八年级数学培优竞赛专题01 整式的乘除
（完整版）整式的乘除培优（可编辑修改word版）
（完整版）整式的乘除培优（可编辑修改word版）整式的乘除培优⼀、选择题：1﹒已知x a＝2，x b＝3，则x3a+2b 等于（）A﹒17 B﹒72 C﹒24 D﹒362﹒下列计算正确的是（）A﹒5x6·(－x3)2＝－5x12 B﹒(x2+3y)(3y－x2)＝9y2－x4C﹒8x5÷2x5＝4x5 D﹒(x－2y)2＝x2－4y23、已知M＝20162，N＝2015×2017，则M 与N 的⼤⼩是（）A﹒M＞N B﹒M＜N C﹒M＝N D﹒不能确定4、已知x2－4x－1＝0，则代数式 2x(x－3)－(x－1)2+3 的值为（）A﹒3 B﹒2 C﹒1 D﹒－15、若a x ÷a y ＝a2，(b x)y＝b3，则(x+y)2的平⽅根是（）A﹒4 B﹒±4C﹒±6D﹒166、计算-(a -b)4 (b -a)3 的结果为（）A、-(a -b)7B、-(a +b)7C、(a-b)7D、(b-a)77、已知a=8131，b=2741，c=961，则a，b，c 的⼤⼩关系是（）B、A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．a＜b＜c D．b＞c＞a8、图①是⼀个边长为（m+n）的正⽅形，⼩颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②能验证的式⼦是（）A．（m+n）2﹣（m﹣n）2=4mn B．（m+n）2﹣（m2+n2）=2mnC．（m﹣n）2+2mn=m2+n2 D．（m+n）（m﹣n）=m2﹣n29、若a﹣2=b+c，则a（a﹣b﹣c）+b（b+c﹣a）﹣c（a﹣b﹣c）的值为（）=90 pA．4 B．2 C．1 D．810、当x=1 时，ax+b+1 的值为﹣2，则（a+b﹣1）（1﹣a﹣b）的值为（）A．﹣16 B．﹣8 C．8 D．1611、已知a2+a﹣3=0，那么a2（a+4）的值是（）A．9 B．﹣12 C．﹣18 D．﹣1512、在求1+6+62+63+64+65+66+67+68+69 的值时，⼩林发现：从第⼆个加数起每⼀个加数都是前⼀个加数的6 倍，于是她设：S=1+6+62+63+64+65+66+67+68+69①，然后在①式的两边都乘以6，得：6S=6+62+63+64+65+66+67+68+69+610②，②﹣①得6S﹣S=610﹣1，即5S=610﹣1，所以S=，得出答案后，爱动脑筋的⼩林想：如果把“6”换成字母“a”（a≠0 且a≠1），能否求出1+a+a2+a3+a4+…+a2014 的值？你的答案是（）A． B． C． D．a2014﹣1⼆、填空：1、若ax3m y12÷3x3y2n＝4x6y8，则(2m+n－a)n＝﹒2、若(2x+3y)(mx－ny)＝4x2－9y2，则mn＝.3. 已知a+b＝8，a2b2＝4，则1(a2+b2)－ab＝. 2999 p999 , q =119，那么9q (填＞，＜或=)5.已知10a= 20, 10b=1，则3a÷ 3b= 56.设A =(x -3)(x - 7)，B =(x - 2)(x -8)，则A B（填＞，＜，或=）7.若关于x 的多项式x2-8x +m =(x - 4)2 ，则m 的值为若关于x 的多项式x2+nx +m2=(x - 4)2 ，则m n=4. 若225 4 3 2 1 3 1 若关于 x 的多项式 x 2 + nx + 9 是完全平⽅式，则 n=8.计算： 20162 - 2015? 2016 =9. 计算： ?1- 1 ??1- 1 ? ?1- 1 ??1- 1 ? =? 32 ? 992 1002 ? 10.计算： (2 +1)(22 +1)(24 +1)(22n+1)=11、已知：(x +1)5 = a x 5 + a x 4 + a x 3 + a x 2+ a x + a ，则 a + a + a =12、已知： x 2 - (m - 2)x + 36 是完全平⽅式，则 m=13、已知：x 2 + y 2- 6 y = 2x - 10 ，则 x - y =14、已知：13x 2 - 6xy + y 2 - 4x +1 = 0 ，则(x + y )2017 x 2016= 15、若 P = a 2 + 2b 2 + 2a + 4b + 2017 ，则 P 的最⼩值是=16、已知 a =1 2018 x2 + 2018，b = 1 2018 x 2 + 2017，c = 1 2018x 2+ 2016 ，则 a 2 + b 2 + c 2 - ab - bc - ac 的值为17、已知(2016 - a )(2018 - a ) = 2017 ，则(2016 - a )2 + (2018 - a )2 =x - 1 18、已知 x x 2 5，则 x 4+ 1 =19、已知： x 2 - 3x - 1 = 0 ，则 x 2 + 1x2三、解答题：=， x 4 +1=x41、（x 2－2x －1）（x 2＋2x －1）；②（2m+n ﹣p ）（2m ﹣n+p ）2、形如 a b c的式⼦叫做⼆阶⾏列式，它的运算法则⽤公式表⽰为da c = ad - bc ，⽐如 2b d 1 5= 2 ? 3 -1? 5 = 1，请按照上述法则计算 30 5 =-2ab -3ab2a2b(-ab)2的结果。
