一元二次方程与二次根式综合卷
二次根式和一元二次方程综合
二次根式和一元二次方程综合一、选择题1．函数9-=x y 中自变量x 的取值范围是（ ）A ．x> 0B ．x≥0C ．x>9D ．x≥92．下列方程中，有两个不相等实数根的是（ ）A ．0122=--x xB ．0322=+-x xC ．3322-=x x D ．0442=+-x x 3．下列运算正确的是（ ）A ．523=+B ．623=⨯C ．13)13(2-=-D ．353522-=- 4．方程02=x 的解的个数为（ ）A ．0 B.1 C.2 D.1或25、如果关于x 的方程ax 2+x –1=有实数根，则a 的取值范围是A.a ＞– 14B.a ≥– 14C.a ≥– 14 且a ≠0D.a ＞– 14且a ≠0 6、若分式x 2 — 7x + 12x 2 — 9的值为0，则x 的值为（ ） A.3、4 B.－3、－4 C.3 D.47．关于x 的一元二次方程02=++m nx x 的两根中只有一个等于0，则下列条件正确的是（ ）A ．0,0==n m B.0,0≠=n m C.0,0=≠n m D.0,0≠≠n m8.已知关于x 的方程（a 2–1）x 2-（a + 1）x + 1 = 0的两实根互为倒数，则a 的值为（ ）A 、± 2B 、－ 2C 、 2D 、 2 － 19．生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，如果全组有x 名同学，则根据题意列出的方程是( )A. x (x + 1) = 18B. x (x －1) = 182C. 2x ( x + 1) = 182D. x (x －1) = 182×210．某商品连续两次降价，每次都降20﹪后的价格为m 元，则原价是（ ） A.22.1m 元 B.1.2m 元 C.28.0m 元 D.0.82m 元 二、填空题1.方程(x ＋2)(x －1)=0的解为 ；2.当a=3时，则=+215a3.= ； 4.在实数的范围内分解因式49x -= 5.当a 时，方程 (a 2－1)x 2 + 3ax + 1＝0 是一元二次方程6. 若方程02=++q px x 的两个根是2-和3，则q p ,的值分别为7.若代数式5242--x x 与122+x 的值互为相反数，则x 的值是8. 已知关于x 的一元二次方程x 2+kx+k=0的一个根是–2，那么k=9.如果关于x 的方程2x 2－(4k+1)x ＋2 k 2－1＝0有实数根，那么k 的取值范围是10．一个直角三角形的两条直角边的长刚好是方程:x 2－7x ＋12=0的两个根,则该直角三角形的斜边长为____________三.计算题1.化简下列各式（1 （2）)(b a b b a 1223÷⋅ （3）21418122-+-2.用适当的方法解下列一元二次方程（1）)4(5)4(2+=+x x （2）22)21()3(x x -=+（3）31022=-x x （4）0432=-+x x四.解答题1.已知等腰三角形底边长为8，腰长是方程02092=+-x x 的一个根，求这个三角形的面积.2.若223+=a ，223-=b ，求22ab b a -的值3. 若5的整数部分为a ，小数部分为b ，求1a b-的值4.若)5353(21b a b a x -++=，)5353(21b a b a y --+=，求22y xy x ++的值）5.已知方程x 2+3x+m=0的两根之差为5.（1）求两根之和与两根之积（2）求m 的值6.两个数的和为8，积为9.75，求这两个数？7. 已知关于x 的一元二次方程0)32(22=++-m x m x（1）当m 取何值时，方程式有实数解？ （2）当m 取何值时，方程没有实数解。
二次根式和一元二次方程测试题(附完整答案及解析)
二次根式和一元二次方程测试题一．选择题（36分）1。
下列式子中二次根式的个数有 ( ）⑴31；⑵3-；⑶12+-x ；⑷38；⑸231)(-；⑹)(11>-x x ；⑺322++x x . A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个2。
当22-+a a 有意义时，a 的取值范围是 ( ）A ．a≥2B ．a ＞2C ．a≠2D ．a≠－23.下列二次根式：2xy ，8,a b 2，35x y ，x y +，12，其中最简二次根式共有（ ） A 。
2个 B. 3个 C 。
4个 D 。
5个4。
化简二次根式a a a -+12的结果是 （ ) A 。
--a 1 B 。
---a 1C 。
a -1D 。
--a 1 5. 式子错误!＋错误!有意义的条件是 （ )A 。
x ≥0B 。
x ≤0且x ≠－2C 。
x ≠－2D 。
x ≤0 6。
计算abab b a 1⋅÷等于 ( ） A ．ab ab 21 B ．ab ab 1 C ．ab b1 D ．ab b 7。
下列方程中，一元二次方程是( ） （A ）221xx +(B)bx ax +2（C ）()()121=+-x x (D ）052322=--y xy x 8。
已知21x x 、是方程122+=x x 的两个根，则2111x x +的值为（ ） （A ）21- （B)2 （C)21 （D)－2 9.若关于x 的一元二次方程0962=+-x kx 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围（ ）（A) k ＜1 （B ）k ≠0 （C ）k ＜1且k ≠0 (D ） k ＞110某超市一月份的营业额为100万元,第一季度的营业额共800万元，如果平均每月增长率为x ，则所列方程应为( ）A ．100（1+x)2=800B 。
100+100×2x=800C ．100+100×3x=800 D.100[1+(1+x)+（1+x)2]=80011。
二次根式和一元二次方程(学生版)
