2015年高考理科数学试题及答案-全国卷2

绝密★启用前

2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷2)

理 科 数 学

注意事项：

1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。

2．回答第I 卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3．回答第II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1） 已知集合A=｛-2，-1,0，1,2｝，B=｛x|（X-1）（x+2）＜0｝,则A∩B=（ ）

（A ）｛--1,0｝ （B ）｛0,1｝ （C ）｛-1,0,1｝ （D ）｛,0,，1，2｝

（2）若a 为实数且（2+ai ）（a-2i ）=-4i,则a=（ ）

（A ）-1 （B ）0 （C ）1 （D ）2

（3）根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。以下结论不正确的是( )

（A ） 逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 （B ） 2007年我国治理二氧化硫排放显现

（C ） 2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 （D ） 2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关

（4）等比数列｛a n ｝满足a 1=3，135a a a ++ =21，则357a a a ++= ( )

（A ）21 （B ）42 （C ）63 （D ）84

（5）设函数211log (2),1,

()2,1,

x x x f x x -+-

（A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）12

（6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分

体积与剩余部分体积的比值为

（A ）

81 （B ）71 （C ）61 （D ）5

1 （7）过三点A （1,3），B （4,2），C （1,-7）的圆交于y 轴于M 、N 两点，则MN =

（A ）26 （B ）8

（C ）46 （D ）10

（8）右边程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入a,b 分别为14,18，则输出的a=

A.0

B.2

C.4

D.14 （9）已知A,B 是球O 的球面上两点，∠AOB=90,C 为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为

A ．36π B.64π C.144π D.256π

10.如图，长方形ABCD 的边AB=2，BC=1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP=x ．将动点P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数f （x ），则f （x ）的图像大致为

（11）已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，?ABM 为等腰三角

形，且顶角为120°，则E 的离心率为

（A （B ）2 （C （D

（12）设函数f’(x)是奇函数()()f x x R ∈的导函数，f （-1）=0，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是

A ．(,1)(0,1)-∞-

B ．(1,0)(1,)-+∞

C ．(,1)(1,0)-∞--

D ．(0,1)

(1,)+∞

二、填空题

（13）设向量a ，b 不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ=_________．

（14）若x ，y 满足约束条件1020,220,x y x y x y -+≥??

-≤??+-≤?

，，则z x y =+的最大值为____________．

（15）4

()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a =__________． （16）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________． 三．解答题

（17）?ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，?ABD 是?ADC 面积的2倍。

(Ⅰ)求

C

B

∠∠sin sin ;

(Ⅱ) 若AD =1，DC =

2

2

求BD 和AC 的长. (18)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：

A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89

B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79

（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；

（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：

记时间C ：“A 地区用户的满意度等级高于B 地区用户的满意度等级”。假设两地区用户的评价结果相互独立。根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C 的概率

19．（本小题满分12分）

如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB = 16，BC = 10，AA 1 = 8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E = D 1F = 4，过点E ，F 的平面α与此长方体的面相

交，交线围成一个正方形。

（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （2）求直线AF 与平面α所成的角的正弦值。

20．（本小题满分12分）

已知椭圆C ：2229(0)x y m m +=>，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M 。

（1）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；

（2）若l 过点(,)3m

m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜

率；若不能，说明理由。

21．（本小题满分12分）

设函数2()mx f x e x mx =+-。

（1）证明：()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增；

（2）若对于任意12,[1,1]x x ∈-，都有12|()()|1f x f x e -≤-，求m 的取值范围。

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请写清题号 22．（本小题满分10分）

选修4 - 1：几何证明选讲

如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，⊙O 与ΔABC 的底边BC 交于M ，N 两点，与底边上的高AD 交于点G ，且与AB ，AC 分别相切于E ，F 两点。

（1）证明：EF ∥BC ；

（2）若AG 等于⊙O 的半径，

且AE MN ==求四边形EBCF 的面

积。

23．（本小题满分10分）

G

A

E

F

O

N

D

B C

M

选修4 - 4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：cos sin x t y t α

α=??=?

