第9讲统计中三大分布资料.
三大分布及其分位数
泊松分布的均值和方差相等，且随着均值 的增大，泊松分布逐渐趋近于正态分布。 此外，泊松分布具有可加性，即两个独立 泊松分布的和仍然服从泊松分布。
泊松分布的分位数计算
分位数定义
分位数是指将一个随机变量的概率分 布划分为几个等份的数值点，如中位 数就是50%分位数。
泊松分布分位数计算
泊松分布的分位数可以通过查表或使用 统计软件进行计算。对于给定的泊松分 布参数λ和概率p，可以计算出对应的分分位数的概念
分布
分布是指一组数据在各个取值范围内的频数或频率。在统计 学中，分布通常用概率密度函数或累积分布函数来描述。
分位数
分位数是指将一个随机变量的概率分布范围分为几个等份的 数值点。常用的分位数有四分位数、百分位数等。例如，中 位数就是50%分位数，表示有一半的数据小于或等于该值， 另一半的数据大于该值。
和优化提供理论支持。
生物学和医学
在生物学和医学研究中，泊松分布 可以用来描述放射性物质的衰变次 数、基因突变数等随机事件的发生
次数。
04 指数分布及其分位数
指数分布的定义和性质
定义
01
指数分布是一种连续概率分布，通常用于描述事件之间的时间
间隔。
性质
02
指数分布具有无记忆性，即事件发生的概率与自上次事件发生
排队论
在排队系统中，指数分布可用于描述顾客到达和 服务时间的概率分布，从而分析系统的性能指标 。
金融风险管理
指数分布可用于评估金融风险，如信用风险和市 场风险等，帮助金融机构制定风险管理策略。
05 三大分布的比较与联系
三大分布的特征比较
正态分布
呈钟形曲线，两侧对称，均值、 中位数、众数相等，标准差决定
统计学三大分布的应用
统计学三大分布的应用
统计学三大分布是指正态分布、t分布和卡方分布。
这些分布在统计学中应用广泛，下面将分别介绍其应用。
正态分布是自然界中最常见的分布之一，常用于描述连续性变量。
例如，身高、体重、智商等连续性变量都可以用正态分布来描述。
在假设检验、置信区间估计和回归分析等统计学方法中，正态分布也是一个非常重要的理论基础。
t分布是由威廉·塞德威克·高斯特(W.S.Gosset)于1908年提
出的，用来解决小样本量的问题。
t分布的形状与正态分布非常接近，但是在样本量较小的情况下，t分布的尾部更宽一些，因此在小样本量的情况下，使用t分布进行假设检验和置信区间估计更为合适。
卡方分布是概率论中一个重要的分布，通常应用于描述计数数据。
例如，在卡方检验中，卡方分布常常用来处理分类数据，如调查中统计“喜欢”或“不喜欢”某种产品或服务的人数。
卡方分布也常用于多项式回归和逻辑回归等模型中。
综上所述，正态分布、t分布和卡方分布在统计学中应用非常广泛，是统计学的重要组成部分。
对于从事统计学研究或相关领域的人员来说，深入理解和熟练运用这些分布是非常重要的。
- 1 -。
统计学上三大分布推导方法
统计学上三大分布推导方法统计学涉及到众多的概率分布，其中三大分布推导方法是统计学中的重要内容。
这三种分布分别是正态分布、指数分布和泊松分布。
首先，我们来介绍正态分布。
正态分布又称为高斯分布，是统计学中常见且重要的分布之一。
正态分布的形状呈钟形曲线，两侧尾部逐渐递减。
我们经常可以在生活中观察到符合正态分布的现象，如人的身高、体重等。
正态分布的推导方法主要基于中心极限定理，通过对大量独立随机变量求平均值的方式得到。
正态分布的参数包括均值和标准差，通过对原始数据进行变换和标准化，可以将任意分布转化为标准正态分布。
正态分布在统计学中有广泛的应用，如假设检验、置信区间估计等。
接下来，让我们看看指数分布。
指数分布是一种描述随机事件发生时间间隔的分布，常用于描述连续事件的无记忆性。
例如，指数分布可以用于描述等待某件事情发生的时间，如等待公交车到站的时间。
指数分布的推导方法主要基于随机过程理论中的泊松过程。
指数分布的参数是速率参数，参数的倒数表示了事件发生的平均等待时间。
指数分布的特点是呈右偏态分布，即事件发生的概率逐渐减小。
