2019高考数学一轮复习 12.4 二项分布与正态分布课件 理 新人教B版.ppt
高考数学第一轮复习：《二项分布与正态分布》
高考数学第一轮复习：《二项分布与正态分布》最新考纲1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念．2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布．3.借助直观直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．4.能解决一些简单的实际问题.【教材导读】1．条件概率和一般概率的关系是什么？提示：一般概率的性质对条件概率都适用，是特殊与一般的关系．2．事件A，B相互独立的意义是什么？提示：一个事件发生的概率对另一个事件发生的概率没有影响．3．在一次试验中事件A发生的概率为p，在n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率值为什么是C k n p k(1－p)n-k?提示：n次恰好发生k次，为C k n个互斥事件之和，每个互斥事件发生的概率为p k(1－p)k，故有上述结论．4．正态分布中最为重要的是什么？提示：概念以及正态分布密度曲线的对称性．1．条件概率及其性质条件概率的定义条件概率的性质一般地，设A，B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝P(AB)P(A)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率(1)0≤P(B|A)≤1；(2)若B、C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)2.事件的相互独立性(1)定义设A、B为两个事件，若P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．(2)与对立事件的关系如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也都相互独立．3．独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．(2)二项分布一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，设在每次试验中事件A发生的概率为p，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)．此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．4．两点分布与二项分布的均值、方差(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．5．正态分布(1)正态曲线的定义函数φμ，σ(x)＝12πσe－(x－μ)22σ2，x∈(－∞，＋∞)(其中实数μ和σ(σ>0)为参数)的图象(如图)为正态分布密度曲线，简称正态曲线．(2)正态曲线的特点①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；③曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π；④曲线与x轴之间的面积为1；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图(1)所示；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图(2)所示．(3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值①P(μ－σ <X≤μ＋σ)＝0.6826；②P(μ－2σ <X≤μ＋2σ)＝0.9544；③P(μ－3σ <X≤μ＋3σ)＝0.9974.【重要结论】1．P(A)＝a，P(B)＝b，P(C)＝c，则事件A，B.C至少有一个发生的概率为1－(1－a)(1－b)(1－c)．2．X～N(μ，σ)，若P(X<a)＝P(X>b)，则正态密度曲线关于直线x＝a＋b2对称．1．设随机变量ξ～N(2,4)，若P(ξ＞a＋2)＝P(ξ＜2a－3)，则实数a的值为()(A)1 (B)5 3(C)5 (D)9B解析：因为μ＝2，根据正态分布的性质得a＋2＋2a－32＝2，解得a＝53.2．已知随机变量X服从正态分布N(2,32)，且P(X≤1)＝0.30，则P(2<X<3)等于() (A)0.20 (B)0.50(C)0.70 (D)0.80A 解析：∵该正态密度曲线的对称轴方程为x ＝2， ∴P(X ≥3)＝P(X ≤1)＝0.30，∴P (1<X <3)＝1－P(X ≥3)－P(X ≤1)＝1－2×0.30＝0.40，∴P (2<X <3)＝12P (1<X <3)＝0.20. 3．设随机变量X 服从二项分布X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，12，则函数f(x)＝x 2＋4x ＋X 存在零点的概率是( )(A)56 (B)45 (C)3132(D)12C 解析： ∵函数f(x)＝x 2＋4x ＋X 存在零点， ∴Δ＝16－4X ≥0，∴X ≤4.∵X 服从X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，12，∴P(X ≤4)＝1－P(X ＝5)＝1－125＝3132.4．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长幼苗的概率为________．答案：0.725．在一次高三数学模拟考试中，第22题和23题为选做题，规定每位考生必须且只需在其中选做一题．设4名考生选做这两题的可能性均为12，则其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率为________．答案：12考点一 条件概率(1)某射击手射击一次命中的概率是0.7，两次均射中的概率是0.4，已知某次射中，则随后一次射中的概率是( )(A)710 (B)67 (C)47(D)25(2)把一枚硬币任意抛掷三次，事件A 为“至少一次出现反面”，事件B 为“恰有一次出现正面”，则P(B|A)＝________.解析：(1)设第一次射中为事件A 、随后一次射中为事件B ， 则P(A)＝0.7，P(AB)＝0.4，所以P(B|A)＝P (AB )P (A )＝0.40.7＝47. (2)由题意，知P(AB)＝323＝38，P(A)＝1－123＝78，所以P(B|A)＝P (AB )P (A )＝3878＝37.答案：(1)C (2)37【反思归纳】 (1)一般情况下条件概率的计算只能按照条件概率的定义套用公式进行，在计算时要注意搞清楚问题的事件含义，特别注意在事件A 包含事件B 时，AB ＝B.(2)对于古典概型的条件概率，计算方法有两种：可采用缩减基本事件全体的办法计算P(B|A)＝n (AB )n (A )；直接利用定义计算P(B|A)＝P (AB )P (A ). 【即时训练】 (1)在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次取到不合格品的概率为________．(2)某种家用电器能使用三年的概率为0.8，能使用四年的概率为0.4，已知某一这种家用电器已经使用了三年，则它能够使用到四年的概率是________．解析：(1)解法一 设事件A 为“第一次取到不合格品”，事件B 为“第二次取到不合格品”，则P(AB)＝C 55C 2100，所以P(B|A)＝P (AB )P (A )＝5×4100×995100＝499.解法二 第一次取到不合格产品后，也就是在第二次取之前，还有99件产品，其中有4件不合格的，因此第二次取到不合格品的概率为499.(2)记事件A 为这个家用电器使用了三年， 事件B 为这个家用电器使用到四年，显然事件B A ，即事件AB ＝B ，故P(A)＝0.8，P(AB)＝0.4， 所以P(B|A)＝P (AB )P (A )＝0.5. 答案：(1)499 (2)0.5考点二独立事件的概率甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响．(1)求甲获胜的概率；(2)求投篮结束时甲的投球次数ξ的分布列与期望．解析：设A k，B k分别表示“甲、乙在第k次投篮投中”，则P(A k)＝13，P(B k)＝12(k＝1,2,3)．(1)记“甲获胜”为事件C，由互斥事件与相互独立事件的概率计算公式知P(A3)＝13＋23×12×13＋(23)2×(12)2×13＝13＋19＋127＝1327.(2)ξ的所有可能取值为1,2,3，且P(ξ＝1)＝P(A1)＋P(A1B1)＝13＋23×12＝23，P(ξ＝2)＝P(A1B1A2)＋P(A1B1A2B2)＝23×12×13＋(23)2×(12)2＝29，P(ξ＝3)＝P(A1B1A2B2)＝(23)2×(12)2＝19.综上知，ξ的分布列为ξ 1 2 3P 232919所以E(ξ)＝1×23＋2×29＋3×19＝139.【反思归纳】概率计算的核心环节就是把一个随机事件进行类似本题的分拆，这中间有三个概念，事件的互斥，事件的对立和事件的相互独立，在概率的计算中只要弄清楚了这三个概念，根据实际情况对事件进行合理的分拆，就能把复杂事件的概率计算转化为一个个简单事件的概率计算，达到解决问题的目的．【即时训练】 某旅游景点，为方便游客游玩，设置自行车骑游出租点，收费标准如下：租车时间不超过2小时收费10元，超过2小时的部分按每小时10元收取(不足一小时按一小时计算)．现甲、乙两人独立来该租车点租车骑游，各租车一次．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为13，12；2小时以上且不超过3小时还车的概率分别为12，13，且两人租车的时间都不超过4小时．(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列． 解：(1)甲、乙所付费用可以为10元、20元、30元． 甲、乙两人所付费用都是10元的概率为 P 1＝13×12＝16，甲、乙两人所付费用都是20元的概率为 P 1＝12×13＝16，甲、乙两人所付费用都是30元的概率为 P 1＝1－13－12×1－12－13＝136故甲、乙两人所付费用相等的概率为 P ＝P 1＋P 2＋P 3＝1336.(2)随机变量ξ的取值可以为20,30,40,50,60. P(ξ＝20)＝12×13＝16P(ξ＝30)＝13×13＋12×12＝1336P(ξ＝40)＝12×13＋1－12－13×13＋1－13－12×12＝1136P(ξ＝50)＝12×1－12－13＋1－12－13×13＝536P(ξ＝60)＝1－12－13×1－12－13＝136 故ξ的分布列为：P16 1336 1136 536 136考点三 二项分布京剧是我国的国粹，是“国家级非物质文化遗产”，某机构在网络上调查发现各地京剧票友的年龄ξ服从正态分布N(μ，σ2)，同时随机抽取100位参与某电视台《我爱京剧》节目的票友的年龄作为样本进行分析研究(全部票友的年龄都在[30,80]内)，样本数据分布区间为[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]，由此得到如图所示的频率分布直方图．(1)若P(ξ<38)＝P(ξ>68)，求a ，b 的值；(2)现从样本年龄在[70,80]的票友中组织了一次有关京剧知识的问答，每人回答一个问题，答对赢得一台老年戏曲演唱机，答错没有奖品，假设每人答对的概率均为23，且每个人回答正确与否相互之间没有影响，用η表示票友们赢得老年戏曲演唱机的台数，求η的分布列及数学期望．解：(1)根据正态曲线的对称性，由P(ξ<38)＝P(ξ>68)，得μ＝38＋682＝53. 再由频率分布直方图得⎩⎪⎨⎪⎧(0.01＋0.03＋b ＋0.02＋a )×10＝1，0.1×35＋0.3×45＋10b ×55＋0.2×65＋10a ×75＝53， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.005，b ＝0.035.(2)样本年龄在[70,80]的票友共有0.05×100＝5(人)， 由题意η＝0,1,2,3,4,5，所以P(η＝0)＝C 05⎝ ⎛⎭⎪⎫1－235＝1243， P(η＝1)＝C 15⎝ ⎛⎭⎪⎫23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－234＝10243， P(η＝2)＝C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝⎛⎭⎪⎫1－233＝40243， P(η＝3)＝C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫233⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232＝80243， P(η＝4)＝C 45⎝ ⎛⎭⎪⎫234⎝ ⎛⎭⎪⎫1－231＝80243， P(η＝5)＝C 55⎝ ⎛⎭⎪⎫235＝32243， 所以η的分布列为η 012345 P1243 10243 40243 80243 8024332243所以E(η)＝0×1243＋1×10243＋2×40243＋3×80243＋4×80243＋5×32243＝103，或根据题设，η～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，23，P(η＝k )＝C k 5⎝ ⎛⎭⎪⎫23k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－235－k (k ＝0,1,2,3,4,5)， 所以E(η)＝5×23＝103.【反思归纳】 在实际问题中具体列出服从二项分布的随机变量的概率分布列对解决问题有直观作用，求解服从二项分布的随机变量的概率分布列和数学期望，只要按照公式计算即可．【即时训练】 某市为了调查学校“阳光体育活动”在高三年级的实施情况，从本市某校高三男生中随机抽取一个班的男生进行投掷实心铅球(重3 kg)测试，成绩在6.9米以上的为合格．把所得数所进行整理后，分成5组画出频率分布直方图的一部分(如图所示)，已知成绩在[9.9，11.4)的频数是4.(1)求这次铅球测试成绩合格的人数；(2)若从今年该市高中毕业男生中随机抽取两名，记ξ表示两人中成绩不合格的人数，利用样本估计总体，求ξ的分布列、均值与方差．解：(1)由频率分布直方图，知成绩在[9.9,11.4)的频率为1－(0.05＋0.22＋0.30＋0.03)×1.5＝0.1.因为成绩在[9.9,11.4)的频数是4，故抽取的总人数为40.1＝40.又成绩在6.9米以上的为合格，所以这次铅球测试成绩合格的人数为40－0.05×1.5×40＝37.