学科教师辅导讲义学员编号： 年 级： 初二 课时数：3学员姓名：朱渊聪 辅导科目： 数学 学科教师：程庆娇 课题 二次根式、一元二次方程复习教学目标1.复习二次根式的概念和性质，灵活掌握二次根式的运用2.复习一元二次方程的解法和应用 重点 1.二次根式的运算2.一元二次方程的解法和应用 难点 一元二次方程的解法和应用 考点 1.二次根式的运算2.一元二次方程的解法和运用二次根式、一元二次方程复习【热身练习】1、下列根式中是同类二次根式的个数是（1）b a 32 （2）24ab （3）329b a （4）31225ab （5）b a 522、当x < 2时，化简二次根式442+-x x = .3、若2132n m n -+与6是同类最简二次根式,则m= ;n =；4、因式分解：2222x x y y --= ；5、已知关于x 的一元二次方程2410x x -+=的两个实数根分别为x 1 、x 2，则 1211x x += ；2212x x += ；6、某进出口贸易公司2008年的出口商品利润比2007年增长12％，2009年比2008年增长7％，设这两年的平均增长率为x ，则x 满足的关系式为：7、化简：221(0)a a ba ba ab a a b a b aa b+÷÷>>-+-8、用配方法解方程：2212033x x +-=9、解含有字母系数的方程：()2220a xb c c a a b x b c b c -++++=【知识精要】一、二次根式1、二次根式的概念：代数式()0a a ≥叫做二次根式。
其中a 是被开方数(可为整式或分式).a 有意义的条件是0a ≥.2、二次根式的性质：性质 1 ()20a a a =≥；※⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==)0()0(0)0(2a a a a a a a性质2 ()2()0a aa =≥;性质3 a b a b =⋅ ()0,0a b ≥≥※)0,0(≤≤-⋅-=b a b a ab 性质4a ab b= （b a ,0≥>0）一般地,我们有22ab a b b a =⋅= 3、 最简二次根式： 把二次根式里被开方数所含的完全平方因式移到根号外,或者化去被开方数的分母的过程,称为化简二次根式,通常把形如()0m a a ≥的式子叫做最简二次根式。
二次根式与一元二次方程测试卷
1
(D)0 ＜ m＜
4
1015.已知关于 x 的方程 x2+bx+a=0 的一个根是－ a（ a≠ 0），则 a－ b 值为
（
）
A. －1
B.0
C.1
D.2
1611．生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共相互
赠 送 标 本 182 件 ， 若 全 组 有 x 名 同 学 ， 则 根 据 题 意 列 出 方 程 是
2
(A) x -9x-14=0
2
(B) x +9x-14=0
2
(C) x -9x+10=0
（
）
2
(D) x +9x+14=0
149如关于 x 的方程 x 2 -x+m=0 有两个不相等的实数根， 且两根之差的平方小于 1，那么实
数 m 的取值范围为
（
）
(A)m ＞ 0
1
(B)m ≤
4
1
(C)0 ＜m≤
32、（ 6 分）广安市某楼盘准备以每平方米 6000 元的均价对外销售，由于国务院有关房地 产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过
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两次下调后，决定以每平方米 4860 元的均价开盘销售。
（ 1）求平均每次下调的百分率。
（ 2）某人准备以开盘价均价购买一套 100 平方米的住房，开发商给予以下两种优惠
（ 2）为了保护环境，缓解汽车拥堵状况，从 20XX年起，该市交通部门拟控制汽车总 量，要求到 20XX 年底全市汽车拥有量不超过 23.196 万辆；另据估计，该市从 20XX 年起
每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的
(完整版)《二次根式及一元二次方程》专题练习含解析
《二次根式及一元二次方程》一、选择题1．估算的值（）A．在1和2之间B．在2和3之间C．在3和4之间D．在4和5之间2．要使+有意义，则x应满足（）A．≤x≤3 B．x≤3且x≠C．＜x＜3 D．＜x≤33．已知方程x2+bx+a=0有一个根是﹣a（a≠0），则下列代数式的值恒为常数的是（）A．ab B．C．a+b D．a﹣b4．已知a，b，c分别是三角形的三边，则方程（a+b）x2+2cx+（a+b）=0的根的情况是（）A．没有实数根B．可能有且只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根5．武汉市2016年国内生产总值（GDP）比2015年增长了12%，由于受到国际金融危机的影响，预计今年比2016年增长7%，若这两年GDP年平均增长率为x%，则x%满足的关系是（）A．12%+7%=x% B．（1+12%）（1+7%）=2（1+x%）C．12%+7%=2•x%D．（1+12%）（1+7%）=（1+x%）26．下列各式计算正确的是（）A．B．（a＜1）C．D．7．关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，则a满足（）A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠58．设a，b是方程x2+x﹣2016=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（）A．2014 B．2017 C．2015 D．20169．方程（x﹣3）（x+1）=x﹣3的解是（）A．x=0 B．x=3 C．x=3或x=﹣1 D．x=3或x=010．方程x2﹣9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（）A．12 B．12或15 C．15 D．不能确定11．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2+bx+c=0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）A．a=c B．a=b C．b=c D．a=b=c12．如图，已知双曲线y=（k＜0）经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（﹣6，4），则△AOC的面积为（）A．12 B．9 C．6 D．4二、填空题13．化简=．14．计算的结果是．15．计算： +=．16．如果方程ax2+2x+1=0有两个不等实根，则实数a的取值范围是．17．设x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两个实数根，则x12+3x1x2+x22的值为．18．已知x=1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根，则m2+2mn+n2的值为．19．请你写出一个有一根为1的一元二次方程：．（答案不唯一）20．