椭圆经典解题思路
椭圆常见题型与典型方法归纳
椭圆常见题型与典型方法归纳椭圆是平面内与两个定点距离之和等于常数的点的轨迹。
这两个定点被称为椭圆的焦点，椭圆的焦距是两个焦点之间的距离。
另外，椭圆也可以被定义为平面内一个点到一个定直线距离与到一个定点距离之比等于常数的轨迹。
这个定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线，这个常数是椭圆的离心率。
需要注意的是，当两个定点之间的距离等于常数时，椭圆的轨迹是线段，而当两个定点之间的距离小于常数时，椭圆的轨迹不存在。
椭圆的标准方程有两种形式，一种是焦点在x轴上的形式，另一种是焦点在y轴上的形式。
这些方程可以用来确定椭圆的形状和位置。
需要注意的是，椭圆的焦点位置可以通过方程中分母的大小来判断。
如果分母中x的系数大于y的系数，那么焦点在y轴上，反之则在x轴上。
如果椭圆过两个定点，但焦点位置不确定，可以设椭圆方程为mx+ny=1，其中m和n都是正数。
在解题时，需要牢记椭圆的几何性质。
例如，如果一个点到椭圆的左焦点的距离是到右焦点距离的两倍，那么这个点的横坐标可以通过解方程得到。
又例如，如果一个点在椭圆上，那么它到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。
1.椭圆的基本性质椭圆方程为x2/a2 + y2/b2 = 1 (a>b>0)，其中a和b分别为长轴和短轴长。
椭圆的中心在原点(0,0)处，长轴与x轴平行。
椭圆的顶点分别为(a,0)。
(-a,0)。
(0,b)。
(0,-b)，离心率为e=c/a，其中c为焦点到中心的距离，焦距为2c。
椭圆的准线方程为y=±(b/a)x，通径方程为y=kx或x=h，其中k和h为常数。
椭圆关于x轴和y轴对称，且具有中心对称性。
椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于长轴长，即PF1 + PF2 = 2a。
椭圆上任意一点到两焦点的距离之差等于该点到准线的距离，即PF1 - PF2 = 2b。
椭圆上点的横坐标的范围为-x ≤ x ≤ x，纵坐标的范围为-y ≤ y ≤ y。
2.典型练1) 题目描述：给定椭圆方程x2/a2 + y2/b2 = 1，已知长轴位于x轴上，长轴长为8，短轴位于y轴上，短轴长为6，焦点在x轴上，焦点坐标为(5,0)和(-5,0)，求离心率e、左顶点坐标、下顶点坐标和椭圆上点的横坐标的范围、纵坐标的范围以及x+y的取值范围。
椭圆知识点以及题型总结
椭圆知识点以及题型总结一、椭圆的定义与基本性质椭圆是平面上到定点F1与F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
其中的定点F1和F2称为焦点，常数2a称为长轴的长度。
椭圆还有一个重要的参数e，称为离心率，定义为e=c/a，其中c是焦点与中心之间的距离。
椭圆是一个非常重要的几何图形，它有许多独特的性质，需要我们逐一来了解。
1. 椭圆的标准方程椭圆的标准方程一般可以表示为(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1，其中(a>b)。
其中(h,k)是椭圆的中心坐标。
2. 椭圆的焦半径和半短轴椭圆的焦半径是指从焦点到椭圆上任意一点的线段，它的长度等于椭圆的长半轴的长度a。
而椭圆的半短轴的长度等于b。
3. 相邻两焦点和任意一点的距离之和椭圆上任意一点P到椭圆的两个焦点的距离之和等于2a。
即PF1+PF2=2a。
4. 椭圆的离心率椭圆的离心率e定义为e=c/a，其中c是焦点与中心之间的距离，a是长半轴的长度。
离心率是描述椭圆形状的一个重要参数，它的取值范围为0<e<1。
5. 椭圆的参数方程椭圆还可以用参数方程来表示，一般可以表示为x=h+a*cosθ，y=k+b*sinθ。
其中θ的取值范围一般为0≤θ≤2π。
二、常见椭圆的题型及解题方法1. 椭圆的焦半径与半短轴的关系题这类题目一般给定椭圆的长半轴的长度a和离心率e，要求求出椭圆的焦半径和半短轴的长度。
解题方法:根据离心率e=c/a，可以求出焦点与中心之间的距离c，然后根据椭圆的焦点与半短轴之间的关系，可以求出半短轴的长度b。
2. 椭圆的标准方程题这类题目一般给定椭圆的焦点、长轴的长度和中心坐标，要求写出椭圆的标准方程。
解题方法:根据给定的信息，可以用(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1的形式写出椭圆的标准方程。
3. 椭圆的参数方程题这类题目一般给定椭圆的中心坐标、长半轴、半短轴的长度，要求写出椭圆的参数方程。
高考数学中的椭圆问题技巧
高考数学中的椭圆问题技巧高考椭圆题技巧高考数学复习策略和高考椭圆大题技巧对考生来说极其重要。
以下是边肖为大家整理的高考数学大椭圆题技巧内容。
希望你喜欢！高考椭圆大题技巧1。
