核能的计算方法

核能的计算方法一、利用爱因斯坦的质能方程即△E=mc 2计算核能。

计算时一要注意不能用质量数代替质量来计算用这种方法计算；二要注意公式△E=mc 2中Δm 的单位是千克（kg ），ΔE 的单位是焦耳（J ）。

例1.氘核（21Ｈ）和氚核（31Ｈ）聚合成氦核（42He ）的反应方程如下：21Ｈ＋31Ｈ→42He+10n.设氘核质量为m 1，氚核质量为m 2，氦核质量为m 3，中子质量为m 4，则反应过程中释放的能量为（）A.（m 1＋m 2－m 3）c 2B.（m 1＋m 2－m 4）c 2C.（m 1＋m 2－m 3-m 4）c 2 Ｄ.（m 3＋m 4－m 1－m 2）c 2 例2. 一个铀核衰变为钍核时释放出一个α粒子，已知铀核的质量为kg 2510853131.3-⨯，钍核的质量为kg 2510786567.3-⨯，α粒子的质量为kg 271064672.6-⨯，求出此过程中释放出的能量。

（结果保留二位有效数字）。

解析：此衰变过程前后的质量亏损为kgm 302725251068.9)1064672.610786567.3(10853131.3----⨯=⨯+⨯-⨯=∆故由爱因斯坦的质能方程可得JJ mc E 1328302107.8)103(1068.9--⨯=⨯⨯⨯=∆=∆例3.如下一系列核反应是在恒星内部发生的，P+126C→137N 137N→136C+e++γP+136C→147NP+147N→158O 158O→157N+e++γP+157N→126C+α其中P为质子，α为α粒子，e+为正电子，γ为一种中微子.已知质子的质量为m p=1.672648×10-27kg，α粒子的质量为mα=6.644929×10-27 kg，正电子的质量为m e=9.11×10-31 kg，中微子的质量可忽略不计.真空中的光速c=3.00×108m/s.试计算该系列核反应完成后释放的能量.命题意图：考查质能方程及能量守恒的理解应用能力.属B级要求.错解分析：（1）由于核反应较多，少数考生在合并反应方程时发生错误.（2）部分考生由于数字计算出错而失分.解题方法与技巧：为求出系列反应后释放的能量，可将题中所给的诸核反应方程左右两侧分别相加，消去两侧相同的项，系列反应最终等效为4P→α+2e++2γ设反应后释放的能量为Q，根据质能关系和能量守恒得4m p c2=mαc2+2m e c2+Q代入数值可得Q=3.95×10-12J二、根据1原子质量单位u的质量相当于931.5MeV能量计算核能。

用这种方法计算核能应注意公式△E=mc2中Δm的原子质量单位u，ΔE的单位是MeV。

例. 裂变反应是目前核能利用中常用的反应，以原子核U23592为燃料的反应堆中，当U 23592俘获一个慢中子后发生的裂变反应可以有多种方式，其中一种可表示为9154.939178.1380087.10439.2353109438139541023592nSr Xe n U++→+反应方程下方的数据是中子及相关原子的静止质量（以原子质量单位u 为单位）。

求此裂变过程中释放的能量。

解析：此裂变过程前后的质量亏损为u u m 1933.0)9154.939178.1380087.120439.235(=--⨯-=∆故此裂变过程中释放的能量MeV MeV m E 1805.931=⨯∆=∆ 三、利用阿伏加德罗常数计算核能例1. 在氢弹爆炸中发生的核聚变方程为n He H H 10423121+→+，已知H 21的质量为 2.0136u ，H 31的质量为 3.0166u ，He 42的质量为4.0026u ，n 10的质量为1.0087u ，阿伏加德罗常数1231002.6-⨯=mol N A ，求此氢弹爆炸中当合成1kg 的氦时所释放的能量。

