第38届全俄数学奥林匹克竞赛
科高校长---尚强老师的拼搏之路
玉汝于成，自强不息——记尚强校长的拼搏之路在汉字释源的书《广雅》里这样写道，“尚，上也”，意为尊崇、重视;“强，健也”，意为刚强有力。
尚强，寓意着一种对自励自强精神的崇尚。
名如其人，用此来概括尚强老师的事业发展与人生追求，不仅恰当贴切，而且更能传达出一种自我砥砺、自强不息、自我超越的拼搏精神。
深圳科学高中的莘莘学子、广大教师，都能从中汲取到一种昂扬向上、奋发坚韧的精神力量。
(一)少年启蒙山村偏远宁静，李白捉月归仙。
安徽当涂，在四十三年前的一所简陋的教室里，一位数学老师在上课，这位老师是全校唯一的教职工，全校只有八九名学生，复式班教学。
设施简陋，教材畸形(所谓的实用型教材，没有公式定理)，课外书奇缺，师生手头只有《毛主席语录》《毛泽东选集》等几本书。
这位初中毕业的数学老师说得一口标准的普通话，写得一手好字。
在他的数学课上，很少讲数学知识，更多的是滔滔不绝地讲述华罗庚、钱学森、唐敖庆等数学家、科学家成长奋斗的故事。
在讲到华罗庚因交不起学费而中途退学，在父亲的小店里用五年时间自学了高中和大学的全部课程时，几个孩子张大了嘴巴，目不转睛，惊骇羡慕。
老师的故事像一道灵光照进了孩子们的心里，一个关于逆境拼搏、自学成才的梦想在几个孩子心中悄然发芽，而其中一个孩子名叫尚强。
尚强对于数学萌发了一种近乎痴迷的喜爱，但求学条件的匮乏极大地制约着尚强的学习。
仅有的基本教材，按照当时学产结合的原则，内容大多是如何测量稻田的面积，如何测量一棵杨树的高度。
尚强对这样的课本几乎一看就懂，他在迫切地寻找着“过瘾的书”。
用他的话说，“过瘾的书”就是有难度、有嚼头的书。
在这异常艰难的岁月里，书籍成为了尚强梦寐以求的珍宝。
这时另一位对尚强影响至深的人出现了，即他的一位时任民办教师的表叔。
尚强从他家阁楼里翻出了一些文革前的数理化教材，这些书有“料”，数学方面有函数、对数以及解析几何、微积分等知识，种类繁多。
这样有难度的课本，在尚强看来是比较“过瘾”的。
历届国际数学奥赛结果
历届国际数学奥赛结果自从1959年第一届国际数学奥赛举办以来，每年都会有来自世界各地的优秀数学学生参加这一盛会。
这些学生在奥赛中展示了他们的数学才华，为自己的国家争得了荣誉。
下面我们来看看历届国际数学奥赛的结果。
1959年第一届国际数学奥赛在罗马尼亚布加勒斯特举行，共有7个国家的16名学生参加。
苏联队以5金1银的好成绩夺得了团体冠军。
1960年第二届国际数学奥赛在苏联莫斯科举行，共有12个国家的39名学生参加。
苏联队再次夺得团体冠军。
1961年第三届国际数学奥赛在波兰华沙举行，共有16个国家的52名学生参加。
苏联队再次夺得团体冠军。
1962年第四届国际数学奥赛在捷克斯洛伐克布拉格举行，共有17个国家的58名学生参加。
苏联队再次夺得团体冠军。
1963年第五届国际数学奥赛在罗马尼亚布加勒斯特举行，共有19个国家的74名学生参加。
苏联队再次夺得团体冠军。
1964年第六届国际数学奥赛在苏联莫斯科举行，共有20个国家的87名学生参加。
苏联队再次夺得团体冠军。
1965年第七届国际数学奥赛在保加利亚索非亚举行，共有22个国家的105名学生参加。