关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1=0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22=7，则（x1﹣x2）2的值是．21．若把代数式x2﹣2x﹣3化为（x﹣m）2+k的形式，其中m，k为常数，则m+k=．22．将根号外面的因式移进根号后等于．23．若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在函数的图象上．若正方形OABC的面积为1，则k的值为；点E的坐标为．三、解答题24．计算：．25．用配方法解方程：2x2+1=3x．26．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3=0．（1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）当Rt△ABC的斜边长a=，且两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根时，求△ABC的周长．27．已知一元二次方程x2﹣2x+m=0．（1）若方程有两个实数根，求m的范围；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x1+3x2=3，求m的值．28．已知关于x的一元二次方程x2=2（1﹣m）x﹣m2的两实数根为x1，x2（1）求m的取值范围；（2）设y=x1+x2，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值．《二次根式及一元二次方程》参考答案与试题解析一、选择题1．估算的值（）A．在1和2之间B．在2和3之间C．在3和4之间D．在4和5之间【考点】估算无理数的大小．【专题】应用题．【分析】首先利用平方根的定义估算31前后的两个完全平方数25和36，从而判断的范围，再估算的范围即可．【解答】解：∵5＜＜6∴3＜＜4故选C．【点评】此题主要考查了利用平方根的定义来估算无理数的大小，解题关键是估算的整数部分和小数部分．2．要使+有意义，则x应满足（）A．≤x≤3 B．x≤3且x≠C．＜x＜3 D．＜x≤3【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，，解不等式①得，x≤3，解不等式②的，x＞，所以，＜x≤3．故选：D．【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．3．已知方程x2+bx+a=0有一个根是﹣a（a≠0），则下列代数式的值恒为常数的是（）A．ab B．C．a+b D．a﹣b【考点】一元二次方程的解．【分析】本题根据一元二次方程的根的定义，把x=﹣a代入方程，即可求解．【解答】解：∵方程x2+bx+a=0有一个根是﹣a（a≠0），∴（﹣a）2+b（﹣a）+a=0，又∵a≠0，∴等式的两边同除以a，得a﹣b+1=0，故a﹣b=﹣1．故本题选D．【点评】本题考查的重点是方程根的定义，分析问题的方向比较明确，就是由已知入手推导、发现新的结论．4．已知a，b，c分别是三角形的三边，则方程（a+b）x2+2cx+（a+b）=0的根的情况是（）A．没有实数根B．可能有且只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根【考点】根的判别式；三角形三边关系．【分析】由于这个方程是一个一元二次方程，所以利用根的判别式可以判断其根的情况．能够根据三角形的三边关系，得到关于a，b，c的式子的符号．【解答】解：∵△=（2c）2﹣4（a+b）2=4[c2﹣（a+b）2]=4（a+b+c）（c﹣a﹣b），根据三角形三边关系，得c﹣a﹣b＜0，a+b+c＞0．∴△＜0．∴该方程没有实数根．故选A．【点评】本题是方程与几何的综合题．主要考查了三角形三边关系、一元二次方程的根的判别式等知识点．重点是对（2c）2﹣4（a+b）（a+b）进行因式分解．5．武汉市2016年国内生产总值（GDP）比2015年增长了12%，由于受到国际金融危机的影响，预计今年比2016年增长7%，若这两年GDP年平均增长率为x%，则x%满足的关系是（）A．12%+7%=x% B．（1+12%）（1+7%）=2（1+x%）C．12%+7%=2•x%D．（1+12%）（1+7%）=（1+x%）2【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】增长率问题．【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），然后用平均增长率和实际增长率分别求出今年的国内生产总值，由此可得到一个方程，即x%满足的关系式．【解答】解：若设2015年的国内生产总值为y，则根据实际增长率和平均增长率分别得到2010年和今年的国内生产总值分别为：2016年国内生产总值：y（1+x%）或y（1+12%），所以1+x%=1+12%，今年的国内生产总值：y（1+x%）2或y（1+12%）（1+7%），所以（1+x%）2=（1+12%）（1+7%）．故选D．【点评】本题主要考查增长率问题，然后根据增长率和已知条件抽象出一元二次方程．6．下列各式计算正确的是（）A．B．（a＜1）C．D．【考点】二次根式的混合运算；立方根．【分析】A、根据二次根式的乘法运算法则的逆运算直接计算就可以；B、由条件可以判断出原式为负数再将根号外面的数移到根号里面化简求解就可以了；C、先将被开方数进行乘方运算再合并最后化简就可以了；D、先进行分母有理化，再进行合并同类二次根式就可以了．【解答】解：A、≠，本答案错误；B、（a＜1），本答案正确；C、，本答案错误；D、==4≠2，本答案错误．故选B．【点评】本题考查了二次根式的乘、除、加、减混合运算的运用及立方根的运用，在结算时注意运算的顺序和运算的符号是解答的关键．7．关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，则a满足（）A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5【考点】根的判别式．【专题】判别式法．【分析】由于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，那么分两种情况：（1）当a﹣5=0时，方程一定有实数根；（2）当a﹣5≠0时，方程成为一元二次方程，利用判别式即可求出a的取值范围．【解答】解：分类讨论：①当a﹣5=0即a=5时，方程变为﹣4x﹣1=0，此时方程一定有实数根；②当a﹣5≠0即a≠5时，∵关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根∴16+4（a﹣5）≥0，∴a≥1．