初中数学竞赛辅导资料(18)正整数简单性质的复习含答案

初中数学竞赛辅导资料(18)正整数简单性质的复习甲. 连续正整数一. n 位数的个数：一位正整数从1到9，共9个，两位数从10到99，共90个，三位数从100到999共9×102个，那么 n 位数的个数共__________.(n 是正整数)练习：1. 一本书共1989页，用0到9的数码，给每一页编号，总共要用数码＿＿＿个.2. 由连续正整数写成的数1234……9991000是一个_______位数；100110021003……19881989是_______位数.3. 除以3余1的两位数有____个，三位数有____个，n 位数有_______个.4. 从1到100的正整数中，共有偶数____个，含 3的倍数____个；从50到1000的正整数中，共有偶数____个，含3的倍数____个.二. 连续正整数的和：1+2+3+……+n=(1+n)×2n . 把它推广到连续偶数，连续奇数以及以模m 有同余数的连续数的和.练习：5.计算2+4+6+……+100=__________.6. 1+3+5+……+99=____________.7. 5+10+15+……+100=_________.8. 1+4+7+……+100=____________.9. 1+2+3+……+1989其和是偶数或奇数？答______10. 和等于100的连续正整数共有______组，它们是______________________.11. 和等于100的连续整数共有_____组，它们是__________________________.三. 由连续正整数连写的整数，各位上的数字和整数 123456789各位上的数字和是：(0+9)+(1+8)+…+(4+5)=9×5=45；1234…99100各位数字和是(0+99)+(1+98)+…+(49+50)+1=18×50+1=901.练习：12. 整数 1234……9991000各位上的数字和是_____________.13. 把由1开始的正整数依次写下去，直到第198位为止：位198011121234567891这个数用9除的余数是__________. (1987年全国初中数学联赛题)14. 由1到100这100个正整数顺次写成的数1234……99100中：① 它是一个________位数；② 它的各位上的数字和等于________；③ 从这一数中划去100个数字，使剩下的数尽可能大，那么 剩下的数的前十位是___________________________.四.连续正整数的积：① 1×2×3×…×n 记作n ! 读作n 的阶乘.② n 个连续正整数的积能被n !整除.如：2!|a(a+1), 3!|a (a+1)(a+2), n !|a(a+1)(a+2)…(a+n －1). a 为整数.③ n ! 中含有质因数m 的个数是⎥⎦⎤⎢⎣⎡m n +⎥⎦⎤⎢⎣⎡2m n +…+⎥⎦⎤⎢⎣⎡i m n . [x]表示不大于x 的最大正整数，i=1,2,3… m i ≢n如：1×2×3×…×10的积中，含质因数3的个数是：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡2310310=3+1=4 练习：15. 在100!的积5的个数是：____16.一串数1，4，7，10，……，697，700相乘的积中，末尾共有零_______个(1988年全国初中数学联赛题)17. 求证：10494 | 1989!18. 求证：4! | a(a 2－1)(a+2) a 为整数五. 两个连续正整数必互质练习：19. 如果n+1个正整数都小于2n, 那么必有两个是互质数，试证之.乙. 正整数十进制的表示法一. n+1位的正整数记作：a n ×10n +a n －1×10n －1+……+a 1×10+a 0其中n 是正整数，且0≢a i ≢9 (i=1,2,3,…n)的整数, 最高位a n ≠0.例如：54321=5×104+4×103+3×102+2×10+1.例题：从12到33共22个正整数连写成A=121314…3233. 试证：A 能被99整除.证明：A=12×1042+13×1040+14×1038+……+31×104+32×102+33=12×10021+13×10020+14×1019+……+31×1002+32×100+33.