勾股定理拓展提高题4.1
(2021年整理)勾股定理拓展提高题
(完整版)勾股定理拓展提高题编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整版)勾股定理拓展提高题）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为(完整版)勾股定理拓展提高题的全部内容。
（完整版）勾股定理拓展提高题编辑整理：张嬗雒老师尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布到文库，发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方，但是我们任然希望 (完整版）勾股定理拓展提高题这篇文档能够给您的工作和学习带来便利。
同时我们也真诚的希望收到您的建议和反馈到下面的留言区，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请下载收藏以便随时查阅,最后祝您生活愉快业绩进步,以下为 <(完整版)勾股定理拓展提高题> 这篇文档的全部内容。
B A6cm3cm1cmCBA勾股定理拓展提高题1、如图,长方体的底面边长分别为1cm 和3cm,高为6cm ．①如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ，那么所用细线最短需要__________cm ；②如果从点A 开始经过4个侧面缠绕3圈到达点B ， 那么所用细线最短需要__________cm ．2、如图1，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数_________图1 图2 图33、如图2，直线l 上有三个正方形a b c ，，，若a c ，的面积分别为5和11，则b 的面积4、如图3，数轴上的点A 所表示的数为x,则x 2-10的立方根为5、如图4,一只蚂蚁沿棱长为a 的正方体表面从顶点A 爬到顶点B,则它走过的最短路程为图4 图56、2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图5所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a ，较长直角边为b,那么()2b a +的值为（ ）（A ）13 (B)19 （C)25 （D ）169• •ABADEBC7、已知△ABC 的三边长满足18,10==+ab b a ，8=c ，则为 三角形8、如图，铁路上A ，B 两点相距25km ，C ，D 为两村庄,DA⊥AB 于A ，CB⊥AB 于B ，已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C ，D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在离A 站多少km 处？9、已知：正方形ABCD 的边长为1，正方形ABCD 的边长为1，正方形EFGH 内接于ABCD ，AE=a,AF=b ，且32=EFGH S 正方形。
8年级勾股定理拓展题
CABD2014年江阴腾飞教育8年级暑期强化班数学辅导【8年级】：《勾股定理》拓展大题姓名 得分例1 一只蚂蚁从长为4cm 、宽为3 cm ，高是5 cm 的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B 点，那么它所行的最短路线的多长？例2 小东拿着一根长竹竿进一个宽为3米的城门，他先横着拿不进去，又竖起来拿，结果竹竿比城门高1米，当他把竹竿斜着时，两端刚好顶着城门的对角，问竹竿长多少米？例3 小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度例4 如图，已知在△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，AC ＝20，BC ＝15，DB ＝9。
求证△ABC 是直角三角形CBAD EFAC例5 如图，小红用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片宽AB 为8cm ，•长BC•为10cm ．当小红折叠时，顶点D 落在BC 边上的点F 处（折痕为AE ）．想一想，此时EC 有多长？•例6 请用两种方法证明勾股定理例7 在∆ABC 中，AB=15，AC=13，BC 边上的高AD=12，试求∆ABC 的周长。
例8 △ABC 中，∠ACB=90º，M 为AB 中点，∠PMQ=90º，说明：PQ 2=AP 2＋BQ 2。
例9△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90º，D 为BC 中点，DE ⊥DF ，若BE=12，CF=5，求EF 的长。
BBBABCB例10 △ABC 中，∠A=90º，AC=AB ，P 为△ABC 内一点，且PA=1，PB=3，PC 2=7，求∠CPA 的大小。
例11 在△ABC 中，AB=AC ，P 为BC 上任意一点，请用学过的知识说明：AB 2－AP 2=PB ×PC 。
例12 如图，AB=AC ，D 为BC 上任一点，说明：AB 2－AD 2=BD ·DC 。
例13．如图，△ABC 中，AB=13，AC=20，BC=21，求△ABC 的面积。
勾股定理提高题
勾股定理提高练习1．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝12，求Rt△ABC中斜边AB上的高CD．2.如图，△ABC中，∠C＝90º，AD是角平分线，CD＝15，BD＝25．求AC的长．3.如图，已知∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。
求：四边形ABCD的面积。
