郑州市第七中学数学一元二次方程单元试卷(word版含答案)

郑州市第七中学数学一元二次方程单元试卷（word版含答案） 一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题（难） 1．已知:在平面直角坐标系xoy中,直线kyxb分别交x、y轴于点A、B两点,OA=5,∠OAB=60°. (1)如图1,求直线AB的解析式； (2)如图2,点P为直线AB上一点，连接OP,点D在OA延长线上，分别过点P、D作OA、OP的平行线,两平行线交于点C，连接AC,设AD=m,△ABC的面积为S,求S与m的函数关系式; (3)如图3,在(2)的条件下,在PA上取点E ,使PE=AD, 连接EC,DE,若∠ECD=60°,四边形ADCE的周长等于22，求S的值.

【答案】(1)直线解析式为353yx；(2)S=5325322m；(3)203S. 【解析】 【分析】 (1)先求出点B坐标，设AB解析式为ykxb，把点A(5，0)，B(0，53)分别代入，利用

待定系数法进行求解即可； (2)由题意可得四边形ODCP是平行四边形，∠OAB=∠APC=60°，则有PC=OD=5+m，

∠PCH=30°，过点C作CH⊥AB，在Rt△PCH中 利用勾股定理可求得CH=352m，再

由S=12AB•CH代入相关数据进行整理即可得； (3) 先求得∠PEC=∠ADC，设∠OPA=，则∠OPC= ∠ADC= ∠PEC=60°+，在BA延长线上

截取AK=AD，连接OK，DK，DE，证明△ADK是等边三角形，继而证明△PEC≌△DKO，通过推导可得到OP=OK=CE=CD，再证明△CDE是等边三角形，可得CE=CD=DE，连接OE，证明△OPE≌△EDA，继而可得△OAE是等边三角形，得到OA=AE=5 ，根据四边形ADCE的周

长等于22，可得ED=172m，过点E作EN⊥OD于点N，则DN=52m，由勾股定理得222ENDNDE， 可得关于m的方程，解方程求得m的值后即可求得答案

.

【详解】 (1)在Rt△ABO中OA=5，∠OAB=60°，

∴∠OBA=30°，AB=10 ， 由勾股定理可得OB=53， ∴B(0，53)， 设AB解析式为ykxb，把点A(5，0)，B(0，53)分别代入，得0553kbb，

∴353kb， ∴直线解析式为353yx； (2)∵CP//OD，OP//CD，

∴四边形ODCP是平行四边形，∠OAB=∠APC=60°，

∴PC=OD=5+m，∠PCH=30°，

过点C作CH⊥AB，在Rt△PCH中 PH=52m，由勾股定理得CH=352m，

∴S=12AB•CH=135325310(5)2222mm；

(3) ∵∠ECD=∠OAB=60°，

∴∠EAD+∠ECD=180°，∠CEA+∠ADC=180°，

∴∠PEC=∠ADC， 设∠OPA=，则∠OPC= ∠ADC= ∠PEC=60°+， 在BA延长线上截取AK=AD，连接OK，DK，DE， ∵∠DAK=60°，

∴△ADK是等边三角形， ∴AD=DK=PE，∠ODK=∠APC，

∵PC=OD， ∴△PEC≌△DKO， ∴OK=CE，∠OKD=∠PEC=∠OPC=60°+， ∠AKD= ∠APC=60° ， ∴∠OPK= ∠OKB， ∴OP=OK=CE=CD， 又∵∠ECD=60°， ∴△CDE是等边三角形， ∴CE=CD=DE， 连接OE，∵ ∠ADE=∠APO，DE=CD=OP， ∴△OPE≌△EDA， ∴AE=OE， ∠OAE=60°， ∴△OAE是等边三角形， ∴OA=AE=5 ，

∵四边形ADCE的周长等于22， ∴AD+2DE=17，

∴ED=172m，

过点E作EN⊥OD于点N，则DN=52m， 由勾股定理得222ENDNDE， 即22253517()()()222mm， 解得13m，221m(舍去)， ∴S=15325322=203.

【点睛】 本题考查的四边形综合题，涉及了待定系数法，平行四边形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解一元二次方程等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.

