03-2 杆的纵向振动与轴的扭转振动ppt课件
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材料力学第四版 第三章 扭转PPT课件
也不变，各纵向线倾斜同一角度.
分析：微体既无轴向正应变，也无横向正应 变，只是相邻横截面之间发生相对错动，既 只有剪切变形。
结论： 1)横截面上无正应力σ
2)横截面上有切应力τ，
切应力垂直于半径方向。
（薄壁圆筒）切应力的计算公式: R0
切应力沿壁厚均匀分布于横截面上
平均半径：r
壁厚：δ
dArd
§3-2 外力偶矩的计算 扭矩
一、外力偶矩的计算
力偶矩M作功：W Me
功率： P Me n2
已知轴的传递功率P：kW（千瓦） 轴的转速n：r/min（转/分钟）
外力偶矩2：6nM 0eM Ne m P91504090nPkW r/min
二、扭矩与扭矩图
n
M
M
n
采用“截面法” 求横截面上的内力：
MeB 1 MeC 2
MeA 3 MeD
由平衡方程
B1 C 2 A 3 D
Mx 0 T1MeB0 Me2
T 1M eB 35 N m 0
同理,在 CA 段内
B
T1 x MeB
M x 0 T 2 M e C M e B 0
MeC T2 x
BC
T 2 M e 2 M e 3 7N 0 m 0
MeB
MeC
MeA n
MeD
B
C
A
D
MeB 1
MeC 2
MeA 3
n
MeD
B1C 2 A
3D
解: （1）计算外力M偶e矩9549npkw
Me1 15915Nm
r/min
Me2 Me3 4774.5 Nm
Me4 6366Nm (2)计算 BC、CA、AD段内任一横截面上的扭矩
分析：微体既无轴向正应变，也无横向正应 变，只是相邻横截面之间发生相对错动，既 只有剪切变形。
结论： 1)横截面上无正应力σ
2)横截面上有切应力τ，
切应力垂直于半径方向。
（薄壁圆筒）切应力的计算公式: R0
切应力沿壁厚均匀分布于横截面上
平均半径：r
壁厚：δ
dArd
§3-2 外力偶矩的计算 扭矩
一、外力偶矩的计算
力偶矩M作功：W Me
功率： P Me n2
已知轴的传递功率P：kW（千瓦） 轴的转速n：r/min（转/分钟）
外力偶矩2：6nM 0eM Ne m P91504090nPkW r/min
二、扭矩与扭矩图
n
M
M
n
采用“截面法” 求横截面上的内力：
MeB 1 MeC 2
MeA 3 MeD
由平衡方程
B1 C 2 A 3 D
Mx 0 T1MeB0 Me2
T 1M eB 35 N m 0
同理,在 CA 段内
B
T1 x MeB
M x 0 T 2 M e C M e B 0
MeC T2 x
BC
T 2 M e 2 M e 3 7N 0 m 0
MeB
MeC
MeA n
MeD
B
C
A
D
MeB 1
MeC 2
MeA 3
n
MeD
B1C 2 A
3D
解: （1）计算外力M偶e矩9549npkw
Me1 15915Nm
r/min
Me2 Me3 4774.5 Nm
Me4 6366Nm (2)计算 BC、CA、AD段内任一横截面上的扭矩
《杆件的扭转理论天》课件
解析法适用于简单杆件的简单边界条 件，通过数学推导得到精确解。
边界元法是一种与有限元法类似的数 值方法，适用于具有复杂边界条件的 杆件扭转问题。
03
杆件扭转的实验研究
实验设备与材料
扭矩计
用于测量杆件在扭转过程中的扭矩。
