《传感器原理及应用》课后答案
第1章传感器基础理论思考题与习题答案
1.1什么是传感器？（传感器定义）
解：能够感受规定的被测量并按照一定规律转换成可用输出信号的器件或装置，通常由敏感元件、转换元件和调节转换电路组成。
1.2传感器特性在检测系统中起到什么作用？
解：传感器的特性是指传感器的输入量和输出量之间的对应关系，所以它在检测系统中的作用非常重要。通常把传感器的特性分为两种：静态特性和动态特性。静态特性是指输入不随时间而变化的特性，它表示传感器在被测量各个值处于稳定状态下输入输出的关系。动态特性是指输入随时间而变化的特性，它表示传感器对随时间变化的输入量的响应特性。
1.3传感器由哪几部分组成？说明各部分的作用。
解：传感器通常由敏感元件、转换元件和调节转换电路三部分组成。其中，敏感元件是指传感器中能直接感受或响应被测量的部分，转换元件是指传感器中能将敏感元件感受或响应的被测量转换成电信号的部分，调节转换电路是指将非适合电量进一步转换成适合电量的部分，如书中图1.1所示。
1.4传感器的性能参数反映了传感器的什么关系？静态参数有哪些？各种参数代表什么意
义？动态参数有那些？应如何选择？
解：在生产过程和科学实验中，要对各种各样的参数进行检测和控制，就要求传感器能感受被测非电量的变化并将其不失真地变换成相应的电量，这取决于传感器的基本特性，即输出—输入特性。衡量静态特性的重要指标是线性度、灵敏度，迟滞和重复性等。意义略（见书中）。动态参数有最大超调量、延迟时间、上升时间、响应时间等，应根据被测非电量的测量要求进行选择。
1.5某位移传感器，在输入量变化5mm时，输出电压变化为300mV，求其灵敏度。
解：其灵敏度
3
3
30010
60
510
U
k
X
-
-
??
===
??
1.6某测量系统由传感器、放大器和记录仪组成，各环节的灵敏度为：S1=0.2mV/℃、
S 2=2.0V/mV 、S 3=5.0mm/V ，求系统的总的灵敏度。
1.7某线性位移测量仪，当被测位移由4.5mm 变到5.0mm 时，位移测量仪的输出电压由3.5V
减至2.5V ，求该仪器的灵敏度。
解：该仪器的灵敏度为
25
.40.55.35.2-=--=S V/mm 1.8某测温系统由以下四个环节组成，各自的灵敏度如下：
铂电阻温度传感器： 0.45Ω/℃
电桥： 0.02V/Ω
放大器 ： 100(放大倍数)
笔式记录仪：0.2cm/V
求：(1)测温系统的总灵敏度；
(2)记录仪笔尖位移4cm 时，所对应的温度变化值。
解：
（1）测温系统的总灵敏度为
18.02.010002.045.0=???=S cm/℃
（2）记录仪笔尖位移4cm 时，所对应的温度变化值为
22.2218
.04==t ℃ 1.9有三台测温仪表，量程均为0~800℃，精度等级分别为2.5级、2.0级和1.5级，现要测
量500℃的温度，要求相对误差不超过2.5％，选那台仪表合理?
解：2.5级时的最大绝对误差值为20℃，测量500℃时的相对误差为4％；2.0级时的最大绝对误差值为16℃，测量500℃时的相对误差为3.2％；1.5级时的最大绝对误差值为12℃，测量500℃时的相对误差为2.4％。因此，应该选用1.5级的测温仪器。
1.10某温度传感器为时间常数 T =3s 的一阶系统，当传感器受突变温度作用后，试求传感
器指示出温差的1/3和1/2时所需的时间。
解：设温差为A ，测此温度传感器受幅度为A 的阶跃响 应为(动态方程不考虑初态)
)e 1()(τt A t y --= 当A t y 31)(=时，s 22.132ln 3=-=t 当A t y 21)(=时，s 08.22
1ln 3=-=t 1.11某传感器为一阶系统，当受阶跃函数作用时，在t =0时，输出为10mV ；t →∞时，输出
为100mV ；在t =5s 时，输出为50mV ，试求该传感器的时间常数。 解：由题意知：)e 1(10010)(τt
t y --+=
)e 1(10010505
τ--+=
)e 1(10010505τ--+=s 79.953ln 5=-=τ
第2章 应变式传感器思考题与习题答案
2.1试述金属电阻应变片与半导体电阻应变片的应变效应有什么不同?
答：金属电阻的应变效应主要是由于其几何形状的变化而产生的，半导体材料的应变效应则主要取决于材料的电阻率随应变所引起的变化产生的。
2.2试述金属电阻应变片直流测量电桥和交流测量电桥有什么区别?
答：它们的区别主要是直流电桥用直流电源，只适用于直流元件，交流电桥用交流电源，适用于所有电路元件。
2.3采用阻值为120Ω灵敏度系数K =2.0的金属电阻应变片和阻值为120Ω的固定电阻组成电
桥，供桥电压为4V ，并假定负载电阻无穷大。当应变片上的应变分别为1με和1000με时，试求单臂、双臂和全桥工作时的输出电压，并比较三种情况下的灵敏度。 解：单臂时4
0U K U ε=，
所以应变为1μ时66
01024
10244--?=??==U K U εV ， 应变为1000μ时应为33
01024
10244--?=??==U K U εV ； 双臂时20U K U ε=，所以应变为1时66
01042
10242--?=??==U K U εV ， 应变为1000μ时应为33
01042
10242--?=??==U K U εV ； 全桥时U K U ε=0，所以应变为1μ时60108-?=U V ，
应变为1000μ时应为30108-?=U V 。
从上面的计算可知：单臂时灵敏度最低，双臂时为其两倍，全桥时最高，为单臂的
四倍。
2.4采用阻值R =120Ω灵敏度系数K =2.0的金属电阻应变片与阻值R =120Ω的固定电阻组成
电桥，供桥电压为10V 。当应变片应变为1000με时，若要使输出电压大于10mV ，则可采用单臂、半桥和全桥的哪种方式（设输出阻抗为无穷大）？
解：由于不知是何种工作方式，可设为n ，故可得：
10101023
0>??==-n
n U K U εmV 得n 要小于2，故应采用全桥工作方式。
2.5如题2.5图所示为一直流电桥，供电电源电动势E =3V ，R 3=R 4=100Ω，R 1和R 2为同型号
的电阻应变片，其电阻均为50Ω，灵敏度系数K =2.0。两只应变片分别粘贴于等强度梁同一截面的正反两面。设等强度梁在受力后产生的应变为5000με，试求此时电桥输出端电压U o 。
题2.5图 解：此电桥为输出对称电桥，故152
1053223
0=???==-U K U εmV 2.6有一吊车的拉力传感器如题2.6图所示，电阻应变片R 1、R 2、R 3、R 4等截面轴上，已知
R 1—R 4标称阻值为120Ω，桥路电压2V ，物重m 引起R 1、R 2变化增量为1.2Ω。请画出应变片电桥电路，计算出测得的输出电压和电桥输出灵敏度，R 3、R 4起什么作用？
题2.6图
解：应变片电桥电路如书中图2.14b)，把R 2与R 4对换一下位置。
()μεε+=???? ???-?≈?????? ?
??++?+?+-?++?+?+=K U R R R R U R R R R R R R R R R R R R R R R R R U U 2
233112223333334441111110
又因为μ较小，可忽略 V 01.0120
2.122220==?=≈R R U K U U ε
12
==U K v R 3、R 4可以进行温度补偿和减小非线性误差的作用。
2.7试述金属应变片产生温度误差的原因及减小或补偿温度误差的方法是什么？
解：电阻应变片产生温度误差的原因：①敏感栅金属丝电阻本身随温度发生变化
②试件材料和电阻丝材料的线膨胀系数的影响
电阻应变片的温度补偿方法：通常有线路补偿法和应变片自补偿两大类。
1）电桥补偿是最常用的且效果较好的线路补偿法。电桥补偿法简单易行，而且能在较大的温度范围内补偿，但上面的四个条件不一满足，尤其是两个应变片很难处于同一温度场。
2）应变片的自补偿法是利用自身具有温度补偿作用的应变片。
2.8如题2.8图所示一受拉的优质碳素钢材，已知钢材的弹性模量E =F /S ，E ＝2×l011N ／m 2，
应变片的电阻为120Ω，试用允许通过的最大电流为30mA 的康铜丝应变片组成一单臂受感电桥。试求出此电桥空载时的最大可能的输出电压。
题2.8图 解：应变片所受应力：S
F E ==εσ 62311104.610210π102100--?=??? ??????==ES F ε
536max 103.24
10301202104.624---?=??????==U K U εV 2.9在题2.8中，若钢材上粘贴的应变片的电阻变化率为0.1%，钢材的应力为10kg/mm 2。 ①求钢材的应变及应变片的灵敏度系数。
解：4116
109.4102108.910-?=???==E σ
ε 04.210
9.4001.04=?=?=-R R K ε ②钢材的应变为300×10-6时，粘贴的应变片的电阻变化率为多少? 解：000612.01030004.26=??==?-εK R
R 2.10有一电阻应变片初始阻值为120Ω，灵敏度K =2，沿轴向粘贴于直径0.04m 的圆形钢柱
表面，钢材的弹性模量E ＝2×l011N ／m 2，泊松比μ=0.3，当钢柱承受外力98×l03N 时。 求：
①该钢柱的轴向应变ε和径向应变εr ；
②此时电阻应变片电阻的相对变化量ΔR /R ；
③应变片的电阻值变化了多少欧?是增大了还是减少了?
