华师版数学九年级上册解码专训：30度45度60度的角的三角函数值
初三30°,45°,60°角的三角函数值试题与答案
学号教师填写 内容 考试类型 绝密★启用前30°,45°,60°角的三角函数值测试时间:25分钟一、选择题1. 已知∠α为锐角,且sin α=12,则∠α=( )A.30°B.45°C.60°D.90°2. 在正方形网格中,△ABC 的位置如图所示,则cos ∠B 的值为( )A.12 B.√22 C.√32 D.√333.已知α为锐角,sin(α-20°)=√32,则α=( )A.20°B.40°C.60°D.80° 4.在△ABC 中,(√3tan A -3)2+|2cos B -√3|=0,则△ABC 为( ) A.直角三角形 B.等边三角形C.含60°角的任意三角形D.顶角为钝角的等腰三角形5.(2017内蒙古赤峰宁城二模)把一把直尺与一块三角板如图所示放置,若sin ∠1=√22,则∠2的度数为( )A.120°B.135°C.145°D.150° 6. 下列计算错误的有( )①sin 60°-sin 30°=sin 30°;②sin 245°+cos 245°=1;③(tan 60°)2=13; ④tan 30°=cos30°sin30°.A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题7.在Rt △ABC 中,∠C=90°,AB=2BC,现给出下列结论:①sin A=√32;②cos B=12;③tan A=√33;④tan B=√3,其中正确的结论是 .(填序号)8. 比较三角函数值的大小:sin 30° tan 30°(填“>”或“<”).9. 已知α与β互为余角,且cos(115°-α+β)=√22,则α= ,β= .10. 已知α为锐角,当21-tanα无意义时,tan(α+15°)-tan(α-15°)的值是 .三、解答题11.计算下列各式的值:(1) tan 60°-sin 245°+tan 45°-2cos 30°; (2) sin60°·cos45°·tan30°tan45°-cos60°.12.如下图所示,在一次数学课外实践活动中,小文在点C 处测得树的顶端A 的仰角为30°,BC=40 m,求树的高度AB.(计算过程和结果均不取近似值)13.定义:在△ABC 中,我们把∠A 的对边与∠C 的对边的比叫做∠A 的邻弦,记作thi A,即thi A=∠A 的对边∠C 的对边=BCAB.已知:在△ABC中,∠C=30°,请解答下列问题:(1)若∠A=45°,求thi A 的值; (2)若thi A=√3,则∠A= °;(3)若∠A 是锐角,探究thi A 与sin A 的数量关系.横线以内不许答题参考答案一、选择题1.答案 A ∵∠α为锐角,且sin α=12,∴∠α=30°.故选A.2.答案 B 如图,过A 作AD ⊥BC,交BC 的延长线于D,通过网格容易看出△ABD 是等腰直角三角形,故cos ∠B=cos 45°=√22,故选B.3.答案 D ∵α为锐角,sin(α-20°)=√32,∴α-20°=60°,∴α=80°,故选D.4.答案 A ∵在△ABC 中,(√3tan A -3)2+|2cos B -√3|=0,∴√3tan A -3=0,2cos B -√3=0,∴tan A=√3,cos B=√32,∴∠A=60°,∠B=30°,∴∠C=90°,∴△ABC 为直角三角形.故选A.5.答案 B ∵sin ∠1=√22,∴∠1=45°,如图,在直角△EFG 中,∠3=90°-∠1=90°-45°=45°,∴∠4=180°-∠3=135°,又∵AB ∥CD,∴∠2=∠4=135°.故选B.6.答案 C ①sin 60°-sin 30°=√32-12,sin 30°=12,故sin 60°-sin 30°≠sin 30°,计算错误;②sin 245°+cos 245°=(√22)2+(√22)2=12+12=1,计算正确;③(tan60°)2=(√3)2=3,3≠13,计算错误;④tan30°=√33,cos30°sin30°=√3212=√3,√33≠√3,计算错误.故选C.二、填空题7.答案 ②③④解析 在Rt △ABC 中,∠C=90°,AB=2BC,∴AC=√AB 2-BC 2=√(2BC )2-BC 2=√3BC,sin A=BC AB =12,cos B=BC AB =12,∴①错误,②正确;tan A=BCAC =√3BC =√33,∴③正确;tan B=AC BC =√3BCBC =√3,∴④正确.故正确的结论是②③④.8.答案 <解析 sin 30°=12,tan 30°=√33,12<√33,即sin 30°<tan 30°. 9.答案 80°;10°解析 ∵cos(115°-α+β)=√22,∴115°-α+β=45°,即α-β=70°.又∵α与β互为余角,∴α+β=90°,解得α=80°,β=10°. 10.答案2√33解析 当21-tanα无意义时,tan α=1,∵α为锐角,∴α=45°,则tan(α+15°)-tan(α-15°)=tan 60°-tan 30°=√3-√33=2√33.三、解答题11.解析 (1)原式=√3-(√2)2+1-2×√3=√3-1+1-√3=1.(2)原式=√32×√22×√331-12=√2412=√22.12.解析 在Rt △ABC 中,tan C=AB BC,BC=40 m,∠C=30°, ∴AB=BC·tan C=40×tan 30°=40√33m.答:树的高度AB 为40√3m.13.解析 (1)如图,作BH ⊥AC,垂足为H.在Rt △BHC 中,∠C=30°,∴sin C=BH BC =12,即BC=2BH.在Rt △BHA 中,∠A=45°,∴sin A=BH AB =√22,即AB=√2BH.∴thi A=BCAB =√2.(2)60或120. ∵thi A=√3,∴BCAB=√3,当∠A 是锐角时,∵∠C=30°,∴tan C=tan 30°=√3=ABBC ,∴∠ABC=90°,∴∠A=60°.根据对称性可知,当∠A 是钝角时,∠A=120°.(3)如图,在△ABC 中,thi A=BCAB ,在Rt △BHA 中,sin A=BHAB ,在Rt △BHC 中,sin C=BH BC =12,即BC=2BH. ∴thi A=2sin A.。
30°,45°,60°角的三角函数值教案(完美版)
