梯形常用解题方法及例题和变式习题训练

梯形的常用辅助线一、平移1、平移一腰：从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形转化为一个三角形和一个平行四边形。

［例1］如图1，梯形ABCD 的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC的取值范围。

图1析解：过点B 作BM//AD 交CD 于点M ，则梯形ABCD 转化为△BCM 和平行四边形ABMD 。

在△BCM 中，BM=AD=4，CM=CD －DM=CD －AB=8－3=5，所以BC 的取值范围是： 5－4<BC<5＋4，即1<BC<9。

2、平移两腰：利用梯形中的某个特殊点，过此点作两腰的平行线，把两腰转化到同一个三角形中。

［例2］如图2，在梯形ABCD 中，AD//BC ，∠B ＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连接EF ，求EF的长。

图2析解：过点E 分别作AB 、CD 的平行线，交BC 于点G 、H ，可得 ∠EGH ＋∠EHG=∠B ＋∠C=90° 则△EGH 是直角三角形因为E 、F 分别是AD 、BC 的中点，容易证得F 是GH 的中点 所以)CH BG BC (21GH 21EF --==1)13(21)AD BC (21)]DE AE (BC [21)DE AE BC (21=-=-=+-=--=3、平移对角线：过梯形的一个顶点作对角线的平行线，将已知条件转化到一个三角形中。

［例3］如图3，在等腰梯形ABCD 中，AD//BC ，AD=3，BC=7，BD=25，求证：AC ⊥BD 。

图3析解：过点C 作BD 的平行线交AD 的延长线于点E ，易得四边形BCED 是平行四边形，则DE=BC ，CE=BD=25，所以AE=AD ＋DE=AD ＋BC=3＋7=10。

在等腰梯形ABCD 中，AC=BD=25，所以在△ACE 中，22222AE 100)25()25(CE AC ==+=+，从而AC ⊥CE ，于是AC ⊥BD 。

【变式1】（平移对角线）已知梯形ABCD 的面积是32，两底与高的和为16，如果其中一条对角线与两底垂直，则另一条对角线长为_____________［例4］如图4，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AC=15cm ，BD=20cm ，高DH=12cm ，求梯形ABCD 的面积。

图4析解：过点D 作DE//AC ，交BC 的延长线于点E ，则四边形ACED 是平行四边形，即DCE ACD ABD S S S ∆∆∆==。

所以DBE ABCD S S ∆=梯形由勾股定理得2222DH AC DH DE EH -=-=9121522=-=（cm ）161220DH BD BH 2222=-=-=（cm ）所以)cm (15012)169(21DH BE 21S 2D BE =⨯+⨯=⋅=∆，即梯形ABCD 的面积是150cm 2。

二、延长即延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三角形。

［例5］如图5，在梯形ABCD 中，AD//BC ，∠B=50°，∠C=80°，AD=2，BC=5，求CD 的长。

图5析解：延长BA 、CD 交于点E 。

在△BCE 中，∠B=50°，∠C=80°。

所以∠E=50°，从而BC=EC=5 同理可得AD=ED=2 所以CD=EC －ED=5－2=3【变式2】如图所示，四边形ABCD 中，AD 不平行于BC ，AC ＝BD ，AD ＝BC. 判断四边形ABCD 的形状，并证明你的结论.A BCD【变式3】（延长两腰）如图，在梯形中，，，、为、的中点。

三、作对角线即通过作对角线，使梯形转化为三角形。

［例6］如图6，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥AD，BC=CD，BE⊥CD于点E，求证：AD=DE。

图6析解：连结BD，由AD//BC，得∠ADB=∠DBE；由BC=CD，得∠DBC=∠BDC。

所以∠ADB=∠BDE。

又∠BAD=∠DEB=90°，BD=BD，所以Rt△BAD≌Rt△BED，得AD=DE。

四、作梯形的高1、作一条高，从底边的一个端点作另一条底边的垂线，把梯形转化为直角三角形或矩形。

［例7］如图7，在直角梯形ABCD中，AB//DC，∠ABC=90°，AB=2DC，对角线AC⊥BD，垂足为F，过点F作EF//AB，交AD于点E，求证：四边形ABFE是等腰梯形。

