周期性与对称性
函数点对称线对称及周期总结
函数点对称线对称及周期总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII函数对称性、周期性全解析函数对称性、周期性是函数这一部分在历年高考中的一个重点，现在全部解析如下：一、同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)1、周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。
如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。
2、对称性定义（略），请用图形来理解。
3、对称性：我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式 )()(x f x f =-奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0)()(=-+x f x f 上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的探讨：（1）函数)(x f y =关于a x =对称⇔)()(x a f x a f -=+ )()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=- 简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==，即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。
得证。
若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线22)()(b a x b x a x +=-++= 对称 （2）函数)(x f y =关于点),(b a 对称⇔b x a f x a f 2)()(=-++ b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+- 简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，即)(11x f y =，通过b x f x a f 2)()2(=+-可知，b x f x a f 2)()2(11=+-，所以1112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点)2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。
函数周期性与对称性
函数周期性与对称性一、函数周期：对任意的x D ∈，都有()()f x T f x +=，则T 叫做函数()f x 的周期 例如：求11()()(),(),()()1()f x f x a f x f x a f x a f x f x -+=-+=+=+的周期 二、对称性：函数关于原点对称即奇函数：()()f x f x -=- 函数关于y 对称即偶函数：()()f x f x -=函数关于直线 x a =对称：()()f x a f a x +=-或()(2)f x f a x =-或 者 (2)()f x a f x +=-函数关于点（a,b ）对称：f(x+a)+f(a-x)=2b1．f(x)是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且f(2)=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 A ．2； B ．3； C ．4； D ．5 （ ）2．设函数))((R x x f ∈为奇函数，),2()()2(,21)1(f x f x f f +=+=则=)5(f （ ）A ．0B ．1C ．25 D ．53．已知f(x)是R 上的偶函数，对R x ∈都有f(x ＋6)=f(x)＋f(3)成立，若f(1)=2，则f(2011)=( )A 、2005B 、2C 、1D 、04． 