人教版八年级上册整式的乘除培优讲义
整式的乘除培优讲义考点·方法·破译1．整式的乘法包括单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式等. 2．整式的除法包括单项式除以单项式、多项式除以单项式、多项式除以多项式等. 3．乘法公式：⑴()()22b a b a b a -=-+.⑵()2222b ab a b a +±=±⑶()bc ac ab c b a c b a 2222222+++++=++⑷()()3322b a b ab a b a ±=+±⑸()3223333b ab b a a b a ±+±=±经典·考题·赏析【例１】 计算：⑴()()c b a c b a 3232-+-- ⑵()()()31222-+-+x x x⑶()()()2222211412x x x ++-【解法指导】⑴两个项数相同的多项式相乘，若两个多项式中只存在相同的项与相反的项，则将相同的项结合，相反数的项结合，然后利用平方差公式计算；⑵多项式的积作为减数时一定要将积添上括号，作为一个整体；⑶观察式子的特点，将能够利用公式的项先整合.解：⑴()()c b a c b a 3232-+--＝()[]()[]()22222496432323b c ac a b c a b c a b c a -+-=--=+--- ⑵()()()31222-+-+x x x ＝()3224422---++x x x x＝10864244222++-=++-++x x x x x x⑶()()()2222211412x x x ++-＝()()()[]22141212++-x x x ＝()()[]2221414+-x x ＝()1322561164824+-=-x x x 【变式题组】01．计算：⑴()()()22933y x y x y x ++- ⑵()()c b c b --+22⑶()()c b a c b a -++-3232 ⑷()()()()221222513-+-+-+m m m m02．规定一种运算“＊”：对于任意实数对（x ,y ）恒有（x ,y ）＊(x ,y )＝(x ＋y ＋1),x 2－y －1).若实数a ,b 满足（a ,b ）＊(a ,b )＝(b ,a ),则a ＝__________,b ＝_________ 【例２】在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的正方形（ a ＞b ）（如图甲），把余下部分拼成一个矩形（（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ）A .()2222b ab a b a ++=+ B .()2222b ab a b a +-=-C .()()b a b a b a -+=-22D .()()2222b ab a b a b a -+=-+【解法指导】图甲中阴影部分面积为22b a -，图乙中阴影部分面积为()()b a b a -+.故选C .【变式题组】01．如图，在边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形（a ＞b ）.把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分面积，验证求法公式 .02．完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数式也可以用这种形式表示，例如()()22322b ab a b a b a ++=++就可以用图1的形式表示. ⑴请写出图2所表示的代数恒等式 ；⑵请画出一个几何图形，使它的面积能表示成：()()22343b ab a b a b a ++=++a甲乙第1题图 baa aab a a a a ab b bbbb第2题图弦图1图2。
初中八年级奥数竞赛-专题01 整式的乘除_答案.doc
专题01 整式的乘除例1(1)(n 2)100＞(63)100，n 2 ＞216，n 的最小值为15．(2)原式＝x 2(x 2＋x )＋x (x 2 ＋x )－2(x 2＋x ) ＋2005＝ x 2＋x －2＋2005＝2004(3)令x ＝1时，a 12＋a 11＋a 10＋…＋a 2＋a 1＋a 0＝1， ①令x ＝－1时，a 12 –a 11＋a l 0－…＋n 2－a l ＋a 0 ＝729 ②由①＋②得：2(a 12＋a l 0＋a 8＋…＋a 2 ＋a 0)＝730．∴a 12 ＋a 10 ＋a 8 ＋a 6＋a 4 ＋a 2＋a 0 ＝365．(4)所有式子的值为x 3项的系数，故其值为7．例2 B 提示：25xy ＝2 000y ， ①80xy ＝2 000x ， ②①×②，得：(25×80)xy ＝2000x ＋y ，得：x ＋ y ＝xy ．