（t 为参数，t ≠ 0），其中0 ≤ α < π，在以O 为极点，x 轴正半轴

为极轴的极坐标系中，曲线C 2：2sin ρθ=，C 3：ρθ=。 （1）求C 2与C 3交点的直角坐标；

（2）若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求||AB 的最大值。

24．（本小题满分10分）

选修4 - 5：不等式选讲

设a ，b ，c ，d 均为正数，且a + b = c + d ，证明：

（1）若ab > cd

（2||||a b c d -<-的充要条件。

参考答案

一．选择题

（1）A （2）B （3）D （4）B （5）C （6）D （7）C （8）B

（9）C

（10）B

（11）D

（12）A

二．填空题

（13）1

2

（14）

32

（15）3

（16）1n

-

三．解答题 （17）解： （Ⅰ）1

sin 2ABD

S

AB AD BAD =

∠ 1

sin 2

ADC

S

AC AD CAD =∠ 因为ABD

ADC

S S

=，BAD CAD ∠=∠，所以2AB AC =

由正弦定理可得

sin 1

sin 2

B A

C C AB ∠==∠

（Ⅱ）因为::ABD

ADC

S

S

BD DC =，所以BD 在ABD 和ADC 中，由余弦定理知

2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-∠， 2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-∠

故2

2

2

2

2

2326AB AC AD BD DC +=++= 由（Ⅰ）知2AB AC =，所以1AC =

（18）解：

（Ⅰ）两地区用户满意度评分的茎叶图如下

通过茎叶图可以看出，A 地区用户满意度评分的平均值高于B 地区用户满意度评分的平均值；A 地区用户满意度评分比较集中，B 地区用户满意度评分比较分散。

（Ⅱ）记1A C 表示事件：“A 地区用户的满意度等级为满意或非常满意”；

2A C 表示事件：

“A 地区用户的满意度等级为非常满意”； 1B C 表示事件：

“B 地区用户的满意度等级为不满意”； 2B C 表示事件：

“B 地区用户的满意度等级为满意”， 则1A C 与1B C 独立，2A C 与2B C 独立，1B C 与2B C 互斥，11

22B A B A C C C C C =，

1122()()B A B A P C P C C C C =

1122()()B A B A P C C P C C =+ 1122()()()()B A B A P C P C P C P C =+

由所给数据得1212,,,A A B B C C C C 发生的频率分别为

164108

,,,20202020

，故 1212164108

(),(),(),()20202020A A B B P C P C P C P C ====

164108

()0.4820202020

P C =???=

（19）解：

（Ⅰ）交线围成的正方形EHGF 如图：

（Ⅱ）作EM AB ⊥，垂足为M ，则114,8AM A E EM AA ====

因为EHGF 为正方形，所以10EH EF BC ===

于是6MH =，所以10AH =

以D 为坐标原点，DA 的方向为x 轴正方向，建立如图所以的空间直角坐标系D xyz -，则

(10,0,0),(10,10,0),(10,4,8),(0,4,8),(10,0,0),(0,6,8)A H E F FE HE ==-

设(,,)n x y z =是平面EHGF 的法向量，则

0,0,n FE n HE ?=??

=??即100,

680,

x y z =??-+=?

所以可取(0,4,3)n =

又(10,4,8)AF =-，故||4|cos ,|15||||

n AF n

AF n AF <>=

= 所以AF 与平面EHGF （20）解：

（Ⅰ）设直线1122:(0,0),(,),(,),(,)M M l y kx b k b A x y B x y M x y =+≠≠

将y kx b =+代入2229x y m +=得2222(9)20k x kbx b m +++-=，故

12229,299

M M M x x kb b

x y kx b k k +-=

==+=++ 于是直线OM 的斜率9

M OM M y k x k

=

=-，即9OM k k =- 所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值

（Ⅱ）四边形OAPB 能为平行四边形

因为直线l 过点(,)3

m

m ，所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0,3k k >≠ 由（Ⅰ）得OM 的方程为9

y x k

=-

设点P 的横坐标为P x

由2229,9,y x k x y m ?=-

???+=?