④如果应变片是沿圆柱的圆周方向(径向)粘贴，钢柱受同样大小的拉力作用，此时应变片电阻的相对变化量为多少?电阻是增大了还是减少了? 解：①()42113
109.302.014.31021098-?=????===ES F E σ
ε 441017.1109.33.0--?-=??-=-=μεεr ②44108.7109.32--?=??==?εK R
R ③Ω?=???==?--241036.9120109.32R K R ε
电阻是增大了。 ④()
Ω?-=?-?==?--441034.21017.12r K R R ε 电阻是减小了。
2.11一台采用等强度梁的电子秤，在梁的上下两面各贴有两片电阻应变片，做成秤重传感器，
如图题2.11所示。已知l =100mm ，b =11mm ，t =3mm ，E =2.1×104N/mm 2，接入直流四臂差动电桥，供电电压6V ，当称重0.5kg 时，电桥的输出电压U o 为多大？
题2.11图
解：对于等强度梁，粘贴应变片处的应变为
()342333
201041.1101.21031011101008.95.066----?=?????????===E h b Fl E σε
1761041.123o =???==-U K U εmV
第3章 电感式传感器思考题与习题答案
3.1试述影响差动变压器输出线性度和灵敏度的主要因素是什么？
解：影响差动变压器输出线性度和灵敏度的主要因素是：传感器几何尺寸、线圈电气参数的对称性、磁性材料的残余应力、测量电路零点残余电动势等。
3.2试述电涡流式传感器的灵敏度主要受哪些因素影响？它的主要优点是什么？
解：电涡流式传感器的灵敏度主要受导体的电导率、磁导率、几何形状，线圈的几何参数，激励电流频率以及线圈到被测导体间的距离等因素影响。电涡流式传感结构简单、频率响应宽、灵敏度高、测量范围大、抗干忧能力强，特别是有非接触测量的优点，因此在工业生产和科学技术的各个领域中得到了广泛的应用。
3.3试述自感式电感传感器的工作原理。
解:将非电量转换成自感系数变化的传感器通常称为自感式电感传感器，自感式电感传感器
又称为电感式传感器，它由线圈、铁心和衔铁三部分组成。当衔铁随被测量变化而移动时，铁心与衔铁之间的气隙磁阻随之变化，从而引起线圈的自感发生变化。因此，自感式传感器实质上是一个具有可变气隙的铁心线圈。
3.4试说明差动变压器（螺线管式）传感器的结构形式与输出特性。
解:螺线管式互感传感器它由初级线圈，两个次级线圈和插入线圈中央的圆柱形铁芯等组成。螺线管式差动变压器按线圈绕组排列的方式不同可分为一节、二节、三节、四节和五节式等类型，一节式灵敏度高，三节式零点残余电压较小，通常采用的是二节式和三节式两类。
理想的差动变压器输出电压与位移成线性关系，实际上由于线圈、铁心、骨架的结构形状、材质等诸多因素的影响，不可能达到完全对称，使得实际输出电压呈非线性状态，但在变压器中间部分磁场是均匀的且较强，因而有较好的线性段，此线性段的位移范围Δx约为线圈骨架的1/10～1/4。提高两次级线圈磁路和电路的对称性，可改善输出电压的线性度。采用相敏整流电路对输出电压进行处理，可进一步改善互感式电感传感器输出电压的线性。
3.5什么是零点残余电压，有哪些方法可以进行残余电压补偿？
解: 差动变压器输出电压在零点总有一个最小的输出电压。一般把这个最小的输出电压称为零点残余电压，即指衔铁位于中间位置时的差动输出电压。残余电压补偿方法：
①提高差动变压器的组成结构及电磁特性的对称性；
②引入相敏整流电路，对差动变压器输出电压进行处理；
③采用外电路补偿。
3.6用差动变压器进行位移测量时采用那种电路形式可以直接由输出电压区别位移的大小
和方向？
解: 采用差动整流电路和相敏检波电路进行测量。
3.7什么是电涡流效应？电涡流传感器可以进行哪些非电量参数测量？该传感器可将哪些
物理量转换为电量进行输出？
解: 电感线圈产生的磁力线经过金属导体时，金属导体就会产生感应电流，该电流的流线呈闭合回线，类似水涡形状，故称之为电涡流，这种现象称为电涡流效应。可用来测量位移、金属体厚度、温度等参数，并可用作探伤。可位移、厚度、转速、振动、温度等物理量转换
为电量输出。
3.8差动式自感传感器结构有什么优点，采用变压器式电桥电路，能否判断位移的方向，如
不能，则需采用何种电路？
解：差动式比单线圈式的灵敏度高一倍，对于差动变间隙式自感传感器的线性度也能得到明显改善。不能判断位移的方向，需采用整流电路或相敏检波电路。
3.9试述电感式传感器有哪些种类及其工作原理。
解：自感式传感器又叫电感式传感器，其有变间隙式、变面积式、螺线管式（变气隙导磁系数）三种结构类型。将非电量转换成自感系数变化，当衔铁随被测量变化而移动时，铁心与衔铁之间的气隙磁阻随之变化，从而引起线圈的自感发生变化。
3.10分析电感传感器出现非线性的原因，并说明如何改善？
解：电感式传感器即为自感式传感器，对于变间隙式自感传感器输出存在非线性误差。主要是因为被测量的变化引起传感器的参数发生变化，此变化参数在电感表达式的分母上。采用差动电路。
3.11图题3.11所示是一简单电感式传感器。尺寸已示于图中。磁路取为中心磁路，不记漏
磁，设铁心及衔铁的相对磁导率为104，空气的相对磁导率为1，真空的磁导率为4π×10-7H﹒m-1,试计算气隙长度为零及为2mm时的电感量。图中所注尺寸单位均为mm。
题3.11图
解：计算时以中间位置的长度作为磁路长度的基准，当气隙长度为零时
()()()mH
38.51041014.341030210156010
3015101510202103010101560200276
36363
2
02=??????-+???++-?+???-=+∑
=
-------A A l W L i i i μδμ当气隙长度为2mm 时 ()()()mH
68.163.1138.51014.341030151022001041014.341030210156010301510
151020210301010156020027
6
32
7636363
2
02
=+=?????+
??????-+???++-?+???-=+∑
=----------A A l W L i i i μδμ 3.12简述电涡流效应及构成电涡流传感器的可能的应用场合。
解：电感线圈产生的磁力线经过金属导体时，金属导体就会产生感应电流，该电流的流线呈闭合回线，类似水涡形状，故称之为电涡流，这种现象称为电涡流效应。电涡流式传感器的应用领域很广，可进行位移、厚度、转速、振动、温度等多参数的测量。
3.13试说明如图所示的差动相敏检波电路的工作原理。
题3.13图
解：此电路的分析方法同图3.22，文中给出了详细的分析过程。
3.14题3.14图所示的差动电感式传感器的桥式测量电路，L 1、L 2为传感器的两差动电感线
圈的电感，其初始值均为L 0。R 1、R 2为标准电阻，u 为电源电压。试写出输出电压u o 与传感器电感变化量△L 间的关系。
题3.14图
解: 2
211o U L L U R R R U L L L L L L U ?=+-?-+?+?+= 3.15试分析图3.21c)所示的全桥整流电路的工作原理。
解：电桥输出电压为U ab =U ac -U bc 。当衔铁位于零位时，I 1=I 2，U ac =U bc ，故I ab =0，U ab =0；当衔铁位于零位以上时，I 1>I 2，U ac >U bc ，故I ab >0，U ab >0；当衔铁位于零位以下时，I 1
第四章 电容式传感器思考题与习题答案 4.1电容式传感器有哪些类型？
解：电容式传感器分为变极距型、变面积型和变介质型三种类型。
4.2叙述电容式传感器的工作原理，输出特性。
解：电容式传感器是一个具有可变参数的电容器。多数场合下，它是由绝缘介质分开的两个平行金属板组成，如果不考虑边缘效应，其电容量为d A
c ε=，当被测参数变化使得c 中的
A 、d 或ε发生变化时，电容量C 也随之变化。如果保持其中两个参数不变，而仅改变其中一个参数，就可把该参数的变化转换为电容量的变化，通过转换电路就可转换为电量输出。
电容式传感器的类型不同，其输出特性也不同。变极距型的输出存在非线性误差，变面积型和变介质型的输出是线性的。
4.3为什么电感式和电容式传感器的结构多采用差动形式，差动结构形式的特点是什么？ 解：因为差动形式的灵敏度比单圈式的灵敏度提高一倍，同时也可以减小非线性误差。
4.4电容式传感器的测量电路有哪些？叙述二极管双T 型交流电桥的工作原理。
解：电容转换电路有调频电路、运算放大器式电路、二极管双T 型交流电桥、脉冲宽度调制电路等。二极管双T 型交流电桥的工作原理见书中。
4.5试分析变面积式电容传感器和变间隙式电容的灵敏度?为了提高传感器的灵敏度可采取
什么措施并应注意什么问题?