苏联队再次夺得团体冠军。
1966年第八届国际数学奥赛在捷克斯洛伐克布拉格举行，共有23个国家的123名学生参加。
苏联队再次夺得团体冠军。
1967年第九届国际数学奥赛在古巴哈瓦那举行，共有27个国家的139名学生参加。
苏联队再次夺得团体冠军。
1968年第十届国际数学奥赛在罗马尼亚布加勒斯特举行，共有29个国家的174名学生参加。
苏联队再次夺得团体冠军。
从以上结果可以看出，苏联队在历届国际数学奥赛中表现出色，连续十年夺得团体冠军。
这也反映出苏联在数学领域的强大实力。
随着时间的推移，越来越多的国家开始重视数学教育，参加国际数学奥赛的国家也越来越多，竞争也越来越激烈。
但是，无论如何，国际数学奥赛都是展示数学才华的舞台，也是促进国际数学交流的重要平台。
北大保送生为我国夺得15枚国际奥赛金牌
北大保送生为我国夺得15枚国际奥赛金牌要想在考试中取得好成绩就必须注重平常的练习与积存，查字典数学网为大伙儿整理了我国夺得15枚国际奥赛金牌，小朋友们一定要认真阅读哦!近日，2021年国际中学生数学、物理、化学和生物奥林匹克竞赛连续举行，中国代表队全部队员均获得金牌，总计为我国夺得金牌19枚(其中数学6枚、物理5枚、化学4枚、生物4枚)。
在这些队员中，有15位差不多保送北京大学元培打算实验班、数学科学学院、物理学院、化学与分子工程学院和生命科学学院等院系。
国际数学奥林匹克竞赛(中国队获得6枚金牌，其中北大保送生6人)日前，第47届国际中学生数学奥林匹克竞赛在斯洛文尼亚闭幕，保送北京大学的6位同学代表中国队参赛，勇夺6枚金牌。
这六位队员是柳智宇(湖北华中师大一附中)、沈才立(浙江镇海中学)、金龙(吉林长春东北师大附中)、邓煜(深圳高级中学)、甘文颖(湖北武汉武钢三中)和任庆春(天津耀华中学)。
值得一提的是沈才立、邓煜差不多上高中二年级的学生，因为成绩优异北京大学以将他们预录用。
国际物理奥林匹克竞赛(中国队获得5枚金牌，其中北大保送生3人) 7月17日刚在新加坡终止的第37届国际中学生奥林匹克物理竞赛中，保送北京大学的湖北黄冈中学的王星泽、郑州一中的裴东斐和石家庄二中的张鸿凯三位同学与中国代表队参赛的另2名队员为我国夺得了5枚金牌。
国际化学奥林匹克竞赛(中国队获得4枚金牌，其中北大保送生4人)日前在韩国都市庆山举行的第38届国际化学奥林匹克竞赛上，湖南长沙一中蔡李超、上海华东师大二附中叶钦达、江西鹰潭一中刘艺斌和广东深圳中学曾毅等四位保送北京大学的同学代表中国参赛，为我国夺得4枚金牌，其中蔡李超同学还获得本次竞赛LG最佳理论题成绩单项奖。
课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也专门难做到恰如其分。
什么缘故?依旧没有完全“记死”的缘故。
要解决那个问题,方法专门简单,每天花3-5分钟左右的时刻记一条成语、一则名言警句即可。
中等数学2012年总目次
20 1 1 年四川初 中数学联赛决赛 (初二)
20 1 1 中国西部数学 奥林 匹克
(1
l
0 1 年高 中联赛加 试第 三题 的归纳法证 明 2
( 王建伟 11 12 )
