第六章 代数系统--复习
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第6章代数
第六章 代 数 例3 (a) 考虑具有〈N, +, 0〉形式的构成成分和下述公理的代数类。 (1) a+b=b+a (2) (a+b)+c=a+(b+c) (3) a+0=a
那么〈I, ·, 1〉, 〈ρ(S), ∪, 和〈R, min, +∞〉(这里R是
包含+∞的非负实数)等, 都是这一种类的成员。
而每一非0元素 x 的逆元是（k - x） 。
第六章 代 数
(g) 设Nk是前k个自然数的集, 这里k≥2, 定义模k乘法×k如下:
x×ky = z
这里z∈Nk, 且对某一n, xy – z = nk。
即 xy/k = n …… z （余 )
（ --------用于计算）
结论：
① 1是幺元 。
② 有逆元仅当x和k互质。
第六章 代 数
③ （G除去幺元ｂ，剩下a与c ) 经考察发现：
运算表中a所在行与c 所在列的交叉元素，
以及c所在行与a所在列 的交叉元素都是幺元b。
故a与c互 逆 。
*a b c aa a b ba b c cbc c
第六章 代 数
(e) 考虑在函数的合成运算下,集合A上的所有函数的集合F。
那么恒等函数IA 是幺元，每一双射函数有一逆元。 (f) 设 Nk 是前k 个自然数的集合, 这里 k ﹥ 0 ,
在运算表中， x0所在行与列的元素，分别与表头的行与
列的元素一一对应相同 。 结论２： 在运算表中，某元素 y0 ∈ A是运算*的零元
在运算表中， y0所在行与列的元素都是y0
结论３： 运算*满足交换律
运算表中的元素 关于主对角线对称
代数系统(抽象代数)
6-1 代数结构(系统)的概念
所谓代数结构(系统)，无非是有一个运算对象的集合， 和若干个运算，构成的系统。 一. n元运算 如何定义运算，先看几个我们熟悉的例子： 取相反数运算“-”、集合的补运算“~” 以及N上的“+” P(E) ~ P(E) N2 + N I - I 。 Φ Φ。 <0,0>。 。 0 2。 。 -2 <0,1>。 。 {a} 。 。 {a} 1 1。 。 -1 <0,2>。 0。 。 。 0 2 {b} 。 。 {b} -1。 。 1 。 -2。 。 3 <1,0> 。 2 {a,b} 。 。 {a,b} <1,1>。 <1,2>。
九.分配律 设和 都是X上的二元运算，若对任何x,y,z∈X，有 x(yz)=(xy)(xz) ，(yz) x =(y x)(z x) 则称对可分配。 例如： 乘法对加法可分配。 集合的∪与∩互相可分配。 命题的∧与∨互相可分配。 十.吸收律 设和 都是X上的可交换二元运算，若对任何x,y∈X， 有 x(xy)=x ，x(xy)=x 则与 满足吸收律。 例如：集合的∪与∩满足吸收律。 命题的∧与∨满足吸收律。
2.二元运算的运算表 有时用一个表来表示二元 运算的运算规律。 例如令E={a,b}， P(E)上的 ∩运算表如图所示。
∩ Φ 左 Φ Φ 表 {a} Φ 头 元 {b} Φ 素 {a,b} Φ
运算 上 表 头 元 素
{a} Φ {a} Φ {a}
{b} Φ Φ {b} {b}
{a,b} Φ {a} {b} {a,b}
六.可结合性 设是X上的二元运算，如果对任何x,y,z∈X，有 (xy)z =x(yz)，则称是可结合的。 例：数值的加法、乘法，集合的交、并、对称差， 关系的复合、函数的复合，命题的合取、析取等。
第6章 代数系统基础汇总
*
1 2 3 4 6 12 1 0 1 2 3 5 11 2 1 0 1 2 4 10 3 2 1 0 1 3 9 4 3 2 1 0 2 8 a*b=|a-b|
6 5 4 3 2 0 6
12 11 10 9 8 6 0
3、子代数系统
V=<S，Ω>:代数系统 S′ S S′≠φ
子系统或子代 数
V′为V的子代数系统 每一个运算ω∈ Ω对 S′均封闭 V′ =<S′，Ω>是一个代数系统
定理
U=<X, ∘ > V=<Y, *> f:同态映射
Rf :X上的二元关系， 对于任意的x1,x2X x1Rfx2 f(x1)=f(x2) Rf是U上的同余关系
证明
③可传递性： (1) Rf是等价关系： ①自反性： x1Rfx2∧x2Rfx3 对任意的xX f(x1)=f(x2)∧f(x2)=f(x3) f(x)=f(x) f(x1)= f(x3) xRx x1Rfx3 ②对称性： x1Rfx2 f(x1)=f(x2) f(x2)=f(x1) x2Rfx1
变换运算表
g
1,2列交换 2,4列交换
1,2行交换
2,4行交换
一致
同构对运算保持相同的性质