∵ 100的任何次幂除以9的余数都是1，即100 n =(99+1) n ≡1 (mod 9)∴ A=99k+12+13+14+……+31+32+33 (k 为正整数 )=99 k+(12+33)+(13+32)+…+(22+23)=99k+45×11=99k+99×5.∴A 能被99整除.练习：20. 把从19到80的连结两位数连写成19202122…7980.试证明这个数能被1980整除二. 常见的一些特例 99999个n =10 n －1, 33333个n =31(10 n －1), 9111111= 个n (10 n －1). 例题：试证明12，1122，111222，11112222，……这些数中的任何一个，都是两个相邻的正整数的积.证明：第n 个数是2122221111个个n n =)110(91 -n ×10 n +)110(92-n =)110(91 -n (10 n +2) =331103110+-⨯-n n=)13110(3110+-⨯-n n = 33333个n ×433333)1(个-n . 证毕. 练习：21. 化简 99999个n × 99999个n +199999个n =_______________________________. 22. 化简2122222-1111个个n n =____________________________________________. 23. 求证119901111个是合数. 24. 已知：存在正整数 n,能使数11111个n 被1987整除. 求证：数p= 11111个n 99999个n 88888个n77777个n 和 数q= 111111个+n 919999个+n 818888个+n717777个+n 都能被1987整除. (1987年全国初中数学联赛题)25. 证明： 把一个大于1000的正整数分为末三位一组，其余部分一组，若这两组数的差，能被7(或13)整除，则这个正整数就能被7(或13)整除.26. 求证： 11111个n ×110000个-n 5+1是完全平方数. 丙. 末位数的性质.一.用N (a)表示自然数的个位数. 例如a=124时，N (a)=4； a=－3时，N (a)=3.1. N (a 4k+r )=N (a r ) a 和k 都是整数，r=1,2,3,4.特别的： 个位数为0，1，5，6的整数，它们的正整数次幂的个位数是它本身.个位数是4，9 的正偶数次幂的个位数也是它本身.2. N (a)=N (b)⇔N (a －b)=0⇔10 |(a －b).3. 若N (a)=a 0, N (b)=b 0. 则N (a n )=N (a 0n )； N (ab)=N (a 0b 0).例题1：求①53100 ； 和 ②777的个位数. 解：①N (53100)=N (34×24+4)=N (34)=1②先把幂的指数77化为4k+r 形式，设法出现4的因数.77=77－7+7=7(76－1)+4+3=7(72－1)(74+72+1)+4+3=7×4×12× (74+72+1)+4+3=4k+3∴N(777)=N(74k+3)=N(73)=3.练习：27. 19891989的个位数是______，999的个位数是_______.28. 求证：10 | (19871989－19931991).29. 2210×3315×7720×5525的个位数是______.二. 自然数平方的末位数只有0，1，4，5，6，9；连续整数平方的个位数的和，有如下规律：12，22，32，……，102的个位数的和等于 1+4+9+6+5+5+9+4+0=45.1. 用这一性质计算连续整数平方的个位数的和例题1. 填空：12，22，32，……，1234567892的和的个位数的数字是_______.(1991年全国初中数学联赛题)解：∵12，22，32，……，102的个位数的和等于 1+4+9+6+5+5+9+4+0=45.11到20；21到30；31到40；………123456781到123456789，的平方的个位数的和也都是45. 所以所求的个位数字是：(1+4+9+6+5+5+9+4+0)×(12345678+1)的个位数5.2. 为判断不是完全平方数提供了一种方法例题2. 求证：任何五个连续整数的平方和不能是完全平方数.