激光原理-4.2 典型激光器的速率方程
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激光原理教程四-电磁场与物质的共振相互作用
三能级系统 速率方程
§4-3 典型激光器速率方程
四能级系统速率方程 对于典型的四能级系统Nd:YAG激光器， S30<<S32、A30<<S32、S21<<A21。 速率方程中忽略S30，其它的机制与三 能级系统类似； E1-E0>>KT，根据玻尔兹曼分布可知在
W03 A30 S30 E3 S32 E2 S21 A21 W21 W12 E1 S10 E0
W13 A31 S31 A21 S21 W12 W21 E2 E3 S32
§4-3 典型激光器速率方程
典型三能级系统的红宝石中有： 5 1 3 1 7 1 A 3 10 S A 0.3 10 S S32 0.5 10 S 31 21 可以写出各能级粒子数变化速率的方程：
B 21 c3 A21 8 h 3
同理B12 B12 g , 0
c3 B21 A21 g , 0 B21 g , 0 3 8 h
§4-3 典型激光器速率方程
dn21 (1) dt A21n2 sp dn21 W21n2 B21 n2 (2) dt st dn 12 W12 n1 B12 n1 (3) dt st
P dn21 h n2 A21h dt
P Pg , 0
n2 A21h g , 0 n2 h A21
其中 A21 A21 g , 0 ，表示在总自发跃迁概率A21中，分配 在频率ν处单位频带内的自发跃迁概率。 从第一章得到的爱因斯坦三系数的关系：
dn21 由1式得： n2 A21 d n2 A21 g , 0 d n2 A21 dt sp
第二章激光器的速率方程理论
dn WDn n dt
均匀加宽
W
c3 8
2
A21 g ( )
c3 1 W A21 2 2 2 (0 ) 2 (V / 2) 2
第 个模的光场与第 个原子作用的受激辐射速率为
2 c3 A21 W sin 2 k z 2 2 2 ( ) 2 2
速地转移到激光上能级E2，其跃迁几率用S32表示。 3. 处在E2能级的粒子，能通过自发辐射、非辐射跃迁和 受激辐射，跃迁到激光下能级E1，其跃迁几率分别用A21， S21和W21表示。
4. 处在E1能级的粒子，能通过受激吸收到达E2，或非辐
射跃迁到E0，其跃迁几率分别用 W12和S10表示。 各能级上的粒子数密度N0，N1，N2，N3如果变化？ 光子数密度n如果变化？
在脉冲开始建立的时间内，光子数和反转粒子数为
n(t ) ni e t
( WDi )
D(t ) Di {1
Wni
[1 e t ]}
2.5 均匀加宽的激光器的多模振荡
纵模
q qc / 2 L
c q q 1 q 2L
谱线线型 激光器阈值 增益饱和 均匀加宽 多模振荡
n 0, dD 0 dt
( a b ) 1 D0 [(a b ) N0 ( a b )]/ 2 2
引入
1 || ( a b ) 2
dD || ( D D0 ) 2WDn dt
dd dt
dd dt
|| (d d0 ) 2Wd n
当激光器在阈值之上不太高时，激光光子数不太大，有
dn (G0 )n Cn 2 dt
激光原理 典型激光器速率方程
dn2
dt
l
(n2
f2 f1
n1) 21( l , 0 )Nl
n2 (S21
A21 )
n3S32
由于每个模式的频率、损耗、g~(l ,0) 值不同，
必须建立m个光子数密度速率方程，其中第l个 模的光子数密度速率方程为
dNl dt
(n2
f2 f1
n1) 21( l , 0 ) Nl
Nl
Rl
21
(n2
f2 f1
n1) 21( l , 0 ) Nl
R1、R2为单位体积中，在单位时间内激励至E1 、E2能级的粒子数（激励速率）；1、2为E1 、E2能级的寿命； 21为E2能级由于至E1能级 跃迁造成的有限寿命。
6 多模振荡速率方程
如果激光器中有m个振荡模，其中第l个模的频 率则、E2能光级子的数粒密子度数、密光度子速寿率命方分程别为为l、Nl及Rl 。
Nl
Rl
四能级系统速率方程组
dn3 dt
n0W03
n3 (S32
A30 )
dn2 dt
(n2
f2 f1
n1) 21( l , 0 ) Nl
n2 (S21 A21) n3S32
dn0 dt
n1S10
n0W03
n3 A30
n0 n1 n2 n3 n
dNl dt
(n2
思路小结:
爱因斯坦采用唯象法得到光和物质相互作用 的关系式
考虑线型函数后必要的修正：几率按频率的 分布函数