解：以变面积式电容传感器为例进行说明，如图所示是一直线位移型电容式传感器的示意图。
直线位移型电容式传感器 当动极板移动△x 后，覆盖面积就发生变化，电容量也随之改变，其值为
C =εb （a -△x ）/d =C 0-εb ·△x /d （1）
电容因位移而产生的变化量为
a x C x d
b C C C ?-=?-
=-=?00ε 其灵敏度为 d
b x C K ε-=??= 可见增加b 或减小d 均可提高传感器的灵敏度。
4.6为什么说变间隙型电容传感器特性是非线性的?采取什么措施可改善其非线性特征?
解：下图为变间隙式电容传感器的原理图。图中1为固定极板，2为与被测对象相连的活动极板。当活动极板因被测参数的改变而引起移动时，两极板间的距离d 发生变化，从而改变
了两极板之间的电容量C 。
设极板面积为A ，其静态电容量为d A
C ε=，当活动极板移动x 后，其电容量为
22
011d x d x
C x d A C -+
=-=ε (1)
当x < ≈-d x 则)1(0d x C C += (2) 由式（1）可以看出电容量C 与x 不是线性关系，只有当 x < 4.7有一平面直线位移差动传感器，其测量电路采用变压器交流电桥，如题4.7图所示。电 容传感器起始时b 1=b 2=b =200mm ，a 1=a 2=20mm ，极距d =2mm ，极间介质为空气，测量电路u i =3sinωt V ，且u=u i 。试求当动极板上输入一位移量Δx =5mm 时,电桥输出电压u o 为多少？ 题4.7图 解：根据测量电路可得 t t u a x u C C u i i ωωsin 750sin 320 500=?=?=?=mV 4.8变间隙电容传感器的测量电路为运算放大器电路，如题4.8图所示。C 0=200pF ，传感器 的起始电容量C x0=20pF,定动极板距离d 0=1.5mm,运算放大器为理想放大器（即K→∞,Z i →∞）,R f 极大,输入电压u i =5sinωt V 。求当电容传感动极板上输入一位移量△x =0.15mm 使d 0减小时,电路输出电压u o 为多少？ 题4.8图 解：由测量电路可得 t t u x d d C C u C C u i x i x ωωsin 45sin 515.05.15.12020000 0000-=?-?-=?--=-=V 4.9推导差动式电容传感器的灵敏度，并与单极式电容传感器相比较。 解：以变极距式为例，在差动式平板电容器中，当动极板向上位移Δd 时，电容器C 1的间隙d 1变为d 0-Δd ，电容器C 2的间隙d 2变为d 0+Δd ，此时电容器C 1和C 2的电容量分别为 0011d d C C ?-=，0 021d d C C ?+= 因10< ? ??+?+?+?=-=? 50300021)(2)(22d d d d d d C C C C 略去高次项，则 002d d C C ?=? 则差动电容式传感器的灵敏度K 0为 002d d C C K =??= 与单极式电容传感器相比，其灵敏度提高一倍。 4.10有一台变间隙非接触式电容测微仪，其传感器的极板半径r =4mm ，假设与被测工件的 初始间隙δ0=0.3mm ，已知极板间介质为空气，空气介电常数ε0=8.85×10-12F/m ， 试问 ①如果传感器与工件的间隙变化量Δδ=+10μm ，那么电容变化量为多少? ②如果测量电路的灵敏度K =100mV/pF ，则在Δδ=+1μm 时的输出电压为多少? 解：（1）根据公式S S S d C d d d d d d εεε??=-=?-?-? ，其中S =2r π （2）根据公式112k k δδ ?=? ，可得到112k k δδ???==3 1001100.025-??= 4.12根据电容式传感器的工作原理说明它的分类，电容式传感器能够测量哪些物理参量？ 解：电容式传感器是一个具有可变参数的电容器。多数场合下，它是由绝缘介质分开的两个平行金属板组成，如果不考虑边缘效应，其电容量为d A c ε=，当被测参数变化使得式中的 A 、d 或ε发生变化时，电容量C 也随之变化。如果保持其中两个参数不变，而仅改变其中一个参数，就可把该参数的变化转换为电容量的变化，通过转换电路就可转换为电量输出。根据传感器的工作原理可把电容式传感器分为变极距型、变面积型和变介质型三种类型。 电容式传感器不但广泛用于位移、振动、角度、加速度等机械量的精密测量，还应用于压力、压差、液面、料面、成份含量等方面的测量。 4.13总结电容式传感器的优缺点，主要应用场合以及使用中应注意的问题。 解：优点：(1) 温度稳定性好(2) 结构简单(3) 动态响应好（4）可以实现非接触测量，具有平均效应。 缺点：（1）输出阻抗高，负载能力差（2）寄生电容影响大。 主要应用在非电量测量和自动检测中，电容传感元件的实际相对变化量与传感元件的固有电感（包括引线电感）有关。因此，在实际应用时必须与标定时的条件相同，否则将会引入测量误差。 4.14简述电容式传感器用差动脉冲调宽电路的工作原理及特点。 解：详细叙述见本章脉冲调宽调制电路。 4.15有一个直径为2m、高5m的铁桶，往桶内连续注水，当注水数量达到桶容量的80%时 就应当关闭阀门，停止加水，试分析用应变片式或电容式传感器系统来解决该问题的途径和方法。 解：提示采用书中的圆筒式变介质式电容传感器可实现。 第五章压电式传感器思考题与习题答案 5.1什么是正压电效应？什么是逆压电效应？压电效应有哪些种类？压电传感器的结构和 应用特点是什么？能否用压电传感器测量静态压力？ 解：某些电介质在沿一定的方向受到外力的作用变形时，由于内部电极化现象同时在两个表面上产生符号相反的电荷，当外力去掉后，恢复到不带电的状态；而当作用力方向改变时，电荷的极性随着改变。晶体受力所产生的电荷量与外力的大小成正比。这种现象称为正压电效应。反之，如对晶体施加一定变电场，晶体本身将产生机械变形，外电场撤离，变形也随之消失，称为逆压电效应。 压电效应纵向压电效应和横向压电效应。压电材料有：石英晶体、一系列单晶硅、多晶陶瓷、有机高分子聚合材料。 结构和应用特点：在压电式传感器中，为了提高灵敏度，往往采用多片压电芯片构成一个压电组件。其中最常用的是两片结构；根据两片压电芯片的连接关系，可分为串联和并联连接，常用的是并联连接，可以增大输出电荷，提高灵敏度。 使用时，两片压电芯片上必须有一定的预紧力，以保证压电组件在工作中始终受到压力作用，同时可消除两片压电芯片因接触不良而引起的非线性误差，保证输出信号与输入作用力间的线性关系,因此需要测量电路具有无限大的输入阻抗。但实际上这是不可能的，所以压电传感器不宜作静态测量，只能在其上加交变力，电荷才能不断得到补充，并给测量电路一定的电流。故压电传感器只能作动态测量。 5.2试述石英晶体X、Y、Z轴的名称是什么？有哪些特征？ 解：电轴：X轴穿过六棱柱的棱线，在垂直于此轴的面上压电效应最强； 机械轴：Y轴垂直六棱柱面。在电场作用下，沿该轴方向的机械变形最明显； 光轴：Z轴晶体上、下晶锥项点连线重合，也叫中性轴，光线沿该轴通过时，无折射及压电效应。 当晶体受到沿X方向的压力作用时，晶体沿X方向将产生收缩，正、负离子相对位置随之发生变化。则在X轴的正向出现正电荷，在Y、Z轴方向则不出现电荷。 当晶体受到沿X方向的拉力作用时，则在X轴的正向出现负电荷，在Y、Z方向则不出现电荷。 当石英晶体受到沿Y轴方向的压力作用时，在X轴正方向的晶体表面上出现负电荷。同样，在垂直于Y轴和Z轴的晶体表面上不出现电荷。 当晶体受到沿Z轴方向的力（无论是压力或拉力）作用时，因为晶体在X方向和Y方向的变形相同，正、负电荷中心始终保持重合，电偶极矩在X、Y方向的分量等于零。所以，沿光轴方向施加力，石英晶体不会产生压电效应。 5.3简述压电陶瓷特性，作为压电元件比较他与石英晶体有哪些特点？ 解：石英晶体整个晶体是中性的，受外力作用而变形时，没有体积变形压电效应，但它具有良好的厚度变形和长度变形压电效应。压电陶瓷是一种多晶体。原始的压电陶瓷材料并不具有压电性，必须在一定温度下做极化处理，才能使其呈现出压电性。所谓极化，就是以强电场使“电畴”规则排列，而电畴在极化电场除去后基本保持不变，留下了很强的剩余极化。当极化后的压电陶瓷受到外力作用时，其剩余极化强度将随之发生变化，从而使一定表面分别产生正负电荷。在极化方向上压电效应最明显。压电陶瓷的参数也会随时间发生变化老化，压电陶瓷老化将使压电效应减弱。 5.4说明电压放大器与电荷放大器的优缺点，各自要解决什么问题？ 解：传感器与电压放大器连接的电路其输出电压与压电元件的输出电压成正比，但容易受电缆电容的影响。传感器与电荷放大器连接的电路其输出电压与压电元件的输出电荷成正比，电缆电容的影响小。 5.5用石英晶体加速度计及电荷放大器测量机器振动，已知，加速度计灵敏度为5pC/g ；电 荷放大器灵敏度为50mV/pC ，最大加速度时输出幅值2V ，试求机器振动加速度。 解：g /mV 25050521=?=?