在实际应用中，指数分布常用于可靠性分析、风险评估等方面。
最后，我们来了解一下泊松分布。
泊松分布是一种用于描述单位时间内随机事件发生次数的分布。
例如，泊松分布可以用于描述在一段时间内电话呼叫的次数、邮件的接收量等。
泊松分布的推导方法主要基于稀有事件的统计推断，通过限制时间段内的事件次数来得到。
泊松分布的参数是平均发生次数，参数越大，分布形状越集中在平均发生次数附近。
泊松分布的特点是呈正偏态分布，即事件发生的概率逐渐增加后逐渐减小。
在实际应用中，泊松分布常用于建模离散事件的发生情况，如交通流量、事故发生率等。
综上所述，正态分布、指数分布和泊松分布是统计学中重要的三大分布推导方法。
通过对中心极限定理、随机过程理论和稀有事件统计推断的研究，我们可以得到这三种分布。
这些分布在实际问题的建模和分析中有广泛的应用，对于理解和解决实际问题具有重要的指导意义。
三大抽样分布课件
差异。
04
CATALOGUE
卡方分布
卡方分布的定义
定义
卡方分布是一种连续概率分布，描述 了随机变量的取值与自由度的平方之 间的比例关系。
公式
若随机变量X符合卡方分布，则X的概 率密度函数为f(x)=x^(n/2-1)e^(x/2)/2^(n/2)Γ(n/2)，其中n为自由度 ，Γ为伽玛函数。
正态分布
正态分布的定义
01
正态分布是一种连续概率分布， 其概率密度函数呈钟形，对称轴 为均值所在直线，形状由标准差 决定。
02
正态分布是自然界中最常见的分 布形态，许多随机变量都服从或 近似服从正态分布。
正态分布的性质
01
02
03
集中性
正态分布曲线以均值为中 心，两侧分布对称。
均匀性
正态分布曲线是关于标准 差对称的，形状由标准差 决定。
t分布
t分布的定义
定义
t分布（也称为学生t分布）是一种 连续概率分布，其形状由自由度 参数决定。
描述
当数据来自正态分布的总体，且样 本量较小（通常n<30）时，t分布 近似于正态分布。
公式
t分布的密度函数和分布函数可以用 一系列复杂的数学公式来描述。
t分布的性质
形状
峰度
随着自由度的增加，t分布的形状逐渐 接近正态分布。
t分布的峰度大于正态分布的峰度，且 随着自由度的增加而减小。
偏度
t分布通常是偏态的，其偏度随着自由 度的增加而减小。
t分布在统计学中的应用
假设检验
在样本量较小时，t分布在假设 检验中常用作正态分布的替代，
用于检验统计假设。
数学中三种分布
1.分布若n个相互独立的随机变量ξ₁、ξ₂、……、ξn ，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量，其分布规律称为卡方分布（chi-square distribution），其中参数n称为自由度，正如正态分布中均值或方差不同就是另一个正态分布一样,自由度不同就是另一个分布。
记为或者卡方分布是由正态分布构造而成的一个新的分布，当自由度n很大时，分布近似为正态分布。
对于任意正整数k, 自由度为k的卡方分布是一个随机变量X的机率分布。
[1]2.特点概率密度函数其中，是伽玛函数。
期望和方差分布的均值为自由度n，记为E() = n。
分布的方差为2倍的自由度(2n)，记为D() = 2n。
3. 性质1)分布在第一象限内，卡方值都是正值，呈正偏态（右偏态），随着参数n 的增大，分布趋近于正态分布；卡方分布密度曲线下的面积都是1.2) 分布的均值与方差可以看出，随着自由度n的增大，χ2分布向正无穷方向延伸（因为均值n越来越大），分布曲线也越来越低阔（因为方差2n越来越大）。
3）不同的自由度决定不同的卡方分布，自由度越小，分布越偏斜。
4) 若互相独立，则：服从分布，自由度为；服从分布，自由度为3概率表分布不象正态分布那样将所有正态分布的查表都转化为标准正态分布去查，在χ2分布中得对每个分布定制相应的概率值，这通过χ2分布表中列出不同的自由度来表示，在χ2分布表中还需要如标准正态分布表中给出不同P 值一样，列出概率值，只不过这里的概率值是χ2值以上χ2分布曲线以下的概率。