2．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0． （1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；

（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k＝2，求该矩形的对角线L的长．

【答案】（1）k＞34；（2）15. 【解析】 【分析】 （1）根据关于x的方程x2－(2k＋1)x＋k2＋1＝0有两个不相等的实数根，得出△＞0，再解

不等式即可； （2）当k=2时，原方程x2-5x+5=0，设方程的两根是m、n，则矩形两邻边的长是m、n，

利用根与系数的关系得出m+n=5，mn=5，则矩形的对角线长为22mn，利用完全平方公式进行变形即可求得答案. 【详解】 解：（1）∵方程x2－(2k＋1)x＋k2＋1＝0有两个不相等的实数根，

∴Δ＝[－(2k＋1)]2－4×1×(k2＋1)＝4k－3＞0，

∴k＞34；

(2)当k＝2时，原方程为x2－5x＋5＝0， 设方程的两个根为m，n， ∴m＋n＝5，mn＝5，

∴矩形的对角线长为：222215mnmnmn.

【点睛】 本题考查了根的判别式、根与系数的关系、矩形的性质等，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）△=0时，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0时，方程没有实数根．

3．已知二次函数y＝9x2﹣6ax+a2﹣b，当b＝﹣3时，二次函数的图象经过点（﹣1，4） ①求a的值；

②求当a≤x≤b时，一次函数y＝ax+b的最大值及最小值；

【答案】①a的值是﹣2或﹣4；②最大值＝13，最小值＝9 【解析】 【分析】 ①根据题意解一元二次方程即可得到a的值； ②根据a≤x≤b，b＝﹣3求得a=-4，由此得到一次函数为y＝﹣4x﹣3，根据函数的性质当x＝﹣4时，函数取得最大值，x＝﹣3时，函数取得最小值，分别计算即可.

【详解】 解：①∵y＝9x2﹣6ax+a2﹣b，当b＝﹣3时，二次函数的图象经过点（﹣1，4） ∴4＝9×（﹣1）2﹣6a×（﹣1）+a2+3， 解得，a1＝﹣2，a2＝﹣4， ∴a的值是﹣2或﹣4； ②∵a≤x≤b，b＝﹣3 ∴a＝﹣2舍去， ∴a＝﹣4， ∴﹣4≤x≤﹣3， ∴一次函数y＝﹣4x﹣3， ∵一次函数y＝﹣4x﹣3为单调递减函数， ∴当x＝﹣4时，函数取得最大值，y＝﹣4×（﹣4）﹣3＝13 x＝﹣3时，函数取得最小值，y＝﹣4×（﹣3）﹣3＝9. 【点睛】 此题考查解一元二次方程，一次函数的性质，（2）是难点，正确理解a、b的关系得到函数解析式是解题的关键.

4．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+a﹣1=0． （1）当a=﹣11时，解这个方程；

（2）若这个方程有两个实数根x1，x2，求a的取值范围；

（3）若方程两个实数根x1，x2满足[2+x1（1﹣x1）][2+x2（1﹣x2）]=9，求a的值．

【答案】（1）12

3,4xx（2）54a（3）-4

【解析】 【分析】 （1）根据一元二次方程的解法即可求出答案； （2）根据判别式即可求出a的范围； （3）根据根与系数的关系即可求出答案．

【详解】 （1）把a=﹣11代入方程，得x2﹣x﹣12=0， （x+3）（x﹣4）=0， x+3=0或x﹣4=0， ∴x1=﹣3，x2=4； （2）∵方程有两个实数根

12xx，

，

∴△≥0，即（﹣1）2﹣4×1×（a﹣1）≥0，

解得54a：；

（3）∵

12xx，

是方程的两个实数

根，222211221122101011xxaxxaxxaxxa，，，． ∵[2+x1（1﹣x1）][2+x2（1﹣x2）]=9， ∴221122229xxxx

，

把22112211xxaxxa，代入， 得：[2+a﹣1][2+a﹣1]=9，即（1+a）2=9， 解得：a=﹣4，a=2（舍去）， 所以a的值为﹣4． 点睛：本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用判别式以及根与系数的关系．