设U=<X, ∘ >，V=<Y,*>同构，f是U到V的同构，则： (1) 若∘有幺元e *有幺元法f(e) (2) 若∘有零元 *有零元f() (3) 若xX有逆元x-1 f(x)Y有逆元f(x-1),反之亦然； (4) 若∘运算可交换 *运算也可交换 (5) 若∘运算可结合 *运算也可结合
+4 0 1 0 0 1 2 3 1 1 2 3 0 2 2 3 0 1 3 3 0 1 2
1 2 3 4 6 12 1 0 1 2 3 5 11 2 1 0 1 2 4 10 3 2 1 0 1 3 9 4 3 2 1 0 2 8 a*b=|a-b|
6 5 4 3 2 0 6
12 11 10 9 8 6 0
3、子代数系统
V=<S，Ω>:代数系统 S′ S S′≠φ
子系统或子代 数
V′为V的子代数系统 每一个运算ω∈ Ω对 S′均封闭 V′ =<S′，Ω>是一个代数系统
定理
U=<X, ∘ > V=<Y, *> f:同态映射
Rf :X上的二元关系， 对于任意的x1,x2X x1Rfx2 f(x1)=f(x2) Rf是U上的同余关系
证明
③可传递性： (1) Rf是等价关系： ①自反性： x1Rfx2∧x2Rfx3 对任意的xX f(x1)=f(x2)∧f(x2)=f(x3) f(x)=f(x) f(x1)= f(x3) xRx x1Rfx3 ②对称性： x1Rfx2 f(x1)=f(x2) f(x2)=f(x1) x2Rfx1
变换运算表
g
1,2列交换 2,4列交换
1,2行交换
2,4行交换
一致
同构对运算保持相同的性质
设U=<X, ∘ >，V=<Y,*>同构，f是U到V的同构，则： (1) 若∘有幺元e *有幺元法f(e) (2) 若∘有零元 *有零元f() (3) 若xX有逆元x-1 f(x)Y有逆元f(x-1),反之亦然； (4) 若∘运算可交换 *运算也可交换 (5) 若∘运算可结合 *运算也可结合
+4 0 1 0 0 1 2 3 1 1 2 3 0 2 2 3 0 1 3 3 0 1 2
离散数学第二版答案(6-7章)
离散数学第二版答案(6-7章)LT第六章 代数系统6.1第129页1． 证明：任取,x y I ∈，(,)*(,)g y x y x y x yx x y xy g x y ==+-=+-=，因此，二元运算*是可交换的； 任取,,x y z I ∈，(,(,))*(*)*()()g x g y z x y z x y z yz x y z yz x y z yz x y z xy xz yz xyz==+-=++--+-=++---+((,),)(*)*()*()(,(,))g g x y z x y z x y xy zx y xy z x y xy z x y z xy xz yz xyz g x g y z ==+-=+-+-+-=++---+=因此，运算*是可结合的。
该运算的么元是0，0的逆元是0，2的逆元是2，其余元素没有逆元。
2．证明：任取,,x y N x y ∈≠，由*,*x y x y x y x ==≠知，**y x x y ≠，*运算不是可交换的。
任取,,x y z N ∈，由(*)**x y z x z x ==，*(*)*x y z x y x ==知，(*)**(*)x y z x y z =，*运算是可结合的。
任取x N ∈，*x x x =，可知N 中的所有元素都是等幂的。
*运算有右么元，任取,x y N ∈，*x y x =，知N 中的所有元素都是右么元。
*运算没有左么元。
证明：采用反证法。
假定e 为*运算的左么元，取,b N b e ∈≠，由*的运算公式知*e b e =，由么元的性质知，*e b b =，得e b =，这与b e ≠相矛盾，因此，*运算没有左么元。
3．解： ① 任取y x I y x ≠∈,,的最小公倍数和y x y x =*的最小公倍数和的最小公倍数和y x x y x y ==*因此对于任意的y x I y x ≠∈,,都有x y y x **=，即二元运算*是可交换的。
离散数学第六章代数系统
6.2 代数系统的基本性质
性质4 吸收率
给定<S，⊙，*>，则 ⊙对于*满足左吸收律：(x)(y)(x，y∈S→x⊙(x*y)=x) ⊙对于*满足右吸收律：(x)(y)(x，y∈S→(x*y)⊙x=x) 若⊙对于*既满足左吸收律又满足右吸收律，则称⊙对于*满足吸收律或
者可吸收的。
*对于⊙满足左、右吸收律和吸收律类似地定义。 若⊙对于*是可吸收的且*对于⊙也是可吸收的，则⊙和*是互为吸收的或
代数﹝Algebra﹞是数学的其中一门分支，可大致分为初等代数学和抽象 代数学两部分。
代数的由来
初等代数学：是指19世纪中期以前发展的方程理论，主要研究某一方程﹝ 组﹞是否可解，如何求出方程所有的根﹝包括近似根﹞，以及方程的根有 何性质等问题。