不同直径和材料的杆件
用于研究不同参数对杆件扭转的影响。
杠杆
用于固定和支撑杆件，确保其稳定。
采矿工程
矿山的支架、提升机等设备需要考虑杆件扭转问 题，以确保矿山的安全生产和正常运行。
水利工程
大坝、水闸等水利设施需要考虑杆件扭转问题， 以确保水利设施的正常运行和安全性。
05
杆件扭转的研究展望
新型材料的杆件扭转性能研究
总结词
随着新材料技术的不断发展，新型材料的杆件在扭转性能方面具有广阔的研究前景。
全性。
高层建筑
高层建筑的柱、梁等结构部件在风 力、地震等外力作用下，容易发生 杆件扭转，影响建筑物的安全性能 。
建筑加固
对于已经存在的建筑物，如果存在 杆件扭转问题，需要进行加固处理 ，以增强其承载能力和稳定性。
机械系统中的杆件扭转问题
01悬挂系 统等部位需要考虑杆件扭 转问题，以确保车辆的正 常运行和安全性。
通过引入传感器、智能算法和机器学习等技 术，可以实现杆件的智能化监测、控制和优 化设计。例如，利用传感器监测杆件的扭转 状态，通过智能算法分析其力学性能和稳定 性，并根据分析结果进行优化设计。未来研 究可以进一步探索智能化技术在杆件扭转领 域的应用，以提高杆件的设计水平和应用范
围。
THANKS
感谢观看
详细描述
新型材料如碳纤维复合材料、钛合金等具有轻质、高强度等优点，在杆件扭转性能方面表现出 优异的力学性能。未来研究可以探索这些新型材料的杆件在复杂环境下的扭转性能，以及如何 优化设计以提高其扭转刚度和稳定性。
材料力学 第三章 扭转 PPT课件
§3.1扭转的概念和实例 §3.2 外力偶矩的计算、扭转和扭矩图 §3.3 纯剪切 §3.4 圆轴扭转时的应力 §3.5 圆轴扭转时的变形
§3.3 纯剪切
一、薄壁圆筒扭转时的剪应力
1、实验：
(壁厚
t
1 10
r0
,
r0：为平均半径）
2、变形规律：
'
圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个角度。
公式的使用条件： 1、等直的圆轴， 2、弹性范围内工作。
四、圆截面的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数Wp
实心圆截面：
d
Ip
2dA
A
2 2 (2π d )
0
d
2π( 4
)
d/2
πd
4
O
4 0 32
d A 2π d
Wp
Ip d /2
πd 3 16
空心圆截面：
D
Ip
2 d
2π
3
d
2
d
π D4 d 4
D
32
πD4 1 4
32
D d
O
d A 2π d
Wp
Ip D/2
π
D4 d 16D
4
πD3 1 4
16
注意：对于空心圆截面
D d
O
Ip
π 32
D4
d4
Wp
G → G
G
d
dx
方向垂直于半径。
三、静力关系：由横截面上的扭矩与应力的关系→应力的计算公式
§3.3 纯剪切
一、薄壁圆筒扭转时的剪应力
1、实验：
(壁厚
t
1 10
r0
,
r0：为平均半径）
2、变形规律：
'
圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个角度。
公式的使用条件： 1、等直的圆轴， 2、弹性范围内工作。
四、圆截面的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数Wp
实心圆截面：
d
Ip
2dA
A
2 2 (2π d )
0
d
2π( 4
)
d/2
πd