原子和准单色光相互作用 单模振荡速率方程组（三能级系统和四能级
系统） 多模振荡速率方程组
end
(n2
f2 f1
n1) 21N
激光原理-4.2 典型激光器的速率方程
单模：具有一定谐振频率和准单色光
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1、三能级系统的能级跃迁特点和跃迁示意图
W13
A31
S31
E3 泵浦上能级
S32（热弛豫）
E2
激光上能级 （亚稳态）
A21
S21
W21
W12
S31, A31 S32; S31 A31
E1（激泵光浦下下能能级级）
S21 A21
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F
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思考：分别求洛仑兹线型和高斯线型下简
化线型函数对应的等效谱宽 。
21 , 0
A21 2
8
h
2 0
g% ,0
21 l , 0 Nl 21 Nl 21 N
l
l
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根据简化模型, 四能级多模速率方程
dn3 dt
n0W03
' '
'
此时有： '
激光器中的情形即 是如此!
0 '
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g%
',
0
'
d
'
中的被积函数
只在辐射场中心频率 附近很窄范围内才不为零。
g% ',0 g% ,0
' ' 且:
因 ' 很小,则有:
'
0
' '
'
d
' 1
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n2
f2 f1
n1
21
,
0
Nl
R1,R2为单位体积中，在单位时间内激励至 E1,E2能级的粒子数；τ1，τ2为E1, E2能级的寿命； τ21为E2能级由于至E1能级的跃迁造成的有限寿命。
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1、三能级系统的能级跃迁特点和跃迁示意图
W13
A31
S31
E3 泵浦上能级
S32（热弛豫）
E2
激光上能级 （亚稳态）
A21
S21
W21
W12
S31, A31 S32; S31 A31
E1（激泵光浦下下能能级级）
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F
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思考：分别求洛仑兹线型和高斯线型下简
化线型函数对应的等效谱宽 。
21 , 0
A21 2
8
h
2 0
g% ,0
21 l , 0 Nl 21 Nl 21 N
l
l
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根据简化模型, 四能级多模速率方程
dn3 dt
n0W03
' '
'
此时有： '
激光器中的情形即 是如此!
0 '
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g%
',
0
'
d
'
中的被积函数
只在辐射场中心频率 附近很窄范围内才不为零。
g% ',0 g% ,0
' ' 且:
因 ' 很小,则有:
'
0
' '
'
d
' 1
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n2
f2 f1
n1
21
,
0
Nl
R1,R2为单位体积中，在单位时间内激励至 E1,E2能级的粒子数；τ1，τ2为E1, E2能级的寿命； τ21为E2能级由于至E1能级的跃迁造成的有限寿命。
第3讲 典型激光器介绍及光线传输矩阵
能级
图
封离式CO2激 光器结构示意 图
12
3.1 典型激光器介绍
13
3.1 典型激光器介绍
▪ Ar+离子激光器
➢ Ar＋激光器一般由放电管、谐振腔、轴向磁场和回气管等几部分组 成。如下图所示为石墨放电管的分段结构 。
分段石墨结构Ar+激光器示意图
14
3.1 典型激光器介绍
15
3.1 典型激光器介绍
3、不同介质介面（平面）
ro ri 0
ro
0
1 2
ri
1
ro ro
0
0
1 2
ri ri
Байду номын сангаас
由近轴近似，折射定律可以写成
