高中数学主题单元设计(三角函数的图象与性质)
三角函数的图象与性质教案
三角函数的图象与性质教案一、教学目标1. 理解三角函数的定义和基本性质。
2. 学会绘制和分析三角函数的图象。
3. 掌握三角函数的周期性、奇偶性、单调性等性质。
4. 能够应用三角函数的性质解决问题。
二、教学内容1. 三角函数的定义和基本性质。
2. 三角函数的图象绘制方法。
3. 三角函数的周期性性质。
4. 三角函数的奇偶性性质。
5. 三角函数的单调性性质。
三、教学重点与难点1. 三角函数的定义和基本性质的理解。
2. 三角函数图象的绘制和分析。
3. 三角函数周期性、奇偶性、单调性的理解和应用。
四、教学方法1. 采用多媒体教学，展示三角函数的图象和性质。
2. 利用数学软件或图形计算器进行图象绘制和分析。
3. 引导学生通过观察、分析和归纳三角函数的性质。
4. 利用例题和练习题巩固所学知识。
五、教学安排1. 第一课时：三角函数的定义和基本性质。
2. 第二课时：三角函数的图象绘制方法。
3. 第三课时：三角函数的周期性性质。
4. 第四课时：三角函数的奇偶性性质。
5. 第五课时：三角函数的单调性性质。
六、教学目标1. 理解正弦函数、余弦函数的周期性。
2. 学会应用周期性解决实际问题。
3. 掌握正弦函数、余弦函数的相位变换。
七、教学内容1. 正弦函数、余弦函数的周期性。
2. 周期性在实际问题中的应用。
3. 正弦函数、余弦函数的相位变换。
八、教学重点与难点1. 周期性的理解和应用。
2. 相位变换的理解和应用。
九、教学方法1. 通过实例讲解周期性在实际问题中的应用。
2. 利用数学软件或图形计算器进行相位变换的演示。
3. 引导学生通过观察、分析和归纳正弦函数、余弦函数的周期性和相位变换。
十、教学安排1. 第六课时：正弦函数、余弦函数的周期性。
2. 第七课时：周期性在实际问题中的应用。
3. 第八课时：正弦函数、余弦函数的相位变换。
十一、教学目标1. 理解正切函数的图象和性质。
2. 学会应用正切函数解决实际问题。
3. 掌握正切函数的周期性和奇偶性。
高中数学必修4《三角函数的图象与性质》教案
高中数学必修4《三角函数的图象与性质》教案高中数学必修4《三角函数的图象与性质》教案【一】教学准备教学目标1、知识与技能(1)了解周期现象在现实中广泛存在;(2)感受周期现象对实际工作的意义;(3)理解周期函数的概念;(4)能熟练地判断简单的实际问题的周期;(5)能利用周期函数定义进行简单运用。
2、过程与方法通过创设情境：单摆运动、时钟的圆周运动、潮汐、波浪、四季变化等，让学生感知周期现象;从数学的角度分析这种现象，就可以得到周期函数的定义;根据周期性的定义，再在实践中加以应用。
3、情感态度与价值观通过本节的学习，使同学们对周期现象有一个初步的认识，感受生活中处处有数学，从而激发学生的学习积极性，培养学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物。
教学重难点重点: 感受周期现象的存在，会判断是否为周期现象。
难点: 周期函数概念的理解，以及简单的应用。
教学工具投影仪教学过程【创设情境，揭示课题】同学们：我们生活在海南岛非常幸福，可以经常看到大海，陶冶我们的情操。
众所周知，海水会发生潮汐现象，大约在每一昼夜的时间里，潮水会涨落两次，这种现象就是我们今天要学到的周期现象。
再比如，[取出一个钟表,实际操作]我们发现钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复，这也是一种周期现象。
所以，我们这节课要研究的主要内容就是周期现象与周期函数。
(板书课题)【探究新知】1.我们已经知道，潮汐、钟表都是一种周期现象，请同学们观察钱塘江潮的图片(投影图片)，注意波浪是怎样变化的?可见，波浪每隔一段时间会重复出现，这也是一种周期现象。
请你举出生活中存在周期现象的例子。
(单摆运动、四季变化等)(板书：一、我们生活中的周期现象)2.那么我们怎样从数学的角度研究周期现象呢?教师引导学生自主学习课本P3——P4的相关内容，并思考回答下列问题：①如何理解“散点图”?②图1-1中横坐标和纵坐标分别表示什么?③如何理解图1-1中的“H/m”和“t/h”?④对于周期函数的定义，你的理解是怎样?以上问题都由学生来回答，教师加以点拨并总结：周期函数定义的理解要掌握三个条件，即存在不为0的常数T;x必须是定义域内的任意值;f(x+T)=f(x)。
高中数学新教材第六章教案
高中数学新教材第六章教案
主题：三角函数
一、教学目标
1. 了解三角函数的概念和性质。
2. 掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的定义和图象。
3. 能够运用三角函数解决实际问题。
二、教学重点与难点
1. 三角函数的定义和性质。
2. 三角函数的图象和性质。
3. 运用三角函数解决实际问题的能力。
三、教学准备
1. 教师准备课件、教学实验材料等。
2. 学生复习相关知识，做好课前预习。
四、教学步骤
1. 引入
通过一个实际生活中的例子介绍三角函数的概念，引导学生思考三角函数的应用场景。