∴a的取值范围为a≥1．故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根；切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．8．设a，b是方程x2+x﹣2016=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（）A．2014 B．2017 C．2015 D．2016【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．【专题】压轴题．【分析】由于a2+2a+b=（a2+a）+（a+b），故根据方程的解的意义，求得（a2+a）的值，由根与系数的关系得到（a+b）的值，即可求解．【解答】解：∵a是方程x2+x﹣2016=0的根，∴a2+a=2016；由根与系数的关系得：a+b=﹣1，∴a2+2a+b=（a2+a）+（a+b）=2016﹣1=2015．故选：C．【点评】本题综合考查了一元二次方程的解的定义及根与系数的关系，要正确解答本题还要能对代数式进行恒等变形．9．方程（x﹣3）（x+1）=x﹣3的解是（）A．x=0 B．x=3 C．x=3或x=﹣1 D．x=3或x=0【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．【专题】计算题；压轴题．【分析】此题可以采用因式分解法，此题的公因式为（x﹣3），提公因式，降次即可求得．【解答】解：∵（x﹣3）（x+1）=x﹣3∴（x﹣3）（x+1）﹣（x﹣3）=0∴（x﹣3）（x+1﹣1）=0∴x1=0，x2=3．故选D．【点评】此题考查了学生的计算能力，注意把x﹣3当作一个整体，直接提公因式较简单，选择简单正确的解题方法可以达到事半功倍的效果．10．方程x2﹣9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（）A．12 B．12或15 C．15 D．不能确定【考点】等腰三角形的性质；解一元二次方程﹣因式分解法；三角形三边关系．【专题】分类讨论．【分析】先解一元二次方程，由于未说明两根哪个是腰哪个是底，故需分情况讨论，从而得到其周长．【解答】解：解方程x2﹣9x+18=0，得x1=6，x2=3∵当底为6，腰为3时，由于3+3=6，不符合三角形三边关系∴等腰三角形的腰为6，底为3∴周长为6+6+3=15故选C．【点评】此题是一元二次方程的解结合几何图形的性质的应用，注意分类讨论．11．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2+bx+c=0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）A．a=c B．a=b C．b=c D．a=b=c【考点】根的判别式．【专题】压轴题；新定义．【分析】因为方程有两个相等的实数根，所以根的判别式△=b2﹣4ac=0，又a+b+c=0，即b=﹣a﹣c，代入b2﹣4ac=0得（﹣a﹣c）2﹣4ac=0，化简即可得到a与c的关系．【解答】解：∵一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=0，又a+b+c=0，即b=﹣a﹣c，代入b2﹣4ac=0得（﹣a﹣c）2﹣4ac=0，即（a+c）2﹣4ac=a2+2ac+c2﹣4ac=a2﹣2ac+c2=（a﹣c）2=0，∴a=c．故选A【点评】一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．12．如图，已知双曲线y=（k＜0）经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（﹣6，4），则△AOC的面积为（）A．12 B．9 C．6 D．4【考点】反比例函数系数k的几何意义．【专题】压轴题．【分析】△AOC的面积=△AOB的面积﹣△BOC的面积，由点A的坐标为（﹣6，4），根据三角形的面积公式，可知△AOB的面积=12，由反比例函数的比例系数k的几何意义，可知△BOC的面积=|k|．只需根据OA的中点D的坐标，求出k值即可．【解答】解：∵OA的中点是D，点A的坐标为（﹣6，4），∴D（﹣3，2），∵双曲线y=经过点D，∴k=﹣3×2=﹣6，∴△BOC的面积=|k|=3．又∵△AOB的面积=×6×4=12，∴△AOC的面积=△AOB的面积﹣△BOC的面积=12﹣3=9．故选B．【点评】本题考查了一条线段中点坐标的求法及反比例函数的比例系数k与其图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即S=|k|．二、填空题13．化简=0．【考点】二次根式有意义的条件．【分析】由1﹣x≥0，x﹣1≥0，得出x﹣1=0，从而得出结果．【解答】解：∵1﹣x≥0，x﹣1≥0，∴x﹣1=0，∴=0．【点评】二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．14．计算的结果是4．【考点】算术平方根．【专题】常规题型．【分析】根据算术平方根的定义解答即可．【解答】解：==4．故答案为：4．【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，本题易错点在于符号的处理．15．计算： +=3．【考点】二次根式的加减法．【分析】本题考查了二次根式的加减运算，应先化为最简二次根式，再合并同类二次根式．【解答】解：原式=2+=3．【点评】同类二次根式是指几个二次根式化简成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式．二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．16．如果方程ax2+2x+1=0有两个不等实根，则实数a的取值范围是a＜1且a≠0．【考点】根的判别式．【分析】在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在有不相等的实数根下必须满足△=b2﹣4ac＞0．【解答】解：根据题意列出不等式组，解之得a＜1且a≠0．故答案为：a＜1且a≠0．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．17．