1 sin ri 2 sin ro 1 ri 2 ro
辐射不是基于原子分子或离子的束缚电子能级间的跃磁韧致辐射带电粒子在磁场中受到洛伦兹力的作用会作加速运动从而产生辐射当速度接近光速的电子作圆周运动时将会辐射出光子由于这种辐射1947年在同步加速器上被发现的因而被命名为同步辐射synchrotronradiation切伦科夫辐射当电子在介质中运动时如果它们的速度比光在介质中的相速度大电子也会产生光辐射其波长随着电子速度而变化虽然光很弱但却是单色性很好的辐射光
➢ 谱线范围宽 ---目前有数百种气体和蒸气可以产生激光，已经观测到 的激光谱线近万余条，谱线覆盖范围从亚毫米波到真空紫外波段， 甚至 X射线、射线波段。
➢ 光束质量优---工作物质均匀一致保证了气体激光束的优良光束质量， 在光束的相干性、单色性方面优于固体、半导体激光器，如He-Ne 激光的单色性很高，Δλ很容易达到10-9～10-11nm，其发散角只有l～ 2毫弧度。
第四章典型激光器 的速率方程
dDn Dn Dn 21 n l ,n 0 )vNl n0W03 dt 2
2
1 A21 S21
dDn Dn ) Dn 21 n l ,n 0 vN n0W03 dt 2 n0W03 2 n0 w03 2 Dn 0 Dn 21 n 1 ,n 0 ) 2 In1 In 1 1 21 n 1 ,n 0 )vN 2 1 1 hn 0 I s n 1 ) dDn0 Dn0 1 I s n1 ) n0W03 In1 Nh n1v n 0 , n 0 , 3 1 dt 2
S10
dn0 n1 S10 n0W03 n3 A30 dt
dNl Nl Nl f2 n2W21 n1W12 (n2 n1 ) 21 n ,n 0 )vN l dt Rl f1 Rl
n0 n1 n2 n3 n
忽略n3W30 , n2A21 ?
• 小信号增益曲线的形状完全取决于谱线线型函数 均匀加宽介质
中心频率处小 信号增益系数
2 ) D n 2 0 0 H n ) g H n 0 ) gH 2 n n 0 ) Dn H 2)2
g n 0 ) Dn 21
0 H 0
v A21 Dn 2 4 2n 0 Dn H
ln 2
g n)
Dn n )
• 增益线宽～ (自发辐射)荧光线宽DnF 氦氖 Nd:YAG 钕玻璃 若丹明 6G GaAlAs (0.85mm) InGaAsP (1.55mm)
荧光线宽（s-1） 1.5×109 1.95×1011 7.5×1012 5×1012~3×1013 1013 1012~1013
1 2 n
N l N l 1 ,N l 2 N l n
激光原理(4)-速率方程
均匀加宽线型函数
∆ν H 2π
2
g H (ν ,ν 0 ) =
∆ν H 2 (ν − ν 0 ) + ( ) 2
1 1 1 ∆ν H = ( + ) = ∆ν N + ∆ν L 2π τ s τ L
一般气体激光器：
NJUPT
非 均 匀 加 宽
气体激光器的非均匀加宽往往只有多普勒加宽
gi (ν ,ν 0 ) = g D (ν ,ν 0 ) ∆ν i = ∆ν D
原子和准单色光辐射场的相互作用 在频率为 ν 的单色辐射场作用下，受激跃迁（吸收与发射）几率：
W21 = B21 g (ν ,ν 0 ) ρ W12 = B12 g (ν ,ν 0 ) ρ
g (ν ,ν 0 )
ρ = N l hν
发自发辐射线型函数 在v处的函数值 N l ——第 l 模式的光子数密度
x( t ) = x e
e
γ ——衰减因子（阻尼系数）
NJUPT
谱线加宽的机理
自然加宽（Natural broadening）
g N (ν ,ν 0 ) =
4 最大值： ν ν= = g (ν 0 ,ν 0 ) 0，
( )2 + 4π 2 (ν − ν 0 )2 2
γ
γ
γ 1 线宽：ν = g N (ν ,ν 0 ) ν 0 ± ， g N (ν ,ν 0 ) = 4π 2
= n2 B21 ∫
+∞ −∞
g (ν ,ν 0 ) ρν dν
NJUPT
原子和准单色光辐射场的相互作用
∆ν ′ ∆ν
在 ∆ν ′ 作不变
g (ν ′,ν )
范围内： 近似看
CH3_4深圳大学激光器原理与技术
c3 c3 A21 ( ) B21 A 21 ~ ( , ) 8h 3 8h 3 g 0
~ ( , ) B21 ( ) B21 g 0
c3 场ρν的作用下的总受激跃迁几率，分配在频率ν 处单位频带内的受激跃迁几率:
W21 ( ) B21 ( ) B21 ~ g ( , 0 )
ρν ρν
