高三数学“三模”试题分析
山东省济宁市2024届高三下学期三模数学试题(解析版)
山东省济宁市2024届高三下学期三模数学试题注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则中元素的个数为（ ）A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】【分析】根据分式不等式解集合B ，结合交集的概念与运算即可求解.【详解】由，得且，解得，即，所以，有2个元素.故选：B2. 的展开式中的系数为（ ）A. B. C. 120 D. 160【答案】A 【解析】【分析】求出二项式展开式的通项公式，再由给定幂指数求解即得.【详解】二项式展开式的通项为，由，得，所以的展开式中的系数为.故选：A{}22,1,1,2,01x A B x x ⎧⎫+=--=≤⎨⎬-⎩⎭A B ⋂201x x +≤-(2)(1)0≤x x +-10x -≠21x -£<{21}B x x =-≤<{2,}1A B ⋂=--262()x x-3x 160-120-262(x x-261231662C ()()(2)C ,N,6r rr r r r r T x x r r x--+=-=-∈≤1233r -=3r =262()x x-3x 336(2)C 160-=-3. 若随机变量，随机变量，则（ ）A. 0 B.C.D. 2【答案】B 【解析】【分析】利用正态分布的两个参数就是随机变量的期望和方差，再利用两个线性随机变量之间的期望和方差公式，即，就可以求出结果.【详解】由可知：，又因为，所以，，则，故选：B.4. 已知数列中，，则（ ）A. B. C. 1D. 2【答案】C 【解析】【分析】利用数列的递推公式求出数列的周期，即可求解.【详解】由，得，，，，，，()2~32X N ，1(3)2Y X =-()1()1E Y D Y +=+1245()()(),E Y E kX b kE X b =+=+()2()()D Y D kX b k D X =+=()2~32X N ，()3,()4E X D X ==1(3)2Y X =-()131333()(0222222E Y E X E X =-=-=-=()131()(1224D Y D X D X =-==()1011()1112E Y D Y ++==++{}n a ()*1211212n n n a a a a a n n +-===-≥∈N ，，，2024a=2-1-()*12112,1,2,n n n a a a a a n n +-===-≥∈N3211a a a =-=-4322a a a =-=-4531a a a ==--6541a a a =-=7652a a a =-=8761a a a ==-则是以6为周期的周期数列，所以.故选：C5. 已知抛物线的焦点为，过且斜率为的直线交抛物线于，两点，若，则（ ）A.B. 1C.D. 2【答案】D 【解析】【分析】设，，，联立抛物线方程，利用韦达定理和抛物线的定义建立关于的方程，解之即可求解.【详解】由题意知，，设，联立直线与抛物线得，消去，得，所以.由抛物线的定义知.而，故，解得.故选：D.{}n a 20243376221a a a ⨯+===2:2(0)C y px p =>F F 2l C A B ||5AB =p =1232:22p l y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭()11,A x y ()22,B x y p ,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭()()1122:2(),,,,2p l y x A x y B x y =-22()22p y x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩y 22460x px p -+=1232x x p +=1212352222p p AB AF BF x x x x p p p p ⎛⎫⎛⎫=+=+++=++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5AB =552p =2p =6. 已知函数，若在区间上的值域为，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D 【解析】【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再借助正弦函数的图象与性质求解即得.【详解】依题意，函数，当时，，显然，且正弦函数在上单调递减，由在区间上的值域为，得，解得，所以实数的取值范围是.故选：D7. 已知函数为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】A 【解析】【分析】利用偶函数的性质求出的解析式，再利用导数的几何意义求出切线方程.【详解】函数为偶函数，当时，，则当时，，求导得，则，而，所以曲线在点处的切线方程是，即.故选：A1()cos )cos 2f x x x x =+-()f x π[,]4m -[m ππ[,62ππ[,62π7π[,612π7π,612⎡⎤⎢⎥⎣⎦()f x 211π()cos cos 2cos 2sin(2226f x x x x x x x =+-=+=+π[,]4x m ∈-πππ2[,2]636x m +∈-+π4ππsin(sin 1332-===sin y x =π4π[,]23()f x π[,]4m -[ππ4π2263m ≤+≤π7π612m ≤≤m π7π,612⎡⎤⎢⎥⎣⎦()f x 0x <2()ln()f x x x =-+()y f x =(1,(1))f 320x y --=320x y +-=320x y ++=320x y -+=0x >()f x 0x <2()ln()f x x x =-+0x >2()()ln f x f x x x =-=+1()2f x x x'=+(1)3f '=(1)1f =()y f x =(1,(1))f 13(1)y x -=-320x y --=8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，根据双曲线的光学性质可知，过双曲线上任意一点的切线平分.直线过交双曲线的右支于A ，B 两点，设的内心分别为，若与的面积之比为，则双曲线的离心率为（ ）A.B.C.D..【答案】C【解析】【分析】利用切线长定理求得直线的方程，再借助双曲线的切线方程求出点的横坐标，结合面积关系求解即得.【详解】令圆切分别为点，则，，令点，而，因此，解得，又，则点横坐标为，同理点横坐标为，即直线方程为，设，依题意，直线的方程分别为：，，联立消去得：，整理得，令直线的方程为，于是，即点的横坐标为，因此，所以双曲线的离心率.故选：C的2222:1(00)x y C a b a b-=>>，12,F F C ()00,P x y 0022:1(0,0)x x y yl a b a b-=>>12F PF ∠1l 2F C 12121,,AF F BF F ABF 12,,I I I 12II I 212F I I 35C 325312I I I 1I 1212,,AF AF F F ,,P Q T 1122||||,||||,||||AP AQ F P FT F Q F T ===121212||||||||||||2FT F T F P F Q AF AF a -=-=-=0(,0)T x 12(,0),(,0)F c F c -00()()2x c c x a ----=0x a =112I T F F ⊥1I a 2I a 12I I x a =1122(,),(,)A x y B x y ,AI BI 11221x x y y a b -=22221x x y y a b -=y 122122(1)(1)x x x x y y a a -=-2211221()a y y x x y x y -=-AB x my c =+22211221()()()a y y a x my c y my c y c -==+-+I 2a c12212235II I F I I a a S a c S c a c -===- C 53c e a ==【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：①定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率定义求解离心率；②齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9. 已知复数，则下列说法中正确的是（ ）A. B. C. “”是“”的必要不充分条件 D. “”是“”的充分不必要条件【答案】AC 【解析】【分析】根据复数加法、乘法、乘方运算，结合复数的几何意义计算，依次判断选项即可.【详解】A ：设，则，所以，则，故A 正确；B ：设，则，所以，，则，故B 错误；C ：由选项A 知，，，又，所以，不一定有，即推不出；的,a c e ,a c e 12,z z 1212z z z z =⋅1212z z z z +=+12z z ∈R 12z z =12=z z 2212z z =12i,i(,,,)z a b z c d a b c d =+=+∈R 12(i)(i)()()i z z a b c d ac bd ad bc =++=-++12z z ===1212z z z z =12i,i(,,,)z a b z c d a b c d =+=+∈R 12()()i z z a c b d +=+++1z +=12z z +=1212z z z z +≠+12(i)(i)()()i z z a b c d ac bd ad bc =++=-++2i z c d =-12z z ∈R 0ad bc +=a cb d =⎧⎨=-⎩12z z =由，得，则，则，即，所以“”是“”的必要不充分条件，故C 正确；D ：设，则，若，则，即，若，则，得，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故D 错误.故选：AC10. 已知数列的前项和为，且满足，数列的前项和为，且满足，则下列说法中正确的是（ ）A. B. 数列是等比数列C. 数列是等差数列 D. 若，则【答案】BC 【解析】【分析】由数列的前项和为求出判断B ；由递推公式探讨数列的特性判断C ；求出判断A ；由求出，再利用裂求和法求解即得.【详解】由，得，，当时，，满足上式，因此，数列是等比数列，B 正确；由，得，，解得，，A 错误；当时，，两式相减得，于是，两式相加得，整理得，因此数列是等差数列，C 正确；12z z =i i a b c d +=-a cb d=⎧⎨=-⎩0ad bc +=12z z ∈R 12z z ∈R 12z z =12i,i(,,,)z a b z c d a b c d =+=+∈R 22222212()2i,()2i z a b ab z c d cd =-+=-+12=z z =2222+=+a b c d 2212z z=2222()2i ()2i a b ab c d cd -+=-+222222a b c d ab cd⎧-=-⎨=⎩12=z z 2212z z ={}n a n n S 1233n nS +=-{}n b n n T 112n n T b n =+113=a b {}n a {}n b 23b =101319log 10na n nb ==∑{}n a n n S n a {}n b 1b 23b =n b 1233n nS +=-113322n n S +=⋅-113a S ==2n ≥111(33)32n nn n n n a S S +-=-=-=13a =3n n a ={}n a 112n n T b n =+2n n n T b n =+111112b T b ==+12b =113a b ≠2n ≥11112n n n T b n ---=+-121122n n n n b b ---+=11122n n n n b b +-=+112211222n n n n n n b b b -+---=+112n n n b b b -+=+{}n b当时，等差数列的公差为1，通项，，所以，D 错误.故选：BC11. 如图，在直三棱柱中，，，分别是棱，上的动点（异于顶点），，为的中点，则下列说法中正确的是（ ）A. 直三棱柱体积的最大值为B. 三棱锥与三棱锥的体积相等C. 当，且时，三棱锥外接球的表面积为D. 设直线，与平面分别相交于点，，若，则的最小值为【答案】BCD 【解析】【分析】A 选项：根据三棱柱体积公式，结合三角函数值域可得最值；B 选项：根据等体积转化可判断；C 选项：结合正弦定理确定正三角形外心，进而确定球心及半径；D选项：根据相似及基本不等式可得最值.【详解】A 选项：由已知可得，又，所以，即体积的最大值为，A 选项错误；B 选项：如图所示，23b ={}n b 1n b n =+31111log (1)1n a n b n n n n ==-++10131111111111011log 22391010111111na n nb ==-+-++-+-=-=∑ 111ABC A B C -2AB BC ==13AA =D E 1AA 1CC 1AD C E =F 11B C 111ABC A B C -1B DEF -A DEF -60ABC ∠=︒123AD AA =D ABC -28π3DF EF ABC P Q 1cos 4ABC ∠=AP CQ +111111sin 6sin 2ABC A B C ABC V S AA BA BC ABC AA ABC -=×=××Ð×=Ð()0,ABC π∠∈(]sin 0,1ABC ∠∈6由点为的中点，则，设点到平面的距离为，则，，又，所以，所以，B 选项正确；C 选项：如图所示，由已知为正三角形，设外接球球心为，中心为，中点为，则平面，且，，即，所以外接球半径为，外接球表面积为，C 选项正确；D 选项：如图所示，取中点，可知在的延长线上，在的延长线上，F 11B C 111B DEF C DEF F C DE V V V ---==F 11AA C C h 11113B DEF F C DE C DE V V S h --==×13B DEF F ADE ADE V V S h --==×1ADC E =1ADE C DE S S = 1F C DE F ADE V V --=ABC O ABC 1O AD M 1OO ⊥ABC 1111123OO AD AA ===12sin AB O A ACB ==∠1O A =R ==228π4π3R =BC N P NA Q BC则，即，设，，易知，，则，，则，,，所以，当且仅当，即时取等号，故D 选项正确；故选：BCD.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知函数则____________.【解析】【分析】利用已知分段函数，可先求，再求.【详解】因为，所以.所以..13. 甲和乙两个箱子中各装有6个球，其中甲箱子中有4个红球、2个白球，乙箱子中有2个红球、4个白球，现随机选择一个箱子，然后从该箱子中随机取出一个球，则取出的球是白球的概率为____________.【答案】##05的.22212coc 4122144AN BA BN BA BN ABC =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=2AN =11AD C E AA λ==()0,1λ∈PAD PNF 1QCE FC E PA AD PN NF =11QC CEFC C E=()()2PA PN PA AN PA λλλ==+=+21PA λλ=-111QC FC λλλλ--==211AP CQ λλλλ-+=+≥-211λλλλ-=-1λ=410()2log 0xx f x x x ⎧⎛⎫⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩，，，…12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11(22f =-1122f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭410()2log 0xx f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩，，，44111log =log 2222f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭11221112222f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭12【解析】【分析】把所求概率的事件分拆成两个互斥事件的和，再利用互斥事件的概率公式及相互独立事件的概率公式求解即得.【详解】依题意，取出的球是白球的事件是取甲箱并取白球的事件与取乙箱并取白球的事件的和，显然事件与互斥，，，所以.故答案为：14. 已知，则的最小值为____________.【解析】【分析】根据平面向量的模求出数量积，利用向量的几何意义和运算律计算可得与点的距离之和，作出图形，确定的最小值，结合图形即可求解.【详解】由，得，即，解得.，与点的距离之和.如图，点关于x轴的对称点为，连接，A1A2A 1A2A1121()266P A=⨯=2141()263P A=⨯=121()()()2P A P A P A=+=126a a b=-=11()()23f x xa b xa b x=-+-∈Ra b⋅()f x=(,0)P x1111(,(,)2233A B----PA PB+6,a a b=-=222218a b a a b b-=-⋅+=1823618a b-⋅+=18a b⋅=-11()23f x ax b ax b=-+-=====(,0)P x1111(,(,)2233A B----A11(,)22A'-A B'则，当且仅当三点共线时等号成立，所以的最小值为与点的距离之和，结合图形，确定（当且仅当三点共线时等号成立）.四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15. 产品重量误差是检测产品包装线效能的重要指标.某食品加工厂为了检查一条新投入使用的全自动包装线的效能，随机抽取该包装线上的20件产品作为样本，并检测出样本中产品的重量（单位:克），重量的分组区间为.由此得到样本的频率分布直方图（如图），已知该产品标准重量为500克.（1）求直方图中的值；（2）若产品重量与标准重量之差的绝对值大于或等于5，即判定该产品包装不合格，在上述抽取的20件PA PB PA PB A B +=+≥=='',,A P B '()f x (,0)P x 1111(,(,)2233A B ----PA PB PA PB A B ++'=≥',,A P B '(485,490],(490,495],,(505,510] a产品中任取2件，求恰有一件合格产品的概率；（3）以样本的频率估计概率，若从该包装线上任取4件产品，设为重量超过500克的产品数量，求的数学期望和方差.【答案】（1）0.05； （2）； （3），.【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图中小矩形面积和为1求出的值.（2）求出抽取的20件产品中的不合格件数，再利用古典概率计算即得.（3）求出样本中，重量超过500克的产品数量及对应概率，利用二项分布的期望、方差公式计算得解.【小问1详解】依题意，，解得，所以直方图中的值是0.05.【小问2详解】样本中不合格产品数量为，记事件表示“在上述抽取的20件产品中任取2件，恰有一件合格产品”则，所以在上述抽取的20件产品中任取2件，恰有一件合格产品的概率为.小问3详解】根据该样本频率分布直方图，重量超过500克的产品数量为，则从包装线上任取一件产品，其重量超过500克的概率为所以，随机变量，因此，.16. 图1是由正方形ABCD 和两个正三角形组成的一个平面图形，其中，现将沿AD 折起使得平面平面，将沿CD 折起使得平面平面，连接EF ，BE ，BF ，如图2.【Y Y 4895652125a (0.010.060.070.01)51a ++++⨯=0.05a =a 20(0.010.060.01)58⨯++⨯=A 11812220C C 48()C 95P A ==489520(0.050.01)56⨯+⨯=632010=3~(4,)10Y B 36()4105E Y =⨯=3321()4(1)101025D Y =⨯⨯-=,ADE CDF △△2AB =ADE V ADE ⊥ABCD CDF CDF ⊥ABCD（1）求证:平面；（2）求平面与平面夹角的大小.【答案】（1）证明见解析； （2）.【解析】【分析】（1）取的中点，利用面面垂直的性质，结合平行四边形的性质、线面平行的判定推理即得.（2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用面面角的向量求法求解即得.【小问1详解】分别取棱的中点，连接，由是边长为2正三角形，得，又平面平面，平面平面，平面，则平面，同理平面，于是，即四边形为平行四边形，，而平面平面，所以平面.【小问2详解】//EF ABCD ADE BCF π6,CD AD ,O P O BCF ,CD AD ,O P ,,OF PE OP CDF ,OF CD OF ⊥=CDF ⊥ABCD CDF ⋂ABCD DC =OF ⊂CDF OF ⊥ABCD PE ⊥,ABCD PE =//,OF PE OF PE =OPEF //OP EF OP ⊂,ABCD EF ⊄ABCD //EF ABCD取棱的中点，连接，由四边形为正方形，得，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，设平面的一个法向量为，则，令，得，由，平面平面，平面平面平面，得平面，则为平面的一个法向量，设平面与平面的夹角为则，解得，所以平面与平面的夹角为.17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为，已知.（1）求证:；（2）若，求面积的取值范围.【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）根据两角和差的正弦公式、二倍角的余弦公式化简计算可得，结合诱导公式计算即可证明；（2）由（1）得且，根据正弦定理、三角形的面积公式和三角恒等变换化简可得，结合正切函数的性质即可求解.【小问1详解】，，，又，则，，AB Q OQ ABCD OQ CD ⊥O ,,OQ OC OF,,x y z (2,1,0),(0,1,0),(0,1,0)B C F D -(2,0,0),(0,CB CF ==-BCF (,,)n x y z = 200n CB x n CF y ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩1z =n =CD AD ⊥ADE ⊥ABCD ADE ,ABCD AD CD =⊂ABCD CD ⊥ADE (0,2,0)DC =ADE ADE BCF θ||cos |cos ,|||||DC n DC n DC n θ⋅=〈〉===π(0,]2θ∈π6θ=ADE BCF π6a b c ，，(1cos 2)(sin 1)cos sin 20C A A C -+-=π2B C =+ππ4,,86a C ⎛⎫=∈⎪⎝⎭ABC (4,2sin (sin cos )0C C B +=π22A C =-ππ64A <<4tan 2ABC S C = (1cos 2)(sin 1)cos sin 20C A A C -+-=sin 1cos 2sin cos 2cos sin 20A C A C A C +---=sin cos 21sin(2)0A C A C -+-+=πA CB +=-sin()cos 21sin()0BC C B C +-+--=2sin cos sin cos 12sin 1sin cos sin cos 0B C C B C B C C B +-++-+=，即，又，所以，即，又，所以；【小问2详解】由（1）知，，得，由，得，由正弦定理得，得，所以，又，所以，又在上单调递增，则，所以，即的面积我取值范围为.18. 