数学建模论文

林火蔓延的预测院系：农学院作者：孙耀宇摘要森林是人类重要的物质资源和生态资源，然而每年各地不可避免的会发生一些不同程度的森林大火，给国家财产造成严重的损失，扑救森林火灾也就成为保护森林的一项重要任务，对于灭火指挥部门来说，要想及时作出正确的扑火决策，一个头的重要的问题就是要掌握林火的蔓延情况，由于一般林火的蔓延速度相当快，所以这种对林火的蔓延情况的掌握必须是超前的，即要根据当地影响林火行为的各个因素的指标，确定一定的火场参数，确立火场蔓延的数学模型，由模型预测某段时间后火场的蔓延情况，从而为林火的扑救提供可靠的依据。

一、影响火场模型的因素当森林某处起火时，火苗会在林场内蔓延，掌握火场的发展规律是至关重要的，起作用在于预先估计火场的范围、形状、面积、周长长度以及周边的增长速度等等因素，我们将其称为火场模型，影响火场模型的因素有很多：一般情况下我们只需考虑火场在地表平面上的二维模型，即不关心火苗向空间高度发展的情况。

这样的假设也是合理的:以来绝大多数林场的高度不足以考虑火苗向上发展的趋势；二来，林火扑救过程中的实际操作中也没有办法限制火苗向上发展，或在某个高度安装隔离装臵等。

在林场起火当地的地理和生态环境下，火场的蔓延主要受到两个方面的影响。

其一，是是火在林木中无风速下的自然蔓延；其二就是风速对火场的影响。

我们假设火场蔓延仅仅是这两种作用合成的结果，除此之外没有其他因素的影响，并且在一段时间段内，我们不考虑风向的变化以及风速大小的变化。

不同的林场，又有着不同的地理和生态环境。

在没有风速的情况下，影响当地林火自然蔓延速度的因素主要包括两种：1.林场本身的植被情况，不同的植被可燃性当然不同，也就会影响自然蔓延的速度等，我们称之为林场类型的影响；2.林场所在地的地形坡度，不同坡度下自然蔓延的速度也是不一样的，我们称之为场林地形的影响。

另外，我们假设其他因素对林场自然蔓延的影响为零，并且假定在所考虑的林场区域内上述林场类型和林场地形都保持不变。

二、火场蔓延模型我们根据上面分析的因素来建立火场蔓延模型。

在林场确定的情况下，我们先考虑无风速的情况，此时火场的形状应该为圆形。

如果再加上一个水平方向向右的风速V，如图一所示，那么在火源的水平左半边（也就是纵坐标的水平左f半边）火场将是自然蔓延的情形，而对于受风向所影响的火源的右边，和显然其在水平向右的蔓延必定比在垂直方向的蔓延程度大，所以很容易想到对右边提出椭圆右半边的模型。

现实中不少对林火蔓延的研究都采用了这样的模型，但对于椭圆形模型，其最大的缺点就是椭圆积分无法积出，导致在求火场的周边长度，周边速度等等问题时遇到困难。

为了便于积分，这里我们对火源的右边提出开口向左的抛物线模型，见图一，再椭圆长轴与短轴比例不是特别大的情况下，抛物线可以看作是半个椭圆的近似替代，该模型明显的反映出了火场在水平方向的蔓延与垂直方向的蔓延的差别。

图1的坐标坐标原点O为火源，风向为水平向右。

根据以上分析，我们将火场蔓延模型视作抛物线一半圆形模型：由于左边背风方向的自然蔓延依然存在，可假设在水平方向的蔓延速度和其在垂直方向的蔓延速度相等，即左边火场的形状为半圆形，半径为b，在顺风向右的方向，由于风速的影响，其水平向右的蔓延速度必然大于垂直方向的蔓延速度，我们设火源右边的火场形状为抛物线形。