设定点或直线一般来说，问题需要点的坐标或线性方程组，其中求解点或线性方程组的方法有很多。
该点可以设置为等于，或者如果它是椭圆上的点，也可以设置为。
一般来说，如果题目中只涉及椭圆xx上的运动点，这个点可以设置为。
还需要注意的是，很多点的坐标都是不求而设的。
对于直线，如果经过一个固定点，且不平行于Y轴，则可以设置为一个斜点；如果不平行于X轴，可以设置为参数方程，其中为直线的倾角。
一般题目涉及xx运动直线时，可以设置直线的参数方程。
二、转型条件有时题目给出的条件不直接适用或者直接使用不方便，此时需要对这些条件进行转化。
这是解决问题的关键一步。
如果翻译得巧妙，计算量可以大大减少。
例如，圆上的一个点可以转化为乘以零的向量点，三个共线性点可以转化为平行的两个向量。
如果一个角的平分线是一条水平或垂直的直线，则该角两边的斜率之和为零。
有些问题可以不通过变换直接带入条件解题，有些问题可以通过多种变换方法给出条件。
这个时候X最好不要急着做题，多想想几种变换方法，估计哪种方法更简单。
第三，代数运算在转换条件之后，没有什么可以计算的了。
在很多题目中，直线和椭圆要结合使用二次方程的vieta定理，但需要注意的是，并不是所有题目都是这样的。
有些题目可能需要计算弦长，可以用弦长公式。
设置参数方程后，弦长公式可以简化为解析几何中有时需要的面积。
如果O是坐标原点，椭圆上的两点A和B 的坐标分别是和，AB和X轴相交D，那么(d为O点到AB点的距离；我自己推了第三个公式，但是课本上没有。
几何分析中的许多问题都有移动的点或移动的线。
如果主题只涉及一个移动点，可以考虑用参数设置点。
如果只涉及一条移动的直线经过一个固定的点，而题目涉及到像求长度和面积这样的东西，那么直线的参数方程就会简单一些。
高中数学椭圆知识题型总结,高二升高三的你们复习必备
高中数学椭圆知识题型总结，高二升高三的你们复习必备
高中数学：椭圆知识题型总结，高二升高三的你们复习必备！-
或许，这就是数学的魅力吧，只需一二定理，三四公式，就可以制出成百上千道不同的题目。
今天来说说高中数学重要章节——圆锥曲线椭圆相关知识点。
椭圆题在高中数学中占据比较重要的位置，占的分数也比较多。
分析历年高考题可知，选择题、填空题、大题中都有椭圆相关的题型。
所以一定要系统的掌握知识，对各类题型和基本解题方法有一定的了解。
关于椭圆的复习指导：
1、熟悉椭圆的定义及其几何性质，能求出椭圆的标准方程。
2、掌握常见的几种数学思想方法—函数与方程、数形结合、转化与回归等。
体会解析几何的本质问题（用代数的方法解决几何问题）
为了帮助同学们更好地复习，边肖为大家整理了高中数学椭圆中的几种题型汇总。
高二高三的孩子就趁这个假期好好复习。
相信对你的数学会有帮助。
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椭圆的常见题型及解法(一)
椭圆的常见题型及其解法(一)椭圆是圆锥曲线的内容之一，也是高考的热点和重点，椭圆学习的好坏还直接影响后面的双曲线与抛物线的学习，笔者在这里就椭圆常见题型作简要的探讨，希望对学习椭圆的同学有所帮助.一、椭圆的焦半径椭圆上的任意一点到焦点F 的长称为此曲线上该点的焦半径，根据椭圆的定义，很容易推导出椭圆的焦半径公式。
在涉及到焦半径或焦点弦的一些问题时，用焦半径公式解题可以简化运算过程。
1.公式的推导设P （，）是椭圆上的任意一点，分别是椭圆的左、右焦点，椭圆，求证，。
证法1：。
因为，所以∴又因为，所以∴，证法2：设P 到左、右准线的距离分别为，由椭圆的第二定义知11PF e d ，又，所以，而。
∴，。
2.公式的应用例1 椭圆上三个不同的点A （）、B （）、C （）到焦点F （4，0）的距离成等差数列，则12x x + .解：在已知椭圆中，右准线方程为254x =，设A 、B 、C 到右准线的距离为，则、、。
∵，，，而|AF|、|BF|、|CF|成等差数列。
∴，即，。
例 2.12,F F是椭圆2214x y +=的两个焦点，P 是椭圆上的动点，求的最大值和最小值。
解：设，则1020332,2.22PF x PF x =+=-212034.4PF PF x ⋅=-P 在椭圆上，022x ∴-≤≤，12PF PF ⋅的最大值为4，最小值为1.变式练习1：. 求过椭圆的左焦点，倾斜角为的弦AB 的长度。
解：由已知可得，所以直线AB 的方程为，代入椭圆方程得设，则，从而变式练习2. 设Q 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上任意一点，求证：以2QF （或1QF ）为直径的圆C 与以长轴为直径的圆相内切。
证明：设，圆C 的半径为r即也就是说：两圆圆心距等于两圆半径之差。
故两圆相内切 同理可证以为直径的圆与以长轴为直径的圆相内切。