(2)解法一 ξ的所有可能的取值为0,1,2，利用样本估计总体，从今年该市高中毕业男生中随机抽取一名成绩合格的概率为3740，成绩不合格的概率为1－3740＝340，可判断ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，340. P(ξ＝0)＝C 02×⎝ ⎛⎭⎪⎫37402＝13691600，P(ξ＝1)＝C 12×340×3740＝111800， P(ξ＝2)＝C 22×⎝ ⎛⎭⎪⎫3402＝91600，故所求分布列为X 0 12P13691600111800 91600ξ的均值为E(ξ)＝0×13691600＋1×111800＋2×91600＝320，ξ的方差为D(ξ)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－3202×13691600＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3202×111800＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－3202×91600＝111800.解法二 求ξ的分布列同解法一．ξ的均值为E(ξ)＝2×340＝320，ξ的方差为D(ξ)＝2×340×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－340＝111800.考点四 正态分布(1)在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N (4，σ2)(σ＞0)，若ξ在(0,4)内取值的概率为0.4，则ξ在(0，＋∞)内取值的概率为( )(A)0.2 (B)0.4 (C )0.8(D)0.9(2)已知三个正态分布密度函数f i (x)＝12πσi ·e －(x －μi )22σ2i (x ∈R ，i ＝1,2,3)的图象如图所示，则( )(A)μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＞σ3(B)μ1＞μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3(C)μ1＝μ2＜μ3，σ1＜σ2＝σ3(D)μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3(3)设随机变量ξ服从正态分布N(3,4)，若P(ξ＜2a－3)＝P(ξ＞a＋2)，则a的值为()(A)73(B)53(C)5 (D)3解析：(1)∵ξ服从正态分布N(4，σ2)(σ＞0)，∴曲线的对称轴是直线x＝4，∴ξ在(4，＋∞)内取值的概率为0.5.∵ξ在(0,4)内取值的概率为0.4，∴ξ在(0，＋∞)内取值的概率为0.5＋0.4＝0.9.(2)正态分布密度函数f2(x)和f3(x)的图像都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又f2(x)的对称轴的横坐标值比f1(x)的对称轴的横坐标值大，故有μ1＜μ2＝μ3.又σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图像可知，正态分布密度函数f1(x)和f2(x)的图像一样“瘦高”，φ3(x)明显“矮胖”，从而可知σ1＝σ2＜σ3.故选D.(3)因为ξ服从正态分布N(3,4)，且P(ξ＜2a－3)＝P(ξ＞a＋2)，所以2a－3＋a＋22＝3，解得：a＝73.故选A.答案：(1)D(2)D(3)A【反思归纳】(1)在计算服从正态分布的随机变量在特殊区间上的概率时要充分利用正态密度曲线的对称性，将所求的概率转化到我们已知区间上概率．(2)根据正态密度曲线的对称性，当P(ξ>x1)＝P(ξ<x2)时必然有x1＋x22＝μ.【即时训练】为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1 000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ，22)，且正态曲线如图所示．若体重大于58.5 kg小于等于62.5 kg属于正常情况，则这1 000名男生中体重属于正常情况的人数是()(A)997 (B)954(C)819 (D)683解析：由题意，可知μ＝60.5，σ＝2，故P(58.5＜X≤62.5)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝0.6826，从而体重属于正常情况的人数是1000×0.6826≈683.答案：D正态分布与二项分布的综合某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p<1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0.(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？审题指导满分展示：解：解答：(1)解：20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)＝C220p2·(1－p)18.因此f′(p)＝C220[2p(1－p)18－18p2(1－p)17]＝2C220p(1－p)17(1－10p)．令f′(p)＝0，得p＝0.1.当p∈(0,0.1)时，f′(p)>0；当p∈(0.1,1)时，f′(p)<0.所以f(p)的最大值点为p0＝0.1.(2)解：由(1)知，p＝0.1.①令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y～B(180,0.1)，X＝20×2＋25Y，即X＝40＋25Y.所以EX＝E(40＋25Y)＝40＋25EY＝490.②若对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费用为400元．由于EX>400，故应该对余下的产品作检验．命题意图：本题考查二项分布、数学期望等基础知识，考查综合运用概率统计知识分析问题和解决问题的能力．课时作业基础对点练(时间：30分钟)1．把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现正面”为事件B，则P(B|A)＝()(A)12 (B)14 (C)16(D)18A 解析：事件A 的概率为P (A )＝12，事件AB 发生的概率为P (AB )＝14，由公式可得P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1412＝12，选A. 2．已知ξ～N (3，σ2)，若P (ξ≤2)＝0.2，则P (ξ≤4)等于( ) (A)0.2 (B)0.3 (C)0.7(D)0.8D 解析：由ξ～N (3，σ2)，得μ＝3，则正态曲线的对称轴是x ＝3，所以P (ξ≤4)＝1－P (ξ≤2)＝0.8.故选D.3．若某人每次射击击中目标的概率均为35，此人连续射击三次，至少有两次击中目标的概率为( )(A)81125 (B)54125 (C)36125(D)27125A 解析：本题考查概率的知识．至少有两次击中目标包含仅有两次击中，其概率为C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫352⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35；若三次都击中，其概率为C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫353，根据互斥事件的概率公式可得，所求概率为P ＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫352⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＋C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫353＝81125，故选A. 4．端午节放假，甲回老家过节的概率为13，乙、丙回老家过节的概率分别为14，15.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为( )(A)5960 (B)35 (C)12(D)160B 解析：“甲、乙、丙回老家过节”分别记为事件A ，B ，C ，则P (A )＝13，P (B )＝14，P (C )＝15，所以P (A )＝23，P (B )＝34，P (C →)＝45.由题知A ，B ，C 为相互独立事件，所以三人都不回老家过节的概率P (A B C )＝P (A →)P (B )P (C →)＝23×34×45＝25，所以至少有一人回老家过节的概率P ＝1－25＝35.5．把一枚骰子连续掷两次，已知在第一次抛出的是偶数点的情况下，第二次抛出的也是偶数点的概率为( )(A)1 (B)12 (C)13(D)14B 解析：设事件A ：第一次抛出的是偶数点，B ：第二次抛出的是偶数点，则P (B |A )＝P (AB )P (A )＝12×1212＝12.故选B.6．将一枚硬币连掷5次，如果出现k 次正面的概率等于出现k ＋1次正面的概率，那么k 的值为( )(A)0 (B)1 (C)2(D)3C 解析：根据题意，本题为独立重复试验，由概率公式得：C k 512k ×125－k ＝C k ＋1512k ＋1×124－k ，解得k ＝2.故选C.7．某电脑配件公司的技术员对某种配件的某项功能进行检测，已知衡量该功能的随机变量X 服从正态分布N (2，σ2)且P (X ≤4)＝0.9，该变量X ∈(0,4)时为合格产品，则该产品是合格产品的概率为( )(A)0.1 (B)0.2 (C)0.9(D)0.8D 解析：∵P (X ≤4)＝0.9，∴P (X ＞4)＝1－0.9＝0.1，又此正态曲线关于直线x ＝2对称，故P (X ≤0)＝P (X ≥4)＝0.1，∴P (0＜X ＜4)＝1－P (X ≤0)－P (X ≥4)＝0.8，故该产品合格的概率为0.8，故选D. 8．已知随机变量X ～N (2,2)，若P (X ＞t )＝0.2，则P (X ＞4－t )＝( ) (A)0.1(B)0.2(C)0.7 (D)0.8D 解析：P (X ＞4－t )＝1－P (X ＜4－t )＝1－P (X ＞t )＝1－0.2＝0.8.故选D.9．我国的植树节定于每年的3月12日，是我国为激发人们爱林、造林的热情，促进国土绿化，保护人类赖以生存的生态环境，通过立法确定的节日．为宣传此活动，某团体向市民免费发放某种花卉种子．假设这种种子每粒发芽的概率都为0.99，若发放了10 000粒，种植后，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为________．解析：根据题意显然有X 2－B (10 000,0.01)，所以E (X2)＝10 000×0.01＝100，故E (X )＝200. 答案：20010．某高三毕业班的8次数学周练中，甲、乙两名同学在连续统计解答题失分的茎叶图如图所示．(1)比较这两名同学8次周练解答题失分的平均数和方差的大小，并判断哪位同学做解答题相对稳定些；(2)以上述数据统计甲、乙两名同学失分超过15分的频率作为概率，假设甲、乙两名同学在同一次周练中失分多少互不影响，预测在接下来的2次周练中，甲、乙两名同学失分均超过15分的次数X 的分布列和均值．解析：(1)x 甲＝18(7＋9＋11＋13＋13＋16＋23＋28)＝15，x 乙＝18(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15，s 2甲＝18[(－8)2＋(－6)2＋(－4)2＋(－2)2＋(－2)2＋12＋82＋132]＝44.75， s 2乙＝18[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25. 甲、乙两名同学解答题失分的平均数相等；甲同学解答题失分的方差比乙同学解答题失分的方差大．所以乙同学做解答题相对稳定些．(2)根据统计结果，在一次周练中，甲和乙失分超过15分的概率分别为P 1＝38，P 2＝12，两人失分均超过15分的概率为P 1P 2＝316， X 的所有可能取值为0,1,2 .依题意，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，316，P (X ＝k )＝C k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫316k ⎝ ⎛⎭⎪⎫13162－k，k ＝0,1,2， 则X 的分布列为：X 的均值E (X )＝2×316＝38.能力提升练(时间：15分钟)11．已知ξ～Bn ，12，η～Bn ，13，且E (ξ)＝15，则E (η)等于( ) (A)5 (B)10 (C)15(D)20 B 解析：因为ξ～Bn ，12， 所以E (ξ)＝n2， 又E (ξ)＝15，则n ＝30. 所以η～B 30，13，故E (η)＝30×13＝10.故选B.12．已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出一球，则两次都取到红球的概率是( )(A)1127 (B)1124 (C)827(D)924 C 解析：设“从1号箱取到红球”为事件A ，“从2号箱取到红球”为事件B . 由题意，P (A )＝42＋4＝23，P (B |A )＝3＋18＋1＝49，所以P (AB )＝P (B |A |)·P (A )＝49×23＝827，所以两次都取到红球的概率为827，故选C.13．设随机变量X－N(3，σ2)，若P(X＞m)＝0.3，则P(X＞6－m)＝________.解析：∵随机变量X～N(3，σ2)，∴P(X＞3)＝P(X＜3)＝0.5，∵P(X＞m)＝0.3，∴P(X＞6－m)＝P(X＜m)＝1－P(X＞m)＝1－0.3＝0.7.答案：0.714．某个部件由3个型号相同的电子元件并联而成，3个电子元件中有一个正常工作，该部件正常工作，已知这种电子元件的使用年限ξ(单位：年)服从正态分布，且使用年限少于3年的概率和多于9年的概率都是0.2，那么该部件能正常工作的时间超过9年的概率为________．解析：由P(0＜ξ＜3)＝P(ξ＞9)＝0.2，可得在9年内每个电子元件能正常工作的概率为0.2，因此在9年内这个部件不能正常工作的概率为0.83＝0.512，故该部件能正常工作的概率为1－0.512＝0.488.答案：0.48815．某市教育局为了了解高三学生体育达标情况，对全市高三学生进行了体能测试，经分析，全市学生体能测试成绩X服从正态分布N(80，σ2)(满分为100分)，已知P(X＜75)＝0.3，P(X≥95)＝0.1，现从该市高三学生中随机抽取3位同学．(1)求抽到的3位同学该次体能测试成绩在区间[80,85)，[85,95)，[95,100]内各有1位同学的概率；(2)记抽到的3位同学该次体能测试成绩在区间[75,85]内的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E(ξ)．解：(1)由题知，P(80≤X＜85)＝12－P(X＜75)＝0.2，P(85≤X＜95)＝0.3－0.1＝0.2，所以所求概率P＝A33×0.2×0.2×0.1＝0.024.(2)P(75≤X≤85)＝1－2P(X＜75)＝0.4，所以ξ服从二项分布B(3,0.4)，P(ξ＝0)＝0.63＝0.216，P(ξ＝1)＝3×0.4×0.62＝0.432，P (ξ＝2)＝3×0.42×0.6＝0.288，P (ξ＝3)＝0.43＝0.064， 所以随机变量ξ的分布列是ξ 0 1 2 3 P0.2160.4320.2880.064E (ξ)＝3×0.4＝1.2.16．某蛋糕店每天制作生日蛋糕若干个，每个生日蛋糕的成本为50元，然后以每个100元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的蛋糕作垃圾处理．现需决策此蛋糕店每天应该制作多少个生日蛋糕，为此搜集并整理了100天生日蛋糕的日需求量(单位：个)的数据，得到如图所示的柱状图，以100天记录的各需求量的频率作为每天各需求量发生的概率．(1)若蛋糕店一天制作17个生日蛋糕，(ⅰ)求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：个，n ∈N *)的函数解析式； (ⅱ)在当天的利润不低于750元的条件下，求当天需求量不低于18个的概率． (2)若蛋糕店计划一天制作16个或17个生日蛋糕，请你以蛋糕店一天利润的期望值为决策依据，判断应该制作16个还是17个？解：(1)(ⅰ)当n ≥17时y ＝17×(100－50)＝850； 当n ≤16时，y ＝50n －50(17－n )＝100n －850.所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧100n －850(n ≤16，n ∈N *)，850(n ≥17，n ∈N *).(ⅱ)设当天的利润不低于750元为事件A ，当天需求量不低于18个为事件B ， 由(ⅰ)得，日利润不低于750元等价于日需求量不低于16个，则P (A )＝710，P(B|A)＝P(AB)P(A)＝0.15＋0.13＋0.10.7＝1935.(2)蛋糕店一天应制作17个生日蛋糕，理由如下：若蛋糕店一天制作17个生日蛋糕，X表示当天的利润(单位：元)，X的分布列为E(X)＝550×0.1＋650×0.2＋750×0.16＋850×0.54＝764.若蛋糕店一天制作16个生日蛋糕，Y表示当天的利润(单位：元)，Y的分布列为：E(Y)＝600×0.1＋700×0.2＋800×0.7＝760.由以上的计算结果可以看出，E(X)＞E(Y)，即一天制作17个生日蛋糕的利润大于一天制作16个生日蛋糕的利润，所以蛋糕店一天应该制作17个生日蛋糕．。