证明：(用反证法)设五个连续整数的平方和是完全平方数，那么可记作：(n －2)2+(n －1)2+n 2+(n+1)2+(n+2)2=k 2 (n, k 都是整数)5(n 2+2)=k 2 .∵ k 2是5的倍数，k 也是5的倍数.设k=5m, 则5(n 2+2)=25m 2.n 2+2=5m 2.n 2+2是5的倍数，其个位数只能是0或5，那么 n 2的倍数是8或3.但任何自然数平方的末位数，都不可能是8或3.∴假设不能成立∴任何五个连续整数的平方和不能是完全平方数.3.判断不是完全平方数的其他方法例题3. 已知：a 是正整数.求证： a(a+1)+1不是完全平方数证明：∵a(a+1)+1=a 2+a+1，且a 是正整数∴ a 2< a(a+1)+1=a 2+a+1<(a+1)2，∵a 和a+1是相邻的两个正整数，a(a+1)+1介于它们的平方之间∴a(a+1)+1不是完全平方数例题4. 求证：11111个n (n>1的正整数) 不是完全平方数 证明：根据奇数的平方数除以4必余1，即(2k+1)2=4(k+1)+1.但 11111个n =1100111112-个n =4k+11=4k+4×2+3=4(k+2)+3 即11111个n 除以4余数为3，而不是1， ∴它不是完全平方数.例题5. 求证：任意两个奇数的平方和，都不是完全平方数.证明：设2a+1,2b+1(a,b 是整数)是任意的两个奇数.∵(2a+1)2+(2b+1)2=4a 2+4a+1+4b 2+4b+1=4(a 2+b 2+a+b)+2.这表明其和是偶数，但不是4的倍数，故任意两个奇数的平方和，都不可能是完全平方数.三. 魔术数：将自然数N 接写在每一个自然数的右面，如果所得到的新数，都能被N整除，那么N 称为魔术数.常见的魔术数有：a) 能被末位数整除的自然数，其末位数是1，2，5 (即10的一位正约数是魔术数) b) 能被末两位数整除的自然数，其末两位数是10，20，25，50(即100的两位正约数也是魔术数))c) 能被末三位数整除的自然数，其三末位数是100，125，200，250，500(即1000的三位正约数也是魔术数)练习：30. 在小于130的自然数中魔术数的个数为_________.(1986年全国初中数学联赛题)四. 两个连续自然数，积的个位数只有0，2，6；和的个位数只有1，3，5，7，9. 练习：31. 已知：n 是自然数，且9n 2+5n+26的值是两个相邻自然数的积，那么n 的值是：___________________. (1985年上海初中数学竞赛题)丁. 质数、合数1. 正整数的一种分类：⎪⎩⎪⎨⎧).1(.)1( 1然数整除和本身外还能被其他自除合数；然数整除和本身外不能被其他自除质数； 2. 质数中，偶数只有一个是2，它也是最小的质数.3. 互质数：是指公约数只有1的两个正整数. 相邻的两个正整数都是互质数.例题：试写出10个连续自然数，个个都是合数.解：答案不是唯一的，其中的一种解法是：令A=1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11那么A+2，A+3，A+4，A+5，A+6，A+7，A+8，A+9，A+10，A+11就是10个连续数，且个个都是合数.一般地，要写出n 个连续自然数，个个是合数，可用令m=n+1, 那么m !+2, m !+3, m !+4, +……+ m !+n+1 就是所求的合数.∵m !+i (2≢i ≢n+1) 有公约数i.练习：32. 已知质数a ， 与奇数b 的和等于11，那么a=___,b=___.33. 两个互质数的最小公倍数是72，若这两个数都是合数，那么它们分别等于____，____.34. 写出10个连续正奇数，个个都是合数，可设m=(10+1)×2， m !=22!那么所求的合数是22!+3，_____,____,____,……35. 写出10个连续自然数，个个都是合数，还可令 N=2×3×5×7×11.(这里11=10+1，即N 是不大于11的质数的积).那么 N+2，N+3，N+4，……N+11就是所求的合数.这是为什么？如果 要写15个呢？36. 已知：x, m, n 都是正整数 . 求证：24m+2+x 4n 是合数.戊.奇数和偶数1.整数的一种分类：⎩⎨⎧)12(.2)02(2，余数为即除以整除的整数奇数：不能被，余数为即除以整除的整数；偶数：能被2. 运算性质：奇数+奇数=偶数， 偶数+偶数=偶数， 奇数+偶数=奇数.奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数，奇数×偶数=偶数.(奇数)正整数=奇数，(偶数)正整数=偶数.4. 其他性质：① 两个连续整数必一奇一偶，其和是奇数，其积是偶数.② 奇数的平方被4除余1；偶数的平方能被4整除；除以4余2或3的整数不是平方数.a) 2n (n 为正整数)不含大 于1的奇因数.b) 若两个整数的和(差)是奇数，则它们必一奇一偶.c) 若n 个整数的积是奇数，则它们都是奇数.例1. 设m 与n 都是正整数，试证明m 3－n 3为偶数的充分必要条件是m －n 为偶数.证明：∵m 3－n 3＝（m －n ）(m 2+mn+n 2).当m －n 为偶数时，不论m 2+mn+n 2是奇数或偶数，m 3－n 3都是偶数；∴m －n 为偶数是m 3－n 3为偶数的充分条件.当m －n 为奇数时，m, n 必一奇一偶，m 2，mn ，n 2三个数中只有一个奇数，∴m 2+mn+n 2是奇数，从而m 3－n 3也是奇数.∴m －n 为偶数，是m 3－n 3为偶数的必要条件.综上所述m 3－n 3为偶数的充分必要条件是m －n 为偶数.例2. 求方程x 2－y 2=1990的整数解.解：(x+y)(x －y)=2×5×199.若x, y 同是奇数或同是偶数，则 x+y ，x －y 都是偶数，其积是4的倍数，但1990不含4的因数，∴方程左、右两边不能相等.若x, y 为一奇一偶，则x －y ，x+y 都是奇数，其积是奇数，但1990不是奇数，∴方程两边也不能相等.综上所述，不论x, y 取什么整数值，方程两边都不能相等.所以 原方程没有整数解本题是根据整数的一种分类：奇数和偶数，详尽地讨论了方程的解的可能性.练习：37. 设n 为整数，试判定n 2－n+1是奇数或偶数.38. 1001+1002+1003+……+1989其和是偶数或奇数，为什么？39. 有四个正整数的和是奇数，那么它们的立方和，不可能是偶数，试说明理由.40. 求证：方程x 2+1989x+9891=0没有整数根.41. 已知： ⎩⎨⎧=⨯⨯⨯⨯=++++.0321321n x x x x x x x x n n ； 求证：n 是4的倍数. 42. 若n 是大于1的整数，p=n+(n 2－1)2)1(1n --试判定p 是奇数或偶数，或奇偶数都有可能. (1985年全国初中数学联赛题)已. 按余数分类1. 整数被正整数 m 除，按它的余数可分为m 类，称按模m 分类.如：模m=2，可把整数分为2类:{2k}, {2k+1} k 为整数，下同模m=3，可把整数分为3类:{3k}, {3k+1}，{3k+2}.……模m=9，可把整数分为9类:{9k},{9k+1},{9k+2}.…{9k+8}.2. 整数除以9的余数，与这个整数各位上的数字和除以9的余数相同.如：6372，5273，4785各位数字和除以9的余数分别是0，8，6. 那么这三个数除以9的余数也分别是0，8，6.3. 按模m 分类时，它们的余数有可加，可乘，可乘方的性质.如：若a=5k 1+1, b=5k 2+2.则a+b 除以5 余数 是3 (1+2)；ab 除以5余2 (1×2)；b 2 除以5余4 (22).例1. 求19891989除以7的余数.解：∵19891989=(7×284+1)1989，∴19891989≡11989 ≡1 (mod 7).即19891989除以7的余数是1.练习：43. 今天是星期一，99天之后是星期________.44. n 个整数都除以 n －1, 至少有两个是同余数，这是为什么？45. a 是整数，最简分数7a 化为小数时，若为循环小数，那么一个循环节最多有几位？4. 运用余数性质和整数除以9的余数特征，可对四则运算进行检验例2. 下列演算是否正确？① 12625+9568=21193 ； ② 2473×429=1060927.解：①用各位数字和除以9，得到余数：12625，9568，21193除以9的余数分别是7，1，7.∵ 7+1≠7， ∴演算必有错.② 2473，429，1060927除以9的余数分别是7，6，7.而7×6=42，它除以9余数为6，不是7，故演算也有错.注意：发现差错是准确的，但这种检验并不能肯定演算是绝对正确.练习：46. 检验下列计算有无差错：①372854－83275=289679 ； ②23366292÷6236=3748.5. 