3.椭圆焦半径公式的变式P 是椭圆x a y b a b 222210+=>>()上一点，E 、F 是左、右焦点，PE 与x 轴所成的角为α，PF 与x 轴所成的角为β，c 是椭圆半焦距，则（1）||cos PE b a c =-2α；（2）||cos PF b a c =+2β。
最全的行星做椭圆运动的解题方法和技巧
最全的行星做椭圆运动的解题方法和技巧介绍本文旨在为解答行星的椭圆运动问题提供一些有用的方法和技巧。
椭圆运动是行星绕太阳运行的一种常见模式，理解椭圆轨道的特性对于天体力学和宇宙物理学非常重要。
椭圆轨道基本特性- 椭圆轨道是一种两个焦点固定的轨道，行星在轨道上不断绕着太阳运动。
- 椭圆轨道的主要参数包括半长轴、半短轴、离心率等。
这些参数可以帮助我们描述行星运动的形状和特征。
解题方法使用开普勒定律开普勒定律是解析行星椭圆运动问题的基础，根据开普勒定律，我们可以得到以下关系：1. 第一定律：行星轨道是一个椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上。
2. 第二定律：在相同时间内，行星扫过的面积相等。
3. 第三定律：行星公转周期的平方与它距离太阳的半长轴的立方成正比。
利用椭圆轨道方程椭圆轨道可以用一般的椭圆方程表示为：$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$其中，a是半长轴的长度，b是半短轴的长度。
通过这个方程，我们可以推导出行星在椭圆轨道上的位置和速度。
使用牛顿运动定律牛顿运动定律可以用来分析行星在椭圆轨道上的运动。
根据牛顿运动定律，我们可以得到行星的运动方程，并解析行星在任意时间的位置和速度。
技巧和注意事项- 确保对椭圆轨道的各个参数有一个清晰的理解，包括半长轴、半短轴和离心率等。
- 使用合适的数学工具，如数值计算软件或数学公式来解析椭圆运动问题。
- 注意单位的一致性，尤其是在计算公式中。
希望本文提供的方法和技巧能对解决行星的椭圆运动问题有所帮助。
请记住，实践是最好的学习方法，通过练习和实际问题的解答，您将更好地理解和掌握这些方法。
高考数学 专题09 椭圆解答题解题方法总结(解析版)
专题09椭圆解答题解题方法总结一．【学习目标】1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质．2．熟练掌握常见的几种数学思想方法——函数与方程、数形结合、转化与化归． 3．了解椭圆的实际背景及椭圆的简单应用． 二．【知识要点】 1．椭圆的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于____________)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点F 1，F 2叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距． 2．椭圆的标准方程(1) ______________ (a >b >0)，焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c ＝_____________． (2)y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，焦点___________________，其中c ＝_____________． 3．椭圆的几何性质以x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)为例 (1)范围：________________．(2)对称性：对称轴：x 轴，y 轴；对称中心：O (0，0)．(3)顶点：长轴端点：A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，短轴端点：B 1(0，－b )，B 2(0，b )；长轴长|A 1A 2|＝2a ，短轴长|B 1B 2|＝2b ，焦距|F 1F 2|＝2c .(4)离心率e ＝_______，0<e <1，e 越大，椭圆越______，e 越_______，椭圆越圆． (5)a ，b ，c 的关系：c 2＝a 2－b 2或a 2＝c 2＋b 2. 三．【题型总结】（一）三角形的面积的解题思路（1）弦长公式和点到直线距离公式，（2）如果三角形被坐标轴分成两部分，用两个三角形面积之和求解（二）定点问题（1）特殊位置找定点；（2）直线中含一个参数找定点 （三）定值问题 （四）角相等的转化 （五）距离问题的在转化 （六）相切问题的解决方法 （七）向量与椭圆的综合 （八）点差法的应用 （九）对称问题 （十）求轨迹的方法 四．【题型方法】；（一）三角形的面积问题例1．