周期性与对称性
函数之周期性与对称性的理解
首先请大家辨析一下这几个等式关系：
2
)2()()62
)2()(5)
2()()4)2)()30
)2()(20
)2()(1=++=+-++-=+==++=+-+x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f ）（）） 以上6个等式，其中1）、4）、5）是在讲对称性，2）、3）、6）是在讲述周期性。
在教学过程中，我们发现很多学生到高三了还无法自如地辨析，其实大家只需记住六字口诀就能加以辨析：
“同周期、异对称”
1）、4）、5）中x 的系数相同，即为周期，2）、3）、6）中x 的系数相异，即为对称，这样我们就能迅速辨析哪些是在讲周期，哪些是对称。
那具体周期为多少？具体关于什么对称呢？这又是大家一个容易混淆的点。
一、下面先讲对称问题的理解，以1）为例：
0)2()(=+-+x f x f
我们要从本质上理解这个等式：令第一个括号里的1x x =，22x x =+-，则满足221=+x x ，
即横坐标的和为2，那就意味着两个横坐标的中点为1=x 。同样的，令1)(y x f =，2)2(y x f =+-，则满足021=+y y ，即这两个点的纵坐标和为零，那就意味着纵坐标互为相反数。那么如果现在我换种方式描述，我说两个点),(),(2211y x y x 与，满足221=+x x ，021=+y y ，那 我们就可以在平面直角坐标系中把这两个点的对称关系画出来了。由图1我们可以很直观的看出来这两个点关于（1,0）中心对称，这两个点都在y=f(x)上，从而整个
函数关于（1,0）中心对称。
同样的，我们分析4），2121,2y y x x ==+，在图像上表示对称关系如下：A 、B
两点关于
x=1轴对称，那么以后遇到对称性问题，我们只需在脑海里画两个点，这样函数的对称性就清晰了。
同理，我们来看一下6），221=+x x ，221=+y y ，在坐标系下表示两个点后，很容易理解这个函数关于（1,1）中心对称。
所以，我们0)97()99(0)2()(=--++=+-+x f x f x f x f 与都是表示函数y=f(x)关于（1,0）中心对称，抓住核心本质，221=+x x ，021=+y y 。现在大家再回过头来看几个常见的对称性结论，是不是觉得清晰多了呢？
比如： 函数)(x f 满足()()f x a f b x +=-时，函数()y f x =的图像关于直线
2
a b x +=对称； 函数)(x f 满足()()c f x a f b x ++-=时，函数()y f x =的图像关于点(
,)22
a b c +对称； 二、周期性
周期性的证明都是“退一步海阔天空”3）这种类型很直观，周期为2,2）、6）属于同一种类型，都是和定型，周期为4，具体证明大家自己尝试一下，常见的周期性模型也请大家自己去总结，这个一般的参考书上都有。重要的是它的证明，请大家自己多思考。
三、周期性与对称性结合
真正让周期和对称结合起来的三个结论很重要，在这里加以阐述
1. 如果函数y=f(x)同时关于（a,0）、（b,0）中心对称，那么这个函数的最小正周期为a b T -=2
证明：函数关于（a,0）中心对称，则0)2()(=++-a x f x f ，同理0)b 2()(=++-x f x f ，两式相减，得)2()2(b x f a x f +=+，从而a b T -=2
下面请大家自行证明下面两个结论：
2. 如果函数y=f(x)同时关于x=a 、x=b 轴对称，那么这个函数的最小正周期为a b T -=2
3. 如果函数y=f(x)同时关于（a,0）中心对称，x=b 轴对称，那么这个函数的最小正周期为a b T -=4。
下面给两个练习让大家熟悉一下：
已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=-，(3)()f x f x -=，则(2019)f =（ )
A ．3-
B ．0
C ．1
D ．3
定义在上的奇函数，对于，都有，且满足，，则实数的取值范围是 . 另外提供一个思考点：
对于函数y=f(x)，如果满足)1()1(--=+x f x f ,那么函数f （x ）关于y 轴对称
那么现在请问：)1(+=x f y 与函数关于什么对称呢)1(--=x f y ？两者有什么区别？
R )(x f R x ∈?)4
3()43
(x f x f -=+2)4(->f m
m f 3)2(-=m