23. 1. 3 30o , 45o , 60o角的三角函数值教学目标【知识与技能】1.熟记30°、45°、60°角的三角函数值,并能根据这些值说岀对应的锐角度数.2.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半. 【过程与方法】1.培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.2.培养学生观察、比较、分析、概括的能力.【情感、态度与价值观】经历观察、操作、归纳等学习数学的过程,感受数学思考过程的合理性,感受数学说理的必要性、说理过程的严谨性,养成科学、严谨的学习态度.重点难点【重点】30°、45°、60°角的三角函数值.【难点】与特殊角的三角函数值有关的计算.教学进程一、复习巩固教师多媒体课件出示：如图所示:在RtΔABC中,Zc=90° .(Da. b、C三者之间的关系是(2) SinA= ___ , COSA= __ ,tanA= ____ ;SinB= ____ , COSB=__ ,tanB- ____ .⑶若ZA二30°,则二学生回答.二、共同探究,获取新知1.引出新知教师多媒体课件出示问题：为了测量一棵大树的高度,准备了如下测量工具：（1）含30°和60°两个锐角的三角尺；（2）皮尺.请你设计一个测量方案,测出一棵大树的高度.学生讨论,交流想法.生:我们组设计的方案如下：让一位同学拿着三角尺站在一个适当的位置B处,这位同学拿起三角尺,使她的视线恰好和斜边重合且过树梢C点,30°角的邻边和水平方向平行,用卷尺测出AB的长度、BE的长度，因为DE 二AB,所以只需在Rt∆CDA中求出CD的长度即可.师：在RtΔACD 中,ZCAD=30o , AD=BE） BE 是已知的,设BE=a 米,则AD=a 米, 如何求CD呢?生:含30°角的直角三角形有一个非常重要的性质：30°的角所对的直角边等于斜边的一半,即AC=2CD,根据勾股定理,得（2CD）⅛D⅛解得,CD=a.则树的高度即可求出.师:我们前面学习了三角函数的定义,如果一个角的大小确定,那么它的正切、正弦、余弦值也随之确定，如果能求出30°角的正切值,在上图中,tan30o =,则CDptdn30°,岂不简单!你能求出30°角的三个三角函数值吗？2.讲授新课.（1）探索30°、45°、60°角的三角函数值.师:观察一副三角尺,其中有儿个锐角？它们分别等于多少度？生:一副三角尺中有四个锐角，它们分别是30°、60°、45°、45° .师:sin30o等于多少呢?你是怎样得到的?与同伴交流.生:sin30o = sin30o表示在直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值,与直角三角形的大小无关.我们不妨设30°角所对的边长为&（如图所示），根据“直角三角形中30。
华师大版-数学-九年级上册- 30°,45°,60°角的三角函数值 同步练习
30°，45°，60°角的三角函数值一、判断题1．cosx=21=60°． （ ） 2．（sin45°－21）°=1． （ ） 3．α是锐角，且sin α=23，则α=30°． （ ） 4．cos45°－cos15°=cos30°=23． （ ） 5．若sinA=23，则A 无解． （ ） 6．若α为锐角，则2)1(cos -α=cos α－1． （ ）7．若A 为锐角则0＜sinA ＜1，0＜cosA ＜1． （ ）8． 若a 为锐角，则sina+cosa ＞1． （ ）二、选择题1．cosA=23（A 为锐角），则∠A 的度数为_______________． A ．60° B ．30° C ．45° D ．30°或60° 2．若A+B=90°，则B A 22sin sin +的值等于_______________．A ．1B ．2)cos (sin B A + C ． A 2sin 2 D ．8 3．已知△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，则cosA 等于_______________．A ．23B ．22C ． 23D ． 21 4． 若三角形三个内角的比是1：2：3，则它们正弦值的比为________．A ．1：2：3B ． 1：2：2C ．1：3：2D ．2：3：25． 在△ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=1，那么cosB=________．A ．52B ．53C ．54D ． 55 6． 等腰三角形底边长是10，周长是40，则其底角的正弦值是________．A ．32 B ．322 C ．324 D ． 3257．cos30°︒+︒⋅30sin 130cos =________． A ． 32 B ． 31 C ． 43 D ．21 8． 在△ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB 于D ．则sinB=________． A ．AB CD B ．BC AC C ． AB BC D ．AB AC 9． cos 260°－sin 260°的值为________．A ．1B ．－21 C ． 22 D ．25 10． 在△ABC 中，∠C=90°，a=8，b=15，sinA+sinB+sinC 等于________．A ．1737B ． 1738C ． 1739 D ． 1740 11．若α是锐角，那么sin α+cos α的值________．A ．大于1B ．等于1C ．小于1D ．不能确定三、填空题1． 设直角三角形的两条直角边的比为5:12，则较大锐角的正弦值等于____．2．已知∠B 是锐角，cosB －1=0，则∠B=__________．3．若cosB=22，则∠B=__________度．（为锐角） 4．已知cosA=21，则锐角A=__________． 5． sin60°·cos45°=_______． 6．在△ABC 中，∠C=90°，若cosA=21，则sinA=__________． 7．在△ABC 中，∠C=90°，3a=3b ，则sinA__________．8． )160(sin 2-︒=__________．9．在△ABC 中，∠C=90°，a=8，b=45，则sinA+sinB+sinC=__________．10．在△ABC 中，AB=1，AC=2，BC=1，则sinA=______∠A=______参考答案一、判断题1． × 2． × 3． × 4． × 5． √ 6． × 7． √ 8． √二、选择题1． B 2． A 3． D 4． C 5． D 6． B 7． D 8． D 9．B 10． D11． A三、填空题1．13122．45° 3． 45 4． 60° 5．46 6．23 7．21 8．231- 9．355+ 10．22，45°。
第1课时 30°,45°,60°角的三角函数值
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先相信你自己，然后别人才会相信你。
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义务教育教科书（沪科版）九年级数学上册 湖北鸿鹄志文化传媒有限公司——助您成功
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30、45、60度角三角函数值 上课用
2
3 tan 30 sin2 45 2 cos 2 60. 2
中考链接
（2016•临沂）一般地，当α 、β 为任意角时， sin（α +β ）与sin（α ﹣β ）的值可以用下面的公式 求得：sin（α +β ）=sinα •cosβ +cosα •sinβ sin（α -β ） =sinα •cosβ ﹣cosα •sinβ
拓展提升
( 2) 三角形的内角的比是 1:1: 4 三个内角分别是 30,30,120 ①当A 30，B 30时， 1 3 两根为 ， , 2 2 1 1 2 1 将 代入方程得： 4 （ ） - m 1 0 2 2 2 解得：m 0 3 不是方程4 x 2 1 0的根， 2 所以不符合题意 ; 经检验
1 2 1 2 解：原式 （ ） （ ） -1 2 2
sin 2 A (sin A)2
(1)sin30°+cos45°;(2) sin230°+cos260°-tan45°.