2. 概念讲解
讲解三角函数的定义和性质，包括正弦函数、余弦函数、正切函数的定义和周期性，周期、相位等概念。
3. 图象分析
介绍正弦函数、余弦函数、正切函数的图象，讲解图象的特点和变化规律。
4. 练习训练
通过练习题训练学生对三角函数的掌握程度，加深对概念和性质的理解。
5. 实际问题解决
引导学生通过实际问题运用三角函数解决，培养学生解决问题的能力。
6. 总结
总结本节课的重点内容，强化学生对三角函数的理解和掌握。
五、作业布置
布置相关练习作业，巩固本节课所学内容。
六、教学反思
教师可以根据学生的学习情况和反馈对本节课进行评估和反思，不断完善教学内容和方式。
高中数学必修四教学方案：《三角函数的图象与性质》
高中数学必修四教学方案：《三角函数的图象与性质》基础数学的知识与运用是个人与团体生活中不可或缺的一部分。
其基本概念的精炼早在古埃及、美索不达米亚及古印度内的古代数学范本内便可观见。
下面跟着一起来看看吧。
高中数学必修4《三角函数的图象与性质》教案【一】教学准备教学目标1、知识与技能（1）理解并掌握正弦函数的定义域、值域、周期性、最大（小）值、单调性、奇偶性；（2）能熟练运用正弦函数的性质解题。
2、过程与方法通过正弦函数在R上的图像，让学生探索出正弦函数的性质；讲解例题，总结方法，巩固练习。
3、情感态度与价值观通过本节的学习，培养学生创新能力、探索归纳能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的有效途经；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。
教学重难点重点：正弦函数的性质。
难点：正弦函数的性质应用。
教学工具投影仪教学过程【创设情境，揭示课题】同学们，我们在数学一中已经学过函数，并掌握了讨论一个函数性质的几个角度，你还记得有哪些吗？在上一次课中，我们已经学习了正弦函数的y=sinx在R上图像，下面请同学们根据图像一起讨论一下它具有哪些性质？【探究新知】让学生一边看投影，一边仔细观察正弦曲线的图像，并思考以下几个问题：（1）正弦函数的定义域是什么？（2）正弦函数的值域是什么？（3）它的最值情况如何？（4）它的正负值区间如何分？（5）？（x）=0的解集是多少？师生一起归纳得出：1. 定义域：y=sinx的定义域为R2. 值域：引导回忆单位圆中的正弦函数线，结论：|sinx|≤1（有界性）再看正弦函数线（图象）验证上述结论，所以y=sinx的值域为[-1，1]课后小结归纳整理，整体认识（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及的主要数学思想方法有哪些？（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？课后习题作业：习题1—4第3、4、5、6、7题.板书略高中数学必修4《三角函数的图象与性质》教案【二】教学准备教学目标1、知识与技能（1）了解周期现象在现实中广泛存在；（2）感受周期现象对实际工作的意义；（3）理解周期函数的概念；（4）能熟练地判断简单的实际问题的周期；（5）能利用周期函数定义进行简单运用。
高中数学教案《三角函数的图像与性质》
教学计划：《三角函数的图像与性质》一、教学目标1.知识与技能：学生能够掌握正弦、余弦、正切函数的基本图像及其关键特征（如周期、振幅、相位等）；理解并应用三角函数的奇偶性、单调性、最值等性质。
2.过程与方法：通过绘制函数图像、观察分析、归纳总结等过程，培养学生直观感知、逻辑推理和数学抽象能力；学会运用数形结合的方法解决三角函数问题。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养探索精神和严谨的科学态度；通过团队合作和交流分享，增强学生的集体意识和协作能力。
二、教学重点和难点●教学重点：正弦、余弦、正切函数的基本图像及性质；数形结合思想在三角函数中的应用。
●教学难点：理解并掌握三角函数图像的变换规律（如平移、伸缩、对称等）；运用三角函数的性质解决实际问题。
三、教学过程1. 引入新课（约5分钟）●生活实例：通过展示海浪波动、音乐波形等自然现象或人工制品中的周期性变化，引导学生思考这些现象与三角函数的关系，引出三角函数图像的重要性。
●复习旧知：简要回顾三角函数（正弦、余弦、正切）的定义和基础性质，为后续学习做好铺垫。
●提出问题：提出探究性问题，如“正弦函数的图像是什么样的？它有哪些基本性质？”激发学生的好奇心和探索欲。
2. 讲授新知（约15分钟）●图像绘制：利用多媒体演示或指导学生动手绘制正弦、余弦、正切函数的图像，强调图像的连续性、周期性等特点。
●性质讲解：结合图像，详细讲解三角函数的振幅、周期、相位等关键特征，以及奇偶性、单调性、最值等性质。
●对比分析：引导学生对比正弦、余弦、正切函数图像的差异，理解它们各自的特点和相互之间的关系。
3. 图像变换（约10分钟）●理论讲解：介绍三角函数图像的平移、伸缩、对称等变换规律，结合具体例子说明变换后的图像特征。