由于χ2分布概率表中要列出很多χ2分布的概率值，所以χ2分布中所给出的P 值就不象标准正态分布中那样给出了400个不同的P 值，而只给出了有代表性的13个值，因此χ2分布概率表的精度就更差，不过给出了常用的几个值，足够在实际中使用了。
查χ2分布概率表时，按自由度及相应的概率去找到对应的χ2值。
统计学三大分布的应用
统计学三大分布的应用统计学是一门重要的学科，它通过收集、整理和分析数据来揭示事物之间的潜在规律和关系。
在统计学中，分布是一种揭示数据特征的重要工具。
在统计学中，有三大常见的分布，它们分别是正态分布、均匀分布和指数分布。
这些分布在各个领域都有广泛的应用，能够帮助我们更好地理解和解释现象。
首先，正态分布是统计学的核心概念之一。
正态分布也被称为高斯分布，它的形状近似为一个钟形曲线。
正态分布在自然界中广泛存在，例如人的身高、体重等，也在许多地方出现，如测试成绩、产品质量等。
统计学家常常使用正态分布来研究和描述各种现象，并通过计算均值和标准差来分析数据的集中度和离散程度。
正态分布也是许多假设检验和参数估计方法的基础，为我们进行科学研究和决策提供了强有力的工具。
其次，均匀分布是一种简单且常见的分布形式。
在均匀分布中，所有的取值都具有相同的概率。
这种分布可以用来模拟随机实验的结果，例如抛硬币的正反面、掷骰子的点数等。
均匀分布还在随机数生成、概率推断等方面发挥着重要作用。
在实际应用中，均匀分布也可以用来描述一些特定的自然现象，如某些地区的降雨量、温度等。
通过研究和理解均匀分布，我们可以更好地预测和解释这些现象。
最后，指数分布是描述事件发生时间的一种重要分布。
在指数分布中，事件发生的概率密度函数随时间指数级衰减。
这种分布常常用于研究和模拟一些连续系统的寿命、等待时间等。
指数分布也在信号处理、通信理论、生物学等领域中得到广泛应用。
通过对指数分布的研究，我们能够更好地理解和预测事件的发生模式，为我们提供关键信息，以便做出合理的决策。
总而言之，正态分布、均匀分布和指数分布是统计学中三大重要分布。
它们在各个领域都有广泛的应用，帮助我们更好地理解和解释现象，提供科学依据和决策支持。
通过对分布的研究和应用，统计学可以发挥重要作用，推动科学发展和社会进步。
(完整版)三大分布及其分位数
§1.5 常用的分布及其分位数
卡平方分布、t分布及F分布都是由正态分布所 导出的分布，它们与正态分布一起，是试验统计 中常用的分布。
1. 卡方分布
当X1、X2、…、Xn相互独立且都服从N(0,1)时，Z XFra bibliotek2 i
的分布称为自由度等于n的x2(n)分布， 记作 Z～ x2(n)(n).它的分布密度
3. F分布
若X与Y相互独立，且X～x2 (n)，Y～x2 (m)，则
ZX Y nm
的分布称为第一自由度等于n、第二自由度等于m的 F分布，记作Z～F (n, m)，它的分布密度
2020/8/9
4
研究生概率统计讲义
p(
z
)
n
n
2m
m 2
n 2
nm 2
m 2
•
n 1
z2
nm
(mnz) 2
10
研究生概率统计讲义 5）F分布的α分位数记作Fα(n , m) Fα(n , m)>0，当X～F (n , m)时，P{X<Fα(n , m)}=α
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11
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7
研究生概率统计讲义
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研究生概率统计讲义 3）卡平方分布的α分位数记作x2α(n)。
P{X< x2α(n)}=α
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研究生概率统计讲义 4）t 分布的α分位数记作tα(n)
当X～t (n)时，P{X<t α(n)}=α，且与标准正态分布 相类似。
