同济版高等数学课后习题解析

设 为正常数， ,
证:由题意, , (数列有下界)
又 (因 ）（数列单调减少)
由单调有界定理,此数列收敛；记 ,对 两边取极限,得 ，解得 (负的舍去),故此数列的极限为 .
P35页4.(８）极限
(若以后学了洛必达法则( 型未定型）,则
）
书后部分习题解答2
P３６页
8.已知当 时, ，求常数 .
知识点:１)等价无穷小的概念;
分析:1）即检验是否符合罗尔定理的条件；
2）若符合， 是否存在?
解：易知 在[1,2］,[2，３]上连续，（1,2）,（2,３）内可导，且 ，故符合罗尔定理的条件。
又由 ,得 ,成立。
4.(3)证:
证：设 ，当 时，等式成立；
若 ，则易知 在 上连续，在 内可导,则由拉格朗日定理
(1)
把 代入式（１），解得
（或由式（1)解得: （2)
再把点代入得 ）
(求隐函数二阶求导的方法）
方法1：式(1)两边对 求导,(记 , ）
把 ， 代入，得
(代入: )
方法2：式（2）对 求导：
,
点、一阶导数直接代入（不用化简，注意式中有0处的值）即可.
Ｐ６２页15题.利用对数求导法求导
(３)
说明：1）一定要用对数求导法求导;2)取对数后，先化简.
题型:证明函数为常数;
用到的知识：书７8页定理3．4(3)的结论,若 ，则 .( )
证明：设 ，则
,
整理,当 ， ，故 ，又
所以: ,当 .
Ｐ8９页（用洛必达法则求极限时，可以适当的化简、整理等,目的简化计算)
2(3)
解：
（用到连续性与极限的运算，相当于 代入）
（5)
解:
(整理,等价无穷小的代换）
３.(2） （函数差的极限,一定要整理成函数商的极限）
2）点 处的左右导数的定义与记号:
左导数
右导数
３）分段函数在分界点（具体的点)处的导数必须用导数的定义或左右导数的定义做。
解：因 （先写出 处的函数值)
又
(在 处的左导数定义）
(在 处的右导数定义)
而
10.设函数 ,为了使函数在 处连续且可导， 应取什么值？
题型:分段函数在分界点处的连续性与导数的求法。
, ，
故由根的存在定理,至少在 内存在一点 ,使 ，
即方程 在 内必有一实根.
P61页
3.设 存在，求:
（1) (2）
（3）
分析：因 存在,则极限 的值为 。
把(1）(２）(3）化为相应可用极限的形式
解:（1)
（２）
（3）
8.用导数的定义求 在 处的导数.(可参看P51例1－２）
知识点：1)导数在一点 处的定义： ;
解： ＝ （用了等价无穷小的代换）
４.(3） （幂指函数的极限)
解： ＝
先求
（用到 , 时， ，无穷大量的倒数为无穷小）
故
(4)
解：
而
（用到 ， ）
故
7.试确定常数 ，使得 .
解:因 ,
又 ,上式分母 ，且极限存在，则必须分子
得 ；则
= ，得
书后部分习题解答4(关于中值定理与未定式极限）
P８2页
1．检验罗尔定理对函数 是否成立？
２)熟记常用的等价无穷小，求极限时可用等价无穷小的替换定理。
解：由题意: 得
或
（根式有理化）
P42页3（４）
关于间断点:
为第二类间断点
说明: 不存在（在 的过程中,函数值不稳定,不趋向与 ）
P4３页７（１）证明方程 在 内必有一实根。
知识点：闭区间(一定要闭）上连续函数的根的存在定理
证明:设 ，易知, 在 上连续； (注：设函数，闭区间)
解:因 ，
又 ，上式分母 ，且极限存在,则必须分子
得 ；则
= ,得
存在 ，使
取绝对值，得
同理 ，可证
综合：有
６.设函数 在闭区间［１,2］上可微，证明: ，其中 .
提示:对 ， 用柯西中值定理.
8．证明: ,其中 .
题型:证明函数为常数;
用到的知识:书78页定理3.4（3）的结论,若 ，则 .( )
证明:设 ，则
，
整理,当 , ,故 ,又
所以： ，当 ．
P89页(用洛必达法则求极限时,可以适当的化简、整理等,目的简化计算)
解:由题意，函数在 处连续,则 ,即
，得
又函数在 处可导，则
而
（用到了 ）
故
书后部分习题解答3(关于隐函数求导)
P6２页
1４．设 ，求 ．
分析：１）隐函数求导；２)由 代入方程要求出 的值。
解：方程两边对 求导：
得:
又由 代入方程，得 ,所以：
20.已知 ,求 ， .
要点:求隐函数二阶导数的方法。
解：方程两边对 求导：
2(3）
解：
(用到连续性与极限的运算,相当于 代入)
（5)
解:
(整理,等价无穷小的代换）
３.(２) （函数差的极限，一定要整理成函数商的极限)
解： = (用了等价无穷小的代换)
4.(3) (幂指函数的极限)
解: ＝
先求
(用到 , 时， ，无穷大量的倒数为无穷小）
故
(4)
解：
而
(用到 ， )
故
７.试确定常数 ，使得 ．
解:取对数: (化简）
两边对 求导:
所以: ( 代入)
书后部分习题解答4（关于中值定理与未定式极限)
P82页
1．检验罗尔定理对函数 是否成立？
分析:1）即检验是否符合罗尔定理的条件;
2)若符合, 是否存在？
解：易知 在[１,2],[2,3］上连续，(1,2），（2,3）内可导，且 ，故符合罗尔定理的条件。
又由 ，得 ,故有
,符合罗尔定理的结论.
故罗尔定理对函数 成立。
4．(3)证：
证:设 ,当 时，等式成立；
若 ，则易知 在 上连续,在 内可导，则由拉格朗日定理
存在 ，使
取绝对值,得
同理 ,可证
综合:有
6．设函数 在闭区间[1,2］上可微，证明: ，其中 .
提示:对 ， 用柯西中值定理.
8.证明： ，其中 ．
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书后部分习题解答
P21页
3．（3） （ ）
知识点：1）等比级数求和 (共n项)
２)用Ｐ14例4的结论：当 时,
解：
5.（1）判断下列数列是否收敛,若收敛,则求出极限：