已知椭圆的左焦点为，上顶点为，离心率，直线FB 过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线与椭圆相交于M ，N 两点（M 、N 都不在坐标轴上），若，求直线的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据给定条件，求出即得椭圆的标准方程.（2）根据给定条件，借助倾斜角的关系可得，设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理结合斜率的坐标公式求解即得.【小问1详解】22sin 2sin cos 0C C B +=2sin (sin cos )0C C B +=sin 0C >sin cos 0C B +=πcos sin cos()2B C C =-=+0π,0πB C <<<<π2B C =+π2B C =+πA B C ++=π22A C =-ππ86C <<ππ64A <<sin sin a c A C=sin sin 4sin πsin cos 2sin(2)2a C a C Cc A C C ===-2211sin π1sin 4sin 2sin 4sin()4cos 4tan 222cos 222cos 2cos 2ABC C C CS ac B C C C C C C==⨯⨯+=⨯⨯== ππ86C <<ππ243C <<tan y x =ππ(,22-tan 2C ∈4tan 2C ∈ABC (4,2222:1(0)x y E a b a b +=>>F B e =(1,2)P E F l E MPF NPF =∠∠l 2212x y +=550x y ++=,,a b c E 1MP NP k k ⋅=l令，由，得，则直线的斜率，由直线过点，得直线的方程为，因此所以椭圆的标准方程为.【小问2详解】设，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，由直线的斜率知直线的倾斜角为，于是，即有，显然均不等于，则，即直线的斜率满足，由题设知，直线的斜率不为0，设直线的方程为，由，消去x 并整理得，，显然，设，则，由，得，即，则，整理得，即，于是，而，解得，，所以直线的方程为，即.【点睛】关键点点睛：本题第2问，由，结合直线倾斜角及斜率的意义求得(,0)F c -c e a ==,a b c ==FB 1k =FB (1,2)P FB 1y x =+1,b c a ===C 2212x y +=MPF NPF θ∠=∠=MP βNP αFP 1k =FP π4ππ,44αθβθ=+=+π2αβ+=,αβπ2πsin()sin 2tan tan 1πcos cos()2αααβαα-=⋅=-,MP NP 1MP NP k k ⋅=l l 1,1x my m =-≠22122x my x y =-⎧⎨+=⎩22(2)210m y my +--=0∆>1122(,),(,)M x y N x y 12122221,22m y y y y m m +==-++1MP NP k k ⋅=121222111y y x x --⋅=--1212(1)(1)(2)(2)0x x y y -----=1212(2)(2)(2)(2)0my my y y -----=21212(1)(22)(0)m y y m y y ---+=2221(22)2022m m m m m --⋅--=++25410m m --=1m ≠15m =-l 115x y =--550x y ++=MPF NPF =∠∠是解题之关键.19. 已知.（1）判断在上的单调性；（2）已知正项数列满足.（i ）证明:；（ii ）若的前项和为，证明:.【答案】（1）单调递减；（2）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，再判断时，导数值的正负即可得解.（2）（i ）利用（1）的结论，结合分析法可得，再利用分析法推理，构造函数借助导数确定单调性即可得；（ii ）利用（i ）的结论，借助放缩法及等比数列求和即得.【小问1详解】函数的定义域为，求导得，令，求导得，当时，，函数在上单调递减，则，即所以在上单调递减.【小问2详解】（i ）首先证明:，即证明，即证明，即证明，由及（1）知，，所以；要证明，即证，只需证，而，则只需证，，令，则，由，知，则，1MP NP k k ⋅=()(2)e x f x x x =--()f x (0,)+∞{}n a 1*1)1,e e 1(n n a a n a a n +=⋅=-∈N *112()n n n a a a n ++<<∈N {}n a n n S *112()2n n S n -≥-∈N ()f x 0x >1n n a a +<12n n a a +<()f x R ()(1)e 1x f x x '=--()(1)e 1x g x x =--()e x g x x '=-,()0x ∈+∞()0g x '<()g x (0,)+∞()(0)g x g <()0f x '<()f x (0,)+∞1n n a a +<1ee n na a +<e 1e n na a na -<(1e 10)n a n a --<0n a >((1)e 0)1n an n g a a =--<1n n a a +<12n n a a +<112n n a a +<112e e n n a a n n a a +<1*e e 1()n n a a n a n +⋅=-∈N 12e e 1n n aa na ⋅<-12e n a t =2ln n a t =111,n n a a a +=<01n a <≤t ∈只需证，即证，令，求导得，于是函数在上单调递减，，即，因此，所以.（ii ）由（i ）可知，，则当且时，，当时，，所以.【点睛】思路点睛：数列是一类特殊的函数某些数列问题，，准确构造相应的函数，借助函数导数研究其单调性是解题的关键，背景函数的条件，应紧扣题中的限制条件.22ln 1t t t ⋅<-12ln ,t t t t<-∈1()2ln (),h t t t t t =--∈222222121(1)()10t t t h t t t t t-+--'=--==-<()ht t ∈()(1)0h t h <=12ln t t t<-12n n a a +<112n n n a a a ++<<1213243231111111,,,222222a a a a a a a =>=>>>>541411111,,2222n n n a a a a -->>>> 2n ≥*n ∈N 1232111111112*********n n nn n S a a a a ---=++++>++++==-- 1n =11S =*112()2n n S n -≥-∈N。
2024年成都七中高三数学(理)三模考试卷附答案解析
2024年成都七中高三数学（理）三模考试卷时间：120分钟满分：150分2024.04一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若向量(),4a x = 与向量()1,b x = 是共线向量，则实数x 等于（）A ．2B ．2-C ．2±D ．02．复数3i1iz +=-（其中i 为虚数单位）的共轭复数为（）A ．12i+B ．12i -C ．12i-+D ．12i--3．已知全集{}02πU x x =≤≤，集合sin A x x ⎧⎪=≥⎨⎪⎪⎩⎭，{}sin cos B x x x =≥，则A B ⋂等于（）A ．π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．ππ,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦4．2nx⎛⎝的展开式中，第5项为常数项，则正整数n 等于（）A ．8B ．7C ．6D ．55．三棱锥A BCD -的三视图如图所示，则该三棱锥的各条棱中，棱长最大值为（）AB C ．D ．26．已知3sin 2cos 21αα+=，则tan α=（）A ．3B ．13C ．13或0D ．3或07．已知圆22:1C x y +=，直线:0l x y c -+=，则“0c ≥”是“圆C 上任取一点(),x y ，使0x y c -+≤的概率小于等于12”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要8．有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：优秀非优秀甲班10b乙班c30附：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++（n a b c d =+++），()20P K k ≥0.050.0250.0100.0050k 3.8415.0246.6357.879已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为27，则下列说法正确的是（）A ．甲班人数少于乙班人数B ．甲班的优秀率高于乙班的优秀率C ．表中c 的值为15，b 的值为50D ．根据表中的数据，若按97.5%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”9．若ln 1,ln3b a e c =-==，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．c b a>>D ．a b c>>10．已知函数()cos f x x x =-，若()()12πf x f x +=，则()12f x x +=（）A ．π1-B ．π1+C ．πD ．011．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，左、右顶点分别为1A ，2A ，P 为双曲线上一点，且直线1PA 与2PA 的斜率之积等于3，则下列说法正确的是（）A ．双曲线的渐近线方程为3y x =±B ．双曲线CC ．若12PF PF ⊥，则12PF F △的面积为2aD ．以1F 为半径的圆与渐近线相切12．设函数()3f x x x =-，正实数,a b 满足()()2f a f b b +=-，若221a b λ+≤，则实数λ的最大值为（）A ．2+B ．4C ．2D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13．某班男女生的比例为3:2，全班的平均身高为168cm ，若女生的平均身高为159cm ，则男生的平均身高为cm .14．抛物线22y px =（0p >）的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点（A 在第一象限），分别过A ，B 作准线的垂线，垂足分别为C ，D ，若CD AF BF =-，则直线l 的倾斜角等于.15．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin cos 0c A C =，则22sin sin sin sin A B A B ++=.16．在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面1,90,1,2,ABC ABC BA BC BB P ∠=︒===是矩形11BCC B 内一动点，满足223PA PC +=，则当三棱锥-P ABC 的体积最大时，三棱锥-P ABC 的外接球的表面积为.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．某保险公司为了给年龄在20～70岁的民众提供某种疾病的医疗保障，设计了一款针对该疾病的保险，现从10000名参保人员中随机抽取100名进行分析，这100个样本按年龄段[)[)[)[)[]20,30,30,40,40,50,50,60,60,70分成了五组，其频率分布直方图如下图所示，每人每年所交纳的保费与参保年龄如下表格所示.（保费：元）据统计，该公司每年为该项保险支出的各种费用为一百万元.年龄[)20,30[)30,40[)40,50[)50,60[]60,70保费x2x3x4x5x(1)用样本的频率分布估计总体的概率分布，为使公司不亏本，则保费x 至少为多少元？（精确到整数）(2)随着年龄的增加，该疾病患病的概率越来越大，经调查，年龄在[)50,60的老人中每15人就有1人患该项疾病，年龄在[]60,70的老人中每10人就有1人患该项疾病，现分别从年龄在[)50,60和[]60,70的老人中各随机选取1人，记X 表示选取的这2人中患该疾病的人数，求X 的数学期望.18．已知数列{}n a 的前n 项和为,342n n n S S a =-.(1)证明：数列{}n a 是等比数列，并求出通项公式；(2)设函数()21ln 2f x x x ⎛⎫=⋅-⎪⎝⎭的导函数为()f x '，数列{}n b 满足()n n b f a ='，求数列{}n b 的前n 项和n T .19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面1,90,2,ABC ABC BA AA D ∠=︒==是棱AC 的中点，E 在棱1BB 上，且1AE A C ⊥.(1)证明：//BD 平面1AEC ；(2)若四棱锥111C AEB A -的体积等于1，求二面角11C AE A --的余弦值.20．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221x y a b+=（0a b >>）过点()2,0A ，直线l 与椭圆相交于不同于A 点的P ，Q 两点，N 为线段PQ 的中点，当直线ON 斜率为14-时，直线l 的倾斜角等于4π(1)求椭圆的方程；(2)直线AP ，AQ 分别与直线3x =相交于E ，F 两点.线段E ，F 的中点为M ，若M 的纵坐标为定值12，判断直线l 是否过定点，若是，求出该定点，若不是，说明理由.21．已知函数()()()e sin 1,0,πxf x ax x x x =---∈.(1)若12a =，证明：()0f x >；(2)若函数()f x 在()0,π内有唯一零点，求实数a 的取值范围.请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.选修4-4：坐标系与参数方程22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程1010x ty t =+⎧⎨=-⎩（为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin cos ρθθ=，且直线l 与曲线C 相交于,M N 两点.(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)设点()00,P x y 是直线l 上一点，满足20PM PN +=，求点P 的直角坐标.选修4-5：不等式选讲23．已知函数()1f x x =-.（1）求不等式()32f x x ≥-的解集；（2）若函数()()5g x f x x =+-的最小值为m ，正数a ，b 满足a b m +=，求证：224a bb a+≥.1．C【分析】根据向量共线列方程，解方程即可.【详解】因为a 与b共线，所以41x x ⋅=⨯，解得2x =±.故选：C.2．B【分析】先对复数z 化简，再根据共轭复数的概念求解.【详解】()()()()3i 1i 3i 24i12i 1i 1i 1i 2z ++++====+-+-，所以复数z 的共轭复数为12i -.故选：B.3．B【分析】先利用三角函数知识化简两个集合，结合交集运算可得答案.【详解】因为3sin 2x ≥，02x π≤≤，所以π2π33x ≤≤；因为sin cos x x ≥，所以πsin cos sin 04x x x ⎛⎫--≥ ⎪⎝⎭，所以π2π2ππ4k x k ≤-≤+，解得π5π2π+2π44k x k ≤≤+，Z k ∈；因为02x π≤≤，所以π5π44x ≤≤，所以π2π,33A B ⎡⎤⎢⎥⎣=⎦.故选：B 4．C【分析】利用二项式定理求出展开式通项，由条件列方程求n .【详解】二项式2n x⎛ ⎝的展开式的第1r +为()1C 2rn r rr n T x -+⎛= ⎝，所以()4444465C 2C 2n n n nn T x x---⎛== ⎝，由已知6n =，故选：C.5．A【分析】根据给定的三视图作出原三棱锥，再求出各条棱长即可得解.【详解】依题意，三视图所对三棱锥A BCD -如图，其中AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，1,2AB CD BC ===，则AC ==，BD ==，AD ==故选：A 6．D【分析】将条件等价转化为()sin 3cos sin 0ααα-=，再利用等式性质得到结果.【详解】由于()23sin 2cos 26sin cos 12sin 2sin 3cos sin 1αααααααα+=+-=-+，故条件3sin 2cos21αα+=等价于()sin 3cos sin 0ααα-=，这又等价于sin 0α=或sin 3cos αα=，即tan 0α=或tan 3α=，所以D 正确.故选：D.7．C【分析】由事件从圆C 上任取一点(),x y ，使0x y c -+≤的概率小于等于12，求c 的范围，结合充分条件和必要条件的定义判断结论.【详解】直线0x y c -+=的斜率为1，在x 轴上的截距为c -，在y 轴上的截距为c ，当c >C 上不存在点(),x y ，使0x y c -+≤，所以事件圆C 上任取一点(),x y ，使0x y c -+≤的概率为0，当c =C 上有且仅有一个点(),x y ，使0x y c -+≤，所以事件圆C 上任取一点(),x y ，使0x y c -+≤的概率为0，若0c <，如图，圆C 上满足条件0x y c -+≤点为劣弧AB （含,A B ）上的点，设劣弧AB 的长度为t ，则0πt <<，所以事件圆C 上任取一点(),x y ，使0x y c -+≤的概率12π2t P =<，若0c =，如图，圆C 上满足条件0x y c -+≤点为直线l 上方的半圆上的点，所以事件圆C 上任取一点(),x y ，使0x y c -+≤的概率π12π2P ==，若0c <<，如图，圆C 上满足条件0x y c -+≤点为优弧CD （含,C D ）上的点，设优弧CD 的长度为s ，则π2πs <<，所以事件圆C 上任取一点(),x y ，使0x y c -+≤的概率12π2t P =>，若c ≤C 上所有点满足条件0x y c -+≤，所以事件圆C 上任取一点(),x y ，使0x y c -+≤的概率2π12πP ==，所以“圆C 上任取一点(),x y ，使0x y c -+≤的概率小于等于12”等价于“0c ≥”，所以“0c ≥”是“圆C 上任取一点(),x y ，使0x y c -+≤的概率小于等于12”的充要条件，故选：C.8．D【分析】根据条件解出45b =，20c =，然后直接计算即可判断A ，B ，C 错误，使用2K 的计算公式计算2K ，并将其与5.024比较，即可得到D 正确.【详解】对于C ，由条件知1030105b c +++=，1021057c +=，故65b c +=，1030c +=.所以45b =，20c =，故C 错误；对于A ，由于甲班人数为10104555b +=+=，乙班人数为3020305055c +=+=<，故A 错误；对于B ，由于甲班优秀率为1025511=，乙班优秀率为202250511=>，故B 错误；对于D ，由于()2210545201030 6.109 5.024********K ⋅⨯-⨯=≈>⋅⋅⋅，故D 正确.故选：D.9．A【分析】由题设ln e a e =，ln 2ln 424b ==，ln 33c =，构造ln ()xf x x=(0)x >，利用导数研究其单调性，进而判断,,a b c 的大小.【详解】由题设知：ln e a e =，ln 2ln 424b ==，ln 33c =，令ln ()xf x x=(0)x >，则21ln ()x f x x -'=，易知(0,)e 上()f x 单调递增，(,)e +∞上()f x 单调递减，即()(3)(4)(2)f e f f f >>=，∴a c b >>.故选：A.【点睛】关键点点睛：构造ln ()xf x x=(0)x >，利用导数研究其单调性，进而比较函数值的大小.10．B【分析】先利用导数证得()f x 在R 上单调递增，再利用条件得到()()12πf f x x =-，结合单调性即知12πx x +=，最后代入求值即可.【详解】因为()cos f x x x =-，所以()1sin 0f x x '=+≥.所以()f x 在R 上单调递增.因为()()12πf x f x +=，所以()()()()()1122222ππcos f x f x f x f x f x x x =-++-=-=()()222πcos ππf x x x =----=，结合()f x 在R 上单调递增，知12πx x =-，即12πx x +=.所以()()12ππππ1cos f x x f +===+-.故选：B.11．D【分析】通过123PA PA k k =求得22b a ，从而求得双曲线的渐近线方程，由此判断A ；进而可求得双曲线的离心率判断B ；求得三角形的面积判断C ；求得1F 到渐近线的距离可判断D.【详解】对于A ，设点(,)P x y ，则2222)1(x y b a-=，因为12(,0),(,0)A a A a -，所以1222222PA PA y y y b k k x a x a x a a ===+-- ，又123PA PA k k =，得223b a =，所以ba=y =，故A 错误；对于B，因为2c a ==，所以双曲线C 的离心率为2，故B 错误；对于C ，因为12PF PF ⊥，所以2221212||||||PF PF F F +=，又12||||||2PF PF a -=，所以22121212(||||||)2|||||||PF PF PF PF F F -+=，所以2212(2)2|||||(2)a PF PF c +=，所以212||||2PF PF b =，所以12121||||2PF F S PF PF ==2b ，故C 错误；对于D ，由B 选项可得2c a =，以1F到渐近线方程为y =的距离为：222a d ===，又1F，所以以1F为半径的圆与渐近线相切，故D 正确.故选：D.12．A【分析】依题意可得33a b a b +=-，从而得到222211a b b a b a b ba λ+⎛⎫ ⎪⎝⎭+-≤=-，再令()1at t b =>，最后利用基本不等式计算可得.