例3 设a ＝m 4，b ＝m 5，c ＝n 2，d ＝n 3，由c －a ＝19得，n 2－m 4＝19，即(n ＋m 2) (n －m 2)＝19，因19是质数，n ＋m 2，n －m 2是自然数，且n ＋m 2＞n －m 2，得⎩⎪⎨⎪⎧n ＋m 2＝19n －m 2＝1，解得n ＝10，m ＝3，所以d －b ＝103－35 ＝757例4 －78提示：由题意知：2x 2＋3xy －2y 2－x ＋8y －6＝2x 2＋3xy －2y 2＋(2m ＋n )x ＋(2n －m )y ＋mn ． ∴⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝－12n －m ＝8mn ＝－6，解得⎩⎨⎧m ＝－2n ＝3，∴m 3＋1n 2－1 ＝－78 倒5提示：假设存在满足题设条件的p ，q 值，设(x 4＋px 2＋q )＝(x 2＋2x ＋5)(x 2＋mx ＋n )，即x 4＋px 2＋q ＝x 4＋(m ＋2)x 3＋(5＋n ＋2m )x 2＋(2n ＋5m )x ＋5n ，得⎩⎨⎧m ＋2＝05＋n ＋2m ＝p 2n ＋5m ＝05n ＝q ，解得⎩⎨⎧m ＝－2n ＝5p ＝6q ＝25， 故存在常数p ，q 且p ＝6，q ＝25，使得x 4＋px 2＋q 能被x 2＋2x ＋5整除．例6解法1 ∵x 2＋x －2＝(x ＋2) (x －1)，∴2x 4－3x 3＋ax 2＋7x ＋b 能被(x ＋2)(x －1)整除，设商是A ．则2x 4－3x 3＋ax 2＋7x ＋b ＝A (x ＋2)(x －l )，则x ＝－2和x ＝1时，右边都等于0，所以左边也等于0．当x ＝－2时，2x 4－3x 3＋ax 2＋7x ＋b ＝32＋24＋4a －14＋b ＝4a ＋b ＋42＝0， ①当x ＝1时， 2x 4－3x 3＋ax 2＋7x ＋b ＝2－3＋a ＋7＋b ＝a ＋b ＋6＝0． ②①－②，得3a ＋36＝0，∴ a ＝－12，∴ b ＝－6－a ＝6．∴a b ＝－126＝－2 解法2 列竖式演算，根据整除的意义解2243243232322225(9)22372245(4)75510(9)3(9)(9)2(9)(12)2(9)x x a x x x x ax x b x x x x a x x b x x xa x xb a x a x a a x b a -+++--++++--++++--++-++-+-+--+++ ∵2x 4－3x 3＋ax 2＋7x ＋b 能被x 2＋x －2整除，∴⎩⎨⎧－12－a ＝0b ＋2(a ＋9)＝0，即⎩⎨⎧a ＝－12b ＝6，∴a b ＝－2 A 级1．(1) －5 (2)53 2．8 3．7 4．6 5．7 9 6．A 7．D 提示：a ＝(25)11，b －(34)11，c ＝(53)11，d ＝(62)11 8．A 9．B 10．C 11．4800 12．a ＝4．b ＝4，c ＝113． 提示：令x 3 ＋kx 2＋3＝(x ＋3) (x 2＋ax ＋6)＋r 1，x 3＋kx 2＋3＝( x ＋1) (x 2＋cx ＋d )＋r 2，令x ＝－3，得r 1＝9k －24．令x ＝－1，得r 2＝k ＋2，由9k －24＋2＝k ＋2， 得k ＝3．B 级1． 1891252． (1)949 提示：原式＝(73)1998×32000(1＋52000)72000(1＋52000)＝(73)1998×(37)2000＝949 (2)12 3．(1) ＜ 1516 ＜1615＝264，3 313 ＞3213＝265 ＞264．(2) ＞ 提示：设32 000 ＝x ．4．4 5．512 提示：令x ＝±2． 6．C 提示：由条件得a ＝c －3 ，b ＝c 2 ，abc ＝c －3·c 2·c ＝17．C 8．D9．C 提示：设a 2＋a 3＋…a 1996＝x ，则M ＝（a 1＋x ）(x ＋a 1997)＝a 1x ＋x 2＋a 1a 1997＋a 1 997x ．N ＝(a 1＋x ＋a 1 997)x ＝a l x ＋x 2＋a 1997x ．M ＝N ＝a 1a 1997＞0．10．D11．由ax 2＋by 2 ＝7，得(ax 2＋by 2)(x ＋y )＝7(x ＋y )，即ax 3－ax 2y ＋bxy 2＋by 3 ＝7(x ＋y )，(ax 3＋by 3)－xy (ax ＋by )－7(x ＋y )．∴16＋3xy ＝ 7(x ＋y )． ①由ax 3 ＋by 3＝16，得(ax 3＋by 3)(x ＋y ) ＝16(x ＋y )，即ax 4 ＋ax 3 y ＋bxy 3＋by 4 ＝16(x ＋y )，（ax 4＋by 4)＋xy (a 2x ＋b 2y )＝16(x ＋y ）．∴42＋7xy ＝16(x ＋y ）． ②由①②可得，x ＋y ＝－14，xy ＝－38．由a 2x ＋b 2y ＝42，得（a 4x ＋b 4y ）（x ＋y ）＝42×（－14），（a 5x ＋b 5y ）＋xy （a 3x ＋b 3y ）＝－588， 55ax by +＋16×（－38）＝－588．