人教B版高考总复习一轮数学精品课件 第十一章 第七节 二项分布、超几何分布、正态分布
而且P(X=k)= C pkqn-k ,k=0,1,…,n,
因此X的分布列如下表所示.
X
0
1
…
k
…
n
P
n0 p0qn
n1 p1qn-1
…
nk pkqn-k
…
nn pnq0
注意到上述 X 的分布列第二行中的概率值都是二项展开式
(q+p)n=C0 p0qn+C1 p1qn-1+…+C pkqn-k+…+C pnq0 中对应项的值,因此称 X 服
种取法,故恰有 1 件不合格品的概
C 13 C 497
率是 5 .
C 100
5. 如图,一个质点在随机外力的作用下,从原点出发.每隔1 s等可能地向左
或向右移动一个单位,共移动6次,则质点回到原点位置的概率
为
,质点位置与原点的距离不大于2的概率为
.
答案
5
16
25
32
解析 设 X 表示向右移动的次数,则
5
X 的可能取值有 0,1,2,3,
0 1 3 1
1 1 2 4
P(X=0)=C3 ( ) = ,P(X=1)=C3 ·( ) ·
5
125
5 5
3 4 3 64
P(X=3)=C3 ( ) = ,所以随机变量
5
125
X
0
1
125
P
4
E(X)=3×
5
=
12
.
5
=
12
,P(X=2)=C32
125
1 4 2 48
2
累计增加时间的随机变量为 Y2,则 Y2 的所有可能取值为 0,1,2,
高考数学(理)一轮复习配套讲义：-二项分布与正态分布
第5讲二项分布与正态分布[最新考纲]1．了解条件概率和两个事件相互独立的概念．2．理解n次独立重复试验的模型及二项分布．3．能解决一些简单的实际问题.知识梳理1．条件概率及其性质设A，B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝P ABP A为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)；事件A与B，A与B，A与B都相互独立．3．独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，若用A i(i＝1,2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…A n)＝P(A1)P(A2)P(A3)…P(A n)．(2)二项分布在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X 服从二项分布，记为X～B(n，p)，并称p为成功概率．4．正态分布(1)正态分布的定义及表示如果对于任何实数a ，b (a <b )，随机变量X 满足P (a <X ≤b )＝⎠⎛a b φμ，σ(x )d x ，则称随机变量X 服从正态分布，记为X ～N (μ，σ2)．函数φμ，σ(x )＝，x ∈R 的图象(正态曲线)关于直线x ＝μ对称，在x ＝μ处达到峰值1σ2π. (2)正态总体三个基本概率值 ①P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682_6. ②P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954_4. ③P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)＝0.997_4.辨 析 感 悟1．条件概率与相互独立事件的概率(1)若事件A ，B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )．(√)(2)P (B |A )表示在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率，P (AB )表示事件A ，B 同时发生的概率，一定有P (AB )＝P (A )·P (B )．(×)(3)(教材习题改编)袋中有5个小球(3白2黑)，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是0.5.(√)2．二项分布与正态分布(4)在正态分布函数φμ，σ(x )＝中，μ是正态分布的期望值，σ是正态分布的标准差．(√)(5)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k，k ＝0,1,2，…，n 表示的概率分布列，它表示了n 次独立重复试验中事件A 发生次数的概率分布．(√)(6)(2014·扬州调研改编)小王通过英语听力测试的概率是13，他连续测试3次，那么其中恰好第3次测试获得通过的概率是P ＝C 13·⎝ ⎛⎭⎪⎫131·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－133－1＝49.(×) [感悟·提升]1．古典概型中，A 发生的条件下B 发生的条件概率公式为P (B |A )＝P ABP A＝n AB n A ，其中，在实际应用中P (B |A )＝n ABn A 是一种重要的求条件概率的方法．2．P (A ·B )＝P (A )·P (B )只有在事件A 、B 相互独立时，公式才成立，此时P (B )＝P (B |A )，如(1)，(2)．3．判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：一是是否为n 次独立重复试验．在每次试验中事件A 发生的概率是否均为p . 二是随机变量是否为在这n 次独立重复试验中某事件发生的次数．且P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k 表示在独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率.考点一 条件概率【例1】 (1)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )等于( )． A.18 B.14 C.25 D.12(2)如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”， 则P (B |A )＝________.解析 (1)P (A )＝C 23＋C 22C 25＝410＝25，P (AB )＝C 22C 25＝110.由条件概率计算公式，得P (B |A )＝P ABP A＝110410＝14.(2)由题意可得，事件A 发生的概率P (A )＝S 正方形EFGH S 圆O ＝2×2π×12＝2π. 事件AB 表示“豆子落在△EOH 内”， 则P (AB )＝S △EOH S 圆O ＝12×12π×12＝12π. 故P (B |A )＝P ABP A＝12π2π＝14. 答案 (1)B (2)14规律方法 (1)利用定义，求P (A )和P (AB )，则P (B |A )＝P ABP A.(2)借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再求事件A 与事件B 的交事件中包含的基本事件数n (AB )，得P (B |A )＝n ABn A.【训练1】 已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则两次都取到红球的概率是( )． A.1127 B.1124 C.827D.924解析 设从1号箱取到红球为事件A ，从2号箱取到红球为事件B . 由题意，P (A )＝42＋4＝23，P (B |A )＝3＋18＋1＝49，∴P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝23×49＝827，所以两次都取到红球的概率为827.答案 C考点二 相互独立事件同时发生的概率【例2】 (2013·陕西卷改编)在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中选3名歌手．(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求“X ≥2”的事件概率． 审题路线 (1)甲选择3号和乙没选择3号是相互独立事件，利用相互独立事件概率乘法可求；(2)“X ≥2”表示事件“X ＝2”与“X ＝3”的和事件，根据互斥事件、相互独立事件的概率公式计算．解 (1)设A 表示事件“观众甲选中3号歌手”，B 表示事件“观众乙选中3号歌手”，则P (A )＝C 12C 23＝23，P (B )＝C 24C 35＝35.∵事件A 与B 相互独立，A 与B 相互独立．则A ·B 表示事件“甲选中3号歌手，且乙没选中3号歌手”． ∴P (A B )＝P (A )·P (B )＝P (A )·[1－P (B )]＝23×25＝415，(2)设C 表示事件“观众丙选中3号歌手”， 则P (C )＝C 24C 35＝35，依题意，A ，B ，C 相互独立，A ，B ，C 相互独立，且AB C ，A B C ，A BC ，ABC 彼此互斥．又P (X ＝2)＝P (AB C )＋P (A B C )＋P (A BC ) ＝23×35×25＋23×25×35＋13×35×35＝3375， P (X ＝3)＝P (ABC )＝23×35×35＝1875， ∴P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝3375＋1875＝1725. 规律方法 (1)解答本题关键是把所求事件包含的各种情况找出来，从而把所求事件表示为几个事件的和事件．(2)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有 ①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．②正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算．【训练2】 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为12与p ，且乙投球2次均未命中的概率为116. (1)求乙投球的命中率p ；(2)求甲投球2次，至少命中1次的概率．解 (1)设“甲投一次球命中”为事件A ，“乙投一次球命中”为事件B . 由题意得：P (B )P (B )＝116， 于是P (B )＝14或P (B )＝－14(舍去)．故p ＝1－P (B )＝34.所以乙投球的命中率为34.(2)法一 由题设知，P (A )＝12，P (A )＝12.故甲投球2次，至少命中1次的概率为 1－P (A ·A )＝1－P (A )P (A )＝34.法二 由题设知，P (A )＝12，P (A )＝12.故甲投球2次，至少命中1次的概率为 C 12P (A )P (A )＋P (A )P (A )＝34. 考点三 正态分布下的概率【例3】 已知随机变量X 服从正态分布N (2，σ2)，且P (X <4)＝0.8，则P (0<X <2)＝( )．A ．0.6B ．0.4C ．0.3D ．0.2 解析 由P (X <4)＝0.8， 得P (X ≥4)＝0.2，由题意知正态曲线的对称轴为直线x ＝2，P(X≤0)＝P(X≥4)＝0.2，∴P(0<X<4)＝1－P(X≤0)－P(X≥4)＝0.6，∴P(0＜X＜2)＝12P(0<X<4)＝0.3.答案C规律方法 (1)求解本题关键是明确正态曲线关于x＝2对称，且区间[0,4]也关于x＝2对称．(2)关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.【训练3】若在本例中，条件改为“已知随机变量X～N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.682 6，”求P(X>4)的值．解∵随机变量X～N(3,1)，∴正态曲线关于直线x＝3对称，由P(2≤X≤4)＝0.682 6，得P(X>4)＝12[1－P(2≤X≤4)]＝12(1－0.682 6)＝0.158 7.考点四独立重复试验与二项分布【例4】某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为16.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料．(1)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；(2)求中奖人数X的分布列．审题路线(1)甲、乙、丙各购买一瓶饮料是否中奖，相互独立，由相互独立事件同时发生的概率乘法公式，第(1)问可求；(2)依题意随机变量X服从二项分布，不难求出分布列．解(1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为A，B，C，且相互独立，那么A，B，C 相互独立．又P(A)＝P(B)＝P(C)＝1 6，∴P (A ·B ·C )＝P (A )P (B )P (C )＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫562＝25216，即甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为25216. (2)X 的可能取值为0,1,2,3，且X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，16，∴P (X ＝k )＝C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫16k ⎝ ⎛⎭⎪⎫563－k(k ＝0,1,2,3)． 