【详解】因为()3f x x x =-，所以()3f a a a =-，()3f b b b =-，又()()2f a f b b +=-，所以332a a b b b -+-=-，即33a b a b +=-，因为0a >，0b >，所以330a b +>，所以0a b >>，所以331a b a b+=-，又221a b λ+≤，即3322a b a b a bλ++≤-，所以322b ba b a b λ≤+-，所以222211a b b a b a b ba λ+⎛⎫ ⎪⎝⎭+-≤=-，令at b=，则1t >，所以2221112211111a t t b b a t t t t ++-+===++-⎛⎫ ⎪⎝⎭---()2121t t =-++-22≥+=+，当且仅当211t t -=-，即1t时取等号，所以)22min221b a b a b ⎛⎫+=+ ⎪-⎝⎭，所以2λ≤+，则实数λ的最大值为2+.故选：A【点睛】关键点点睛：本题关键是推导出331a b a b +=-，从而参变分离得到222b a a b b λ≤+-，再换元、利用基本不等式求出222b a b b a +-的最小值.13．174【分析】设出男生的平均身高，然后根据条件列方程求解即可.【详解】设男生的平均身高为cm x ，则根据题目条件知321591683232x +⋅=++，即3318840x +=，所以84031852217433x -===.故答案为：174.14．4π##45︒【分析】由已知结合抛物线的定义分别表示CD ，AF ，BF ，求出直线l 的斜率，即可求解.【详解】抛物线22y px =的准线为：2p x =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，则1,2p C y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2,2p D y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又A 在第一象限，所以10y >，20y <，所以12CD y y =-，由抛物线定义可得12pAF x =+，22p BF x =+，所以121222p pAF BF x x x x -=+--=-，又CD AF BF =-，所以12CD x x =-，所以1212x x y y -=-，故直线AB 的斜率12121y y k x x -==-，所以直线l 的倾斜角为π4.故答案为：π4.15．34##0.75【分析】由正弦定理可得sin sin cos 0C A A C =，可求得C ，由余弦定理可得222c a b ab =++，再结合正弦定理可得222sin sin sin sin sin A B A B C ++=，可求结论.【详解】由sin cos 0c A C =，结合正弦定理可得sin sin cos 0C A A C =，因为sin 0A ≠，所以sin 0C C =，所以tan C =因为(0,π)C ∈，所以2π3C =，由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-，可得222c a b ab =++，结合正弦定理可得2223sin sin sin sin sin 4A B A B C ++==.故答案为：34.16．73π##73π【分析】根据给定条件，确定点P 的位置，再结合球的截面小圆性质确定球心并求出球半径即得.【详解】显然三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，过P 作1//PQ AA 交BC 于Q ，连接AQ ，令,PQ x CQ y ==，显然PQ ⊥平面ABC ，,AQ BC ⊂平面ABC ，则,PQ AQ PQ BC ⊥⊥，而90ABC ∠=︒，则222222221(1),PA PQ AQ x y PC x y =+=++-=+，又223PA PC +=，于是22221(1)3x y y ++-+=，整理得2213()24x y =--+，当12y =时，max x 三棱锥-P ABC 的底面ABC 面积为12，要其体积最大，当且仅当x 最大，因此2PQ =，即1PC PB BC ===时，三棱锥-P ABC 的体积最大，PBC 的外接圆圆心2O 为正PBC 的中心，令三棱锥-P ABC 的外接球球心为O ，半径为R ，则2OO ⊥平面PBC ，显然AC 的中点1O 是ABC 的外接圆圆心，则1OO ⊥平面ABC ，由AB BC ⊥可得AB ⊥平面PBC ，于是21//O Q OO ，而1//O Q AB ，则1O Q ⊥平面PBC ，21//OO O Q ，四边形12OOQO 是平行四边形，因此121336OO O Q PQ ===，而11222O C AC ==，则22211712R OO O C =+=，所以三棱锥-P ABC 的外接球的表面积27π4π3S R ==.故答案为：7π3【点睛】关键点点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解.17．(1)30元(2)16【分析】（1）根据小矩形面积和为得到关于a 的方程，解出a 值，再列出不等式，解出即可；（2）首先分析出X 的取值为0，1，2，再列出对应概率值，利用期望公式计算即可.【详解】（1）()0.0070.0160.0250.02101a ++++⨯=，解得0.032a =，保险公司每年收取的保费为：()100000.070.1620.3230.2540.2510000 3.35x x x x x x +⨯+⨯+⨯+⨯=⨯，所以要使公司不亏本，则10000 3.351000000x ⨯≥，即3.35100x ≥，解得10029.853.35x ≥≈，即保费30x =元；（2）由题意知X 的取值为0，1，2，()14912601510150P X ==⨯=，()1914123115101510150P X ==⨯+⨯=，()11121510150P X ==⨯=，列表如下：X12P126150231501150()1262312510121501501501506E X ∴=⨯+⨯+⨯==.18．(1)证明见解析，212n n a -=(2)12520ln24399n n T n +⎤⎡⎫⎛⎫=⋅-+⎥ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭⎦【分析】（1）根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩分两步求解即可；（2）方法一：根据题意，结合导数运算与212n n a -=得()ln2214nn b n =⋅-⋅，进而将{}n b 通项公式变形为125211ln2443939n n n b n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⋅--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再根据裂项求和求解即可.方法二：根据题意，结合导数运算与212n n a -=得()ln2214nn b n =⋅-⋅，再根据错位相减法求和即可.【详解】（1）解：342n n S a =- ，()11342,2n n S a n --∴=-≥，相减得1344n n n a a a -=-，即14n n a a -=，∴数列{}n a 是以4为公比的等比数列，又1113423S a a =-=，解得12a =121242n n n a --=⋅=.（2）解：方法一：()212ln 2ln f x x x x x x x x'=+⋅-= ，()n n b f a ='，212n n a -=，()212122ln2ln2214n n n n b n --∴=⋅=⋅-⋅，()125211ln2214ln2443939n n n n b n n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅=⋅--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，∴1231n n nT b b b b b -=+++++ 21324357137ln244ln244ln24499999191⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⋅⨯+⨯+⋅⨯-⨯+⋅⨯-⨯+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦11252112520ln244ln243939399n n n n n n ++⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅---=⋅-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦∴12520ln24399n n T n +⎡⎤⎛⎫⋅-+ ⎪⎢⎝⎭⎣=⎥⎦.方法二：()212ln 2ln f x x x x x x x x'=+⋅-= ，()n n b f a ='，212n n a -=，()212122ln2ln2214n n nn b n --∴=⋅=⋅-⋅∴()()2311ln214ln234ln254ln2234ln2214n nn T n n -+++++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅-⋅ ()()12344ln214ln234ln254ln2234ln2214n n n T n n +++++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅-⋅+ ，两式相减得：()11233ln214ln224ln224ln224ln2214n n n T n +-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++⋅-⋅-⋅++ ()()1231ln2142ln2444ln2214n n n ++++=⋅⋅-⋅⋅+- ()()21114ln2142ln2ln22141414n n n +-=⋅⋅-+⋅⋅---()111ln2142ln2ln22414163n n n ++--⋅-⋅+=⋅⋅()()11165412ln22ln23ln221433ln 220432ln 2n n n n n +++⎡⎤-⋅+⋅⋅-=--⋅⎣=-⎦-∴()()1116546542520ln249939ln 220ln 2209n n n n n n T n +++⎡⎤⎡⎤-⋅-⋅⎡⎤⎛⎫⎣⎦⎣⎦===⋅-+ ⎪⎢⎥---⎭⎣+⎝⎦∴12520ln24399n n T n +⎡⎤⎛⎫⋅-+ ⎪⎢⎝⎭⎣=⎥⎦19．(1)证明见解析(2)12【分析】（1）先利用线面垂直的判定与性质定理证得1AE A B ⊥，再利用平行线分线段成比例的推论证得//BD FG ，从而利用线面平行的判定定理即可得证；（2）利用四棱锥111C AEB A -的体积求出11B C ，建系并写出相关点的坐标，求出两个平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得.【详解】（1）如图，连接1A B 交AE 于F ，连接1A D 交1AC 于G ，连接FG ，1AA ⊥ 平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，1AA BC ∴⊥，又因11,,,BC AB AB AA A AB AA ⊥⋂=⊂平面ABE,故BC ⊥平面ABE,又AE ⊂平面ABE,则BC AE ⊥，又111,,,AE A C A C BC C A C BC ⊥=⊂ 平面1,A BC 则⊥AE 平面1,A BC 又1A B ⊂平面1A BC ，1AE A B ∴⊥，在1Rt A AB △中，由12AB AA ==知1A B =，2111AA A F A B ==即12A F BF =，又因1111//,2AD A C A C AD =，可得12A G GD =，即在1A BD 中，112AG A F GD FB==，,BD FG ∴∥FG ⊂ 平面1AEC ，BD ⊄平面1AEC//BD ∴平面1AEC ；（2）设11B C x =，四棱锥111C AEB A -的体积为()1121132⨯+=，解得x =，由（1）知11190,90AA B A BA EAB A BA ∠+∠=︒∠+∠=︒，所以1AA B EAB ∠=∠，又11tan tan AB BE AA B EAB AA AB ∠==∠==，则1BE =，所以E 为棱1BB 的中点.以1,,BC BA BB 分别为,,x y z轴建立空间直角坐标系，如图，则()())()11,0,0,1,2,0,A E C A ，则1(0,AE EC == ，设平面1AEC 的法向量为(),,n x y z =，由1n AE n EC ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，得00z z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，令z =(n =- ，因BC ⊥平面11ABB A ，故可取平面1AEA 的法向量()1,0,0m =，1cos ,||||2n m n m n m ⋅〈〉==-，因为二面角11C AE A --为锐二面角，所以二面角11C AE A --的余弦值为12.20．(1)2214x y +=；(2)直线l 过点()2,1-.【分析】（1）根据点A 得到2a =，然后利用点差法得到2144b -=-，即可得到1b =，然后写椭圆方程即可；（2）设,P Q 的坐标，根据直线,AP AQ 的方程得到点,E F 的坐标，然后将α，β转化为方程sin 2cos x y kx x -=-的两根，根据M 的纵坐标和韦达定理得到00121422k kx y -⋅=-+，最后根据M 的纵坐标为定值得到0x ，0y ，即可得到直线l 过定点.【详解】（1）由已知得2a =，设()11,P x y ，()22,Q x y ，PQ 中点为()00,N x y 由22112222221414x y b x y b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩相减得222221212121221212044x x y y y y y y b b x x x x ---++=⇒⋅=--+，∴221144b b -=-⇒=，即1b =.所以椭圆方程为2214x y +=.（2）设()2cos ,sin P αα，()2cos ,sin Q ββ，所以AP l ：()sin 22cos 2y x αα=--，即()122tan 2y x α=--，∴13,2tan 2E α⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭，同理13,2tan 2F β⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭，设直线l 过点()00,x y ，∴α，β是方程sin 2cos x y k x x -=-的两根.即20022002tantan 2222tan tan 22x x y y k x xx x --=---，整理得()200002tan2tan 2022x xy k kx y kx k ---+-+=，∴002tantan 222y k kx αβ+=--，00002tan tan 222y k kx y k kx αβ+-=--，∴00tantan1121224422tan tan 22M y k kx y αβαβ+=-=-⋅=-+，∴02x =，01y =-，所以直线l 过点()2,1-.【点睛】关键点睛：本题解题关键在于M 的纵坐标为定值，对于定值的问题关键在于与参数无关，本题中M 的纵坐标为定值可得与参数k 无关，即可得到02x =，然后求0y 即可.21．(1)证明见解析；(2)1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）对()f x 求导后构造函数()()11e sin cos 122xg x f x x x x =-'=--，通过求导得出()f x '的单调性和范围得出函数()f x 的单调性，进而得出结论；（2）分类讨论参数a 与12的关系，并通过构造函数和多次求导来探究函数()f x 的单调性，即可得出满足函数在()0,π内有唯一零点的实数a 的取值范围.【详解】（1）由题意，在()()()e sin 1,0,πxf x ax x x x =---∈中，当12a =时，不等式()0f x >等价于1e sin 102xx x x --->，则()11e sin cos 122xf x x x x '=---，令函数()()g x f x ='，则()1e cos sin 2xg x x x x +'=-，()10,π,e cos 1cos 0,sin 02x x x x x x ∈∴->->> ，所以函数()g x 在()0,π上单调递增，且()00g =，()()0g x f x '∴=>在()0,π上恒成立，即函数()f x 在()0,π上单调递增，且()00f =，所以()0,πx ∈时，不等式()0f x >成立；（2）由题意及（1）得，在()()()e sin 1,0,πxf x ax x x x =---∈中，当12a ≤时，()1e sin 1e sin 12x xf x ax x x x x x =---≥---，由（1）可知此时()0f x >，所以此时函数()f x 没有零点，与已知矛盾，12a ∴>，()()e sin cos 1xf x a x x x =-+-'，令函数()()h x f x ='，所以()()e sin 2cos xh x a x x x =-'+，令函数()()u x h x ='，()()3sin cos x u x e a x x x ∴=++'，①若()()π0,,e 3sin cos 02xx u x a x x x ⎛⎫∈=++'> ⎪⎝⎭，所以函数()()u x h x ='在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，且()π2ππ0120,022u a u e a ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，0π0,2x ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使函数()h x 在()00,x 上递减，在0π,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，②若π,π2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，显然()()e sin 2cos 0xh x a x x x =-'+>，所以函数()h x 在()00,x 上递减，在()0,πx 上递增，且()()0π0e 10,ππ10h h e a =-==+->()10,πx x ∴∃∈，使函数()f x 在()10,x 上递减，在()1,πx 上递增，又()()00e 10,πe π10f f π=-==--> ，()10f x ∴<，且()21,πx x ∃∈，使得()20f x =，综上得，当12a >时，函数()f x 在()0,π内有唯一零点，∴a 的取值范围是1,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【点睛】关键点点睛：本题考查构造函数，多次求导，函数的单调性，函数的导数求零点，考查学生分析和处理问题的能力，计算的能力，求导的能力，具有很强的综合性.22．(1)200x y +-=，2y x=(2)()22,2-或()191,.【分析】（1）直线的参数方程消去参数t ，得到直线l 的普通方程，再利用直角坐标与极坐标的转化公式求得曲线C 的直角坐标方程；（2）将直线l 的参数方程，代入曲线C 中，得到韦达定理，利用直线参数方程中参数的几何意义求解.【详解】（1）由1010x t y t =+⎧⎨=-⎩，消去参数t ，得20x y +=，即直线l 的普通方程为200x y +-=，.由2sin cos ρθθ=得：22sin cos ρθρθ=，∵cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴2y x =，即曲线C 的直角坐标方程为2y x =.（2）设直线l的参数方程为00222x x y y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，代入2y x =得：220001222t t y x t +=-，整理得(22000220t t y x +++-=，设点M ，N 对应的参数分别为1t ，2t，120t t +=-2120022t t y x =-，因为20PM PN +=u u u u r u u u r r ，可得1220t t +=且0020x y +=.解得022x =，02y =-，或019x =，01y =，经验证均满足0∆>，所以求点P 的直角坐标为()22,2-或()19,1.23．（1）{4|3x x ≥或23x ⎫≤-⎬⎭；（2）证明见解析.【解析】（1）根据()32||f x x - ，可得3131x x -⎧⎨>⎩ 或1301x x +⎧⎨⎩ 或3130x x -+⎧⎨<⎩ ，然后解不等式组即可得到解集；（2）先利用绝对值三角不等式求出()g x 的最小值，再利用基本不等式求出22a b b a+的最小值即可．【详解】解：（1）当1x ≥时，得41323x x x -≥-⇒≥，∴43x ≥；当01x <<时，得1322x x x -≥-⇒≥，∴无解；当0x ≤时，得21323x x x -≥+⇒≤-；综上，不等式的解集为{4|3x x ≥或23x ⎫≤-⎬⎭.（2）∵()()()15154g x x x x x =-+-≥---=，∴4m =，即4a b +=，又由均值不等式有：22a b a b+≥，22b a b a +≥，两式相加得2222a b b a a b b a ⎛⎫⎛⎫+++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴224a b a b b a +≥+=.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式和基本不等式，考查了转化思想和分类讨论思想，属于中档题．。
高三数学三模考试试卷分析
银海区福成中学 宁加荣
ห้องสมุดไป่ตู้ 一、试题分析
本次试题题型、形式与高考及前两次模拟考试卷一致，是传统题型，主要考查学生掌握数学基础知识，应用知识的能力，大部分考题是常见常考内容，也是对各章中重点要求掌握的知识点，试题前易后难，相比前两次难易梯度稍明显。各类题型中后面一、二题较难，前几题相对简单，大部分同学都能做一些。试卷整体难度比前两次模拟考小一点。
（1）引导学生对本次考试做好订正和小结，对常考知识点和易错点加强练习和检查。
（2）加强选择题的练习，传授给同学一些应对选择题的技巧、方法。
（3）引导学生在考试时合理安排时间，重点做好1-10题、13、14题，解答题前三题，进行专题训练。
如17题三角函数题，由CotC= ，求sinA的值，绝大多数计算不出，导致整道题失分，其他题就更难得分了。
（2）数学基础知识，灵活应用能力不够。
（3）逻辑思维，解读题能力低。
（4）解答过程马虎，运算能力差等。
三、教学设想
针对本次考试中出现的情况，后阶段要着重做好如下几个方面的教学工作：
二、试卷分析
1、考试结果
经统计分析，我校文科50人参考，最高分52分，平均30分，理科29人参加考试，最高93分，平均分34分，大部分同学靠选择题得分，填空题、解答题得分率非常低，平均不到10%。
2、存在的问题
这次考试反映出的问题大多是一些老问题，比如：
（1）知识不全面，顾此失彼