●实践操作：组织学生分组进行实践操作，尝试通过改变参数来绘制变换后的三角函数图像，并观察分析变化规律。
●总结归纳：引导学生总结归纳三角函数图像变换的一般规律和方法，形成系统的知识体系。
高中三角函数的图象与性质(教案)
三角函数的图象和性质(一)正弦函数、余弦函数的图象1.用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象(几何法):为了作三角函数的图象,三角函数的自变量要用弧度制来度量,使自变量与函数值都为实数.在一般情况下,两个坐标轴上所取的单位长度应该相同,否则所作曲线的形状各不相同,从而影响初学者对曲线形状的正确认识. 正弦函数x y sin =的图象第一步,在直角坐标系的x 轴上任取一点1O ,以1O 为圆心作单位圆,从这个圆与x 轴的交点A 起把圆分成n (这里12=n )等份.把x 轴上从0到π2这一段分成n (这里12=n )等份.(预备：取自变量x 值—弧度制下角与实数的对应).第二步,在单位圆中画出对应于角0,6π,3π,2π,…,π2的正弦线正弦线(等价于“列表”).把角x 的正弦线向右平行移动,使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合,则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点(等价于“描点”).第三步,连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来,就得到正弦函数x y sin =,]2,0[π∈x 的图象.根据终边相同的同名三角函数值相等,把上述图象沿着x 轴向右和向左连续地平行移动,每次移动的距离为π2,就得到x y sin =,R x ∈的图象.把角x ()x R ∈的正弦线平行移动,使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合,则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数x y sin =的图象.余弦函数x y cos =的图象用几何法作余弦函数的图象,可以用“反射法”将角x 的余弦线“竖立”.把坐标轴向下平移,过1O 作与x 轴的正半轴成4π角的直线,又过余弦线A O 1的终点A 作x 轴的垂线,它与前面所作的直线交于'A ,那么A O 1与'AA 长度相等且方向同时为正,我们就把余弦线A O 1“竖立”起来成为'AA ,用同样的方法,将其它的余弦线也都“竖立”起来,再将它们平移,使起点与x 轴上相应的点x 重合,则终点就是余弦函数图象上的点.也可以用“旋转法”把角的余弦线“竖立”(把角x 的余弦线M O 1按逆时针方向旋转2π到11M O 位置,则11M O 与M O 1长度相等,方向相同.) 根据诱导公式)2sin(cos π+=x x ,还可以把正弦函数x y sin =的图象向左平移2π单位即得余弦函数x y cos =的图象.线和余弦曲线.2.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(描点法): 正弦函数x y sin =,]2,0[π∈x 的图象中,五个关键点是:)0,2(),1,23(),0,(),1,2(),0,0(ππππ- 余弦函数x y cos =,]2,0[π∈x 的图像中,五个关键点是:)1,2(),0,23(),1,(),0,2(),1,0(ππππ-只要这五个点描出后,图象的形状就基本确定了.因此在精确度不太高时,常采用五点法作正弦函数和余弦函数的简图,要求熟练掌握.(二)正弦函数、余弦函数的性质 1.定义域正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R (或),(+∞-∞). 2.值域 (1)值域因为正弦线、余弦线的长度不大于单位圆的半径的长度, 所以1|cos |,1|sin |≤≤x x , 即1cos 1,1sin 1≤≤-≤≤-x x也就是说,正弦函数、余弦函数的值域都是]1,1[-. (2)最值正弦函数R x x y ∈=,sin ①当且仅当Z k k x ∈+=,22ππ时,取得最大值1②当且仅当Z k k x ∈+-=,22ππ时,取得最小值1-余弦函数R x x y ∈=,cos①当且仅当Z k k x ∈=,2π时,取得最大值1 ②当且仅当Z k k x ∈+=,2ππ时,取得最小值1- 3.周期性由)(,cos )2cos(,sin )2sin(Z k x k x x k x ∈=+=+ππ知: 正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的.定义：对于函数)(x f ,如果存在一个非零常数T ,使得当x 取定义域内的每一个值时,都有)()(x f T x f =+,那么函数)(x f 就叫做周期函数,非零常数T 叫做这个函数的周期.由此可知,)0,(2,,4,2,,4,2≠∈--k Z k k πππππ 都是这两个函数的周期. 