RSA密码
RSA算法加密流程
RSA算法加密流程1.密钥生成：1.随机选择两个不相等的质数p和q，并计算它们的乘积n=p*q。
2.计算φ(n)=(p-1)*(q-1)，φ(n)被称为欧拉函数。
3.随机选择一个整数e，满足1<e<φ(n)且e与φ(n)互质。
4.计算e关于φ(n)的模反元素d，即满足(e*d)%φ(n)=15.公钥为(n,e)，私钥为(n,d)，其中(n,e)对外公开，(n,d)保密保存。
2.加密过程：1.将明文消息转换为对应的整数M，满足0≤M<n。
2.使用公钥(n,e)对明文进行加密，计算密文C=(M^e)%n。
3.解密过程：1.使用私钥(n,d)对密文进行解密，计算明文消息M=(C^d)%n。
下面对RSA算法的加密流程进行详细解释：1.密钥生成：在此步骤中，需要生成一对公钥和私钥。
公钥(n,e)由生成的两个质数p和q的乘积n以及另一个整数e组成。
私钥(n,d)由n和e的一些衍生数学属性得到。
首先，在这一步中，随机选择两个不相等的质数p和q。
质数的选择尽量要大，并且保密。
然后计算乘积n=p*q，这将成为模数。
接着计算欧拉函数φ(n)=(p-1)*(q-1)，它表示小于n且与n互质的整数的个数。
接下来，随机选择一个整数e，满足条件1<e<φ(n)且e与φ(n)互质。
互质的意思是e和φ(n)之间没有公因数。
然后，计算e关于φ(n)的模反元素d，即满足(e*d)%φ(n)=1、在这里，可以使用扩展欧几里得算法来计算d。
最后，公钥为(n,e)，私钥为(n,d)，其中(n,e)对外公开，(n,d)需要保密保存。
2.加密过程：在这一步中，使用公钥(n,e)对明文消息进行加密。
首先，将明文消息转换为对应的整数M，满足条件0≤M<n。
然后，计算密文C=(M^e)%n。
这里使用了模幂运算来保持计算效率。
3.解密过程：在这一步中，使用私钥(n,d)对密文进行解密。
首先，计算明文消息M=(C^d)%n。
RSA加密算法及实现
RSA加密算法及实现RSA加密算法是一种非对称加密算法，广泛应用于网络通信中的数据加密和数字签名等方面。
RSA算法的核心思想是基于大数分解的难解性问题，通过数论中的数学原理实现加密过程。
下面将详细介绍RSA加密算法的原理和实现。
RSA算法的原理如下：1.密钥的生成：-随机选择两个不同的大质数p和q。
-计算n=p*q。
-计算欧拉函数φ(n)=(p-1)*(q-1)。
-选择一个整数e，使得1<e<φ(n)，且e与φ(n)互质。
- 计算e关于φ(n)的模反元素d，使得d * e ≡ 1 (modφ(n))。
-公钥为(n,e)，私钥为(n,d)。
2.加密算法：-将明文m转化为整数。
- 计算密文c = m^e mod n。
3.解密算法：- 计算明文m = c^d mod n。
1.密钥的生成：首先，使用一个大数库来生成大质数p和q，确保p和q均为质数。
然后，计算n=p*q，并计算φ(n)=(p-1)*(q-1)。
选择一个合适的e，可以是小于φ(n)的质数或者与φ(n)互质的数。
使用扩展欧几里德算法，计算e关于φ(n)的模反元素d。
最终得到公钥为(n,e)，私钥为(n,d)。
2.加密算法：将明文m转化为整数。
然后，使用快速模幂算法计算密文c = m^e mod n。
3.解密算法：使用快速模幂算法，计算明文m = c^d mod n。
需要注意的是，RSA算法对加密和解密的数据长度有限制，一般建议将要加密的数据分块进行加密。
同时，为了增强安全性，一般会使用大的素数来生成密钥。
总结：RSA加密算法是一种非对称加密算法，通过数论中的数学原理实现加密过程。
它的核心思想是基于大数分解的难解性问题。
RSA算法的实现需要生成密钥对、加密和解密三个步骤。
密钥的生成需要随机选择两个大质数，并进行相应的计算。
加密算法通过快速模幂算法进行加密，解密算法也通过快速模幂算法进行解密。
RSA算法在实际应用中广泛用于保护数据的机密性和完整性，同时也是数字签名等功能实现的基础。
rsa算法的原理
rsa算法的原理RSA算法是一种公钥密码算法，它经常被用于信息安全领域中的加密和数字签名等方面，是目前最广泛使用的公钥加密算法之一。
本文将介绍RSA算法的原理，从密钥生成、加密和解密三个方面详细讲解。
一、密钥生成RSA算法是一种基于大素数因子分解的加密方法，其密钥包括公钥和私钥两部分。