4.如图所示，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个半圆，下方是长方形的仿古通道，现有一辆卡车装满家具后，高4米，宽2.8米，请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道.5.一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?6.如图，已知：︒=∠90C ，CM AM =，AB MP ⊥于P ．求证： 222BC AP BP +=．ABC7．如图，已知△ABC中，∠C＝90°，D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且DE⊥DF．求证：AE2＋BF2＝EF2．8.如图，已知在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为CB的四等分点且CE＝CB41，求证：AF⊥FE．9.如图，已知：，，于P. 求证：.10.如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m。
假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？11.如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求线段EF的长。
12.如图，在等腰△ABC 中，∠ACB=90°，D 、E 为斜边AB 上的点，且∠DCE=45°。
求证：DE 2=AD 2+BE 2。
中考数学复习《勾股定理》专项提升训练(附答案)
中考数学复习《勾股定理》专项提升训练(附答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1.已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是( )A.25B.14C.7D.7或252.勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”.我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽.下列图案中是“赵爽弦图”的是( )3.等腰三角形的腰长为10，底长为12，则其底边上的高为( )A.13B.8C.12D.104.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝2，则AB＝( )A.4B.233C.433D.335.适合下列条件的△ABC中，∠A，∠B，∠C是三个内角，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，直角三角形的个数是( )①a＝7，b＝24，C＝25；②a＝1.5，b＝2，c＝7.5；③∠A：∠B：∠C＝1：2：3; ④a＝1，b＝2，c＝ 3.A.1个B.2个C.3个D.4个6.若△ABC的三边分别为5、12、13，则△ABC的面积是( )A.30B.40C.50D.607.一架250cm的梯子，斜靠在竖直的墙上，梯脚距墙终端70cm，如果梯子顶端沿着墙下滑40cm，那么梯脚将向外侧滑动( )A.40cmB.80cmC.90cmD.150cm8.如图，长方形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是( )A.2.5B.2 2C. 3D. 59.如图，在△ACB中，有一点P在AC上移动，若AB＝AC＝5，BC＝6，则AP＋BP＋CP的最小值为( )A.4.8B.8C.8.8D.9.810.如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°.公路PQ上A处距O点240米.如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响.那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为( )A.12秒B.16秒C.20秒D.30秒.二、填空题11.在△ABC中，三边长分别为8、15、17，那么△ABC的面积为．12.已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足关系式(a2－c2－b2)2＋∣c﹣b∣＝0，则△ABC的形状为_______________.13.已知等腰直角三角形的面积为2，则它的周长为.(结果保留根号)14.如图，从点A(0，2)发出的一束光，经x轴反射，过点B(5，3)，则这束光从点A到点B所经过的路径的长为 .15.如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．若AM＝3，MN＝5，则BN 的长为____________．16.如图，已知等边三角形ABC的边长是2，以BC边上的高AB1为边作等边三角形，得到第二个等边三角形AB1C1；再以等边三角形AB1C1的B1C1边上的高AB2为边作等边三角形，得到第三个等边三角形AB2C2；再以等边三角形AB2C2的B2C2边上的高AB3为边作等边三角形，得到第四个等边三角形AB3C3……记△B1CB2的面积为S1，△B2C1B3的面积为S2，△B3C2B4的面积为S3……则Sn＝ .三、作图题17.在如图所示的5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，按下列要求画图或填空；(1)画一条线段AB使它的另一端点B落在格点上(即小正方形的顶点)，且AB＝22；(2)以(1)中的AB为边画一个等腰△ABC，使点C落在格点上，且另两边的长都是无理数；(3)△ABC的周长为，面积为．四、解答题18.如图，已知∠ADC＝90°，AD＝8，CD＝6，AB＝26，BC＝24．(1)证明：△ABC是直角三角形．(2)请求图中阴影部分的面积．19.如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠B＝60°，∠C＝45°.(1)求∠BAC的度数.(2)若AC＝2，求AD的长.20.如图，在△ABC中，点O是AC边上的一点.过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于F.(1)求证：EO＝FO；(2)若CE＝4，CF＝3，你还能得到那些结论？21.在杭州西湖风景游船处，如图，在离水面高度为5m的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13m，此人以0.5m/s的速度收绳.10s后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少m？(假设绳子是直的，结果保留根号)22.某菜农要修建一个塑料大棚，如图所示，若棚宽a＝4m，高b＝3m，长d＝40m。