抽象代数：是在初等代数学的基础上产生和发展起来的。它起始于十九世 纪初，形成于20世纪30年代。在这期间，挪威数学家阿贝尔(N.H. Abel)、 法国数学家伽罗瓦(E′. Galois)、英国数学家德·摩根(A. De Morgan) 和布尔(G. Boole)等人都做出了杰出贡献，荷兰数学家范德瓦尔登(B.L. Van Der Waerden)根据德国数学家诺特(A.E. Noether)和奥地利数学家阿 廷(E. Artin)的讲稿，于1930年和1931年分别出版了《近世代数学》一卷 和二卷，标志着抽象代数的成熟。
同态与同构
PART 同余、商代数、积代数
04
PART 05
代数系统实例
6.1 代数系统的定义
定义6.1 设S是个非空集合且函数f： Sn→S ，则称f为S上的一个 n元运算。其中n是自然数，称为运算的元数或阶。
当n = 1时，称f为一元运算，当n = 2时，称f为二元运算，等等。 定义6.2 如果对给定集合的成员进行运算，从而产生了象点，而
离散数学(第二版)第6章几个典型的代数系统
第六章 几个典型的代数系统
第三篇 幅代数结构
6.1 半群与群 6.2 子群 6.3 循环群和置换群 6.4 陪集与拉格朗日定理 6.5 正规子群、商群和同态基本定理 6.6 环 6.7 域 6.8 有限域 6.9 例题选解 习题六
第六章 几个典型的代数系统
6.1 半 群 与 群
半群与群都是具有一个二元运算的代数系统， 群是半群 的特殊例子。 事实上， 群是历史上最早研究的代数系统， 它比半群复杂一些， 而半群概念是在群的理论发展之后才引 进的。
(4) A≠ , 〈P(A), ∩〉是半群， 幺元为A， 非空集合无逆
元， 所以不是群。
(5) A≠ , 〈P(A), 是S， 所以是群。
S∈P(A), S的逆元
(6) 〈Q+, ·〉(正有理数与数乘)为一群， 1为其幺元。 〈Q, ·〉不是群， 因为数0无逆元。
因为零元无逆元， 所以含有零元的代数系统就不会是群。
〈P(S), 是独异点，
〈 P(S), , ；
〈Σ*, τ〉是独异点， 幺元是λ(空串)， 〈Σ*, τ, λ〉；
〈SS, 是独异点， 幺元是IS， 〈SS, , IS〉；
但〈 ZE, ×〉不是独异点， 因为无幺元 ， (1 ZE， ZE：
偶数集)。
半群与独异点的差别就在于独异点含有幺元， 但独异点
b2 0
S , 取a2
a1,
则
a1 0
b1 a2 0 0
b2 0
a1 a2 0
b1
b2 0
且a1
a2
0, 所以 a1
a2 0
因此 运算不封闭。
b1 b2 S, 0
所以〈S, +〉不是半群。
证毕
第三篇 幅代数结构
6.1 半群与群 6.2 子群 6.3 循环群和置换群 6.4 陪集与拉格朗日定理 6.5 正规子群、商群和同态基本定理 6.6 环 6.7 域 6.8 有限域 6.9 例题选解 习题六
第六章 几个典型的代数系统
6.1 半 群 与 群
半群与群都是具有一个二元运算的代数系统， 群是半群 的特殊例子。 事实上， 群是历史上最早研究的代数系统， 它比半群复杂一些， 而半群概念是在群的理论发展之后才引 进的。
(4) A≠ , 〈P(A), ∩〉是半群， 幺元为A， 非空集合无逆
元， 所以不是群。
(5) A≠ , 〈P(A), 是S， 所以是群。
S∈P(A), S的逆元
(6) 〈Q+, ·〉(正有理数与数乘)为一群， 1为其幺元。 〈Q, ·〉不是群， 因为数0无逆元。
因为零元无逆元， 所以含有零元的代数系统就不会是群。
〈P(S), 是独异点，
〈 P(S), , ；
〈Σ*, τ〉是独异点， 幺元是λ(空串)， 〈Σ*, τ, λ〉；
〈SS, 是独异点， 幺元是IS， 〈SS, , IS〉；
但〈 ZE, ×〉不是独异点， 因为无幺元 ， (1 ZE， ZE：
偶数集)。
半群与独异点的差别就在于独异点含有幺元， 但独异点
b2 0
S , 取a2
a1,
则
a1 0
b1 a2 0 0
b2 0
a1 a2 0
b1
b2 0
且a1
a2
0, 所以 a1
a2 0
因此 运算不封闭。
b1 b2 S, 0
所以〈S, +〉不是半群。
证毕
离散数学第六章
6.1.6 循环群和置换群
§循环群 在循环群G=<a>中, 生成元a的阶与群G的阶是一样 的. 如果a是有限阶元, |a|＝n, 则称G为n阶循环群. 如 果a是无限阶元, 则称G为无限阶循环群. 例如: <Z,+>是无限阶循环群; <Z6,>是n阶循环群. 注意:(1) 对9 无限阶循环群G=<a>, G的生成元是a和a-1; (2) 对n阶循环群G=<a>=<e,a,…,an-1>,G的生成元是at 当且仅当t与n互素, 如12阶循环群中, 与12互素的数 有1、5、7、11. 那么G的生成元有a1=a、a5、a7、 a11. (3) N阶循环群G=<a>, 对于n的每个正因子d, G恰好有 一个d阶子群H=<an/d>.