故55ax by +＝20．12．两边同乘以8得32x +＋32y +＋32z +＋32w +＝165． ∵x ＞y ＞z ＞w 且为整数，∴x ＋3＞y ＋3＞z ＋3＞w ＋3，且为整数．∵165是奇数，∴w ＋3＝0，∴w ＝－3．∴32x +＋32y +＋32z +＝164． ∴12x +＋12y +＋12z +＝41，∴z ＋1＝0，∴z ＝－1． ∴12x +＋12y +＝40．两边都除以8得：22x -＋22y -＝5．∴y －2＝0，∴y ＝2．∴22x -＝4． ∴x －2＝2，∴x ＝4．∴()20101x y z w +++-＝()201042131+---＝1． 13．（1）∵（x －1）（x ＋4)＝2x ＋3x －4，令x －1＝0，得x ＝1；令x ＋4＝0，得x ＝－4．当x ＝1时，得1＋a ＋b ＋c ＝0； ① 当x ＝－4时，得－64＋16a －4b ＋c ＝0． ② ②－①，得15a －5b ＝65，即3a －b ＝13． ③ ①＋③，得4a ＋c ＝12．（2）③－①，得2a －2b －c ＝14．（3）∵c ≥a ＞1，4a ＋c ＝12，a ，b ，c 为整数， ∴1＜a ≤125，则a ＝2，c ＝4． 又a ＋b ＋c ＝－1，∴b ＝－7，．∴c ＞a ＞b ．。
初中数学培优竞赛__整式的乘法与除法
第十七讲 整式的乘法与除法指数运算律是整式乘除的基础，有以下4个：nm nmaa a +=⋅，nm n m a a =)(，n n nb a ab ⋅=)(，n m n m a a a -=÷．学习指数运算律应注意：【例4】))(2(67222B y x A y x y x y xy x +++-=-----．求A 、B 的值．思路点拨 等号左右两边的式子是恒等的，它们的对应项系数对应相等，从而可以通过比较对应项系数来解．【例5】 是否存在常数p 、q 使得q px x ++24能被522++x x 整除?如果存在，求出p 、q 的值，否则请说明理由．思路点拔 由条件可推知商式是一个二次三项式(含待定系数)，根据“被除式=除式×商式”，运用待定系数法求出p 、q 的值，所谓p 、q 是否存在，其实就是关于待定系数的方程组是否有解．学力训练2．若2x+5y —3=0，则4x ．32y ． (绍兴市竞赛题)3．满足(x —1)200>3200的x 的最小正整数为 ． (2003年武汉市选拔赛试题)4．d c b a 、、、都是正数，且5,4,3,25432====d c b a ，则d c b a 、、、中，最大的一个是 ． (“英才杯”竞赛题)5．化简)2(2)2(2234++-n n n 得（ ）． (IT 杯全国初中数学竞赛题) A ．8121-+n B ．12+-n C ．87 D ．47 7．已知a 是不为0的整数，并且关于x 的方程453223+--=a a a ax 有整数根，则a 的值共有( )． A ． 1个 B ．3个 C ．6个 D ．9个15．如果多项式1)2)((-+-x a x 能够写成两个多项式(x+3)和(x+b)的乘积，那么a= ，b= ． 16．若2233445566,55,33,22====d c b a ，那么d c b a 、、、从小到大的顺序是( )． A ．a>b>c>d B ．a>b>d>c C ．b>a>c>d D ．a>d>b>c (北京市“迎春杯”竞赛题) 17．已知199********,,,,,a a a a a 均为正数，又M ))((199732199621a a a a a a ++++++= ，N ))((199632199721a a a a a a ++++++= ，则M 与N 的大小关系是( )．A ．M=NB ．M<NC ．M>ND ．关系不确定A ．1997B ．1999C ．2001D ．2003 (北京市竞赛题)19．已知关于x 的整系数二次三项式ax 2十bx+c 当x 取1，3，6，8时，某同学算得这个二次三项式的值分别为l ，5，25，50．经检验，只有一个结果是错误的，这个错误的结果是( )．A ．当x=1时，ax 2十bx+c=1B ．当x ＝3时，ax 2十bx+c=5C ．当x=6时，ax 2十bx+c=25D ．当x ＝8时，ax 2十bx+c=5020．已知3x 2-x-1=0，求6x 3十7x 2一5x+1999的值．21．已知a 是方程01322=-+x x 的一个根，试求代数式131593322345-+-+++a a a a a a 的值．22．已知102222=⋅=⋅dcba，求证：(a 一1)(d —1)=(b 一1)(c 一1)．23．是否存在整数c b a 、、满足2)1516()910()89(=cb a ？若存在，求出c b a 、、的值；若不存在，说明理由．242，n 3，n 4，n 5的个位数如表所示(1)从所列的表中你能发现什么规律?(2)若n 为自然数，和数1981n +1982 n +1983 n +1984 n 不能被10整除，那么n 必须满足什么条件?第十七讲整式的乘法与除法参考答案。
八年级整式乘除培优
A．2b＜a+c
B．2b＝a+c
C．a+c