八年级数学勾股定理拓展提高(勾股定理)拔高练习
八年级数学勾股定理拓展提高(勾股定理)拔高练习一、填空题(共5道，每道4分)1.教材1题：△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长是_______.2.教材3题：在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝_______．3题图5题图3.教材4题：△ABC周长是24，M是AB的中点，MC＝MA＝5，则△ABC的面积是_____.4.教材5题：将一根长24 cm的筷子，置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为hcm，则h的取值范围是_____.5.教材10题：矩形ABCD中，BC=4，DC=3，将该矩形沿对角线BD折叠，使点C落在点F处，求EF的长_____.二、解答题(共5道，每道10分)1.教材9题：如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=8cm，BC=6cm，现将直角边BC沿直线BD折叠，使它落在斜边AB上的点C′处，求CD的长以及折痕BD的平方1题图2题图2.教材8题：如图，已知DE=m，BC=n，∠EBC与∠DCB互余，求+的值.3.教材12题：如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B´处，点A对应点为A´，且B´C=3，求CN和AM的长.3题图4题图5题图4.教材14题：如图，某隧道的截面是一个半径为米的半圆形，一辆高米，宽3米的卡车能通过该隧道吗？5.教材16题：如图，某沿海城市A接到台风警报，在该市正南方向150km的B处有一台风中心正以20km/h的速度向BC方向移动，已知城市A到BC的距离AD=90km（1）台风中心经过多长时间从B点移到D点（2）如果在距台风中心30km的圆形区域内都有受到台风破坏的危险，为让D点的游人脱离危险，游人必顺在接到台风警报后的几小时内撤离（撤离速度为6km/h）三、证明题(共3道，每道10分)1.教材2题：如图，在正方形ABCD中，E是DC的中点，F为BC上的一点且BC=4CF，试说明△AEF是直角三角形.1题图2题图3题图2.作业1题：如图，已知P是矩形ABCD内任一点，求证：PA2+PC2=PB2+PD23.教材6题：如图所示．已知：在正方形ABCD中，∠BAC的平分线交BC于E，作EF⊥AC于F，作FG⊥AB于G．求证：AB2=2FG2．。
勾股定理提高题(含答案)
勾股定理提高训练一、简答题1、如图，矩形ABCD的长AB=4cm．宽BC=3cm，P、Q以1cm/s的速度分别从A、B出发，沿AB、BC方向前进，经多少秒后P、Q之间的距离为 2cm？2、如图，直线表示草原上一条河，在附近有A、B两个村庄，A、B到的距离分别为AC＝30km,BD=40km，A、B两个村庄之间的距离为50km.有一牧民骑马从A村出发到B村，途中要到河边给马饮一次水。
如果他在上午八点出发，以每小时30km的平均速度前进，那么他能不能在上午十点三十分之前到达B村？3、《中华人民共和国道路交通管理条例》规定:小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h.如图,一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶,某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处,过了2s后,测得小汽车与车速检测仪间距离为50m,这辆小汽车超速了吗?(参考数据转换:1m/s=3.6km/h)4、如图，四边形ABCD，AD∥BC，∠B=90°，AD=6，AB=4，BC=9．（1）求CD 的长为__________．（2）点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着边BC向点C运动，连接DP．设点P运动的时间为t秒，则当t为何值时，△PDC为等腰三角形？5、如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要多少cm？6、如图，折叠长方形的一边AD，使点D 落在BC边上的点F处， BC=15cm，AB=9cm 求（1）FC的长，（2）EF的长.9、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，现将直角边AC折叠到AB边上，点C落在AB边上的E点，折痕为AD．若AC=6，BC=8．求△ADB的面积．10、如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知AD=8米，CD=6米，∠ADC=90°，AB=26米，BC=24米，小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问用该草坪铺满这块空地共需花费多少元？11、已知三边满足，请你判断的形状，并说明理由．12、如图7,四边形ABCD中,.试判断的形状,并说明理由.13、在甲村至乙村的公路有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破．已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上的另一停靠站B的距离为400米，且CA⊥CB，如图所示．为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险而需要暂时封锁？请通过计算进行说明．14、已知a、b、c为△ABC的三边，且，试判断△ABC的形状。