6.1.3 子群
例如, 群<Z6,>中由2生成的子群包含2的各次 幂, 20=e=0, 21=2, 22=22=4, 23=222=0, 所 以由2生成的子群：<2>={0,2,4}.
对于Klein四元群G={e,a,b,c}来说, 由它的每个 元素生成的子群是 <e>={e}, <a>={e,a}, <b>={e,b}, <c>={e,c}
6.1.6 循环群和置换群
§循环群
定义6.7 在群G中, 如果存在aG使得 G={ak|kZ} 则称G为循环群, 记作G=<a>,称a为G的生成元. ☆ 循环群必定是阿贝尔群, 但阿贝尔群不一定 是循环群. 证明: 设<G,*>是一个循环群, 它的生成元是a, 那么,对于任意x,yG, 必有r,sZ, 使得 x=as,y=at, 而且x*y=as*at=as+t=at*as=y*x 由此可见<G,*>是一个阿贝尔群. 例如,<Z,+>是一个循环群, 其生成元是1或-1.
离散数学第6章+代数系统
a=e∗a=θ∗a=θ，
于是A中的所有元素都是零元，与A中至少有两个元素矛盾。
第6章 代数系统
3.逆元 定义6.2.8 设∗是集合A上的二元运算，e为A中关于运算∗ 的幺元。如果对于A中的元素a存在着A中的某个元素b，使 得b∗a=e，那么称b为a的左逆元；如果存在A中的某个元素b， 使得a∗b=e，那么称b为a的右逆元；如果存在着A中的某个 元素b，它既是a的左逆元又是a的右逆元，那么称b为a的逆 元。a的逆元记为a–1。如果aA存在逆元a–1A，那么称a为 可逆元。 一般地说，一个元素的左逆元不一定等于该元素的右逆
n个 an a a a
第6章 代数系统
当运算*满足结合律时，an的也可以递归定义如下： ⑴a1=a ⑵an+1=an∗a 由此利用数学归纳法，不难证明下列的公式： ⑴am∗an= am+n ⑵(am)n= amn 3.分配律 定义6.2.3 设*和是非空集合A上的两个二元运算，如果 对于任意a,b,cA，有
等元，对任意的正整数n，则an=a。 6.2.2特殊元素 1.幺元 定义6.2.6 设∗是定义在集合A上的二元运算，如果有一个
elA，对于任意的aA，有el ∗ a=a，则称el为A中关于运算∗的 左单位元或左幺元；如果有一个erA，对于任意的aA，有个元素，它既是左单位元又是右单位元，则称为A中关 于运算∗的单位元或幺元。
元。一个元素可以有左逆元而没有右逆元，同样可以有右逆 元而没有左逆元。甚至一个元素的左逆元或者右逆元还可以 不是惟一的。
定理6.2.6 设∗为A中的一个二元运算，A中存在幺元e且 每个元素都有左逆元。如果∗是可结合的运算，则在A中任何 元素的左逆元必定是该元素的右逆元，且每个元素的逆元是 惟一的。
第6章 代数系统
于是A中的所有元素都是零元，与A中至少有两个元素矛盾。
第6章 代数系统
3.逆元 定义6.2.8 设∗是集合A上的二元运算，e为A中关于运算∗ 的幺元。如果对于A中的元素a存在着A中的某个元素b，使 得b∗a=e，那么称b为a的左逆元；如果存在A中的某个元素b， 使得a∗b=e，那么称b为a的右逆元；如果存在着A中的某个 元素b，它既是a的左逆元又是a的右逆元，那么称b为a的逆 元。a的逆元记为a–1。如果aA存在逆元a–1A，那么称a为 可逆元。 一般地说，一个元素的左逆元不一定等于该元素的右逆
n个 an a a a
第6章 代数系统
当运算*满足结合律时，an的也可以递归定义如下： ⑴a1=a ⑵an+1=an∗a 由此利用数学归纳法，不难证明下列的公式： ⑴am∗an= am+n ⑵(am)n= amn 3.分配律 定义6.2.3 设*和是非空集合A上的两个二元运算，如果 对于任意a,b,cA，有
等元，对任意的正整数n，则an=a。 6.2.2特殊元素 1.幺元 定义6.2.6 设∗是定义在集合A上的二元运算，如果有一个
elA，对于任意的aA，有el ∗ a=a，则称el为A中关于运算∗的 左单位元或左幺元；如果有一个erA，对于任意的aA，有个元素，它既是左单位元又是右单位元，则称为A中关 于运算∗的单位元或幺元。
元。一个元素可以有左逆元而没有右逆元，同样可以有右逆 元而没有左逆元。甚至一个元素的左逆元或者右逆元还可以 不是惟一的。
定理6.2.6 设∗为A中的一个二元运算，A中存在幺元e且 每个元素都有左逆元。如果∗是可结合的运算，则在A中任何 元素的左逆元必定是该元素的右逆元，且每个元素的逆元是 惟一的。
第6章 代数系统
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26/66
群论-基本概念
• 变换群：集合X是无限的，令TX表示所有从集合X到X的变 换的集合，具有下列性质：
– – – – (f)(g)(f，g∈TX →f ○ g，g○f ∈TX) (f)(g)(h)(f，g，h∈TX →(f ○ g)○h = f ○(g○h)) (idA)(idA∈TX∧(f)(f ∈TX →idA○f = f ○idA = f )) ( f)(f ∈TX →( f -1)(f -1∈TX∧ f ○ f -1= f -1○ f = idA))
24/66
群论-基本概念
• 群：给定代数系统Ｖ＝<G，⊙>，若<G， ⊙>是独异点且每个元素存在逆元，或者