对于一个周期函数)(x f ,如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做)(x f 的最小正周期.根据上述定义,可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数,)≠∈(0,2k Z k k π都是它的周期,最小正周期是π2. 4.奇偶性由x x x x cos )cos(,sin )sin(=--=-可知:x y sin =(R x ∈)为奇函数,其图象关于原点O 对称x y cos =(R x ∈)为偶函数,其图象关于y 轴对称5.对称性正弦函数sin ()y x x R =∈的对称中心是()(),0k k Z π∈, 对称轴是直线()2x k k Z ππ=+∈;余弦函数cos ()y x x R =∈的对称中心是(),02k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭, 对称轴是直线()x k k Z π=∈(正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x 轴的直线，对称中心为图象与x 轴(中轴线)的交点). 6.单调性从]2,2[,sin ππ3-∈=x x y 的图象上可看出:当]2,2[ππ-∈x 时,曲线逐渐上升,x sin 的值由1-增大到1 当]2,2[ππ3∈x 时,曲线逐渐下降,x sin 的值由1减小到1-结合上述周期性可知: 正弦函数在每一个闭区间)](22,22[Z k k k ∈++-ππππ上都是增函数,其值从1-增大到1;正弦函数在每一个闭区间)](22,22[Z k k k ∈+3+ππππ上都是减函数,其值从1减小到1-.余弦函数在每一个闭区间)](2,2[Z k k k ∈-πππ上都是增函数,其值从1-增加到1;余弦函数在每一个闭区间)](2,2[Z k k k ∈+πππ上都是减函数,其值从1减小到1-.R x x y ∈=,sin 和R x x y ∈=,cos 的图象和性质(表中)(三)正切函数的图象和性质 1.正切函数x y tan =的图像 在区间)2,2(ππ-内作出函数x y tan =图像,根据正切函数的周期性,把上述图像向左、右扩展,得到正切函数R x xy ∈=tan ,且()z k k x ∈+≠ππ2的图像,称“正切曲线”. 2.正切函数和余切函数的性质 (1)定义域:()z k k x ∈+≠2ππ(2)值域:R (3)周期:()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+≠∈=--=++=+z k k x R x x x x x x x ,2,tan cos sin cos sin tan πππππ且 ⎪⎭⎫⎝⎛∈+≠∈=∴z k k x R x x y ,2,tan ππ且的周期为π=T (最小正周期) (4)奇偶性:正切函数是奇函数由诱导公式x x tan )tan(-=-,我们可以证明正切函数是奇函数,正切函数的图像关于原点对成. (5)对称性:对称中心是,02k π⎛⎫⎪⎝⎭()k Z ∈,特别提醒：正(余)切型函数的对称中心有两类:一类是图象与x 轴的交点,另一类是渐近线与x 轴的交点,但无对称轴,这是与正弦、余弦函数的不同之处. (6)单调性:由图像可知,正切函数再区间Z k k k ∈++-),2,2(ππππ内都是单调增函数.三、讲解范例： (一)图象问题例1 画出cos ()y x x R =∈与sin ()y x x R =-∈两函数的图象,观察两曲线的平移关系. 解:例2 作下列函数的简图:(1)x y sin 1+=,]2,0[π∈x (2)|sin |x y = (3）||sin x y = 解:例3 用五点法作函数]2,0[),3cos(2ππ∈+=x x y 的简图,并求其与直线2=y 交点个数. 解:例4 分别利用函数的图象和三角函数线两种方法,求满足下列条件的x 的集合: (1)21sin ≥x (2))250(21cos π<<≤x x解:例5 求下列函数的定义域: (1)1sin 2+=x y (2)x x y cos 162-+-= (3)x x y cos sin -=解:补充例题：(1)函数x x f sin )(=图象的对称轴是 ____;对称中心是 _____. (2)函数)3sin()(π+=x x f 图象的对称轴是_____ ;对称中心是 __.(3)函数1)3sin(2)(++=πx x f 图象的对称轴是_____ ;对称中心是 __.(4)函数)cos(x y +=π与x y cos =的图象关于________对称.(填一种情况即可)(5)方程10sin xx =的根的个数为( ) A. 7 B. 8 C. 9 D. 10(6)用五点法作函数x y 2sin 2=的图象时,首先应描出的五个点横坐标可是( )A.ππππ2,23,,2,0B.ππππ,4,2,4,03C.ππππ4,3,2,,0D.