20 1 1 年全 国高 中数学联 赛天津赛 区预赛 20 1 1 年全 国高中数学联赛辽 宁赛 区预赛 20 1 1 年全 国高中数学联赛福建赛 区预赛
专题写作
20 1 1 年北京市 中学生数学竞赛初赛 (高六 ) (2
20 1 1 年全 国高 中数学联赛 山东赛区预赛
(黄 全福 . 14 2 ) 20 1 1 年全 国高 中数学联赛湖北赛区预赛
(2
(2
一个与完全 四边形有关 的命题
一道平面几何题 的证 明及其 改进 正整数 的 T 结构
(谢 建伟 8 14 ) (陶平生 9 . 13 )
简证一道 I M O 预选题 (王建荣
毅 旭
2 x
人 勺 . , 且 了
, 少 . ,产/ 6 7
20 1 2 年四川省初 中数学 联赛决赛 (初二)
20 1 1 年全国高中数学联 赛河南 赛区预赛 (高二 )
( 俞辰捷 2
一道英 国竞赛题 的另解
再品佳题
0 1 年河北省高 中数学 竞赛 2 0 1 2 2 年浙江省高中数学竞 赛
(李世 臣 7 . 9 )
9一 2
10 .2
铁
浩
三角形内一点到三边距离 的一个关 系式
11 3 )
几何最值 问题
高中
(刘清泉
12 2 )
U 乙
一道伊 朗竞赛题探究 (沈 毅 7 . 11 ) 近年国内外与数表棋盘有关 的竞赛题
(瞿振 华 8 11)
第38届俄罗斯数学奥林匹克(九年级)
ｊ
—ａ ｊ’＞ ・
５ 如果一个智者和与其相邻的两人中至 ． 少有一人与其观点相 同， 则称此智者为 “ 稳 定 的” 否则 ， ， 称为 “ 不稳定 的 ” ．
显 然 ， 成 为 稳 定 的智 者 则 不 再 改 变 一旦 观 点且永 远都是 稳定 的． 由于一共有 奇数个 智 者 ， 因此 ， 开始 就一 定 有稳定 的智 者． 因为与稳定 相邻 的不稳 定智 者经过一 分 钟后 变为稳 定 的智 者 ， 以 ， 所 智者 的个 数 （ 只 要有 非智 者 ） 分 钟 都 严 格 上 升 （ 了最 后 每 除
ａ＋； ｎ ＋…＋ ： ３ ｋ ０＞ｋ＋．
得 它们 的差 的绝对值 大 于 １ ．
③
证 明 ： ｔ ，：… ， 中存 在 两 个 数 ， 在 ｌ ａ， 口 ， 使 ５ １１个 智 者 围坐 一 圈开 圆桌 会 ， 论 ．０ 讨 地球 和木 星谁 绕 谁 转 的 问题． 始及 随后 的 开 每个 时刻 每个智 者持 有地球 绕木 星转或 木星 绕地 球转这 两 种 观点 之 一． 智者 按 以下规 各 则每 分钟一 次 同时宣 布 自己的观 点 ： 了第 除
４ Ｘ４ ７ 一ｌ ０ ｌ＝ｌ ６ｌ ． ７
次以外 ， 如果在上一分钟时一个智者的相 邻两人（ 左右各一人 ） 与其观点都不相同， 则 智 者改 变 自己 的观 点 ， 则不 改 变 自 己的观 否 点． 明 ： 干 分钟 后 ， 有 的人 都 不再 改 变 证 若 所 自己的观 点． ６ 已知 Ａ 、 ｃ 分 别是 △ Ａ Ｃ边 Ｂ ． 。Ｂ 、 ． Ｂ Ｃ、 Ｃ Ａ Ａ、Ｂ上 的点 ， 足 满
３ ２
中 等 数 学
第 ３ 届俄罗斯数学奥林 匹克 （ ８ 九年级 ）
第38届俄罗斯数学奥林匹克(十一年级)
集 ．甲 乙两 人 由甲开始轮 流 每次 去掉 Ａ中的