– ① ⊙是可结合的， – ②关于⊙存在幺元， – ③G中每个元素关于⊙是可逆的， 则称<G，⊙>是群。
• Abel群:给定群<G，⊙>，若⊙是可交换的，则称<G，
⊙>是可交换群或<G，⊙>是Abel群。
25/66
群论-基本概念
• 群元素的阶：给定群<G，⊙>，且a，幺元e∈G，则a的 阶或周期为使an=e的最小正整数,并称n为a的阶．记作| a | = n。任何群<G，⊙>幺元e的阶都是1 • 集合的置换：令X是非空有限集合，从X到X的双射函数， 称为集合X中的置换，并称|X|为置换的阶。 • 集合上的所有置换（双射）与复合运算，构成的代数系统 是一个群，称为对称群。 • 由n个元素的集合而构成的所有n!个n阶置换的集合Sn与复 合置换运算◇构成群<Sn，◇>，它便是n次n!阶对称群。 • 若Q PX = S|X|，则称由Q和◇构成的群<Q，◇>为置换 群。
3/66
代数系统—基本定义
同型代数系统： 设两个代数系统
<S， f1，f2，…，fm>和 <T， g1，g2，…，gm>，如果fi和gi(1≤i≤m)具有相 同的元数，则称这两个代数系统是同类型的。
4/66
代数系统—基本定义
子代数系统：设<S， f1，f2，…，fm >是一代 数系统，且非空集TS在运算f1，f2，…，fm 作用下是封闭的，则称<T， f1，f2，…，fm >为代数系统 <S， f1，f2，…，fm >的子代数，记为<T，f1， f2，…，fm > <S，f1，f2，…，fm>。
– 左逆元 – 右逆元 – 逆元唯一
• 可约元与可约律
– 左可约 – 右可约
– 可约律
11/66
代数系统—基本性质
• 运算表与这几个基本性质的关系
– 运算*具有封闭性，当且仅当表中的每个元素 都属于S。 – 运算*满足交换律，当且仅当表关于主对角线 是对称的。 – 运算*是等幂的，当且仅当表的主对角线上的 每个元素与所在行或列表头元素相同
– 代数系统间的同构关系是等价关系
18/66
代数系统—基本性质
• 同余关系： 给定<S，⊙>及其上的商代数<S/E，*>，则<S， ⊙>~<S/E，*>。 通常，称gE为从S到S/E上的正则映射，并且称 gE为从<S，⊙>到<S/E，*>的与E相关的自 然同态映射，简称自然同态。
19/66
代数系统—基本性质
16/66
代数系统—基本性质
(e)如果⊙和*满足等幂律，则和也满足等幂律。 (f)如果e1和e2分别是关于⊙和*的幺元，则f(e1)和f(e2) 分别为关于和的幺元。 (g)如果θ1和θ2分别是关于⊙和*的零元，则f(θ1)和f(θ2) 分别为关于和的零元。 (h)如果对每个x∈X均存在关于⊙的逆元x -1，则对每 个f(x)∈Y也均存在关于的逆元f(x -1)；如果对每个 z∈X均存在关于*的逆元Z -1，则对每个f(z)∈Y也均 存在关于的逆元f(z -1)。
– 多元同态
15/66
代数系统—基本性质
– 满同态 – 单一同态 – 双射—同构
– 给定<X，⊙，*> ~ <Y，，>且f为其满同态映射，则
(a)如果⊙和*满足结合律，则和也满足结合律。 (b)如果⊙和*满足交换律，则和也满足交换律。 (c)如果⊙对于*或*对于⊙满足分配律，则对于或对于也 相应满足分配律。 (d)如果⊙对于*或*对于⊙满足吸收律，则对于或对于也 满足吸收律。
<TX，○>构成群，在代数中称为变换群 • 子群：给定群<G，⊙>及非空集合HG，若<H，⊙>是群 ，则称<H，⊙>为群<G，⊙>的子群。 • 群<G，⊙>的中心cent G= {a | a∈G ∧(x)(x∈G → a⊙x = x⊙a)}。
27/66
群论-基本概念
• 子群的陪集：
– 令<H，⊙>是群<G，⊙>的子群且a∈G，则把下面集合：a⊙H = {a⊙h | h∈H}，称为由元素a所确定的群<G，⊙>中的H的左陪集， 或简称为左陪集并简记aH。此外，称a是左陪集aH的代表元素。 – 给定群<G，⊙>，子群<H，⊙>的左陪集关系，记作CH，其定义 为： CH ：= {<a，b＞| a，b∈G∧b-1⊙a∈H}。
13/66
代数系统—基本性质
– x为关于*的左逆元，当且仅当位于x所在行的元 素中至少存在一个幺元，y为关于*的右逆元， 当且仅当位于y所在列的元素中至少存在一个幺 元；x与y互为逆元，当且仅当位于x所在行和y 所在列的元素以及y所在行和x所在列的元素都 是幺元。
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代数系统—基本性质
• 同态关系
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代数系统—基本定义
积代数：设<S，⊙>与<T，*>是同类型的， 而<S×T，>成为新的代数结构，其中 S×T是集合S和集合T的笛卡儿积，且定义 如下： <s1，t1><s2，t2> = <s1⊙s2，t1*t2>，其中s1， s2∈S，t1，t2∈T。 则称<S×T，>为代数结构<S，⊙>和<T，*> 的积代数，而代数结构<S，⊙>和<T，*>称 为<S×T，*>的因子代数。
– 同余关系是代数结构的集合中的等价关系，并且在运 算的作用下，能够保持关系的等价类。