4
O
4 0 32
d A 2π d
Wp
Ip d /2
πd 3 16
空心圆截面：
D
Ip
2 d
2π
3
d
2
d
π D4 d 4
D
32
πD4 1 4
32
D d
O
d A 2π d
Wp
Ip D/2
π
D4 d 16D
4
πD3 1 4
16
注意：对于空心圆截面
D d
O
Ip
π 32
D4
d4
Wp
G → G
G
d
dx
方向垂直于半径。
三、静力关系：由横截面上的扭矩与应力的关系→应力的计算公式
03扭转zws PPT课件
解： 1.求扭矩
MeA
MeB
1
MeC
对AB段：
A1
B
C
Mx0: T1MeA0
T 1M eA35 N m 0
MeA T1
33
§3-3、传动轴的外力偶矩 扭矩和扭矩图
例 1 某传动轴受力如图所示，已知：MeA=350N·m，
MeB=1000N·m， MeC=650N·m。作此轴的扭矩图。
解： 1.求扭矩
MeA
MeB
1
MeC
2
对AB段： T135N 0m
A1
B2
C
对BC段： T265N 0 m
2.作扭矩图
350 N. m
T
+
T 65N 0m max
-
650 N. m
35
§3-3、传动轴的外力偶矩 扭矩和扭矩图
例题4-2
解:
(1)计算外力偶矩
由公式
Pk/n
36
§3-3、传动轴的外力偶矩 扭矩和扭矩图
11
§3-2、薄壁圆筒的扭转及截面上的应力计算
③ 表面纵向线倾斜，表面所有的矩形格子都变成平行四
边形，而每个直角都改变了相同的角度，这种直角 的改变量称为切应变。这种切应变是由切应力引起的， 因此在横截面的圆周上各点的切应力是相等的，
又由于t<<R0,所以我们又可假设剪应力沿厚度方向均布。
m0
m0
20
§3-2、薄壁圆筒的扭转及截面上的应力计算
3.剪切胡克定律
薄壁圆筒的T－φ 图
T
Tb
Ts
φ O 实验表明：当扭矩不超过某个极限时，扭矩T与圆筒最右端截面 相对于支座的转角φ 成正比（该比例关系和圆筒长度L，厚度t， 平均半径R0 ，以及材料本身的特性有关）。
03 扭转-2课件
理解概念最重要
计算
实验
线τ、角= 位G移γ要记牢 许用应力
4.圆7 圆轴柱形扭密圈转螺旋是弹典簧的型强度 三类关系不能少
4.几8 非何圆截物面杆理扭转静简力介 学
4.9 薄壁截面杆的自由扭转
以下刚方度程条要件记好
4.10
应 力 集 中
d d
x
G
T
Ip
强度条件
3.5 圆轴扭转变形 刚度条件
一、扭转变形 twist deformation
• 180
1.7
m
＞[θ]
结论： 第一段轴满足强度和刚度要求， 第二段轴则都不满足
例题2
MA 1
A
400
T
（N·m）
7024
MB
2
B
MC
C
200
4214.4
已知 MA = 7024 N·m MB = 2809.6 N·m MC = 4214.4 N·m
G = 80 GPa, [τ] = 70 MPa,
扭转问题中，外力或内力仅用静力平衡方程不能 完全求解，称扭转静不定问题
statically indeterminate problems in torsion
二、解法 类似拉压静不定问题
判断静不定次数 列几何方程 列物理方程
建立平衡方程 建立补充方程
联合求解
建立几何方程的变形比较法
1. 多余约束
A
Me C
Me D
B
a
a
a
A
Me C
Me D
B
a
a
a
对结构保持一定几何形状来讲不必要的约束， 如约束B（或 A）.