勾股定理提高训练题
勾股定理提高训练题一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.若直角三角形两边长分别是6，8，则它的斜边为（）A. 8B. 10C. 8或10D. 以上都不正确2.将面积为8π的半圆与两个正方形拼接如图所示，这两个正方形面积的和为（）A. 16B. 32C. 8πD. 643.在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则BC等于（）A. 14B. 4C. 14或4D. 9或54.如图，四边形ABCD中，AC⊥BC，AD∥BC，BC=3，AC=4，AD=6．M是BD的中点，则CM的长为（）A. 32B. 2C. 52D. 35.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为（）A. 2B. 2.2C. 2.4D. 2.56.等腰三角形的腰长为10，底长为12，则其腰上的高为（）A. 13B. 8C. 9.6D. 647.如果3，a，5是勾股数，则a的值是（）A. 4B. √34C. 4或√34D. 4或348.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（）A. 125B. 4 C. 5 D. 2459.如图所示，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为______．10.由四个全等的直角三角形拼成如图所示的“赵爽弦图”，若直角三角形斜边长为2，最短的边长为1，则图中阴影部分的面积为______．11.如图，已知CD=6m，AD=8m，∠ADC=90∘，BC=24m，AB=26m.图中阴影部分的面积=______．12.如图，在△ABC中，AB=5，AC=13，BC边上的中线AD=6，则△ABD的面积是______．13.如图，∠B=∠ACD=90°，BC=3，AB=4，CD=12，则AD=______ ．14.一只蜘蛛正处于一个正方体的一个顶点A处，一只苍蝇处于此正方体的另一个顶点B处（如图所示），如果此正方体的棱长恰为10cm，试问蜘蛛想捉到苍蝇的最短路线是______．15.如图，已知△ABC三条边AC=20cm，BC=15cm，AB=25cm，CD⊥AB，则CD= ______cm．16.已知平行四边形ABCD中，AB=6，BC=4，BC边上的高AE=3，AF⊥DC于F，则DF的长是____．三、解答题（本大题共4小题，共44.0分）17.如图，四边形ABCD中，∠B=90°，∠ACB=30°，AB=2，CD=3，（2）求四边形ABCD的面积．18.如图，正方形网格中每个正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，分别按下列要求画三角形．（1）其中一条边为无理数，两条边为有理数；（2）其中两条边为无理数，一条边为有理数；（3）三条边都能为无理数吗？若能在图（3）中画出，这些三角形的面积都是______（填有理数或无理数），并计算出你所画三角形的面积．19.如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等．问：(1)在离A站多少km处？(2)判定三角形DEC的形状．20.已知，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=18cm．动点P从点A出发，沿AB向点B运动，动点Q从点B出发，沿BC向点C运动，如果动点P以2cm/s，Q以1cm/s的速度同时出发，设运动时间为t（s），解答下列问题：（1）t为______时，△PBO是等边三角形？（2）P，Q在运动过程中，△PBQ的形状不断发生变化，当t为何值时，△PBQ是直角三角形？说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查的是勾股定理的应用，掌握勾股定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．分直角三角形两直角边长分别是6，8和它的斜边为8两种情况，根据勾股定理计算即可．【解答】解：当直角三角形两直角边长分别是6，8时，由勾股定理得，它的斜边=√82+62=10，当8是直角三角形的斜边时，它的斜边为8.故选C．2.【答案】D【解析】解：已知半圆的面积为8π，所以半圆的直径为：2×√16π÷π=8，即如图直角三角形的斜边为：8，设两个正方形的边长分别为：x，y，则根据勾股定理得：x2+y2=82=64，即两个正方形面积的和为64．故选：D．首先由面积为8π的半圆求出半圆的直径，即直角三角形的斜边，再根据勾股定理求出两直角边的平方和，即是这两个正方形面积的和．此题考查的知识点是勾股定理，关键是由面积为8π的半圆求出半圆的直径，再根据勾股定理求出这两个正方形面积的和．3.【答案】C【解析】解：（1）如图，锐角△ABC中，AB=15，AC=13，BC边上高AD=12，在Rt△ABD中AB=15，AD=12，由勾股定理得：BD2=AB2-AD2=152-122=81，∴BD=9，在Rt△ACD中AC=13，AD=12，由勾股定理得CD2=AC2-AD2=132-122=25，∴CD=5，∴BC的长为BD+DC=9+5=14；（2）钝角△ABC中，AB=15，AC=13，BC边上高AD=12，在Rt△ABD中AB=15，AD=12，由勾股定理得：BD2=AB2-AD2=152-122=81，∴BD=9，在Rt△ACD中AC=13，AD=12，由勾股定理得：CD2=AC2-AD2=132-122=25，∴CD=5，∴BC的长为BD-CD=9-5=4．故BC长为14或4．故选：C．本题考查了勾股定理，把三角形斜边转化到直角三角形中用勾股定理解答．掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．4.