【步步高】2014届高考数学一轮复习 3.2.2 空间线面关系的判定(一)备考练习 苏教版

3.2.2 空间线面关系的判定(一)

——平行关系的判定

一、基础过关

1． 空间直角坐标系中A (1,2,3)，B (－1,0,5)，C (3,0,4)，D (4,1,3)，则直线AB 与CD 的位

置关系为________(平行、垂直或无法确定)．

2． 已知平面α的一个法向量是n ＝(1,1,1)，A (2,3,1)，B (1,3,2)，则直线AB 与平面α的

关系是______________．

3． 已知直线l 与平面α垂直，直线的一个方向向量为u ＝(1,3，z )，向量v ＝(3，－2,1)

与平面α平行，则z ＝________.

4． 已知A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (0,1,0)，D (1,1，x )，若AD ⊂平面ABC ，则实数x 的值是_____． 5． 若平面α的一个法向量为u 1＝(－3，y,2)，平面β的一个法向量为u 2＝(6，－2，z )，

且α∥β，则y ＋z ＝________. 6．

如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、P 、Q 分别为棱AB 、CD 、BC 的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则 ①A 1M ∥D 1P ； ②A 1M ∥B 1Q ； ③A 1M ∥平面DCC 1D 1； ④A 1M ∥平面D 1PQB 1.

以上结论中正确的是__________(填序号)． 二、能力提升

7． 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 、AC 上的点，A 1M ＝AN ＝

2

3

a ，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是________．

8．

如图所示，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是CC 1、C 1D 1、D 1D 、DC 的中点，N 是BC 中点，点M 的四边形EFGH 及其内部运动，则M 只须满足条件________时，MN ∥平

面B1BDD1(请填上你认为正确的一条即可)．

9．

如图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H、M、N分别是正方体六个表面的中心，试确定平面EFG和平面HMN的位置关系．

10．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：B1C∥平面ODC1.

11．

如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是线段EF 的中点．求证：AM∥平面BDE.

12．

如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2，BB1＝3，D是A1C1的中点．证明：A1B∥平面B1DC.

三、探究与拓展

13．

如图所示，在正方体AC1中，O为底面ABCD中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?

答案

1．平行 2．AB ∥α或AB ⊂α 3．3 4．0 5．－3 6．①③④ 7．平行 8．M 在FH 上 9．

解 如图，建立空间直角坐标系D —xyz ，设正方体的棱长为2，

易得E (1,1,0)，F (1,0,1)，G (2,1,1)，H (1,1,2)，M (1,2,1)，N (0,1,1)． ∴EF →＝(0，－1,1)，EG →

＝(1,0,1)， HM →＝(0,1，－1)，HN →

＝(－1,0，－1)．

设m ＝(x 1，y 1，z 1)，n ＝(x 2，y 2，z 2)分别是平面EFG ，平面HMN 的法向量， 由⎩

⎪⎨

⎪⎧

m ·EF →＝0

m ·EG →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧

－y 1＋z 1＝0，

x 1＋z 1＝0，

令x 1＝1，得m ＝(1，－1，－1)． 由⎩⎪⎨

⎪⎧

n ·HM →＝0，

n ·HN →＝0，

得⎩⎪⎨⎪

⎧

y 2－z 2＝0，－x 2－z 2＝0，

令x 2＝1，得n ＝(1，－1，－1)． ∴m ＝n ，故m ∥n ， 即平面EFG ∥平面HMN . 10．证明

建系如图，设正方体的棱长为1，则可得

B 1(1,1,1)，

C (0,1,0)，

O (12，1

2，1)，C 1(0,1,1)，

B 1

C →

＝(－1,0，－1)，

OD →＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫－12，－12，－1， OC 1→＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫－12，12，0.

设平面ODC 1的法向量为n ＝(x 0，y 0，z 0)，则⎩⎪⎨

⎪⎧

n ·OD →＝0

n ·OC 1→＝0

得⎩⎪⎨⎪⎧

－12x 0

－1

2y 0

－z 0

＝0 ①－12x 0

＋1

2y 0

＝0 ②

令x 0＝1，得y 0＝1，z 0＝－1，

∴n ＝(1,1，－1)． 又B 1C →

·n ＝－1×1＋0×1＋(－1)×(－1)＝0， ∴B 1C →

⊥n ，又B 1C ⊄平面ODC 1， ∴B 1C ∥平面ODC 1. 11．

证明 建立如图所示的空间直角坐标系． 设AC ∩BD ＝N ，连结NE ， 则点N 、E 的坐标分别是

⎝ ⎛⎭⎪⎫2

2，22，0、(0,0,1)．

∴NE →＝⎝ ⎛

⎭

⎪⎫－22，－22，1.

又点A 、M 的坐标分别是(2，2，0)、⎝ ⎛⎭

⎪⎫2

2，22，1， ∴AM →＝⎝ ⎛

⎭

⎪⎫－22，－22，1.

∴NE →＝AM →

，且A ∉NE ，∴NE ∥AM . 又∵NE ⊂平面BDE ，AM ⊄平面BDE ， ∴AM ∥平面BDE . 12．

证明 如图，以B 为坐标原点，分别以BA ，BC ，BB 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则B 1(0,0,3)，

C (0，2，0)，