的一部分或全体分成若干组 ， 每组有相 同的 块 数 ， 将每组 中的橡皮 泥捏成 一块 ． 再 已知 可 以经过 ｍ 次操作 使得 桌 子 上恰 有 ｌ １块两 两 重量不 同 的橡 皮 泥． ｍ 的最小 值． 求 ２ 同十年 级第 ３题 ． ３ 将整个 平 面用与 国际象 棋盘 一样 的黑 ． 白方格铺满．现用红色或蓝色将所有的白格 染 色 ， 得 原 来 有 公 共 顶 点 的 白格 不 同色． 使 对 于平 面上 任一 线 段 ｍ，用 ６ ｍ） （ 表示 ｍ 上 面 的红 色 线 段 长度 和 与 蓝 色 线 段 长 度 和 的 差 ，是 平 面 上 一 条 与 小 方 格 的边 不 平 行 的 ｆ 直线． 明 ： 在 一个 只与 ｚ 关 的常数 ｃ使 证 存 有 ， 得对任意与 ｚ 平行的线段 ｍ 都有 ８ ｍ ≤ ． ， （） ｃ ４ ｌ２ 是 一 以 凸多 边 形 ＡＡ ・ ． Ａ …Ａ ｌ２・ 为底 的 ｎ棱 锥． 每 个 ｉ ｉ ， ， ， ） 置 对 （ ：１２ … ｎ ， 是底所 在平 面上 一点 ， 足 满 △ 置ＡＡ ｉ… △ ‘… ， Ａ 且 置 与多边 形 Ａ …Ａ 。 位 于 直 线 ＡＡ 的 … 同侧． 明 ： 证 △ ＡＡ （ ＝１２， ， ） … ｉ ， … ｎ 的并 覆盖多 边形 ＡＡ …Ａ （ 川 ＝ ． ： Ａ Ａ） ５ 设 Ｐ（ 是一 个 实 系数 多项 式 ，实 数 ． ） 口 、２口 、ｌｂ 、３ 足 ａ ２ ３ ， 对 于任 ｌｎ 、 ３ｂ 、２ｂ 满 Ｉ 口 且 ５０ 意的 ∈ Ｒ， 有 Ｐ ａ ＋ １ ＋ （２ ６） Ｐ ａｘ＋ ３． （ １ ６） Ｐ ａｘ＋ ＝ （ ３ ６） 证 明 ： ） Ｐ（ 至少 有一 个实 根． ６ 已知 Ａ 、 、 １ ． ｌＣ 分别 是 △ Ａ Ｃ边 Ｂ 、 Ｂ Ｃ Ｃ Ａ Ａ、Ｂ上 的点 ， 足 满
母亲啊,您是我最好的老师——第38届国际数学奥赛金牌得主安金鹏和他的母亲
母亲啊，您是我最好的老师——第38届国际数学奥赛金牌得主安金鹏和他的母亲１９９７年７月２８日，天津一中高三学生安金鹏在阿根廷举行的第３８届国际奥林匹克数学竞赛中喜获金牌，这是天津历史上第一个获得国际奥林匹克知识竞赛的冠军。
当我们前往天津武清县农村采访这位１９岁的数学奇才时，这位朴素的农村小伙子几乎是一字一泪地为我们讲述她的母亲哺育他成长的故事。
下面是他的自述咱不能让＂穷＂字把娃的前程耽误了１９９７年９月５日，是我离家去北京大学数学研究院报到的日子。
袅袅的炊烟一大早就在我家那幢破旧的农房上升腾，跛着脚的母亲在为我擀面，这面粉是母亲用５个鸡蛋和邻居换来的，她的脚是前天为给我多筹点学费，推着一平板车蔬菜在去镇里的路上扭伤的。
端着碗，我哭了。
我撂下筷子跪到地上，久久地抚摸着母亲肿得比馒头还高的脚，眼泪一滴滴地滚落在地上……我的家在天津武清县大友岱村，我有一个天下最好的母亲、她今年四十七岁，名叫李艳霞。
我家太穷了，我生下来的时候，奶奶便病倒在炕头上了，４岁那年，爷爷又患了支气管哮喘和半身不遂，家里欠的债一年比一年多。
７岁那年，我也上学了，我的学费是妈妈找人借的，可我发现，自从我上学以后，妈妈反而不爱坐在我身边看我念书了。