设x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两个实数根，则x12+3x1x2+x22的值为7．【考点】根与系数的关系．【分析】根据根与系数的关系，可求出x1+x2以及x1x2的值，然后根据x12+3x1x2+x22=（x1+x2）2+x1x2进一步代值求解．【解答】解：由题意，得：x1+x2=3，x1x2=﹣2；原式=（x1+x2）2+x1x2=9﹣2=7．故答案为：7．【点评】熟记一元二次方程根与系数的关系是解答此类题的关键．18．已知x=1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根，则m2+2mn+n2的值为1．【考点】一元二次方程的解；完全平方公式．【分析】首先把x=1代入一元二次方程x2+mx+n=0中得到m+n+1=0，然后把m2+2mn+n2利用完全平方公式分解因式即可求出结果．【解答】解：∵x=1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根，∴m+n+1=0，∴m+n=﹣1，∴m2+2mn+n2=（m+n）2=（﹣1）2=1．故答案为：1．【点评】此题主要考查了方程的解的定义，利用方程的解和完全平方公式即可解决问题．19．请你写出一个有一根为1的一元二次方程：x2=1．（答案不唯一）【考点】一元二次方程的解．【专题】开放型．【分析】可以用因式分解法写出原始方程，然后化为一般形式即可．【解答】解：根据题意x=1得方程式x2=1．故本题答案不唯一，如x2=1等．【点评】本题属于开放性试题，主要考查一元二次方程的概念的理解与掌握．可以用因式分解法写出原始方程，然后化为一般形式即可，如（y﹣1）（y+2）=0，后化为一般形式为y2+y﹣2=0．20．关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1=0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22=7，则（x1﹣x2）2的值是13．【考点】根与系数的关系；根的判别式．【分析】首先根据根与系数的关系，得出x1+x2和x1x2的值，然后根据x12+x22的值求出m（需注意m的值应符合此方程的根的判别式）；然后再代值求解．【解答】解：由题意，得：x1+x2=m，x1x2=2m﹣1；则：（x1+x2）2=x12+x22+2x1x2，即m2=7+2（2m﹣1），解得m=﹣1，m=5；当m=5时，△=m2﹣4（2m﹣1）=25﹣4×9＜0，不合题意；故m=﹣1，x1+x2=﹣1，x1x2=﹣3；∴（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=1+12=13．【点评】此题用到的知识点有：根与系数的关系、根的判别式、完全平方公式等知识．本题需注意的是在求出m值后，一定要用根的判别式来判断所求的m是否符合题意，以免造成多解、错解．21．若把代数式x2﹣2x﹣3化为（x﹣m）2+k的形式，其中m，k为常数，则m+k=﹣3．【考点】完全平方公式．【专题】配方法．【分析】根据完全平方公式的结构，按照要求x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣4=（x﹣1）2﹣4，可知m=1．k=﹣4，则m+k=﹣3．【解答】解：∵x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣4=（x﹣1）2﹣4，∴m=1，k=﹣4，∴m+k=﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题主要考查完全平方公式的变形，熟记公式结构是解题的关键．完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．22．将根号外面的因式移进根号后等于．【考点】二次根式的性质与化简．【专题】计算题．【分析】先根据二次根式定义得到a＜0，然后根据二次根式的性质把﹣a转化为，再利用乘法公式运算即可．【解答】解：∵﹣≥0，∴a＜0，∴原式=﹣（﹣a）•=﹣=﹣．故答案为﹣．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：（a≥0）为二次根式；=|a|；=•（a≥0，b≥0）等．23．若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在函数的图象上．若正方形OABC的面积为1，则k的值为1；点E的坐标为（+，﹣）．【考点】反比例函数系数k的几何意义．【分析】（1）根据正方形OABC和正方形AEDF各有一个顶点在一反比例函数图象上，且正方形OABC的边长为1，得出B点坐标，即可得出反比例函数的解析式；（2）由于D点在反比例函数图象上，用a和正方形OABC的边长表示出来E点坐标，代入y=（x＞0）求得a的值，即可得出D点坐标．【解答】解：∵正方形OABC和正方形AEDF各有一个顶点在一反比例函数图象上，且正方形OABC的边长为1．∴B点坐标为：（1，1），设反比例函数的解析式为y=；∴xy=k=1，设正方形ADEF的边长为a，则E（1+a，a），代入反比例函数y=（x＞0）得：1=（1+a）a，又a＞0，解得：a=﹣．∴点E的坐标为：（ +，﹣）．【点评】本题考查了反比例函数与正方形性质结合的综合应用，考查了数形结合的思想，利用xy=k得出是解题关键．三、解答题24．计算：．【考点】二次根式的混合运算；负整数指数幂．【分析】本题涉及分数指数幂、负整数指数幂、乘方、二次根式化简四个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】原式=3+4﹣2﹣2+=5﹣2+2﹣2=3．【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是理解分数指数幂的意义，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．25．用配方法解方程：2x2+1=3x．【考点】解一元二次方程﹣配方法．【专题】计算题．【分析】首先把方程的二次项系数变成1，然后等式的两边同时加上一次项系数的一半，则方程的左边就是完全平方式，右边是常数的形式，再利用直接开平方的方法即可求解．【解答】解：移项，得2x2﹣3x=﹣1，二次项系数化为1，得，配方，，由此可得，∴x1=1，．【点评】配方法是一种重要的数学方法，是中考的一个重要考点，我们应该熟练掌握．本题考查用配方法解一元二次方程，应先移项，整理成一元二次方程的一般形式，即ax2+bx+c=0（a≠0）的形式，然后再配方求解．