=K K K g 4250 2000===?=K U a a U K 5.6为什么压电传感器通常都用来测量动态或瞬态参量？ 解：如作用在压电组件上的力是静态力，则电荷会泄露，无法进行测量。所以压电传感器通常都用来测量动态或瞬态参量。 5.7设计压电式传感器检测电路时应该考虑什么因素？为什么？ 解：基本考虑点是如何更好的改变传感器的频率特性，以使传感器能用于更广泛的领域。 5.8压电式传感器测量电路的作用是什么?其核心是解决什么问题? 解：压电式传感器的产生的电量非常小，内阻很高。测量电路的作用是进行阻抗变换和放大，即要求测量电路的输入阻抗很高，输出阻抗很低，通常用高输入阻抗运放。其核心是要解决微弱信号的转换与放大，得到足够强的输出信号。 5.9一压电式传感器的灵敏度K 1＝10pC ／MPa ，连接灵敏度K 2=0.008V ／pC 的电放大器， 所用的笔式记录仪的灵敏度K 3=25mm ／V ，当压力变化Δp =8MPa 时，记录笔在记录纸上的偏移为多少? 解：记录笔在记录纸上的偏移为S =10×0.008×25×8=16mm 5.10已知电压前置放大器的输入电阻为100MΩ，测量回路的总电容为100pF ，试求用压电 式加速度计相配测量1Hz 低频振动时产生的幅值误差。 解：压电式传感器的实际输入电压幅值和理想输入电压幅值分别为： 2221)(i i i m im C R R dF U ωωω+=，i m im C dF U =∞)( 时间常数：s 01.0=?=i i C R τ，s /rad 28.6π2=??=f ω 相对误差为：1)2(12)()()(22 2-+=∞∞-=i i i i im im im C R f C fR U U U ππωγ=93.7% 5.11用压电式传感器测量最低频率为1Hz 的振动，要求在1Hz 时灵敏度下降不超过5%， 若测量回路的总电容为500pF ，求所用电压前置放大器的输入电阻应为多大。 解：()%5%100112≤?-+=ωτωτ γ s /rad 28.6π2=??=f ω 又 计算得：Ω=?≤ ?=M 968s 28.604.3i i i R C R τ 5.12巳知压电式加速度传感器的阻尼比ξ=0.1，其无阻尼固有频率f 0=32kHz ，若要求传感器 的输出幅值误差在5%以内，试确定传感器的最高响应频率。 解：()[]()%5%1001411 222 2≤?-+-=n n ωωξωωγ ()[]()05 .1141222 2=+-n n ωωξωω（取等号） ()()096.124=-n n ωωω 解出 ()0485.02=n ω或()912.12=n ωω（舍去） 则 n n ωωωω22.022.0H =?≈ 则 )k H z (04.73222.0H =?=f 5.13压电元件在使用时常采用多片串接或并接的结构形式，试述在不同接法下输出电压、 输出电荷、输出电容的关系，以及每种接法适用于何种场合。 解：1）在压电式传感器中，为了提高灵敏度，往往采用多片压电芯片构成一个压电组件。其中最常用的是两片结构；根据两片压电片的连接关系，可分为串联和并联连接。 2）如果按相同极性粘贴，相当两个压电片（电容）串联。输出总电容为单片电容的一半，输出电荷与单片电荷相等，输出电压是单片的两倍；适合测量变化较快且以电压输出的场合；若按不同极性粘贴，相当两个压电片（电容）并联，输出电容为单电容的两倍，极板上电荷量是单片的两倍，但输出电压与单片相等，适合测量变化较慢且以电荷输出的场合。 第9章 习题9-1 1． 判定下列级数的收敛性： (1) 11 5n n a ∞ =?∑（a ＞0）； (2) ∑∞ =-+1 )1(n n n ; (3) ∑∞ =+13 1 n n ; (4) ∑∞ =-+12)1(2n n n ; (5) ∑∞ =+11ln n n n ; (6) ∑∞ =-12)1(n n ; (7) ∑∞ =+11 n n n ; (8) 0(1)21n n n n ∞ =-?+∑． 解：（1）该级数为等比级数，公比为 1a ,且0a >,故当1 ||1a <,即1a >时，级数收敛，当1 | |1a ≥即01a <≤时，级数发散. （2） Q n S =+++L 1= lim n n S →∞ =∞ ∴ 1 n ∞ =∑发散. （3）113 n n ∞ =+∑是调和级数11n n ∞=∑去掉前3项得到的级数，而调和级数11 n n ∞ =∑发散，故原 级数 11 3 n n ∞ =+∑发散. （4）Q 1112(1)1(1)22 2n n n n n n n ∞ ∞-==?? +--=+ ???∑∑ 而11 12n n ∞ -=∑,1(1)2m n n ∞ =-∑是公比分别为1 2的收敛的等比级数，所以由数项级数的基本性质 知111(1)2 2n n n n ∞ -=??-+ ???∑收敛，即原级数收敛. （5）Q ln ln ln(1)1 n n n n =-++ 于是(ln1ln 2)(ln 2ln 3)[ln ln(1)]n S n n =-+-+-+L ln1ln(1)ln(1)n n =-+=-+ 故lim n n S →∞ =-∞,所以级数 1 ln 1 n n n ∞ =+∑发散. （6）Q 2210,2n n S S +==- ∴ lim n n S →∞ 不存在，从而级数 1 (1) 2n n ∞ =-∑发散. （7）Q 1 lim lim 10n n n n U n →∞ →∞+==≠ ∴ 级数 1 1 n n n ∞ =+∑发散. （8）Q (1)(1)1 , lim 21212 n n n n n n U n n →∞--==++ ∴ lim 0n x U →∞≠，故级数1 (1)21n n n n ∞ =-+∑发散. 2． 判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和： (1) ∑∞ =??? ??+13121n n n ； (2) ※ ∑∞ =++1)2)(1(1n n n n ; (3) ∑∞ =?1 2sin n n n π ; (4) 0πcos 2n n ∞ =∑． 解：Q （1）1111, 23n n n n ∞ ∞==∑∑都收敛，且其和分别为1和12，则1112 3n n n ∞ =?? + ???∑收敛，且其 和为1+ 12=3 2 . （2）Q 11121(1)(2)212n n n n n n ?? =-+ ?++++?? 控制工程基础习题解答 第一章 1-5．图1-10为张力控制系统。当送料速度在短时间内突然变化时，试说明该控制系统的作用情况。画出该控制系统的框图。 图1-10 题1-5图 由图可知，通过张紧轮将张力转为角位移，通过测量角位移即可获得当前张力的大小。 当送料速度发生变化时，使系统张力发生改变，角位移相应变化，通过测量元件获得当前实际的角位移，和标准张力时角位移的给定值进行比较，得到它们的偏差。根据偏差的大小调节电动机的转速，使偏差减小达到张力控制的目的。 框图如图所示。 角位移 题1-5 框图 1-8．图1-13为自动防空火力随动控制系统示意图及原理图。试说明该控制系统的作用情况。 该系统由两个自动控制系统串联而成：跟踪控制系统和瞄准控制系统，由跟踪控制系统 获得目标的方位角和仰角，经过计算机进行弹道计算后给出火炮瞄准命令作为瞄准系统的给定值，瞄准系统控制火炮的水平旋转和垂直旋转实现瞄准。 跟踪控制系统根据敏感元件的输出获得对目标的跟踪误差，由此调整视线方向，保持敏感元件的最大输出，使视线始终对准目标，实现自动跟踪的功能。 瞄准系统分别由仰角伺服控制系统和方向角伺服控制系统并联组成，根据计算机给出的火炮瞄准命令，和仰角测量装置或水平方向角测量装置获得的火炮实际方位角比较，获得瞄准误差，通过定位伺服机构调整火炮瞄准的角度，实现火炮自动瞄准的功能。 控制工程基础习题解答 第二章 2-2．试求下列函数的拉氏变换，假定当t<0时，f(t)=0。 (3). ()t e t f t 10cos 5.0-= 解：()[][ ] ()100 5.05 .010cos 2 5.0+++= =-s s t e L t f L t (5). ()?? ? ? ?+ =35sin πt t f 图1-13 题1-8图 敏感元件 习题7.7 3.指出下列方程所表示的曲线. （1）???==++;3, 25222x z y x （2）???==++;1,3694222y z y x （3）???-==+-;3, 254222x z y x （4）???==+-+.4,08422y x z y 【解】 （1）表示平面3=x 上的圆周曲线1622=+z y ； （2）表示平面1=y 上的椭圆19 32322 2=+z x ； （3）表示平面3-=x 上的双曲线14 162 2=-y z ； （4）表示平面4=y 上的抛物线642-=x z . 4.求() () ?????=++=++Γ2, 21, :2 22 2 222Rz z y x R z y x 在三个坐标面上的投影曲线. 