D．a+b＞c
8、请你计算：（1﹣x）（1+x），（1﹣x） （1+x+x2），…，猜想（1﹣x）（1+x+x2+…+xn）的结
果是（ ）
A．1﹣xn +1
B．1+xn+1
C．1﹣xn
D．1+xn
9、已知6x2﹣7xy﹣3y2+14x+y+a=（2x﹣3y+b） （3x+y+c），试确定a、b、c的值．
3、若实数x满足x2 - 2x 1 0,则2x3 - 7x2 4x 2017的值为
4、计算
（1）424 - 0.2523 -1
（2） 7 3
1998
32000 7 2000
152000 352000
5、若(a bm n2 ) a2nb2m a5b3,则m n的值为()
A.3 B.2
C.1 D.3
6.如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小
正方形，将涂色部分沿虚线剪开，拼成右边的矩形．根 据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣b2
B．a（a﹣b）＝a2﹣ab D．a2 ﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
7、已知2a＝3，2b＝6，2c＝12，则a，b，c的关系是（ ）
正方形纸片，从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个
正方形（无空隙，无重叠地拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为（ ）
A．a+b B.2a+b C.3a+b D.a+2b
(word完整版)整式的加减乘除培优精华
练习：1、下列那些式子是单项式,并指出他的系数和次数 2013 a 2bba +5x y 2 2013y x + 0 -10 π b a 2221012⨯2、若c ax y -是关于x ，y 的单项式，且系数为2013,次数为12，则a= ,c= 。
3、12)1(++n y x m 是关于x ，y 的四次单项式,则m= ,n= 。
4、下列那些式子是多项式，并指出他的次数，读法，各项的次数x 2+x 3+x 40 4—2π 9 x 4y b a y x +- 6ab+4 243(a+b)5、z y xy x +++444读作： ； 1425-+++-z xz y xy 读作： ;6、2013435232--+-+b a ab b a b a 这个多项式的最高次项是 ,一次项是 ,二次项是 ,三次项是 ，常数项是 。
7、已知4543433515a y y x y x y x +-+-，按a 升幂排列为： ; 按a 的降幂排列为 ；按b 升幂排列为： ；按b 的降幂排列为 . 8、下列那些式子是整式12π -4yxz x 2-y 22a-b+8c 543 43x 4y 0 322013y x + b a 2221012⨯9、若b b a x y x 532-+和是同类项则a= ，b= 。
若363543y x y x nn m -+和是同类项则m= ，n= 。
11、若442-+x x 的值为0,则51232-+x x 的值是________.12、如果代数式535ax bx cx ++-当2x =-时的值为13,那么当2x =时，该式的值是 . 13、若3a =-，25b =，则20072006a b +的个位数字是=________。
14、已知012=-+a a ，求2013223++a a = 。
15、当2x =时，代数式31ax bx -+的值等于17-，那么当1x =-时，代数式31235ax bx --的值 。
人教版初中八年级数学上册专题整式的乘除习题及答案
整式的乘除（习题）➢ 例题示范例1：计算328322(2)(2)(84)(2)x y y x y x x ⋅-+-+÷-．【操作步骤】（1）观察结构划部分：328322(2)(2)(84)(2)x y y x y x x ⋅-+-+÷-①②（2）有序操作依法则：辨识运算类型，依据对应的法则运算．第一部分：先算积的乘方，然后是单项式相乘；第二部分：多项式除以单项式的运算．（3）每步推进一点点．【过程书写】解：原式62634(2)(42)x y y x y =⋅-+-6363842x y x y =-+-6342x y =--➢ 巩固练习1. ①3225()a b ab -⋅-=________________；②322()(2)m m n -⋅-=________________；③2332(2)(3)x x y -⋅-； ④323(2)(2)b ac ab ⋅-⋅-．2. ①2223(23)xy xz x y ⋅+=_____________________； ②31422xy y ⎛⎫-⋅-= ⎪⎝⎭_______________________； ③2241334ab c a b abc ⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭___________________；④222(2)(2)ab a b ⋅-=________________________；⑤32(3231)a a a a -⋅+--=____________________．