整数按模分类，在证明题中的应用例3. 求证：任意两个整数a 和b ，它们的和、差、积中，至少有一个是3的倍数.证明：把整数a 和b 按模3分类，再详尽地讨论.如果a, b 除以3，有同余数 (包括同余0、1、2)，那么a, b 的差是3的倍数；如果a, b 除以3，余数不同，但有一个余数是0，那么a, b 的积是3的倍数；如果a, b 除以3，余数分别是1和2，那么a, b 的和是3的倍数.综上所述任意两个整数a ，b ，它们的和、差、积中，至少有一个是3的倍数.(分类讨论时，要求做到既不重复又不违漏)例4. 已知： p ≣5，且 p 和2p+1都是质数.求证：4p+1是合数.证明：把整数按模3分类. 即把整数分为3k,3k+1,3k+2 (k 为整数)三类讨论∵p 是质数，∴不能是3的倍数，即p ≠3k ；当p=3k+1时, 2p+1=2(3k+1)+1=3(2k+1). ∴ 2p+1不是质数，即p ≠3k+1； 只有当质数p=3k+2时， 2p+1=2(3k+2)+1=6k+5.∴2 p+1也是质数， 符合题设.这时，4p+1=4(3k+2)+1=3(4k+3)是合数. 证毕练习：47. 已知：整数a 不能被2和3整除 . 求证：a 2+23能被24整除.48. 求证：任何两个整数的平方和除以8，余数不可能为6.49. 若正整数a 不是5的倍数. 则a 8+3a 4－4能被100整除.50. 已知：自然数n>2求证：2n －1和2n +1中，如果 有一个是质数，则另一个必是合数.51.设a,b,c 是三个互不相等的正整数，求证 a 3b －ab 3,b 3c －bc 3,c 3a －ca 3三个数中，至少有一个能被10整除. (1986年全国初中数学联赛题)庚. 整数解1. 二元一次方程 ax+by=c 的整数解：当a,b 互质时，若有一个整数的特解⎩⎨⎧==00y y x x 那么可写出它的通解)(00为整数k ak y y bk x x ⎩⎨⎧-=+= 2. 运用整数的和、差、积、商、幂的运算性质整数±整数=整数， 整数×整数=整数，整数÷(这整数的约数)=整数， (整数)自然数=整数3. 一元二次方程，用求根公式，根的判别式，韦达定理讨论整数解.4. 根据已知条件讨论整数解.例1. 小军和小红的生日.都在10月份，且星期几也相同，他们生日的日期的和等于34，小军比小红早出生，求小军的生日.解：设小军和小红的生日分别为x, y ，根据题意，得⎩⎨⎧=+=-347x y k x y (k=1,2,3,4) 2x=34－7k x=17－k 27 k=1, 3时， x 没有整数解；当k=2时， ⎩⎨⎧==.2410y x ， 当k=4时，⎩⎨⎧==.313y y x ， (10月份没有31日，舍去) ∴小军的生日在10月10日例2. 如果一个三位数除以11所得的商，是这个三位数的各位上的数的平方和，试求符合条件的所有三位数. (1988年泉州市初二数学双基赛题)解：设三位数为100a+10b+c, a, b, c 都是整数，0<a ≢9，0≢b, c ≢9.那么 1191110100c b a b a c b a +-++=++ ， 且－8<a －b+c<18. 要使a －b+c 被11整除，其值只能是0和11.( 1)当a －b+c=0时， 得9a+b=a 2+b 2+c 2.以b=a+c 代入，并整理为关于a 的二次方程，得2a 2+2(c －5)a+2c 2－c=0根据韦达定理⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+.2522121c c a a c a a ， 这是必要而非充分条件. ∵5－c>0, 以c=0, 1, 2, 3, 4 逐一讨论a 的解.当 c=2, 4时，无实数根； 当c=1, 3时，无整数解；只有当c=0时，a=5；或 a=0. (a=0不合题意，舍去)∴只有c=0, a=5, b=5适合∴所求的三位数是550；(2)当a －b+c=11时， 得9a+b+1=a 2+b 2+c 2.以b=a+c 代入，并整理为关于a 的二次方程，得2a 2+2(c －16)a+2c 2－23c+131=0.仿(1)通过韦达定理，由c 的值逐一以讨论a 的解.只有当c=3时, a=8, b=0适合所有条件.即所求三位数为803.综上所述，符合条件的三位数有550和803.练习：52. 