g(ν,ν0)
Δν
(4.4.6) (4.4.7) ν
原子和连续谱场相互作用
dn ( 21 )st n2 B21 ~ g ( , 0 ) d n2 B21 0 dt
ρν0是连续谱辐射场在原子中心频率ν0处的单色能量密度。 可见，这和具有连续谱黑体辐射场一致。
2到达高能级e的粒子数时将主要以无辐射跃迁热弛豫的形式极为迅速地转移到激光上能级e其几率设为s32也能以自发辐射几率a31和无辐射跃迁几率s31但对于一般激光工作物质这种消激励过程的几率很小即s3112三能级系统激光工作物质的能级简图
§ 4.3典型激光器速率方程
激光器腔内光子数和工作物质各有关能级上的原子数随时间变化的微分 方程组，称为激光器速率方程组。 激光器速率方程组和参与产生激光过程的能级结构和工作粒子(原子、 分子等)在这些能级间的跃迁特性有关。不同激光工作物质的能级结构 和跃迁特性可能很不相同，而且很复杂。但是，我们还是可以从中归纳 出一些共同的、主要的物理过程，从而针对一些简化的、具有代表性的 模型列出速率方程组，这就是所谓三能级系统和四能级系统。
激光器内ρ与第 l 模内的光子数密度Nl的关系： N l h
8 2 腔内单位体积中频率处于附近的单位频率间隔内的光波模式数: n c3
W12，W21可表示为与Nl有关的形式：
g ( , 0 ) W21 B21 ~ ~ W B g ( , 0 ) 12 12 A 8h 3 21 n h 3 c B21 B12 f1 B21 f 2 N h l 8 2 n 3 c
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f2 f1
B21
在辐射场 的作用下的总受激跃迁几率 W21 中，
分配在频率 处单位频带内的受激跃迁几率为：
W21 B21 B21 g% ,0
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4、公式的修正
dn21 dt
sp
n2 A21
d
n2 A21g% , 0
d n2 A21
' '
'
此时有： '
激光器中的情形即 是如此!
0 '
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g%
',
0
'
d
'
中的被积函数
只在辐射场中心频率 附近很窄范围内才不为零。
g% ',0 g% ,0
' ' 且:
因 ' 很小,则有:
'
0
' '
'
d
' 1
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物理意义: 由于谱线加宽, 外来光的频率 并不 一定要精确等于原子发光的中心频率 0 才能产生 受激跃迁,而是主要在=0 附近的一个频率范围内 都能产生受激辐射。当ν偏离中心频率ν0时，跃 迁几率急剧下降。
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6、受激辐射、受激吸收几率的其它表达形式
W21
B21 g% ,0
—吸收截面
中心频率处发射截面和吸收截面最大！
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均匀加宽工作物质中心频率发射截面
21 0
A21 2
4
2
2 0
H
非均匀加宽工作物质中心频率发射截面
21 0
ln 2 A21 2
4
3
2
2 0
D
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二、单模振荡速率方程组
速率方程组：腔内光子数和工作物质各有关能级上 的原子数随时间变化的微分方程组。
g% , 0
d n2 B210
dn12 dt
st
n1B12
g% , 0
d n1B12 0
与原来唯象公式一样！
推论：W21 B210 W12 B120
典型事例：原子与黑体辐射场作用。
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(2)、原子与准单色辐射场的相互作用
g% ',0 g~g%',',00
3、自发辐射、受激辐射和受激吸收概率
P n2h0 A21g% ,0 n2h0 A21
1 A21 A21g% , 0
表示在总自发跃迁几率 A21 中，分配在频率 处
单位频带内的自发跃迁几率。
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Байду номын сангаас
2
B21
B21g% , 0
c3