【解】 （一）（1）、（2）联立消去z 得 2224 3R y x = + 所以，Γ在xoy 面上的投影曲线为 ?????==+.0, 4 322 2z R y x （二）（1）、（2）联立消去y 得 R z 2 1 = 所以，Γ在zox 面上的投影曲线为 .23.0,21R x y R z ≤ ?? ? ??== （三）（1）、（2）联立消去x 得 R z 21 = 所以，Γ在yoz 面上的投影曲线为 .23.0, 21R y x R z ≤ ????? == 6.求由球面224y x z --= ①和锥面() 223y x z += ②所围成的立体在xoy 面上的投影区域. 【解】联立①、②消去z 得 122=+y x 故Γ在xoy 面上的投影曲线为 ? ??==+.0, 122z y x 所以，球面和锥面所围成的立体在xoy 面上的投影区域为(){}1|,22≤+=y x y x D . 习题7.8 2.设空间曲线C 的向量函数为(){} t t t t t r 62,34,122--+=，R t ∈.求曲线C 在与 20=t 相应的点处的单位切向量. 【解】因(){}64,4,2-=t t t r ，故C 相应20=t 的点处的切向量为 (){}2,4,42='r . C 相应20=t 的点处的单位切向量为 (){}.31,32,322,4,4612? ?????±=± =' 3.求曲线32,,:t z t y t x ===Γ在点)1,1,1(0M 处的切线方程和法平面方程. 【解】0M 对应参数1=t .Γ在0M 点处的切线方向为 第一章 3 解：1)工作原理：电压u2反映大门的实际位置，电压u1由开（关）门开关的指令状态决定，两电压之差△u＝u1－u2驱动伺服电动机，进而通过传动装置控制 大门的开启。当大门在打开位置，u2＝u 上：如合上开门开关，u1＝u 上 ，△u＝0， 大门不动作；如合上关门开关，u1＝u 下 ，△u<0，大门逐渐关闭，直至完全关闭， 使△u＝0。当大门在关闭位置，u2＝u 下：如合上开门开关，u1＝u 上 ，△u>0，大 门执行开门指令，直至完全打开，使△u＝0；如合上关门开关，u1＝u 下 ，△u＝0，大门不动作。 2)控制系统方框图 4 解：1)控制系统方框图 2)工作原理： a)水箱是控制对象，水箱的水位是被控量，水位的给定值h ’由浮球顶杆的长度给定，杠杆平衡时，进水阀位于某一开度，水位保持在给定值。当有扰动（水的使用流出量和给水压力的波动）时，水位发生降低（升高），浮球位置也随着降低（升高），通过杠杆机构是进水阀的开度增大（减小），进入水箱的水流量增加（减小），水位升高（降低），浮球也随之升高（降低），进水阀开度增大（减小）量减小，直至达到新的水位平衡。此为连续控制系统。 b) 水箱是控制对象，水箱的水位是被控量，水位的给定值h ’由浮球拉杆的长度给定。杠杆平衡时，进水阀位于某一开度，水位保持在给定值。当有扰动（水的使用流出量和给水压力的波动）时，水位发生降低（升高），浮球位置也随着降低（升高），到一定程度后，在浮球拉杆的带动下，电磁阀开关被闭合（断开），进水阀门完全打开（关闭），开始进水（断水），水位升高（降低），浮球也随之升高（降低），直至达到给定的水位高度。随后水位进一步发生升高（降低），到一定程度后，电磁阀又发生一次打开（闭合）。此系统是离散控制系统。 2-1解： （c ）确定输入输出变量（u1，u2） 22111R i R i u += 222R i u = ?-= -dt i i C u u )(1 1221 得到：11 21221222 )1(u R R dt du CR u R R dt du CR +=++ 一阶微分方程 （e ）确定输入输出变量（u1，u2） ?++=i d t C iR iR u 1 211 R u u i 2 1-= 高等数学第六版上册课后习题答案及解析 第一章 习题1-1 1. 设A =(-∞, -5)?(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ?B , A ?B , A \B 及A \(A \B )的表达式. 解 A ?B =(-∞, 3)?(5, +∞), A ? B =[-10, -5), A \ B =(-∞, -10)?(5, +∞), A \(A \B )=[-10, -5). 2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ?B )C =A C ?B C . 证明 因为 x ∈(A ?B )C ?x ?A ?B ? x ?A 或x ?B ? x ∈A C 或x ∈B C ? x ∈A C ?B C , 所以 (A ?B )C =A C ?B C . 3. 设映射f : X →Y , A ?X , B ?X . 证明 (1)f (A ?B )=f (A )?f (B ); (2)f (A ?B )?f (A )?f (B ). 证明 因为 y ∈f (A ?B )??x ∈A ?B , 使f (x )=y ?(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B ) ? y ∈f (A )?f (B ), 所以 f (A ?B )=f (A )?f (B ). (2)因为 y ∈f (A ?B )??x ∈A ?B , 使f (x )=y ?(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )? y ∈ f (A )?f (B ), 所以 f (A ?B )?f (A )?f (B ). 4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g =ο, Y I g f =ο, 其中I X 、 I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1. 证明 因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中 高等数学一第6章课后习题详解 课后习题全解 习题6-2 ★ 1．求由曲线 x y =与直线 x y =所围图形的面积。 知识点：平面图形的面积 思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解： 见图6-2-1 ∵所围区域D 表达为X-型：?? ?<<< ∵所围区域D 表达为X-型：?????<<< <1 sin 2 0y x x π， （或D 表达为Y-型：???<<< ∴所围区域D 表达为Y-型：?? ?-<<<<-2 2 422y x y y ， ∴23 16 )32 4()4(2 2 32 222= -=--=- - ? y y dy y y S D （由于图形关于X 轴对称，所以也可以解为： 2316 )324(2)4(22 32 22=-=--=? y y dy y y S D ） ★★4．求由曲线 2x y =、24x y =、及直线1=y 所围图形的面积 知识点：平面图形面积 思路：所围图形关于Y 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单 解：见图6-2-4 ∵第一象限所围区域1D 表达为Y-型：? ??<<< 高等数学课后习题及解答 1. 设u=a-b+2c，v=-a+3b-c.试用a，b，c 表示2u-3v. 解2u-3v=2（a-b+2c）-3（-a+3b-c） =5a-11b+7c. 2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平 行四边形. 证如图8-1 ，设四边形ABCD中AC 与BD 交于M ，已知AM = MC ，DM 故 MB . AB AM MB MC DM DC . 即AB // DC 且|AB |=| DC | ，因此四边形ABCD是平行四边形. 3. 把△ABC的BC边五等分，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各 分点与点 A 连接.试以AB=c, BC=a 表向量 证如图8-2 ，根据题意知 1 D 1 A, 1 D 2 A, D 3 A, D A. 4 1 D3 D4 BD1 1 a, 5 a, D1D2 a, 5 5 1 D 2 D 3 a, 5 故D1 A=- （AB BD1）=- a- c 5 D 2 A =- （ AB D A =- （ AB BD 2 BD ）=- ）=- 2 a- c 5 3 a- c 3 =- （ AB 3 BD 4 ）=- 5 4a- c. 5 4. 已知两点 M 1（0，1，2）和 M 2（1，-1，0） .试用坐标表示式表示 向量 M 1M 2 及-2 M 1M 2 . 