2024年南昌市十中高三数学高考三模试卷附答案解析
2024年南昌市十中高三数学高考三模试卷试卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知由小到大排列的5个样本数据13,19,21,22,x 的极差是11，则x 的值为（）A ．23B ．24C ．25D ．262．若以集合A 的四个元素a b c d ,,,为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是（）A ．矩形B ．平行四边形C ．梯形D ．菱形3．若函数()f x 满足1()f f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则称()f x 为满足“倒负”变换的函数，在下列函数中，满足“倒负”变换的函数是（）A ．1()1f x x=+B ．2()f x x =C ．1()f x x x=+D ．1()f x x x=-4．如图，在扇形AOB 中，C 是弦AB 的中点，D 在 AB 上，CD AB ⊥．其中OA OB r ==， AB 长为l ()l r <．则CD 的长度约为（提示：10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2cos 12xx ≈-）（）A ．28l r r -B ．28l rC ．24l r r-D ．24l r 5．某校举办运动会，其中有一项为环形投球比寒，如图，学生在环形投掷区E 内进行投球.规定球重心投掷到区域A 内得3分，区域B 内得2分，区域C 内得1分，投掷到其他区域不得分.已知甲选手投掷一次得3分的概率为0.1，得2分的概率为b ，不得分的概率为0.05，若甲选手连续投掷3次，得分大于7分的概率为0.002，且每次投掷相互独立，则甲选手投掷一次得1分的概率为（）A ．1320B ．4960C ．1720D ．53606．()6211a a a a ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为（）A ．-2B ．-3C ．-4D ．-57．如图，在正四棱台1111ABCD A B C D -中，112AD A B =，BD 为上底面ABCD 的对角线，且下底面1111D C B A的面积和侧面11BCC B 的面积分别为20和1111ABCD A B C D -外接球的表面积是（）A ．285πB ．255πC ．210πD ．180π8．已知函数()1122222x x f x m x x --+⎛⎫=++- ⎪⎝⎭有唯一零点，则m 的值为（）A ．12-B ．13C ．12D ．18二、多选题:本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知复数()i z a a =-∈R ，且6iz的虚部为3，则（）A ．1a =B ．322z=C ．()()213i z +⋅-为纯虚数D ．2i2z ++在复平面内对应的点在第二象限10．已知椭圆22:14x W y +=，点12,F F 分别为W 的左､右焦点，点,C D 分别为W 的左､右顶点，过原点且斜率不为0的直线l 与W 交于,A B 两点，直线2AF 与W 交于另一点M ，则（）A ．W 的离心率为32B ．2AF 的最小值为23C ．W 上存在一点P ，使2π3CPD ∠=D ．ABM 面积的最大值为211．函数()f x 及其导函数()g x 的定义域均为R ，()1f x +和()21g x -都是奇函数，则（）A ．()g x 的图象关于直线=1x -对称B ．()f x 的图象关于点()1,0对称C ．()g x 是周期函数D ．()202412024i g i ==∑三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共15分.12．设圆心在x 轴的圆C 过点()1,1，且与直线21y x =-相切，则圆C 的标准方程为.13．在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==︒，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若3()2PA mPB m PC=+-（m 为常数），则CD 的长度是．14．正方形螺旋线是由多个不同大小的正方形旋转而成的美丽图案，如图，已知第1个正方形1111D C B A 的边长为212112121,,A B B C a A A B B b ====，且34a ab =+，依次类推，下一个正方形的顶点恰好在上一个正方形对应边的34分点处，记第1个正方形的面积为1S ，第n 个正方形的面积为n S ，则198nm m mS ==∑.四、解答题共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知公差不为0的等差数列{}n a 满足23113a a a =，且23541a a a a a -=-.(1)求{}n a 的通项公式；(2)记n S 是数列{}n a 的前n 项和，证明:1231111...2nS S S S ++++<.16．如图1，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，22AB CD BC ==，BD 为梯形对角线，将梯形中的ABD ∆部分沿AB 翻折至ABE 位置，使ABE ∆所在平面与原梯形所在平面垂直（如图2）.（1）求证：平面AED ⊥平面BCE ；（2）探究线段EA 上是否存在点P ，使//EC 平面PBD ？若存在，求出EPEA；若不存在说明理由.17．已知()1,0F 为椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的右焦点，过E 的右顶点A 和下顶点B的直线的斜率为2.(1)求E 的方程；(2)若直线():11l y k x =-+与E 交于,M N 两点（均异于点B ），记直线BM 和直线BN 的斜率分别为12,k k ，求12k k +的值.18．已知函数()2112ln 2f x a x x x x ⎛⎫⎛⎫=+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(1)求()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程；(2)讨论()f x 的单调区间；(3)若对任意()1,x ∈+∞，都有()ln21f x ≤-，求a 的最大值.（参考数据：ln20.7≈）19．为落实食品安全的“两个责任”，某市的食品药品监督管理部门和卫生监督管理部门在市人民代表大会召开之际特别邀请相关代表建言献策.为保证政策制定的公平合理性，两个部门将首先征求相关专家的意见和建议，已知专家库中共有5位成员，两个部门分别独立地发出批建邀请的名单从专家库中随机产生，两个部门均邀请2位专家，收到食品药品监督管理部门或卫生监督管理部门的邀请后，专家如约参加会议.(1)设参加会议的专家代表共X 名，求X 的分布列与数学期望.(2)为增强政策的普适性及可行性，在征求专家建议后，这两个部门从网络评选出的100位热心市民中抽取部分市民作为群众代表开展座谈会，以便为政策提供支持和补充意见.已知这两个部门的邀请相互独立，邀请的名单从这100名热心市民中随机产生，食品药品监督管理部门邀请了()N ,2100m m m *∈<<名代表，卫生监督管理部门邀请了()N ,2100n n n *∈<<名代表，假设收到食品药品监督管理部门或卫生监督管理部门的邀请后，群众代表如约参加座谈会，且100m n +>，请利用最大似然估计法估计参加会议的群众代表的人数.（备注:最大似然估计即最大概率估计，即当P （X =k ）取值最大时，X 的估计值为k ）1．B【分析】由极差的定义即可求解.【详解】由题知最小的数据是13，最大的数据是x ，则极差为1311x -=，解得24x =.故选：B.2．C【分析】根据集合中元素的互异性，可得a b c d ,,,四个元素互不相等，结合选项，即可求解.【详解】由题意，集合A 的四个元素a b c d ,,,为边长构成一个四边形，根据集合中元素的互异性，可得a b c d ,,,四个元素互不相等，以四个元素a b c d ,,,为边长构成一个四边形，结合选项，只能为梯形.故选：C.3．D【分析】根据1()f f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭逐一将选项的每个函数进行验证即可.【详解】解：由题得()f x 满足1()f f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则称()f x 为满足“倒负”变换的函数，A ．111()1111x f f x x x x x ⎛⎫==≠=- ⎪++⎝⎭+，不符合要求；B ．2211()f x f x x x ⎛⎫⎛⎫=≠-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不符合要求；C ．111()f x x f x x x x ⎛⎫⎛⎫=+≠-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不符合要求；D ．111()f x x f x x x x ⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，符合要求故选：D.4．B【分析】根据弧长公式，结合已知求出角的余弦的近似值，求出CO ,最后得到CD 即可.【详解】设圆心角lrα=，l r <，10,222l r α⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，所以2222cos cos 112228l l CO l rr r r α⎛⎫ ⎪⎝⎭==≈--，28l CO r r≈-，所以2288l l CD r r r r⎛⎫≈--= ⎪⎝⎭．故选：B.5．B【分析】先由已知条件确定130b =，再计算10.10.05b ---即可得到结果.【详解】由于甲选手投掷3次后，如果得分大于7分，则3次的得分必定是3，3，3或3，3，2（不考虑顺序），所以其概率320.130.10.0010.03p b b =+⨯⋅=+.而已知0.002p =，故0.0010.030.002b +=，所以130b =.从而甲选手投掷一次得1分的概率为1714910.10.050.85203060b b ---=-=-=.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于利用已知概率逆向确定b 的值.6．D【分析】根据两个二项式相乘，结合二项式展开式的通项公式，即可求得答案.【详解】由61a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭可知()6621661C 1C rr r r r rr T a aa --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，其展开中常数项为20-，令621r -=-，r 无整数解，不存在含1a -的项，令622,4r r -=-=，故含2a -项为()442261C 15a a --=-，则()6211a a a a ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为()120155⨯-+=-，故选：D.7．A【分析】先确定该棱台的上下底面边长和高，然后解出外接球球心到下底面的距离，最后求出外接球半径和表面积.【详解】由于该棱台是正四棱台，故每条侧棱的长度都相等，且上下底面都是正方形.而下底面的面积是20，所以下底面的边长b =而112AD A B =，所以上底面的边长a =.由于每个侧面都是上下底分别为S '=故每个等腰梯形的高2S h a b ''==+所以每个等腰梯形的侧棱长l =由于每条侧棱在底面上的投影长都是)22a b -，所以该棱台的高H =.最后设该棱台外接球球心到下底面的距离为x ，则外接球球心到上底面的距离为H x -，并设外接球的半径为R.则()2222H x a R ⎛⎫-+= ⎪⎪⎝⎭，2222x b R ⎫+=⎪⎪⎝⎭，所以()222222H x a x b ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即)(2222x x +=+.解得2x =，所以22222245285102244R x b ⎛⎫⎛=+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以该外接球的表面积等于2π28544ππ4285R =⋅=.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于设出外接球球心到下底面的距离，再列方程组求解.8．D【分析】将函数变形，换元后得到24122tt t m --+=+，研究得到()21422t tt h t --+=+为偶函数，由()f x 有唯一零点，得到函数()h t 的图象与=y m 有唯一交点，结合()h t 为偶函数，可得此交点的横坐标为0，代入后求出()108m h ==.【详解】()f x 有零点，则211222112224x x m x x x --+⎛⎫⎛⎫+=-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令12t x =-，则上式可化为()21224t t m t -+=-+，因为220t t -+>恒成立，所以24122t tt m --+=+，令()21422tt t h t --+=+，则()()()2211222244t t t tt t h t h t ----+-+-===++，故()h t 为偶函数，因为()f x 有唯一零点，所以函数()h t 的图象与=y m 有唯一交点，结合()h t 为偶函数，可得此交点的横坐标为0，故()001102842m h -===+.故选：D9．AC【分析】利用向量的除法运算和虚部为3，即可求出1a =，再利用复数乘除运算和模的运算以及复平面内对应点的表示，就能作出选项判断.【详解】由()()()226i i 6i 6i 66i i i i 11a a z a a a a a +===-+--+++的虚部为3，则2631aa =+，解得1a =，所以选项A 正确.()()()31i 33331i,i 1i 1i 1i 22z z +=-===+--+，所以3z =，所以选项B 错误.由()()()()213i 3i 13i 10i z +⋅-=-⋅-=-为纯虚数，所以选项C 正确.由()()()()2i 3i 2i 2i 11i 23i 3i 3i 22z ++++===++--+，所以复数2i 2z ++在复平面内对应的点为11,22⎛⎫⎪⎝⎭，位于第一象限，所以选项D 错误，故选：AC.10．ACD【分析】熟悉椭圆的离心率公式ca，椭圆焦半径取值范围为[],a c a c -+，焦半径三角形顶角在上顶点时取最大，先对选项A 、B 、C 作出判断，对于选项D ，就需要设出直线AM的方程为x my =+圆方程联立，再把三角形面积计算公式转化到两根关系上来，最后代入韦达定理得到关于m 的函数式，从而求出最值.【详解】由题知，该椭圆中2,1,a b c ===A 2正确；根据椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点得，距离最大为a c +，距离最小为a c -，又直线AB 的斜率不为0，所以22AF a c >-=B 错误；当椭圆的对称可知当P 为短轴顶点时，CPD ∠取得最大值，此时4DP CP CD ===，由余弦定理得222||||31cos 252CP DP CD CPD CP DP+-∠==-<-⋅，故2π3CPD ∠>，即W 上存在一点P ，使2π,C 3CPD ∠=正确；设直线AM的方程为x my =AM 与W 的方程得()22410m y ++-=，设()()1122,,,A x y M x y，则1212214y y y y m +==-+，所以12AM y =-=()22414m m ++，又点O 到直线AM的距离为d所以2ABM OAM S S AM d ==⋅=令t=)31,ABM S t t tt t==≥+≥+ ，当且仅当3t t=，即t =时，等号成立，所以ABM 面积的最大值为2,D 正确；故选：ACD.11．BC【分析】由()21g x -是奇函数可判断A ；利用()1f x +向右平移1个单位后可得()f x 可判断B ；利用()1f x +是奇函数，得到关系式，两边同时求导可得()()2g x g x -+=，再由()()2g x g x =---可求出()g x 的周期可判断C ；由()()4g x g x +=-可得()()()()()()()()123456780g g g g g g g g +++++++=，即可判断D.【详解】对于A ，因为()21g x -是奇函数，所以()()2121g x g x --=--，则有()()11g x g x --=--，()g x 的图象关于点()1,0-对称，故A 错误；对于B ，()1f x +是奇函数，其图象关于原点对称，()1f x +向右平移1个单位后可得()f x ，所以()f x 的图象关于点()1,0对称，故B 正确；对于C ，因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+，所以()()11f x f x --+='-+'，所以()()11f x f x -+='+'，所以()()11g x g x -+=+，所以()()2g x g x -+=①，因为()()11g x g x --=--，所以()()2g x g x =---②，由①②可得：()()22g x g x -+=---，所以()()4g x g x =--，所以()()4g x g x +=-，()()()84g x g x g x +=-+=，所以8是函数()g x 的一个周期函数，所以()g x 是周期函数，故C 正确；对于D ，因为()()4g x g x +=-，所以()()15g g =-，()()26g g =-，()()37g g =-，()()48g g =-，所以()()()()()()()()123456780g g g g g g g g +++++++=，而()()()()()()()()()20241253123456780i g i g g g g g g g g =⎡⎤=+++++++=⎣⎦∑，故D 错误.故选：BC.【点睛】方法点睛：抽象函数的奇偶性、对称性、周期性常有以下结论（1）()()()f x a f b x f x +=-⇒关于2a bx +=轴对称，（2）()()()2f x a f b x c f x ++-=⇒关于,2a b c +⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，（3）()()()f x a f x b f x +=+⇒的一个周期为T a b =-，（4）()()()f x a f x b f x +=-+⇒的一个周期为2T a b =-.可以类比三角函数的性质记忆以上结论.12．()2235x y -+=【分析】设圆C 的圆心为()0m ,，再将()1,1代入()()222215m x m y --+=即可解出3m =，从而得到答案.【详解】设圆C 的圆心为()0m ,，则由于该点到直线21y x =-的距离d =C 与直线相切，知圆C.所以圆C 的方程是()()222215m x m y --+=.而圆C 过点()1,1，所以()()22221115m m --+=，解得3m =.所以圆C 的标准方程是()2235x y -+=.故答案为：()2235x y -+=.13．185或0【分析】根据题设条件可设()0PA PD λλ=> ，结合32PA mPB m PC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭与,,B D C 三点共线，可求得λ，再根据勾股定理求出BC ，然后根据余弦定理即可求解.【详解】∵,,A D P 三点共线，∴可设()0PA PD λλ=>，∵32PA mPB m PC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，∴32PD mPB m PC λ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，即32m m PD PB PC λλ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+ ，若0m ≠且32m ≠，则,,B D C 三点共线，∴321m m λλ⎛⎫-⎪⎝⎭+=，即32λ=，∵9AP =，∴3AD =，∵4AB =,3AC =,90BAC ∠=︒，∴5BC =，设CD x =，CDA θ∠=，则5BD x =-，BDA πθ∠=-.∴根据余弦定理可得222cos 26AD CD AC xAD CD θ+-==⋅，()()()222257cos 265x AD BD AB AD BD x πθ--+--==⋅-，∵()cos cos 0θπθ+-=，∴()()2570665x x x --+=-，解得185x =，∴CD 的长度为185.当0m =时，32PA PC =，,C D 重合，此时CD 的长度为0，当32m =时，32PA PB = ，,B D 重合，此时12PA =，不合题意，舍去.故答案为：0或185.【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的关键是设出()0PA PD λλ=>．14．()58388nn ⎛⎫-+⋅ ⎪⎝⎭【分析】据已知条件可确定158n n S -⎛⎫= ⎪⎝⎭，然后使用数列求和方法即可.【详解】由于第n()1n +个正方形的面积等于第n 个正方形的面积减去四个直角三角形的面积，故11354288n n n n n S S S S S +=-⋅=-=.而11S =，故158n n S -⎛⎫= ⎪⎝⎭.所以111995888m n n m m m mS m -==⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭∑∑111151553888m m nn m m m m --==⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑111553388m mn nm m m m -==⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑1111555333888m m nn n m m m m n --==⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅-⋅ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑()11115553313888m m nnnm m m m n --==⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅--⋅-⋅ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑11553388m n nm n -=⎛⎫⎛⎫=-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑5158335818nnn ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=⋅-⋅ ⎪⎝⎭-()58388nn ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭.故答案为：()58388nn ⎛⎫-+⋅ ⎪⎝⎭.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于从相似图形中辨别出等比数列.15．(1)21n a n =-(2)证明见解析【分析】（1）设n a dn C =+，再用已知条件列出两个方程并解出其中的参数；（2）直接求出2n S n =，再用裂项法即可.【详解】（1）设n a dn C =+，则由已知有()()()2313d C d C d C +=++，()()()2353d C d C d C d ++-+=.将第一个等式展开化简可得220d dC +=，故由0d ≠知2d C =-.再代入第二个等式可得3593222d d d d ⋅-=，解得2d =，从而12d C =-=-.故{}n a 的通项公式是21n a n =-.（2）由于()()1212122n n a a n n n S n ++-===，故()22222123111111111111.........123112231n S S S S n n n++++=++++<++++⋅⋅-⋅11111111...222231n n n=+-+-++-=-<-.16．（1）见解析（2）存在点P ，且13EP EA =时，有//EC 平面PBD ，详见解析【分析】（1）取AB 中点F ，连结DF ，证明⊥AE 平面BCE ，得到平面ADE ⊥平面BCE .（2）存在点P ，且13EP EA =时，有//CE PQ 从而得到//EC 平面PBD .【详解】（1）取AB 中点F ，连结DF，则DF BF FA ==，故90BDA ︒∠=，又平面ABCD ⊥平面AEB ，且平面ABCD ⋂平面ABE AB =，BC AB ⊥，BC ⊂平面ABCD ，∴BC ⊥平面ABE ，又AE ⊂平面ABE ，∴BC AE ⊥.又AE BE ⊥，BC BE B = ，∴⊥AE 平面BCE ，又AE ⊂平面ADE ，∴平面ADE ⊥平面BCE .（2）存在点P ，且13EP EA =时，有//EC 平面PBD ，连结AC 交BD 于Q ，由//CD AB 知12CQ CD QA AB ==，又12EP CQPA QA==，故//CE PQ ，又CE ⊂平面PBD ，PQ ⊂平面PBD ，∴//CE 平面PBD .【点睛】本题考查了面面垂直，线面平行，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.17．(1)2212x y +=(2)2【分析】（1）根据已知条件列出关于,a b 的两个方程，再解出,a b 即可；（2）将直线和椭圆联立，利用韦达定理即可化简并求出结果.【详解】（1）由()1,0F有1c ==；而(),0A a ，()0,B b -，故22AB b k a==.所以212a ====，从而a =1b =.所以E 的方程是2212x y +=.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，将直线l 与E 联立：()221112y k x x y ⎧=-+⎪⎨+=⎪⎩.将直线代入椭圆，得到()2221120x k x ⎡⎤+-+-=⎣⎦.展开即为()()()221241220k x k k x k k ++-+-=.故()1224112k k x x k -+=+，()1222212k k x x k -=+.由于()0,1B -，故()1011k -≠-+，即2k ≠，从而12121211y y k k x x +++=+()()12121212k x k x x x -+-+=+()121122k k x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭()121222x x k k x x +=+-⋅()()()224112222212k k k k k k k k -+=+-⋅-+()()()412222k k k k k k -=+-⋅-()2212k k =+-=.所以122k k +=.18．(1)12y =-；(2)答案见解析；(3)2.【分析】（1）求得()1f ，(1)f '，再根据导数的几何意义，即可求得切线方程；（2）讨论参数a 与0和1的大小关系，在不同情况下，求函数单调性，即可求得单调区间；（3）将问题转化为()f x 在()1,+∞上的最大值()max ln 21f x ≤-，根据（2）中所求单调性，求得()max f x ，再构造函数解关于a 的不等式即可.【详解】（1）()2112ln 2f x a x x x x ⎛⎫⎛⎫=+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()f x '()()()2211111x x a x a x x x x +--⎛⎫⎛⎫=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又()112f =-，(1)f '0=，故()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程为102y ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，即12y =-.（2）()f x '()()()211x x x a x -+--=，又0x >，10x +>，则0a ≤时，当()0,1x ∈，()f x '0>，()y f x =单调递增；当()1,x ∈+∞，()f x '0<，()y f x =单调递减；01a <<时，当()0,x a ∈，()f x '0<，()y f x =单调递减；当(),1x a ∈，()f x '0>，()y f x =单调递增；当()1,x ∈+∞，()f x '0<，()y f x =单调递减；1a =时，当()0,x ∈+∞，()f x '0≤，()y f x =在()0,+∞单调递减；1a >时，当()0,1x ∈，()f x '0<，()y f x =单调递减；当()1,x a ∈，()f x '0>，()y f x =单调递增；当(),x a ∈+∞，()f x '0<，()y f x =单调递减.综上所述：当0a ≤，()f x 的单调增区间为()0,1，单调减区间为()1,+∞；当01a <<，()f x 的单调减区间为()()0,,1,a +∞，单调增区间为(),1a ；当1a =，()f x 的单调减区间为()0,+∞，没有单调增区间；当1a >，()f x 的单调减区间为()()0,1,,a +∞，单调增区间为()1,a .（3）若对任意()1,x ∈+∞，都有()ln21f x ≤-，则()f x 在()1,+∞上的最大值()max ln 21f x ≤-；由（2）可知，当1a >，()f x 在()1,a 单调递增，在(),a +∞单调递减，故()()22max 1112ln ln 2122f x f a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫==+---=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；令()21ln 21,12m x x x x x =+-+>，则()m x'1220x x =+->-=，故()y m x =在()1,+∞单调递增，又()2ln 2241ln 21m =+-+=-，则()2ln 21m ≤-；故当2a =时，()2max 1ln 21ln 212f x a a a =+-+≤-，也即当2a =时，对任意()1,x ∈+∞，都有()ln21f x ≤-.故a 的最大值为2.【点睛】关键点点睛：本题第三问处理的关键是，将()ln21f x ≤-在区间上恒成立，转化为()max ln 21f x ≤-，再根据第二问中所求函数单调性求得()max f x ，再构造函数解不等式21ln 21ln 212a a a +-+≤-即可.19．(1)分布列见解析，3.2(2)详见解析.【分析】(1)根据离散型随机变量的概率公式计算得分布列及期望；(2)设收到两个部门邀请的代表的集合为A ∪B ，人数()Card A B k = ，()Card A B m n k =+- ，设参加会议的群众代表的人数为Y ，则由离散型随机变量的概率公式可得()100100C C C m k m k n mnP Y k ---==，设()()()()1,1P Y k P Y k P Y k P Y k =≥=+=≥=-，由组合数公式计算得()()101110111102102m n mn m n mn k +--+--≤≤+，分类讨论()1011102m n mn +--是否为整数即可得出结果.【详解】（1）X 的可能取值为2，3，4，则()222555C 20.1C C P X ===，()3211525523C C C 30.6C C P X ===，()22532255C C 40.3C C P X ===，则X 的分布列为X 234P0.10.60.3()20.130.640.3 3.2E X =⨯+⨯+⨯=（2）设食品药品监督管理部门邀请的代表记为集合A ，人数为()m Card A =，卫生监督管理部门邀请的代表为集合B ，人数为()n Card B =，则收到两个部门邀请的代表的集合为A ∪B .人数为Card （A ∪B ）.设参加会议的群众代表的人数为Y ，则()Y Card A B = .若()Card A B k = ，则()Card A B m n k =+- ，则()100100100100100100C C C C C C C C k m m m n m m n k k m k n m mm nP Y k --+----===，()11100100C C 1C k m k n m nmP Y k +-+--=+=，()()()()()()111001001100C C C C 11k m k nm mk m nmk m P Y k m n k k P Y k k m k n +-+-----=++--===+-+-，令()1()P Y k P Y k =+≤=，得()()11P Y k P Y k =+≤=，解得()1011102m n mn k +--≥，以1k -代替k ，得()()()()()()11011P Y k m n k k P Y k k m k n =++--==---，令()()1P Y k P Y k =-≤=，得()()11P Y k P Y k =≥=-，解得()10111102m n mn k +--≤+，所以()()101110111102102m n mn m n mn k +--+--≤≤+，若()1011102m n mn +--为整数，则当()1011102m n mn k +--=或()10111102m n mn k +--=+时，()P Y k =取得最大值，所以估计参加会议的群众代表的人数为()1011102m n mn +--或()10111102m n mn +--+，若()1011102m n mn +--不是整数，则当()10111102m n mn k +--=+时，()P Y k =取得最大值，所以估计参加会议的群众代表的人数为()10111102m n mn ⎡⎤+--+⎢⎥⎣⎦，其中，()1011102m n mn ⎡⎤+--⎢⎥⎣⎦表示不超过()1011102m n mn +--的最大整数.【点睛】思路点睛：第二问设收到两个部门邀请的代表的集合为A ∪B ，人数()Card A B k = ，()Card A B m n k =+- ，设参加会议的群众代表的人数为Y ，则由离散型随机变量的概率公式可得()100100C C C m k m k n mnP Y k ---==，设()()()()1,1P Y k P Y k P Y k P Y k =≥=+=≥=-，由组合数公式化简计算得()()101110111102102m n mn m n mn k +--+--≤≤+，关键在于分类讨论()1011102m n mn +--是否为整数即可得出结果.。
重庆市高三三诊数学试题(解析版)
一、单选题1．已知集合，，则 ()(){}|2340A x Z x x =∈+-<{|B x y ==A B = A ． B ． C ． D ．(]0,e {}0,e {}1,2()1,2【答案】C【详解】 ，()(){}2340A x Z x x =∈+-<{}3={|4,}1,0,1,2,32x x x -<<∈=-Z {B x y = ，选C.{}{|1ln 0}(0,]1,2x x e A B =-≥=∴⋂=2．复数的共轭复数在复平面内对应的点位于 2i1i++z A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【分析】根据复数的四则运算化简可得z ，然后可得，最后由复数的几何意义可得. z 【详解】因为，所以，所以对应复平面内的点.2i (2i)(1i)31i 1i 222z ++-===-+31i 22z =+z 31(,22故选：A ． 3．已知，则（ ）2cos tan 5sin ααα=+3πcos 2α⎛⎫-= ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D 1313-【答案】C【分析】根据已知式子结合同角三角函数的商数关系与平方关系，可求得的值，再由诱导公sin α式求得的值.3πcos 2α⎛⎫- ⎪⎝⎭【详解】解：①， 222cos sin 2cos tan sin 5sin 2cos 5sin cos 5sin αααααααααα=⇒=⇒+=++由于代入①，得：，22sin cos 1αα+=()()23sin 5sin 203sin 1sin 20αααα+-=⇒-+=由于，所以，故， []sin 1,1α∈-sin 20α+≠1sin 3α=所以.3π1cos sin 23αα⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭故选：C.4．某地摊集中点在销售旺季的某天接纳顾客量超过1万人次的概率是，连续两天顾客量超过1920万人次的概率是，在该地摊集中点在销售旺季的某天接纳顾客量超过1万人次的条件下，随后720一天的接纳顾客量超过1万人次概率是（ ）. A ．B ．C ．D ．7109104579【答案】D【分析】利用条件概率的定义及其概率计算公式求解即可．【详解】设“某天接纳顾客量超过1万人次”为事件A ，“随后一天的接纳顾客量超过1万人次” 为事件B ， 则，，9()20P A =7()20P AB =所以， 7()720()9()920P AB P B A P A ===故选：D ．5．如图中阴影部分是一个美丽的螺旋线型图案，其画法是：取正六边形各边的三等分点ABCDEF ，，，，，，作第2个正六边形，然后再取正六边形各边1A 1B 1C 1D 1E 1F 111111A B C D E F 111111A B C D E F 的三等分点，、、，，，作第3个正六边形，依此方法，如果这个2A 2B 2C 2D 2E 2F 222222A B C D E F 作图过程可以一直继续下去，由，，...构成如图阴影部分所示的螺旋线型图案，则11A BB ∆212A B B ∆该螺旋线型图案的面积与正六边形的面积的比值趋近于（ ）ABCDEFA ．B ．CD11216【答案】B【分析】分别计算出阴影部分面积和正六边形的面积，即可求解.【详解】解：由外至内设每个六边形的边长构成数列，每个阴影三角形的面积构成数列，{}n a {}n S 设，则，，……， ABa =11A B ==222A B a =依此类推，，nn n A B a =所以数列是以为公比的等比数列，所以，{}n aa 1n n a a -=⨯又，所以， 21121sin120233Sa a ︒=⨯⨯⨯=222S a =，……，22423S a a ⎫⎪==⎪⎭依此类推，，222n n S a -=则数列的前n 项和{}nS 24222222n n T a a a -=+2422212277711999n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=++++=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，22297711299n na a ⎡⎤⎤⎛⎫⎛⎫=-=-⎢⎥⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎥⎣⎦⎦正六边形的面积为：，2216sin 602ABCDEF S a =⨯=. 16=故选：B.6．已知函数，记，，，则，，的大小关()21xf x =-()0.5log 3a f =()5log 3b f =()lg 6c f =a b c 系为（ ）． A ． B ． a b c <<a c b <<C ． D ．b<c<a c b a <<【答案】C【分析】根据函数的奇偶性及指数函数的性质判断函数单调性，再根据自变量的大小关系比较函数值的大小.【详解】由，，()21xf x =-()()2121xxf x f x --=-=-=所以函数为偶函数， ()f x 又当时，，0x ≥()21xf x =-所以函数在上单调递增， ()f x ()0,∞+因为，且0.5122log 3log 3log 3==-2log 31>又，，，， 5ln 3log 3ln 5=50log 31<<ln 6ln 2ln 3lg 61ln10ln 2ln 5+==<+0lg 61<<则， 5log 3ln 3ln 2ln 5ln 2ln 3ln 3ln 5lg 6ln 5ln 2ln 3ln 2ln 5ln 3ln 5+⋅+⋅=⋅=+⋅+⋅又，则， ln 5ln 3ln 20>>>ln 2ln 5ln 3ln 5ln 2ln 3ln 3ln 5⋅+⋅>⋅+⋅所以， 5log 3ln 2ln 3ln 3ln 51lg 6ln 2ln 5ln 3ln 5⋅+⋅=<⋅+⋅所以，52log 3lg 6log 3<<所以， ()()()()520.5log 3lg 6log 3log 3f f f f <<=即， b<c<a 故选：C.7．已知点F 为抛物线的焦点，，点M 为抛物线上一动点，当最小时，点M24y x =()1,0A -MF MA恰好在以A ，F 为焦点的双曲线C 上，则双曲线C 的渐近线斜率的平方是（ ）A B ．C ．D 2+3+【答案】B【分析】由题可知与抛物线相切时，取得最小值，求出点的坐标，利用双曲线定义求AM MF MAM 出2a ，结合，可求得，再利用求得结果.1c =c a 2221b c a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【详解】由抛物线的对称性，不妨设为抛物线第一象限内点，如图所示：M故点作垂直于抛物线的准线于点B ，由抛物线的定义知，易知轴，可得M MB ||||MF MB =//MB xMAF BMA ∠=∠cos cos MF MB A BM A AMA M F M=∠∠∴==当取得最大值时，取得最小值，此时与抛物线相切，MAF ∠MF MAAM 24y x =设直线方程为：，AM ()1y k x =+联立，整理得，()241y x y k x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩()2222240k x k x k +-+=其中，解得：， 216160k ∆=-+=1k =±由为抛物线第一象限内点，则，M 1k =则，解得：，()24210x x ++-=1x =此时，即或 24y =2y ==2y -所以点的坐标且M (1,2)M 由题意知，双曲线的左焦点为，右焦点为 ()1,0A -()1,0F设双曲线的实轴长为2a ，则，2||||2a AM MF =-=，1a ∴=-又，则， 1c =1c a==+故渐近线斜率的平方为)22222221112b c a c a a a -⎛⎫==-=-=+ ⎪⎝⎭故选：B8．把平面图形上的所有点在一个平面上的射影构成的图形叫做图形在这个平面上的射影.M M 'M 如图，在三棱锥中，，，，，，将围成A BCD -BD CD ⊥AB DB ⊥AC DC ⊥AB DB 5==4CD =三棱锥的四个三角形的面积从小到大依次记为，，，，设面积为的三角形所在的平面1S 2S 3S 4S 2S 为，则面积为的三角形在平面上的射影的面积是α4S αA ．B ．C ．D ．2521030【答案】A【分析】将所给三棱锥补形为长方体，根据长方体的性质，分别计算，，，，A BCD -1S 2S 3S 4S 然后找到对应的，在所在的平面上的投影，计算其面积得答案. 4S ABC 2S ACDE AHC 【详解】将该三棱锥补形为长方体如图所示，因为，，由长方体性质可得，AB DB 5==4CD =，3BE ==BC ==AC DE ==所以， 11102BCD S BD CD S =⋅===， 212ACD S AC CD S =⋅===， 312522ABD S AB BD S =⋅===在中，由余弦定理可得，，ABC cos ABC ∠==sin ABC ∠=所以， 41sin 2ABC S AB AC BAC S =⋅⋅∠== 由上面计算可知，平面是平面，也即是平面 αACD ACDE 则问题转化为求解三角形在平面平面上的射影面积， ABC ACDE 过点在平面内作，交于点， B BDE BH DE ⊥DE H 因为平面，平面，所以，CD ⊥BDE BH ⊂BDE BH CD ⊥又因为，平面，平面， DE CD D ⋂=DE ⊂ACDE CD ⊂ACDE 所以平面，BH ⊥ACDE 则面积为的在平面上的射影为 4S ABC αAHC故射影面积为. 1122ACDE S S AC CD ==⋅=故选：A.【点睛】求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解，其中一个很重要的方法为将几何体补形为长方体，这使得几何体中的位置关系更为直观明确.二、多选题9．下列说法正确的的有（ ）A ．已知一组数据的方差为10， 则的方差也为10 12310,,,,x x x x 123102,2,2,,2x x x x ++++B ．对具有线性相关关系的变量，其线性回归方程为，若样本点的中心为，,x y ˆ0.3yx m =-(),2.8m 则实数的值是m 4C ．已知随机变量服从正态分布，若，则X ()2,N μσ()(1)51P X P X >-+≥=2μ=D ．已知随机变量服从二项分布，若，则X 1,3B n ⎛⎫⎪⎝⎭()316E X +=6n =【答案】AC【分析】根据方差的定义可判断A ；根据样本点在回归直线上求得的值可判断B ；根据m 可得，由对称性求出对称轴可得的值可判断C ；()(1)51P X P X >-+≥=()()51P X P X ≥=≤-μ根据二项分布方差的公式以及方差的性质可判断D ，进而可得正确选项. 【详解】对于A ：设的平均数为，方差为， 12310,,,,x x x x x ()D x 则，， 121010x x x x +++=()()()()222121011010D x x x x x x x ⎡⎤=-+-++-=⎢⎥⎣⎦ 所以的平均数为，123102,2,2,,2x x x x ++++ 2x +所以方差为 ()()()2221210122222210x x x x x x ⎡⎤+--++--+++--⎢⎥⎣⎦ ，故选项A 正确；()()()()222121011010x x x x x x D x ⎡⎤=-+-++-==⎢⎥⎣⎦ 对于B ：因为线性回归直线过样本点中心，所以， 2.80.3m m =-可得，故选项B 错误；4m =-对于C ：因为随机变量服从正态分布，X ()2,N μσ所以对称轴为，又， X μ=()()151P X P X >+≥=-而，所以，()()111P X P X >+≤-=-()()51P X P X ≥=≤-则，故选项C 正确； ()5122μ+-==对于D ：因为服从二项分布，所以，所以X 1B ,3n ⎛⎫⎪⎝⎭()13E X n =，则，故选项D 错误.