ππππ32,2,3,6,0(二)定义域、值域问题 例1 求下列函数的定义域:(1)xy sin 11+= (2)x y cos 21-=(3))3sin 2lg(-=x y求下列函数的值域:(1)]43,3[,1sin sin 2ππ∈+-=x x x y (2)]32,6[),6sin(2πππ∈+=x x y(3)3cos 3cos +-=x x y解:例2 求使下列函数取得最大值的自变量x (x R ∈)的集合,并说出最大值是什么;若[,)32x ππ∈-呢？ (1)1cos +=x y ; (2)x y 2sin =解:例3 已知函数b x a x f +-=)32sin(2)(π的定义域为]2,0[π,值域为[5,1]-.求b a ,的值. 解:例4 求函数])2,0[(2385cos sin 2π∈-++=x a x a x y 的最大值. 解:例5 (1)已知x x x x y cos sin cos sin 2-+=(],0[π∈x ),求y 的最大值和最小值.(2)求x x x x x x x x x f 432234cos cos sin 2cos sin cos sin 2sin )(++++=的最大值和最小值. (注:)4sin(2cos sin π-=-x x x ,x x x 2sin 21cos sin =)解:(三)周期性、奇偶性问题 例1 判断下列函数的奇偶性:(1)x x x x x f cos sin 1cos sin 1)(++-+=(2)x x x x f 2cos cos sin )(44+-=(x x x 22sin cos 2cos -=)(3))sin 1lg(sin )(2x x x f ++= (4)()sin cos f x x x =+例2 求下列三角函数的周期,并探究其结.(1)x y cos 3= (2)x y 2sin = (3))621sin(2π-=x y (4))35sin(2ππ-=x y解:点评: 一般地,函数R x x A y ∈+=),sin(ϕω及函数R x x y ∈+=),cos(ϕω(其中A 、ω、ϕ为常数,且0≠A ,0>ω)的周期ωπ2=T .例3 (1)求函数x x x x y 2cos 32cos 2sin 42sin 222++=的周期.(2)求函数)6(3sin 4x y -=π的周期. 解:例4 求下列函数的最小正周期:(1)|sin |x y = (2)|1cos 2|+=x y解:(四)单调性问题例1 求下列函数(x R ∈)的单调区间:(1)x y cos -= (2))32cos(π+=x y (3))62cos(π+-=x y (4))3sin(π-=x y (5)x y 2sin -= (6))421sin(π+-=x y 解:例2 求下列的单调递增区间: (1)sin 21()2x y = (2)12log cos y x = 解:例3 不通过求值,比较下列各式的大小: (1))18sin(π-,)10sin(π- (2))523cos(π-,)417cos(π- (3) 194sin , 160cos (4)1sin ,2sin ,3sin 解:例4 求函数)321sin(π+=x y ,]2,2[ππ-∈x 的单调增区间. 解:例5 已知x x x f sin 1sin 1log )(21+-=. (1)求)(x f 的定义域和值域;(2)判断它的奇偶性、周期性;(3)判断)(x f 的单调性.解: 略 (1)},2|{Z k k x x ∈+≠ππ,R x f ∈)( (2)奇函数,周期函数π2=T(2)增区间:Z k k k ∈+-],22,22[ππππ;减区间:Z k k k ∈++],232,22[ππππ (五)正切函数的图象和性质例1 讨论函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4tan πx y 的性质.(定义域,值域,周期性,奇偶性,单调性) 解:例2 (1)用描点法作函数)2,23(),42tan(πππ-∈+=x xy 的图像. (2)作出函数|tan |x y =的图像,并根据图像求其单调区间. (3)作出函数()π2,0,tan 1tan 2∈+=x x x y 且23,2ππ≠x 的简图. 解:例3 不通过求值,比较下列各组数的大小.(1) 135tan , 138tan (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-413tan π,⎪⎭⎫ ⎝⎛-517tan π (3)1tan ,2tan ,3tan ,4tan解:例4 解不等式3tan ≥x .解:例5 求下列函数的定义域 (1)1tan cot -=x x y (2))tan 1lg(x y -= (3)2tan x y = 解:例6 求函数),2(1tan tan 2Z k k x R x x x y ∈+=∈++=ππ且的值域. 解:思考：如果]4,3[ππ-∈x ,结果又如何？ 例7 (1)求函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=46tan 3x y π的定义域、值域,并指出其周期性、奇偶性、单调性. (2)求函数x y 2tan =的定义域、值域和周期,并作出它在区间],[ππ-内的图像. 