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代数系统—基本定义
商代数：给定<S，⊙>及其上的同余关系E， 且由E对S所产生同余类构成一个商集S/E。 若在S/E中定义运算*如下： [x]E *[y]E = [x⊙y]E 其中[x]E，[y]E∈S/E 于是<S/E，*>构成了一个代数结构，则称 <S/E，*>为代数结构<S，⊙>的商代数。
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代数系统—基本定义
• 同余：
– 给定<S，⊙>且E为S中的等价关系。E关于⊙有代换
性质：(x1)(x2)(y1)(y2)((x1，x2，y1， y2∈S∧x1Ex2∧y1Ey2)→ (x1⊙y1)E(x2⊙y2))。E为 <S，⊙>中的同余关系：E有代换性质。与此同 时，称同余关系E的等价类为同余类。
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代数系统—基本性质
– 元素x是关于*的左零元，当且仅当x所对应的行中的每个 元素都与x相同；元素y是关于*的右零元，当且仅当y所对 应的列中的每个元素都与y相同；元素θ是关于*的零元， 当且仅当θ所对应的行和列中的每个元素都与θ相同。 – 元素x为关于*的左幺元，当且仅当x所对应的行中元素依 次与行表头元素相同；元素y为关于*的右幺元，当且仅当y 所对应的列中元素依次与列表头元素相同；元素e是关于* 的幺元，当且仅当e所对应的行和列中元素分别依次地与 行表头元素和列表头元素相同。
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代数系统-基本性质
• 结合律 • 交换律 • 分配律
– 左分配律 – 右分配律
• 吸收律
– 左吸收律 – 右吸收律
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代数系统—基本性质
• 等幂律与等幂元 • 幺元或单位元
– 左幺元 – 右幺元 – 幺元唯一
• 零元
– 左零元 – 右零元 – 零元唯一
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代数系统—基本性质
• 逆元
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群论-基本概念
• 子半群:给定半群<S，⊙>及非空集合TS，若T对⊙封
闭，则称<T，⊙>为<S，⊙>的子半群。
– 子独异点
• 循环子半群：给定半群<S，⊙>及任意a∈S，则<{a，a2 ，a3，…}，⊙>是循环子半群。 • 积半群：给定两个半群<S，⊙>和<T，*>。称<S×T，> 为<S，⊙>和<T，*>的积半群，其中S×T为集合S与T的 笛卡儿积，运算定义如下：<s1，t1><s2，t2> = <s1⊙s2，t1*t2>，其中s1，s2∈S，t1，t2∈T
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代数系统—基本性质
• 同构关系
– 设<X，⊙>与<Y，*>是同类型的。称<X，⊙>同构于<Y， *>，记为<X，⊙> ≌ <Y，*>，其定义如下：
• <X，⊙> ≌ <Y，*>：(f )(f为从<X，⊙>到<Y，*>的同构映射 或更详细地定义为： • <X，⊙> ≌ <Y，*>：(f )(f ∈YX∧f为双射∧f为从<X，⊙>到 <Y，*>的同态映射)
– 一元同态：设<X，⊙>与<Y，*>是同类型的。称<X， ⊙>同态于<Y，*>或<Y，*>为<X，⊙>的同态象， 记为<X，⊙> ~ <Y，*>，其定义如下：<X，⊙> ~ <Y，*>：(f )(f ∈YX∧(x1)(x2)(x1，x2∈X→ f(x1⊙x2)= f(x1)*f(x2)))，其中YX表示从Ｘ到Ｙ的函 数． – 二元同态：<X，⊙， *> → <Y，，>：(f )(f∈ YX ∧( x1)( x2) ( x1 ， x2 ∈X →(f (x1 ⊙ x2)= f (x1) f (x2)∧ f (x1 * x2)= f (x1) f ( x2)，f称为从<X，⊙， *> 到<Y，，>的同态映射。
群论-基本概念
• 变换群：集合X是无限的，令TX表示所有从集合X到X的变 换的集合，具有下列性质：
– – – – (f)(g)(f，g∈TX →f ○ g，g○f ∈TX) (f)(g)(h)(f，g，h∈TX →(f ○ g)○h = f ○(g○h)) (idA)(idA∈TX∧(f)(f ∈TX →idA○f = f ○idA = f )) ( f)(f ∈TX →( f -1)(f -1∈TX∧ f ○ f -1= f -1○ f = idA))
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群论-基本概念
• 群：给定代数系统Ｖ＝<G，⊙>，若<G， ⊙>是独异点且每个元素存在逆元，或者
– ① ⊙是可结合的， – ②关于⊙存在幺元， – ③G中每个元素关于⊙是可逆的， 则称<G，⊙>是群。