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>2y x =+上，若直线l 与椭圆交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，直线OP 的斜率为1k ，直线OQ 的斜率为2k . （1）求该椭圆的方程. （2）若1214k k ⋅=-，试问OPQ ∆的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1）2214x y +=；（2）OPQ ∆的面积为定值1. 【解析】由2c e a ==，又由于0a b >>，一个长轴顶点在直线2y x =+上， 可得：2a =，c =1b =.（1）故此椭圆的方程为2214x y +=.（2）设()11,P x y ，()22,Q x y ，当直线PQ 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+， 联立椭圆的方程得：()222418440k x kmx m +++-=， 由()()222264441440k m k m ∆=-+->，可得2241m k <+，则122841km x x k +=-+，21224441m x x k -⋅=+，12PQ x x =-=， 又点O 到直线y kx m =+的距离d =，122OPQS d PQ m ∆=⋅⋅=由于2121212121214y y x x m k k x x x x ++⋅===-，可得：22421k m =-，故2212OPQS m m∆=⋅=，当直线PQ 的斜率不存在时，可算得：1OPQ S ∆=， 故OPQ ∆的面积为定值1.练习1. 已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点为别为1F 、2F，且过点(1,2和2.（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，点A 为椭圆上一动点（非长轴端点），2AF 的延长线与椭圆交于点B ，AO 的延长线与椭圆交于点C ，求ABC ∆面积的最大值．【答案】（1）2212x y +=；（22【解析】（1）根据题意得，将点2⎛⎝⎭和23,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入椭圆方程得：2222111213124a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 解得：222,1a b ==，所以椭圆的方程为2212x y +=.（2）由（1）得椭圆的()11,0F -，()21,0F ， ①当AB 的斜率不存在时，易知2221,,1,,1,222A B C ⎛⎛⎛--- ⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴ΔABC 1S 2222=⨯= ②当AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为()1y k x =-，联立方程组()22112y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：()2222214220k x k x k +-+-= 设()()1122,,,A x y B x y ，21221222422,2121x x x k k k x k -+==++， ()22222212122242214142121k k k x x k k B x k A x ⎛⎫-=++-=+-⨯ ⎪++⎝⎭221221k k +=+， 点O 到直线AB 的距离21k d k -=+O 是线段AC 的中点，所以点C 到直线AB 的距离为2d=所以2ΔABC2111S22221dkkAB⎛⎫+=⋅=⋅ ⎪+⎝⎭==综上，ABC∆.（二）定点问题例2. 已知椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>的一个焦点与上下顶点构成直角三角形，以椭圆C的长轴长为直径的圆与直线20x y+-=相切．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设过椭圆右焦点且不重合于x轴的动直线与椭圆C相交于A、B两点，探究在x轴上是否存在定点E，使得EA EB⋅u u u r u u u r为定值？若存在，试求出定值和点E的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2212xy+=；（2）定点为5,04⎛⎫⎪⎝⎭.【解析】（1）由题意知，222b cab c a=⎧⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎩，解得11bac=⎧⎪=⎨⎪=⎩则椭圆C的方程是2212xy+=（2）①当直线的斜率存在时，设直线()()10y k x k=-≠联立()22121xyy k x⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得()22222124220,880k x k x k k+-+-=∆=+>所以2222422,1212A B A B k k x x x x k k-+==++ 假设x 轴上存在定点()0,0E x ，使得EA EB ⋅u u u v u u u v为定值。