【答案】C【解析】解：延长BC 到E 使BE =AD ，则四边形ACED 是平行四边形，∵BC =3，AD =6，∴C 是BE 的中点，∵M 是BD 的中点，∴CM =12DE =12AB ， ∵AC ⊥BC ，∴AB =√AC 2+BC 2=√42+32=5，∴CM =52，故选：C ．延长BC 到E 使BE =AD ，则四边形ACED 是平行四边形，根据三角形的中位线的性质得到CM =12DE =12AB ，根据跟勾股定理得到AB =√AC 2+BC 2=√42+32=5，于是得到结论．本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．5.【答案】C【解析】解：连接AP ，∵∠A =90°，PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，∴∠A =∠AEP =∠AFP =90°，∴四边形AFPE 是矩形，∴EF =AP ，要使EF 最小，只要AP 最小即可，过A 作AP ⊥BC 于P ，此时AP 最小，在Rt △BAC 中，∠A =90°，AC =4，AB =3，由勾股定理得：BC =5，由三角形面积公式得：12×4×3=12×5×AP ， ∴AP =2.4，即EF =2.4，故ABD 错误，C 正确.故选C ．根据已知得出四边形AEPF 是矩形，得出EF =AP ，要使EF 最小，只要AP 最小即可，根据垂线段最短得出即可.本题利用了矩形的性质和判定、勾股定理、垂线段最短的应用，解此题的关键是确定出何时，EF 最短，题目比较好，难度适中.6.【答案】C【解析】【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、三角形面积的计算方法；熟练掌握等腰三角形的性质，运用勾股定理和三角形的面积的计算方法是解决问题的关键.作AD ⊥BC 于D ，由等腰三角形的三线合一性质得出BD =CD =1BC =6，∠ADB =90°，由勾【解答】解：如图所示：BE 是等腰三角形的腰AC 上的高，作AD ⊥BC 于D ；∵AB =AC ，∴BD =CD =12BC =6，∠ADB =90°，∴AD =√AB 2−BD 2=√102−62=8，∴△ABC 的面积=12×AC ×BE =12×BC ×AD ， ∴AC ×BE =BC ×AD ， 即10×BE =12×8， 解得：BE =9.6.故选C .7.【答案】A【解析】解：∵3，a ，5是勾股数，∴a =4，故选：A ．满足a 2+b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数，依此得到a ．此题考查了勾股数，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC 的三边满足a 2+b 2=c 2，则三角形ABC 是直角三角形．8.【答案】D【解析】【分析】本题考查了勾股定理、轴对称中的最短路线问题，找出点P 、Q 的位置是解题的关键． 过点C 作AD 的对称点，交AB 于点E ，过点E 作EQ ⊥AC 于点Q ，EQ 交AD 于点P ，连接CP ，此时PC +PQ =EQ 取最小值，根据勾股定理可求出AB 的长度，再根据面积法求出CG ，由面积相等，即可得出EQ =CG ，进而可得出EQ 的长度，此题得解．【解答】解：作点C 关于AD 的对称点交AB 于E ，过点E 作EQ ⊥AC 于点Q ，EQ 交AD 于点P ，连接CP ，此时PC +PQ =EQ 取最小值，如图所示．在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =6，BC =8，∴AB =√AC 2+BC 2=10．∵C 、E 关于AD 对称，∴PC =PE ，AE =AC =6．∵EQ ⊥AC ，∠ACB =90°，EQ =CG =245.故选D ．9.【答案】45°【解析】解：如图，连接AC ．根据勾股定理可以得到：AC =BC =√5，AB =√10，∵（√5）2+（√5）2=（√10）2，即AC 2+BC 2=AB 2，∴△ABC 是等腰直角三角形．∴∠ABC =45°．故答案为：45°．分别在格点三角形中，根据勾股定理即可得到AB ，BC ，AC 的长度，继而可得出∠ABC 的度数．本题考查了勾股定理，判断△ABC 是等腰直角三角形是解决本题的关键，注意在格点三角形中利用勾股定理．10.【答案】4-2√3【解析】解：∵直角三角形斜边长为2，最短的之边长为1，∴该直角三角形的另外一条直角边长为√3，∴S 阴影=22-4×12×1×√3=4-2√3． 故答案是：4-2√3．由题意可知阴影部分的面积=大正方形的面积-4个小直角三角形的面积，代入数值计算即可．本题考查利用图形面积的关系证明勾股定理，解题关键是利用三角形和正方形边长的关系进行组合图形．11.【答案】96m 2【解析】【分析】本题考查的是勾股定理的运用和勾股定理的逆定理运用，解题的关键是根据勾股定理求出AC 的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACB 为直角三角形．先根据勾股定理求出AC 的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACB 为直角三角形，再根据S 阴影=12AC ×BC -12AD ×CD 即可得出结论． 【解答】解：在Rt △ADC 中，∵CD =6m ，AD =8m ，∠ADC =90°，BC =24m ，AB =26m ，∴AC 2=AD 2+CD 2=82+62=100，∴AC =10m ，（取正值）．在△ABC 中，∵AC 2+BC 2=102+242=676，AB 2=262=676．∴AC 2+BC 2=AB 2，∴△ACB 为直角三角形，∠ACB =90°．∴S 阴影=12AC ×BC -12AD ×CD =12×10×24-12×8×6=96（m 2）．12.【答案】15【解析】解：延长AD到点E，使DE=AD=6，连接CE，∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，在△ABD和△CED中，{BD=CD∠ADB=∠CDE AD=DE，∴△ABD≌△CED（SAS），∴CE=AB=5，∠BAD=∠E，∵AE=2AD=12，CE=5，AC=13，∴CE2+AE2=AC2，∴∠E=90°，∴∠BAD=90°，即△ABD为直角三角形，∴△ABD的面积=12AD•AB=15，故答案为：15．