解：原式
1 2 2
1 1 1 4 4
-
1 2
计算: (1)tan450-sin300; 怎样 做？
所以cos210 cos 180 30 cos30
3 ； 2
因为cos45
2 2 ， cos 225 ， 2 2
所以cos225 cos 180 45 cos 45
2 ； 2
猜想：一般地，当 为锐角时，有 cos 180 cos ， 1 由此可知 cos240的值等于 ______ 2
②当A 30, B 120时， 1 1 两根为 ， 2 2 1 1 2 1 将 代入方程得： 4 （ ） - m 1 0 2 2 2 解得：m 0 1 经检验 - 是方程4 x 2 1 0的根， 2 所以m 0符合题意； ③当A 120，B 30时， 3 3 ， ，不符合题意； 2 2 综上所述，A 30，B 120, m 0 两根为
三十度六十度四十五度的三角函数值
三十度六十度四十五度的三角函数值示例文章篇一：哎呀呀，同学们，你们知道吗？数学里的三角函数可有意思啦！今天咱们就来聊聊三十度、六十度和四十五度的三角函数值。
先来说说三十度吧。
就像我们吃蛋糕，把一个直角三角形当成一个美味的蛋糕，直角是90 度，那三十度所对的直角边就是那个小小的一块。
如果斜边是2 份，那三十度所对的直角边就是1 份，另一条直角边就是根号3 份。
你说神奇不神奇？再看看六十度，这就像是一场跑步比赛。
斜边还是2 份，六十度所对的直角边就变成了根号3 份，而剩下的那条直角边就只有1 份啦。
难道不像跑得快慢不同的选手吗？最后是四十五度，这就像把蛋糕对半切开一样公平。
两条直角边都相等，如果斜边是根号2 份，那两条直角边就都是1 份。
你想想，要是没有这些三角函数值，咱们怎么能算出三角形的各种边长和角度呢？这不就像在黑暗中摸索，找不到方向嘛！我觉得啊，数学虽然有时候让人头疼，但搞清楚这些三角函数值，就像是找到了打开数学大门的钥匙，能让我们在数学的世界里畅行无阻！咱们可得好好记住它们，这样在解题的时候就能轻松应对啦！示例文章篇二：哎呀！说起这三十度、六十度、四十五度的三角函数值，可真是让我头疼了好一阵子呢！咱先来说说三十度吧。
老师在课堂上讲的时候，我就一直在想，这三十度到底有啥特别的？后来才知道，正弦值是二分之一。
这就好比，你有一块蛋糕，要平均分给两个人，每个人得到的就是二分之一，那这个二分之一就是三十度的正弦值啦！那余弦值呢，是二分之根号三。
这可不好理解，我就把它想象成一个三角形，斜边是2，邻边是根号3，这样是不是就有点感觉啦？再讲讲六十度。
六十度的正弦值是二分之根号三，这不就和三十度的余弦值反过来了嘛！难道这两个角度是在互相“捣乱”？六十度的余弦值是二分之一，和三十度的正弦值又反过来啦！这难道是数学世界里的“小玩笑”？还有四十五度，这可有趣啦！正弦值和余弦值都是二分之根号二。
这就像是一对双胞胎，长得一模一样，不分彼此。
九年级数学30°,45°,60°角的三角函数值
下面请同学们完成下表(用多媒体演示)。
30°，45°，60°角的三角函数值
sinα
cosα
tanα
30°
45°
60°
这个表格中的30°，45°，60°角的三角函数值需熟记，另一方面，要能够根据30°，45°，60°角的三角函数值，说出相应的锐角的大小。
教法设计
师生互动法
学法设计
自主探究，合作交流
教学程序设计
教材处理设计
师生活动设计
个案设计
创设问题情境，引入新课(5分钟)
自主探究，合作交流（20分钟）
[问题]为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①含30°和60°两个锐角的三角尺；②皮尺.请你设计一个测量方案，能测出一棵大树的高度。让一位同学拿着三角尺站在一个适当的位置B处，使这位同学拿起三角尺，她的视线恰好和斜边重合且过树梢C点，30°的邻边和水平方向平行，用卷尺测出AB的长度，BE的长度，因为DE=AB，所以只需在Rt△CDA中求出CD的长度即可。你能求出30°角的三个三角函数值吗？
教学程序设计
教材处理设计
师生活动设计
个案设计
巩固练习
(1)30°，45°，60°角的三角函数值。
sin30°=，sin45°=，sin60°=；
cos30°=，cos45°=，cos60°=；
tan30°=，tan45°=，tan60°=。
(2)随堂练习1
学生独立完成，教师验收教学效果。
课后延伸
巩固30°，45°，60°角的三角函数值，完成习题1、2题
(完整版)30度,45度,60度角的三角函数值
例题欣赏P151
行家看“门道”
例1 计算: (1)sin300+cos450; (2) sin2600+cos2600+tan450.
友情提示:
?怎样
解答
Sin2600表示(sin600)2, cos2600表示(cos600)2,其余类推.
随堂练习P162 计算: (1)sin600-cos450;
c
c
b
a
sin B b , cosB a , tan B b , cot B a .
c
c
a
b
A
B
c
a
┌
b
C
互余两角之间的三角函数关系
sinA=cosB tanA=cotB
cosA=sinB. cotA=tanB.
一个锐角的正弦,等于它的余
角的余弦(或一个锐角的余弦
B
等于它的余角的正弦);
c
一个锐角的正切,等于它 的余角
C
的余切等于它的余角的正
切);
互余两角之间的三角函数关系
一个锐角的正弦,等于它的余角的余弦(或一个锐角的余弦 等于它的余角的正弦);
一个锐角的正切,等于它的余角的余切(或一个锐角的余切 等于它的余角的正切);
sin 900 cos, cos 900 sin,
A
A
1.
b
C
灵活变换: sin2 A 1 cos2 A. 或sin A 1 cos2 A.
cos2 A 1 sin2 A. 或cosA 1 sin2 A.