公钥由两个参数n和e组成，其中n为两个大质数p和q 的乘积，e为整数且满足1<e<φ(n)且e与φ(n)互质。
私钥由两个参数n和d组成，其中n相同，d为整数，满足ed≡1(modφ(n))，φ(n)=(p-1)(q-1)是欧拉函数。
密钥生成的具体流程如下：1.选取两个不同的大质数p和q，并计算它们的积n=p*q。
2.计算φ(n)=(p-1)*(q-1)。
3.选取一个大于1且小于φ(n)的整数e，使得e与φ(n)互质。
4.使用扩展欧几里得算法计算出d。
具体地，我们需要求出方程ed=k*φ(n)+1的正整数解d。
5.将n和e组成公钥，n和d组成私钥。
二、加密RSA算法的加密过程如下：1.将明文M转化为整数m，确保0 <= m < n。
2.计算密文C = m^e mod n。
其中，C为密文。
三、解密RSA算法的解密过程如下：1.将密文C转化为整数c，确保0 <= c < n。
2.计算明文M = c^d mod n。
当然，在实际应用中还需要考虑信息安全领域常常面临的各种攻击手段，比如重放攻击、中间人攻击等等。
此外，RSA算法的安全性也与密钥长度有关。
通常情况下，我们需要保证密钥长度足够长，这样攻击者才会愈发显得无能为力。
综上所述，RSA算法是一种基于大素数不易分解原理的公钥密码算法。
密钥包括公钥和私钥两部分，其加密和解密过程都依赖于密钥的组成。
在使用时需要注意信息安全问题，并根据具体应用需求确定密钥长度。
RSA公钥密码体制简介
32
例：
计算: 152013(mod 2539) 13 23 1 22 0 2 1 1101 B
(e3 , e2 , e1, e0 ) (1,1,0,1)
152013 mod2539
(((1520e3 )2 1520e2 )2 1520e1 )2 1520e0 (mod 2539) ((15202 1520)2 15200 )2 1520 (mod 2539)
14
RSA算法论证
假设截获密文C，从中求出明文M。他知道 M≡Cd mod n ，
因为n是公开的，要从C中求出明文M，必须先求 出d，而d是保密的。但他知道，
ed≡1 mod φ(n)， e是公开的，要从中求出d，必须先求出φ(n)，而 φ(n)是保密的。但他又知道，
φ(n)=(p-1)(q-1)，
9
RSA算法论证
于是，M tφ(n) ＝bq+1，其中b为某整数。 两边同乘M， M tφ(n)+1 ＝bqM+M 。 因为M＝ap，故 M tφ(n)+1 ＝bqap+M =abn+M 。 取模n得， M φ(n)+1 ＝M mod n 。
10
RSA算法论证
第二种情况：M＝0 当M＝0时，直接验证，可知命题成立。
加密过程：c=me mod n 解密过程：m=cd mod n
3
2、工作原理
定义：任给一个正整数m，如果用m去除任意两个整 数a、b所得的余数相同，称a、b对模m同余。记 为： a bmodm，若余数不同，则a、b对模m不同余。 记为： a b modm。
定理： a bmodm ，当且仅当m|(a-b)。
密码基础知识（2）以RSA为例说明加密、解密、签名、验签
密码基础知识（2）以RSA为例说明加密、解密、签名、验签⼀、RSA加密简介 RSA加密是⼀种⾮对称加密。
是由⼀对密钥来进⾏加解密的过程，分别称为公钥和私钥。
具体查看⼆，公钥加密算法和签名算法我们从公钥加密算法和签名算法的定义出发，⽤⽐较规范的语⾔来描述这⼀算法，以RSA为例。
2.1，RSA公钥加密体制RSA公钥加密体质包含如下3个算法：KeyGen（密钥⽣成算法），Encrypt（加密算法）以及Decrypt（解密算法）。
1）密钥⽣成算法以安全常数作为输⼊，输出⼀个公钥PK，和⼀个私钥SK。
安全常数⽤于确定这个加密算法的安全性有多⾼，⼀般以加密算法使⽤的质数p的⼤⼩有关。
越⼤，质数p⼀般越⼤，保证体制有更⾼的安全性。
在RSA中，密钥⽣成算法如下：算法⾸先随机产⽣两个不同⼤质数p和q，计算N=pq。
随后，算法计算欧拉函数接下来，算法随机选择⼀个⼩于的整数e，并计算e关于的模反元素d。
最后，公钥为PK=(N, e)，私钥为SK=（N, d）。
2）加密算法以公钥PK和待加密的消息M作为输⼊，输出密⽂CT。