则P (X ＝0)＝C 03·5363＝125216，P (X ＝1)＝C 13·5263＝2572，P (X ＝2)＝C 23·563＝572，P (X ＝3)＝C 3363＝1216，所以中奖人数X 的分布列为规律方法 (1)的一种试验，在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的．(2)求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，看复杂事件能转化为几个彼此互斥的事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后求概率．【训练4】 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和B ，系统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为110和p . (1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p 的值； (2)设系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量X ，求X 的概率分布列及数学期望E (X )．解 (1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C ，那么 1－P (C )＝1－110·p ＝4950，解得p ＝15. (2)由题意，P (X ＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎪⎫1103＝11 000， P (X ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎪⎫1102×⎝⎛⎭⎪⎫1－110＝271 000， P (X ＝2)＝C 23×110×⎝⎛⎭⎪⎫1－1102＝2431 000， P (X ＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎪⎫1－1103＝7291 000. 所以，随机变量X 的概率分布列为X 0 1 2 3 P11 000271 0002431 0007291 000E (X )＝0×11 000＋1×271 000＋2×2431 000＋3×7291 000＝2710.1．相互独立事件与互斥事件的区别相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为P (AB )＝P (A )P (B )．互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )．2．在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次可看做是C k n 个互斥事件的和，其中每一个事件都可看做是k 个A 事件与(n －k )个A 事件同时发生，只是发生的次序不同，其发生的概率都是p k(1－p )n －k.因此n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率为C k n p k (1－p )n －k. 3．若X 服从正态分布，即X ～N (μ，σ2)，要充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间的面积为1.易错辨析11——对二项分布理解不准致误【典例】 一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13. (1)设X 为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X 的分布列； (2)设Y 为这名学生在首次停车前经过的路口数，求Y 的分布列．解 (1)将通过每个交通岗看做一次试验，则遇到红灯的概率为13，且每次试验结果是相互独立的， 故X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫6，13.所以X 的分布列为P (X ＝k )＝C k 6⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫236－k，k ＝0,1,2,3,4,5,6. (2)由于Y 表示这名学生在首次停车时经过的路口数，显然Y 是随机变量，其取值为0,1,2,3,4,5,6.其中：{Y ＝k }(k ＝0,1,2,3,4,5)表示前k 个路口没有遇上红灯，但在第k ＋1个路口遇上红灯，故各概率应按独立事件同时发生计算． P (Y ＝k )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23k ·13(k ＝0,1,2,3,4,5)，而{Y ＝6}表示一路没有遇上红灯． 故其概率为P (Y ＝6)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫236，因此Y 的分布列为：[项分布解决，二项分布模型的建立是易错点；另外，对“首次停车前经过的路口数Y ”理解不当，将“没有遇上红灯的概率也当成13”．[防范措施] 独立重复试验中的概率公式P n (k )＝C k n p k (1－p )n －k表示的是n 次独立重复试验中事件A 发生k 次的概率，p 与(1－p )的位置不能互换，否则该式子表示的意义就发生了改变，变为事件A 有k 次不发生的概率了． 【自主体验】(2013·辽宁卷)现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．(1)求张同学至少取到1道乙类题的概率；(2)已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对每道甲类题的概率都是35，答对每道乙类题的概率都是45，且各题答对与否相互独立．用X 表示张同学答对题的个数，求X 的分布列和数学期望．解 (1)设事件A ＝“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有A ＝“张同学所取的3道题都是甲类题”．因为P (A )＝C 36C 310＝16，所以P (A )＝1－P (A )＝56.(2)X 所有的可能取值为0,1,2,3. P (X ＝0)＝C 02·⎝ ⎛⎭⎪⎫350·⎝ ⎛⎭⎪⎫252·15＝4125；P (X ＝1)＝C 12·⎝ ⎛⎭⎪⎫351·⎝ ⎛⎭⎪⎫251·15＋C 02⎝ ⎛⎭⎪⎫350·⎝ ⎛⎭⎪⎫252·45＝28125； P (X ＝2)＝C 22·⎝ ⎛⎭⎪⎫352·⎝ ⎛⎭⎪⎫250·15＋C 12·⎝ ⎛⎭⎪⎫351·⎝ ⎛⎭⎪⎫251·45＝57125； P (X ＝3)＝C 22·⎝ ⎛⎭⎪⎫352·⎝ ⎛⎭⎪⎫250·45＝36125. 所以X 的分布列为：所以E (X )＝0×125＋1×125＋2×125＋3×125＝2. 基础巩固题组一、选择题1．设随机变量X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫6，12，则P (X ＝3)的值是( )． A.316 B.516 C.716 D.58答案 B2．已知随机变量X 服从正态分布N (0，σ2)．若P (X >2)＝0.023，则P (－2≤X ≤2)＝( )．A ．0.477B ．0.628C ．0.954D ．0.977 答案 C3．(2014·湖州调研)国庆节放假，甲去北京旅游的概率为13，乙、丙去北京旅游的概率分别为14，15.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为( )． A.5960 B.35 C.12 D.160 答案 B4．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率为( )． A ．0.45 B ．0.6 C ．0.65 D ．0.75 答案 D5．(2013·湖北卷改编)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布N (800,502)的随机变量，记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p 0.则p 0的值为( )．(参考数据：若X ～N (μ，σ2)，有P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.997 4.) A ．0.954 4 B ．0.682 6 C ．0.997 4 D ．0.977 2 答案 D 二、填空题6．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为________．答案357．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________．答案0.1288．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________．答案0.72三、解答题9．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立．(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率；(2)求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．10．某公交公司对某线路客源情况统计显示，公交车从每个停靠点出发后，乘客人数及频率如下表：(1)(2)全线途经10个停靠点，若有2个以上(含2个)停靠点出发后乘客人数超过18人的概率大于0.9，公交公司就考虑在该线路增加一个班次，请问该线路需要增加班次吗？能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．设随机变量X 服从正态分布N (μ，σ2)，函数f (x )＝x 2＋4x ＋X 没有零点的概率是12，则μ＝( )．A ．1B ．4C ．2D ．不能确定解析 根据题意函数f (x )＝x 2＋4x ＋X 没有零点时，Δ＝16－4X <0，即X >4，根据正态密度曲线的对称性，当函数f (x )＝x 2＋4x ＋X 没有零点的概率是12时，μ＝4.答案 B2．口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{a n }：a n ＝⎩⎨⎧－1，第n 次摸取红球，1，第n 次摸取白球，如果S n 为数列{a n }的前n 项和，那么S 7＝3的概率为( )．A ．C 57⎝ ⎛⎭⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎫235B ．C 27⎝ ⎛⎭⎪⎫232·⎝ ⎛⎭⎪⎫135 C ．C 57⎝ ⎛⎭⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎫135 D ．C 37⎝ ⎛⎭⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎫235 解析 S 7＝3即为7次摸球中，有5次摸到白球，2次摸到红球，又摸到红球的概率为23，摸到白球的概率为13.故所求概率为P ＝C 27⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫135.答案 B 二、填空题3．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中．已知 小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12，则小球落入A 袋中的概率为________．解析 记“小球落入A 袋中”为事件A ，“小球落入B 袋中”为事件B ，则事件A 的对立事件为B ，若小球落入B 袋中，则小球必须一直向左落下或一直向右落下，故P (B )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝14，从而P (A )＝1－P (B )＝1－14＝34.答案34三、解答题4．(2013·山东卷)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的2 3.假设各局比赛结果相互独立．概率都是(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率．(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分、对方得1分．求乙队得分X 的分布列及数学期望． 解 (1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A 1，“甲队以3∶1胜利”为事件A 2，“甲队以3∶2胜利”为事件A 3，由题意知，各局比赛结果相互独立，故P (A 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827，P (A 2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝827， P (A 3)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝⎛⎭⎪⎫1－232×12＝427. 所以，甲队以3∶0胜利，以3∶1胜利的概率都为827，以3∶2胜利的概率为427. (2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A 4， 由题意知，各局比赛结果相互独立， 所以P (A 4)＝C 24⎝⎛⎭⎪⎫1－232⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝427.由题意知，随机变量X 的所有可能的取值为0,1,2,3， 根据事件的互斥性得P (X ＝0)＝P (A 1＋A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝1627， 又P (X ＝1)＝P (A 3)＝427， P (X ＝2)＝P (A 4)＝427，P (X ＝3)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)－P (X ＝2)＝327， ∴X 的分布列为16 27＋1×427＋2×427＋3×327＝79.∴E(X)＝0×。
正态分布(第1课时) 二项分布与正态曲线(课件)高二数学(人教B版2019选择性必修第二册)
1
在 y 轴左右两侧面积各占2， − ≤ ≤ 0 = 0 ≤ ≤ ，故 A、C、D 正确．
故选：ACD
04 课堂练习
四 课堂练习
【练习 1】函数() =
1
2π
e
−
− 2
2 2
(其中 < 0)的图象可能为（ ）
＝μ对称的区间上相等.