随堂练习P128
同角之间的三角函数的关系
3.如图,在Rt△ABC中,∠C=900,∠A,∠B,∠C的对
解码专训一：巧用构造法求几种特殊角的三角函数值
在线分享文档解码专训一：巧用构造法求几种特殊角的三角函数值名师点金：对于30°、45°、60°角的三角函数值，我们都可通过定义利用特殊直角三角形三边的关系进行计算；而在实际应用中，我们常常碰到像15°、22.5°、67.5°等一些特殊角的三角函数值的计算，同样我们也可以构造相关图形，利用数形结合思想进行巧算．巧构造15°与30°角的关系的图形计算15°角的三角函数值 1．求sin 15°，cos 15°，tan 15°的值．巧构造22.5°与45°角的关系的图形计算22.5°角的三角函数值2．求tan 22.5°的值．巧用折叠法求67.5°角的三角函数值3．小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的点E 处，还原后，再沿过点E 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处，求出67.5°角的正切值．(第3题)巧用含36°角的等腰三角形中的相似关系求18°、72°角的三角函数值4．求sin 18°，cos 72°的值．巧用75°与30°角的关系构图求75°角的三角函数值5．求sin 75°，cos 75°，tan 75°的值．用科技让复杂让每个人平等地提升自己 解码专训二：巧用三角函数解学科内综合问题名师点金：锐角三角函数体现着一种新的数量关系——边角关系，锐角三角函数解直角三角形，既是相似三角形及函数的延续，又是继续学习三角形的基础，利用三角函数可解决与学科内的一次函数、反比例函数、相似三角形，一元二次方程等综合问题，也会应用到后面学习的圆的内容中，它的应用很广泛．)利用三角函数解与函数的综合问题1．如图，直线y ＝kx －1与x 轴、y 轴分别交于B ，C 两点，tan ∠OCB ＝12.(1)求点B 的坐标和k 的值；(2)若点A(x ，y)是第一象限内的直线y ＝kx －1上的一个动点，在点A 的运动过程中，试写出△AOB 的面积S 与x 的函数关系式．(第1题)2．如图，反比例函数y ＝k x (x ＞0)的图象经过线段OA 的端点A ，O 为原点，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，点B 的坐标为(2，0)，tan ∠AOB ＝32.(1)求k 的值；(2)将线段AB 沿x 轴正方向平移到线段DC 的位置，反比例函数y ＝k x (x ＞0)的图象恰好经过DC 的中点E ，求直线AE 对应的函数关系式；(3)若直线AE 与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ，请你探索线段AN 与线段ME 的数量关系，写出你的结论，并说明理由．(第2题)利用三角函数解与方程的综合问题3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边c＝5，两直角边的长a，b是关于x的一元二次方程x2－mx＋2m－2＝0的两个根，求Rt△ABC中较小锐角的正弦值．利用三角函数解与相似的综合4．如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是边AD上一点，连接FE并延长交BC的延长线于点G，连接BF，BE，且BE⊥FG. 地提升自己(1)求证：BF＝BG；(2)若tan∠BFG＝3，S△CGE＝63，求AD的长．(第4题)解码专训三：应用三角函数解实际问题的四种常见问题名师点金：在运用解直角三角形的知识解决实际问题时，要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题，要善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素(边、角)之间的关系，若不是直角三角形，应尝试添加辅助线，构造出直角三角形进行解答，这样才能更好地运用解直角三角形的方法求解．其中仰角、俯角的应用问题，方向角的应用问题，坡度、坡角的应用问题要熟练掌握其解题思路，把握解题关键．定位问题1．(2014·贺州)如图，一艘海轮在A点时测得灯塔C在它的北偏东42°方向上，它沿正东方向航行80海里后到达B处，此时灯塔C在它的北偏西55°方向上．(1)求海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离；(结果精确到0.1海里)(2)求海轮在B处时与灯塔C的距离(结果保留整数)．(参考数据：sin 55°≈0.819，cos 55°≈0.574，tan 55°≈1.428，tan 42°≈0.900，tan 35°≈0.700，tan 48°≈1.111)(第1题)坡坝问题2．如图，水坝的横断面是梯形，背水坡AB的坡角∠BAE＝45°，坝高BE ＝20米．汛期来临，为加大水坝的防洪强度，将坝底从A处向后水平延伸到F 处，使新的背水坡BF的坡角∠F＝30°，求AF的长度.(结果精确到1米，参考在线分享文档 数据：2≈1.414，3≈1.732) (第2题)测距问题3．一条东西走向的高速公路上有两个加油站A ，B ，在A 的北偏东45°方向上还有一个加油站C ，C 到高速公路的最短距离是30千米，B ，C 间的距离是60千米，想要经过C 修一条笔直的公路与高速公路相交，使两路交叉口P 到B ，C 的距离相等，请求出交叉口P 到加油站A 的距离．(结果保留根号)测高问题4．(2015·盐城)如图所示，一幢楼房AB 背后有一台阶CD ，台阶每层高0.2米，且AC ＝17.2米，设太阳光线与水平地面的夹角为α，当α＝60°时，测得楼房在地面上的影长AE ＝10米．现有一只小猫睡在台阶的MN 这层上晒太阳．(3取1.73)(1)求楼房的高度约为多少米？(2)过了一会儿，当α＝45°时，问小猫能否还可以晒到太阳？请说明理由．(第4题)解码专训四：利用三角函数解判断说理问题名师点金：利用三角函数解答实际中的“判断说理”问题：其关键是将实际问题抽象成数学问题，建立解直角三角形的数学模型，运用解直角三角形的知识来解决实际问题．航行路线问题1．如图，某货船以24海里/时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向上．该货船航行30分钟后到达B处，此时再测得该岛在北偏东30°的方向上，已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁．若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由．(第1题)工程规划问题2．A，B两市相距150千米，分别从A，B处测得国家级风景区中心C处的方位角如图所示，风景区区域是以C为圆心、45千米为半径的圆，tanα＝1.627，tanβ＝1.373.为了开发旅游，有关部门设计修建连接A，B两市的高速公路．问连接A，B两市的高速公路会穿过风景区吗？请说明理由．(第2题)航行拦截问题3．