时间长了，我便明白了：我总是把同学扔掉的铅笔头捡回来，把它用细线捆在一根小棍上接着用，或者用橡皮把写过字的练习本擦干净，再接着用，急得妈妈有时为了买铅笔和本子的几分钱也要去找人借，我越是懂事，妈妈越是伤心，于是她就再不看我用捆着小棍的铅笔头做作业了。
不过妈妈也有高兴的时候，学校里不论大考小考，我总能考第一，数学总是满分。
在妈妈的鼓励下，我越学越快乐。
我真的不知道天下还有什么比读书更快乐的事。
我没上小学就学完了四则运算和分数小数：上小学就靠自学弄懂了初中的数理化；上初中就自学完卞高中的数理化课程。
１９９４年５月，天津市举办初中物理竞赛，我是天津市郊五县学生中唯一考进前三名的农村娃。
那年６月，我被着名的天津一中破格录取，我欣喜若狂地跑回家，可我没想到，当我把喜讯告诉家人时，他们的脸上竟会堆满愁云：奶奶去世不到半年，爷爷现在也生命垂危了。
第38届俄罗斯数学奥林匹克(十年级)
问 ： 否存在 正整 数 Ｉ 使 得 当 Ｉ分别 除 是 ｔ ， ｔ 以 ａ ，２ … ， ｌ，ａ ，ａ ， ，０ｏ ２ ｌａ ， 口０２ １２ ２ … ２ ｌ 这 ０个 数 时， 所得 到 的余数 的 和等 于 ２０ ２ １７ ２ 非 等腰 锐角 △ Ａ Ｃ的 内切 圆 Ｏ， ． Ｂ 与边 Ｂ Ｃ切 于 点 Ｄ， ０是 △ Ａ Ｃ的外 心 ， ＡＤ 的 Ｂ， △ Ｉ 外接圆与直线 Ａ Ｏ交 于 点 Ａ、 ．证 明 ： 段 Ｅ 线 Ａ Ｅ的长等 于ｏ， 半径． 的
至多有 ２ ｎ一１ 个 角 （ 个 二 次 函数 图像 的 （ ） 两 交 点称 为 角 ） ． ８ 已知 是非 等腰 锐角 △ Ａ Ｃ的垂 心 ， ． Ｂ Ｅ是 Ａ 的 中点 ， Ａ Ｃ 的 内切 圆与 边 Ａ 日 △ Ｂ Ｂ、 Ａ Ｃ分 别 切 于 点 ｃ 、 Ｆ 是 点 Ｅ 关 于 直 线 曰， Ｂ Ｃ 的对 称点 ． 明 ： 证 ，与 △ Ａ Ｃ的 内心 和外 Ｂ 心三 点共线 ．
２ 不 妨 设 Ａ ＜Ａ ． 射 线 ． Ｂ Ｃ设 与 线 段
Ａ Ａ Ｏ、 Ｃ分 别交 于 点 Ｐ、 ． Ｑ 则
ＡＰ＝ Ｄ Ｃ一 Ｉ Ｃ ｌ ｑ Ａ
：９ ０。一 Ｃ一 ，
ｌ Ｐ ： ／ Ａ
：９ ０。一 Ｃ一
一／ ｌ ＡＢ
．
为从 Ｐ生成 的有 向树 ． 对 多项式 所 含 的项 数 用 归 纳 法 易证 ： 如 果 Ｐ是 一个 非零 系数 都 为 １的含有 Ｐ项 的多 项式 ， 则从 Ｐ生成 的树 共 包含 ２ ｐ一１个点 ； 对 树 中任 意两点 Ｑ、 如 果 在 树 中既无 从 Ｑ到 Ｒ， Ｒ的 道 路 ， 无 从 Ｒ到 Ｑ 的道 路 ， Ｑ和 尺 也 则 所 对 应 的多项 式 不含 相 同次数 的项 ． 考虑 从 Ｓ 生成 的树 ， 中有 ２ ｎ＋１个 点 ，１ ７中每 条 道路 的长 度不 超 过 ｍ ． 因 为 Ｓ ，： … ， 两 两有 公 共项 ， 以 ， Ｓ ， Ｊ ｓ 所 若 它 们 中的某 几 个 出现 在 中 ， 在 同一 条 必
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第38届全俄数学奥林匹克竞赛
九年级
9.1 a1,a2,⋯,a11是不小于2的互异正整数，满足：a1+a2+⋯+ a11=407。