设f （x ）是定义在R 上以6为周期的函数，f （x ）在(0,3)内单调递减，且y=f （x ）的图象关于直线x=3对称，则下面正确的结论是 （ ）(A)()()()1.5 3.5 6.5f f f <<； (B )()()()3.5 1.5 6.5f f f <<； (C)()()()6.5 3.5 1.5f f f <<； (D)()()()3.5 6.5 1.5f f f <<5．设函数()f x 与()g x 的定义域是{x R ∈}1x ≠±,函数()f x 是一个偶函数，()g x 是一个奇函数，且1()()1f xg x x -=-，则()f x 等于 A.112-x B.1222-x xC .122-x D.122-x x6.已知定义在R 上的函数f (x )的图象关于)0,43(-成中心对称，且满足f (x )=1)1(),23(=-+-f x f , f (0) = –2，则f (1) + f (2) +…+ f (2010)的值为（ ）A ．–2B ．–1C ．0D ．17.已知函数()f x 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有(1)(1)()xf x x f x +=+，则5(())2f f 的值是 A .0 B.12 C.1 D.528.若()f x 是定义在R 上的奇函数，且当x ＜0时，1()1f x x =+，则1()2f ＝ ．9.()y f x =定义域为R ，且对任意x R ∈都有()()()111f x f x f x ++=-，若()21f =f(2009)=_ 10．设f(x)是定义在R 上的奇函数,且y=f(x)的图象关于直线21=x 对称,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)= ____。
函数的周期性与对称性
函数的周期性与对称性函数是数学中的重要概念之一，它描述了数值之间的对应关系。
在函数的研究中，周期性与对称性是两个重要的性质。
本文将从理论和实际应用的角度，探讨函数的周期性与对称性。
一、周期性函数的周期性是指在一定的范围内，函数的值以一定的规律重复出现。
如果存在一个正数T，对于函数f(x)的定义域内的任意x，有f(x+T) = f(x)，则称函数f(x)具有周期T，T是函数的周期。
周期性在数学中广泛应用于波动现象的研究中，如正弦函数和余弦函数就是典型的周期性函数。
以正弦函数为例，函数f(x) = sin(x)的周期为2π，即在每一个2π的区间内，函数的值重复出现。
这种周期性的特征在物理学中非常重要，可以用于描述电磁波、声波等的传播规律。
在实际应用中，周期性函数经常用于天文学、物理学、电路分析等领域。
例如，利用函数的周期性可以预测天体运动的规律，分析电子元件的交流电路，优化信号处理等。
二、对称性函数的对称性是指在某种变换下，函数的值保持不变。
常见的对称性有奇偶对称性和轴对称性。
1. 奇偶对称性函数f(x)具有奇对称性，如果对于定义域内的任意x，有f(-x) = -f(x)。
奇对称函数在坐标系中以原点为对称中心，左右两侧关于y轴对称。
以奇对称函数f(x) = sin(x)为例，可以观察到f(x)关于原点对称。
当x取正值时，f(x)在正半轴上取正值；当x取负值时，f(x)在负半轴上取负值。
函数的奇对称性在数学和工程中都具有广泛应用。
例如在电力系统中，交流电流的正弦波形就是一种典型的奇对称函数。
2. 轴对称性函数f(x)具有轴对称性，如果对于定义域内的任意x，有f(-x) = f(x)。
轴对称函数关于y轴对称，即函数图像关于y轴对称。
以轴对称函数f(x) = x^2为例，可以观察到函数图像在y轴上是对称的。
当x取正值时，f(x)在正半轴上取正值；当x取负值时，f(x)在正半轴上同样取正值。
轴对称函数在几何学和图像处理中有广泛应用。
函数的对称性与周期性
函数的对称性与周期性函数是数学中的重要概念之一，也是实际问题建模时必不可少的工具。
在函数的研究中，对称性和周期性是两个重要的特性，它们在解决问题时具有重要的意义。
一、对称性对称性是指当函数中存在一些特定的点、直线或面对称时，函数会出现相应的特征变化。
在函数研究中，对称性分为奇偶对称性、轴对称性和中心对称性三种类型。
1.1 奇偶对称性在定义域上对函数进行某种变换，若此时函数值不变，则称函数具有对称性。
其中，奇偶对称是一种特殊的对称性。
若函数$f(x)$满足$f(-x)=f(x)$，即对于定义域上任意一个$x$，都有$f(-x)=f(x)$成立，则函数$f(x)$具有奇函数对称性。