(2015·荆门)如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截，红方行驶1 000米到达C处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，刚好在D处成功拦截蓝方，求拦截点D处到公路的距离(结果不取近似值)．(第3题)台风影响问题用科技让复杂地提升自己4．如图所示，在某海滨城市O 附近海面有一股强台风，据监测，当前台风中心位于该城市的东偏南70°方向200 km 的海面P 处，并以20 km /h 的速度向北偏西65°的PQ 方向移动，台风侵袭的范围是一个圆形区域，当前半径为60 km ，且圆的半径以10 km /h 的速度不断扩大． (1)当台风中心移动4 h 时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到________km ；当台风中心移动t(h )时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到____________km ；(2)当台风中心移动到与城市O 距离最近时，这股台风是否会侵袭这座海滨城市？请说明理由．(参考数据：2≈1.41，3≈1.73)(第4题)解码专训五：解直角三角形中常见的热门考点名师点金：本章主要学习直角三角形的性质，锐角三角函数的定义，锐角三角函数值，解直角三角形，以及解直角三角形的实际应用，重点考查运用解直角三角形的知识解决一些几何图形中的应用和实际应用，是中考的必考内容．直角三角形的性质1．(2014·宁波)如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 中，点D 在CG 上，BC ＝1，CE ＝3，点H 是AF 的中点，那么CH 的长是( )A ．2.5B .5C .322D ．2(第1题)让每个人平等 (第2题)2．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝60°，D 是AC 上一点，DE ⊥AB于点E ，且CD ＝2，DE ＝1，则BC 的长为________．锐角三角函数的定义3．如图，∠AOB 是放置在正方形网格中的一个角，则cos ∠AOB 的值是________．(第3题)(第4题)4．如图，在矩形ABCD 中，E 为边CD 上一点，沿AE 折叠，点D 恰好落在BC 边上的F 点处，若AB ＝3，BC ＝5，则tan ∠EFC 的值为________．5．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝3，AC ＝15，AB 的垂直平分线ED 交BC 的延长线于D 点，垂足为E ，求sin ∠CAD 的值．(第5题)特殊角的三角函数值及其计算在线分享文档让每个人平等地提升自己6．在等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，那么sin A 等于( )A .12B .22C .32D ．17．若等腰三角形底边与底边上的高的比是23，则顶角为( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°8．计算：(cos 60°)－1÷(－1)2 016＋|2－8|－22＋1×(tan 30°－1)0.解直角三角形(第9题)9．如图是教学用的直角三角板，边AC ＝30 cm ，∠C ＝90°，tan ∠BAC ＝33，则边BC 的长为( )A ．30 3 cmB ．20 3 cmC ．10 3 cmD ．5 3 cm (第10题)10．(2014·大庆)如图，矩形ABCD 中，AD ＝2，F 是DA 延长线上一点，G 是CF 上一点，且∠ACG ＝∠AGC ，∠GAF ＝∠F ＝20°，则AB ＝________． 11．(2014·临沂)如图，在▱ABCD 中，BC ＝10，sin B ＝910，AC ＝BC ，则▱ABCD 的面积是________．(第11题)解直角三角形的实际应用12．(2015·南京)如图，轮船甲位于码头O的正西方向A处，轮船乙位于码头O的正北方向C处，测得∠CAO＝45°，轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它们的速度分别为45 km/h和36 km/h，经过0.1 h，轮船甲行驶至B处，轮船乙行驶至D处，测得∠DBO＝58°，此时B处距离码头O 多远？(参考数据：sin58°≈0.85，cos 58°≈0.53，tan 58°≈1.60)(第12题)三角函数与学科内的综合13．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，P是射线BC上的一个动点，过点P作PE⊥AP，交射线DC于点E，射线AE交射线BC于点F，设BP＝a.(1)当点P在线段BC上时(点P与点B，C都不重合)，试用含a的代数式表示CE的长；(2)当a＝3时，连接DF，试判断四边形APFD的形状，并说明理由；(3)当tan∠PAE＝12时，求a的值．(第13题)地提升自己用科技让复杂的世界变简单解直角三角形中思想方法的应用a ．转化思想14．如图所示，已知四边形ABCD ，∠ABC ＝120°，AD ⊥AB ，CD ⊥BC ，AB ＝303，BC ＝503，求四边形ABCD 的面积．(要求：用分割法和补形法两种方法求解)(第14题)b ．方程思想15．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，sin B ＝35，点D 是BC 上一点，DE ⊥AB 于点E ，CD ＝DE ，AC ＋CD ＝9，求BE ，CE 的长．(第15题)16．(中考·泰州)如图，为了测量山顶铁塔AE 的高，小明在27 m 高的楼CD 底部D 测得塔顶A 的仰角为45°，在楼顶C 测得塔顶A 的仰角为36°52′.已知山高BE 为56 m ，楼的底部D 与山脚在同一水平线上，求该铁塔的高AE.(参考数据：sin 36°52′≈0.60，tan 36°52′≈0.75)的世界变简单让每个人平等地提升自己 (第16题)答案解码专训一1．解：如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝30°，∠C ＝90°，延长CA 到D ，使AD ＝AB ，则∠D ＝15°，设BC ＝a ，则AB ＝2a ，AC ＝3a ，∴AD ＝2a ，CD＝(2＋3)a.在Rt △BCD 中，BD ＝BC 2＋CD 2＝a 2＋（7＋43）a 2＝(6＋2)a.∴sin 15°＝sin D ＝BC BD ＝a （6＋2）a ＝6－24； cos 15°＝cos D ＝CD BD ＝（2＋3）a （6＋2）a＝6＋24； tan 15°＝tan D ＝BC CD ＝a （2＋3）a＝2－ 3.(第1题)(第2题)2．解：如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，延长CA 到D ，使DA ＝AB ，则∠D ＝22.5°，设AC ＝BC ＝a ，则AB ＝2a ，∴AD ＝2a ，DC ＝(2＋在线分享文档用科技让复杂的世界变简单让每个人平等地提升自己1)a ，∴tan 22.5°＝tan D ＝BC CD ＝a （2＋1）a＝2－1. 