延长AD到点E，使DE=AD=6，连接CE，可证明△ABD≌△CED，所以CE=AB，再利用勾股定理的逆定理证明△CDE是直角三角形即：△ABD为直角三角形，进而可求出△ABD 的面积．本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理的运用，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形，题目的设计很新颖，是一道不错的中考题．13.【答案】13【解析】解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，由勾股定理得：AC=√42+32=5，在Rt△ACD中，∠ACD=90°，AC=5，CD=12，由勾股定理得：AD=√52+122=13，故答案为：13．在Rt△ABC中，根据勾股定理求出AC，在Rt△ACD中，根据勾股定理求出AD即可．本题考查了勾股定理，熟知在一个直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方是解答此题的关键．14.【答案】10√5cm【解析】解：如图所示：AB即为最短路线，则在Rt△ABC中，AB=√AC2+BC2=√202+102=10√5cm，答：蜘蛛所走的最短路线长度是10√5cm．把此正方体的一面展开，然后在平面内根据两点之间，线段最短，即可得出最短的路径．此题主要考查了平面展开图最短路径问题以及勾股定理，得出爬行路线是解题关键．15.【答案】12【解析】解：∵202+152=252，∵AC2+BC2=AB2，∴△ACB是直角三角形，∴AC•BC=AB•CD，20×15=25•CD，CD=12．故答案为：12．首先利用勾股定理逆定理证明△ACB是直角三角形，再利用三角形的面积公式可得AC•BC=AB•CD，再代入相应数据进行计算即可．此题主要考查了勾股定理逆定理，以及直角三角形的面积，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．16.【答案】2√3【解析】【分析】本题主要考查的是勾股定理，平行四边形的性质的有关知识，根据平行四边形的对边相等，可得CD=AB=6，又因为S▱ABCD=BC•AE=CD•AF，所以求得DC边上的高AF的长，进而利用勾股定理解得即可.【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=6，∴S▱ABCD=BC•AE=CD•AF=4×3=12，∴AF=2，∴DC边上的高AF的长是2，在Rt△ADF中，DF=√AD2−AF2=√42−22=2√3.故答案为2√3.17.【答案】（1）（2）（3）2如图3，AB=√12+12=√2，BC=√22+22=2√2，AC=√12+32=√10，∴△ABC就是符合条件的三角形；=2×3-12×1×1-12×1×3-12×2×2，=2．【解析】解：（1）如图1，AC =1，AB =2，BC =√22+12=√5；则△ABC 就是符合条件的三角形；（2）如图2，AF =3，DE =√5，EF =2√2，则△DEF 就是符合条件的三角形； （3）见答案.【分析】（1）和（2）按要求画出三角形；（2）按要求画出三角形，利用面积差求△ABC 的面积．本题是作图题，一方面考查了三角形的画法及有理数与无理数的判别，另一方面还考查了勾股定理及三角形面积的求法；本题要熟练掌握勾股定理的运用，用格点作边是有理数，用长方形对角线作边就是无理数．18.【答案】解：（1）∵使得C ，D 两村到E 站的距离相等．∴DE =CE ，∵DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，∴∠A =∠B =90°，∴AE 2+AD 2=DE 2，BE 2+BC 2=EC 2，∴AE 2+AD 2=BE 2+BC 2，设AE =x ，则BE =AB -AE =（25-x ），∵DA =15km ，CB =10km ，∴x 2+152=（25-x ）2+102，解得：x =10，∴AE =10km ；（2）△DEC 是等腰直角三角形，理由如下：∵△DAE ≌△EBC ，∴∠DEA =∠ECB ，∠ADE =∠CEB ，∠DEA +∠D =90°，∴∠DEA +∠CEB =90°，∴∠DEC =90°∵DE =CE ，，即△DEC 是等腰直角三角形．【解析】（1）根据使得C ，D 两村到E 站的距离相等，需要证明DE =CE ，再根据△DAE ≌△EBC ，得出AE =BC =10km ；（2）三角形DEC 的形状是等腰直角三角形，利用△DAE ≌△EBC ，得出∠DEC =90°，再根据DE =CE ，进而可以证明．此题主要考查了勾股定理的应用和三角形全等的证明，证明线段相等利用全等得出△DAE ≌△EBC 是解决问题的关键．19.【答案】（1)12;（2）当t 为9或725时，△PBQ 是直角三角形，理由如下：∵∠C =90°，∠A =30°，BC =18cm∴AB =2BC =18×2=36（cm ） ∵动点P 以2cm /s ，Q 以1cm /s 的速度出发∴BP =AB -AP =36-2t ，BQ =t∵△PBQ 是直角三角形∴BP =2BQ 或BQ =2BP当BP =2BQ 时，36-2t =2t解得t =9当BQ =2BP 时，t =2（36-2t ）解得t =725所以，当t 为9或725时，△PBQ 是直角三角形．【解析】解：（1）要使，△PBO 是等边三角形，即可得：PB =BQ ，∵在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，BC =18cm ．∴AB =36cm ，可得：PB =36-2t ，BQ =t ，即36-2t =t ，解得：t =12故答案为；12（2）见答案．（1）根据等边三角形的性质解答即可；（2）分两种情况利用直角三角形的性质解答即可．