• Abel群:给定群<G，⊙>，若⊙是可交换的，则称<G，
⊙>是可交换群或<G，⊙>是Abel群。
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群论-基本概念
• 群元素的阶：给定群<G，⊙>，且a，幺元e∈G，则a的 阶或周期为使an=e的最小正整数,并称n为a的阶．记作| a | = n。任何群<G，⊙>幺元e的阶都是1 • 集合的置换：令X是非空有限集合，从X到X的双射函数， 称为集合X中的置换，并称|X|为置换的阶。 • 集合上的所有置换（双射）与复合运算，构成的代数系统 是一个群，称为对称群。 • 由n个元素的集合而构成的所有n!个n阶置换的集合Sn与复 合置换运算◇构成群<Sn，◇>，它便是n次n!阶对称群。 • 若Q PX = S|X|，则称由Q和◇构成的群<Q，◇>为置换 群。
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代数系统—基本定义
同型代数系统： 设两个代数系统
<S， f1，f2，…，fm>和 <T， g1，g2，…，gm>，如果fi和gi(1≤i≤m)具有相 同的元数，则称这两个代数系统是同类型的。
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代数系统—基本定义
子代数系统：设<S， f1，f2，…，fm >是一代 数系统，且非空集TS在运算f1，f2，…，fm 作用下是封闭的，则称<T， f1，f2，…，fm >为代数系统 <S， f1，f2，…，fm >的子代数，记为<T，f1， f2，…，fm > <S，f1，f2，…，fm>。
– 左逆元 – 右逆元 – 逆元唯一
• 可约元与可约律
– 左可约 – 右可约
– 可约律
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代数系统—基本性质
• 运算表与这几个基本性质的关系
– 运算*具有封闭性，当且仅当表中的每个元素 都属于S。 – 运算*满足交换律，当且仅当表关于主对角线 是对称的。 – 运算*是等幂的，当且仅当表的主对角线上的 每个元素与所在行或列表头元素相同
– 代数系统间的同构关系是等价关系
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代数系统—基本性质
• 同余关系： 给定<S，⊙>及其上的商代数<S/E，*>，则<S， ⊙>~<S/E，*>。 通常，称gE为从S到S/E上的正则映射，并且称 gE为从<S，⊙>到<S/E，*>的与E相关的自 然同态映射，简称自然同态。
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代数系统—基本性质
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代数系统—基本性质
(e)如果⊙和*满足等幂律，则和也满足等幂律。 (f)如果e1和e2分别是关于⊙和*的幺元，则f(e1)和f(e2) 分别为关于和的幺元。 (g)如果θ1和θ2分别是关于⊙和*的零元，则f(θ1)和f(θ2) 分别为关于和的零元。 (h)如果对每个x∈X均存在关于⊙的逆元x -1，则对每 个f(x)∈Y也均存在关于的逆元f(x -1)；如果对每个 z∈X均存在关于*的逆元Z -1，则对每个f(z)∈Y也均 存在关于的逆元f(z -1)。
– 多元同态
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代数系统—基本性质
– 满同态 – 单一同态 – 双射—同构
– 给定<X，⊙，*> ~ <Y，，>且f为其满同态映射，则
(a)如果⊙和*满足结合律，则和也满足结合律。 (b)如果⊙和*满足交换律，则和也满足交换律。 (c)如果⊙对于*或*对于⊙满足分配律，则对于或对于也 相应满足分配律。 (d)如果⊙对于*或*对于⊙满足吸收律，则对于或对于也 满足吸收律。
<TX，○>构成群，在代数中称为变换群 • 子群：给定群<G，⊙>及非空集合HG，若<H，⊙>是群 ，则称<H，⊙>为群<G，⊙>的子群。 • 群<G，⊙>的中心cent G= {a | a∈G ∧(x)(x∈G → a⊙x = x⊙a)}。
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群论-基本概念
• 子群的陪集：
– 令<H，⊙>是群<G，⊙>的子群且a∈G，则把下面集合：a⊙H = {a⊙h | h∈H}，称为由元素a所确定的群<G，⊙>中的H的左陪集， 或简称为左陪集并简记aH。此外，称a是左陪集aH的代表元素。 – 给定群<G，⊙>，子群<H，⊙>的左陪集关系，记作CH，其定义 为： CH ：= {<a，b＞| a，b∈G∧b-1⊙a∈H}。
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代数系统—基本性质
– x为关于*的左逆元，当且仅当位于x所在行的元 素中至少存在一个幺元，y为关于*的右逆元， 当且仅当位于y所在列的元素中至少存在一个幺 元；x与y互为逆元，当且仅当位于x所在行和y 所在列的元素以及y所在行和x所在列的元素都 是幺元。