解:例8 试讨论函数x y a tan log =的单调性.解:例9 若),,0(cos 2R m n x n m y ∈>-=ωω的最大值是32,最小值是12-, 求函数x n m y )24tan(+=的最小正周期.解:例10 已知函数)2||,0,0)(tan(πϕωϕω<>>+=A x A y 的图象与x 轴相交的两个相邻点的坐标为)0,6(π和)0,65(π,且经过点)3,0(-,求其解析式. 解:例11 已知函数)3sin()(πω+=x a x f 和)0)(3tan()(>-=ωπωx b x g 的最小正周期之和为3,()(),()()122244f g f πππππ=+=且,求)(x f 和)(x g 的解析式. 解:。
三角函数的图象与性质教案
三角函数的图象与性质教案一、教学目标：1. 让学生理解三角函数的定义和基本概念，掌握正弦函数、余弦函数和正切函数的图象和性质。
2. 培养学生运用数形结合的思想方法研究三角函数的图象与性质。
3. 培养学生的逻辑思维能力和数学审美能力。
二、教学重点与难点：1. 教学重点：三角函数的图象与性质。
2. 教学难点：正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质的推导和应用。
三、教学方法与手段：1. 教学方法：采用讲练结合、师生互动、分组讨论等教学方法。
2. 教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等教学工具。
四、教学过程：1. 导入新课：通过复习三角函数的定义和基本概念，引导学生关注三角函数的图象与性质。
2. 讲解与示范：讲解正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质，并通过多媒体课件展示图象，让学生直观地感受三角函数的性质。
五、课后作业：1. 绘制正弦函数、余弦函数和正切函数的图象，并分析它们的性质。
2. 练习题：选择适当的函数，分析它们的图象与性质，解决实际问题。
3. 思考题：探讨三角函数图象与性质的内在联系，提出自己的见解。
六、教学评价：1. 通过课堂讲解、练习和课后作业，评价学生对三角函数图象与性质的理解和掌握程度。
2. 观察学生在课堂讨论和练习中的表现，评估他们的逻辑思维能力和数学审美能力。
3. 收集学生对思考题的解答，评价他们的思考深度和创新能力。
七、教学反思：1. 反思本节课的教学内容和方法，评估学生对新知识的接受程度。
2. 思考如何改进教学手段，提高课堂教学效果。
3. 探讨如何引导学生将所学知识应用于实际问题，提高学生的应用能力。
八、教学拓展：1. 介绍三角函数在实际生活中的应用，如测量、信号处理等。
2. 引入高级三角函数的概念，如双曲函数、反三角函数等。
3. 探讨三角函数与其他数学领域的联系，如微积分、线性代数等。
九、教学资源：1. 多媒体课件：三角函数图象与性质的动态展示。
2. 练习题库：涵盖各种难度的练习题。
三角函数的图像与性质教案
三角函数的图像与性质优秀教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质；（2）学会分析三角函数图像的变化规律；（3）能够运用三角函数的性质解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察、分析、归纳三角函数图像的特性；（2）利用数形结合的方法，研究三角函数的性质；（3）培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对三角函数的兴趣，培养学习的积极性；（2）引导学生感受数学的美丽和实用性，提高学生的数学素养；（3）培养学生合作、探究的精神。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质；（2）能够运用三角函数的性质解决实际问题。
2. 教学难点：（1）三角函数图像的变换规律；（2）三角函数性质的深入理解。
三、教学方法与手段1. 教学方法：（1）采用问题驱动法，引导学生探究三角函数的图像与性质；（2）运用数形结合的方法，帮助学生直观地理解三角函数的性质；（3）采用小组合作、讨论的方式，培养学生的团队合作能力。
2. 教学手段：（1）利用多媒体课件，展示三角函数的图像和性质；（2）利用数学软件，进行函数图像的动态演示；（3）提供充足的练习题，巩固所学知识。
四、教学内容与步骤1. 导入新课：（1）复习已知三角函数的图像和性质；（2）引出本节课要学习的内容：三角函数的图像与性质。
2. 探究正弦函数的图像与性质：（1）展示正弦函数的图像；（2）引导学生观察、分析正弦函数的性质；3. 探究余弦函数的图像与性质：（1）展示余弦函数的图像；（2）引导学生观察、分析余弦函数的性质；4. 探究正切函数的图像与性质：（1）展示正切函数的图像；（2）引导学生观察、分析正切函数的性质；五、课堂练习与拓展1. 课堂练习：（1）根据给定的函数式，绘制函数图像；（2）根据函数图像，分析函数的性质；（3）解决实际问题，运用三角函数的性质。