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6
研究生概率统计讲义
因为1-F(λ)=α，F(λ)=1-α，所以上侧α分位数λ就 是1-α分位数 x 1-α；
概率论与数理统计中的三种重要分布
概率论与数理统计中的三种重要分布摘要：在概率论与数理统计课程中，我们研究了随机变量的分布，具体地研究了离散型随机变量的分布和连续型随机变量的分布，并简单的介绍了常见的离散型分布和连续型分布，其中二项分布、Poisson 分布、正态分布是概率论中三大重要的分布。
因此，在这篇文章中重点介绍二项分布、Poisson 分布和正态分布以及它们的性质、数学期望与方差，以此来进行一次比较完整的概率论分布的学习。
关键词：二项分布；Poisson 分布；正态分布；定义；性质一、二项分布二项分布是重要的离散型分布之一，它在理论上和应用上都占有很重要的地位，产生这种分布的重要现实源泉是所谓的伯努利试验。
（一）泊努利分布[Bernoulli distribution ] (两点分布、0-1分布)1．泊努利试验在许多实际问题中，我们感兴趣的是某事件A 是否发生。
例如在产品抽样检验中，关心的是抽到正品还是废品；掷硬币时，关心的是出现正面还是反面，等。
在这一类随机试验中，只有两个基本事件A 与A ，这种只有两种可能结果的随机试验称为伯努利试验。
为方便起见，在一次试验中，把出现A 称为“成功”，出现A 称为“失败” 通常记(),p A P = ()q p A P =-=1。
2．泊努利分布定义：在一次试验中，设p A P =)(，p q A P -==1)(，若以ξ记事件A 发生的次数，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛ξp q 10~，称ξ服从参数为)10(<<p p 的Bernoulli 分布或两点分布，记为：),1(~p B ξ。
（二）二项分布[Binomial distribution]把一重Bernoulli 试验E 独立地重复地进行n 次得到n 重Bernoulli 试验。
定义：在n 重Bernoulli 试验中，设(),()1P A p P A q p ===-若以ξ记事件A 发生的次数，则ξ为一随机变量，且其可能取值为n ,,2,1,0 ，其对应的概率由二项分布给出：{}k n kk n p p C k P --==)1(ξ，n k ,,3,2,1,0 =，则称ξ服从参数为)10(,<<p p n 的二项分布，记为),(~p n B ξ。
三大分布
2
若X1
~
2 (n1),
X
2
~
2
(n2 ),
X1,
X
相互独
2
立
，
则 X1＋X 2～ 2 (n1＋n2 )(可加性)
3 n 时， 2 (n) n 标准正态分布
2n
4. 设 X1, X2,, Xn 相互独立, 都服从正态分布
N(, 2), 则
2
1
2
n
(Xi )2
1 (n,
m)
F
(m,
n)
PT t (n)
0.3 0.25
0.2
t (n) t1 (n)
例如：
• -3 --t2
0.15 0.1
0.05
-1
n = 10
1
•2t 3
PT 1.8125 0.05 t0.05(10) 1.8125
t0.95 (10) 1.8125
F 分布
其密度函数为
f (t)
Γ
n
n Γ
1 2 n
1
t2 n
n 1
2
2
t
t 分布的性质
0.4
1°f n(t)是偶函数,
0.3
n , fn (t) (t)
1
t2
e2
2
0.2
n= 1
0.1
-3 -2 -1
12
n=20
F (n1 ,n2 )
的点F (n1, n2 )为F (n1, n2 )分布的上分位点
0.1
F分布的上
0.08
0.06
三大分布
0.4
f n ( x)
N(0,1) n = 10 n=5 n=2 n=1
0.3
0.2
0.1
0 -3
-2
-1
0
1
2
x
3
t-分布的概率密度函数
t分布的性质