(31)3()13163nE X E X +=+=⨯+=5n =故选：AC.10．下列命题为真命题的是（ ） A ．过任意三点有且仅有一个平面B ．为直线，为不同的两个平面，若，则 m ,αβ,m m αβ⊥⊥αβ∥C ．为不同的直线，为平面，若，则 ,m n α//,//m n ααm n ∥D ．为不同的直线，为平面，若，则 ,m n α,m n αα⊥⊥m n ∥【答案】BD【分析】根据空间中点线面的位置关系，结合选项即可逐一求解. 【详解】对于A ，过任意不共线的三点有且仅有一个平面，故A 错， 对于B ，由于，所以，故B 正确，,m m αβ⊥⊥αβ∥对于C, 若，则可以异面，也可以相交，也可以，故C 错误， //,//m n αα,m n m n ∥对于D,根据垂直于同一平面的两直线平行，可知D 正确. 故选：BD11．已知椭圆的左，右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>12,FF )P外，点在椭圆上，则（ ）C Q C A ．椭圆的离心率的取值范围是C ⎫⎪⎪⎭B ．当椭圆时，的取值范围是C1QF 22⎡⎣C ．存在点使得Q 210QF QF ⋅=D ．的最小值为2 1211QF QF +【答案】ABC【分析】根据点在椭圆外，即可求出的取值范围，即可求出离心率的取值范围，从而)P C b 判断A ；根据离心率求出，则，即可判断B ；c []1,QF a c a c ∈-+设上顶点，得到，即可判断C ；A 120AF AF ⋅<根据利用基本不等式判断D. 124QF QF +=【详解】由题意得，又点在椭圆外，则，解得2a =)PC 22114b+>b <所以椭圆的离心率的离心率的取值范围是，故A 正确；C c e a ==>C⎫⎪⎪⎭当，所以的取值范围是，即，e=c=1b ==1QF [],a c a c -+22⎡⎣故B 正确；设椭圆的上顶点为，，，由于，()0,A b ()1,0F c -()2,0F c 222212·20AF AF b c b a =-=-<所以存在点使得，故C 正确；Q 120QF QF ⋅=， ()21121212112224QF QF QF QF QF QF QF QF ⎛⎫++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭当且仅当时，等号成立， 122QF QF ==又， 124QF QF +=所以，故D 不正确． 12111QF QF +≥故选：ABC12．已知定义在上的函数，对于给定集合，若，当时都有R ()f x A 12,R x x ∀∈12x x A -∈，则称是“封闭”函数.则下列命题正确的是（ ）()()12f x f x A -∈()f x A A ．是“封闭”函数()2f x x =[]1,1-B ．定义在上的函数都是“封闭”函数R ()f x {}0C ．若是“封闭”函数，则一定是“封闭”函数()f x {}1()f x {}k ()*N k ∈D ．若是“封闭”函数，则不一定是“封闭”函数()f x [],a b ()*,N a b ∈()f x {}ab 【答案】BC【分析】A 特殊值判断即可；B 根据定义及函数的性质即可判断；C 根据定义得到124,3x x ==都有，再判断所给定区间里是否有成立即可判断，DR x ∀∈(1)()1f x f x +=+22()()f x k f x k +-=选项可判断出其逆否命题的正误，得到D 选项的正误.【详解】对A ：当时，，而，A 错124,3x x ==121[1,1]x x -=∈-12()()1697[1,1]f x f x -=-=∉-误；对B ：对于集合，使，即，必有， {}012,R x x ∀∈120x x -=12x x =12()()0f x f x -=所以定义在上的函数都是“封闭”函数，B 正确； R ()f x {}0对C ：对于集合，使，则，{}112,R x x ∀∈{}121x x -∈121x x =+而是“封闭”函数，则，即都有， ()f x {}122(1)()1f x f x +-=R x ∀∈(1)()1f x f x +=+对于集合，使，则，，{}k 12,R x x ∀∈{}12x x k -∈12x x k =+*N k ∈而，，...，， 22()(1)1f x k f x k +=+-+22(1)(2)1f x k f x k +-=+-+22(1)()1f x f x +=+所以，222222()(1)...(1)(1)(2)...()1f x k f x k f x f x k f x k f x k +++-+++=+-++-+++-即，故，一定是“封闭”函数，C 正确；22()()f x k f x k +=+22()()f x k f x k +-=()f x {}k ()*N k ∈对D ，其逆否命题为，若是“封闭”函数，则不是“封闭”函数，只需()f x {}ab ()f x [],a b ()*,N a b ∈判断出其逆否命题的正误即可，使，则，12,R x x ∀∈12x x ab -=12()()f x f x ab -=若，则，[],ab a b ∈ab a ab b a b ≥⎧⎪≤⎨⎪<⎩由解得，因为，所以，ab b ≤1a ≤*N a ∈1a =即使，则，12,R x x ∀∈[]12,x x ab b a b -==∈[]12()(),f x f x ab b a b -==∈满足是“封闭”函数，()f x [],a b ()*,N a b ∈故逆否命题为假命题，故原命题也时假命题，D 错误. 故选：BC【点睛】关键点点睛：对于C ，根据给定的条件得到都有，有R x ∀∈(1)()1f x f x +=+R x ∀∈恒成立，利用递推关系及新定义判断正误.()()f x a f x b +=+三、填空题13．已知向量，若，则_____．(4,3),(1,)a b m =-= (2)a b b +⊥m =【答案】或/或 2-12122-【分析】根据向量的坐标运算及向量垂直的数量积表示求解即可.【详解】，(4,3),(1,)a b m =-=，2(2,32)a b m →→∴+=-+，(2)a b b +⊥ ，解得或. (2)2(32)0a b b m m →→→∴+⋅=-++=2m =-12m =故答案为：或.2-1214．若，则______． ()()()()82801281111x a a x a x a x -=+++++++ 5a =【答案】448-【分析】令可得，分析可知为展开式中的系数，然后利1x t +=()82801282t a a t a t a t -=++++ 5a 5t 用二项式定理可求得的值.5a 【详解】令可得，则， 1x t +=1x t =-()1112x t t -=--=-所以，， ()82801282t a a t a t a t -=++++ 所以，为展开式中的系数，5a 5t 的展开式通项为， ()82t -()()()88188C 2C 210,1,2,,8k kk k kk k k T t t k --+=⋅-=⋅⋅-= 所以，. ()()55358C 215681448a =⋅⋅-=⨯⨯-=-故答案为：.448-15．已知有相同焦点、的椭圆和双曲线交于点，，椭圆和双曲线的离心率分别1F 2F P 12||||PO F F =是、，那么__________（点为坐标原点）． 1e 2e 221211e e +=O 【答案】5【分析】设，根据椭圆的定义和双曲线的定义可得，在12,PF m PF n ==122,2m n a m n a +=-=和中，分别利用余弦定理，两式相加，则，进而得到，即可1POF ∆2POF ∆22210m n c +=2212225a a c c+=得到答案.【详解】设椭圆的长半周长为，双曲线的实半轴长为，它们的半焦距都为， 1a 2a c 并设，根据椭圆的定义和双曲线的定义可得， 12,PF m PF n ==122,2m n a m n a +=-=在中，由余弦定理得，1POF ∆22211112cos PF OF OP OF OP POF =+-∠即2221422cos m c c c c POF =+-⨯∠在中，由余弦定理得，2POF ∆22222222cos PF OF OP OF OP POF =+-∠即2221422cos n c c c c POF =+-⨯∠又由, 12POF POF π∠=-∠两式相加，则，22210m n c +=又由，所以，()2222212222m n m n mn a a +=+-=+222222*********a a c a a c +=⇒+=所以，即.2212225a a c c+=2212115e e +=【点睛】本题主要考查了椭圆与双曲线的定义及其几何性质的求解，其中解答中利用椭圆和双曲线的定义，以及在和中，利用余弦定理，两式相1POF ∆2POF ∆加，求得是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.22210m n c +=四、双空题16．意大利数学家傲波那契在研究兔子繁殖问题时发现了数列1，1，2，3，5，8，13，…，数列中的每一项被称为斐波那契数，记作Fn .已知，，（，且n >2）. 11F =21F =12n n n F F F --=+*N n ∈（1）若斐波那契数Fn 除以4所得的余数按原顺序构成数列，则{}n a 1232023a a a a +++= ___________.（2）若，则___________.2024F a =1232022F F F F +++=【答案】 2697 /-1+a1a -【分析】（1）根据带余除法的性质，总结数列规律，可得答案； （2）利用递推公式，结合裂项相消，可得答案.【详解】（1）由题意，，则，，则， 141401F ÷=÷= 11a =241401F ÷=÷= 21a =由，则除以4的余数为，即， 312F F F =+3F ()11402+÷= 32a =由，则除以4的余数为，即， 423F F F =+4F ()12403+÷= 43a =由，则除以4的余数为，即， 534F F F =+5F ()32411+÷= 51a =由，则除以4的余数为，即， 645F F F =+F 6()31410+÷= 60a =由，则除以4的余数为，即， 756F F F =+7F ()01401+÷= 71a =由，则除以4的余数为，即，867F F F =+8F ()01401+÷= 81a=故由斐波那契数除以4的余数按原顺序构成的数列，是以6为最小正周期的数列，因为n F {}n a ，所以；202363371÷= 1232023833712697a a a a ++++=⨯+= （2）由斐波那契数的递推关系可知：时，且，， n F 2n >21n n n F F F --=-121F F ==2024F a =所以. ()()()122022324320242023202421F F F F F F F F F F F a +++=-+-++-=-=- 故答案为：2697，a -1五、解答题17．已知是等比数列的前项和．()12n n S λλ+=-∈R {}n a n (1)求及； λn a (2)设，求的前项和． 21log n n nb a a =+{}n b n n T 【答案】(1)， 2λ=2n n a =(2) 1(1)122n n n n T +=-+【分析】（1）由与关系求通项公式，再由等比数列的定义求解 n a n S （2）由分组求和法求解【详解】（1）①当时，，1n =114a S λ==-②当时，，2n ≥11222n n nn n n a S S +-=-=-=由题意得，故， 142a λ=-=2λ=2n n a =（2）， 211log 2n n n n n b a a ==++则， 2111()(12)222n n T n =+++++++ 得 1(1)122n n n n T +=-+18．在中，角所对的边分别为，且. ABC ,,A B C ,,a b c 2cos a b c B +=(1)求证：； 2C B =(2)求的最小值. 3cos a bb B+【答案】(1)证明见解析(2)最小值为【分析】（1）根据正弦定理边角互化和两角和差正弦化简即可证明. （2）将问题转化，根据第一问解得，32cos 2cos cos a b c B b b B b B ++=24cos cos B B =+π10,,cos ,132B B ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭然后结合不等式求解.【详解】（1）在中，， ABC 2cos a b c B +=由正弦定理得， sin sin 2sin cos A B C B +=又，()πA B C =-+因为, ()sin sin 2sin cos B C B C B ++=⋅所以, sin cos sin cos sin C B B C B ⋅-⋅=所以,又,()sin sin C B B -=sin 0B >所以，且, 0πC B C <-<<πB C B C +-=<所以， B C B =-故.2C B =（2）由（1）得，2C B =()30,πB C B +=∈所以，π10,,cos ,132B B ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为， 2cos ,2a b c B C B +==所以32cos 2cos cos a b c B bb B b B++=2sin cos 2sin 2sin2cos 2sin sin cos sin cos C B B B B BB B B B⋅+⋅+==⋅⋅， 24cos cos B B=+≥当且仅当即，即当且仅当时等号成立， 24cos cos B B =cos B =π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π4B =所以当时，的最小值为π4B =3cos a bb B +19．某厂计划购买台机床，该种机床使用四年后即被淘汰，并且在使用过程中机床有一易损零50件，若在购进机床同时额外购买这种易损零件作为备用件，此时每个只需元．在使用期间如果300备件不足再购买，则每个要元．所以在购买前要决策购买数目．使得该厂购买机床时搭配的易500损备用零件费用最省．为此业内相关人员先搜集了台以往这种机床在四年内更换的易损零件50数，并整理数据后得如下柱状图．以这台机床更换的易损零件数的频率代替每台机床更换的易损零件数发生的概率．记表示50X 2台机床四年内实际共需更换的易损零件数，表示购买台机床的同时备用的易损零件数目，n 2为购买机床时备用件数发生的概率．()P X n =n （1）求时的最小值；()0.5P X n ≤≥n （2）求的分布列及备用的易损零件数时的数学期望；X 19n =X （3）将购买的机床分配给名年龄不同（视技术水平不同）的人加工一批模具，因熟练程度不同50而加工出的产品数量不同，故产生的经济效益也不同．若用变量表示不同技工的年龄，变量为x y 相应的效益值（元），根据以往统计经验，他们的每日工作效益满足最小二乘法和关于的线性y x 回归方程，已知他们年龄的方差为，所对应的效益方差为. 1.240ˆyx =+x 214.4x s =222.5ys =①试预测年龄为岁的技工使用该机床每日所产生的经济效益；50②试根据的值判断使用该批机床的技工人员所产生的效益与技工年龄的相关性强弱．r 附：下面三个计算回归直线方程的斜率和截距及表示随机变量与相关关系强弱的 ˆy bxa =+ˆb a x y 系数计算公式：，r ()()()121ˆniii nii x x y y bx x ==--=-∑∑r =【答案】（1）；（2）分布列见解析，元；（3）①元；②该机床的技工所产19()5490E X =100生的日经济效益与技工的年龄具有非常强的相关关系.【分析】（1）计算出、、、的值，进而可求得满足()16P X =()17P X =()18P X =()19P X =时的值；()0.5P X n ≤≥n （2）根据题意可知，随机变量的可能取值有、、、、、，计算出随机变量在X 161718192021X 不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，并根据实际情况求得时的数学期望； X 19n =X （3）①将代入回归直线方程可求得结果；20x =②根据相关系数公式结合已知数据求得的值，进而可得出结论. r 【详解】（1）根据图示柱表，易知更换易损零件的频数为的频率为．易损零件的频数10100.250=为的频率为． 20200.450=将频率视为概率，且知每台机床易损零件的发生与否是相互独立的，结合图表得：当时，；16X =()16880.20.20.04P X ==+=⨯=当时，；17X =()1789980.20.40.40.20.16P X ==+=+=⨯+⨯=当时，；18X =()189********.40.420.20.20.24P X ==+=+=+=⨯+⨯⨯=当时，． 19X =()19109910118811P X ==+=+=+=+20.40.220.20.20.24=⨯⨯+⨯⨯=据互斥事件发生的概率知；()()()()181617180.440.5P X P X P X P X ≤==+=+==<．()()()1918190.440.240.680.5P X P X P X ≤=≤+==+=>于是的最小值为；n 19（2）由（1）进而知，随机变量的可能取值为：、、、、、， X 161718192021当时，； 20X =()2010101199110.20.220.40.20.2P X ==+=+=+=⨯+⨯⨯=当时，；21X =()211011111020.20.20.08P X ==+=+=⨯⨯=当时，． 21X =()2211110.20.20.04P X ==+=⨯=于是分布列为：X 16 17 18 1920 2122P 0.04 0.160.240.240.2 0.080.04进而结合（1）知，当备用的易损零件数时，随机变量取值为、、、、、19n =X 161718192021，需注意的是，虽备用的易损零件数时，但发生的概率仍按实际需要的台机床时计算． 19n =X 则购买易损零件所产生的实际费用数学期望为()193000.04193000.16193000.24193000.24E X =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯()()()193005000.21930025000.0819********.04+⨯+⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯（元）；()193000.040.160.240.241240536288=⨯++++++387614885362885940=+++=（3）①先根据回归方程易知（元），即岁的技工日使用该机床产生的效益1.250401ˆ00y=⨯+=50为元；100②由方差计算公式知，()()()22221250150x s x x x x x x ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥⎣⎦即等价化为， ()()()2222125050xs x x x x x x =-+-+⋅⋅⋅+-同理．()()()2222125050y s y y y y y y=-+-+⋅⋅⋅+-又，，，据公式求出相关系数则有 214.4xs =222.5ys =ˆ 1.2b=r ()()()5015021i i i i i x xy y r x x==--==-∑∑． 1.20.9ˆ6b ===易知：该机床的技工所产生的日经济效益与技工的年龄具有非常强的相关关系．【点睛】本题是以工业生产为背景命制的试题，命题目的：其一是考查考生能够在实际情景中从数学的视角发现问题、分析问题、建立模型、解决模型、改进模型；能对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题．其二是考查考生对概率知识、随机变量分布列、数学期望、回归分析、相关关系等概念的应用；其三是考查考生的数据处理能力、逻辑推理能力、和运算求解能力及建模能力．体现了数学应用和数学转化的数学素养，落实了高考对数学应用性、综合性的考查要求，属于难题.20．如图，在三棱柱中，平面 .111ABC A B C -111,,BC BB BC B C O AO ==⊥ 11BB C C(1)求证:;1AB B C ⊥(2)若，直线与平面所成的角为 ，求二面角的正弦值.160B BC ︒∠=AB 11BB C C 30︒111A B C A --【答案】(1)证明见解析【分析】（1）由平面 ，得到，再由，证得，进而证得AO ⊥11BB C C 1AO B C ⊥1BC BB =11BC B C ⊥平面，即可证得.1B C ⊥1ABC 1AB B C ⊥（2）以为原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，分别O 1,,OB OB OA ,,x y z 求得平面和平面的一个法向量为，结合向量的夹角公式，即可求解.11AB C 111B C A 12,n n【详解】（1）证明: 因为平面 ，平面，所以， AO ⊥11BB C C 1B C ⊂11BB C C 1AO B C ⊥因为， 四边形是平行四边形， 所以四边形是菱形， 1BC BB =11BB C C 11BB C C 所以，11BC B C ⊥又因为，平面，平面，所以平面， 1AO BC O ⋂=AO ⊂1ABC 1BC ⊂1ABC 1B C ⊥1ABC 因为平面， 所以.AB ⊂1ABC 1AB B C ⊥（2）解： 因为与平面所成角为平面，所以， AB 11BB C C 30,AO ︒⊥11BB C C 30ABO ︒∠=因为， 所以是正三角形， 160B BC ︒∠=1BCB △设， 则，2BC =12,1B C BO OA ===以为原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， O 1,,OB OB OA ,,x y z如图所示，则，11(0,1,0),(0,0,1),(B B A C所以 ，11111(0,1,1),1)AB C B A B AB =-===-设平面的一个法向量为，则，11AB C 1(,,)n x y z =111110n AB y z n C B y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 取，可得，1x=y z ==1(1,n =设平面的一个法向量为，则，111B C A 2111(,,)n x y z = 21111111110n A B z n C B y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩取，可得，11x=1y z ==2(1,n =设二面角的大小为，111A B C A --θ因为， 121cos ,7n n = 所以，sin θ==所以二面角111A B C A --21．已知椭圆的右焦点为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线2222:1(0)x y C a b a b +=>>1F 1F x 与短轴两端点的连线相互垂直. 