26．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3=0．（1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）当Rt△ABC的斜边长a=，且两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根时，求△ABC的周长．【考点】根与系数的关系；根的判别式；勾股定理．【专题】计算题．【分析】（1）根据△＞0即可证明无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）根据勾股定理及根与系数的关系列出关于b，c的方程，解出b，c即可得出答案．【解答】解：（1）关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3=0，△=（2k+1）2﹣4（4k﹣3）=4k2﹣12k+13=4+4＞0恒成立，故无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）根据勾股定理得：b2+c2=a2=31①因为两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根，则b+c=2k+1②，bc=4k﹣3③，因为（b+c）2﹣2bc=b2+c2=31，即（2k+1）2﹣2（4k﹣3）=31，整理得：4k2+4k+1﹣8k+6﹣31=0，即k2﹣k﹣6=0，解得：k1=3，k2=﹣2，∵b+c=2k+1＞0即k＞﹣．bc=4k﹣3＞0即k＞，∴k2=﹣2（舍去），则b+c=2k+1=7，又因为a=，则△ABC的周长=a+b+c=+7．【点评】本题考查了根与系数的关系和根的判别式及勾股定理，难度较大，关键是巧妙运用△＞0恒成立证明（1），再根据勾股定理和根与系数的关系列出方程组进行解答．27．已知一元二次方程x2﹣2x+m=0．（1）若方程有两个实数根，求m的范围；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x1+3x2=3，求m的值．【考点】根与系数的关系；根的判别式．【专题】压轴题．【分析】（1）一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个实数根，△≥0，把系数代入可求m的范围；（2）利用两根关系，已知x1+x2=2结合x1+3x2=3，先求x1、x2，再求m．【解答】解：（1）∵方程x2﹣2x+m=0有两个实数根，∴△=（﹣2）2﹣4m≥0，解得m≤1；（2）由两根关系可知，x1+x2=2，x1•x2=m，解方程组，解得，∴m=x1•x2=．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，两根关系的运用，要求熟练掌握．28．已知关于x的一元二次方程x2=2（1﹣m）x﹣m2的两实数根为x1，x2（1）求m的取值范围；（2）设y=x1+x2，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值．【考点】根与系数的关系；根的判别式；一次函数的性质．【专题】综合题．【分析】（1）若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于m 的不等式，可求出m的取值范围；（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2的表达式，进而可得出y、m的函数关系式，根据函数的性质及（1）题得出的自变量的取值范围，即可求出y的最小值及对应的m值．【解答】解：（1）将原方程整理为x2+2（m﹣1）x+m2=0；∵原方程有两个实数根，∴△=[2（m﹣1）]2﹣4m2=﹣8m+4≥0，得m≤；（2）∵x1，x2为一元二次方程x2=2（1﹣m）x﹣m2，即x2+2（m﹣1）x+m2=0的两根，∴y=x1+x2=﹣2m+2，且m≤；因而y随m的增大而减小，故当m=时，取得最小值1．【点评】此题是根的判别式、根与系数的关系与一次函数的结合题．牢记一次函数的性质是解答（2）题的关键．。
二次根式和一元二次方程复习题
二次根式和一元二次方程复习题一．选择题1．式子有意义，则x的取值范围是（）A．x＞1B．x＜1C．x≥1D．x≤1 2．下列根式中，不是最简二次根式的是（）A．B．C．D．3．在式子，，，中，x可以取1和2的是（）A．B．C．D．4．方程（m+1）x|m﹣1|+mx+2＝0是关于x的一元二次方程，则（）A．m＝﹣1或3B．m＝3C．m＝﹣1D．m≠﹣1 5．下列各式中属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．6．下列各式计算正确的是（）A．B．C．＝5D．＝7．下面计算正确的是（）A．+＝B．×＝C．＝﹣3D．﹣＝8．下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A．B．C．D．9．下列计算正确的是（）A．B．C．D．10．要使代数式有意义，则x的（）A．最大值是B．最小值是C．最大值是D．最小值是11．用配方法解方程x2+2x﹣3＝0，下列配方结果正确的是（）A．（x﹣1）2＝2B．（x﹣1）2＝4C．（x+1）2＝2D．（x+1）2＝4 12．方程x2+6x﹣5＝0的左边配成完全平方后所得方程为（）A．（x+3）2＝14 B．（x﹣3）2＝14C．（x+6）2＝D．以上答案都不对13．用配方法解方程x2+4x+1＝0，配方后的方程是（）A．（x﹣2）2＝5B．（x+2）2＝5C．（x+2）2＝3D．（x﹣2）2＝3 14．已知最简二次根式与可以合并成一项，则a、b的值分别为（）A．a＝1，b＝2B．a＝﹣1，b＝0C．a＝1，b＝0D．a＝﹣1，b＝2 15．若y＝﹣3，则x+y＝（）A．1B．5C．﹣5D．﹣116．方程（2x+3）（x﹣1）＝1的解的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．没有实数根C．有两个相等的实数根D．有一个实数根17．方程（x+1）（x﹣3）＝0的根是（）A．x＝﹣1B．x＝3C．x1＝1，x2＝3D．x1＝﹣1，x2＝3 18．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1＝0有一个根为0，则m的值是（）A．1B．﹣1C．±1D．±219．已知a是方程2x2﹣4x﹣3＝0的一个根，则代数式2a2﹣4a的值等于（）A．3B．2C．0D．