在RSA中，加密算法如下：算法直接输出密⽂为3）解密算法以私钥SK和密⽂CT作为输⼊，输出消息M。
在RSA中，解密算法如下：算法直接输出明⽂为。
由于e和d在下互逆，因此我们有： 所以，从算法描述中我们也可以看出：公钥⽤于对数据进⾏加密，私钥⽤于对数据进⾏解密。
当然了，这个也可以很直观的理解：公钥就是公开的密钥，其公开了⼤家才能⽤它来加密数据。
私钥是私有的密钥，谁有这个密钥才能够解密密⽂。
否则⼤家都能看到私钥，就都能解密，那不就乱套了。
2.2，RSA签名体制签名体制同样包含3个算法：KeyGen（密钥⽣成算法），Sign（签名算法），Verify（验证算法）。
1）密钥⽣成算法同样以安全常数作为输⼊，输出⼀个公钥PK和⼀个私钥SK。
在RSA签名中，密钥⽣成算法与加密算法完全相同。
2）签名算法以私钥SK和待签名的消息M作为输⼊，输出签名。
rsa的原理
rsa的原理RSA加密算法原理及应用RSA加密算法是一种非对称加密算法，由三位数学家Rivest、Shamir和Adleman在1977年提出，是目前最广泛使用的公钥加密算法之一。
RSA算法的安全性基于大数分解的困难性，即对于一个非常大的合数，要将其分解成两个质数的乘积是非常困难的。
RSA算法的原理是基于数学中的欧拉定理和扩展欧几里得算法。
首先，选择两个大质数p和q，计算它们的乘积n=p*q，然后选择一个整数e，使得e与(p-1)*(q-1)互质。
接着，计算e关于(p-1)*(q-1)的模反元素d，即满足(e*d) mod (p-1)*(q-1)=1的整数d。
此时，公钥为(n,e)，私钥为(n,d)。
加密时，将明文m转换为整数M，然后计算密文C=M^e mod n。
解密时，将密文C转换为整数C，然后计算明文m=C^d mod n。
由于只有知道私钥才能解密，因此RSA算法是一种非对称加密算法。
RSA算法的应用非常广泛，例如在电子商务、数字签名、SSL/TLS 协议等领域都有广泛的应用。
在电子商务中，RSA算法可以用于保护用户的隐私信息，例如信用卡号、密码等。
在数字签名中，RSA 算法可以用于验证数字签名的合法性，保证数字签名的真实性和完整性。
在SSL/TLS协议中，RSA算法可以用于保护网络通信的安全性，例如HTTPS协议中的SSL证书就是基于RSA算法实现的。
虽然RSA算法是一种非常安全的加密算法，但是它也存在一些缺点。
首先，RSA算法的加密和解密速度比较慢，因为它需要进行大数运算。
其次，RSA算法的安全性依赖于大数分解的困难性，如果有一种更快速的算法可以有效地分解大数，那么RSA算法的安全性就会受到威胁。
因此，为了保证RSA算法的安全性，需要选择足够大的质数p和q，以及足够长的密钥长度。
RSA算法是一种非常重要的加密算法，它在保护网络通信、保护用户隐私、验证数字签名等方面都有广泛的应用。
虽然RSA算法存在一些缺点，但是它仍然是目前最广泛使用的公钥加密算法之一。
rsa加密算法的工作原理
rsa加密算法的工作原理RSA加密算法是一种非对称加密算法，它的工作原理基于数论中的两个重要问题：大整数的质因数分解和模幂运算。
RSA算法的安全性依赖于这两个问题的困难性，即在可接受的时间内无法通过已知的算法解决。
RSA加密算法的工作原理可以简要概括为以下几个步骤：密钥生成、加密和解密。
密钥生成。
RSA算法需要生成一对密钥，包括公钥和私钥。
公钥可以公开，而私钥则保密。
生成密钥的过程如下：1. 选择两个大素数p和q，并计算它们的乘积n=p*q；2. 计算n的欧拉函数φ(n)=(p-1)*(q-1)；3. 选择一个整数e，1<e<φ(n)，且e与φ(n)互质；4. 计算e对于φ(n)的模反元素d，即满足(d*e) mod φ(n) = 1；5. 公钥为(n,e)，私钥为(n,d)。
接下来，加密过程。
假设Bob想要向Alice发送一条加密信息，他需要使用Alice的公钥进行加密。
加密的过程如下：1. Bob将明文消息转换为整数m，确保m小于n；2. Bob使用公钥(n,e)对消息进行加密，计算密文c=(m^e) mod n；3. Bob将密文c发送给Alice。
解密过程。
Alice接收到Bob发送的密文后，使用自己的私钥进行解密。
解密的过程如下：1. Alice使用私钥(n,d)对密文进行解密，计算明文消息m=(c^d) mod n；2. Alice得到解密后的明文消息m，进行进一步处理或者阅读。