1F （1）求椭圆的方程；C （2）若圆上存在两点，，椭圆上存在两个点满足：三点共线，222:O x y a +=M N C ,P Q 1,,M NF 三点共线，且，求四边形面积的取值范围.1,,P Q F 0PQ MN ⋅=PMQN 【答案】（1）；（2）2212x y +=【解析】（1）又题意知，，及即可求得，从而得椭圆方程. a =a =222a b c =+a b c 、、（2）分三种情况：直线斜率不存在时，的斜率为0时，的斜率存在且不为0时，设MN MN MN 出直线方程，联立方程组，用韦达定理和弦长公式以及四边形的面积公式计算即可.【详解】（1）由焦点与短轴两端点的连线相互垂直及椭圆的对称性可知，，b c =∵过点且与1F x 22ba∴=又，解得.222a b c =+1a b c ===∴椭圆的方程为C 2212x y +=（2）由（1）可知圆的方程为，O 222x y +=（i ）当直线的斜率不存在时，直线的斜率为0， MN PQ此时||2,||PMQN MN PQ S ===四边形（ii ）当直线的斜率为零时，.MN |||2PMQN MN PQ S ===四边形（iii ）当直线的斜率存在且不等于零时，设直线的方程为， MN MN (1)(0)y k x k =-≠联立，得，222x y +=2222(1)220(0)k x k x k +-+-=∆>设的横坐标分别为，则. ,M N ,M N x x 222222,11M N M N k k x x x x k k -+=⋅=++所以，||MN =-（注：的长度也可以用点到直线的距离和勾股定理计算.）||MN 由可得直线的方程为，联立椭圆的方程消去，PQ MN ⊥PQ 1(1)(0)y x k k=--≠C y 得 222(2)4220(0)k x x k +-+-=∆>设的横坐标为，则. ,P Q ,P Q x x 222422,22p p Q Q k x x x x k k -+=⋅=++||PQ ∴==1||||2PMQNS MN PQ ===四边形2110,1222PMQN S k <<<<∴<<+ 四边形综上，由（i ）（ii ）（ⅲ）得的取值范围是.PMQN S 四边形【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题，解答此类题目，通常利用的关系，确定椭圆方程是基础；通过联立直线方程与椭圆方程建立方程a b c 、、组，应用一元二次方程根与系数，得到目标函数解析式，运用函数知识求解；本题是难题.22．已知函数． ln ()e xxf x a x-=+(1)若是的极值点，求a ；1x =()f x (2)若，分别是的零点和极值点，证明下面①，②中的一个．0x 1x ()f x ①当时，；②当时，．0a >2100ln 1x x x <-+a<010ln 21x x <-注：如果选择①，②分别解答，则按第一个解答计分． 【答案】(1) e a =(2)证明见解析.【分析】（1）对函数进行求导，由是函数的极值点，则，即可得，然后将1x =()f x ()01f '=e a =带入原函数进行分析说明即可；e a =（2）选择①因为分别为的零点和极值点，所以，分别求出的值，01,x x ()f x 0()0,f x =1()0,f x '=a 找出等量关系式，然后根据，对函数式进行分析，利用构造新函数利用函数导数单调性，同0a >时结合已知的条件即可得；2100ln 1x x x <-+选择②因为分别为的零点和极值点，所以，分别求出的值，找出01,x x ()f x 0()0,f x =1()0,f x '=a 等量关系式，然后根据，对函数式进行分析，利用构造新函数利用函数导数单调性，同时结0a <合已知的条件即可得；10ln 21x x <-【详解】（1）因为，所以， ln ()e xx f x a x -=+21ln ()e xx f x a x --'=-+若是函数的极值点，则，，即， 1x =()f x ()01f '=121ln1(1)e 01f a --'=-+=e a =此时，2121e ln ()x x xf x x --'-=设，则，，21()1e ln x g x x x ---=121()2e1e xx g x x x x--+--'=(1)2g '=-所以存在，使得当时，，单调递减， 1m n <<(),x m n ∈()0g x '<()g x 当时，，单调递增，当时，，(),1x m ∈22()(1)()0g x g f x x x '=>=()f x ()1,x n ∈22()(1)()0g x g f x x x'=<=单调递减，()f x 所以当时，是的极值点. e a =1x =()f x （2）选择①：因为分别为的零点和极值点，所以， 01,x x ()f x 0000000ln e ln ()e0,x x x x f x a a x x -=+==-，所以. ()111112211e 1ln 1ln ()e0,xx x x f x a a x x ---'=-+==()1010210e ln 1e ln xx x x a x x --==当时，，则，即 0a >()1010210e ln 1e ln 0x x x x x x -=<01ln 0,ln 1x x <<0101,0e,x x <<<<因为，所以当，即时，成立，200314x x -+≥13ln 4x <3410e x <<2100ln 1x x x <-+当时，若，则只需证明，341e e x ≤<10e x x ≤2000ln x x x <-设，则 ()2e ln 1()x x k x x -=()3e ln 2ln 3(),x x x x x k x x --+'=设，1()ln 2ln 3k x x x x x =--+则为增函数，且12()ln k x x x'=-112(1)20,(e)10,e k k ''=-<=->所以存在唯一，使得， 2(1,e)x ∈12222()ln 0k x x x '=-=当时，，单调递减，当时，，单调递增， 2(1,)∈x x 1()0k x '<1()k x 2(,)x x ∈+∞1()0k x '>1()k x 故，所以，单调递增， 112224()()5(0k x k x x x ≥=-+>()0k x '>()k x 所以，则，等价于. 10e x x ≤()100e 100222100e ln 1e ln e ln e x x x x x x x x x -=≤02+(1e)010e x x --≥设，则，2+(1e)1()e x m x x -=-[]2+(1e)()(1e)1exm x x -'=-+当时，若时，，，单调递减，3410e e e x x ≤≤<14e 1x -≤<(1e)10x -+<()0m x '<()m x 所以当，所以当时，成立，14e1x -≤<3e()(1)e10,m x m ->=->341e e x ≤<10e e x x ≤<设，则， 2()ln n x x x x =-+1()21n x x x'=-+当时，，单调递增所以当时，，01x <<()0n x '>()n x 01x <<()(1)0n x n <=即成立，22000100ln ,ln 1x x x x x x <-<-+综上，若，分别是的零点和极值点，当时，.0x 1x ()f x 0a >2100ln 1x x x <-+选择②：因为分别为的零点和极值点，所以， 01,x x ()f x 0000000ln e ln ()e0,x x x x f x a a x x -=+==-，所以. ()111112211e 1ln 1ln ()e0,x x x x f x a a x x ---'=-+==()1010210e ln 1e ln x x x x a x x --==当时，，则，即 0a <()1010210e ln 1e ln 0x x x x x x -=>01ln 0,ln 1x x >>011,>e,x x >若，即则只需证明， 10e x x ≤101ln ln x x ≤+002ln 2x x <-设，则， 2()ln 2x x x h =-+1()2h x x'=-当时，，单调递减，所以.1x >()0h x '<()h x 10()(1)0,ln 21h x h x x <=<-若，设，则，单调递增， 10e e x x >>2e ()(e)xx x x ϕ=>3(2)e ()0x x x xϕ-'=>()ϕx 所以，所以，，()()10e x x ϕϕ>()01e 101222010eln 1e ln e (ln 1)e x x x x x x x x x--=>02e 100ln e ln 1x x x x x +-<+所以只需证明.2e 000e ln 121x x x x x +-+<-设，则，2e ()e ln 22x x u x x x x +-=-+[]2e ()ln (1e)ln 1e 2x xu x x x x +-'=+-+-当时，，当时，即时，，1x >[]2e ()(2e)ln 1e 2x xu x x +-'<-+-(2e)ln 10x -+≤1e 2ex -≥()0u x '<设，[]2e ()(2e)ln 1e2x xv x x +-=-+-则， 2e 2e ()(e 1)(e 2)ln 1e e x x v x x x +--⎡⎤'=+--+-⎢⎥⎣⎦因为当时，函数单调递增， 1x >2e()(e 1)(e 2)ln 1e t x x x -=+--+-所以当时，，1e 21ex -<<11e 2e 211e 2e 22e 2e ()(e)(e 1)(e 2)ln e1e=0eet x t ------<=+--+-<，单调递减，此时也有，()0v x '<()v x 3e ()()(1)e 20u x v x v -'<<=-<所以当时，单调递减，，即当时，， 1x >()u x ()(1)0u x u <=1e e x x >>10ln 21x x <-综上，综上，若，分别是的零点和极值点，当时，. 0x 1x ()f x 0a <10ln 21x x <-【点睛】函数与导数综合简答题常常以压轴题的形式出现， 难度相当大，主要考向有以下几点：1、求函数的单调区间（含参数）或判断函数（含参数）的单调性；2、求函数在某点处的切线方程，或知道切线方程求参数；3、求函数的极值（最值）；4、求函数的零点（零点个数），或知道零点个数求参数的取值范围；5、证明不等式；解决方法：对函数进行求导，结合函数导数与函数的单调性等性质解决，在证明不等式或求参数取值范围时，通常会对函数进行参变分离，构造新函数，对新函数求导再结合导数与单调性等解决.。
2023-2024学年河北省唐山市高三三模数学试题+答案解析(附后)
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求2023-2024学年河北省唐山市高三三模数学试题✽的。
1.已知全集，集合，，则( )A. B. C. D.2.的共轭复数为( )A.B.C.D.3.某校高三年级一共有1200名同学参加数学测验，已知所有学生成绩的第80百分位数是103分，则数学成绩不小于103分的人数至少为( )A. 220 B. 240C. 250D. 3004.函数的单调递减区间为( )A. ，B. ，C. ，D.，5.已知圆，圆，则与的位置关系是( )A. 外切B. 内切C. 相交D. 外离6.从2艘驱逐舰和6艘护卫舰中选出3艘舰艇分别担任防空、反潜、巡逻任务，要求其中至少有一艘驱逐舰，则不同的安排方法种数为( )A. 336 B. 252C. 216D. 1807.椭圆的左、右焦点分别为，，直线l 过与E 交于A ，B 两点，为直角三角形，且，，成等差数列，则E 的离心率为( )A. B. C.D.8.已知函数有三个极值点，则实数a 的取值范围是( )A.B. C.D.二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.如图，直四棱柱的所有棱长均为2，，则( )A. 与所成角的余弦值为B. 与所成角的余弦值为C.与平面所成角的正弦值为D. 与平面所成角的正弦值为10.如图，是边长为2的等边三角形，连接各边中点得到，再连接的各边中点得到，，如此继续下去，设的边长为，的面积为，则( )A. B.C. D.11.已知向量，，，下列命题成立的是( )A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 设，，当取得最大值时，12.已知函数及其导函数的定义域均为，，当时，，，则( )A. 的图象关于对称B. 为偶函数C.D. 不等式的解集为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广东高三三模数学试题(解析版)
一、单选题1．已知，若，则（ ） {}{}1,2,3,,5A a B a =+=A B A ⋃==a A ． B ．C ．2D ．301【答案】C【分析】根据并集的知识求得.a 【详解】由于，所以， A B A ⋃=35,2a a +==此时，满足. {}{}1,2,5,2,5A B ==A B A ⋃=故选：C2．“”是“”的（ ） 12a b +>-a b >A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分、必要条件的知识确定正确答案. 【详解】，123a b a b +>-⇔>-所以，3a b >-⇒3a b a b a b ⎧>⎪⎨>⇒>-⎪⎩所以“”是“”的必要不充分条件. 12a b +>-a b >故选：B3．在梯形ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，，则（ ）34BC AD = DC =A ．B ．34OB OC +34OB OC -C ．D ．34OB OC + 34OB OC - 【答案】A【分析】根据平面向量的线性运算可求出结果.【详解】如图，由，可得（利用平行关系求得线段比）， 34BC AD = 34DO AD OB BC ==则，所以， 34DO OB =34DC DO OC OB OC =+=+故选：A ．4．在复平面内，由对应的三个点确定圆，则以下点在圆上的是12312i,12i,z z z =-=+=P P （ ）A ．B ． i z =+1z =C ．D ．z =23i z =-【答案】C【分析】根据题意，由条件可得123,,z z z 结果.【详解】因为，11z =-21z =+即，所以 123z z z ==123,,z z z且只有选项C ，所以其在圆上， P 故选：C5．已知函数在处取得极大值4，则（ ）()3f x ax bx =+1x =a b -=A ．8 B ．C ．2D ．8-2-【答案】B【分析】先求函数的导数，把极值点代入导数则可等于0，再把极值点代入原函数则可得到极值，解方程组即可得到，从而算出的值.,a b a b -【详解】因为，所以，()3f x ax bx =+()23f x ax b '=+所以，解得， ()()130,14f a b f a b '=+==+=2,6a b =-=经检验，符合题意，所以. 8a b -=-故选：B6．曲线是造型中的精灵，以曲线为元素的LOGO 给人简约而不简单的审美感受，某数学兴趣小组设计了如图所示的双型曲线LOGO ，以下4个函数中 最能拟合该曲线的是（ ）JA ．B ．ln y x x =2ln y x x =C ．D ．1ln y x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1ln y x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】A【分析】根据偶函数，排除B 项；由，排除C 项，由当时，函数2ln ||y x x =11e g ⎛⎫<- ⎪⎝⎭(0,1)x ∈，可排除D ，由函数为奇函数，且当时，利用导数求得函数1ln 0y x x x ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭()ln x x x ϕ=0x >的单调性，结合，得到A 符合题意，即可求解.()10ϕ=【详解】由函数，其定义域为，关于原点对称，()2ln ||f x x x =()(),00,-∞⋃+∞可得，()()22()ln ||ln ||f x x x x x f x -=--==所以函数为偶函数，所以排除B ；2ln ||y x x =由函数，可得，故排除C ；1()ln ||g x x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭11e 1e e g ⎛⎫⎛⎫=-+<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由函数，当时，可得且，则，1()ln ||h x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(0,1)x ∈10x x -<ln ||0x <()0h x >故排除D ．由函数的定义域为 ，关于原点对称，()ln x x x ϕ=()(),00,∞-+∞U 且，所以为奇函数，图象关于原点对称， ()()ln ln x x x x x x ϕϕ-=--=-=-()x ϕ由时，，可得， 0x >()ln x x x ϕ=()ln 1x x ϕ'=+当时，，单调递减；1(0,)ex ∈()0x ϕ'<()x ϕ当时，，单调递增，且，所以A 项符合题意.1(,)e x ∈+∞()0x ϕ'>()x ϕ()10ϕ=故选：A.7．已知抛物线的焦点为，准线与坐标轴交于点是抛物线上一点，若，24x y =F l ,N M FN FM =则的面积为（ ）FMNA ．4B ．C ．D ．2【答案】D【分析】根据抛物线的定义和标准方程即可求解. 【详解】由， 24x y =得，2p =则，2FN FM ==根据抛物线的定义知2， 12M M pMF y y =+=+=解得， 1=M y 代入， 24x y =得，2M x =±所以的面积为.FMN 12222⨯⨯=故选：D.8．已知一个圆锥的内切球的体积为，则该圆锥体积的最小值为（ ）4π3A ．B ．C ．D ．8π314π32π4π【答案】A【分析】根据题意，做出其轴截面的图形，结合相似以及基本不等式即可得到结果.【详解】圆锥与其内切球的轴截面图如图所示，点为球心，为切点，设内切球的半径为， O ,D E R 圆锥的底面圆的半径为，高为，所以，则， r h 34π4π33R =1R =易知，所以，即，ADO AEB ∽AO DO AB EB =1r=22h r h =-圆锥的体积，当且仅当时，等号成立.221ππ48ππ24332323h V r h h h h ⎛⎫==⋅=-++≥ ⎪--⎝⎭4h =故选:A二、多选题9．2022年我国对外经济进口总值累计增长率统计数据如图所示，则（ ）A ．2022年我国对外经济进口总值逐月下降B ．2022年我国对外经济进口总值累计增长率在前6个月的方差大于后6个月的方差C ．2022年我国对外经济进口总值累计增长率的中位数为5.5%D ．2022年我国对外经济进口总值累计增长率的80%分位数为7.1% 【答案】BC【分析】利用折线图的特点及方差的意义，结合中位数及第百分位数的定义即可求解.p 【详解】对于A ，2022年我国对外经济进口总值累计增长率逐月下降，并不能说明对外经济进口总值逐月下降，故A 不正确.对于B ，由图可知，2022我国对外经济进口总值累计增长率在前6个月的波动较大，故B 正确. 对于C ，将我国对外经济进口总值累计增长率从小到大排列，得中位数为1(5.3% 5.7%) 5.5%2⨯+=，故C 正确.对于D ，将我国对外经济进口总值累计增长率从小到大排列，由，可知80%分位数为80%129.6⨯=第10个数据，即9.6%，故D 不正确. 故选：BC.10．已知是两条不相同的直线，是两个不重合的平面，则下列命题为真命题的是（ ） ,m n ,αβA ．若是异面直线，，则. m n ､,//,,//m m n n αββα⊂⊂//αβB ．若，则 ,m n m β⊥⊥//n βC ．若，则 //,n n αβ⊥αβ⊥D ．若，则 ,//,//m n αβαβ⊥m n ⊥【答案】ACD【分析】根据立体几何相关定理逐项分析.【详解】对于A ，，则平面内必然存在一条直线，使得，并且 ， ,//m m αβ⊂β'm '//m m '//m α同理，在平面内必然存在一条直线，使得，并且，由于是异面直线，与是α'n '//n n '//n α,m n m 'n相交的，n 与也是相交的，'m 即平面内存在两条相交的直线，分别与平面平行，，正确； αβ//αβ∴设，并且，则有，显然是相交的，错误； l αβ= //,//m l n l //,//m n βα,αβ对于B ，若，则不成立，错误；n β⊂//n β对于C ，若，则平面上必然存在一条直线l 与n 平行，，即，正确； //n ααl β∴⊥αβ⊥对于D ，若，必然存在一个平面，使得，并且，，又//n βγγ⊂n //γβ//γα∴，正确；,,m m m n αγ⊥∴⊥⊥故选:ACD.11．已知函数，下列说法正确的有（ ）()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭A ．在上单调递增()f x π0,3⎛⎫⎪⎝⎭B ．若，则()()1212f x f x ==21π,Z 3k x x k -=∈C ．函数的图象可以由向右平移个单位得到 ()f x cos2y x =π3D ．若函数在上恰有两个极大值点，则 (0)2x y f ωω⎛⎫=> ⎪⎝⎭π0,3⎛⎫⎪⎝⎭(]7,13ω∈【答案】BD【分析】根据正弦函数的图像和性质逐项进行验证即可判断求解. 【详解】令，则，即的单调增区间为，则在不πππ2262x -<+<ππ36x -<<()f x ππ,36⎛⎫- ⎪⎝⎭()f x π0,3⎛⎫⎪⎝⎭单调，故选项错误； A 令，则或，即或， 1()2f x =ππ22π66+=+x k π5π22π66x k +=+πx k =ππ,3k k +∈Z 由，则或，，即或，故选项正121()()2f x f x ==21ππ3x x k -=+πk k ∈Z ()2131π3k x x +-=3π3k B 确；向右平移个单位变为故选项错cos2y x =π3()π2ππcos2cos 2sin 2,336y x x x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C 误；对于，， D ππsin ,0263x f x x ωω⎛⎫⎛⎫=+<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在上恰有两个极大值点，即，()f x π0,3⎛⎫⎪⎝⎭ππππ5π9π,ππ66362362x ωωω<+<+<+≤即，故选项正确. 713ω<≤D 故选：BD12．已知圆与圆，下列说法正确的是（ ）221:9C x y +=222:(3)(4)16C x y -+-=A ．与的公切线恰有4条1C 2C B ．与相交弦的方程为 1C 2C 3490x y +-=C ．与相交弦的弦长为1C 2C 125D ．若分别是圆上的动点，则 ,P Q 12,C C max ||12PQ =【答案】BD【分析】由根据两圆之间的位置关系确定公切线个数；如果两圆相交，进行两圆方程的做差可以得到相交弦的直线方程；通过垂径定理可以求弦长；两圆上的点的最长距离为圆心距和两半径之和，逐项分析判断即可.