1．以0为中心，左右对称的单峰分布； 2．t分布是一簇曲线，其形态变化与n（确 切地说与自由度ν）大小有关。自由度ν越 小，t分布曲线越低平；自由度ν越大，t分 布曲线越接近标准正态分布（u分布）曲线
2 2
2
F
X / n1
n n Γ ( 1 2 2 ) n1 n1 n2 f n1 , n 2 ( x ) Γ ( 2 ) Γ ( 2 ) n 2
n1 n 2
x 0,
n1 2
1
n1 1 x n2
t
n (x ) s
~ t ( n 1)来自 结论二：F sx1 , x2 , , x m
sx / 1
2 2 y
2
/
2 2
~ F ( m 1, n 1)
设 的样本，且此两样本相互独立，记
sx
2
2 y N ( 1 , 1 ) 的样本，1 , y 2 , , y n 是来自
sx / 1
2
2
( n 1) s
2 2
s /
2 y
2 2
~ F ( m 1, n 1)
所以
结论三：
( x y ) ( 1 2 ) sw 1 m n 1
~ t ( m n 2)
sw
( m 1) s ( n 1) s
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解： P( X C ) 1 P X C 1 0.05 0.95
C
2 0.95
(10)
=3.940
χ2分布
概率论与数理统计
t分布
二、t分布
1、t分布的定义
设X ~N 0,1 ,Y ~ 2 n ,且X和Y 相互独立，则称随机变量
t X Y /n
服从自由度为n的t分布，记作 t ~ t n .t分布又称学生分布.
分位数
定义 设随机变量X的分布函数F(x),对于任一正数α(0<α<1) 若X大于等于某实数Zα的概率为α,即
PX Z 1 F Z 0< 1
则称此实数Zα为分布F(x)的上侧α分位数（点）.
标准正态分布的上分位点记为uα即： 常见正态分布的分位数
PX u 1 u 0< 1
概率论与数理统计
第三节
统计中三大分布
教材 P69
概率论与数理统计
χ2分布
一、χ2分布
1、χ2分布的定义
设 X1, , X n 是来自标准正态总体N(0,1)的样本，称随机变量
2
X12
X
2 2
,
,
X
2 n
服从自由度为n的χ2分布，记作 2 ~ 2 n.
其概率密度为
f
(x)
n
22
1
n 2
n 1 x
x2 e 2
,
0,
x 0, x 0.
x t x1etdt 0
概率论与数理统计
χ2分布的概率密度图像
f(x)
n=2
n=5
o
χ2分布
n=9
x
概率论与数理统计
χ2分布
2、χ2分布的性质
性质1： 若 2 ~ 2 n，则E( 2 ) n, D( 2 ) 2n;
性质2：
其概率密度为
n1
f (x)
(
2
)
x2 n1
(1 ) 2 , x
n ( n )
n
2
概率论与数理统计
t分布
t分布的概率密度图像
f x
n 标准正态分布
n=9 n=2
x
t分布的密度函数是关于原点对称的， 当自由度n充分大时，t分布接近于标准正态分布。
概率论与数理统计
t分布
2、t分布的性质
概率论与数理统计
第九讲
统计中的三大分布
四川建筑职业技术学院
信息工程系
徐强
概率论与数理统计
课外作业
教材P76 习题5-2 1,2
概率论与数理统计
知识回顾
第一节 总体与样本 总体 所研究对象的全体
记为：总体X
个体 总体中的每个元素 抽样 从总体中抽取若干个个体的过程 样本 抽取的若干个个体 记为(X1,X2,…,Xn)
2 0.01
(30)
34.382 50.892
概率论与数理统计
例3.1(χ 2分布的分位数计算）
X 2 (6), 求C使得: P( X C ) 0.025
解： P( X C ) 1 P X C 1 0.025 0.975
C
2 0.975
(6)
1.237
对应练习： X 2 (10), 求C使得: P( X C ) 0.05
定理1：设X1 , X 2
, Xn是来自总体X ~ N ， 2 的一个样本，则
1
2
n
( Xi )2
i 1
~ 2 (n).