若函数$f(x)$满足$f(-x)=f(x)$且$f(x)$具有偶函数性质，即对于定义域上任意$x$都有$f(-x)=f(x)$，且对于定义域上任意$x$都有$f(-x)=f(x)$成立，则$f(x)$具有偶函数对称性。
1.2 轴对称性对于定义域上的任意一个$x$，若函数$f(x)$等于一个定值减去该点处的函数值，则称函数$f(x)$具有轴对称性。
定义域上的这条轴称为对称轴。
轴对称性表明函数$f(x)$在对称轴两侧的函数值相等。
1.3 中心对称性对于定义域的任意一个$x$，若函数$f(x)$与以坐标系原点为中心的另一个点对称，则称函数$f(x)$具有中心对称性。
中心对称性表明函数$f(x)$在以原点为中心的圆形中的两侧具有对称性。
二、周期性周期性是指函数具有在某一定量级范围内重复的规律性。
对于函数$f(x)$，若存在正数$T$，使得对于定义域上的任何一个$x$，都有$f(x+T)=f(x)$成立，则函数$f(x)$是周期函数，其中最小正周期为$T$。
具有周期性的函数，其解析式通常为三角函数式。
结论函数在解决实际问题时，对称性和周期性的特性具有重要的意义。
它们可以用来研究函数的性质、求函数的极值、判别函数的奇偶性、求证某些理论结论等。
函数周期性与对称性
函数周期性与对称性函数周期性和对称性是数学中重要的概念，它们在函数的图像以及数学建模中都起着关键的作用。
在本文中，我将详细介绍函数的周期性和对称性，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、周期性周期性是指函数具有重复性质，在一定区间内的函数值是相同的或者是呈规律性变化的。
如果存在一个正数T，使得对于任意的x，有f(x+T)=f(x)，则称函数f具有周期T。
例如，正弦函数sin(x)是一个周期为2π的函数。
无论x取何值，sin(x+2π)的值与sin(x)的值相同。
同样地，余弦函数cos(x)也是一个周期为2π的函数。
周期性在物理学和工程学等领域中有广泛的应用。
例如，声音波动、机械振动和电信号的周期性都可以用周期函数进行建模。
通过分析周期性可以得到这些现象的规律和特性。
二、对称性对称性是指函数图像在某种变换下具有不变性。
常见的对称性有轴对称和中心对称两种。
1. 轴对称：如果对于函数f(x)，存在一个实数a，使得对于任意的x，有f(2a-x)=f(x)，则称函数f具有轴对称。
例如，抛物线函数y=x^2是一个关于y轴对称的函数。
对于任意的x，有x^2=(-x)^2，即函数值关于y轴对称。
2. 中心对称：如果对于函数f(x)，存在一个实数a，使得对于任意的x，有f(2a-x)=-f(x)，则称函数f具有中心对称。
例如，奇函数f(x)=sin(x)是一个关于原点对称的函数。
对于任意的x，有sin(-x)=-sin(x)，即函数值关于原点对称。
对称性在几何学、物理学和图像处理等领域中有重要的应用。
例如，通过分析图像的对称性，可以简化计算或者提取图像中的关键特征。
综上所述，函数周期性和对称性是数学中两个重要的概念。
周期性描述了函数重复规律的特性，对于模拟和分析周期性现象非常有用；而对称性则描述了函数图像在变换下不变的性质，对于建模和处理图像有重要应用。
通过理解和应用函数周期性和对称性，我们能更好地理解数学背后的规律，并将其用于实际问题的解决。
函数的周期性与对称性
函数的周期性与对称性函数是数学中的重要概念，它描述了因变量与自变量之间的关系。
而函数的周期性与对称性是函数特性中的两个重要方面。
本文将通过介绍周期性和对称性的概念、性质和应用，探讨函数在周期性和对称性方面的重要性。
一、周期性在数学中，周期性是指函数在一定范围内具有重复的规律。
一个函数被称为周期函数，当且仅当对于某个正数T（常称为周期），对于所有的x，有f(x+T)=f(x)成立。
周期函数的图像在周期T内会重复出现。
周期性的性质有以下几点：1. 周期函数的图像在一个周期内具有相同的形状，只是位置不同。
例如，正弦函数sin(x)是一个周期函数，其周期为2π，在每个周期内，函数的图像呈现出相同的波形。
2. 周期函数的周期可以是任意正数T，且T可以大于函数定义域的长度。
例如，正弦函数的定义域为实数集R，但其周期为2π。
这意味着正弦函数在每个2π的间隔内都重复。
3. 余弦函数cos(x)也是一个周期函数，其周期也为2π。
不同的是，余弦函数与正弦函数的图像关于y轴对称。