椭圆中的阿基米德三角形问题的解题策略
椭圆中的阿基米德三角形问题的解题策略概述在数学领域中，椭圆中的阿基米德三角形问题是一道经典而又富有挑战性的题目。
它不仅考验着我们对椭圆的理解，更需要运用数学知识和解题策略来解决。
本文将从椭圆的定义入手，逐步展开对阿基米德三角形问题的解题策略讨论，希望能够让读者对这个问题有一个更深入的理解。
1. 椭圆的基本概念椭圆是平面上一点到两个给定点的距离之和等于常数的点的轨迹。
在直角坐标系中，椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$。
其中，$a$和$b$分别为椭圆在$x$轴和$y$轴上的半轴长度。
在了解了椭圆的基本概念后，我们接下来将分析如何在椭圆中构造阿基米德三角形。
2. 椭圆中的阿基米德三角形构造阿基米德三角形是指以椭圆某一焦点$F$为顶点，将椭圆与另一焦点$F'$连线的中点为顶点，椭圆上相邻两焦点为底边构造的三角形。
为了构造阿基米德三角形，我们首先需要确定椭圆的两个焦点的坐标，然后找出这两个焦点到某一点的距离之和等于常数的性质，从而确定三角形的顶点坐标。
通过这一过程，我们可以清晰地理解阿基米德三角形在椭圆中的构造原理。
3. 解题策略分析在解决椭圆中的阿基米德三角形问题时，我们需要综合运用椭圆的性质和三角几何知识。
利用椭圆的定义和性质，我们可以得到椭圆的标准方程，并进一步求解出椭圆的焦点坐标。
通过三角几何知识，我们可以建立椭圆中阿基米德三角形的顶点坐标，从而解答出题目所要求的内容。
在解题过程中，我们也要注意运用数学推理和逻辑推导，确保整个解题过程清晰明了。
4. 个人观点和理解对于椭圆中的阿基米德三角形问题，我认为关键在于深入理解椭圆的性质和阿基米德三角形的构造原理。
只有通过对椭圆的定义、性质和阿基米德三角形的构造原理进行全面地分析和掌握，才能更好地解决这一问题。
解题过程中的逻辑推理和数学推理也是至关重要的，需要我们保持清晰的头脑和严密的思维方式。
总结回顾通过本文的探讨，我们对椭圆中的阿基米德三角形问题有了全面的了解。
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椭圆标准方程典型例题例1 已知椭圆06322=-+m y mx 的一个焦点为(０,2）求m 的值．分析：把椭圆的方程化为标准方程，由2=c ,根据关系222c b a +=可求出m 的值．解:方程变形为12622=+my x ．因为焦点在y 轴上，所以62>m ，解得3>m ． 又2=c ，所以2262=-m ，5=m 适合.故5=m .例２ 已知椭圆的中心在原点，且经过点()03，P ,b a 3=,求椭圆的标准方程． 分析:因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法，求出参数a 和b (或2a 和2b )的值，即可求得椭圆的标准方程．解：当焦点在x 轴上时，设其方程为()012222>>=+b a by a x ．由椭圆过点()03，P ,知10922=+b a .又b a 3=，代入得12=b ，92=a ,故椭圆的方程为1922=+y x ． 当焦点在y 轴上时,设其方程为()012222>>=+b a bx a y ．由椭圆过点()03，P ,知10922=+ba ．又b a 3=，联立解得812=a ,92=b ，故椭圆的方程为198122=+x y ． 例3 ABC ∆的底边16=BC ,AC 和AB 两边上中线长之和为30,求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹.分析：(１)由已知可得20=+GB GC ,再利用椭圆定义求解．(2）由G 的轨迹方程G 、A 坐标的关系,利用代入法求A 的轨迹方程.解： (1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆,且除去轴上两点.因10=a ,8=c ,有6=b ，故其方程为()013610022≠=+y y x . (2）设()y x A ，，()y x G ''，,则()013610022≠'='+'y y x . ① 由题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='='33yy x x ，代入①，得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）．