120．方程（x﹣2）（x+1）＝（x+1）的解是（）A．x＝3B．x＝﹣1C．x1＝3，x2＝﹣1D．x1＝﹣3，x2＝1 21．方程x2+6x﹣9＝0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．有一个根为﹣1D．没有实数根22．如果关于x的方程x2+k2﹣16＝0和x2﹣3k+12＝0有相同的实数根，那么k的值是（）A．﹣7B．﹣7或4C．7D．423．实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为（）A．7B．﹣7C．2a﹣15D．无法确定24．已知m、n是方程x2+5x﹣2＝0的两个实数根，则m2+6m+n﹣2mn的值为（）A．1B．﹣1C．﹣5D．525．已知x、y为实数，且．则的值为（）A．5B．6C．7D．8二．填空题26．计算的结果是．27．一元二次方程2x2＝5x的解是．28．分解因式：2a2﹣4a+2＝．29．关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣x+m2＝0有一个根为1，则m的值为．30．已知﹣＝﹣，＝，则a﹣b＝．31．计算：＝．32．若+|x﹣3|＝0，则x+y的平方根为．33．已知三角形两边的长是2和3，第三边的长是方程x2﹣6x+8＝0的根，则该三角形的周长是．34．计算：（）2010•（）2009＝．35．若方程（m+3）x|m|﹣1+3mx＝0是关于x的一元二次方程，求m＝．36．要使代数式有意义，则x应该满足的条件是．37．若最简二次根式与可以合并，则x的值为．38．关于x的方程2x2+kx﹣1＝0的一个根是﹣1，另一个根为．39．﹣（）2＝．40．已知﹣3是关于x的一元二次方程ax2﹣2x+3＝0的一个解，则此方程的另一个解为．41．计算：＝．42．已知x2+6x＝﹣1可以配成（x+p）2＝q的形式，则q＝．43．已知x＝2是一元二次方程x2+mx+6＝0的一个根，则方程的另一个根是．三．解答题44．（1）计算：（2）解方程：2x2﹣5x﹣3＝045．①计算：②解方程：9x2﹣6x+1＝046．计算：（1）+|﹣7|+（）0+（）﹣1 （2）（+2）（﹣2）+（+1）2﹣47．计算：（1）2+6﹣3（2）﹣（2+）2（2﹣）248．用适当的方法解方程（1）3x2﹣x﹣4＝0 （2）（x+3）2＝16（2﹣x）2 （3）x2+4x＝1249．解下列方程：（1）2x2+x﹣6＝0；（2）（x﹣5）2＝2（5﹣x）．50．解方程．（1）2x（x﹣2）＝3x﹣6 （2）x2﹣2x＝2x+1 （3）3x2﹣x﹣4＝0．51．先化简，再求值：（a﹣）（a+）+a（5﹣a），其中a＝+1．52．先化简再计算：，其中x是一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的正数根．53．已知：x＝1﹣，y＝1+，求x2+y2﹣xy﹣2x+2y的值．54．已知a＝，b＝，求的值．55．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）若（x1﹣1）（x2﹣1）＝28，求m的值．56．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k＝2，求该矩形的对角线L的长．57．已知关于x的方程mx2﹣（2m﹣1）x+m﹣2＝0；（1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根；（2）若m为满足（1）的最小正整数，求此时方程的两个根x1，x2．58．已知关于x的一元二次方程x2+（m+1）x+﹣2＝0．（1）若此方程有两个实数根，求m的最小整数值；（2）若此方程的两个实数根为x1，x2，且满足x12+x22+x1x2＝18﹣，求m的值．。
二次根式、一元二次方程练习题
页眉内容二次根式、一元二次方程测试题班级 学号 姓名 成绩一、选择题：（每小题3分，共30分）1x 的取值范围是（ ）A 、1x >B 、1x ≥C 、1x ≤D 、1x <2、若b b -=-3)3(2，则（ ）A 、b>3B 、b<3C 、b ≥3D 、b ≤33、下列计算正确的是（ ）A 、= B =3= D 3=- 4、若1＜x ＜2，则()213-+-x x 的值为（ ）A ．2x-4B ．-2C ．4-2xD ．2 5、2)9(-的平方根是（ ）A. -9.B.9.C.±9.D.±3.6、下列方程，是一元二次方程的是（ ）①3x 2+x=20，②2x 2-3xy+4=0，③412=-x x ，④ x 2=4-， ⑤ 0432=--x xA ．①②B ．①②④⑤C ．①③④D ．①④⑤7、关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋x ＋m 2－1＝0有一根为0，则m 的值为（ ）．A 、1B 、－1C 、1或－1D 、08、已知06522=+-y xy x ，则x y :等于 （ ） A. 161或 B. 16或 C. 2131或 D. 32或9、使分式2561x x x --+ 的值等于零的x 是( ) A.6 B.-1或6 C.-1 D.-610、已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程x 2-14x+48=0的一根, 则这个三角形的周长为( )A.11B.17C.17或19D.19二、填空题：（每小题3分，共24分）11、方程(x –1)(2x +1)=2化成一般形式是 ，它的二次项系数是 .12、关于x 的方程5)3(72=---x m m 是一元二次方程，则m=_________. 13、参加一次同学聚会，每两人都握一次手，所有人共握了45次，若设共有x 人参加同学聚会。
列方程得 。
14、设b a ,是一个直角三角形两条直角边的长，且12)1)((2222=+++b a b a ，则这个直角三角形的斜边长为15、△ABC 的三边长为a 、b 、c,且a,b 满足2-a +b 2-6b+9=0,则c 的取值范围是 。
二次函数与一元二次方程计算题
（1） ＋ －
（2） .
40．计算:
（1） ;
（2） .
41．已知 求值： .
42．已知：实数 ， 在数轴上的位置如图所示，化简： .
43．已知 为等腰三角形的两条边长，且 满足 ，求此三角形的周长.
44．计算：
45．计算：
46．解方程： =0
47．化简： ．
48．计算： ．
49．计算：
(4)( -4 )(2 -4 ).
26．计算：
27．计算：
28．计算：(1)、 (2)、
29．计算： .