3. ①(3)(3)x y x y +-； ②(2)(21)a b a b -++；③(23)(24)m n m n ---； ④2(2)x y +；⑤()()a b c a b c -+++．4. 若长方形的长为2(421)a a -+，宽为(21)a +，则这个长方形的面积为（）A ．328421a a a -+-B ．381a -C ．328421a a a +--D ．381a +5. 若圆形的半径为(21)a +，则这个圆形的面积为（）A ．42a π+πB ．2441a a π+π+C ．244a a π+π+πD ．2441a a ++6. ①32223x yz xy ⎛⎫÷= ⎪⎝⎭__________________；②3232()(2)a b a b -÷-=________________；③232(2)()x y xy ÷=___________；④2332(2)(__________)2x y x y -÷=；⑤23632()(6)(12)m n m n mn -÷⋅-=_________．7. ①32(32)(3)x yz x y xy -÷-=____________； ②233242112322a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫-+÷-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_______________；③24422(48)(2)m n m n mn --÷=_______________；④()221___________________32m mn n ÷=-+-．8. 计算：①322322(4)(4)()(2)a c a c a c ac -÷--⋅-；②224(2)(21)a a a -+--；③33(2)(2)(2)()a b a b a b ab ab +-+-÷-．➢ 思考小结1. 老师出了一道题，让学生计算()()a b p q ++的值．小聪发现这是一道“多×多”的问题，直接利用握手原则展开即可．()()a b p q ++=小明观察这个式子后，发现可以把这个式子看成长为(a +b )，宽为(p +q )的长方形，式子的结果就是长方形的面积；于是通过分割就可以表达这个长方形的面积为_________________．∴()()a b p q ++=请你类比上面的做法，利用两种方法计算(a +b )(a +2b )．【参考答案】➢ 巩固练习1. ①445a b ②522m n③12272x y - ④3524a b c -2. ①222336+9x y z x y ②428xy xy -+ ③232321334a b c a b c - ④442584a b a b -⑤432323a a a a --++3. ①229x y - ②2242a b a b -+-③224212m mn n -++ ④2244x xy y ++ ⑤2222a b c ac -++4. D5. C6. ①223x z ②12③48x y ④34x y - ⑤22mn7. ①223x z x -+②2246b ab a -+- ③222n m -- ④3222132m n m n m -+-8. ①322a c ②7③23a ab +➢ 思考小结()()a b p q ap aq bp bq ++=+++ 22()(2)32a b a b a ab b ++=++。
整式的乘除与因式分解培优练习复习过程
整式的乘除与因式分解培优练习一、逆用幂的运算性质4．已知：2,3==n m x x ，求n m x 23+、n m x 23-的值。
5．已知：a m =2，b n =32，则n m 1032+=________。
二、式子变形求值3．已知0132=+-x x ，求221x x +的值。
4．已知：()()212-=---y x x x ，则xy y x -+222= . 5．24(21)(21)(21)+++的结果为 .7．已知：20072008+=x a ，20082008+=x b ，20092008+=x c ， 求ac bc ab c b a ---++222的值。
8．若210,n n +-=则3222008_______.n n ++=9．已知：0106222=+++-y y x x ，则=x _________，=y _________。
10．已知0258622=+--+b a b a ，则代数式baa b -的值是_______________。
三、式子变形判断三角形的形状1．已知：a 、b 、c 是三角形的三边，且满足0222=---++ac bc ab c b a ，则该三角形的形状是_________________________.2．若三角形的三边长分别为a 、b 、c ，满足03222=-+-b c b c a b a ，则这个三角形是___________________。