此题考查勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理解答．20.【答案】（1）证明：在Rt △ABC 中，∠B =90°，∠ACB =30°，AB =2， ∴AC =2AB =4，在△ACD 中，AC =4，CD =3，AD =5，∵42+32=52，即AC 2+CD 2=AD 2，∴∠ACD =90°，∴AC ⊥CD ；（2）解：在Rt △ABC 中，∠B =90°，AB =2，AC =4，∴BC =√42−22=2√3，∴Rt △ABC 的面积为12AB •BC =12×2×2√3=2√3， 又∵Rt △ACD 的面积为12AC •CD =12×4×3=6， ∴四边形ABCD 的面积为：2√3+6．【解析】（1）根据直角三角形的性质得到AC =2AB =4，根据跟勾股定理的逆定理即可得到结论；（2）根据勾股定理得到BC =√42−22=2√3，根据三角形的面积公式即可得到结论． 本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面积，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．。
勾股定理拓展提高题
B A6cm3cm1cmCB A 勾股定理拓展提高题1、如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm ． ①如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ， 那么所用细线最短需要__________cm ；②如果从点A 开始经过4个侧面缠绕3圈到达点B ， 那么所用细线最短需要__________cm ．2、如图1，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数_________图1 图2 图33、如图2，直线l 上有三个正方形a b c ，，，若a c ，的面积分别为5和11，则b 的面积4、如图3，数轴上的点A 所表示的数为x ，则x 2—10的立方根为5、如图4,一只蚂蚁沿棱长为a 的正方体表面从顶点A 爬到顶点B,则它走过的最短路程为图4 图56、2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图5所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a ，较长直角边为b ，那么()2b a +的值为（ ）（A ）13 （B ）19 （C ）25 （D ）1697、已知△ABC 的三边长满足18,10==+ab b a ，8=c ，则为 三角形• • A BA D EB C8、如图，铁路上A ，B 两点相距25km ，C ，D 为两村庄，DA⊥AB 于A ，CB⊥AB 于B ，已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C ，D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在离A 站多少km 处？9、已知：正方形ABCD 的边长为1，正方形ABCD 的边长为1，正方形EFGH 内接于ABCD ，AE=a,AF=b,且32=EFGH S 正方形。
求：a b -的值。
10、在等腰直角三角形中，AB=AC ，点D 是斜边BC 的中点，点E 、F 分别为AB 、AC 边上的点，且DE ⊥DF 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
B
A
6cm
3cm
1cm
C
B A 勾股定理拓展提高题4.1
1、如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm ．
①如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ，
那么所用细线最短需要__________cm ；
②如果从点A 开始经过4个侧面缠绕3圈到达点B ，
那么所用细线最短需要__________cm ．
2、如图1，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC
的度数_________
图1 图2 图3
3、如图2，直线l 上有三个正方形a b c ，，，若a c ，的面积分别为5和11，则b 的面积
4、如图3，数轴上的点A 所表示的数为x ，则x 2
—10的立方根为
5、如图4,一只蚂蚁沿棱长为a 的正方体表面从顶点A 爬到顶点B,则它走过的最短路程为
图
4 图5
6、2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图5所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a ，较长直角边为b ，那么()2
b a +的值为（ ）
（A ）13 （B ）19 （C ）25 （D ）169
7、已知△ABC 的三边长满足18,10==+ab b a ，8=c ，则为 三角形
∙ ∙ A B
A D E
B C
8、如图，铁路上A ，B 两点相距25km ，C ，D 为两村庄，DA⊥AB 于A ，CB⊥AB 于B ，已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C ，D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在离A 站多少km 处？
9、已知：正方形ABCD 的边长为1，正方形ABCD 的边长为1，正方形EFGH 内接于ABCD ，AE=a,AF=b,且3
2
=
EFGH S 正方形。
求：a b -的值。
10、在等腰直角三角形中，AB=AC ，点D 是斜边BC 的中点，点E 、F 分别为AB 、AC 边上的点，且DE ⊥DF 。
（1）说明：2
22EF CF BE =+
(2)若BE=12,CF=5，试求DEF ∆的面积。
H
G
F
C B
11、已知：如图，在△ABC 中，CD 是AB 边上的高，且CD 2=AD·BD.