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1、如何画正弦函数、余弦函数的图象
2、正弦函数、余弦函数的性质有哪些 主题单元问题
设计
3、如何画正切函数的图象
4、正切函数的性质有哪些
5、如何应用三角函数的性质解题
专题一：正弦函数、余弦函数的图象 （ 1 课时）
学生分组讨论，展示结果
第二课时
活动一：复习第一课时所学内容
学生回答周期函数定义，正余弦函数周期，通过几个小练习复习函数周期的求法。
活动二：画出正弦曲线余弦曲线，观察正弦曲线余弦曲线，探讨三角函数的其他性质
学生分组讨论，展示结果，教师归纳总结
活动三：教师讲解例题，学生做练习
教师板书例题步骤，学生板演练习
2、培养学生探索数学规律的思维能力，通过正余弦函数正切函数等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与 辨证统一。
3、培养学生的探索精神和创新意识；让学生逐步养成实事求是，扎实严谨的科学态度，学习用数学的思维方式 解决问题，认识世界。
4、激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于创新的精神。 对应课标 1、实例和利用函数定义，形成正弦函数和余弦函数的概念并理解其意义。 2、掌握正弦函数和余弦函数的图像，会用“五点法”画正弦函数和余弦函数的图像。 3、掌握正弦函数和余弦函数的奇偶性、周期性、单调性、最大值和最小值等性质。 4、类比正弦函数的研究方法，学习并掌握正切函数的性质和图像。
规律性， 初步感受周期性，最后由图像特征归纳出“五点法”，学生能熟练地用“五点法”画出 0, 2 上的简图。
本专题学习目标 （描述本专题学习所要达到的主要目标）
1、 会用正弦线画正弦函数的图象，会利用平移作余弦函数的图象，掌握正弦、余弦函数的图象
2、 会用“五点法”正弦、余弦函数的简图。
1、 如何根据实验直观了解正余弦函数的图象
其他（请列出）：
适用年级
高中一年级
所需时间
4 课时
主题单元概述 (简述单元在课程中的地位和作用、单元的组成情况，解释专题的划分和专题之间的关系，主要的学 习方式和预期的学习成果，字数 300-500)
本主题单元是在学习了三角函数的定义、三角函数线，学生已经掌握研究函数的一般方法：从函数的定义，到作 函数的图像，再到讨论函数的性质的顺序展开的。本单元是高中数学教材中有关三角函数的一部分，内容包括“正弦 函数、余弦函数的图象”、“正弦函数、余弦函数的性质”、“正切函数的图象和性质”三个方面。讲述用集合对应的语 言给出了正弦函数和余弦函数的定义，利用正弦线画出正弦曲线，让学生体验几何法作图与描点法作图的不同及优点， 通过平移变换作余弦弦曲线，让学生初步体验用图像变换的话函数图像，通过画出的图形观察得出五个关键点，得到 “五点法”画正弦函数、余弦函数的简图。对于正切函数的研究，则采用了倒叙的方法，一般说来，对函数性质的研
1、 如何探讨正余弦函数的周期性，进而得到周期函数的定义
本专题问题设计
2、 如何探讨正弦函数、余弦函数的其它性质 3、 如何求正余弦函数的单调区间
所需教学材料和资源(在此列出学习过程中所需的各种支持资源)
信息化资源
电脑及相应软件
常规资源
黑板
教学支撑环境 多媒体教室
其他
学案、笔、纸
学习活动设计（描述本专题的学习过程和学习活动） 第一课时 活动一：复习巩固上一专题内容及本专题所用到的其它知识 1、找两位同学到黑板上画出正、余弦函数的图象，其它同学在练习本上画 2、复习诱导公式（一） 活动二：探究正、余弦函数的周期性 1、 从数和形两方面探究正弦函数值“周而复始”的变化规律
或方法）
评价方法：学生互评，教师评价
评价指标：1）结果准确
4、正余弦函数其它性质的探讨
评价方法：学生互评、教师评价
评价指标：1）回答全面
专题三
2）表述准确 5、正、余弦函数性质的应用 评价方法：学生互评、教师评价 评价指标：1）步骤完整、规范
2）结果准确
正切函数的性质与图象
所需课时
1 课时
专题三概述 (介绍本专题在整个单元中的作用，以及本专题的主要学习内容、学习活动和学习成果)
活动二：探究正切函数的性质
问题 1、你能根据研究正余弦函数的性质的经验研究正切函数的性质吗
学生分组讨论，展示成果，教师指导总结
活动三：探究正切函数的图象的画法 问题 2、你能利用正切线画出正切函数的图象吗 学生分组讨论，展示成果
活动四：正切函数性质的应用
教师讲解例题，学生做练习
可评价的学习要素
1、 正切函数性质的探究过程
学生思考，讨论，探索. 2、 由正弦函数值的变化规律的出周期函数的定义，进而得到正弦函数的周期 问题 1：我们如何用数学的语言来刻画函数值的这种周而复始的变化规律 学生思考，教师给出规范定义
活动三：学生探讨余弦函数的周期
学生分组讨论，展示结果
活动四：教师讲解函数周期的求解方法，学生做练习
问题 2：思考函数的周期与解析式中哪些量有关
学习活动设计（描述本专题的学习过程和学习活动） 活动一：指导学生做单摆简谐振动的实验