解析：由题意可知，当一个H 21核与一个H 31核发生反应时放出的能量为MeV MeV MeV m E 6.175.9310189.05.931=⨯=⨯∆=∆ 而1kg 氦中含有的原子数目为262310505.11002.641000⨯=⨯⨯==A nN N 所以合成He kg 421核时所放出的总能量为 MeV E N E 271065.2⨯=∆=例2.两个氘核的质量为2.0136 u ，氦3的质量为3.0150 u ，中子的质量为1.0087 u. （1）写出核反应方程.（2）计算两个氘核聚变释放的能量.（3）计算1 kg 氘完全聚变为氦3所释放的能量，这能量相当于多少煤完全燃烧放出的热能？（煤的燃烧值q =3.344×107 J/kg ）解析：（1）核反应方程式为21H+21H→32H+10n （2）两个氘核聚变前后的质量亏损为：Δm =2m H -（m He +m n ）=2×2.0136 u-（3.0150+1.0087）u=0.0035 u 根据质能方程，释放的能量ΔE =Δmc 2=0.0035×1.66×10-27×（3.0×108）J=5.23×10-13 J （3）1 mol 氘含有6.02×1023个氘核，1 kg 氘所含氘核数 n =21000×6.02×1023=3.01×1026每2个氘聚变释放的能量为5.23×1013 J,1 k g 氘完全聚变为氦3所释放的能量E =21001.326⨯×5.23×10-13J=3.87×1013 J相当于完全燃烧71310344.31087.3⨯⨯k g =1.16×106 k g 的煤放出的能量.例3.假设在Na C l 蒸气中存在由钠离子Na ＋和氯离子Cl －靠静电相互作用构成的单个NaCl 分子.若取Na ＋与Cl －相距无限远时其电势能为零，一个NaCl 分子的电势能为-6.1 eV .已知使一个中性钠原子Na 最外层的电子脱离钠原子而形成钠离子Na ＋所需的能量（电离能）为5.1 eV ，使一个中性氯原子Cl 结合一个电子形成氯离子Cl-所放出的能量（亲和能）为3.8 eV.由此可算出，在将一个NaCl分子分解成彼此远离的中性钠原子Na和中性氯原子Cl的过程中，外界供给的总能量等于______eV.解析：将一个NaCl分子分解成彼此远离的中性钠原子Na和中性氯原子Cl的过程，可以分作两个过程：①NaCl分子电离，克服相互间的静电引力，相距无限远成为独立的Na+和Cl-，这个过程需吸收6.1eV能量.②Na+吸收一个电子变成钠原子Na，而与Na电离成Na+过程相反，故此过程放出能量5.1 eV；Cl-释放一个电子变成氯原子Cl，与Cl结合一个电子形成Cl-所放出的能量过程相反，需吸收3.8 eV 能量.因此在整个过程中吸收（6.1+3.8）eV=9.9 eV，放出5.1 eV，共应吸收4.8 eV.答案：4.8 eV四、由动量守恒和能量守恒计算核能在无光子辐射的情况下，核反应中释放的核能转化为生成新核和新粒子的动能.在此情况下可依据力学规律——动量守恒和能量守恒来计算核能及其分配关系.例1.一静止的23292U核衰变为22890Th核时，放出一α粒子，已知23292U和22890Th、42He的原子量分别为M0，M1，M2，求放出的α粒子的初动能.命题意图：以原子结构、质能方程、动量守恒定律、动能和动量关系为依托，考查考生理解能力分析综合能力，B 级要求.错解分析：（1）混淆原子量与原子核的质量导致错解.（2）不能据动量和能量关系求解Th 核与He 核的核能分配.解题方法与技巧：设23292 U 、22890 Th 、42He 的质量分别为m 0、m 1和m 2，由质能关系可得在核反应中释放出来的核能转化为反应后22890Th 和42He 核的总动能：E k =（m 0-m 1-m 2）c 2一个23292U 原子质量为:NM 0=m 0+92m e （N 为阿伏加德罗常数） 同理：N M 1=m 1+90m e ,NM 2=m 2+2m e所以E k =（M 0-M 1-M 2）c 2/N反应前后动量守恒，设反应后Th 、He 核的动量分别为p 1、p 2，则有：0=p 1-p 2由动量和动能之间的关系，则有：21m 1v 12=1212m p ;21m 2v 22=2222m p则总动能：E k =)(222121222222121m m m m p m p m p +=+所以α粒子的初动能:E ka =e 21e1k 21122292902m NM N M m N M E m m m m p -+-=+=E k若忽略电子质量m e ，则α粒子的初动能： E k a =NM M M )(211+（M 0-M 1-M 2）c 2例2. 两个氘核聚变产生一个中子和一个氦核（氦的同位素），若在反应前两个氘核的动能均为MeV E k 35.00=，它们正面对撞发生核聚变反应，反应后释放的核能全部转化为机械能，产生的中子的动能为 2.97MeV ，求该核反应过程中释放的核能。