火灾发生并经过时间t后，设火场顺风的火头（图1火场蔓延模型的最右端）蔓延速度为Vh ,通过Vh我们就能预先估计任意时刻火场蔓延图形面积，周长边长等等指数。

记火场蔓延过程中水平向右蔓延的横向距离与垂直向上蔓延的纵向距离的比例为a:b﹦λ设火场蔓延的时间为t,蔓延时的风速为Vf,则上述模型中顺风火头按风向前进的横向距离为a=Vh t.接着通过对不同的风速Vf下的纵横比例系数λ来确定图1火场蔓延模型中纵向距离b，从而确定出抛物线部分的图形，进而也就确定了火尾部分，它是以b为半径的一个半圆。

通过搜索现有的林火蔓延资料，根据参考文献〘1〙，不同风速下火场蔓延模型中的纵横比例系数λ可见表1:三、火场蔓延速度火场蔓延速度在这里指的是火头前进的速度。

根据前文对影响火场蔓延模型的因素分析可知，它们包括风速、林场类型和林场地形的影响，我们在此忽略了其他许多在实际扑火时的不易确定的因素。

现在考虑风速、林场类型和林场地形作用的效果，首先假定保持林场类型和林场地形不变，例如，假定可燃物类型为草甸型的林场和地形坡度为零，考察风速对火场蔓延速度的影响，在风力等级为1到12级的条件下，根据参考文献〘1〙，我们从中收集了一组风速V f 和火场蔓延速度V h 的数据如表2：以上数据是基于林场可燃物类型为草甸，地形为平地时的风速与火速的数据。

利用回归分析，经过对各种回归方法的比较，我们认为可在幂函数类中求一元回归曲线，模拟得到火场蔓延速度关于风速的经验公式：8271.1*6598.1f h V V = ⑴其图像见图2. 其次，引入林场类型和林场地形因素对火场蔓延速度的影响。

这里我们假设林场类型和林场地形对蔓延速度的影响是相互独立的，并且假设对蔓延速度影响程度是成正比的，即在不同林场类型下火场蔓延速度和风速关系可以用公式（1）乘上修正系数来表示，对于不同林场地形下的关系也是如此。

于是我们可以得到如下的公式：8271.121*6598.1*f h V k k V = ⑵其中k 1为林场类型的不同而引起的修正系数，为林场地形的不同引起的修正系数。

对于林场类型，一般火场的可燃物类型可分为草甸、次生林和针叶林三个等级，火场蔓延速度在不同类型下是不同的，我们根据参考文献得到火场蔓延速度在不同可燃物类型中的修正系数k 1如表3所示：系数k 2，火场所在的坡度不同，火的蔓延速度自然也不同。

与一般人类行走不一样，上山火场蔓延速度快，且坡度越大时，蔓延得也越快；下山火场的蔓延速度却会减慢。

根据参考资料〘1〙中所引的研究资料，我们列表给出火速基于不同坡度条件下的修正系数k 2，如表4.表中的正坡度指林火上山蔓延时的速度，负坡度指林火下山蔓延时的坡度。

关于风速的经验公式，然后通过对三种影响火场蔓延速度的主要因素风速、林场类型和林场地形的分析，引入林场可燃物类型和地形坡度关于火场蔓延速度的修正系数来确定在各种条件下的火场蔓延速度，经以上步骤，我们得到了火场蔓延速度公式⑵，其中修正系数k 1和k 2可参考表3和表4.四、 火场的面积和周边长度林火发生后，指挥扑救的部门在实施扑救指挥时，十分关注的是一定时间后火场的面积和周边的长度，我们根据上述火场蔓延模型和火场蔓延速度，通过简单的微积分计算，可以预测出失火后任意时间t 的火场面积和周边长度。