RSA算法的安全性基于大整数的质因数分解问题的困难性。
在当前的计算能力下，对于足够大的整数n，找到其质因数p和q是非常困难的。
因此，即使知道了公钥(n,e)，也难以推算出私钥(n,d)。
RSA算法还具有一些其他的特性和应用：1. 密钥交换：Alice和Bob可以通过RSA算法中的公钥进行密钥交换，从而实现安全的通信。
他们可以使用对方的公钥进行加密，然后使用自己的私钥进行解密，确保只有对方能够解密消息。
rsa公私钥指数、系数(模数)分解_概述及解释说明
rsa公私钥指数、系数(模数)分解概述及解释说明1. 引言1.1 概述:在现代密码学中，RSA算法是一种非常重要的加密算法。
它是以其发明者Rivest、Shamir、Adleman三位科学家姓氏命名的，被广泛应用于安全通信、数字签名等领域。
RSA算法基于两个大素数之间的乘积难以分解这一数学问题，通过对其进行适当的加密和解密操作，实现了信息的保密性和完整性。
1.2 文章结构:本文将重点介绍RSA公私钥指数和系数（模数）的概念及其作用，在此基础上详细阐述了如何分解RSA公钥和私钥。
文章主要包括以下几个部分：引言、RSA 公私钥指数、RSA公私钥系数(模数)以及分解RSA公钥和私钥的方法。
1.3 目的:本文主要旨在提供对于RSA公私钥指数与系数（模数）的深入理解，并描述了关键概念及其作用。
同时，将介绍分解RSA公钥和私钥方法，旨在帮助读者更好地理解RSA加密算法，并为进一步研究与应用提供相关背景知识。
以上是"1. 引言"部分的详细内容，希望对你的文章撰写有所帮助。
如有其他问题，请随时提问。
2. RSA公私钥指数2.1 公钥指数在RSA加密算法中，公钥指数是由两个部分组成的：指数e和模数n。
指数e 是一个大于1且小于φ(n)的整数，其中φ(n)表示欧拉函数。
通常情况下，指数e 被选择为一个较小的质数。
模数n则是两个较大的质数p和q的乘积，即n = p * q。
公钥指数用于对数据进行加密。
2.2 私钥指数私钥指数也由两部分组成：指数d和模数n。
与公钥不同的是，私钥指数中的d 需要满足以下条件：(e * d) mod φ(n) = 1。
通过使用扩展欧几里得算法，可以计算得出满足该条件的私钥指数d。
类似地，模数n同样是由两个较大的质数p 和q相乘得到。
RSA公私钥指数组合起来形成了RSA加密算法所需的密钥对。
公钥用于加密数据，并且只能用于加密操作；而私钥则用于解密已经加密的数据，并且可以进行数字签名等操作。
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782741/863 = 907 = q 因此， (n) (p 1)(q 1) 862 906 780972 。以广义辗转相除法得
1.4
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第6章
RSA密码
公开密匙密码系统
6.1 公开密匙密码系统
（1）将一已加密的信息m解密，即可还原m，即 DBob (EBob (m)) m （2）加密以及解密函数 EBob () 、 DBob () 必须是容易计算的。 （3）公开加密函数 EBob () ，并不会提供任何简易计算解密函数 DBob () 的方 法，在实际应用中，这意味着只有Bob才能将任何经加密函数 EBob () 加密 的信息有效地解密，也只有Bob知道“陷门”（Trapdoor）从而有效计 算 DBob ()。 （4）若将任何信息m先用解密函数运算，再用加密函数运算，亦可还原信 息m，即 EBob (DBob (m)) m
且
E(D(m)) m (mod n)
1.12
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第6章
RSA密码
RSA修订版
令Alice想将明文m加密成密文c传至Bob，而Bob将密文c解密还 原成明文m。 •密匙产生 Bob取相异质数p、q（保密），计算RSA模数n=pq，将其公开，
取e为密钥将其公开，其中e必须与 Bob的公开密钥为(n,e)；计算 互质， (n) lcm(p 1,q 1)
定义 单向陷门函数，Trapdoor One-Way Function