3．解：∵将矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的点E 处，∴AB ＝BE ，∠AEB ＝∠EAB ＝45°，还原后，再沿过点E 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处，∴AE ＝EF ，∠EAF ＝∠EFA ＝45°÷2＝22.5°，∴∠FAB ＝67.5°. 设AB ＝x ，则AE ＝EF ＝2x ， ∴tan ∠FAB ＝tan 67.5°＝FB AB ＝2x ＋x x＝2＋1.(第4题)4．解：如图，作△ABC ，使∠BAC ＝36°，AB ＝AC ，使∠ABC 的平分线BD 交AC 于D 点，过A 作AE ⊥BC 于E 点，设BC ＝a ，则BD ＝AD ＝a ，由△ABC ∽△BCD 可得：AB BC ＝BC CD ，∴AB a ＝a AB －a ， 即AB 2－a·AB －a 2＝0，∴AB ＝5＋12a(负根舍去)，∴sin 18°＝sin ∠BAE ＝BE AB ＝5－14.∴cos 72°＝cos ∠ABE ＝BE AB ＝5－14.(第5题)5．解：方法1：利用第1题的图形求解．方法2：如图，作△ABD ，△ACD ，使得DC ＝DA ，∠DAB ＝30°，过点A 作AD ⊥BC 于D ，过B 作BE ⊥AC 于E ，则∠BAE ＝75°，设AD ＝DC ＝a ，则AC ＝2a ，BD ＝33a ，AB ＝233a ，∴BC ＝BD ＋CD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33＋1a.则CE ＝BE ＝BC·sin 45°＝6＋326a ，∴AE ＝AC －CE ＝32－66a ，∴sin 75°＝sin ∠BAE ＝cos 75°＝cos ∠BAE ＝AE AB ＝6－24，tan 75°＝tan ∠BAE ＝BE AE ＝2＋ 3.解码专训二1．解：(1)把x ＝0代入y ＝kx －1，得y ＝－1，∴点C 的坐标是(0，－1)，∴OC ＝1.在Rt △OBC 中，∵tan ∠OCB ＝OB OC ＝12，∴OB ＝12.∴点B 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0. 把B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的坐标代入y ＝kx －1，得12k －1＝0.解得k ＝2. (2)由(1)知直线AB 对应的函数关系式为y ＝2x －1，所以△AOB 的面积S 与x 的函数关系式是S ＝12OB·y ＝12×12(2x －1)＝12x －14.2．解：(1)∵点B 的坐标为(2，0)，tan ∠AOB ＝32，∴A 点的坐标为(2，3)，∴k ＝6.(2)易知点E 的纵坐标为32，代入y ＝6x 中，得点E 的横坐标为4，即点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，32，∵直线AE 过点A(2，3)，E ⎝⎛4，32，∴易得直线AE 对应的函数关系式为y ＝－34x ＋92. (3)结论：AN ＝ME.理由：在y ＝－34x ＋92中，令y ＝0可得x ＝6，令x ＝0可得y ＝92. ∴点M(6，0)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，92. 方法一：延长DA 交y 轴于点F ，则AF ⊥ON ，且AF ＝2，OF ＝3，∴NF ＝ON －OF ＝32.根据勾股定理可得AN ＝52.∵CM ＝6－4＝2，EC ＝32，∴根据勾股定理可得EM＝5 2，∴AN＝ME.方法二：连接OE，延长DA交y轴于点F，则AF⊥ON，且AF＝2，∵S△EOM ＝12OM·EC＝12×6×32＝92，S△AON＝12ON·AF＝12×92×2＝92，∴S△EOM＝S△AON.∵AN和ME边上的高相等，∴AN＝ME.3．解：∵a，b是方程x2－mx＋2m－2＝0的根，∴a＋b＝m，ab＝2m－2.在Rt△ABC中，由勾股定理，得a2＋b2＝c2，即a2＋b2＝52.∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝25，即m2－2(2m－2)＝25.解得m1＝7，m2＝－3.∵a，b是Rt△ABC的两条直角边的长，∴a＋b＝m＞0.即m＝－3不合题意，舍去．∴m＝7.当m＝7时，原方程为x2－7x＋12＝0.解得x1＝3，x2＝4.不妨设a＝3，b＝4，则∠A是最小的锐角，∴sin A＝ac＝35.即Rt△ABC中较小锐角的正弦值为3 5.4．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠DCG＝90°，∵点E是CD 的中点，∴DE＝CE.∵∠DEF＝∠CEG，∴△EDF≌△ECG，∴EF＝EG.∵BE⊥FG，∴BE是FG的中垂线，∴BF＝BG.(2)解：∵BF＝BG，∴∠BFG＝∠G，∴tan∠BFG＝tan G＝3，设CG＝x，则CE＝3x，∴S△CGE ＝32x2＝63，解得x＝23(负值舍去)，∴CG＝23，CE＝6，又易得EC2＝BC·CG，∴BC＝63，∴AD＝6 3.解码专训三1．解：(1)过C作AB的垂线，垂足为D，根据题意可得：∠ACD＝42°，∠BCD＝55°.设CD＝x海里，在Rt△ACD中，tan 42°＝ADCD，则AD＝x·tan 42°海里，在Rt△BCD中，tan 55°＝BDCD，则BD＝x·tan 55°海里．∵AB＝80海里，在线分享文档用科技让复杂的世界变简单让每个人平等地提升自己∴AD ＋BD ＝80海里，∴x·tan 42°＋x·tan 55°＝80，解得x ≈34.4，答：海轮在航行过程中与灯塔C 的最短距离约是34.4海里；(2)在Rt △BCD 中，cos 55°＝CD BC ，∴BC ＝CD cos 55°≈60(海里)，答：海轮在B 处时与灯塔C 的距离约是60海里．2．解：在Rt △ABE 中，∠BEA ＝90°，∠BAE ＝45°，BE ＝20米，∴AE ＝20米． 在Rt △BEF 中，∠BEF ＝90°，∠F ＝30°，BE ＝20米，∴EF ＝BE tan 30°＝2033＝203(米)． ∴AF ＝EF －AE ＝203－20≈20×1.732－20＝14.64≈15(米)．答：AF 的长度约是15米．3．解：分两种情况： (1)如图(1)，在Rt △BDC 中，CD ＝30千米，BC ＝60千米．sin B ＝CD BC ＝12，∴∠B ＝30°.∵PB ＝PC ，∴∠BCP ＝∠B ＝30°. ∴在Rt △CDP 中，∠CPD ＝∠B ＋∠BCP ＝60°，∴DP ＝CD tan ∠CPD＝30tan 60°＝103(千米)． 在Rt △ADC 中，∵∠A ＝ 45°，∴AD ＝DC ＝30千米．