3．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且满足关系式222222b ac ab c a -+=+，试判断△ABC 的形状。
四、简答题6．为促进节约用水和保障城市供水行业健康发展，某市将实施阶梯式计量水价．该市在五个区内选取了近10万户居民，进行阶梯式计量水价的“模拟操作”，对自来水用户按如下标准收费： 第一等级是每月每户用水不超过a 吨，水价是每吨m 元；第二等级是月用水量超过a 吨，但不超过30吨的部分，水价每吨2m 元； 第三等级是月用水量超过30吨，超过30吨的部分水价为每吨3m 元． 现有一居民本月用水x 吨，则应交水费多少元?7．利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式： a 2+b 2+c 2-ab-bc-ac=21 [(a-b) 2+(b-c) 2+(c-a) 2]．该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美． (1)请你检验这个等式的正确性；(2)若a=2006，b=2008，c=2010，你能很快求出a 2+b 2+c 2-ab-bc-ac 的值吗?8. （4分）（1）阅读下列解答过程 （1） 问：求y 2+4y+8的最小值.（2）模仿（1）的解答过程，求m 2+m+4的最小值(3)求24127x x -+的最大值9、如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”。
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专题01 整式的乘除阅读与思考指数运算律是整式乘除的基础，有以下5个公式：mnm na a a+⋅=， ()m n mna a=，()n n nab a b =，(0)m n m n a a a a -÷=≠，01(0)a a =≠，1(0)p pa a a -=≠． 学习指数运算律应注意： 1．运算律成立的条件；2．运算律中字母的意义：既可以表示一个数，也可以表示一个单项式或者多项式； 3．运算律的正向运用、逆向运用、综合运用．多项式除以多项式是整式除法的延拓与发展，方法与多位数除以多位数的演算方法相似，基本步骤是： 1．将被除式和除式按照某字母的降幂排列，如有缺项，要留空位； 2．确定商式，竖式演算式，同类项上下对齐； 3．演算到余式为零或余式的次数小于除式的次数为止．例题与求解【例1】（1）若n 为不等式2003006n>的解，则n 的最小正整数的值为 ．（“华罗庚杯”香港中学竞赛试题）（2）已知21x x +=，那么432222005x x x x +--+= ． （“华杯赛”试题）（3）把26(1)x x -+展开后得121121211210a x a x a x a x a +++++，则121086420a a a a a a a ++++++= ． （“祖冲之杯”邀请赛试题）（4）若543237629()()()()()x x x x x x a x b x c x d x e -+-++=-----则ab ac ad ae bc bd be cd ce de +++++++++= ． （创新杯训练试题）解题思路：对于（1），从幂的乘方逆用入手；对于（2），目前无法求x 值，可考虑高次多项式用低次多项式表示；对于（3），它是一个恒等式，即在x 允许取值范围内取任何一个值代入计算，故可考虑赋值法；对于（4），可考虑比较系数法．【例2】已知252000x =，802000y=，则11x y+等于（ ） A ．2 B ．1 C ．12 D ．32（“希望杯”邀请赛试题） 解题思路：,x y 为指数，我们无法求出,x y 的值，而11x y x y xy++=，所以只需求出,x y xy +的值或它们的关系，于是自然想到指数运算律．【例3】设,,,a b c d 都是正整数，并且5432,,19a b c d c a ==-=，求d b -的值．（江苏省竞赛试题）解题思路：设5420326,a b m c d n ====，这样,a b 可用m 的式子表示，,c d 可用n 的式子表示，通过减少字母个数降低问题的难度．【例4】已知多项式2223286(2)(2)x xy y x y x y m x y n +--+-=++-+，求3211m n +-的值．解题思路：等号左右两边的式子是恒等的，它们的对应系数对应相等，从而可考虑用比较系数法．【例5】是否存在常数,p q 使得42x px q ++能被225x x ++整除？如果存在，求出,p q 的值，否则请说明理由．解题思路：由条件可推知商式是一个二次三项式（含待定系数），根据“被除式=除式×商式”，运用待定系数法求出,p q 的值，所谓,p q 是否存在，其实就是关于待定系数的方程组是否有解．【例6】已知多项式432237x x ax x b -+++能被22x x +-整除，求ab的值． （北京市竞赛试题） 解题思路：本题主要考查了待定系数法在因式分解中的应用．