三、正态曲线与x轴所围的面积
【练习 3】
（多选）下图是正态分布 0,1 的正态曲线图，可以表示图中阴影部分面积的式子有
（
）
1
A．2 − ≤ −
1
C． ≤ − 2
1
B． ≤ 1 − − 2
1
D．2 − ≥
三、正态曲线与x轴所围的面积
高二数学
第三章 排列、组合和二项式定理
4.2.5 正态分布
第1课时 二项分布与正态曲线
高二选择性必修第二册（2019人教B版）
01 学习目标
01 学习目标
1.利用二项分布随机变量分布列的直观图，了解正态曲线的意义. （重点）
2.能借助正态曲线理解正态曲线的性质，明确正态曲线中参数μ，σ的意义
及其对正态曲线形状的影响. （难点）
03 新知探索
一、二项分布和正态曲线
1.二项分布分布列的直观图的特点：当n充分大时，随机变量X～B(n，p)
的直观表示总是具有中间高、两边低的性质.
1
2.正态曲线的解析式：φ(x)＝
·e
σ 2π
( x )2
2 2
, φ(x)的解析式中含有μ和σ两
DX
个参数，其中：μ＝E(X)，即X的均值；σ＝_______，即X的标准差.
【2019年高考一轮课程】理科数学 全国通用版二项分布和正态分布 教案
一、自我诊断 知己知彼1．已知随机变量X 服从正态分布()5,4N ，且()()4P kP k ξξ>=<-，则k 的值为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9【答案】B 【解析】∵()452k k -+=，∴7k =.故选B .2.袋中有5个小球(3白2黑)，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是0.5.( ) 【答案】√3．在4次独立重复试验中事件出现的概率相同．若事件A 至少发生1次的概率为6581，则事件A 在1次试验中出现的概率为( )A.13 B. 15 C. 5,6D.34【答案】A【解析】A 至少发生一次的概率为6581，事件A 都不发生的概率为465162181813⎛⎫-== ⎪⎝⎭，所以A 在一次试验中出现的概率为21133-= 4．由0,1组成的三位编号中，若用A 表示“第二位数字为0的事件”，用B 表示“第一位数字为0的事件”，则()|P A B ＝( )A.12 B. 14 C. 16 D. 18【答案】A【解析】因为第一位数字可为0或1，所以第一位数字为0的概率()12P B =，第一位数字为0且第二位数字也是0，即事件A ，B 同时发生的概率()111224P AB =⨯=所以()()()1|2P AB P A B P B ==5．将一枚硬币连续抛掷n 次，若使得至少有一次正面向上的概率不小于1516，则n 的最小值为________． 【答案】4【解析】由题意，1151216n⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，∴4n ≥，∴n 的最小值为4二、温故知新 夯实基础1．正态分布 1.1．正态曲线的性质(1)曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称； (3)曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π； (4)曲线与x 轴之间的面积为1；(5)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移，如图甲所示；(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．1.2．正态分布的三个常用数据 (1)()0.6826P X μσμσ-<<+=； (2) ()220.9544P X μσμσ-<<+=(3) ()330.9974P X μσμσ-<<+=2.条件概率及其性质3. 事件的相互独立1.设A 、B 为两个事件，如果P (AB )＝P (A )·P (B )，那么称事件A 与事件B 相互独立． 2．如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立． 4. 独立重复试验与二项分布 1．独立重复试验在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验，即若用i A (i ＝1,2，…，n )表示第i次试验结果，则)()()()()()()()()(321321321n n n A P A P A P A P A P A P A P A P A A A A P ==.2．二项分布在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k(k ＝0,1,2，…，n )，此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率．(1)A A A = ,φφ= A ,A A A = ，A A =φ . (2)φ=A C A U ，U A C A U = ，A A C C U U =)(.(3)φ=⇔⊇⇔=⇔=⇔⊆)(B C A B C A C B B A A B A B A U U U .三、典例剖析 思维拓展考点一 正态分布例1 为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X (kg)服从正态分布N (μ，22)，且正态曲线如图所示．若体重大于58.5 kg 小于等于62.5 kg 属于正常情况，则这1000名男生中体重属于正常情况的人数是( )A ．997B ．954C ．819D ．683【答案】D【解析】由题意，可知60.5,2μσ==，故()58.562.5P X <<＝()0.6826P X μσμσ-<<+=，从而体重属于正常情况的人数是1000×0.6826≈683. 考点二 条件概率例1.从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则()|P B A ＝( )A. 18B. 14C.25 D.12【答案】B【解析】()22322525C C P A C +==，又，则()()2225110C P AB P B C ===，所以()()()1|4P A B P B A P A ==例2.从1,2,3,4,5中不放回地依次取2个数，事件A 为“第一次取到的是奇数”，事件B 为“第二次取到的是奇数”，求()|P B A 的值． 【答案】12【解析】从1,2,3,4,5中不放回地依次取2个数，有25A 种方法；其中第一次取到的是奇数，有1413A A 种方法；第一次取到的是奇数且第二次取到的是奇数，有1213A A 12种方法．则53)(251413==A A A A P ，103)(251213==A A A AB P ， ∴21)()()(==A P AB P A B P .考点三 相互独立事件的概率例1.从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14.(1)记X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望； (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率． 【答案】1312；1148【解析】 (1)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3.41411311211)0(=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-==X P ，2411413112114113121141131121)1(=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯==X P ，41411312141311214131211)2(=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-==X P ，()1111323424P X ==⨯⨯=. 所以随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望()111112012342442413E X =⨯+⨯+⨯+⨯= (2)设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为()()()10,11,0P Y Z P Y Z P Y Z +====+== ()()()()0110P Y P Z P Y P Z ===+==1111111142424448=++⨯= 所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148. 考点四 独立重复试验与二项分布例1.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球．在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列及期望．【答案】(1)710；（2）略.【解析】(1)记事件1A ＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}，2A ＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}，1B ＝{顾客抽奖1次获一等奖}，2B ＝{顾客抽奖1次获二等奖}，C ＝{顾客抽奖1次能获奖}．由题意，1A 与2A 相互独立，21A A 与21A A 互斥，1B 与2B 互斥，且211A A B =，21212A A A A B +=，21B B C +=.因为52)(1=A P ，21)(2=A P ，所以512152)()()()(21211=⨯===A P A P A A P B P ， 2152121152)()()()()()()()(2121212121212=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=+=+=+=A P A P A P A P A A P A A P A A A A P B P .故所求概率为)()()()(2121B P B P B B P C P +=+==15＋12＝710.(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为15，所以)51,3(~B X .于是125645451)0(303=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C X P ， 125485451)1(2113=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛==C X P125125451)2(1223=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C X P . 12515451)3(0333=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C X P . 故X 的分布列为例2.一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13.(1)设X 为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X 的分布列； (2)设Y 为这名学生在首次停车前经过的路口数，求Y 的分布列．【解析】(1)将通过每个交通岗看作一次试验，则遇到红灯的概率为13，且每次试验结果是相互独立的，故⎪⎭⎫ ⎝⎛31,6~B X . 所以X 的分布列为(2)由于0,1,2,3,4,5,6.其中：{Y ＝k }(k ＝0,1,2,3,4,5)表示前k 个路口没有遇上红灯，但在第k ＋1个路口遇上红灯，故各概率应按独立事件同时发生计算．3132)(⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛==kk Y P (k ＝0,1,2,3,4,5)，而{Y ＝6}表示一路没有遇上红灯．故其概率为632)6(⎪⎭⎫⎝⎛==Y P ，因此Y 的分布列为四、举一反三 成果巩固考点一 正态分布1.某省实验中学高三共有学生600人，一次数学考试的成绩(试卷满分150分)服从正态分布N (100，σ2)，统计结果显示学生考试成绩在80分到100分之间的人数约占总人数的13，则此次考试成绩不低于120分的学生约有________人． 【答案】100【解析】∵数学考试成绩()2~100,N ξσ，作出正态分布图象，可以看出，图象关于直线x ＝100对称．显然()()1801001001203P P ξξ<<=<<=；∴()()80120P P ξξ<=>．又∵()()1801203P P ξξ<+>=，∴()11206P ξ>=， ∴成绩不低于120分的学生约为600×16＝100(人)．2、已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布()20,3N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )(附：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，()220.9544P X μσμσ-<<+=.)A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%【答案】B 【解析】由正态分布N (0,32)，可知ξ落在(3,6)内的概率为P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)－P (μ－σ<ξ<μ＋σ)2＝95.44%－68.26%2＝13.59%.3、若随机变量ξ服从正态分布N (0,1)，已知P (ξ<－1.96)＝0.025，则P (|ξ|<1.96)＝( )A ．0.025B ．0.050C ．0.950D ．0.975【答案】C【解析】由随机变量ξ服从正态分布N (0,1)，得P (ξ<1.96)＝1－P (ξ≤－1.96)，所以P (|ξ|<1.96)＝P (－1.96<ξ<1.96)＝P (ξ<1.96)－P (ξ≤－1.96)＝1－2P (ξ≤－1.96)＝1－2P (ξ<－1.96)＝1－2×0.025＝0.950.考点二 条件概率1、从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为奇数”，则P (B |A )＝ 【答案】34【解析】P (A )＝252223C C C +＝25，P (B )＝2523C C ＝310，又A ⊇B ，则P (AB )＝P (B )＝310，所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝P (B )P (A )＝34.2、在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率为________． 