∴AP ＝AD ＋DP ＝(30＋103)千米． (第3题)(2)如图(2)，同法可求得DP ＝103千米，AD ＝30千米．∴AP ＝AD －DP ＝(30－103)千米．故交叉口P 到加油站A 的距离为(30±103)千米．用科技让复杂让每个人平等地提升自己点拨：本题运用了分类讨论思想，针对P 点位置分两种情况讨论，即P 可能在线段AB 上，也可能在BA 的延长线上．(第4题)4．解：(1)当α＝60°时，在Rt △ABE 中，∵tan 60°＝BA AE ＝BA 10，∴BA ＝10 tan 60°＝103≈10×1.73＝17.3(米)．即楼房的高度约为17.3米．(2)当α＝45°时，小猫仍可以晒到太阳．理由如下：如图，假设没有台阶，当α＝45°时，从点B 射下的光线与地面AD 的交点为点F ，与MC 的交点为点H. ∵∠BFA ＝45°，∴tan 45°＝BA AF ＝1. 此时的影长AF ＝BA ≈17.3米，所以CF ＝AF －AC ≈17.3－17.2＝0.1(米)，∴CH ＝CF ＝0.1米，∴楼房的影子落在台阶MC 这个侧面上．∴小猫仍能晒到太阳．解码专训四 1．解：若继续向正东方向航行，该货船无触礁危险．理由如下：过点C 作CD ⊥AB ，交AB 的延长线于点D.依题意，知AB ＝24×3060＝12(海里)，∠CAB ＝90°－60°＝30°，∠CBD ＝90°－30°＝60°.在Rt △DBC 中，tan ∠CBD ＝tan 60°＝CD BD ， ∴BD ＝33CD. 在Rt △ADC 中，tan ∠CAD ＝tan 30°＝CD AD ，∴AD ＝3CD.又∵AD ＝AB ＋BD ，在线分享文档用科技让复杂让每个人平等地提升自己∴3CD ＝12＋33CD ，得CD ＝63海里．∵63＞9，∴若继续向正东方向航行，该货船无触礁危险．技巧点拨：将这道航海问题抽象成数学问题，建立解直角三角形的数学模型．该货船有无触礁危险取决于岛C 到航线AB 的最短距离与9海里的大小关系，因此解决本题的关键在于求岛C 到航线AB 的距离．2．解：不会穿过风景区．理由如下：过C 作CD ⊥AB 于点D ，根据题意得：∠ACD ＝α，∠BCD ＝β，则在Rt △ACD 中，AD ＝CD·tan α，在Rt △BCD 中，BD ＝CD·tan β.∵AD ＋DB ＝AB ，∴CD·tan α＋CD·tan β＝AB ，∴CD ＝AB tan α＋tan β＝1501.627＋1.373＝1503＝50(千米)．∵50＞45，∴连接A ，B 两市的高速公路不会穿过风景区．(第3题)3．解：如图，过B 作AB 的垂线，过C 作AB 的平行线，两线交于点E ；过C 作AB 的垂线，过D 作AB 的平行线，两线交于点F ，则∠E ＝∠F ＝90°，拦截点D 处到公路的距离DA ＝BE ＋CF.在Rt △BCE 中，∵∠E ＝90°，∠CBE ＝60°，∴∠BCE ＝30°，∴BE ＝12BC ＝12×1 000＝500(米)；在Rt △CDF 中，∵∠F ＝90°，∠DCF ＝45°，CD ＝1 000米，∴CF ＝22CD ＝5002(米)． ∴DA ＝BE ＋CF ＝(500＋5002)米，即拦截点D 处到公路的距离是(500＋5002)米．4．解：(1)100；(60＋10t)(2)过点O 作OH ⊥PQ 于点H.在Rt △POH 中，∠OHP ＝90°，∠OPH ＝65°－(90°－70°)＝45°，OP ＝200 km ，∴OH ＝PH ＝OP·sin ∠OPH ＝200×sin 45°＝1002≈141(km )．设经过t h 时，台风中心从P 移动到H ，台风中心移动速度为20 km /h ，此时，受台风侵袭的圆形区域半径应为60＋10×52≈131(km )．台风中心在整个移动过程中与城市O 的最近距离OH ≈141 km ，而台风中心从P 移动到H 时受侵袭的圆形区域半径约为131 km ，131 km ＜141 km ，因此，当台风中心移动到与城市O 距离最近时，城市O 不会受到台风侵袭．解码专训五1．B 点拨：连接AC ，CF ，根据正方形性质分别求出AC ，CF 的长，由∠ACD ＝∠GCF ＝45°，得∠ACF ＝90°，然后利用勾股定理求出AF 的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．2.4333.224.435．解：设AD ＝x ，则BD ＝x ，CD ＝x －3，在Rt △ACD 中，(x －3)2＋(15)2＝x 2，解得x ＝4， ∴CD ＝4－3＝1 ∴sin ∠CAD ＝CD AD ＝14. 6．B 7.C8．解：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1÷1＋22－2－22＋1×1＝2＋22－2－(22－2) ＝2.9. C 10.6 11.181912．解：设B 处距离码头Ox km ，在Rt △CAO 中，∠CAO ＝45°，∵tan ∠CAO ＝COAO ， ∴CO ＝AO·tan ∠CAO ＝(45×0.1＋x)·tan 45°＝(4.5＋x) km ，在Rt △DBO 中，∠DBO ＝58°，∵DC ＝DO －CO ， ∴36×0.1＝x·tan 58°－(4.5＋x)， ∴x ＝36×0.1＋4.5tan 58°－1≈36×0.1＋4.51.60－1＝13.5.因此，B 处距离码头O 大约13.5 km .13．解：设CE ＝y ，(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ＝4，BC ＝AD＝5，∠B ＝∠BCD ＝∠D ＝90°.∵BP ＝a ，CE ＝y ，∴PC ＝5－a ，DE ＝4－y ，∵AP ⊥PE ，∴∠APE ＝90°，∠APB ＋∠CPE ＝90°，∵∠APB ＋∠BAP ＝90°，∴∠CPE ＝∠BAP ，∴△ABP ∽△PCE ，∴BP CE ＝ABPC ，∴y ＝－a 2＋5a 4，即CE ＝－a 2＋5a 4.(2)四边形APFD 是菱形，理由如下：当a ＝3时，y ＝－32＋5×34＝32，即CE＝32，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BF ，∴△AED ∽△FEC ，∴AD CF ＝DECE ，∴CF ＝3，∴PF ＝PC ＋CF ＝5.∴PF ＝AD ，∴四边形APFD 是平行四边形，在Rt △APB 中，AB ＝4，BP ＝3，∠B ＝90°，∴AP ＝5＝PF ， ∴四边形APFD 是菱形．(3)根据tan ∠PAE ＝12可得APPE ＝2，易得△ABP ∽△PCE ，∴BP CE ＝AB PC ＝AP PE ＝2，得a y ＝45－a ＝2或a y ＝4a －5＝2，解得a ＝3，y ＝1.5或a ＝7，y ＝3.5.∴a ＝3或7.14．解法1：如图①所示，过点B 作BE ∥AD 交DC 于点E ，过点E 作EF ∥AB 交AD 于点F ，则BE ⊥AB ，EF ⊥AD.∴四边形ABEF 是矩形．∴∠CBE ＝120°－90°＝30°，∠D ＝180°－120°＝60°.