根据图1，我们可以求出火场右半部分的抛物线在第一和第四象限的部分曲线方程为x a bay -=22其中[]b b y ,-∈.对于图像在第一象限的那段曲线，其方程为ax a by -= 其中[]a x ,0∈，于是 ()()x a a b x y --='2现在求火场的面积S 和周边长度L: S=ab b dx a x a b b a 3421221202+=-+⎰ππ ⑶ L=()bb a a In a b b a b dx x a a b b a22222024224412+++++=-++⎰ππ ⑷ 用纵横比例关系λ=b a :和t V a h =带入以上两式得S=222342t V h ⎪⎭⎫ ⎝⎛+λλπ ⑸ L=()t V In h ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++1422114222λλλλλπ ⑹ 由于火场面积可以大致预算林火带来的损失，由周边长度可以确定当前所需投入扑火队伍消防员的数量，他们都是重要的林火扑救参数。

他们各自的增长速度在扑火决策中也都是相当重要的。

例如，由周边长度的增长速度可以预测出到达火场的现有扑救力量能否控制住火势的蔓延。

下面我们就来分别看一下这几个参数。

在时间t 的时刻，火场面积瞬时增长速度V s 为()t V t S V h S 2238⎪⎭⎫ ⎝⎛+='=λλπ ⑺ 火场面积的平均增长速度S V 为:()t V t t S V h S 22342⎪⎭⎫ ⎝⎛+==λλπ ⑻ 它们之间的关系为2S S V V =,火场面积增长的速度是随着时间增长的，并且通过简单的分析可知它们的加速度保持不变。

对于火场的周边长度，在t 时刻的瞬时增长速度V L 为:()()h L V In t L V ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++='=1422114222λλλλλπ ⑼ 火场周边长度的平均增长速度L V 为:L V =()()h V In t t L ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++=1422114222λλλλλπ ⑽ 它们的关系为L V =L V ,从上面的公式可以看出周边长度的增长速度与时间无关。

五、 模型的调整以上讨论的情况都是在所有影响参数保持不变的条件下求得的，当消防队员到达现场后，火速V h 如果能够实现现场的及时报道，则应该以实报的数值为准。

当然林火蔓延时，风速与林场的可燃物类型以及坡度等都可能随时随地发生变化，这时，确定火场面积和周边长度不能统一使用一个公式，而应根据参数变化情况，将时间划分为若干个小的时间段，然后再确定每一时间段内的相应参数，以预测新的火场面积、周长以及变化后的参数。

由于失火时间通常相对较短，常见情况主要分为以下两类：⑴整段时间内风向保持不变，变化的只是风速的大小、火场经过的可燃物类型和坡度大小。

此时我们可以假设在每个小时间段内参数数值保持不变，并通过上面的公式计算出该段内的火速h V ，进而计算出该段时间内火势推进的距离，将其逐段累加起来，就可得到木头的实际前进距离 a.此时火场面积和周长的计算公式就可以分别有下面两个式子计算：22342a S ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=λλπ ⑾ L=()a In ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++1422114222λλλλλπ ⑿ 纵横比例系数λ可以近似取为各个时间段内风速相应的比例系数的算术平均值。

火场面积和周长的平均增长速度分别可以通过()t t S V S =和()tt L V L =得到。

面对火场面积和周长的瞬时速度我们还是应当通过公式⑺和⑼来算，只使用这些公式计算时应当选取最后一个时段的参数。

⑵如果在这段时间内风向发生了变化，我们又该如何处理这样的情况呢？ 火场蔓延的模型当然将随着风向的变化而变化，我们仍以抛物线一半圆形模型来预测。

具体可分为两个部分，如图3所示。

若在点0M 处起风向发生变化，火场经过蔓延时间t 1,蔓延的火头前进距离为11t h V ，其中1h V 为新的火速。

以此线段为火场蔓延的对称轴，由新的火速确定新的纵横比例系数1λ，从而做出一个新的抛物线一半圆形；火场蔓延的第二部分则为原抛物线一半圆形的自然蔓延，其火头自0M 点起的前进速度为第一部分中的火速除以纵横比例系数1λ，即11λh V 。