函数 EBob () 若满足性质（1）、（2）、（3），就称为单向陷门函数， 若性质（1）、（2）、（3）、（4）皆满足，就称为单向陷门置换 （Trapdoor One-Way Permutation）。
1.5
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第6章
d e1 (mod (n)) dp d (mod p 1) dq d (mod q 1) xq q1 (mod p)
Bob的私钥为
(n,d,dp ,dq , x q )
将密文c传给Bob。
•加密 Alice取得Bob的公开密钥(n,e)，用加密函数计算
c E(m) me (mod n)
1.17
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第6章
RSA密码
签名还原 • 签名还原
Alice收到了Bob的“数字签名”，经过计算
m se (mod n) 1708317869139465533751231 (mod 24206811682801236799169) 279927250081200479782
=(2, 15, 2, 0, 3, 18, 1, 3, 11, 5, 4, 0, 18, 19, 1)27 ' bob cracked rsa ' ,
RSA密码
数字封装
1.6
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第6章
RSA密码
RSA算法
6.2 RSA算法
• 密匙产生：
Bob取相异质数p、q（保密），计算RSA模数（RSA Modulus）n=pq，将其公开，取 e为加密密钥将其公开，其中e必须与φ(n)互质，在此情况下， (n) (p 1)(q 1) Bob的公开密钥为(n,e)；Bob计算d为解密密钥（保密），(n,d)为Bob的私钥（Private Key）其中 ed 1 (mod (n))
c m e 119601033 11960
210 23 1
10次平方 2 2 2
2
((11960 ) ) ((11960 2 ) 2 ) 2 11960 63302 47290 11960 51922 (mod 74951) 。
2
2 2 2
2
2 2 2 2
((519222 )2 )2 51922
58071 45732 49264 73977 51922 11960 (mod 74951) ,
所以 m 11960 (17,18,0)26 ' rsa '
1.10
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1.14
DCRT (E(m)) m (mod p)
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第6章
RSA密码
RSA数字签名
6.4 RSA数字签名
RSA数字签名是一种可回复式数字签名法（Recovery Scheme）
例：
Bob利用RSA密码系统，数字签名一简短的文件 m ' bob cracked rsa ' ， 并传递给他所有认识的人。
•解密
Bob有两种解密计算方式：一是 以及用中国余式定理加速解密
m D1 (c) cd (mod n)
m DCRT (c)
1.13
x q q(c
dp
mod p) (1 x q q) (c
dq
mod q)
(mod n) 。
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第6章
RSA密码
RSA数论背景
定理
证明：
1.18
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第6章
RSA密码
同时RSA加密和RSA签名
6.5 同时RSA加密和RSA签名
1.19
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第6章
RSA密码
RSA-129挑战与因数分解
6.6 RSA-129挑战与因数分解
例：Bob的RSA公开密钥为(n,e)=(782741,7)。攻击者Eve截收到
Alice传给Bob的密文144310，并知道Alice与Bob的通信代 码为： a=0、b=1、c=2、…、z=25。