30．计算：(1) －(3－π)0－
(2)tan60º－(1＋ )(1－ )+
31．解下列一元二次方程．（1）x2﹣5x+1=0；（2）3（x﹣2）2=x（x﹣2）．
32．计算：（1） （2）
33．计算
（1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根？
（2）当Rt△ABC的斜边a= ，且两条直角边的长b和c恰好是这个方程的两个根时，求k的值．
66．解方程：（1）x2-2x=1
（2）3x（x-2）=2（2-x）
67．已知抛物线y=ax2＋bx＋c经过点A（－1，0），且经过直线y=x－3与x轴的交点B及与y轴的交点C．
55．解方程：
56．2014年1月23日，安徽省省政府新闻办召开新闻发布会，通报了2013年全省经济运行情况．据省统计局新闻发言人赵金宝介绍，去年我省GDP突破19000亿元，连续第十年保持两位数增长，增速明显高于全国，位居中部第一．初步核算，全年全省生产总值19033.3亿元，按可比价格计算，比2011年增加3303.3亿元，连续10年保持两位数增长，增幅居全国第11、中部第1位．求自2011年起的年平均增长率．
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一元二次方程与二次根式综合卷2010-10-5
班级 姓名 座号 成绩
一、选择题（共11小题，每小题3分，共33分）
1、 ）
A 、4
B 、 －4
C 、 ±4
D 、±2
21
x +有意义的x 的取值范围是……………………………………………（ ）
A 、x ≥3
B 、x ≥3且x ≠－1
C 、 x ≤3
D 、x ＜3
3a b
+中，是最简二次根式的式子有（ ）个
A 、2
B 、3
C 、1
D 、0
4、把b
b 1-
的根号外的因式移到根号内的结果是…………………………………（ ）
A 、b -
B 、b --
C 、b
D 、b -
5、下列方程①032
=-x x ；②;12=+x x ③013=+x
x ；④)2)(1(122
--=-x x x ；
⑤2
15)73)(25(x x x =--，其中一元二次方程有…………………………………（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个
6、一元二次方程–5x+3x 2 =12 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是……（ ） A 、－5，3，12 B 、 3，－5，12 C 、3，－5，－12 D 、－3，5，－12
7、已知一个三角形的两边长是方程2
8150x x -+=的根，则第三边y 长的取值范围
是………………………………………………………………………………………（ ） A 、y<8 B 、2<y<8 C 、3<y<5 D 、无法确定
8、对任意实数y ，多项式2
21015y y -+的值是一个……………………………（ ） A 、负数 B 、非负数 C 、正数 D 、无法确定正负
9、下列方程没有实数根的是………………………………………………………（ ）
A 、 x 2
－x －1=0 B 、 x 2
－6x+5=0 C 、2
x 30+= D 、2x 2
+x+1=0.
10、在一幅长80cm ，宽50cm 的矩形北京奥运风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如
图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm 2，设金色纸边的宽为x cm ，那么x 满足的方程是……………（ ）
A 、x 2+130x －1400=0
B 、x 2+65x －350=0
C 、x 2－130x －1400=0
D 、x 2－65x －350=0
11、关于x 的方程（a -5）x 2-4x -1=0有实数根，则a 满足（ ）
A ． a ≥ 1
B ．a ＞1且a ≠ 5
C ．a ≥1且
D ．a ≠5
二、填空题（共5小题，每小题3分，共18分）
12 .
13、若方程032=++b x x 无解，则b 应满足的条件是： 。
14、关于x 的一元二次方程01)1(22=-++-a x x a 的一个根是0，则a 的值为 。
15、方程2
230x x --=，两根分别为3，－1记为[]3,1-，请写出一个根为[]2,3-的一元
二次方程_________________. 16、观察下列各式：
3
12
311=+
，4
13
4
12=+
，5
14
5
13=+
……，请你将发现的规律用含自然数n (n
≥1)的等式表示出来__________________________.
17、已知x 1、x 2是方程x 2+3x +1=0的两实数根，则x 13+8x 2+20=________．
三、解答题（本题满分15分） 18.（每小题5分，共10分） （1）计算：)6332(2)23(2
-+
-
（2）解方程：(3x ＋2)2
－4＝0
19、（本题满分5分）
阅读下面的解题过程：解方程：（4x －1）2－10(4x －1)+24=0 解：把4x －1视为一个整体，设 4x －1=y
则原方程可化为：y 2－10y+24=0
解之得：y 1=6,y 2=4 ∴4x －1=6 或4x －1=4
∴x 1=
4
7,x 2=
4
5 这种解方程的方法叫换元法。
请仿照上例，用换元法解方程：(x －2)2－3(x －2)－10=0
四、综合应用（共34分） 20、设3的小数部分为a ，2
3
2-的倒数为b ，求2a b -的值。
（5分）
21、已知：x ＝1是一元二次方程2
400ax bx +-=的一个解，且a b ≠，求22
22a b
a b
--的值.
（5分）
22．在国家下身的宏观调控下，某市的商品房成交价由今年3月分的14000元/2
m 下降到5月分的12600元/2
m （本题8分）
⑴问4、5两月平均每月降价的百分率是多少？（参考数据：95.09.0≈）
⑵如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到7月分该市的商品房成交均价是否会跌破10000元/2
m ？请说明理由。
23．（本题8分）已知关于x 的一元二次方程2
2
(21)0x m x m +-+=有两个实数根1x 和2x ．
（1）求实数m 的取值范围；（2）当2
2120x x -=时，求m 的值．
24（本题8分）如图3所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，点P 从点A 出发沿边AC 向点C 以1cm/s 的速度移动，点Q 从C 点出发沿CB 边向点B 以2cm/s 的速度移动.
（1）如果P 、Q 同时出发，几秒钟后，可使△PCQ 的面积为8平方厘米？
（2）点P 、Q 在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ 的面积等于△ABC 的面积的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.
（附加题）（本题10
○
10232=+-x x 的两根为1x =1，2x =2； ○
20)2)(1(=--x x 的两根为1x =1，2x =2； ○
323)2)(1(2+-=--x x x x ； ○
4二次三项式232+-x x 可分解为)2)(1(--x x 。
x 的方程x 2＋px ＋q ＝0的两根为x 1＝3，x 2＝－4，则二次三项式x 2＋px ＋q 可分解为 ．
（1）2422
+-x x （2）
2
1213
3
x x -
-
（3）222
--x x
Q
P C B
图3。