图7析证：过点D作DG⊥AB于点G，则易知四边形DGBC是矩形，所以DC=BG。

因为AB=2DC，所以AG=GB。

从而DA=DB，于是∠DAB=∠DBA。

又EF//AB，所以四边形ABFE是等腰梯形。

2、作两条高：从同一底边的两个端点作另一条底边的垂线，把梯形转化为两个直角三角形和一个矩形。

［例8］如图8，在梯形ABCD中，AD为上底，AB>CD，求证：BD>AC。

图8析证：作AE⊥BC于E，作DF⊥BC于F，则易知AE=DF。

在Rt△ABE和Rt△DCF中，因为AB>CD，AE=DF。

所以由勾股定理得BE>CF。

即BF>CE。

在Rt△BDF和Rt△CAE中由勾股定理得BD>AC五、作中位线1、已知梯形一腰中点，作梯形的中位线。

［例9］如图9，在梯形ABCD 中，AB//DC ，O 是BC 的中点，∠AOD=90°，求证：AB ＋CD=AD 。

图9析证：取AD 的中点E ，连接OE ，则易知OE 是梯形ABCD 的中位线，从而OE=21（AB ＋CD ）①在△AOD 中，∠AOD=90°，AE=DE 所以AD 21OE =② 由①、②得AB ＋CD=AD 。

2、已知梯形两条对角线的中点，连接梯形一顶点与一条对角线中点，并延长与底边相交，使问题转化为三角形中位线。

［例10］如图10，在梯形ABCD 中，AD//BC ，E 、F 分别是BD 、AC 的中点，求证：（1）EF//AD ；（2）)AD BC (21EF -=。

图10析证：连接DF ，并延长交BC 于点G ，易证△AFD ≌△CFG 则AD=CG ，DF=GF由于DE=BE ，所以EF 是△BDG 的中位线 从而EF//BG ，且BG 21EF =因为AD//BG ，AD BC CG BC BG -=-=所以EF//AD ，EF )AD BC (21-=三、在梯形中出现一腰上的中点时，过这点构造出两个全等的三角形达到解题的目的。

例4、在梯形ABCD 中，AD ∥BC ， ∠BAD=900，E 是DC 上的中点，连接AE 和BE ，求∠AEB=2∠CBE 。

解、分析：分别延长AE 与BC ，并交于F 点，从而等到△ADE 与△FCE 是全等的，在利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半就可以求出结论”。