在Rt △BCE 中，BE ＝BC cos ∠CBE ＝503cos 30°＝50332＝100，EC ＝BC·tan ∠CBE ＝503×tan 30°＝503×33＝50. 在Rt △DEF 中，DF ＝EF tan D ＝AB tan 60°＝3033＝30.∴AD ＝AF ＋DF ＝BE ＋DF ＝100＋30＝130. ∴S四边形ABCD ＝S梯形ABED ＋S △BCE ＝12(AD ＋BE)·AB ＋12BC·EC ＝12×(130＋100)×303＋12×503×50＝4 700 3.用科技让复杂的世界变简单让每个人平等地提升自己(第14题)解法2：如图②所示，延长DA ，CB 交于点E ，则∠ABE ＝180°－∠ABC ＝60°，∠E ＝90°－∠ABE ＝30°. 在Rt △ABE 中，AE ＝AB·tan 60°＝303×3＝90， BE ＝AB cos 60°＝30312＝60 3.∴CE ＝BE ＋BC ＝603＋503＝110 3.在Rt △DCE 中，DC ＝CE·tan 30°＝1103×33＝110. ∴S四边形ABCD ＝S △DCE －S △ABE＝12DC·CE －12AB·AE ＝12×110×1103－12×303×90＝4 700 3.点拨：求不规则图形的面积要将其转化为直角三角形或特殊的四边形的面积来求．可适当添加辅助线，把不规则四边形分割为直角三角形和直角梯形求解；还可通过补图，把不规则四边形转化为直角三角形求解．15．解：∵sin B ＝35，∠ACB ＝90°，DE ⊥AB ，∴sin B ＝DE DB ＝AC AB ＝35.设DE ＝CD ＝3k(k ＞0)，则DB ＝5k. ∴CB ＝8k ，AC ＝6k ，AB ＝10k. ∵AC ＋CD ＝9，∴6k ＋3k ＝9.解得k ＝1. ∴DE ＝3，DB ＝5，∴BE ＝DB 2－DE 2＝52－32＝4. 过点C 作CF ⊥AB 于点F ，则CF ∥DE ，∴DE CF ＝BE BF ＝BD BC ＝58，∴CF ＝245，BF ＝325，∴EF ＝BF －BE ＝125.在Rt △CEF 中，CE ＝CF 2＋EF 2＝1255. 16．解：如图，过点C 作CF ⊥AB 于点F.(第16题)设塔高AE＝x m，由题意得EF＝BE－CD＝56－27＝29(m)，AF＝AE＋EF＝(x＋29)m. 在Rt△AFC中，∠ACF＝36°52′，AF＝(x＋29)m，则CF＝AFtan36°52′≈x＋290.75＝43x＋1163(m)，在Rt△ABD中，∠ADB＝45°，AB＝(x＋56)m，则BD＝AB＝(x＋56)m，∵CF＝BD，∴x＋56≈43x＋1163，解得x≈52.答：该铁塔的高AE约为52 m.用科技让复杂。
华师版数学九年级上册解码专训：特殊角的三角函数值
华师版数学九年级上册解码专训特殊角的三角函数值一、学习目标 自己求出30 ，45 ，60 的三角函数值，熟记并应用，熟练应用30 所对的直角边等于斜边的一半，及互余两角的三角函数的关系二、学习重点30 ，45 ，60 的三角函数值，及互余两角的三角函数的关系？三、自主预习1.知识回顾（1）锐角的正弦、余弦、正切、余切定义？（2）._______________cot tan _________,cos sin 22=•=+a a a a（_________tan )3=a （用表示）和a a cos sin2.自学课本90-91页，熟记并应用30 ，45 ，60 的三角函数值，时间7分钟。
（1）对于特殊角的三角函数值，可结合下图中的数据和各函数的定义来加以计算，从而记住结果：完成教材练习1题的表格（2）通过30 ，45 ，60 的三角函数值，在0 ～90 之间，一个锐角A 的正弦值（正切值）随角度变化如何变化？一个锐角A 的余弦值（余切值）随角度的增大（或减小）如何变化？四、合作探究同桌之间互相提问30 ，45 ，60 的三角函数值，达到不出错误为止；说说你对30 ，45 ，60 的三角函数值的记忆技巧？11 1 3 22五、巩固反馈(1)Sin60 -cos45 (2) cos60 +tan60 (3)sin30 +cos30(4)sin45 -cos30 (5)tan60 -tan302.在△ABC 中，∠A=30°，tanB=3，ＡＣ＝２3，求ＡＢ.3.如图，在△ABC 中，Ｄ是ＡＢ的中点，ＤＣ⊥ＡＣ，且tan ∠ＢＣＤ＝31， 求Sin Ａ、cos Ａ、tan Ａ的值.B ED A C。
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华师版数学九年级上册解码专训
2
3.1.3 30°，45°，60°角的三角函数值
教学目标
【知识与技能】
1.熟记30°、45°、60°角的三角函数值,并能根据这些值说出对应的锐角度数.
2.在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
【过程与方法】
1.培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.
2.培养学生观察、比较、分析、概括的能力.
【情感、态度与价值观】
经历观察、操作、归纳等学习数学的过程,感受数学思考过程的合理性,感受数学说理的必要性、说理过程的严谨性,养成科学、严谨的学习态度.
重点难点
【重点】
30°、45°、60°角的三角函数值.
【难点】
与特殊角的三角函数值有关的计算.
教学进程
一、复习巩固
教师多媒体课件出示:
如图所示:在Rt△ABC中,∠C=90°.
(1)a、b、c三者之间的关系是 ;
(2)sinA= ,cosA= ,
tanA= ;
sinB= ,cosB= ,
tanB= .
(3)若∠A=30°,则= .
学生回答.
二、共同探究,获取新知
1.引出新知
教师多媒体课件出示问题:
为了测量一棵大树的高度,准备了如下测量工具:(1)含30°和60°两个锐角的三角尺;(2)皮尺.请你设计一个测量方案,测出一棵大树的高度.
学生讨论,交流想法.
生:我们组设计的方案如下:
让一位同学拿着三角尺站在一个适当的位置B处,这位同学拿起三角尺,使她的视线恰好和斜边重合且过树梢C点,30°角的邻边和水平方向平行,用卷尺测出AB的长度、BE的长度,因为DE=AB,所以只需在Rt△CDA中求出CD的长度即可.
师:在Rt△ACD中,∠CAD=30°,AD=BE,BE是已知的,设BE=a米,则AD=a米,如何求CD呢?
生:含30°角的直角三角形有一个非常重要的性质:30°的角所对的直角边等于斜边的一半,即AC=2CD,根据勾股定理,得(2CD)2=CD2+a2.
解得,CD=a.
则树的高度即可求出.
师:我们前面学习了三角函数的定义,如果一个角的大小确定,那么它的正切、正弦、余弦值也随之确定,如果能求出30°角的正切值,在上图中,tan30°==,则CD=atan30°,岂不简单!你能求出30°角的三个三角函数值吗?
2.讲授新课.
(1)探索30°、45°、60°角的三角函数值.
师:观察一副三角尺,其中有几个锐角?它们分别等于多少度?
生:一副三角尺中有四个锐角,它们分别是30°、60°、45°、45°.
师:sin30°等于多少呢?你是怎样得到的?与同伴交流.。