【答案】499【解析】解法一：设A ＝{第一次取到不合格品}，B ＝{第二次取到不合格品}，则210025)(C C AB P =，所以99410059910045)()()(=⨯⨯==A P AB P A B P . 解法二：第一次取到不合格品后还剩余99件产品，其中有4件不合格品，故第二次取到不合格品的概率为499.3、有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，求这粒种子能成长为幼苗的概率． 【答案】0.72【解析】设种子发芽为事件A ，种子成长为幼苗为事件AB (发芽，又成活为幼苗)，出芽后的幼苗成活率为P (B |A )＝0.8，P (A )＝0.9， 由P (B |A )＝P (AB )P (A )，得 P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝0.9×0.8＝0.72. 故这粒种子成长为幼苗的概率为0.72.考点三 相互独立事件的概率1、某中学为丰富教职工生活，国庆节举办教职工趣味投篮比赛，有A ，B 两个定点投篮位置，在A 点投中一球得2分，在B 点投中一球得3分．规则是：每人投篮三次按先A 后B 再A 的顺序各投篮一次，教师甲在A 和B 点投中的概率分别是12和13，且在A ，B 两点投中与否相互独立．(1)若教师甲投篮三次，求教师甲投篮得分X 的分布列；(2)若教师乙与教师甲在A ，B 投中的概率相同，两人按规则各投三次，求甲胜乙的概率．【答案】（1）略；（2）1948【解析】(1)根据题意知X 的可能取值为0,2,3,4,5,7，61311211)0(2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-==X P ，3131121121)2(12=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯==C X P ，12121131211)3(=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-==X P ， 612131121)4(=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯==X P ， 613121121)5(12=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯==C X P ，P (X ＝7)＝12×13×12＝112，∴教师甲投篮得分X 的分布列为(2)此互斥，因此，所求事件的概率为P ＝13×16＋112×⎪⎭⎫ ⎝⎛+3161＋16×⎪⎭⎫ ⎝⎛++1213161＋16×⎪⎭⎫ ⎝⎛+++611213161＋112×⎪⎭⎫ ⎝⎛-1211＝1948. 考点四 独立重复试验与二项分布1、某工厂有两条相互不影响的生产线分别生产甲、乙两种产品，产品出厂前需要对产品进行性能检测．检测得分低于80的为不合格品，只能报废回收；得分不低于80的为合格品，可以出厂．现随机抽取这两种产品各60件进行检测，检测结果统计如下：(2)生产1件甲种产品，若是合格品，可盈利100元，若是不合格品，则亏损20元；生产1件乙种产品，若是合格品，可盈利90元，若是不合格品，则亏损15元．在(1)的前提下：①记X 为生产1件甲种产品和1件乙种产品所获得的总利润，求随机变量X 的分布列； ②求生产5件乙种产品所获得的利润不少于300元的概率． 【答案】（1）略；（2）112243【解析】甲种产品为合格品的概率约为4560＝34，乙种产品为合格品的概率约为4060＝23.①随机变量X 的所有可能取值为190,85,70，－35， 且P (X ＝190)＝34×23＝12，P (X ＝85)＝34×13＝14，P (X ＝70)＝14×23＝16，P (X ＝－35)＝14×13＝112.所以随机变量X 的分布列为②设生产的5则不合格品有(5－n )件， 依题意得，90n －15(5－n )≥300，解得n ≥257，又因为0≤n ≤5，且n 为整数，所以n ＝4或n ＝5，设“生产5件乙种产品所获得的利润不少于300元”为事件A ，则5445323132)(⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=C A P =112243.2、为了检验某大型乒乓球赛男子单打参赛队员的训练成果，某校乒乓球队举行了热身赛，热身赛采取7局4胜制(即一场比赛先胜4局者为胜)的规则．在队员甲与乙的比赛中，假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立．(1)求甲在5局以内(含5局)赢得比赛的概率；(2)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和数学期望． 【答案】（1）112243【解析】(1)由题意得，甲在5局以内(含5局)赢得比赛的概率2431123132324144=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=C P . (2)由题意知，X 的所有可能取值为4,5,6,7，且81173132)4(44=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛==X P ，27831323132)5(414414=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛==C C X P ，72920031323132)6(42252425=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛==C C X P ， 72916031323132)7(43363436=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛==C C X P . 所以X 的分布列为E (X )＝4×1781＋5×827＋6×200729＋7×160729＝4012729.五、分层训练 能力进阶【基础达标】1、已知随机变量X 服从正态分布N (3,1)，且P (2≤ξ≤4)＝0.6826，则P (ξ>4)＝( ) A ．0.1588 B ．0.1587 C ．0.1586 D ．0.1585【答案】B【解析】由正态曲线性质知，其图象关于直线x ＝3对称，∴P (ξ>4)＝2)42(1≤≤-ξP ＝0.5－12×0.6826＝0.1587.故选B .2、甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为( )A ．0.12B ．0.42C ．0.46D ．0.88【答案】 D【解析】 因为甲、乙两人是否被录取相互独立，又因为所求事件的对立事件为“两人均未被录取”，由对立事件和相互独立事件概率公式，知P ＝1－(1－0.6)(1－0.7)＝1－0.12＝0.88.3、投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )A ．0.648B ．0.432C ．0.36D ．0.312【答案】A【解析】3次投篮投中2次的概率为P (k ＝2)＝23C ×0.62×(1－0.6)，投中3次的概率为P (k ＝3)＝0.63，所以通过测试的概率为P (k ＝2)＋P (k ＝3)＝23C ×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.故选A .4、如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则(1)P (A )＝________； (2)P (B |A )＝________. 【答案】(1)2π (2)14【解析】 本题为几何概型，圆的半径为1，正方形的边长为2，∴圆的面积为π，正方形面积为2，扇形面积为π4.P (A )＝2π，P (AB )＝圆SS EOH ∆＝12π，∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝12π2π＝14.5、一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n .如果n ＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n ＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立．(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X (单位：元)，求X 的分布列． 【答案】（1）364【解析】(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件1A ，第一次取出的4件产品全是优质品为事件2A ，第二次取出的4件产品都是优质品为事件1B ，第二次取出的1件产品是优质品为事件2B ，这批产品通过检验为事件A ，依题意有)()(2211B A B A A =，且11B A 与22B A 互斥，所以P (A )＝P (A 1B 1)＋P (A 2B 2)＝P (A 1)P (B 1|A 1)＋P (A 2)P (B 2|A 2)＝416×116＋116×12＝364. (2)X 可能的取值为400,500,800，并且 P (X ＝400)＝1－416－116＝1116，P (X ＝500)＝116，P (X ＝800)＝14.所以X 的分布列为【能力提升】1、已知服从正态分布N (μ，σ2)的随机变量在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)和(μ－3σ，μ＋3σ)内取值的概率分别为68.3%,95.4%和99.7%.某校为高一年级1000名新生每人定制一套校服，经统计，学生的身高(单位：cm )服从正态分布(165,52)，则适合身高在155～175 cm 范围内的校服大约要定制( )A ．683套B ．954套C ．972套D ．997套【答案】B【解析】P (155<ξ<175)＝P (165－5×2<ξ<165＋5×2)＝P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.4%.因此服装大约定制1000×95.4%＝954套．故选B .2、设事件A 在每次试验中发生的概率相同，且在三次独立重复试验中，若事件A 至少发生一次的概率为6364，则事件A 恰好发生一次的概率为( )A.14B.34C.964D.2764【答案】 C【解析】 假设事件A 在每次试验中发生说明试验成功，设每次试验成功的概率为p ，由题意得，事件A 发生的次数X ～B (3，p )，则有1－(1－p )3＝6364，得p ＝34，则事件A 恰好发生一次的概率为21343143⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯C ＝964.3、某人一周晚上值班2次，在已知他周日一定值班的条件下，他在周六晚上值班的概率为________． 【答案】 16【解析】 设事件A 为“周日值班”，事件B 为“周六值班”，则2716)(C C A P =，271)(C AB P =，故P (B |A )＝P (AB )P (A )＝16. 4、某公司甲、乙、丙三位员工参加某项专业技能测试，每人有两次机会，当且仅当第一次不达标时进行第二次测试．根据平时经验，甲、乙、丙三位员工每次测试达标的概率分别为12，23，12，各次测试达标与否互不影响． (1)求甲、乙两位员工均需测试两次才达标的概率；(2)记甲、乙、丙三位员工中达标的人数为X ，求X 的分布列和数学期望． 【答案】(1)118;(2)略【解析】(1)甲员工需测试两次才达标的概率为4121211=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-； 乙员工需测试两次才达标的概率为9232321=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-. 因为各次测试达标与否互不影响，所以甲、乙两位员工均需测试两次才达标的概率为14×29＝118.(2)由题意可知，甲员工测试达标的概率为12＋⎪⎭⎫ ⎝⎛-211×12＝34，乙员工测试达标的概率为23＋⎪⎭⎫ ⎝⎛-321×23＝89，丙员工测试达标的概率为12＋⎪⎭⎫ ⎝⎛-211×12＝34.随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3.1441431981431)0(=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-==X P ， 14414439814314319843143198143)1(=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯==X P ＝772，439843143981434319843)2(⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯==X P ＝57144＝1948， P (X ＝3)＝34×89×34＝72144＝12.所以随机变量X 的分布列为E (X )＝0×1144＋1×772＋2×1948＋3×12＝4318。
2019版理科数学一轮复习高考帮课件第13章第4讲 二项分布及其应用、正态分布(2019高考帮·数理)精选ppt版
【高考帮·理科数学】第十三章：概 率
第四讲 二项分布及其应用、正态分布
2019版《高考帮》配套PPT课件
考情精解读 考纲解读
目录
CONTENTS
命题规律
命题分析预测
考点1 二项分布及其应用 考点2 正态分布
2019版《高考帮》配套PPT课件
理科数学 第十三章：概 率
2019版《高考帮》配套PPT课件
理科数学 第十三章：概 率
考点1 二项分布及其应用 考点2 正态分布
2019版《高考帮》配套PPT课件
考点1 二项分布及其应用（重点）
2019版《高考帮》配套PPT课件
理科数学 第十三章：概 率
名师提醒 互斥事件与相互独立事件的相同点与不同点 (1)相同点,二者都是描述两个事件间的关系; (2)不同点,互斥事件强调两事件不可能同时发生,即P(AB)=0,相互独立事件 则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.