解 M 1M 2 =（1-0， -1-1， 0-2）=（ 1， -2， -2） . -2 M 1M 2 =-2（ 1，-2，-2） =（-2， 4，4）. 5. 求平行于向量 a =（6， 7， -6）的单位向量 . a 解 向量 a 的单位向量 为 ，故平行向量 a 的单位向量为 a a 1 = （ 6，7， -6）= 6 , 7 , 6 ， a 11 11 11 11 其 中 a 6 2 72 ( 6)2 11. 6. 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A （1，-2，3）， B （ 2， 3，-4）， C （2，-3，-4）， D （-2， -3， 1）. 解 A 点在第四卦限， B 点在第五卦限， C 点在第八卦限， D 点在第三卦限 . 7. 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置： A （ 3， 4， 0）， B （ 0， 4，3）， C （ 3，0，0）， D （ 0， D A 4 283 高等数学上（修订版）（复旦出版社） 习题六 无穷数级 答案详解 1．写出下列级数的一般项： (1)111135 7 ++++ ； (2)2 2242462468x x x x x ++++?????? ； (3)3579 3579 a a a a -+-+ ； 解：(1)1 21 n U n =-； (2)()2 !! 2n n x U n = ； (3)() 21 1 121 n n n a U n ++=-+； 2．求下列级数的和： (1)()()() 11 11n x n x n x n ∞ =+-+++∑ ； (2) ( )1 221n n n n ∞ =+-++∑； (3)23 111 5 55+ ++ ； 解：(1)()()() ()()()()1 11111211n u x n x n x n x n x n x n x n = +-+++?? -= ?+-++++?? 284 从而()()()()()()() ()()()()()()()1111 1211212231111111211n S x x x x x x x x x n x n x n x n x x x n x n ?-+-= +++++++?? ++ - ?+-++++? ?? -= ?++++?? 因此() 1lim 21n n S x x →∞ =+，故级数的和为 () 121x x + (2)因为()()211n U n n n n =-+-++- 从而()()()() ()()()()3243322154432112112 1 12 21 n S n n n n n n n n =-+-----+-++---+-++-=+-++-=+-+++ 所以lim 12n n S →∞ =-，即级数的和为12-． (3)因为2111 5551115511511145n n n n S =+ ++????-?? ???? ?=-????=-?? ????? 从而1lim 4 n n S →∞ =，即级数的和为14 ． 3．判定下列级数的敛散性： (1) ( )1 1n n n ∞ =+-∑； (2) ()() 11111661111165451n n +++++???-+ ； (3) ()23133222213333 n n n --+-++- ； 第二章 2.1求下列函数的拉氏变换 （1）s s s s F 2 32)(23++= （2）4310)(2+-=s s s F （3）1)(!)(+-= n a s n s F （4）36 )2(6 )(2++=s s F （5） 2222 2) ()(a s a s s F +-= （6）)14(21)(2 s s s s F ++= （7）52 1 )(+-= s s F 2.2 （1）由终值定理：10)(lim )(lim )(0 ===∞→∞ →s t s sF t f f （2）1 10 10)1(10)(+-=+= s s s s s F 由拉斯反变换：t e s F L t f ---==1010)]([)(1 所以 10)(lim =∞ →t f t 2.3（1）0) 2()(lim )(lim )0(2 =+===∞ →→s s s sF t f f s t )0()0()()()](['2''0 ' 'f sf s F s dt e t f t f L st --==-+∞ ? )0()0()(lim )(lim '2''0f sf s F s dt e t f s st s --=+∞ →-+∞ +∞→? 1 )2()(lim )0(2 2 2 ' =+==+∞→s s s F s f s (2)2 ) 2(1 )(+= s s F , t te s F L t f 21)]([)(--==∴ ,0)0(2)(22' =-=--f te e t f t t 又，1 )0(' =∴f 2.4解：dt e t f e t f L s F st s --?-==202)(11 )]([)( ??------+-=2121021111dt e e dt e e st s st s 微积分课后题答案习题 详解 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】 第二章 习题2-1 1. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞ x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞ x n +k =a . 证：由lim n n x a →∞ =，知0ε?>，1N ?，当1n N >时，有 取1N N k =-，有0ε?>，N ?，设n N >时（此时1n k N +>）有 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞ =. 2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞ x n =a ,则lim n →∞ ∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明 上述结论反之不成立. 证： 而 n n x a x a -≤- 于是0ε?>，,使当时，有N n N ?> n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-< 由数列极限的定义得 lim n n x a →∞ = 考察数列 (1)n n x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞ =， 所以前面所证结论反之不成立。 3. 利用夹逼定理证明： (1) lim n →∞ 2 22111(1) (2)n n n ??+++ ?+?? =0； (2) lim n →∞2!n n =0. 证：（1）因为 222 222111 112(1)(2)n n n n n n n n n n ++≤+++ ≤≤=+ 而且 21lim 0n n →∞=， 2lim 0n n →∞=， 所以由夹逼定理，得 22211 1lim 0(1)(2)n n n n →∞?? +++ = ?+? ? . （2）因为22222240!123 1n n n n n < =<-，而且4 lim 0n n →∞=， 1-1机械工程控制论的研究对象与任务是什么? 解机械工程控制论实质上是研究机械一r_程技术中广义系统的动力学问题。具体地讲，机械工程控制论是研究机械工程广义系统在一定的外界条件作用下，从系统的一定初始条件出发，所经历的由内部的固有特性所决定的整个动态历程;研究这一系统及其输入、输出二者之间的动态关系。 机械工程控制论的任务可以分为以下五个方面: (1)当已知系统和输人时，求出系统的输出(响应)，即系统分析。 (2)当已知系统和系统的理想输出，设计输入，即最优控制。 (3)当已知输入和理想输出，设计系统，即最优设计。 (4)当系统的输人和输出己知，求系统的结构与参数，即系统辨识。 (5)输出已知，确定系统，以识别输入或输入中的有关信息，即滤波与预测。 1.2 什么是反馈?什么是外反馈和内反馈? 所谓反馈是指将系统的输出全部或部分地返送回系统的输入端，并与输人信号共同作用于系统的过程，称为反馈或信息反馈。 所谓外反馈是指人们利用反馈控制原理在机械系统或过程中加上一个人为的反馈，构成一个自动控制系统。 所谓内反馈是指许多机械系统或过程中存在的相互藕合作用，形成非人为的“内在”反馈，从而构成一个闭环系统。 1.3 反馈控制的概念是什么?为什么要进行反馈控制? 所谓反馈控制就是利用反馈信号对系统进行控制。 在实际中，控制系统可能会受到各种无法预计的干扰。为了提高控制系统的精度，增强系统抗干扰能力，人们必须利用反馈原理对系统进行控制，以实现控制系统的任务。 