是否存在正整数n，使得当n分别除以a1,a2,⋯,a11,4a1,4a2,⋯,4a11这22个数时所得到的余数的和等于2012？
9.2 已知：在正2012边形的顶点中，存在k个顶点，使得以这k个顶点为顶点的凸k多边形的任意两条边不平行。
求k的最大值。
9.3 ABCD是一个平行四边形，∠A为钝角。
H是点A向直线BC的垂直投影。
△ABC过顶点C的中线的延长线交其外接圆于K。
求证：K,H,C,D四点共圆。
9.4 正实数a1,a2,⋯,a n,k满足：a1+a2+⋯+a11=3k,a12+a22+⋯+a n2=3k2,a13+a23+⋯+a n3>3k3+k。
求证：在a1,a2,⋯,a n中存在两个数使得它们的差的绝对值大于1。
9.5 101个智者围坐一圈开圆桌会议讨论地球和木星谁绕谁转的问题。
开始及随后的每个时刻每个智者持有地球绕木星转或木星绕地球转这两种观点之一。
各智者按一下规则每分钟一次同时宣布自己的观点：除了第一次以外，如果在上一分钟时一个智者的相邻两人（左右各一人）与其观点都不相同，则智者改变自己的观点，否则不改变自己的观点。
求证：若干分钟后，所有的人都不再改变自己的观点。
9.6 A1，B1，C1分别是△ABC的边BC，CA，AB上的点，满足AA1−AA1=AA1−AA1=AA1−AA1。
I A,I B和I C分别是△AB1C1，
A1BC1和A1B1C的内心。
求证△I A I B I C的外心和△ABC的内心重合。
9.7 开始时黑板上写着10个连续正整数。
对黑板上的数进行如下操作：任取黑板上的两个数a和b，将他们用数a2−2011b2和ab替换。
经过若干次上述操作后，黑板上开始时的10个数已全部被替换掉，问此时在黑板上是否可能还是10个连续的正整数？
9.8 城市里有若干路公共汽车线。
已知任两路公共汽车线恰有一个公共的车站；任一路公共汽车线至少有4站。
求证：可以将所有的车站分成不交的两组，使得任意一路公共汽车线含每组中至少一站。
十年级
10.1 a1,a2,⋯,a10是不小于3的互异正整数，满足：a1+a2+⋯+ a10=678。
是否存在正整数n，使得当n分别除以a1,a2,⋯,a10,2a1,2a2,⋯,2a10这20个数时所得到的余数的和等于2012？
10.2 非等腰锐角△ABC的内切圆ω切边BC于D。
I和O分别是△ABC 的内心和外心。
△AID的外接圆交直线AO于A和E。
求证：线段AE 的长等于圆ω的半径。
10.3实数a1,a2,a3,a4,a5中任意两个的差的绝对值不小于1。
已知存在实数k满足：a1+a2+a3+a4+a5=2k,a12+a22+a32+a42+a52= 2k2。
求证：k2≥253。
10.4 初始时黑板上写着n+1个多项式：1,x,x2,⋯,x n。
k个男孩开始玩如下游戏：每过一分钟，每个男孩同时将黑板上已有的两个多项式的和各自写到黑板上。
已知经过m分钟后，多项式S1=1+x,S2=1+ x+x2,S3=1+x+x2+x3,⋯,S n=1+x+x2+⋯+x n全都在黑板上出现了。
求证：m≥2n k+1。
10.5 101个智者围坐一圈开圆桌会议讨论地球和木星谁绕谁转的问题。