考题取样
2017全国Ⅱ,T13
1.二项分布及 2015全国Ⅰ,T4
其应用
2016全国Ⅱ,T18(Ⅱ)
2014全国Ⅱ,T5
2.正态分布
2017全国Ⅰ,T19 2014全国Ⅰ,T18(Ⅱ)
考查内容（对应考法） 求二项分布的方差(考法3) 相互独立事件的概率(考法2)
条件概率的计算(考法1)
正态分布、二项分布的概念和性质,概 率的计算以及数学期望(考法3,4) 利用正态分布求概率(考法4)
答案 C
理科数学 第十三章：概 率
点评 解题时画草图是解决此类问题的一个很好的辅助手段,画图时一定 要注意正态曲线的对称性.
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新人教版高中数学一轮复习二项分布、超几何分布、正态分布培优课件
( √ )
(3)n 重伯努利试验中各次试验的结果相互独立.
( √ )
(4)正态分布是对连续型随机变量而言的.
( √ )
10
目录
2.(2022 年新高考全国Ⅱ卷)已知随机变量 X 服从正态分布 N(2,σ2),且 P(2<X≤2.5)=0.36,则
P(X>2.5)= 0.14
.
[解析] 由题意可知,P(X>2)=0.5,故 P(X>2.5)=P(X>2)-P(2<X≤2.5)=0.5-
A 发生的次数,则 X 的分布列为 P(X=k)=③
C pk(1-p)n-k
,k=0,1,2,…,n.
如果随机变量 X 的分布列具有上式的形式,则称随机变量 X 服从二项分布,记作
④
X~B(n,p)
.
5
目录
二、两点分布与二项分布的均值、方差
1.若随机变量 X 服从两点分布,则 E(X)=p,D(X)=⑤
(k=0,1,2,3),
9 9
X 的分布列为
0
64
729
X
P
5
9
1
80
243
2
100
243
3
125
729
5
3
所以 E(X)=3× = .
25
目录
【讲练互动】
例3
考点二 超几何分布
(2023·芜湖模拟)为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组
队参加.现有来自甲协会的运动员 3 名,其中种子选手 2 名,乙协会的运动员 5 名,其中种子
独立的;(3)该公式表示 n 次试验中事件 A 恰好发生了 k 次的概率.
【2019年高考一轮课程】理科数学 全国通用版二项分布和正态分布 教案
一、自我诊断 知己知彼1．已知随机变量X 服从正态分布()5,4N ，且()()4P kP k ξξ>=<-，则k 的值为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9【答案】B 【解析】∵()452k k -+=，∴7k =.故选B .2.袋中有5个小球(3白2黑)，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是0.5.( ) 【答案】√3．在4次独立重复试验中事件出现的概率相同．若事件A 至少发生1次的概率为6581，则事件A 在1次试验中出现的概率为( )A.13 B. 15 C. 5,6D.34【答案】A【解析】A 至少发生一次的概率为6581，事件A 都不发生的概率为465162181813⎛⎫-== ⎪⎝⎭，所以A 在一次试验中出现的概率为21133-= 4．由0,1组成的三位编号中，若用A 表示“第二位数字为0的事件”，用B 表示“第一位数字为0的事件”，则()|P A B ＝( )A.12 B. 14 C. 16 D. 18【答案】A【解析】因为第一位数字可为0或1，所以第一位数字为0的概率()12P B =，第一位数字为0且第二位数字也是0，即事件A ，B 同时发生的概率()111224P AB =⨯=所以()()()1|2P AB P A B P B ==5．将一枚硬币连续抛掷n 次，若使得至少有一次正面向上的概率不小于1516，则n 的最小值为________． 【答案】4【解析】由题意，1151216n⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，∴4n ≥，∴n 的最小值为4二、温故知新 夯实基础1．正态分布 1.1．正态曲线的性质(1)曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称； (3)曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π； (4)曲线与x 轴之间的面积为1；(5)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移，如图甲所示；(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．1.2．正态分布的三个常用数据 (1)()0.6826P X μσμσ-<<+=； (2) ()220.9544P X μσμσ-<<+=(3) ()330.9974P X μσμσ-<<+=2.条件概率及其性质3. 事件的相互独立1.设A 、B 为两个事件，如果P (AB )＝P (A )·P (B )，那么称事件A 与事件B 相互独立． 2．如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立． 4. 独立重复试验与二项分布 1．独立重复试验在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验，即若用i A (i ＝1,2，…，n )表示第i次试验结果，则)()()()()()()()()(321321321n n n A P A P A P A P A P A P A P A P A A A A P ==.2．二项分布在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k(k ＝0,1,2，…，n )，此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率．(1)A A A = ,φφ= A ,A A A = ，A A =φ . (2)φ=A C A U ，U A C A U = ，A A C C U U =)(.(3)φ=⇔⊇⇔=⇔=⇔⊆)(B C A B C A C B B A A B A B A U U U .三、典例剖析 思维拓展考点一 正态分布例1 为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X (kg)服从正态分布N (μ，22)，且正态曲线如图所示．若体重大于58.5 kg 小于等于62.5 kg 属于正常情况，则这1000名男生中体重属于正常情况的人数是( )A ．997B ．954C ．819D ．683【答案】D【解析】由题意，可知60.5,2μσ==，故()58.562.5P X <<＝()0.6826P X μσμσ-<<+=，从而体重属于正常情况的人数是1000×0.6826≈683. 考点二 条件概率例1.从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则()|P B A ＝( )A. 18B. 14C.25 D.12【答案】B【解析】()22322525C C P A C +==，又，则()()2225110C P AB P B C ===，所以()()()1|4P A B P B A P A ==例2.从1,2,3,4,5中不放回地依次取2个数，事件A 为“第一次取到的是奇数”，事件B 为“第二次取到的是奇数”，求()|P B A 的值． 【答案】12【解析】从1,2,3,4,5中不放回地依次取2个数，有25A 种方法；其中第一次取到的是奇数，有1413A A 种方法；第一次取到的是奇数且第二次取到的是奇数，有1213A A 12种方法．则53)(251413==A A A A P ，103)(251213==A A A AB P ， ∴21)()()(==A P AB P A B P .考点三 相互独立事件的概率例1.从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14.(1)记X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望； (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率． 【答案】1312；1148【解析】 (1)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3.41411311211)0(=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-==X P ，2411413112114113121141131121)1(=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯==X P ，41411312141311214131211)2(=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-==X P ，()1111323424P X ==⨯⨯=. 所以随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望()111112012342442413E X =⨯+⨯+⨯+⨯= (2)设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为()()()10,11,0P Y Z P Y Z P Y Z +====+== ()()()()0110P Y P Z P Y P Z ===+==1111111142424448=++⨯= 所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148. 考点四 独立重复试验与二项分布例1.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球．在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列及期望．【答案】(1)710；（2）略.【解析】(1)记事件1A ＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}，2A ＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}，1B ＝{顾客抽奖1次获一等奖}，2B ＝{顾客抽奖1次获二等奖}，C ＝{顾客抽奖1次能获奖}．由题意，1A 与2A 相互独立，21A A 与21A A 互斥，1B 与2B 互斥，且211A A B =，21212A A A A B +=，21B B C +=.因为52)(1=A P ，21)(2=A P ，所以512152)()()()(21211=⨯===A P A P A A P B P ， 2152121152)()()()()()()()(2121212121212=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=+=+=+=A P A P A P A P A A P A A P A A A A P B P .故所求概率为)()()()(2121B P B P B B P C P +=+==15＋12＝710.(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为15，所以)51,3(~B X .于是125645451)0(303=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C X P ， 125485451)1(2113=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛==C X P125125451)2(1223=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C X P . 12515451)3(0333=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C X P . 故X 的分布列为例2.一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13.(1)设X 为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X 的分布列； (2)设Y 为这名学生在首次停车前经过的路口数，求Y 的分布列．【解析】(1)将通过每个交通岗看作一次试验，则遇到红灯的概率为13，且每次试验结果是相互独立的，故⎪⎭⎫ ⎝⎛31,6~B X . 所以X 的分布列为(2)由于0,1,2,3,4,5,6.其中：{Y ＝k }(k ＝0,1,2,3,4,5)表示前k 个路口没有遇上红灯，但在第k ＋1个路口遇上红灯，故各概率应按独立事件同时发生计算．3132)(⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛==kk Y P (k ＝0,1,2,3,4,5)，而{Y ＝6}表示一路没有遇上红灯．故其概率为632)6(⎪⎭⎫⎝⎛==Y P ，因此Y 的分布列为四、举一反三 成果巩固考点一 正态分布1.某省实验中学高三共有学生600人，一次数学考试的成绩(试卷满分150分)服从正态分布N (100，σ2)，统计结果显示学生考试成绩在80分到100分之间的人数约占总人数的13，则此次考试成绩不低于120分的学生约有________人． 【答案】100【解析】∵数学考试成绩()2~100,N ξσ，作出正态分布图象，可以看出，图象关于直线x ＝100对称．显然()()1801001001203P P ξξ<<=<<=；∴()()80120P P ξξ<=>．又∵()()1801203P P ξξ<+>=，∴()11206P ξ>=， ∴成绩不低于120分的学生约为600×16＝100(人)．2、已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布()20,3N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )(附：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，()220.9544P X μσμσ-<<+=.)A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%【答案】B 【解析】由正态分布N (0,32)，可知ξ落在(3,6)内的概率为P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)－P (μ－σ<ξ<μ＋σ)2＝95.44%－68.26%2＝13.59%.3、若随机变量ξ服从正态分布N (0,1)，已知P (ξ<－1.96)＝0.025，则P (|ξ|<1.96)＝( )A ．