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代数系统—基本性质
• 同态关系
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代数系统—基本定义
积代数：设<S，⊙>与<T，*>是同类型的， 而<S×T，>成为新的代数结构，其中 S×T是集合S和集合T的笛卡儿积，且定义 如下： <s1，t1><s2，t2> = <s1⊙s2，t1*t2>，其中s1， s2∈S，t1，t2∈T。 则称<S×T，>为代数结构<S，⊙>和<T，*> 的积代数，而代数结构<S，⊙>和<T，*>称 为<S×T，*>的因子代数。
– 同余关系是代数结构的集合中的等价关系，并且在运 算的作用下，能够保持关系的等价类。
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代数系统—基本定义
商代数：给定<S，⊙>及其上的同余关系E， 且由E对S所产生同余类构成一个商集S/E。 若在S/E中定义运算*如下： [x]E *[y]E = [x⊙y]E 其中[x]E，[y]E∈S/E 于是<S/E，*>构成了一个代数结构，则称 <S/E，*>为代数结构<S，⊙>的商代数。
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代数系统—基本定义
• 同余：
– 给定<S，⊙>且E为S中的等价关系。E关于⊙有代换
性质：(x1)(x2)(y1)(y2)((x1，x2，y1， y2∈S∧x1Ex2∧y1Ey2)→ (x1⊙y1)E(x2⊙y2))。E为 <S，⊙>中的同余关系：E有代换性质。与此同 时，称同余关系E的等价类为同余类。
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代数系统—基本性质
– 元素x是关于*的左零元，当且仅当x所对应的行中的每个 元素都与x相同；元素y是关于*的右零元，当且仅当y所对 应的列中的每个元素都与y相同；元素θ是关于*的零元， 当且仅当θ所对应的行和列中的每个元素都与θ相同。 – 元素x为关于*的左幺元，当且仅当x所对应的行中元素依 次与行表头元素相同；元素y为关于*的右幺元，当且仅当y 所对应的列中元素依次与列表头元素相同；元素e是关于* 的幺元，当且仅当e所对应的行和列中元素分别依次地与 行表头元素和列表头元素相同。
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代数系统-基本性质
• 结合律 • 交换律 • 分配律
– 左分配律 – 右分配律
• 吸收律
– 左吸收律 – 右吸收律
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代数系统—基本性质
• 等幂律与等幂元 • 幺元或单位元
– 左幺元 – 右幺元 – 幺元唯一
• 零元
– 左零元 – 右零元 – 零元唯一
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代数系统—基本性质
• 逆元
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群论-基本概念
• 子半群:给定半群<S，⊙>及非空集合TS，若T对⊙封
闭，则称<T，⊙>为<S，⊙>的子半群。
– 子独异点
• 循环子半群：给定半群<S，⊙>及任意a∈S，则<{a，a2 ，a3，…}，⊙>是循环子半群。 • 积半群：给定两个半群<S，⊙>和<T，*>。称<S×T，> 为<S，⊙>和<T，*>的积半群，其中S×T为集合S与T的 笛卡儿积，运算定义如下：<s1，t1><s2，t2> = <s1⊙s2，t1*t2>，其中s1，s2∈S，t1，t2∈T
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代数系统—基本性质
• 同构关系
– 设<X，⊙>与<Y，*>是同类型的。称<X，⊙>同构于<Y， *>，记为<X，⊙> ≌ <Y，*>，其定义如下：
• <X，⊙> ≌ <Y，*>：(f )(f为从<X，⊙>到<Y，*>的同构映射 或更详细地定义为： • <X，⊙> ≌ <Y，*>：(f )(f ∈YX∧f为双射∧f为从<X，⊙>到 <Y，*>的同态映射)
– 一元同态：设<X，⊙>与<Y，*>是同类型的。称<X， ⊙>同态于<Y，*>或<Y，*>为<X，⊙>的同态象， 记为<X，⊙> ~ <Y，*>，其定义如下：<X，⊙> ~ <Y，*>：(f )(f ∈YX∧(x1)(x2)(x1，x2∈X→ f(x1⊙x2)= f(x1)*f(x2)))，其中YX表示从Ｘ到Ｙ的函 数． – 二元同态：<X，⊙， *> → <Y，，>：(f )(f∈ YX ∧( x1)( x2) ( x1 ， x2 ∈X →(f (x1 ⊙ x2)= f (x1) f (x2)∧ f (x1 * x2)= f (x1) f ( x2)，f称为从<X，⊙， *> 到<Y，，>的同态映射。