得2222981P k m x k =+，即P x = 将点(

,)3m m 的坐标代入l 的方程得(3)3m k b -=，因此2(3)3(9)

M k k

m x k -=+ 四变现OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即2P M x x =

2(3)2

3(9)

k k m

k -=?

+，解得1244k

k ==

因为0,3,

1,2i i k k i >≠=，所以当l 的斜率为44OAPB 为平行四边形

（21）解： （Ⅰ）()(1)2mx

f x m e

x '=-+

若0m ≥，则当(,0)x ∈-∞时，10,()0mx

e

f x '-≤<；当(0,)x ∈+∞时，10mx e -≥，()0f x '>

若0m <，则当(,0)x ∈-∞时，10,()0mx e f x '-><；当(0,)x ∈+∞时，10mx

e -<，()0

f x '>

所以，()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，对任意的,()m f x 在[-1，0]单调递减，在[0,1]单调递增，故()f x 在0x =处取得最小值，所以对于任意1212,[1,1],|()()|1x x f x f x e ∈--≤-的充要条件是

(1)(0)1,

(1)(0)1,f f e f f e -≤-??

--≤-?

即

1,

1,

m m

e m e e m e -?-≤-??+≤-?? ① 设函数()1t g t e t e =--+，则()1t g t e '=-

当0t <时，()0g t '<；当0t >时，()0g t '>，故()g t 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增。 又1(1)0,(1)20g g e e -=-=+-<，故当[1,1]t ∈-时，()0g t ≤ 当[1,1]m ∈-时，()0,()0g m g m ≤-≤，即①式成立； 当1m >时，由()g t 的单调性，()0g m >，即1m

e m e ->-； 当1m <-时，()0g m ->，即1m

e m e -+>-

综上，m 的取值范围是[-1,1]

（22）解：

（Ⅰ）由于ABC 是等腰三角形，AD BC ⊥，所以AD 是CAB ∠的平分线

又因为O 分别与AB ，AC 相切于点E ，F ，所以AE AF =，故AD EF ⊥ 从而//EF BC

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AE AF =，AD EF ⊥，故AD 是EF 的垂直平

分线.又

EF 为O 的弦，所以O 在AD 上

连结,OE OM ，则OE AE ⊥ 由AG 等于

O 的半径得2AO OE =，所以30OAE ∠=，因

此

ABC 和AEF 都是等边三角形

因为AE =4,2AO OE ==

因为12,2OM OE DM MN ===

=1OD =

，于是5,AD AB == 所以四边形EBCF

的面积为

221122?-?=

（23）解：

（Ⅰ）曲线2C 的直角坐标方程为2220x y y +-=，曲线3C

的直角坐标方程为220x y +-=.

联立2222

20,0

x y y x y ?+-=??+-=?? 解得0,0,x y =??=?

或23.2

x y ?

=????=??

所以2C 与3C 交点的直角坐标为(0,0)

和3)2

（Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为(,0)R θαρρ=∈≠，其中0απ≤<

因此A 的极坐标为(2sin ,)αα，B

的极坐标为,)αα

所以|||2sin |4|sin()|3

AB π

ααα=-=-

当56

π

α=

时，||AB 取得最大值，最大值为4 （24）解：

（Ⅰ）因为22a b c d =++=++

由题设,a b c d ab cd +=+>

得22>

（Ⅱ）（ⅰ）若||||a b c d -<-，则22()()a b c d -<-，即

22()4()4a b ab c d cd +-<+-

因为a b c d +=+，所以ab cd >

>

22>，即

a b c d ++>++因为a b c d +=+，所以ab cd >，于是

2222()()4()4()a b a b ab c d cd c d -=+-<+-=-

因此||||a b c d -<-

>是||||a b c d -<-的充要条件