开始及随后的每个时刻每个智者持有地球绕木星转或木星绕地球转这两种观点之一。
各智者按一下规则每分钟一次同时宣布自己的观点：除了第一次以外，如果在上一分钟时一个智者的相邻两人（左右各一人）与其观点都不相同，则智者改变自己的观点，否则不改变自己的观点。
求证：若干分钟后，所有的人都不再改变自己的观点。
10.6 是否存在大于的三个正整数a,b,c满足abc是a+2012，b+2012和c+2012的公倍数。
10.7 在坐标平面上，画有n个两两不相切的二次函数的图像。
P表示位于所有n个图像上侧的点组成的集合。
求证：P的边界上至多有2(n-1)个角（两个二次函数图像的交点称为角）。
10.8 H是一个非等腰的锐角△ABC的垂心。
E是AH的中点。
△ABC 的内切圆与边AB和AC分别切于C’和B’。
F是E关于直线B’C’的对称点。
求证：F与△ABC的内心和外心共线。
十一年级
11.1 开始时桌子上有111块等重的橡皮泥：对桌子上的橡皮泥进行如下操作：先将橡皮泥的一部分或全体分成若干组，每组由相同块数的橡皮泥，然后将每组中的橡皮泥捏成一块。
已知可以经过m次上述操作使得桌子上恰有11块亮亮重量不同的橡皮泥。
求m的最小值。
11.2实数a1,a2,a3,a4,a5中任意两个的差的绝对值不小于1。
已知存在实数k满足：a1+a2+a3+a4+a5=2k,a12+a22+a32+a42+a52= 2k2。
求证：k2≥253。
11.3 整个平面如国际象棋一样用黑色和白色小方格铺满。
现在用红色和蓝色将所有白格染色，使得原来有公共顶点的白格不同色。
对于平面上任意线段I，我们用δ(I)表示I上面的红色线段长度和与蓝色线段长度和的差。
I是平面上一条与小方格的边不平行的直线。
证明：存在一个只与l有关的常数C，使得对任意与l平行的线段I，都有δ(I)≤A。
11.4 SA1A2⋯A n是一个以凸多边形A1A2⋯A n为底的n棱锥。
对每个i=1,2,⋯,n, X i是底所在平面上的一点满足：△X i A i A i+1≅△SA i A i+1，且Xi与多边形A1A2⋯A n位于直线A i A i+1的同一侧。
求证：△X i A i A i+1(=1,2,⋯,n)的并覆盖多边形A1A2⋯A n（这里A n+1=A1）。
11.5 P(x)是一个实系数多项式。
实数a1,a2,a3,b1,b2,b3满足a1a2a3≠0，P(a1x+b1)+P(a2x+b2)=P(a3x+b3),∀x∈R。
求证：P(x)至少有一个实根。
11.6 A1，B2，C1分别是△ABC的边BC，CA，AB上的点，满足
AA1−AA1=AA1−AA1=AA1−AA1。
OA，OB，和OC分别是△AB1C1,△A1BC1和△A1B1C的外心。
求证：△O A O B O C的内心与△ABC的内心重合。
11.7 A是一个正2n+1边形的顶点集。
甲乙两人由甲开始轮流每次去掉A中的一个点。
如果某人操作后A中剩下的任意三点都构成一个钝角三角形的顶点集，则获胜。
问：甲乙两人谁有必胜策略？11.8 S n=1!+2!+⋯+n!。
证明：存在正整数n使得S n有大于102012的素因数。