本题关键是能够通过分析得出当2x =-和1x =时，原多项式的值均为0，从而求出,a b 的值．当然本题也有其他解法．能力训练A 级1．（1）24234(0.25)1⨯--= ． （福州市中考试题） （2）若23n a=，则621n a -= ． （广东省竞赛试题）2．若2530x y +-=，则432xy． 3．满足200300(1)3x ->的x 的最小正整数为 ． （武汉市选拔赛试题）4．,,,a b c d 都是正数，且23452,3,4,5a b c d ====，则,,,a b c d 中，最大的一个是 ．（“英才杯”竞赛试题）5．探索规律：133=，个位数是3；239=，个位数是9；3327=，个位数是7；4381=，个位数是1；53243=，个位数是3；63729=，个位数是9；…那么73的个位数字是 ，303的个位数字是 ． （长沙市中考试题） 6．已知31416181,27,9a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．a b c <<D ．b c a >>7．已知554433222,3,5,6a b c d ====，那么,,,a b c d 从小到大的顺序是（ ）A ．a b c d <<<B ．a b d c <<<C ．b a c d <<<D ．a d b c <<<（北京市“迎春杯”竞赛试题）8．若11222,22n n n n x y +--=+=+，其中n 为整数，则x 与y 的数量关系为（ ）A ．4x y =B ．4y x =C ．12x y =D ．12y x =（江苏省竞赛试题）9．已知23,26,212,abc===则,,a b c 的关系是（ ）A ．2b a c <+B ．2b a c =+C ．2b a c >+D ．a b c +>（河北省竞赛试题）10．化简4322(2)2(2)n n n ++-得（ ） A ．1128n +- B ．12n +-C ．78D ．7411．已知2233447,49,133,406ax by ax by ax by ax by +=+=+=+=，试求171995()6()2x y xy a b ++-+的值．12．已知2267314(23)(3)x xy y x y a x y b x y c --+++=-+++．试确定,,a b c 的值．13．已知323x kx ++除以3x +，其余数较被1x +除所得的余数少2，求k 的值．（香港中学竞赛试题）B 级1．已知23,45,87,abc===则28a c b+-= ．2．（1）计算：1998200020002000200073153735+⎛⎫⨯ ⎪+⎝⎭= ． （第16届“希望杯”邀请竞赛试题） （2）如果5555555555555554444666666233322n++++++++⨯=+++，那么n = ． （青少年数学周“宗沪杯”竞赛试题）3．（1）1615与1333的大小关系是1615 1333（填“＞”“＜”“＝”）．（2）200020013131++与200120023131++的大小关系是：200020013131++ 200120023131++（填“＞”“＜”“＝”）．4．如果210,x x +-=则3223x x ++= ． （“希望杯”邀请赛试题）5．已知55432(2)x ax bx cx dx ex f +=+++++，则164b d f ++= ．（“五羊杯”竞赛试题）6．已知,,a b c 均为不等于1的正数，且236,ab c -==则abc 的值为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．12（“CASIO 杯”武汉市竞赛试题）7．若3210x x x +++=，则27261226271xx x x x x x ---+++++++++的值是（ ）A ．1B ．0C ．—1D ．28．如果328x ax bx +++有两个因式1x +和2x +，则a b +=（ ）A ．7B ．8C ．15D ．21（奥赛培训试题）9．已知,,,,a a a a a 均为正数，又()()M a a a a a a =++++++，121997231996()()N a a a a a a =++++++，则M 与N 的大小关系是（ ）A ．M N =B ．M N <C ．M N >D ．关系不确定10．满足22(1)1n n n +--=的整数n 有（ ）个A ．1B ．2C ．3D ．411．设,,,a b x y 满足2233443,7,16,42,ax by ax by ax by ax by +=+=+=+=求55ax by +的值．12．若,,,x y z w 为整数，且x y z w >>>，52222208xyzw+++=，求2010(1)x y z w +++-的值． （美国犹他州竞赛试题）13．已知,,a b c 为有理数，且多项式32x ax bx c +++能够被234x x +-整除． （1）求4a c +的值； （2）求22a b c --的值；（3）若,,a b c 为整数，且1c a >≥．试比较,,a b c 的大小．（四川省竞赛试题）。