周期函数的应用十分广泛，例如在物理学、工程学和信号处理等领域中都有重要的应用。
周期函数可以用来描述周期振动、交流电信号的变化以及周期性运动等现象。
二、对称性对称性是指函数在某种变换下具有不变性。
主要有以下几种对称性：1. 奇函数：如果对于函数的每一个定义域上的x，都满足f(-x)=-f(x)成立，则称该函数为奇函数。
奇函数的图像关于原点对称。
例如，正弦函数sin(x)是一个奇函数。
2. 偶函数：如果对于函数的每一个定义域上的x，都满足f(-x)=f(x)成立，则称该函数为偶函数。
偶函数的图像关于y轴对称。
例如，余弦函数cos(x)是一个偶函数。
3. 周期函数的对称性：周期函数的图像具有一定的对称性。
例如，正弦函数与余弦函数在每个周期内具有对称性。
对称函数具有一些重要的性质和应用。
在数学中，奇函数和偶函数具有一些特殊的性质，可以简化函数的运算和分析。
(完整版)函数周期性与对称性常见结论
(完整版)函数周期性与对称性常见结论
函数周期性与对称性是数学中一种基本的类型，可以用来描述函数的特征。
这种性质
极大地影响着函数的曲线形状，对于函数研究也是非常重要的。
本文为读者介绍函数周期
性与对称性常见的结论。
一、周期性
1. 可以说函数f(x+T)与f(x)的图像有周期性，T<>0是一个常数，也称为函数的周期，它可以定义一个函数的曲线；
2. 周期性循环是一种规律，表明函数的值随着参数的改变而不断变化，但最终又会
回到原来的状态；
3. 一般情况下，定义域内的函数都具有周期性，当x的取值超出定义域时，函数f(x)也可能有周期性；
4. 一个周期性函数的周期T是其变化模式的重要特征，其变化规律如果舍弃它，函
数f(x)就不再具有周期性；
5. 若函数f(x)具有周期性，那么它的最小正周期Tc就定义了整个函数的曲线，可以视为一种最基本的形状。
二、对称性
1. 当函数f(x)满足f(-x)=f(x)的性质时，称此函数具有对称性；
2. 一个函数的平行四边形对称性表明，函数f(-x)和f(x)的图像是完全一模一样的，而不管x的取值为多少；
3. 一些函数具有点对称性，点对称性表明f(-x0)=f(x0)，即对称中心为x0的函数图像；
4. 如果一个函数的图象可以通过给定的任意角度旋转而不失真，则称其为角度对称性；
5. 对称性可有效描述函数f(x)的特征，常用于应用函数研究中。
函数的周期性和对称性常用结论
函数的周期性和对称性常用结论1.若()()f x a f x b +=±+，则()f x 具有周期性；若()()f a x f b x +=±-，则()f x 具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”.2.周期性：（1）若()()f x a f b x +=+，则||T b a =-（2）若()()f x a f b x +=-+，则2||T b a =-（3）若1()()f x a f x +=±，则2T a = （4）若1()()1()f x f x a f x -+=+，则2T a = （5）若1()()1()f x f x a f x ++=-，则4T a = 注：（3）、（4）、（5）要求知道并会推导，不要求死记3.对称性（1）若()()f a x f b x +=-，则()f x 的对称轴为2a b x += （2）若()()f a x f b x c +=--+，则()f x 的图象关于点(,)22a b c +中心对称 （3）函数()y f a x =+与()y f b x =-的图象关于2a b x +=对称 4.若函数的图象同时具备两种对称性：即两条对称轴、两个对称中心、一条对称轴一个对称中心，则函数必定为周期函数，反之亦然。
（只需要知道这个结论，用的时候会推导即可）（1）若()f x 的图象有两条对称轴x a =和x b =，则()f x 必定为周期函数，其一个周期为2||b a -；（2）若()f x 的图象有两个对称中心(,0)a 和(,0)b ()a b ≠，则()f x 必定为周期函数，其一个周期为2||b a -；（3））若()f x 的图象有一条对称轴x a =和一个对称中心(,0)b ()a b ≠，则()f x 必定为周期函数，其一个周期为4||b a -；。
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函数之周期性与对称性的理解
首先请大家辨析一下这几个等式关系：