例４ 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为354和352，过P 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点,求椭圆方程. 解:设两焦点为1F 、2F ,且3541=PF ，3522=PF ．从椭圆定义知52221=+=PF PF a ．即5=a . 从21PF PF >知2PF 垂直焦点所在的对称轴,所以在12FPF Rt ∆中，21sin 1221==∠PF PF F PF , 可求出621π=∠F PF ,3526cos21=⋅=πPF c ,从而310222=-=c a b ．∴所求椭圆方程为1103522=+y x 或1510322=+y x . 例5 已知椭圆方程()012222>>=+b a by a x ,长轴端点为1A ，2A ，焦点为1F ，2F ,P 是椭圆上一点，θ=∠21PA A ,α=∠21PF F .求：21PF F ∆的面积(用a 、b 、α表示）． 分析：求面积要结合余弦定理及定义求角α的两邻边，从而利用C ab S sin 21=∆求面积．解：如图,设()y x P ，，由椭圆的对称性，不妨设()y x P ，，由椭圆的对称性,不妨设P 在第一象限．由余弦定理知: 221F F 2221PF PF +=12PF -·224cos c PF =α．① 由椭圆定义知： a PF PF 221=+ ②,则－①②2得 αcos 12221+=⋅b PF PF ． 故αsin 212121PF PF S PF F ⋅=∆ ααsin cos 12212+=b 2tan 2αb =.例6 已知动圆P 过定点()03，-A ,且在定圆()64322=+-y x B ：的内部与其相内切,求动圆圆心P 的轨迹方程. 分析：关键是根据题意，列出点P 满足的关系式.解:如图所示，设动圆P 和定圆B 内切于点M ．动点P 到两定点，即定点()03，-A 和定圆圆心()03，B 距离之和恰好等于定圆半径， 即8==+=+BM PB PM PB PA .∴点P 的轨迹是以A ,B 为两焦点,半长轴为4，半短轴长为73422=-=b 的椭圆的方程：171622=+y x ． 说明：本题是先根据椭圆的定义,判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程,求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法.例7 已知椭圆1222=+y x ，（1)求过点⎪⎭⎫ ⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在直线的方程; （2)求斜率为２的平行弦的中点轨迹方程；(3)过()12，A 引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程; (4）椭圆上有两点P 、Q ,O 为原点，且有直线OP 、OQ 斜率满足21-=⋅OQ OP k k , 求线段PQ 中点M 的轨迹方程．分析：此题中四问都跟弦中点有关,因此可考虑设弦端坐标的方法．解:设弦两端点分别为()11y x M ，，()22y x N ，，线段MN 的中点()y x R ，，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④，③，②，①，y y y x x x y x y x 222222212122222121①-②得()()()()022*******=-++-+y y y y x x x x . 由题意知21x x ≠,则上式两端同除以21x x -,有()()0221212121=-+++x x y y y y x x ,将③④代入得022121=--+x x y y yx ．⑤（1)将21=x ，21=y 代入⑤,得212121-=--x x y y ，故所求直线方程为: 0342=-+y x ． ⑥ 将⑥代入椭圆方程2222=+y x 得041662=--y y ，0416436>⨯⨯-=∆符合题意，0342=-+y x 为所求．（2）将22121=--x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为: 04=+y x ．（椭圆内部分)（3)将212121--=--x y x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 022222=--+y x y x .（椭圆内部分)(4）由①+②得 ：()2222212221=+++y y x x ， ⑦， 将③④平方并整理得 212222124x x x x x -=+， ⑧， 212222124y y y y y -=+, ⑨将⑧⑨代入⑦得:()224424212212=-+-y y y x x x ， ⑩ 再将212121x x y y -=代入⑩式得: 221242212212=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-x x y x x x ， 即 12122=+y x ． 