已知中子与氦的质量之比为3:1:=He n m m 。

解析：由动量守恒定律，得He He n n v m v m -=0 由能量守恒定律，得kHe kn k E E E E +=∆+02又31==Hen kn kHe m m E E联立以上三式可得MeV E E E k kn 26.32340=-=∆ 例3.处于静止状态的X 原子核，经历一次α衰变后变成质量为M 的Y 原子核.放出的α粒子垂直射入磁感应强度为B 的匀强磁场，测得其做圆周运动的半径为r .已知α粒子的质量为m ，电量为q ，求此衰变过程亏损的质量.解析：α粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力qvB =mrv 2所以，α粒子的动能E α=21mv 2=21m （mqBr ）2=m r B q 222X 核衰变后生成的新核Y 的速度为u ，则依据动量守恒得：Mu =mu所以Y 核的动能E M =21Mu 2=21mv 2·M r B q M m 222=衰变过程释放的总能量ΔE =E +E M释放的能量由衰变过程亏损的质量转化而来，根据质能方程ΔE =Δmc2,得亏损的质量：Δm =)11(222222M m cr B q c E +=∆ 例4.太阳现正处于主序星演化阶段，它主要是由电子和11H 、42He 等原子核组成.维持太阳辐射的是它内部的核聚变反应，核反应方程是2e +411H→42He+释放的能量，这些核能最后转化为辐射能.根据目前关于恒星演化的理论，若由于聚变反应而使太阳中的11H 核数目从现有数减少10%，太阳将离开主序星阶段而转入红巨星的演化阶段.为了简化，假定目前太阳全部由电子和11H 核组成.（1）为了研究太阳演化进程，需知道目前太阳的质量m 1.已知地球半径R =6.4×106 m.地球质量m 2=6.0×1024 kg ，日地中心的距离r =1.5×1011 m ，地球表面处的重力加速度g =10 m/s 2,1年约为3.2×107 s.试估算目前太阳的质量m 1.（2）已知质子质量m p =1.6726×10-27kg,42He 质量m α=6.6458×10-27kg ，电子质量m e =0.9×10-30kg ，光速c =3×108m/s.求每发生一次题中所述的核聚变反应所释放的核能.（3）已知地球上与太阳光垂直的每平方米截面上，每秒通过的太阳辐射能ω=1.35×103W/m 2.试估算太阳继续保持在主序星阶段还有多少年的寿命.解析.（1）设T 为地球绕日心运动的周期，由万有引力定律和牛顿定律可知：G212r m m =m 2（Tπ2）2r① 地球表面处重力加速度：g =G 22Rm② 由①、②式联立解得m 1=m 2（Tπ2）2g R r23③以题给数值代入得m 1=2×1030 k g ④（2）根据质量亏损和质能公式，该核反应每发生一次释放的核能为ΔE =（4m p +2m e -m a ）c 2⑤ 代入数值，解得ΔE =4.2×10-12J⑥（3）根据题给假定，在太阳继续保持在主序星阶段的时间内，发生题中所述的核聚变反应次数为：N =pm m 41×10% ⑦因此，太阳总共辐射能量为E =N ·ΔE ,设太阳辐射是各向同性的，则每秒内太阳向外放出的辐射能为：ε=4πr 2ω⑧所以太阳继续保持在主序星的时间为：t =εE⑨由以上各式解得：t =ωπ2244)24(1.0r m c m m m M p a a p ⨯-+以题给数据代入，并以年为单位可得：t =1×1010年=1百亿年. 例5.在其他能源中，核能具有能量大、地区适应性强的优势.在核电站中，核反应堆释放的核能转化为电能.核反应堆的工作原理是利用中子轰击重核发生裂变反应，释放出大量核能.（1）核反应方程式23592 U+10n→14156 Ba+9236Kr+a X 是反应堆中发生的许多核反应中的一种，n 为中子，X 为待求粒子，a 为X 的个数，则X 为________，a =________.以m u 、m Ba 、m Kr 分别表示23592 U 、14156 B a 、9236Kr 核的质量，m n 、m p 分别表示中子、质子的质量，c 为光在真空中传播的速度，则在上述核反应过程中放出的核能ΔE =________.（2）有一座发电能力为P =1.00×106kW 的核电站，核能转化为电能的效率η=40%.假定反应堆中发生的裂变反应全是本题（1）中的核反应，已知每次核反应过程放出的核能ΔE =2.78×10-11J,23592U核的质量M u =390×10-27kg.求每年（1年=3.15×107s ）消耗的23592 U 的质量.解析.（1）由核反应方程的电荷数守恒和质量数守恒知X 的电荷数为零，且质量数不为零，故X 为中子，据质量数守恒可得235+1=141+92+a ，则a =3,由爱因斯坦质能方程ΔE =Δmc 2得该核反应过程中放出核能ΔE =（m u -m Ba -m Kr -2m n ）c 2 （2）设一年消耗的23592 U 的质量为x 千克，则消耗的核能为E 核=uM x·ΔE一年中产生的电能为E 电，则E 电=Pt （t 为一年时间） 由题意知：E 电=E 核·η，则E 核=η电E故uM x=△E=ηPt所以x =1127791078.2%40103901015.31000.1--⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=∆E PtM u ηk g =1.10×103 k g。