d 便可还原明文的代码 m 144310 mod (782741)
1.20
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(n) (p 1)(q 1) 862 906 780972
第6章
RSA密码
RSA-129挑战与因数分解
如何找到质因数p、q使得抛弃＝782741？Eve试着从2到小于等于 [ 的质数试除，（共计有153个质数）在第150个质数时发现
加密密钥为e=31，解密密钥为
d e1 (mod (n)) (p 1) (q 1) 311 (mod 24206811682139986451844) 19521622324306440686971 。
1.16
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第6章
RSA密码
数字签名 • 数字签名
假设代码空白=0、a=1、b=2、…、z=26，又
RSA的数论背景
RSA数字签名 同时进行RSA加密和RSA数字签名 RSA-129挑战与因数分解
1.3
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第6章
RSA密码
本章内容
二次筛法与Pollard的p-1法 利用RSA私钥因数分解 RSA密码系统实用的注意事项
Wiener低幂次d攻击
Rabin密码
• 加密：
e Alice取得Bob的公开密钥(n,e)，用加密函数计算 c E(m) m (mod n)
将密文c传给Bob。
• 解密：
Bob用解密函数计算
m D(c) cd (mod n)
解密还原成明文。
1.7
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第6章
RSA密码
RSA算法举例
密匙产生
Bob取质数p=241、q=311，计算n=pq=74951， 取e=1033为加密钥，在此情况 (n) (p 1)(q 1) 240 310 74400 ， Bob的公开密钥为(n,e)=(74951,1033) ；Bob用广 义辗转相除法计算解密密钥
定理
RSA加密解密函数
令p、q为相异质数，令n=pq，令e为与(p-1)(q-1)互质的整数， ed 1 (mod (p 1)(q 1)) 令d满足 令加密函数 E(m) me (mod n) ，解密函数 D(c) cd (mod n) 则对所有整数m皆满足
D(E(m)) m (mod n)
计算 [log26 n] = [log26 782741] = 4 ，知道每4个字母为一组代码。如 果Eve知道n的质因数分解，即知道是何质数p、q 使得pq=782741，就 可计算 (n) (p 1)(q 1) ，再以广义辗转相除法或xeuclidean()程序计算 得解密密钥 d 71 mod (n)
1.15
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第6章
RSA密码
密匙产生 • 密匙产生
Bob的RSA密钥为 其中RSA模数
n p q (p 622354832383 , q 38895514943)
(n, e, d) (24206811682801236799169 , 31 , 19521622324306440686971) ;
再以解密函数
DBob ()
分别对此代码“数字签名”
s md (mod n) 27992725008120047978219521622324306440686971 (mod 24206811682801236799169) 17083178691394655337512
s 17083178691394655337512 传给所有她想要传送的人。 并将“数字签名”
2
1.9
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第6章
RSA密码
RSA算法举例 解密
m cd 519223097 51922
211 210 24 23 1
11次平方 10次平方 2 2 2
((51922 ) ) ((51922 ) ) ((51922 ) )
第 6章
RSA密码
第6章
RSA密码
教学目的