此即为所求轨迹方程．当然,此题除了设弦端坐标的方法,还可用其它方法解决.例8 已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=． （1)当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？ （2）若直线被椭圆截得的弦长为5102,求直线的方程． 解：（1）把直线方程m x y +=代入椭圆方程1422=+y x 得 ()1422=++m x x ，即012522=-++m mx x ．()()020*********≥+-=-⨯⨯-=∆m m m ，解得2525≤≤-m . (2)设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x ，2x ，由（1)得5221mx x -=+，51221-=m x x .根据弦长公式得 ：51025145211222=-⨯-⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+m m ．解得0=m .方程为x y =． 说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题,采用的方法与处理直线和圆的有所区别.这里解决直线与椭圆的交点问题,一般考虑判别式∆；解决弦长问题，一般应用弦长公式． 用弦长公式,若能合理运用韦达定理(即根与系数的关系），可大大简化运算过程.例9 以椭圆131222=+y x 的焦点为焦点,过直线09=+-y x l ：上一点M 作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短,点M 应在何处?并求出此时的椭圆方程．分析:椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，只须利用对称就可解决．解:如图所示,椭圆131222=+y x 的焦点为()031，-F ,()032，F . 点1F 关于直线09=+-y x l ：的对称点F 的坐标为（－9，６），直线2FF 的方程为032=-+y x ．解方程组⎩⎨⎧=+-=-+09032y x y x 得交点M 的坐标为(－5,４)．此时21MF MF +最小．所求椭圆的长轴:562221==+=FF MF MF a ,∴53=a ,又3=c ，∴()3635322222=-=-=c a b ．因此，所求椭圆的方程为1364522=+y x ． 例10 已知方程13522-=-+-ky k x 表示椭圆,求k 的取值范围．例11 解:由⎪⎩⎪⎨⎧-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53<<k ,且4≠k .∴满足条件的k 的取值范围是53<<k ,且4≠k . 说明:本题易出现如下错解：由⎩⎨⎧<-<-,03,05k k 得53<<k ，故k 的取值范围是53<<k .出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中0>>b a 这个条件，当b a =时，并不表示椭圆． 例12 已知1cos sin 22=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆,求α的取值范围. 分析：依据已知条件确定α的三角函数的大小关系.再根据三角函数的单调性,求出α的取值范围.解：方程可化为1cos 1sin 122=+ααy x .因为焦点在y 轴上,所以0sin 1cos 1>>-αα. 因此0sin >α且1tan -<α从而)43,2(ππα∈. 说明:(１)由椭圆的标准方程知0sin 1>α,0cos 1>-α,这是容易忽视的地方．（2)由焦点在y 轴上，知αcos 12-=a ,αsin 12=b . (３）求α的取值范围时，应注意题目中的条件πα<≤0．例１２ 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过)2,3(-A 和)1,32(-B 两点的椭圆方程. 分析：由题设条件焦点在哪个轴上不明确，椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便起见，可设其方程为122=+ny mx (0>m ,0>n ),且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，直接可求出方程.解：设所求椭圆方程为122=+ny mx (0>m ，0>n ）.由)2,3(-A 和)1,32(-B 两点在椭圆上可得⎪⎩⎪⎨⎧=⋅+-⋅=-⋅+⋅,11)32(,1)2()3(2222n m n m 即⎩⎨⎧=+=+,112,143n m n m 所以151=m ,51=n ．