1.4闭环控制系统的基本工作原理是什么? 闭环控制系统的基本工作原理如下: (1)检测被控制量或输出量的实际值; (2)将实际值与给定值进行比较得出偏差值; (3)用偏差值产生控制调节作用去消除偏差。 这种基于反馈原理，通过检测偏差再纠正偏差的系统称为闭环控制系统。通常闭环控制系统至少具备测量、比较和执行三个基本功能。 1.5对控制系统的基本要求是什么? 对控制系统的基本要求是稳定性、准确性和快速性。 稳定性是保证控制系统正常工作的首要条件。稳定性就是指系统动态过程的振荡倾向及其恢复平衡状态的能力。 准确性是衡量控制系统性能的重要指标。准确性是指控制系统的控制精度，一般用稳态误差来衡量。 快速性是指当系统的输出量与输入量之间产生偏差时，系统消除这种偏差的快慢程度。 大学数学A （1）课后复习题 第一章 一、选择题 1.下列各组函数中相等的是. …….. ……..…………………………………………………………………………………….（ ） A .2 ln )(,ln 2)(x x g x x f == B .0 )(,1)(x x g x f == C .1)(,11)(2-=-?+= x x g x x x f D .2)(|,|)(x x g x x f == 2.下列函数中为奇函数的是. ……. …….. …………………………………………………………………………………….（ ）. A .)1ln()(2++=x x x f B .| |)(x e x f = C .x x f cos )(= D .1 sin )1()(2--= x x x x f 3.极限??? ? ?+++∞→22221lim n n n n n 的值为………………………………………………………………………..…….（ ） A ．0 B ．1 C ．2 1 D ．∞ 4.极限x x x x sin lim +∞→的值为.. …….. ……..……………………………………………………………………………...…….（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．∞ 5.当0→x 时，下列各项中与 2 3 x 为等价无穷小的是…………………………………………………….（ ） A ．)1(3-x e x B ．x cos 1- C ．x x sin tan - D ．)1ln(x + 6.设12)(-=x x f ，则当0→x 时，有…………………………………………………………………………..…….（ ）. A ．)(x f 与x 是等价无穷小 B ．)(x f 与x 同阶但非等价无穷小 C ．)(x f 是比x 高阶的无穷小 D ．)(x f 是比x 低阶的无穷小 7.函数)(x f 在点x 0可导是)(x f 在点x 0连续的____________条件. ………...………………....…..（ ） A .充分不必要 B .必要不充分 C .充要 D .既不充分也不必要 8.设函数?? ? ??<≤--<≤≤≤-=01,110, 21,2)(2x x x x x x x f ，则下述结论正确的是……………………………………….（ ） 习题十 1. 根据二重积分性质，比较 ln()d D x y σ+?? 与2[ln()]d D x y σ+??的大小，其中： （1）D 表示以（0，1），（1，0），（1，1）为顶点的三角形； （2）D 表示矩形区域{(,)|35,02}x y x y ≤≤≤≤. 解：（1）区域D 如图10-1所示，由于区域D 夹在直线x +y =1与x +y =2之间，显然有 图10-1 12x y ≤+≤ < 从而 0ln()1x y ≤+< 故有 2 ln()[ln()]x y x y +≥+ 所以 2ln()d [ln()]d D D x y x y σσ+≥+?? ?? （2）区域D 如图10-2所示.显然，当(,)x y D ∈时，有3x y +≥. 图10-2 从而 ln(x +y )>1 故有 2 ln()[ln()]x y x y +<+ | 所以 2ln()d [ln()]d D D x y x y σσ +<+?? ?? 2. 根据二重积分性质，估计下列积分的值： （1）4d ,{(,)|02,02}I xy D x y x y σ=+=≤≤≤≤??; （2）22sin sin d ,{(,)|0π,0π}D I x y D x y x y σ= =≤≤≤≤?? ; 解：（1）因为当(,)x y D ∈时，有02x ≤≤, 02y ≤≤ 因而 04xy ≤≤. 从而 2≤≤》 故 2d D D σσσ≤≤?? ?? ?? 即2d d D D σσσ≤≤???? 而 d D σσ=?? （σ为区域D 的面积） ，由σ=4 得 8σ≤ ≤?? (2) 因为2 2 0sin 1,0sin 1x y ≤≤≤≤，从而 220sin sin 1x y ≤≤ 故 220d sin sin d 1d D D D x y σσσ≤≤?? ???? 即220sin sin d d D D x y σσσ≤ ≤=???? ~ 而2 πσ= 所以2220sin sin d πD x y σ≤ ≤?? （3）因为当(,)x y D ∈时，2 2 04x y ≤+≤所以 22229494()925x y x y ≤++≤++≤ 故 229d (49)d 25d D D D x y σσσ≤++≤?? ???? 即 229(49)d 25D x y σσσ≤ ++≤?? 而 2 π24πσ=?= 所以 2236π(49)d 100πD x y σ≤ ++≤?? … 3. 根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值： 机械控制工程课后答案 1-1机械工程控制论的研究对象与任务是什么? 解机械工程控制论实质上是研究机械一r_程技术中广义系统的动力学问题。具体地讲，机械工程控制论是研究机械工程广义系统在一定的外界条件作用下，从系统的一定初始条件出发，所经历的由内部的固有特性所决定的整个动态历程;研究这一系统及其输入、输出二者之间的动态关系。 机械工程控制论的任务可以分为以下五个方面: (1)当已知系统和输人时，求出系统的输出(响应)，即系统分析。 (2)当已知系统和系统的理想输出，设计输入，即最优控制。 (3)当已知输入和理想输出，设计系统，即最优设计。 (4)当系统的输人和输出己知，求系统的结构与参数，即系统辨识。 (5)输出已知，确定系统，以识别输入或输入中的有关信息，即滤波与预测。 1.2 什么是反馈?什么是外反馈和内反馈? 所谓反馈是指将系统的输出全部或部分地返送回系统的输入端，并与输人信号共同作用于系统的过程，称为反馈或信息反馈。 所谓外反馈是指人们利用反馈控制原理在机械系统或过程中加上一个人为的反馈，构成一个自动控制系统。 所谓内反馈是指许多机械系统或过程中存在的相互藕合作用，形成非人为的“内在”反馈，从而构成一个闭环系统。 1.3 反馈控制的概念是什么?为什么要进行反馈控制? 所谓反馈控制就是利用反馈信号对系统进行控制。 在实际中，控制系统可能会受到各种无法预计的干扰。为了提高控制系统的精度，增强系统抗干扰能力，人们必须利用反馈原理对系统进行控制，以实现控制系统的任务。 1.4闭环控制系统的基本工作原理是什么? 闭环控制系统的基本工作原理如下: (1)检测被控制量或输出量的实际值; (2)将实际值与给定值进行比较得出偏差值; (3)用偏差值产生控制调节作用去消除偏差。 这种基于反馈原理，通过检测偏差再纠正偏差的系统称为闭环控制系统。通常闭环控制系统至少具备测量、比较和执行三个基本功能。 1.5对控制系统的基本要求是什么? 对控制系统的基本要求是稳定性、准确性和快速性。 稳定性是保证控制系统正常工作的首要条件。稳定性就是指系统动态过程的振荡倾向及其恢复平衡状态的能力。 准确性是衡量控制系统性能的重要指标。准确性是指控制系统的控制精度，一般用稳态误差来衡量。 快速性是指当系统的输出量与输入量之间产生偏差时，系统消除这种偏差的快慢程度。 2-1 dt d t u RC dt d dt d t u RC dt d t u dt t u C t u R t t u idt C t u i a i i i i )t (u )(1 )t (u )t (u )(1 )t (u ) (R ) (1)(i )(u )(1 )(.000 00000=++=+=∴=+=??同时：由电压定律有：设回流电流为 2019年广西满分作文：毕业前的最后一堂课时光飞逝，白马过隙。2019高考如约而至，距离我的那年高考也已有二十岁的年份。烈日的阳光，斑驳的光影，仿佛又把我拉进了在宽窄巷子的学堂里最后冲刺的时光。 高中即将毕业，意味着每个人将为人生方向的开启选好时光的阀门，单纯的学历生涯即将告一段落。课堂上朗朗整齐的晨读和起立，行礼的流程将渐行远去。它是青春懵懂的里程，也是最为单纯的诗书礼仪，课桌黑板走廊都将记录这里每个人在经历人生的最后一课，无论是同学还是老师。 