问题 1：通过实验，你对正余弦函数的图象是否有了一个直观的印象 学生分组讨论，教师引导学生发现正余弦函数的图象特点
活动二：教师讲解利用单位圆中的正弦线作正弦函数图象的方法 问题 2：如何得到图象上的一个点 学生思考回答 问题 3：如何利用正弦线描出一些图象上的有代表性的点 教师引导，学生回答
具体活动有两个内容：第一，探究如何从数、形两方面指出正弦函数值具有“周而复始”的变化规律，从而得到 周期函数的定义，正余弦函数的周期。第二，探究正余弦函数的其它性质单调性、奇偶性、最值。
本专题学习目标 （描述本专题学习所要达到的主要目标）
1、认识三角函数的周期性，理解周期函数与最小正周期的意义，会求最小正周期。 2、理解正弦函数、余弦函数的性质，会判断三角函数的奇偶性，会求三角函数的单调区间、最值等。
知识与技能： 1、会用正弦线画正弦函数的图像，会利用平移变换作余弦函数的图像，会用“五点法”正弦、余弦函数的简图。 2、认识三角函数的周期性，理解周期函数与最小正周期的意义，会求最小正周期。 3、理解并掌握正弦函数、余弦函数的性质，会判断三角函数的奇偶性，会求三角函数的单调区间、最值等。 4、理解并掌握正切函数的图像及性质，会求正切函数的定义域及单调区间。 过程与方法： 1、体会数形结合的思想，学会用类比的方法研究三角函数。 2、经历三角函数性质的探讨过程，感受研究函数性质的一般思路与方法。 3、通过小组合作学习活动,培养学生的合作意识和语言表达能力. 4、提高学生的观察,分析能力以及用发散思维和形象思维解决问题的能力。 情感态度与价值观： 1、培养学生认真负责一丝不苟的学习和工作精神；
本专题是前面两个专题的继续，但采用了不同方法研究正切函数，先根据学生已有的知识，归纳正切函数的性质， 根据性质再画出正切函数的图像，要求学生能熟练画正切函数的图像，掌握正切函数的性质。 本专题学习目标 （描述本专题学习所要达到的主要目标）
1、理解并掌握正切函数的图象及性质 2、会求正切函数的定义域、周期、单调区间
2、 如何借助单位圆画正弦函数的图象
本专题问题设计
3、 如何利用正弦函数图象画余弦函数图象
4、 观察正弦函数图象，你认为哪些是关键点
5、 如何画正余弦函数的简图
所需教学材料和资源(在此列出学习过程中所需的各种支持资源)
信息化资源
电脑 几何画板
常规资源
黑板 三角尺 练习本
教学支撑环境 多媒体教室
其他
学案、笔、纸
《三角函数的图象与性质》主题单元设计
主题单元标题 三角函数的图象与性质
作者姓名
所属单位
联系地址
联系电话
电子邮箱
邮政编码
学科领域 （在 内打 √ 表示主属学科，打 + 表示相关学科）
思想品德 音乐 化学 + 信息技术 劳动与技术
语文 美术 生物 + 科学
√ 数学 外语 历史 社区服务
体育 + 物理
地理 +社会实践
本专题问题设计
1、 正切函数有哪些性质
2、 根据这些性质能做它的草图吗能用正切线作它的图象吗
所需教学材料和资源(在此列出学习过程中所需的各种支持资源)
信息化资源
电脑及相关课件
常规资源
黑板
教学支撑环境 学习活动设计（描述本专题的学习过程和学习活动） 活动一：复习正余弦函数的性质 学生回答
专题划分
专题二：正弦函数、余弦函数的性质 （2 课时）
专题三：正切函数的图像和性质（1 课时）
专题一
正弦函数、余弦函数的图象
所需课时
1 课时
专题一概述 (介绍本专题在整个单元中的作用，以及本专题的主要学习内容、学习活动和学习成果)
本专题是在回顾三角函数定义的基础上，用集合的语言给出了正余弦函数的完整定义，学生明确了三角函数是以 角为自变量的函数后，急于想知道三个三角函数的图象如何有哪些性质通过教师的引导，课本知识的学习，多媒体的 介入实际问题的引领（简谐振动），借助正弦线画出正弦函数的图像，通过平移变换作出余弦曲线，借助图像变化的
活动三：作出正弦函数在[0,2 ] 上的图象
教师讲解，学生动手
问题 4：如何作出正弦函数在整个实数集上的图象
学生分组研讨，展示成果
活动四：作出余弦函数的图象
问题 5：你能否从正余弦函数的关系出发，利用正弦函数的图象作出余弦函数的图象
教师引导，学生思考动手去做
问题 6：你能确定正余弦函数图象的关键点吗
评价方法：现场评价，学生自评、互评，教师评价
教学评价 （列举本专题 中要评价的学 习要素和所使 用的评价工具
或方法）
究总是先做图像，通过观察获得对函数性质的直观认识，然后再从代数的角度对性质作出严格表述。但对正切，教科 书采取了根据已有的知识（如正切函数的定义、诱导公式、正切线等）研究性质，这样处理，可以让学生体会可以从 不同角度讨论函数性质，在性质的指导下可以更加有效地作图、研究图像。加强了理性思考的成分，并使数形结合的 思想体现更加全面。数形结合思想贯穿本单元的始终，利用图像研究性质，反过来再根据性质）进一步认识函数图像， 正弦、余正切函数的图像及其主要性质（包括周期性、单调性、奇偶性、最值或值域），深化研究函数性质的思想方 法是这部分内容的重点。三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学及其它领域中都具有 重要的作用。