正整数x 1, x 2, x 3,……x n 满足等式x 1＋x 2＋x 3＋x 4+x 5=x 1x 2x 3x 4x 4x 5那么 x 5的最大值是________. （1988年全国初中数学联赛题）53. 如果p, q, pq q p 12,12-- 都是整数，.且p>1, q>1, 试求p+q 的值. （1988年全国初中数学联赛题） 54.能否找到这样的两个正整数m 和n ，使得等式m 2+1986=n 2成立. 试说出你的猜想，并加以证明. （1986年泉州市初二数学双基赛题） 55.当m 取何整数时，关于x 的二次方程m 2x 2－18mx+72=x 2－6x 的根是正整数，并求出它的根. （1988年泉州市初二数学双基赛题） 56.若关于x 的二次方程（1+a ）x 2+2x+1－a=0的两个实数根都是整数，那么a 的取值是________________. （1989年泉州市初二数学双基赛题） 57.不等边三角形的三条边都是整数，周长的值是28，最大边与次大边的差比次大边与最小边的差大1，适合条件的三角形共有____个，它们的边长分别是：______________________________________________________________. 58.直角三角形三边长都是整数，且周长的数值恰好等于面积的数值，求各边长. 59.鸡翁一，值钱；，鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一.百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？ 60. 甲买铅笔4支，笔记本10本，文具盒1个共付1.69元，乙买铅笔3支，笔记本7本，文具盒1个共付1.26元，丙买铅笔、笔记本、文具盒各1，应付几元？ 若1×2×3×4×……×99×100=12 n ×M ，其中M 为自然数，n 为使得等式成立的最大自然数，则M 是( )(A).能被2整除，不能被3整除 . (B).能被3整除，但不能被2整除.(C).被4整除，不能被3整除. (D).不能被3整除，也不能被2整除.(1991年全国初中数学联赛题)参考答案1. 9+90×2+900×3+990×4=68492. 2893 79563. 30，300，3×10n －14. 50, 33, 476, 317 .5.25506.2500.7. 10501. 1717. 9.奇数 (1+1989)×21989 . 10有两组：18，19，20，21，22； 9，10，11，12，13，14，15，16.11.有四组：除上题中的两组外，尚有－8到16；－17到2212. 13501. 13. 余数是6(由1到102刚好是198位).14. (1)192 (2)901 (3)9999978596 15.⎥⎦⎤⎢⎣⎡5100+⎥⎦⎤⎢⎣⎡25100=24 16. 60个. 计算积中含质因数5的个数是：从10，25，40，55，……700这组数中含质因数5的共有(700－10)÷15+1=47； 而25，100，175，……700含有52因数，应各加1个5，共有(100－25)÷75+1=10； 且250，625，含有53因数，应再各加1个5，共有 2个；625 含有54因数，再加1个5. ∴总共是47+10+2+1=60. 17. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡6251989125198925198951989=379+79+15+3=494 18. 把a(a 2－1)(3a+2)化为a(a+1)(a －1)[(2a+4)+(a －2)]=2(a －1)a(a+1)(a+2)+(a －2)(a －1)a(a+1).19. 根据两个连续整数必互质，把n+1个正整数按非连续数单独分组，因为它们都小于2n,所以最多分为n 组，那么n+1个正整数至少有一个不能单独分组，即与n 组中的一个互质.20. 易证能被20整除，再证能被99整除21. 原数=(10n －1)2+1×10n +(10n －1)=102n 22. 原数=91×(102n －1)－2×91×(10n －1)=……=(3110-n )2=( 个n 2)3333( 23. 