记得1999年炙热的炎夏，当年的二十八中还隐藏在老成都皇城宽窄巷子里面，距离高考还有一周，同学们已经不再像之前那样紧张忙碌的复习节奏，三三两两，甚至结伴到学校周围看看能不能捡到老皇城留下的一砖半瓦，为自己这里的高中学涯留点念想。 还记得是用过学校食堂的午餐，在最后一节考前动员课上完以后，大家就会各自回到家中，为最后到来的大考最最后的准备。课堂的气氛很是轻松，甚至我和我的同桌还在讨论中午学校食堂红椒肉丝的白糖是否搁多了，随着班主任走进教室，踏上讲台，一如既往地喊道：上课！接着就是值日生的“起立敬礼老师好”的三重奏，最后一节课的师生礼仪完毕后，班主任转身在黑板上用粉笔撰写了四个大字“勇往直前”，语重心长的寄语和感慨在此不表，大家彼此默契的拿出早已准备好的记事本开始彼此留言签名，数言珍语，寥寥几笔都赫然纸上。 人生最后一堂课，没有习题的讲解和紧张备考的威严氛围。三年同窗，彼此单纯的朝夕相处和课桌校园间的点滴生活早已让这个班级凝成了一片经脉。“聚是一团火，散是满天星，不求桃李满天下，只愿每人福满多。”班主任最后这句话至今印刻脑海。二十载已过，当时班主任的心境早已能够理解，也希望每年高考时，同学志愿看天下！ 1 支持《孙子兵法》为孙武所著的是（）。 （分） 分 A、 梅尧臣 B、 叶适 C、 宋濂 D、 钱穆 我的答案：C 2 精确制导武器的直接命中率在（）以上。（分）分 A、 10% B、 30% C、 50% D、 70% 我的答案：C 3 下列不属于热成像特点的是（）。（分） 分 A、 全天候观察 B、 揭露伪装 C、 热成像制导 D、 耗能大 我的答案：D 4 下列不属于19世纪美国的战略选择的是（）。（分）分 A、 中立主义 B、 孤立主义 C、 门罗主义 D、 霸权主义 我的答案：D 5 党的“八七会议”后，毛泽东领导和指挥了什么起义（）。（分）分 A、 秋收起义 B、 南昌起义 C、 广州起义 D、 百色起义 我的答案：A 6 中国首次发射的载人航天飞行器是（）。（分） 分 A、 神舟四号 B、 神舟五号 C、 神舟六号 D、 神舟七号 我的答案：B 7 下列关于电子隐身技术采用的方法，说法有误的是（）。（分） 分 A、 减少无线电设备 B、 采用高技术手段改进电子设备 C、 增强电缆辐射 D、 改变天线结构 我的答案：C 8 越南战争中，美国出动14架F-4战机各带一枚“宝石路”激光制导炸弹炸毁了清化大桥， 这属于哪种电子对抗形式（）（分） 分 A、 反辐射对抗 B、 隐身与反隐身 C、 光电对抗 D、 卫星对抗 我的答案：C 9 下列在新军事变革过程里提出的作战理论中，与“不战而屈人之兵”相类似的理论是（）。（分） 分 A、 非对称作战理论 B、 非接触作战理论 C、 震慑战理论 D、 特种作战理论 我的答案：C 10 战斧式巡航导弹的特点是（）。（分） 分 A、 远程、隐蔽性好 B、 远程、精确 C、 简单、精确 D、 抗干扰性高、精确 我的答案：B 11 目前形成的三位一体战略核力量，其中不包括（）。（分）分 A、 战略轰炸机 2-1什么是线性系统？其最重要特性是什么？ 答：如果系统的数学模型是线性的，这种系统就叫做线性系统。线性系统最重要的特性，是适用于叠加原理。叠加原理说明，两个不同的作用函数（输入），同时作用于系统所产生 的响应（输出），等于两个作用函数单独作用的响应之和因此，线性系统对几个输入 量同时作用而产生的响应，可以一个一个地处理，然后对它们的响应结果进行叠加。 2-2 分别求出图（题2-2）所示各系统的微分方程。 ) () (t f t y k m (a ) ) (t y ) (t f 2 1 k k m (b ) c c 1 2 m x x i o (c ) 1k 2 k o i x x c (d ) 1 k 2k x i x o c (e ) 解：)(a )()()(t f t ky t y m =+ )(b )()()()(21t f t y k k t y m =++ ? ???+=-02010))((x c x m c x x c i 2 12110)()()() (K K s K K c cs K s X s X d i ++= 02010)())((x K c x x K x x e i i =-+-? ? 2-3 求图（题2-3）所示的传递函数，并写出两系统的无阻尼固有频率n ω及阻尼比ξ的表达式。 x i x o c k m (a ) C u u o i L R (b ) 解：图)(a 有：m k s m c s m k s G ++= 2)( m k n =ω mk C 2=ξ 图)(b 有：??? ???? =++=??idt C V idt C R L V i i i 110 ∴ LC s L R s LC s G 11 )(2+ += LC n 1=ω L C R 2=ξ 2-4 求图（题2-4）所示机械系统的传递函数。图中M 为输入转矩，m C 为圆周阻尼，J 为转动惯量。（应注意消去θ θ ,及θ ） x m k R c M m ,C J 题2-4 解：由已知可知输入量M 与输出量θ之间的关系为： M k C J m =++θθθ 经拉氏变换后为：)()()(2 s M k s s C s Js m =++θθθ ∴ 2 2 2 222/11)() ()(n n n m m s J k s J C s J k s C Js s M s s G ωξωωθ++=++=++== 其中，J k n = ω Jk C m 2=ξ 2-5 已知滑阀节流口流量方程式为)/2(v ρωp x c Q =，式中，Q 为通过节流阀流口的流量；p 为节流阀流口的前后油压差；v x 为节流阀的位移量；c 为流量系数；ω为节流口 高等数学习题及答案 一、填空题（每小题3分，共21分） 1．设b a by ax y x f ,,),(其中+=为常数，则=)),(,(y x f xy f .y b abx axy 2 ++ 2．函数2 2y x z +=在点)2,1(处，沿从点)2,1(到点)32,2(+的方向的 方向导数是 .321+ 3．设有向量场k xz j xy i y A ρρρρ++=2 ，则=A div ρ . x 2 4．二重积分??2 1 ),(x dy y x f dx 交换积分次序后为 .??1 1 ),(y dx y x f dy 5．幂级数∑∞ =-1 3)3(n n n n x 的收敛域为 . [0,6) 6．已知y x e z 2-=，而3 ,sin t y t x ==，则 =dt dz 3sin 22(cos 6)t t e t t -- 7．三重积分 =???Ω dv 3 ， 其中Ω是由3,0,1,0,1,0======z z y y x x 所围成的立体. 二、计算题（一）（每小题7分，共21分） 1．设b a b a ρρρρ与,5,2==的夹角为π3 2 ，向量b a n b a m ρρρρρρ-=+=317与λ相互垂直，求λ. 解：由25173 2 cos 52)51(1217)51(3022?-???-+=-?-+=?=πλλλλb b a a n m ρρρρρρ 得.40=λ 2．求过点)1,2,1(-且与直线?? ?=--+=-+-0 4230 532z y x z y x 垂直的平面方程. 解：直线的方向向量为{}11,7,52 13132 =--=k j i s ρρρρ 取平面的法向量为s n ρ ρ=，则平面方程为0)1(11)2(7)1(5=++-+-z y x 即.081175=-++z y x 3．曲面32=xyz 上哪一点处的法线平行于向量}1,8,2{=S ρ ？并求出此法线方程. 解：设曲面在点),,(z y x M 处的法线平行于s ρ ，令32-=xyz F 则在点),,(z y x M 处曲面的法向量为.1 82,}.,,{},,{xy xz yz s n xy xz yz F F F n z y x ====故有 由于ρ ρρ由此解得 y z y x 8,4==，代入曲面方程，解得),,(z y x M 的坐标为)8,1,4(，用点向式即得所求法线 方程为1 8 8124-= -=-z y x 三、计算题（二）（每小题7分，共21分） 1．设)(x y xF xy z +=，其中)(u F 为可导函数，求.y z y x z x ??+?? 解： ),()(u F x y u F y x z '-+=?? )(u F x y z '+=?? xy z xF xy y z y x z x +=+=??+??2 2．将函数??? ? ??-=x e dx d x f x 1)(展成x 的幂级数，并求∑∞ =+1)!1(n n n 的和. 解：???++???++=--1! 1 !2111n x x n x x e微积分课后题答案第九章习题详解
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