x f '0= ，则0x x =必定是)(x f y =的极值点④函数的极大值就是最大值A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 7、已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的图象如图所示，则下列叙述正确的是( ) A ．f (b )>f (c )>f (d ) B ．f (b )>f (a )>f (e ) C ．f (c )>f (b )>f (a ) D ．f (c )>f (e )>f (d )8、若M 、N 为两个定点且|MN|＝6，动点P 满足PM ·PN ＝0，则P 点的轨迹是( )A 、圆B 、椭圆C 、双曲线D 、抛物线9、椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为 ( )A.14 B. C. 12 D.10、．函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )＞2，则f (x )＞2x ＋4的解集为( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞) 一、填空题（每小题5分，共20分）11、命题“04,2>++∈∀x x R x ”的否定是 12、若原点在直线l 上的射影为A )1,2(-，则l 的方程为____________________13、抛物线24y x =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是14、点P 是曲线x x y ln 2-=上任意一点, 则点P 到直线04=--y x 的距离的最小值是二、解答题（共80分）15、（12分）命题p : 关于x 的不等式2240x ax ++>,对一切x R ∈恒成立; 命题q : 函数()(32)xf x a =-在R 上是增函数.若p 或q 为真, p 且q 为假,求实数a 的取值范围.16、（14分）在圆锥PO 中，已知PO ＝22，⊙O 的直径AB ＝4，点C 在底面圆周上，且∠CAB ＝30°，D 为AC 的中点．(1)证明：AC ⊥平面POD ；(2)求点O 到面PAD 的距离。
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高二文科数学
参考答案
一．选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A D B A B D A C D C C B
二．填空题：
13． 1 14． ),1(或者1m 15．)2,(或者2a 16．1
三．解答题：
17．解：对于A：]2,21[x，167)43()(2xyxf，＝2，f（2）＝2，∴
f
（x）∈＝A．…………（4分）
对于B：x≥1+m或x≤m﹣1．即B＝（﹣∞，m﹣1]∪[m+1，+∞）．…………（6分）
∵t∈A是t∈B的充分不必要条件，
∴≥m+1，或2≤m﹣1，…………（8分）
解得m≤﹣，或m≥3．
∴实数m的取值范围是∪[3，+∞）．…………（10分）
18．(1)证明 在△ABD中，∵AD＝4，BD＝8，AB＝54，
∴AD2＋BD2＝AB2．∴AD⊥BD．
又∵面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD＝AD，
BD⊂面ABCD，
∴BD⊥面PAD，又BD⊂面BDM，∴面MBD⊥面PAD．……（6分）
(2)解：过P作PO⊥AD，
∵面PAD⊥面ABCD，
∴PO⊥面ABCD，
即PO为四棱锥P—ABCD的高．
又△PAD是边长为4的等边三角形，
∴PO＝32
在底面四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝2DC，
∴四边形ABCD为梯形．
在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为5585484，
此即为梯形的高．
∴S四边形ABCD＝55825452＝24．
∴VP—ABCD＝316322431。…………（12分）
19．解（1）设A（x1，y1），M（x，y），
由中点公式得x1＝2x﹣1，y1＝2y﹣3
因为A在圆C上，所以（2x）2+（2y﹣3）2＝4，即x2+（y﹣1.5）2＝1．
点M的轨迹是以（0，1.5）为圆心，1为半径的圆；………（6分）
（2）设L的斜率为k，则L的方程为y﹣3＝k（x﹣1），即kx﹣y﹣k+3＝0
因为CA⊥CD，△CAD为等腰直角三角形，
由题意知，圆心C（﹣1，0）到L的距离为．
由点到直线的距离公式得＝，
∴4k2﹣12k+9＝2k2+2
∴2k2﹣12k+7＝0，解得k＝3±．…………（12分）
20．解：（1）∵f'（x）＝3x2+2ax+b
由已知有 ，解得a＝﹣，b＝﹣2；…………（4分）
（2）由（1）得：f（x）＝x3﹣x2﹣2x+c，f′（x）＝由f'（x）＞0得x＞1或x＜﹣，
由f'（x）＜0得﹣＜x＜1，
故当x＝﹣时，f（x）有极大值c+，…………（6分）
当x＝1时，f（x）有极小值c﹣，…………（8分）
若对x∈R，f（x）有三个零点，
则，解得：﹣＜c＜．…………（12分）
21．解：（1）依题意，得 ，解得25522ba ，
∴椭圆的方程为152522yx …………（4分）
（2）设B（x1，y1），C（x2，y2），
直线BC的方程为y＝x+m
，
则有52222yxmxy ，
整理，得05224522mmxx…………（6分）
由08100)52(2032222mmm,
解得2252m。
由根与系数的关系，得：52421mxx,552221mxx…（8分）
2212212
225532]4)[(1mxxxxkBC
设d为点A到直线BC的距离，
则d＝＝|m|，
∴S△ABC＝|BC|•d＝222551mm…………（10分）
222222
)225(501)225(2501)225(251mmmmS
4252
25251
S
当且仅当254252252222mmmm，即即时取等号，
所以25m时，△ABC的面积取得最大值为425．…（12分）
22．解：（1）a＝0时，f（x）＝lnx+x，
f′（x
）＝+1，…………（2分）
故f（1）＝1，f′（1）＝2，故切线方程是：y﹣1＝2（x﹣1），
整理得：2x﹣y﹣1＝0；…………（4分）
（2）g（x）＝f（x）﹣（ax﹣1）＝lnx﹣ax2+（1﹣a）x+1，
所以g′（x）＝﹣ax+（1﹣a）＝，
当a≤0时，因为x＞0，所以g′（x）＞0．
所以g（x）在（0，+∞）上是递增函数，…………（6分）
当a＞0时，g′（x）＝，
令g′（x）＝0，得x＝，
所以当x∈（0，）时，g′（x）＞0；当x∈（，+∞）时，g′（x）＜0，
因此函数g（x）在x∈（0，）是增函数，在（，+∞）是减函数．…………（8分）
综上，当a≤0时，函数g（x）的递增区间是（0，+∞），无递减区间，无极大值；当a＞0
时，函数g（x）的递增区间是（0，），递减区间是（，+∞）；故g（x）极大值＝g（）
＝﹣lna；…………（10分）
（3）证明：由f（x1）+f（x2）+x1x2＝0，即lnx1+x12+x1+lnx2+x22+x2+x1x2＝0，从而（x1+x2）
2
+（x1+x2）＝x1x2﹣ln（x1x2），
令t＝x1x2，则由φ（t）＝t﹣lnt，由x1＞0，x2＞0，即x1+x2＞0．
φ′（t）＝，（t＞0），
可知，φ（t）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增．
所以φ（t）≥φ（1）＝1，
所以（x1+x2）2+（x1+x2）≥1，解得x1+x2≥或x1+x2≤，
又因为x1＞0，x2＞0，
因此x1+x2≥成立．…………（12分）