函授中的动态问题

∴124t＝24t－－12t t， ∴3t2＋16t－64＝0， ∴t＝83或－8(舍去)， 则当 t＝2 或83时，△ PQH 能构成直角三角形．
1．[2015·衢州]如图 47－2，在△ABC 中，AB＝5，AC＝9， S△ABC＝227，动点 P 从 A 点出发，沿射线 AB 方向以每秒 5 个单 位的速度运动，动点 Q 从点 C 出发，以相同的速度在线段 AC 上由 C 向 A 运动，当 Q 点运动到 A 点时，P，Q 两点同时停止 运动，以 PQ 为边作正方形 PQEF(P，Q，E，F 按逆时针排序)， 以 CQ 为边在 AC 上方作正方形 QCGH.
解：(1)∵AB＝7，7÷2＝3.5， ∴0≤t≤3.5， 由图象可知 y＝t， ∴t＝1 时，y＝1，
∴12·AE·2＝1，∴AE＝1；

(2)∵四边形 AMHP 是菱形， ∴AM＝MH＝2DM，AM∥PF， ∵∠ADM＝90°， ∴∠MAD＝30°， ∴∠PFA＝∠MFA＝∠MAD＝30°， ∴MA＝MF，∵MD⊥AF， ∴AD＝DF＝4，
类型之一 几何图形中的动点问题 [2016·郴州]如图47－1①，矩形ABCD中，AB＝7 cm，
AD＝4 cm，E为AD上一定点，F为AD延长线上一点，且DF ＝a cm，点P从A点出发，沿AB边向点B以2 cm/s的速度运 动，连结PE，设点P运动的时间为t(s)，△PAE的面积为 y(cm2)，当0≤t≤1时，△PAE的面积y(cm2)关于时间t(s)的函数 图象如图②所示，连结PF，交CD于点H.
在 Rt△PLQ 中，PQ2＝PL2＋LQ2＝(3t)2＋(9－9t)2＝90t2－162t ＋81＝90t－1902＋81100＜t≤95， ∴当 t＝190时，S 存在最小值，最小值为8110；
变式跟进1答图
(3)①如答图③，当点 E 在边 HG 上时，t1＝194；
∴DAHP ＝DAFF，
4－t
4
∴
2 2t
＝4＋3 43，
∴t＝2；
②若∠PHQ＝90°，如答图，过点 P 作 PM⊥CD 于点 M，同理
可证△PMH∽△HDQ，
例1答图
∴PHMD＝MDQH， ∴H4D＝2t4－－Ht D ∵DH∥AP， ∴DAHP ＝DAFF，
4 ∴D2Ht ＝4＋3 43， ∴DH＝12t，
(1)求tanA的值；
(2)设点P运动时间为t，正方形PQEF的面积为S，请探究S是否
存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理
由；
(3)当t为何值时，正方形PQEF的某个顶点(Q点除外)落在正方 形QCGH上，请直接写出t的值．
解：(1)如答图①，过点 B 作 BI⊥AC 于点 I.
第47课时 动态型问题
探究几何图形(点，直线，三角形，四边形等)在 运动变化过程中与图形相关的某些量(如角度， 特征 线段，周长，面积及相关的关系)的变化或其中 存在的函数关系，这类题目叫做图形运动型试
题
类型 (1)点的运动；(2)线的运动；(3)图形的运动
解题 策略
对于图形运动型试题，要注意用运动与变化的 眼光去观察和研究图形，把握图形运动与变化 的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系，
并特别关注一些不变的量、不变的关系或特殊关 系，善于化动为静，由特殊情形(如特殊点，特殊 值，特殊位置，特殊图形等)逐步过渡到一般情形， 解题 综合运用各种相关知识，数形结合，分类讨论，转 策略 化等数学思想加以解决．当一个问题是确定有关图 形的变量之间的关系时，通常建立函数模型或不等 式模型求解；当确定图形之间的特殊位置关系或者 一些特殊值时，通常建立方程模型去求解
∵S△ABC＝227，∴12·BI·AC＝227， 又∵AC＝9，∴BI＝3. 在 Rt△BIA 中，AB＝5，BI＝3，∴AI＝4，
∴tanA＝BAII＝34；
图47－2
①
②
变式跟进1答图
(2)存在．如答图②，过点 P 作 PL⊥AQ 于点 L. ∵AP＝CQ＝5t，tanA＝34，∴PL＝3t，AL＝4t， 又∵AQ＝9－5t，∴LQ＝AQ－AL＝|9－5t－4t|＝|9－9t|，
②如答图④，当点 F 在边 HG 上时，t2＝191； ③如答图⑤，当点 P 边 QH(或点 E 在 QC 上)时，t3＝1； ④如答图⑥，当点 F 边 CG 上时，t4＝97.
2．[2016·青岛]如图47－3，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC ＝8 cm，对角线AC，BD交于点O.点P从点A出发，沿AD方向 匀速运动，速度为1 cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向 匀速运动，速度为1 cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也 停止运动．连结PO并延长，交BC于点E，过点Q作QF∥AC， 交BD于点F.设运动时间为t(s)(0＜t＜6)，解答下列问题： (1)当t为何值时，△AOP是等腰三角形？ (2)设五边形OECQF的面积为S(cm2)，试确定S与t的函数关系 式；
(1)t的取值范围为__0_≤__t≤__3_.5____，AE＝____1____cm； (2)如图③，将△HDF沿线段DF进行翻折，与CD的延长线交于 点M，连结AM，当a为何值时，四边形PAMH为菱形？并求出 此时点P的运动时间t；
(3)如图④，当点 P 出发 1 s 后，AD 边上另一动点 Q 从 E 点出 发，沿 ED 边向点 D 以 1 cm/s 的速度运动，如果 P，Q 两点 中的任意一点到达终点后，另一点也停止运动，连结 PQ，QH. 若 a＝43 cm，请问△PQH 能否构成直角三角形？若能，请求 出点 P 的运动时间 t；若不能，请说明理由．
∴AP＝AM＝8 3 3，
∴t＝8 3 3÷2＝4 3 3，
∴a＝4，t＝4 3 3；
(3)①若∠PQH＝90°. ∵∠PQA＋∠HQD＝90°，∠HQD＋∠QHD＝90°， ∴∠AQP＝∠QHD，∵∠PAQ＝∠QDH＝90°. ∴△APQ∽△DQH，
∴DAQP ＝DAQH，
∴42－t t＝DtH， ∴DH＝4－2 t， ∵DH∥AP，
图47－1
【解析】 (1)根据面积与时间的关系可以确定t的范围，根据t ＝1时，△APE面积为1，即可求出AE； (2)只要证明∠MAD＝∠MFD＝30°即可解决问题；
(3)①若∠PQH 为直角，△APQ∽△DQH，得DAQP＝DAQH，求出 DH ＝4－2 t，再由 DH∥AP，得DAHP ＝DAFF列出方程即可解决； ②若∠PHQ＝90°，如答图，过点 P 作 PM⊥CD 于点 M，类似 ①利用相似三角形性质列出方程即可解决问题．