原数=91×(101990－1)= 91×(10995+1) (10995－1) =91×(10995+1) (10－1)×N (N 为整数) 24. p= n1111×(103n +9×102n +8×10n +7) q=11111+n ×(103n+3+9×102n+2+8×10n+1+7) ∵10n =9×个n 1111+1， 103n+3，102n+2，10n+1除以个n 1111的余数分别为103，102，10.∴q 的第二因式除以个n 1111的余数分别为1×103+9×102+8×10+7…… 25.设A=103 M+N ， 7|(M －N).A=103 M+N=103 M+M －M+N=1001M －(M －N).26. 原数=1)510(9110++⨯-n n =…… 27. 1. 28. 71与33的个位数相同. 29 . 0.30. 9个(1，25，10，20，25，50，100，125).31. 2，6. 可设9n 2+5n+26=m(m+1), 配方，分解因式32. 2，9. 33. 8，9.34. 22!+3，22!+5，22!+7，………22!+19，22!+2135. 可设2×3×5×7×11×13×17， 那么 N+2，N+3，……N+16即所求.36. (22n+1)2+(x 2n )2+2×22n+1×x 2n －4×22n ×x 2n =(22n+1+x 2n )2－(2 ×2m ×x n )2……37. 奇数. 38 奇数 .39. 4个正整数的和为奇数，则这4个数中有1个或3个是奇数.40. 若有奇数根，则奇+奇+奇≠0；若有偶数根，则偶+偶+奇≠0.41. 若n 为奇数，则与(1)矛盾；若n 为偶数，由(1)可知，偶数必成双，再由(2)知n 是4的倍数.42. 奇数 43. 星期二， ∵9 9除以7余数是1.44. 除以整数n －1的余数，最多只有n －1种45. 六位. ∵除以7，余数除0以外，只有6种.46. ①不对，∵用9除的余数 11－7≠5， ②错.8×2=32，除以9余数不是6.47. a=6k ±1， a 2+23=12k(3k ±1)+2448. 把整数按模4分类为4n, 4n+1, 4n+2, 4n+3.其平方后除以8余数分别为0，1，4，1任何两个余数的和都不等于6.49. a 8+3a 4－4=(a 4+4)(a 2+1)(a 2－1), a ≠5k ,则a=5k ±1,5k ±2, a 2 除以5的余数分别为1和4， a 4 除以5余数 均为1.50. 2 n 不是3的倍数，可分别设为3k+1，3k －1.51. (同练习69第10题). 52. 5 53. 854. 不可能.(n+m)(n －m)=1986 按n+m, n －m 同奇，同偶讨论.55. 原方程化为（m 2-1）x 2-6(3m-1)x+72=0, [(m+1)x-12][(m-1)x-6]=0.x 1=112+m ； x 2=16-m . ∵方程的根是自然数， ∴ 11,2,3,4,11,2,3,6.m m +=⎧⎨-=⎩ 0,1,2,3,5,11;2,3,4,7.m m =⎧⎨=⎩ ∴m=2,；或m=3.∴当m=2时，x 1=4； 或 x 2=6. 当 m=3时, x 1=x 2=3.56. a=－3,－2, 0, 1 (x 1+x 2=－a +12, x 1x 2=－1+a+12)57. 有三个，其边长分别是：11，9，8； 12，9，7； 13，9，6.58. 6，8，10或5，12，13.59. 设鸡翁，鸡母，鸡雏一只分别值 x,y,z 钱，则1001531003x y z x y z ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩消去一元，得二元一次方程： 7x+4y=200. 求自然数解，得有四组答案：12,8,4,0,4,11,18,25,84;81;78;75.x x x x y y y y z z z z ====⎧⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎪====⎨⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎪====⎩⎩⎩⎩60.⎩⎨⎧=++=++12673169104 z y x z y x x+y+z=40 .61. 选(A). 根据连续整数的积的性质，100!含因数2共97个，含因数3有48个……。