解：分别延长AE 与BC ，并交于F 点∵∠BAD=900且AD ∥BC∴∠FBA=1800－∠BAD=900又∵AD ∥BC∴∠DAE=∠F(两直线平行内错角相等) ∠AED=∠FEC （对顶角相等）DE=EC （E 点是CD 的中点） ∴△ADE ≌△FCE （AAS ） ∴ AE=FE在△ABF 中∠FBA=900且AE=FE∴ BE=FE （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） ∴ 在△FEB 中 ∠EBF=∠FEB ∠AEB=∠EBF+ ∠FEB=2∠CBE【模拟试题】1. 若等腰梯形的锐角是60°，它的两底分别为11cm ，35cm ，则它的腰长为__________cm .2. 如图所示，已知等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝60°，AD ＝2，BC ＝8，则此等腰梯形的周长为（ ）A. 19B. 20C. 21D. 22AB CD3. 如图所示，AB ∥CD ，AE ⊥DC ，AE ＝12，BD ＝20，AC ＝15，则梯形ABCD 的面积为（ ） A. 130 B. 140 C. 150 D. 160A BCDE4. 如图所示，在等腰梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，对角线AC 与BD 互相垂直，且AD ＝30，BC ＝70，求BD 的长.AB CD5. 如图所示，已知等腰梯形的锐角等于60°，它的两底分别为15cm 和49cm ，求它的腰长.A B CD6. 如图所示，已知等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥BD ，AD ＋BC ＝10，DE ⊥BC 于E ，求DE 的长.ABCDE7. 如图所示，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠D ＝2∠B ，AD ＋DC ＝8，求AB 的长.ABCDBCA D E8. 如图所示，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，（1）若E 是AB 的中点，且AD ＋BC ＝CD ，则DE 与CE 有何位置关系？（2）E 是∠ADC 与∠BCD 的角平分线的交点，则DE 与CE 有何位置关系？A B CDE【课后演练】1（本小题满分5分）已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，∠BAD 、∠CDA 的平分线AE 、DF 分别交直线BC 于点E 、F ．求证： CE=BF ．2．如图，在梯形A B C D 中，A D B C ∥，9038BD CD BDC AD BC =∠===，°，，．求AB 的长．3．如图6，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，90A ∠=︒，︒=∠45C ，DE=EC ，AB=4,AD=2，求BE 的长．4．如图，在平面直角坐标系中，A （23，0），B （23，2）.把矩形OABC 逆时针旋转30︒得到矩形111OA B C .（1）求1B 点的坐标；（2）求过点（2，0）且平分矩形111OA B C 面积的直线l 方程；（3）设（2）中直线l 交y 轴于点P ，直接写出1PC O ∆与11PB A ∆的面积和的值及1POA ∆与11PB C ∆的面积差的值.备用图yx4O 4xyO E C'A BCDP5. 如图，矩形纸片ABCD 中，BC=4，AB=3，点P 是BC 边上的动点(点P 不与点B 、C 重合)．现将△PCD 沿PD 翻折，得到△PC ’D ；作∠BPC ’的角平分线，交AB 于点E ．设BP= x,BE= y,则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是6．已知：如图，梯形ABCD 中，DC ∥AB ，AD =BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，∠COD =60°，若CD =3，AB =8，求梯形ABCD 的高．7．已知如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD=2，BC=DC=5，点P 在BC 上移动，则当PA+PD 取最小值时，△APD 中边AP 上的高为 .B CD O A12题图8 如图，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=1，动点P 从点B 出发， 沿路线B C D →→作匀速运动，那么△ABP 的面积S 与点P 运动的路程x 之间的函数图象大致是9．如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，10CD BC ==，21AB =，9AD =．求AC 的长．10如图，直线1l ：1y x =+与直线2l ：y mx n =+相交于点), 1(b P ． （1）求b 的值；（2）不解关于y x ,的方程组 请你直接写出它的解；（3）直线3l ：y nx m =+是否也经过点P ？请说明理由．11．已知：关于x 的一元二次方程01)2()1(2=--+-x m x m （m 为实数） 若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；O3 1 1 3 S x A ． O11 3 Sx O3 Sx 3O1 1 3 SxB ．C ．D ．2 DC P BAOxyP10题1l2l12．已知：如图，直线323+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，D 是y 轴上的一点，若将△DAB 沿直线DA 折叠，点B 恰好落在x 轴正半轴上的点C 处，求直线CD 的解析式．14．如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，BD ⊥DC ，∠C =60°，AD=4，BC=6，求AB 的长．15．已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=45°，∠BAC=105°，AD =CD =4．求BC 的长．A BCDxyO D C B A DA B CxyO16．已知：将函数33y x =的图象向上平移2个单位，得到一个新的函数的图像．(1)求这个新的函数的解析式；(2)若平移前后的这两个函数图象分别与y 轴交于O 、A 两点，与直线3x =-交于C 、B 两点．试判断以A 、B 、C 、O 四点为顶点的四边形形状，并说明理由；17 如图，在梯形CD AB 中，AB ∥DC ，DC A DB ∠平分，过点A 30BDC =∠°，3AD =求CD 的长．。