定理2： 设X1, X2 , Xn是来自总体X ~ N ， 2 的一个样本，
X 和S 2分别是样本均值和样本方差，则有：
n 1 S 2 ~ 2 (n 1);X与S 2相互独立.
(4).样本k阶原点矩
Ak
1 n
n i 1
X
k i
,
k
1, 2,
,
(5).样本k阶中心矩
1n Bk n i1
k
Xi X , k 1, 2,
,
正态总体X~N(μ,σ2)
2
X ~ N(, )
X
U
~ N (0,1)
n
n
概率论与数理统计
主要内容
第三节
1
Χ2分布
3
F分布
2
t分布
概率论与数理统计
若12
~
2
n1
，
2 2
~
2
n2
,
12与
2相互独立，
2
则12
2 2
~
2
n1 n2
;
性质3： 设 2 ~ 2 n ，则任意实数x,有
2 n
lim P
x
n 2n
1
x t2
e 2 dt
2
当n充分大时， 2 n N (0,1) 2 N n, 2n
2n
概率论与数理统计
χ2分布
3、关于χ2分布的两个定理
样本容量 样本中所含个体的数量
样本观测值 对总体进行一次具体的抽样并作观测之后得到 样本的值 记为：(x1,x2,…xn) 也称为样本值.
概率论与数理统计
知识回顾
第一节 统计量及其分布
设(X1,X2,…,Xn)为总体X的一个样本，g(X1,X2,…,Xn)为不含有 未知数，且取实值的一个函数，称g(X1,X2,…,Xn)为统计量
总体，样本，统计量都是随机变量
一、常用统计量
(1).样本均值 (2).样本方差
1 n
X n i1 Xi
样本均值反映总体均值的信息
S02
1 n
n
(Xi
i 1
X )2
称为未修正样本方差，
概率论与数理统计
S
2
1 n1
n
(Xi
i 1
X )2
称为修正样本方差，
修正样本方差反映总体方差的信息
知识回顾
(3).样本标准差 S S 2
u0.05 1.645, u0.025 1.96, u0.01 2.236, u0.005 2.567.
概率论与数理统计
分位数
标准正态分布的上分位点uα的计算：
当 0.1时，反查 P138 附表2 标准正态分布表
例如：u0.05 1-0.05=0.95 u0.01 1-0.01=0.99
2
概率论与数理统计
χ2分布
4、χ2分布的上α分位点
对于给定的正数，0 1, 称满足条件
P 2 (n) 2 (n)
的点2 (n)为 2 (n)分布的上分位点.
f x
例如：
2 0.05
10
18.307
x
2 (n)
2 (n)可查P139附表3 2 (n)分布表求得
2 0.1
(25)
性质1： t分布关于y轴对称: ftn x ftn x
性质2： E t n 0;
Dtn n n2
3、关于t分布的两个定理
定理3：设X1, X2 , Xn是来自总体X ~ N ， 2 的一个样本，
X 和S 2分别是样本均值和样本方差，则有：
t X ~ t(n 1).
当 0.1时，u u1- u0.025 1.96
u0.05 1.645,
u0.01 2.23
常见正态分布的分位数 u0.05 1.645, u0.025 1.96, u0.01 2.236, u0.005 2.567.