故所求的椭圆方程为151522=+y x . 例13 知圆122=+y x ,从这个圆上任意一点P 向y 轴作垂线段，求线段中点M 的轨迹． 分析:本题是已知一些轨迹,求动点轨迹问题．这种题目一般利用中间变量(相关点）求轨迹方程或轨迹. 解:设点M 的坐标为),(y x ，点P 的坐标为),(00y x ,则2x x =，0y y =． 因为),(00y x P 在圆122=+y x 上，所以12020=+y x .将x x 20=,y y =0代入方程12020=+y x 得1422=+y x .所以点M 的轨迹是一个椭圆1422=+y x . 说明:此题是利用相关点法求轨迹方程的方法,这种方法具体做法如下:首先设动点的坐标为),(y x ,设已知轨迹上的点的坐标为),(00y x ，然后根据题目要求，使x ，y 与0x ,0y 建立等式关系,从而由这些等式关系求出0x 和0y 代入已知的轨迹方程，就可以求出关于x ,y 的方程, 化简后即我们所求的方程．这种方法是求轨迹方程的最基本的方法,必须掌握. 例14 已知长轴为１2，短轴长为6,焦点在x 轴上的椭圆,过它对的左焦点1F 作倾斜解为3π的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长.分析:可以利用弦长公式]4))[(1(1212212212x x x x k x x k AB -++=-+=求得， 也可以利用椭圆定义及余弦定理,还可以利用焦点半径来求. 解:（法１)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．2121x x k AB -+=]4))[(1(212212x x x x k -++=.因为6=a ，3=b ，所以33=c ．因为焦点在x 轴上，所以椭圆方程为193622=+y x ，左焦点)0,33(-F ，从而直线方程为93+=x y ． 由直线方程与椭圆方程联立得:0836372132=⨯++x x ．设1x ，2x 为方程两根,所以1337221-=+x x ,1383621⨯=x x ,3=k ， 从而1348]4))[(1(1212212212=-++=-+=x x x x k x x k AB . (法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解．由题意可知椭圆方程为193622=+y x ，设m AF =1，n BF =1,则m AF -=122，n BF -=122. 在21F AF ∆中,3cos22112212122πF F AF F F AF AF -+=,即21362336)12(22⋅⋅⋅-⋅+=-m m m ； 所以346-=m .同理在21F BF ∆中，用余弦定理得346+=n ，所以1348=+=n m AB .(法３)利用焦半径求解．先根据直线与椭圆联立的方程0836372132=⨯++x x 求出方程的两根1x ，2x ,它们分别是A ,B 的横坐标. 再根据焦半径11ex a AF +=，21ex a BF +=,从而求出11BF AF AB +=.例15 椭圆192522=+y x 上的点M 到焦点1F 的距离为２，N 为1MF 的中点，则ON (O 为坐标原点）的值为A.４ B ．2 C.8 D ．23解：如图所示，设椭圆的另一个焦点为2F ,由椭圆第一定义得10221==+a MF MF ,所以82101012=-=-=MF MF ,又因为ON 为21F MF ∆的中位线，所以4212==MF ON ,故答案为Ａ． 说明:(1)椭圆定义：平面内与两定点的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆．(2)椭圆上的点必定适合椭圆的这一定义,即a MF MF 221=+，利用这个等式可以解决椭圆上的点与焦点的有关距离．例16 已知椭圆13422=+y x C ：，试确定m 的取值范围，使得对于直线m x y l +=4：，椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称．分析:若设椭圆上A ,B 两点关于直线l 对称,则已知条件等价于:(1)直线l AB ⊥;(2)弦AB 的中点M 在l 上.利用上述条件建立m 的不等式即可求得m 的取值范围. 解:（法1)设椭圆上),(11y x A ,),(22y x B 两点关于直线l 对称,直线AB 与l 交于),(00y x M 点. ∵l 的斜率4=l k ，∴设直线AB 的方程为n x y +-=41.由方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=,134,4122yx n x y 消去y 得 0481681322=-+-n nx x ①。