建立几何方程的变形比较法
材料力学(扭转) PPT课件
y
3、斜截面上的 应力分析
x
n
x
z
t
Fn 0 dA zdAcos sin dAsin cos 0
Ft 0 dA dAcos cos dAsin sin 0
sin 2
讨论：
外力偶矩的计算、扭矩和扭矩图
功率、转速和外力偶矩之间的关系
ω = 2π n /60 ，1 kW = 1000 N•m/s
功率：P 角速度： 转速：n 外力偶矩：T 功率、转速和外力偶矩之间的关系：
T P P 2n
若功率P的单位为千瓦，转速n的单位为转/分：
T 9549 P ( N m) n
T
第三章 扭转
§3-2 外力偶矩、扭矩和扭矩图
例4-1 NA=19kW,NB=44kW,
TA
NC=25kW, n=150rpm
求：作图示传动轴的扭矩图
解：1. 求外力偶
TA
TA= 9549 19 =1210Nm
150
同样 TB=2800Nm, TC=1590Nm
TA
Mn
2.截面法求内力( 设正法)
Mn IPFra bibliotek变形
Mnl GI p
强度条件 max
Mn Wp
刚度条件 d Mn 180
dx G I p
第三章的基本要求
1．掌握根据轴的传递功率和转速计算外力偶矩；
2．掌握扭转时内力（即扭矩）的计算以及扭矩图的画 法；
3．掌握扭转切应力的计算方法；
45
第三章 扭转
材料力学-第4章 扭转 ppt课件
dA
T
O
dA
23
材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
A dA T
代入：
G
G
d dx
得到：
G d 2dA T dx A
记： IP －2dA称为圆截面的极惯性矩
A
则：圆轴扭转角的变化率 d T
dx GIP
圆截面切应力
采用右手螺旋法则，如果用四指表示扭矩的转向， 拇指的指向与截面的外法线n的方向相同时，该扭矩为 正；反之，规定扭矩为负
正扭矩
负扭矩
——保证了无论从哪一段计算，扭矩的大小和符号 都相同
12
材料力学－第4章 扭转
扭力偶矩计算与扭矩
讨论：如图受扭圆轴，m-m截面上扭矩为多少？
Me
m
2M e
m m
T Me
17
材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
几何变形：
1. 横截面绕圆轴的轴线转动
？
主要
2. 圆轴中段的横截面缩小 几何变形特征
有剪切应变 rz 次要
3. 圆轴的长度略有增长
有轴向应变 z 次要
– 变形后，横截面仍保持为平面，其形状和大小均不
改变，半径仍为直线
– 变形后，相邻横截面的间距保持不变，相邻横截面 绕圆轴轴线转动一定的角度
外力偶矩的计算
• 工程中的传动轴，通常给出传动轴所传递的功率和转 速，而不直接给出外力偶矩的数值
• 设外力偶矩为Me，传动轴的功率为P，角速度为w，则
有（理论力学）
Me
P
w
外力偶矩Me 单位：N·m (牛顿·米) 功率为P 单位：J (焦耳)
03-2 杆的纵向振动与轴的扭转振动
由此得 频率方程为
D0
C
a
cos
a
L0
D=0 C=1
a 2r 1 a 2r 1 E 固有频率为 r 2 L 2 L
振型函数为
Ur
cos
L0
r 1,2,
r
a x
x Csin
r
a
x Dcos
2r 1 sin x L 2
杆纵向振动的 偏微分方程为
2u u x A x 2 EA x f x, t t x x
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2u u x A x 2 EA x f x, t t x x
E
ra r 固有频率为 r L L
0 sin L 0 a
体纵向平动
r 1,2,
r 1,2,
C=0 D=1
振型函数为
U r x cos
r x L
(3)一端固定一端自由的杆 边界条件为
U 0 0 dU x 0 dx xL
a AL 1 L M AL / 3
EA / L M AL / 3
k M AL / 3
★上式就是将杆质量的三分之一加到质量 M上所得的单自由度系 统的固有频率计算公式。 ——和瑞利法所得的结果相一致。 ★例如，附加质量M等于杆的质量时，有
0.866 E 1 L
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(1)两端固定
固定端的变形必须为零，所以固定端的边界条件为
U0 UL 0
U x C sin x D cos x
a
a
将边界条件代 入振型函数
U 0 0
D0
U L 0
C sin L 0
a
固有频率为
r
ra
L
r
L
E
D=0 C=1
r 1,2,
振型函数为
Ur
x
sin
r
L
x
r 1,2,L
(2)两端自由
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自由端的应力为零，即应变为零，自由端的边界条件为
dU x dU x 0
dx x0
dx xL
dU x
0 dx
x0
C0
U
x
C
sin
a
x
D
cos
a
x
dU x
dx
C
acosax源自sin2r 1 2
L
x
r 1,2,L