8 3
A21
3
B12 B12 g% , 0
2、三能级系统的单模振荡速率方程组
dn3
dt
n1W13 n3
A31 S32 S31
形 式 一
dn2
dt
n3S32
n1W12
n2
S21 A21
n2W21
n1 n2 n3 n
dNl dt
n2W21
n1W12
Nl
Rl
又因为： W21 21 ,0 Nl
W12
12 , 0 Nl
出发。忽略光子的相位特性、 光子数的起伏特性。
2、作用：激光的强度特性、烧孔效应、兰姆 凹陷、多模竞争等。
3、优势：简洁明了。
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一、考虑谱线加宽后对唯象公式的修正
1、速率方程组：腔内光子数和工作物质各有关能 级上的原子数随时间变化的微分方程组。
2、爱因斯坦唯象公式的回顾
单模：具有一定谐振频率和准单色光
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1、三能级系统的能级跃迁特点和跃迁示意图
W13
A31
S31
E3 泵浦上能级
S32（热弛豫）
E2
激光上能级 （亚稳态）
A21
S21
W21
W12
S31, A31 S32; S31 A31
E1（激泵光浦下下能能级级）
S21 A21
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dn12 dt
st
dn21 dt
st
辐射场的带宽： '
(黑体辐射场)
g~ , g(',0)0
原子
0
原子谱线的宽度：
此时有： '
g%
,
0
d
中的被积函数
只在 0 附近很小范围内
（ ）才不为零。
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0
g%
,
0
d
0
dn21 dt
st
n2 B21
谱线加宽对自发辐射表达式无影响！
dn21 dt
st
n2W21
d n2 B21 g% , 0
d
dn12 dt
st
n1W12
d n1B12 g% , 0
d
※积分与辐射场的带宽有关！
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5、两种情况讨论
目标：找积分
g%
,
0
d
(1)、原子与连续谱光辐射场 的相互作用
g%
', 0
'd
'
g%
,
0
'
d
'
g%
,
0
dn21 dt
st
n2 B21
g%
', 0
'd
'
n2 B21g%
, 0
dn12 dt
st
n1B12
g%
', 0
'd
'
n1B12 g%
, 0
W21 B21g% , 0
W12
B12 g% , 0
－ 准单色光辐射场总能量密度
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dn21 dt
sp
n2 A21
dn12 dt
st
n1W12
dn21 dt
st
n2W21
W21 B21 W12 B12
B12 f1 B21 f2
A21 B21
8 h 3
c3
n h
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说明：上述关系建立在能级无限窄，因而自发辐射 是单色的假设基础上。实际上，自发辐射并 非是单色，因此需做必要的修正。
§4.2 典型激光器的速率方程
Rate Equation of the Typical Laser
太原理工大学理学院物理系
激光器的理论
一、经典理论 二、半经典理论——激光器的兰姆理论 三、量子理论 四、速率方程理论
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速率方程理论——量子理论的简化形式 1、处理方法：从光子与物质原子的相互作用
A21 n
g% , 0 Nl
21 , 0 Nl
W12
B12g~ , 0
f2 f1
A21 n
g% , 0 Nl
12 , 0 Nl
其中：
激光第 l 个模内的光子数密度
21 , 0
A21 2
8
2 0
g% ,0
—发射截面
12 ,0
f2 f1
A12 2
8
2 0
g% ,0
f2 f1
21
,
0
N
l
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dn3
dt
n1W13
n3
A31 S32
形 式
dn2 dt
n2
f2 f1
n1
21
,
0
Nl
n2 S21
A21 n3S32