2
)2()()62
)2()(5)
2()()4)2)()30
)2()(20
)2()(1=++=+-++-=+==++=+-+x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f ）（）） 以上6个等式，其中1）、4）、5）是在讲对称性，2）、3）、6）是在讲述周期性。
在教学过程中，我们发现很多学生到高三了还无法自如地辨析，其实大家只需记住六字口诀就能加以辨析：
“同周期、异对称”
1）、4）、5）中x 的系数相同，即为周期，2）、3）、6）中x 的系数相异，即为对称，这样我们就能迅速辨析哪些是在讲周期，哪些是对称。
那具体周期为多少？具体关于什么对称呢？这又是大家一个容易混淆的点。
一、下面先讲对称问题的理解，以1）为例：
0)2()(=+-+x f x f
我们要从本质上理解这个等式：令第一个括号里的1x x =，22x x =+-，则满足221=+x x ，
即横坐标的和为2，那就意味着两个横坐标的中点为1=x 。
同样的，令1)(y x f =，2)2(y x f =+-，则满足021=+y y ，即这两个点的纵坐标和为零，那就意味着纵坐标互为相反数。
那么如果现在我换种方式描述，我说两个点),(),(2211y x y x 与，满足221=+x x ，021=+y y ，那 我们就可以在平面直角坐标系中把这两个点的对称关系画出来了。
由图1我们可以很直观的看出来这两个点关于（1,0）中心对称，这两个点都在y=f(x)上，从而整个
函数关于（1,0）中心对称。
同样的，我们分析4），2121,2y y x x ==+，在图像上表示对称关系如下：A 、B
两点关于
x=1轴对称，那么以后遇到对称性问题，我们只需在脑海里画两个点，这样函数的对称性就清晰了。
同理，我们来看一下6），221=+x x ，221=+y y ，在坐标系下表示两个点后，很容易理解这个函数关于（1,1）中心对称。
所以，我们0)97()99(0)2()(=--++=+-+x f x f x f x f 与都是表示函数y=f(x)关于（1,0）中心对称，抓住核心本质，221=+x x ，021=+y y 。
现在大家再回过头来看几个常见的对称性结论，是不是觉得清晰多了呢？
比如： 函数)(x f 满足()()f x a f b x +=-时，函数()y f x =的图像关于直线
2
a b x +=对称； 函数)(x f 满足()()c f x a f b x ++-=时，函数()y f x =的图像关于点(
,)22
a b c +对称； 二、周期性
周期性的证明都是“退一步海阔天空”3）这种类型很直观，周期为2,2）、6）属于同一种类型，都是和定型，周期为4，具体证明大家自己尝试一下，常见的周期性模型也请大家自己去总结，这个一般的参考书上都有。
重要的是它的证明，请大家自己多思考。
三、周期性与对称性结合
真正让周期和对称结合起来的三个结论很重要，在这里加以阐述
1. 如果函数y=f(x)同时关于（a,0）、（b,0）中心对称，那么这个函数的最小正周期为a b T -=2
证明：函数关于（a,0）中心对称，则0)2()(=++-a x f x f ，同理0)b 2()(=++-x f x f ，两式相减，得)2()2(b x f a x f +=+，从而a b T -=2
下面请大家自行证明下面两个结论：
2. 如果函数y=f(x)同时关于x=a 、x=b 轴对称，那么这个函数的最小正周期为a b T -=2
3. 如果函数y=f(x)同时关于（a,0）中心对称，x=b 轴对称，那么这个函数的最小正周期为a b T -=4。
下面给两个练习让大家熟悉一下：
已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=-，(3)()f x f x -=，则(2019)f =（ )
A ．3-
B ．0
C ．1
D ．3
定义在上的奇函数，对于，都有，且满足，，则实数的取值范围是 . 另外提供一个思考点：
对于函数y=f(x)，如果满足)1()1(--=+x f x f ,那么函数f （x ）关于y 轴对称
那么现在请问：)1(+=x f y 与函数关于什么对称呢)1(--=x f y ？两者有什么区别？
R )(x f R x ∈∀)4
3()43
(x f x f -=+2)4(->f m
m f 3)2(-=m。