2021届上海市普陀区高三一模数学Word版(附简析)
上海市普陀区2021届高三一模数学试卷
2020.12
一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1. 若集合{|01}A x x =<≤，{|(1)(2)0,}B x x x x =--≤∈R ，则A
B = 2. 函数2y x =（0x ≥）的反函数为
3. 若2
παπ<<且1cos 3α=-，则tan α= 4. 设无穷等比数列{}n a 的各项和为2，若该数列的公比为
12，则3a = 5. 在81
()x x
-的二项展开式中4x 项的系数为 6. 若正方体的棱长为1，则该正方体的外接球的体积为
7. 若圆C 以椭圆22
11612
x y +=的右焦点为圆心、长半轴为半径，则圆C 的方程为 8. 一个袋中装有同样大小、质量的10个球，其中2个红色、3个蓝色、5个黑色，经过充 分混合后，若从此袋中任意取出4个球，则三种颜色的球均取到的概率为
9. 设1()lg f x x x =-，则不等式1(1)1f x
-<的解集为 10. 某展馆现有一块三角形区域可以布展，经过测量其三
边长分别为14、10、6（单位：m ），且该区域的租金为
每天4元/2m ，若租用上述区域5天，则仅场地的租用费
约需 元（结果保留整数）
11. 如图所示，在直角梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，2ABC π
∠=，1AB AD ==，
2BC =，M 为BD 的中点，设P 、Q 分别为线段AB 、CD 上的动点，若P 、M 、Q 三点共线，则AQ CP ?的最大值为
12. 设b 、c 均为实数，若函数()b f x x c x
=++在区间 [1,)+∞上有零点，则22b c +的取值范围是
二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13. 曲线28y x =的准线方程是（ ）
A. 4x =
B. 2x =
C. 2x =-
D. 4x =-
14. 设x 、y 均为实数，且3147625x y
-=，则在以下各项中(,)x y 的可能取值只能是（ ） A. (2,1) B. (2,1)- C. (1,2)- D. (1,2)--
15. 如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面边长2AB =，
高14A A =，E 为棱1A A 的中点，设BAD α∠=，BED θ∠=，
1B ED γ∠=，则α、β、γ之间的关系正确的是（ ）
A. αγθ=>
B. γαθ>>
C. θγα>>
D. αθγ>>
16. 设b 、c 均为实数，关于x 的方程2||0x b x c ++=在复数集C 上给出下列两个结论： ① 存在b 、c ，使得该方程仅有两个共轭虚根；
② 存在b 、c ，使得该方程最多有6个互不相等的根；
其中正确的是（ ）
A. ①与②均正确
B. ①正确，②不正确
C. ①不正确，②正确
D. ①与②均不正确
三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 设a 为常数，函数()sin 2cos(22)1f x a x x π=+-+（x ∈R ）.
（1）设3a =，求函数()y f x =的单调递增区间及频率f ；
（2）若函数()y f x =为偶函数，求此函数的值域.
18. 双曲线22
:1169
x y Γ-=的左、右焦点分别为1F 、2F ，直线l 经过2F 且与Γ的两条渐近线中的一条平行，与另一条相交且交点在第一象限.
（1）设P 为Γ右支上的任意一点，求1||PF 的最小值；
（2）设O 为坐标原点，求O 到l 的距离，并求l 与Γ的交点坐标.
19. 某商场共有三层楼，在其圆柱形空间内安装两部等长的扶梯Ⅰ、Ⅱ供顾客乘用，如图， 一顾客自一楼点A 处乘Ⅰ到达二楼的点B 处后，沿着二楼面上的圆弧BM 逆时针步行至点 C 处，且C 为弧BM 的中点，再乘Ⅱ到达三楼的点D 处，设圆柱形空间三个楼面圆的中心 分别为O 、1O 、2O ，半径为8米，相邻楼层的间距4AM =米，两部电梯与楼面所成角的 大小均为1arcsin 3.
（1）求此顾客在二楼面上步行的路程；
（2）求异面直线AB 和CD 所成角的大小.
（结果用反三角函数值表示）
20. 已知无穷数列{}n a 的首项为1a ，其前n 项和为n S ，且1n n a a d +-=（*n ∈N ），其中 d 为常数且0d ≠.
（1）设11a d ==，求数列{}n a 的通项公式，并求1lim(1)n n
a →∞-的值； （2）设2d =，77S =-，是否存在正整数k 使得数列{}n n S ?中的项2k k S ?<成立？ 若存在，求出满足条件k 的所有值，若不存在，请说明理由；
（3）求证：数列{}n a 中不同的两项之和仍为此数列中的某一项的充要条件为存在整数m 且1m ≥-，使得1a md =.
21. 已知函数220()log 0
x x f x x x ?≤=?>?.
（1）解不等式()0x f x ?≤；
（2）设k 、m 均为实数，当(,]x m ∈-∞时，()f x 的最大值为1，且满足此条件的任意实数x 及m 的值，使得关于x 的不等式2()(2)310f x m k m k ≤--+-恒成立，求k 的取值 范围；
（3）设t 为实数，若关于x 的方程2[()]log ()0f f x t x --=恰有两个不相等的实数根1x 、 2x 且12x x <，试将1221212log 2|1||1|
x x x x ++
--+-表示为关于t 的函数，并写出此函 数的定义域.
参考答案
一. 填空题
1. (0,2]
2. 1()f x -=
(0)x ≥ 3. - 4. 14
5. 28
6. 8
7. 22(2)16x y -+=
8. 12
9. 1(0,)2 10. 520 11. 2- 12. 1[,)2+∞
二. 选择题
13. C 14. B 15. B 16. A
三. 解答题
17.（1）()2sin(2)16f x x π=+
+，[,]36k k ππππ-++，k ∈Z ，1f π=；（2）[0,2]. 18.（1）9；（2）4127(,)1040
.
19.（1）2π；（2）20.（1）n a n =，1；（2）1、2、3、4、5、6、7、8；（3）略.
21.（1）(,1]-∞；（2）4k ≥；（3）1
y t t =+，(1,3]t ∈.