0.025B ．0.050C ．0.950D ．0.975【答案】C【解析】由随机变量ξ服从正态分布N (0,1)，得P (ξ<1.96)＝1－P (ξ≤－1.96)，所以P (|ξ|<1.96)＝P (－1.96<ξ<1.96)＝P (ξ<1.96)－P (ξ≤－1.96)＝1－2P (ξ≤－1.96)＝1－2P (ξ<－1.96)＝1－2×0.025＝0.950.考点二 条件概率1、从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为奇数”，则P (B |A )＝ 【答案】34【解析】P (A )＝252223C C C +＝25，P (B )＝2523C C ＝310，又A ⊇B ，则P (AB )＝P (B )＝310，所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝P (B )P (A )＝34.2、在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率为________． 【答案】499【解析】解法一：设A ＝{第一次取到不合格品}，B ＝{第二次取到不合格品}，则210025)(C C AB P =，所以99410059910045)()()(=⨯⨯==A P AB P A B P . 解法二：第一次取到不合格品后还剩余99件产品，其中有4件不合格品，故第二次取到不合格品的概率为499.3、有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，求这粒种子能成长为幼苗的概率． 【答案】0.72【解析】设种子发芽为事件A ，种子成长为幼苗为事件AB (发芽，又成活为幼苗)，出芽后的幼苗成活率为P (B |A )＝0.8，P (A )＝0.9， 由P (B |A )＝P (AB )P (A )，得 P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝0.9×0.8＝0.72. 故这粒种子成长为幼苗的概率为0.72.考点三 相互独立事件的概率1、某中学为丰富教职工生活，国庆节举办教职工趣味投篮比赛，有A ，B 两个定点投篮位置，在A 点投中一球得2分，在B 点投中一球得3分．规则是：每人投篮三次按先A 后B 再A 的顺序各投篮一次，教师甲在A 和B 点投中的概率分别是12和13，且在A ，B 两点投中与否相互独立．(1)若教师甲投篮三次，求教师甲投篮得分X 的分布列；(2)若教师乙与教师甲在A ，B 投中的概率相同，两人按规则各投三次，求甲胜乙的概率．【答案】（1）略；（2）1948【解析】(1)根据题意知X 的可能取值为0,2,3,4,5,7，61311211)0(2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-==X P ，3131121121)2(12=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯==C X P ，12121131211)3(=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-==X P ， 612131121)4(=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯==X P ， 613121121)5(12=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯==C X P ，P (X ＝7)＝12×13×12＝112，∴教师甲投篮得分X 的分布列为(2)此互斥，因此，所求事件的概率为P ＝13×16＋112×⎪⎭⎫ ⎝⎛+3161＋16×⎪⎭⎫ ⎝⎛++1213161＋16×⎪⎭⎫ ⎝⎛+++611213161＋112×⎪⎭⎫ ⎝⎛-1211＝1948. 考点四 独立重复试验与二项分布1、某工厂有两条相互不影响的生产线分别生产甲、乙两种产品，产品出厂前需要对产品进行性能检测．检测得分低于80的为不合格品，只能报废回收；得分不低于80的为合格品，可以出厂．现随机抽取这两种产品各60件进行检测，检测结果统计如下：(2)生产1件甲种产品，若是合格品，可盈利100元，若是不合格品，则亏损20元；生产1件乙种产品，若是合格品，可盈利90元，若是不合格品，则亏损15元．在(1)的前提下：①记X 为生产1件甲种产品和1件乙种产品所获得的总利润，求随机变量X 的分布列； ②求生产5件乙种产品所获得的利润不少于300元的概率． 【答案】（1）略；（2）112243【解析】甲种产品为合格品的概率约为4560＝34，乙种产品为合格品的概率约为4060＝23.①随机变量X 的所有可能取值为190,85,70，－35， 且P (X ＝190)＝34×23＝12，P (X ＝85)＝34×13＝14，P (X ＝70)＝14×23＝16，P (X ＝－35)＝14×13＝112.所以随机变量X 的分布列为②设生产的5则不合格品有(5－n )件， 依题意得，90n －15(5－n )≥300，解得n ≥257，又因为0≤n ≤5，且n 为整数，所以n ＝4或n ＝5，设“生产5件乙种产品所获得的利润不少于300元”为事件A ，则5445323132)(⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=C A P =112243.2、为了检验某大型乒乓球赛男子单打参赛队员的训练成果，某校乒乓球队举行了热身赛，热身赛采取7局4胜制(即一场比赛先胜4局者为胜)的规则．在队员甲与乙的比赛中，假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立．(1)求甲在5局以内(含5局)赢得比赛的概率；(2)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和数学期望． 【答案】（1）112243【解析】(1)由题意得，甲在5局以内(含5局)赢得比赛的概率2431123132324144=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=C P . (2)由题意知，X 的所有可能取值为4,5,6,7，且81173132)4(44=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛==X P ，27831323132)5(414414=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛==C C X P ，72920031323132)6(42252425=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛==C C X P ， 72916031323132)7(43363436=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛==C C X P . 所以X 的分布列为E (X )＝4×1781＋5×827＋6×200729＋7×160729＝4012729.五、分层训练 能力进阶【基础达标】1、已知随机变量X 服从正态分布N (3,1)，且P (2≤ξ≤4)＝0.6826，则P (ξ>4)＝( ) A ．0.1588 B ．0.1587 C ．0.1586 D ．0.1585【答案】B【解析】由正态曲线性质知，其图象关于直线x ＝3对称，∴P (ξ>4)＝2)42(1≤≤-ξP ＝0.5－12×0.6826＝0.1587.故选B .2、甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为( )A ．0.12B ．0.42C ．0.46D ．0.88【答案】 D【解析】 因为甲、乙两人是否被录取相互独立，又因为所求事件的对立事件为“两人均未被录取”，由对立事件和相互独立事件概率公式，知P ＝1－(1－0.6)(1－0.7)＝1－0.12＝0.88.3、投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )A ．0.648B ．0.432C ．0.36D ．0.312【答案】A【解析】3次投篮投中2次的概率为P (k ＝2)＝23C ×0.62×(1－0.6)，投中3次的概率为P (k ＝3)＝0.63，所以通过测试的概率为P (k ＝2)＋P (k ＝3)＝23C ×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.故选A .4、如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则(1)P (A )＝________； (2)P (B |A )＝________. 【答案】(1)2π (2)14【解析】 本题为几何概型，圆的半径为1，正方形的边长为2，∴圆的面积为π，正方形面积为2，扇形面积为π4.P (A )＝2π，P (AB )＝圆SS EOH ∆＝12π，∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝12π2π＝14.5、一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n .如果n ＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n ＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立．(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X (单位：元)，求X 的分布列． 【答案】（1）364【解析】(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件1A ，第一次取出的4件产品全是优质品为事件2A ，第二次取出的4件产品都是优质品为事件1B ，第二次取出的1件产品是优质品为事件2B ，这批产品通过检验为事件A ，依题意有)()(2211B A B A A =，且11B A 与22B A 互斥，所以P (A )＝P (A 1B 1)＋P (A 2B 2)＝P (A 1)P (B 1|A 1)＋P (A 2)P (B 2|A 2)＝416×116＋116×12＝364. (2)X 可能的取值为400,500,800，并且 P (X ＝400)＝1－416－116＝1116，P (X ＝500)＝116，P (X ＝800)＝14.所以X 的分布列为【能力提升】1、已知服从正态分布N (μ，σ2)的随机变量在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)和(μ－3σ，μ＋3σ)内取值的概率分别为68.3%,95.4%和99.7%.某校为高一年级1000名新生每人定制一套校服，经统计，学生的身高(单位：cm )服从正态分布(165,52)，则适合身高在155～175 cm 范围内的校服大约要定制( )A ．683套B ．954套C ．972套D ．997套【答案】B【解析】P (155<ξ<175)＝P (165－5×2<ξ<165＋5×2)＝P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.4%.因此服装大约定制1000×95.4%＝954套．故选B .2、设事件A 在每次试验中发生的概率相同，且在三次独立重复试验中，若事件A 至少发生一次的概率为6364，则事件A 恰好发生一次的概率为( )A.14B.34C.964D.2764【答案】 C【解析】 假设事件A 在每次试验中发生说明试验成功，设每次试验成功的概率为p ，由题意得，事件A 发生的次数X ～B (3，p )，则有1－(1－p )3＝6364，得p ＝34，则事件A 恰好发生一次的概率为21343143⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯C ＝964.3、某人一周晚上值班2次，在已知他周日一定值班的条件下，他在周六晚上值班的概率为________． 【答案】 16【解析】 设事件A 为“周日值班”，事件B 为“周六值班”，则2716)(C C A P =，271)(C AB P =，故P (B |A )＝P (AB )P (A )＝16. 4、某公司甲、乙、丙三位员工参加某项专业技能测试，每人有两次机会，当且仅当第一次不达标时进行第二次测试．根据平时经验，甲、乙、丙三位员工每次测试达标的概率分别为12，23，12，各次测试达标与否互不影响． (1)求甲、乙两位员工均需测试两次才达标的概率；(2)记甲、乙、丙三位员工中达标的人数为X ，求X 的分布列和数学期望． 【答案】(1)118;(2)略【解析】(1)甲员工需测试两次才达标的概率为4121211=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-； 乙员工需测试两次才达标的概率为9232321=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-. 因为各次测试达标与否互不影响，所以甲、乙两位员工均需测试两次才达标的概率为14×29＝118.(2)由题意可知，甲员工测试达标的概率为12＋⎪⎭⎫ ⎝⎛-211×12＝34，乙员工测试达标的概率为23＋⎪⎭⎫ ⎝⎛-321×23＝89，丙员工测试达标的概率为12＋⎪⎭⎫ ⎝⎛-211×12＝34.随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3.1441431981431)0(=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-==X P ， 14414439814314319843143198143)1(=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯==X P ＝772，439843143981434319843)2(⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯==X P ＝57144＝1948， P (X ＝3)＝34×89×34＝72144＝12.所以随机变量X 的分布列为E (X )＝0×1144＋1×772＋2×1948＋3×12＝4318。