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对于上述三种边界条件：两端固定的杆； 两端自由的杆； 一端固定、一端自由的杆。
前三阶振型图为：
实例
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a
x
D
a
sin
a
x
=0，杆作刚
体纵向平动
dU x 0 D sin L 0
dx
aa
xL
固有频率为
r
ra
L
r
L
E
0
sin
a
L
0
C=0 D=1
r 1,2,
振型函数为
Ur
x cos r
L
x
r 1,2,L
(3)一端固定一端自由的杆
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xAx
2u t 2
x
EAx
u x
f x,t
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xAx
2u t 2
x
EAx
u x
f
x, t
★若杆的单位体积质量
(x)== 常 数 ， 截 面 积
A(x)=A= 常 数 ， 杆 纵 向 振 动 的偏微分方程简化为
示。微元纵向应变为
u
u x
dx
u
u
dx
x
★x截面上的内力为N； x+dx截面上的内力为
N N dx x
★内力N是x, t的函数
Nx,t Ax AxE AxE u
x
★根据牛顿 运动定律得
x
A
x
dx
2u t 2
f x,t dx N N dx N f x,t dx N dx
x
x
杆纵向振动的 偏微分方程为
L，弹性模量为E； (2)杆受分布力f(x,t)作用作纵向振动。
坐标：以u(x,t)表示杆x截面在时刻t的位移，即位移是截 面位置x和时间t的二元函数。
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★在杆上取微段dx。微元受力如图所
边界条件为
U 0 0
dU x
dx
0
xL
U
x
C
sin
a
x
D
cos
a
x
dU
dx
x
C
a
cos
a
x
D
a
sin
a
x
由此得
D 0 C cos L 0
aa
频率方程为 cos L 0
a
D=0 C=1
固有频率为
r
2r 1
2
a L
2r 1
2L
E
r 1,2,L
振型函数为
Ur
x
Csin
r
a
x Dcos r
例-1 求如图所示的上端固定、下端有一附 加质量M的等直杆作纵向振动的固有频率和 振型函数。
解：上端固定的边界条件为
u0,t 0 或 U0 0
下端具有附加质量M，在振动时产生对杆端的惯性力。 取质块为研究对象，杆对质块的作用力方向向上，下端 点的边界条件为
EA uL, t
x
M
2uL, t
t 2
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考虑到 uL,t dU L Ft
x
dx
F t Asint Bcost
2uL,
t 2
t
U
L
d
2F t
dt 2
2U
L
F
t
故下端边界条件为
由顶端边界条件 U(0)=0
EAdU L 2MU L
2u t 2
E
2u x2
1 A
f
x, t
如果f(x,t)=0，则杆纵向自由振动的偏微分方程为
2u t 2
a2
2u x2
a E a为弹性波沿x轴的传播速度。
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类似于弦的横向振动，仍然采用分离变量法求解杆 纵向振动的偏微分方程。设u(x，t)表示为
3.2 杆的纵向振动
★假设: (1)杆的横截面在振动时始终 保持为平面，并作整体运动； (2)略去杆纵向伸缩引起的横 向变形。
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已知:
(1)杆的单位体积的质量为(x)，截面积为A(x)，杆长为
ux,t UxFt
2u t 2
a2
2u x2
杆纵向自由振动的偏 微分方程可以分解为
两个常微分方程
d
2F t
dt 2
2
F
t
0
d2U
dx2
x
2U
x
0
a
0 x L
两个常微分方程的解
d
2F t
dt 2
2
F
t
0
Ft Asint Bcost
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式中： A, B为待定常 数，由两个初始条件 决定。
d2U
dx2
x
2U
x
0
a
0xL
式中： C, D为待定常 数，由两个端点的边 界条件决定。
U x C sin x Dcos x
a
a
边界条件对固有频率、振型的影响
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dx
U x Csin x Dcos x
a
a
D0
由下端边界条件
固有频率方程
dU x C cos x D sin x
dx a a a a
EA cos L 2M sin L
aa
a
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