求证：△ABC 是直角三角形.
12、已知：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，满足a 2+b 2+c 2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC 的形状.
13、如图， 在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为BC 上一点，且EC=41
BC ，
求证：∠EFA=90︒.
A
B D
C
F
E
14、如图，已知：在ΔABC 中，∠C=90︒，M 是BC 的中点，MD ⊥AB 于D ，求证：AD 2=AC 2+BD 2.
15、如图，长方形ABCD 中，AD=8cm,CD=4cm.
⑴若点P 是边AD 上的一个动点,当P 在什么位置时PA=PC?
⑵在⑴中,当点P 在点P ＇时，有C P A P ''=，Q 是AB 边上的一个动点,若4
15
AQ =
时, QP' 与C P '垂直吗？为什么？
16、如图，等腰△ABC 中，底边BC ＝20，D 为AB 上一点，CD ＝16，BD ＝12，
求△ABC 的周长。
A
B
C
M
D
D
C
A
B
17、.已知：如图，四边形ABCD ，AD ∥BC ，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3.
求：四边形ABCD 的面积
.
18、已知：如图，DE=m,BC=n,∠EBC 与∠DCB 互余，求BD 2+CD 2.
19、阅读下列解题过程：已知a 、b 、c 为△ABC 的三边，且满足a 2c 2－b 2c 2=a 4－b 4，试判断△ABC 的形状.
解：∵a 2c 2－b 2c 2=a 4－b 4，(A)∴c 2(a 2－b 2)=(a 2+b 2)(a 2－b 2)，(B)∴c 2=a 2+b 2，（C)∴△ABC 是直角三角形.
问：①上述解题过程是从哪一步开始出现错误的？请写出该步的代号_______； ②错误的原因是______________；③本题的正确结论是__________.
B
E
C
D
20、学习了勾股定理以后,有同学提出“在直角三角形中,三边满足222c b a =+,或许其他的三角形三边也有这样的关系”.让我们来做一个实验！
(1)画出任意的一个锐角三角形,量出各边的长度(精确到1毫米),较短的两条边长分别是
=a ______mm ；=b _______mm ；较长的一条边长=c _______mm 。
比较222_____c b a + (填写“＞”,“＜”,或“＝”)；
(2)画出任意的一个钝角三角形,量出各边的长度(精确到1毫米),较短的两条边长分别是
=a ______mm ； =b _______mm ；较长的一条边长=c _______mm 。
比较222_____c b a + (填写“＞”,“＜”,或“＝”)； (3)根据以上的操作和结果,对这位同学提出的问题, 你猜想的结论是: ； 。
⑷对你猜想22a b +与2c 的两个关系，任选其中一个结论利用勾股定理证明。
(1)
B
A
(2)
C
B A
(3)
C
B
A
21、如图，南北向MN 为我国的领海线，即MN 以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我国反走私艇A 发现正东方有一走私艇C 以每小时13海里的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在线上巡逻的我国反走私艇B 密切注意.反走私艇A 通知反走私艇B:A 和C 两艇的距离是13海里，A 、B 两艇的距离是5海里.反走私艇B 测得距离C 艇是12海里，若走私艇C 的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？
22、观察下列各式：32＋42＝52；82＋62＝102；152＋82＝172；242＋102＝262…，你有没有发现其中的规律？请用含n的代数式表示此规律并证明，再根据规律写出接下来的式子．
23、如图所示，有一块塑料模板ABCD，长为10㎝，宽为4㎝，将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上(不与A、D重合)并在AD上平行移动：
①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由.
②再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B，另一直角边PF与DC的延
长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE=2㎝？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由.
24、喜欢爬山的同学都知道,很多名山上都有便于游人观光的索道,如图所示,山的高度AC为800 m,从山上A与山下B处各建一索道口,且BC=1 500 m,一游客从山下索道口坐缆车到山顶,知缆车每分钟走50 m,那么大约多长时间后该游客才能到达山顶?说明理由.
25、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度数．
26、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，如图，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30º方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或走过四级，则称为受台风影响.
（1）该城市是否会受到这交台风的影响？请说明理由.
（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市持续时间有多少？
（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？。