【详解】由已知得圆的圆心，半径， 1C ()10,0C 13r =圆的圆心，半径，2C ()23,4C 24r =，1221125,C C r r d r r ==-<<+故两圆相交，所以与的公切线恰有2条，故A 错误； 1C 2C 做差可得与相交弦的方程为1C 2C 3490,x y +-=到相交弦的距离为，故相交弦的弦长为，故C 错误； 1C 95245=若分别是圆上的动点，则，故D 正确. ,P Q 12,C C max 1212||12PQ C C r r =++=故选：BD三、填空题13．曲线在点处的切线方程是__________（结果用一般式表示）.()31xf x xe x =-+()0,1【答案】210x y +-=【分析】求导，由导数的几何意义可得切线斜率，由点斜式即可求解直线方程.【详解】,所以，所以由点斜式可得切线方程为，即()()1e 3xf x x '=+-()02f '=-12y x -=-，210x y +-=故答案为：210x y +-=14．如图，三个相同的正方形相接，则__________.tan FAD ∠=【答案】/ 340.75【分析】根据给定的几何图形，利用差角的正切求解作答. 【详解】依题意，， 1tan ,tan 22DC FBDAC FAB AC AB∠==∠==所以. ()12tan tan 32tan tan 11tan tan 4122FAB DAC FAD FAB DAC FAB DAC -∠-∠∠=∠-∠===+∠⋅∠+⨯故答案为：3415．第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，甲､乙等4名杭州亚运会志愿者到游泳､射击､体操三个场地进行志愿服务，每名志愿者只去一个场地，每个场地至少一名志愿者，若甲不去游泳场地，则不同的安排方法共有__________种. 【答案】24【分析】分游泳场有2名志愿者和1名志愿者两种情况讨论，然后利用分类加法原理求解即可【详解】当游泳场地安排2人时，则不同的安排方法有种，2232C A 6=当游泳场地安排1人时，则不同的安排方法有种，122332C C A 18=由分类加法原理可知共有种， 61824+=故答案为：2416．已知数列的前n 项和为，，且，则______． {}n a n S 23S =11,21,N 21,2,N n n n a n k k a a n k k *+*⎧+=-∈=⎨+=∈⎩16S =【答案】2000【分析】令，然后由条件可得，然后求出数列的通项公()212N n n n n b a a *-∈=+()1525n n b b ++=+式，然后可算出答案.【详解】令，()212N n n n n b a a *-∈=+因为，且， 23S =11,21,N 21,2,N n n na n k k a a n k k *+*⎧+=-∈=⎨+=∈⎩所以，， 13b =()1212222121221121121125n n n n n n n n b a a a a a a b ++++-=+=+++=+++++=+所以，所以数列是首项为8，公比为2的等比数列， ()1525n n b b ++=+{}5n b +所以，即，125822n n n b -++=⋅=225n n b +=-所以，()3834101612821225+252540200012S b b b -=++=--++-=-=- 故答案为：2000四、解答题17．已知a ，b ，c 分别为的内角A ，B ，C 的对边，，且．ABC 2π3B =sin cos cos sin a c A c AC C +=(1)求角的大小；C (2)若的外接圆面积为，求边上的中线长． ABC 3πBC 【答案】(1) π6【分析】（1）利用正弦定理边化角，从而得到，再逆用和角余弦公式，sin cos cos sin sin A C A C A =-即可求解；（2）先求得的外接圆半径，再根据正弦定理求得，最后利用余弦定理即可求解. ABC ,AB BC 【详解】（1）因为，sin cos cos sin a c A c AC C+=根据正弦定理可得：，sin sin sin sinCcos cos sin A C A AC C+=所以， sin cos cos sin sin A C A C A =-所以， ()π1sin cos()cos πcos 32A C AB =+=-==因为，所以.π03A <<π6A =故. ππ6C A B =--=（2）如图，取中点，连接，BC D AD 记的外接圆的半径为，则，解得ABC r 2π3πr=r =根据正弦定理可得 2sin AB r C =因为，所以π6A C ==BC AB ==BD =根据余弦定理可得：222221212cos 224AD AB BD AB BD B ⎛⎫=+-⋅⋅=+--= ⎪⎝⎭所以 AD =故 BC 18．记为数列的前项和，已知是公差为2的等差数列.n S {}n a n {}11,2n na a =(1)求的通项公式； {}n a (2)证明：. 4n S <【答案】(1) 12n n n a -=(2)证明见解析【分析】（1）根据等差数列的通项公式计算求解可得； （2）应用错位相减法计算即可.【详解】（1）因为，所以，11a =122a =因为是公差为2的等差数列，所以，{}2nn a ()22212n n a n n =+-=所以. 1222n n n n n a -==（2），① 01211232222n n n S -++++=所以，②121112122222n n n n nS --=++++ ① -②则，2111111122121222222212n n n n n nn n n S --+=++++-=-=--所以. 12442n n n S -+=-<19．车胎凹槽深度是影响汽车刹车的因素，汽车行驶会导致轮胎胎面磨损.某实验室通过试验测得行驶里程与某品牌轮胎凹槽深度的数据如下： 行驶里程/万km0.00 0.64 1.29 1.93 2.57 3.22 3.86 4.51 5.15轮胎凹槽深度/mm 10.02 8.37 7.39 6.48 5.82 5.20 4.55 4.16 3.82以行驶里程为横坐标、轮胎凹槽深度为纵坐标作散点图，如图所示.(1)根据散点图，可认为散点集中在直线附近，由此判断行驶里程与轮胎凹槽深度线性相y bx a =+关，并计算得如下数据，请求出行驶里程与轮胎凹槽深度的相关系数（保留两位有效数字），并推断它们线性相关程度的强弱；附：相关系数nnx y r =(2)通过散点图，也可认为散点集中在曲线附近，考虑使用对数回归模型，并求得12ln(1)y c c x =++经验回归方程及该模型的决定系数.已知（1）中的线性回归模型ˆ10.11 3.75ln(1)yx =-+20.998R =为，在同一坐标系作出这两个模型，据图直观回答：哪个模型的拟合效果更好？ˆ9.158 1.149yx =-并用决定系数验证你的观察所得.附：线性回归模型中，决定系数等于相关系数的平方，即.22R r =【答案】(1)，相关性较强0.96r =-(2)答案见解析【分析】（1）直接根据相关系数的计算公式求得，从而可判断相关性较强；0.96r =-（2）由图像可直观判断，再求出线性回归模型的决定系数，从而可判断对数回归模2220.922R r =≈型的拟合度更高.【详解】（1）由题意，115.109 2.57 6.2028.3060.9629.4629.46n nxy r -⨯⨯-====-，∵，∴，0.960r =-<||0.960.75r =>∴行驶里程与轮胎凹楳深度成负相关，且相关性较强.（2）由图像可知，车胎凹槽深度与对数回归预报值残差、偏离更小，拟合度更高，线性回归预报值偏美较大.由题（1）得线性回归模型的相关系数， ˆ9.158 1.149yx =-0.96r =-决定系数，2222(0.96)0.922R r ==≈由题意，对数回归模型的决定系数，10.11 3.75ln(1)y x =-+20.998R =∵，∴对数回归模型的拟合度更高.0.9980.922>20．如图，正方体中，直线平面，，. 1111ABCD A B C D -l ⊂1111D C B A 11l AC E ⋂=113AE EC=(1)设，，试在所给图中作出直线，使得，并说明理由；11l B C P = 11l C D Q ⋂=l l CE ⊥(2)设点A 与（1）中所作直线确定平面.l α①求平面与平面ABCD 的夹角的余弦值；α②请在备用图中作出平面截正方体所得的截面，并写出作法.α1111ABCD A B C D -【答案】(1)答案见解析；(2)②答案见解析.【分析】（1）取和中点分别为P 、Q ，利用正方体的性质结合线面垂直的判定定理可得11B C 11C D 平面，进而即得；PQ ⊥11A C CA （2）利用坐标法，根据面面角的向量求法即得；设直线交于，连接分PQ 1111,A B A D ,G H ,AG AH 别交于，进而可得截面.11,BB DD ,M N 【详解】（1）由题意，P 、Q 分别为和的中点吋，有，11B C 11C D l CE ⊥证明过程如下：连接，取和中点分别为P 、Q ，连接，11B D 11B C 11C D PQ∵，∴一定过经过点E ,∴PQ 即为所求作的l .113A E EC =PQ ∵P 、Q 分别为和的中点，∴P 、Q 为的中位线，11B C 11C D 11B C D ∴，且PQ 过经过点E ，11PQ B D ∥∵正方体的的上底面为正方形.1111ABCD A B C D -1111D C B A ∴，∵，∴， 111B D AC ⊥11//PQ BD 11PQ A C ⊥又∵正方体的侧棱垂直底面，，1111ABCD A B C D -1CC 1111D C B A 1111PQ A B C D ⊂∴，又∵，平面，. 1PQ CC ⊥11A C 1CC ⊂11A C CA 1111AC CC C =∴平面，∵平面，PQ ⊥11A C CA CE ⊂11A C CA ∴，即；PQ CE ⊥l CE ⊥（2）①连接AP ，AQ ，∵正方体中，有AD ，DC ，DD 两两垂直，以D 点为坐标111ABCD A B C D -原点，建立空间直角坐标系，如图所示，设正方体边长为2，则有，，，，，(0,0,0)D 1(0,0,2)D (2,0,0)A (1,2,2)P (0,1,2)Q 所以，，(1,2,2)AP =- (2,1,2)AQ =- ∵正方体的侧棱垂直底面ABCD ，∴为平面ABCD 的法向量.1DD 1(0,0,2)DD = 设平面，即平面APQ 的法向量，则，.α(),,n x y z = n AP ⊥ n AQ ⊥ ∴，，即0n AP ⋅= 0n AQ ⋅= 令，则，. 220,220x y z x y z -++=⎧⎨-++=⎩2x ==2y -3z =∴平面APQ 的一个法向量.()2,2,3n =-，，=1(0,0,2)DD =12DD = 设平面与平面ABCD 的夹角的平面角为，αθ则； cos θ②设直线交于，连接分别交于，连接，则平面PQ 1111,A B A D ,G H ,AG AH 11,BB DD ,M N ,MP NQ 即为平面截正方体所得的截面，如图所示.AMPQN α1111ABCD A B C D -21．在直角坐标平面内，已知，，动点满足条件：直线与直线的斜率之积()2,0A -()2,0B P PA PB 等于，记动点的轨迹为． 14P E (1)求的方程；E (2)过点作直线交于，两点，直线与交点是否在一条定直线上？若是，()4,0C l E M N AM BN Q 求出这条直线方程；若不是，说明理由．【答案】(1) 2214x y -=()2x ≠±(2)点在直线上Q 1x =【分析】（1）设，由斜率公式得到方程，整理即可得解；(),P x y ()2x ≠±（2）依题意直线的斜率不为，设直线的方程为，，，联立直MN 0MN 4x my =+11(,)M x y 22(,)N x y 线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，表示出直线、的方程，即可得到直线，AM BN AM BN 的交点的坐标满足，根据韦达定理求出，即可求出，从00(,)Q x y 210012(2)2(2)(2)y x x x y x ++=⋅--2112(2)(2)y x y x +-0x 而得解. 【详解】（1）解：设，则，得，即(),P x y ()2x ≠±1224y y x x ⋅=+-2244y x =-2214x y -=()2x ≠±，故轨迹的方程为：． E 2214x y -=()2x ≠±（2）解：根据题意，直线的斜率不为，MN 0设直线的方程为，MN 4x my =+由，消去并整理得， 22414x my x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩x ()2248120m y my -++=其中，则2226448(4)161920m m m ∆=-+=->m >m <-设，，则，． 11(,)M x y 22(,)N x y 12284m y y m +=--122124y y m =-显然，12,2x x ≠±从而可设直线的方程为①， AM 11(2)2y y x x =++直线的方程为②，BN 22(2)2y y x x =--所以直线，的交点的坐标满足：．AM BN 00(,)Q x y 210012(2)2(2)(2)y x x x y x ++=⋅--而 ()21211221212121(2)(6)6(2)22y x y my my y y y x y my my y y +++==-++， 2122121121286366(4)44312122(4)24m m y m m y m m m m m y y m +----=⎛⎫ ⎪---⎝⎭-==-++-因此，，即点在直线上．01x =Q 1x =22．已知函数．()22e x f x x =(1)求的最小值；()f x (2)若对，恒成立，求实数的取值范围．0x ∀>()()()1ln 2f x ax ax x ≥+-a 【答案】(1)1e-(2)(]0,2e【分析】（1）根据导数研究函数单调性，结合单调性求解最值即可；（2）根据题意将问题转化为恒成立，进而结合的单调2ln()2e 2e ln()ln()x ax x x ax ax +≥+()e x g x x x =+性转化为研究恒成立，再求函数最小值即2ln()0x ax -≥()2ln()h x x ax =-1()1ln 022a h x h ⎛⎫≥=-≥ ⎪⎝⎭可.【详解】（1）函数的定义域为，，()f x R ()22e (21)x f x x =+'所以，当时，，单调递减， 1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭()0f x '<()f x 当时，，单调递增， 1,2x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭()0f x ¢>()f x 所以，函数在处取得极小值，，该极小值也是最小值. ()f x 12x =-11()2ef -=-所以，的最小值为.()f x 1e-（2）因为对，恒成立，0x ∀>()()()1ln 2f x ax ax x ≥+-所以，即恒成立，22e 2ln()ln()x x x ax ax ax +≥+2ln()2e 2e ln()ln()x ax x x ax ax +≥+令， ()()e ,e (1)1x x g x x x g x x =+=++'所以，当时，单调递增，()0,x ∈+∞()0,()g x g x '>因为 []2ln()(2)220,ln()ln()eln()x ax g x xe x g ax ax ax =+>=+所以，当时，，ln()0ax ≤[]ln()ln()ln()e ln()0ax g ax ax ax =+≤恒成立，2ln()2e 2e ln()ln()x ax x x ax ax +≥+当时，由得，即恒成立， ln()0ax >[](2)ln()g x g ax ≥2ln()x ax ≥2ln()0x ax -≥设， 1()2ln(),()2h x x ax h x x'=-=-所以，当时，单调递减，当时单调递增， 10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0,()h x h x <'1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()0,()h x h x >'所以，， 1()1ln 22a h x h ⎛⎫≥=- ⎪⎝⎭所以，要使恒成立，只需，解得， 2ln()0x ax -≥1ln02a -≥2e a ≤因为，由题可知，，0a >所以，实数的取值范围为 a (]0,2e 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于结合函数同构，将问题转化为恒成立，再构造函数求解即可.2ln()2e 2e ln()ln()x ax x x ax ax +≥+。
高三数学三模试卷分析反思
高三数学三模试卷分析反思高三林昱仁一、试题评价1、注重基础知识、基本技能的考查，符合高考命题的趋势和学生的实际。
让所有肯学、努力学的学生都能感受到成功的喜悦，考出积极性。
本次试卷注重基础知识的考查，22道题中有11道题（占60分）得分率在85%以上，有5题（占31分）得分率在70%--80%之间。
试题基本是常规基础题。
这样的考试让所有同学对数学学习有了更强的信心。
2、注重能力考查较多试题是以综合题的形式出现，在考查学生基础知识的同时，能考查学生的能力。
二．存在问题第2题，学生对含绝对值符号的问题仍没有很好掌握。
第3题，抽象函数的性质和指对数函数的单调性比较大小存在问题第10题，向量形式给出的问题没有很好的处理方法第13题，对数函数的真数是多项式不加括号；第16题，新规则的应用能力不强；第19题，定义域和值域常被忽视；第20题，三角和数列的综合能力有欠缺；第21题，规范解题不够，运算能力欠缺；第22题，处理复杂问题的能力不够，分类讨论能力欠缺。
三．教学设想通过本次考试可以看出许多问题，反映了学生的基础知识不够扎实，数学能力还很欠缺，有一些知识与方法还没有真正掌握。
（1）平时教学应注重基础，第一轮复习主要目标让学生掌握最基本的数学知识和基本技能，让学生真正理解和掌握。
（2）平时在解决数学问题时要有意识地提炼和归纳透数学知识、方法、思想，逐渐提高学生的数学能力。
（3）要注重培养学生良好的作业习惯，强化解题规范的要求。
（4）要着重培养学生熟练、准确的运算能力。
（5）应注重培养学生解决实际问题的能力，使学生会用数学。
10题部分学生对α∈R理解产生误解，不能正确认识圆系在平面上所组成的图形到底是什么，所以很多学生就仅仅求出了α确定时所对应的一个圆的面积，所以选择了C答案。
13题是一道常规的基础题，但正确率较低，不少学生把区间端点搞错，还有学生忘记函数定义域，当然也有学生是运算错误。
14题属于阅读理解题，不少学生由于阅读理解能力差产生理解障碍，不能真正理解定义的涵义，从而产生错误。
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高三数学“三模”试题分析
李尤权
(营盘中学)
一、试题评价：
此次模拟试题全面考查了中学数学基础知识，基本技能、基本思想和方法，考查逻辑思维能力，运算能力、空间想象能力以及运用所学数学知识和方法分析问题和解决问题的能力。
试题坚持了对基础知识的考查，并注重了对数学在实际中的应用的考查。
文科试题相对容易一些,理科试题总体难度大,学生不会解答.
二、解答情况：本校文科平均分为21.8，最高分60，最低6；理科平均分19.6，最高分41，最低分5。
三、试题及得分情况分析
（一）、选择题得分情况：
题号(文)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 得分率
0.37 0.41 0.59 0.22 0.37 0.22 0.3 0.15 0.15 0.41 0.41 0.22 题号(理)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 得分率 0.16 0.11 0.26 0.53 0.26 0.47 0.16 0.37 0.21 0.21 0.42 0.32
（二）、填空题及得分情况分析
填空题突出了考察学生运用数学知识解决问题的能力，对能力要求较高。
典型错误分析
文科13题的主要错误答案是 “4”， 错误一方面是均值不等式定理应用不灵活,一方面是粗心漏项”1”; 理科13题的主要错误答案是“0”,错误一方面是找An 表达式的方法不会,一方面凭感觉∞→n 2猜测; 14题的错误答案主要是“-5
3”,错误是在于忽略题设条件上; 15题理科(文16)学生全为空白。
这说明学生在理解掌握圆锥曲线焦半径内容方面的空白。
15题文科学生为“空白”或“随机数”，错误主要是不清楚用分类法或分步法求解。
16题理科学生为“空白”或“随机数区间”，错误主要是不清楚题中条件如何用。
教学建议：
1、 加强学生基础知识的理解与掌握和审题能力的培养。
2、 注意提高学生的“化归”能力。
3、 这次填空题四个题目学生的得分率不高。
这说明在这方面还要继续下功夫。
（三）、解答题得分情况分析
17题及得分情况分析
本题是解三角形的一个基本题。
试题综合程度一般,学生的解答过程还存在较大的问题。
理科：（1）得分率为42％，文科（1）得分率为30％。
典型错误分析
文理科：１．许多学生找不到解题思路;
２．三角公式的识记存在问题。
三角处理中最常用的技巧――“角的变换”学生不能理解使用。
在题中能把sinB 化为sin 〔π－（A ＋C ）〕为数不多。
许多学生不能实现把sinB 化为sinAcosC+cosAsinC 求解； ３．学生解题时，由于正弦定理、余弦定理和内角和定理能否用上，是否有用弄不清楚而乱书写一通； 教学建议：
1、 解三角形是难度在中下的一类题。
高考要出现也是前三题，平时要重现定理、公式的落实，基本方法
的落实，基本技巧的落实。
选题时要以基础为主，要强化定理和公式的记忆。
2、 解三角形作适当引导后要放手上学生去做。
18题及得分情况分析
本题是概率题，分两小题，难度适中，考查考生的逻辑思维能力和应用能力，以及计算能力，得分文、理大致在1.5－3分左右。
典型错误分析
第1小题
1．分不清事件类型； 2．审题不清，对题中的“恰好有1位是“甲流感”患者的含义理解出现偏差；
3．计算错误。
第2小题
审题不清，对题中“直到能确定“甲流感”患者为止所检测的次数”所隐含的数学关系不理解；
教学建议
1．通性通法的训练，比如一题多变，一解多题。
概率题关键是分清是何种事件，即加强逻辑思维能力的培养。
2。
审题，在概率题尤其注意关键词，比如“至少”、“至多”“不小于”“不大于”“恰好”等等
3．解题的规范性,要有解答过程。
4．加强考前的心理辅导.
19题及得分情况分析
本题用四棱锥S-ABCD，考查了线面垂直的证明和二面角的大小的求法，用常规方法法求解都非常适用，但本题得分比较低(1至5分)，对文理科考生区分度不高。
典型错误分析
1论证的不严密和概念的不清晰是立体几何的通病; 2．不知道如何在平面SAP中找出与PD垂直的直线;
3．（按传统方法）找不出平面ASD与平面PSD所成的二面角的平面角.
教学建议
1．教学过程中培养学生论证的严密是学生学好立体几何的关键。
如学生在利用PD AP时，都不交待；2．教学过程对二面角的教学时，培养学生的面的垂线意识，很多学生在作二面角的平面角时，不去证明或找到面的垂线，盲目去作或自认为某条直线是垂线等等错误
20、21、22题学生都留空白。
教学建议
1、切实抓好基础知识、基础概念、基本思想、基本方法；
2、对压轴题应要求考生舍得放弃。
具体建议和反思如下：
1·对所学知识、技能进行反思，对本课、本单元或本章节涉及到的知识，有没有达到所要求的程度。
2·对所蕴涵的数学思想和方法的理解和运用达到要求没有，这些思想方法是如何运用的，运用过程中有什么特点。
3·重视“三基”，要落在实处，要通过解题，注意信息的反馈，及时补救，达到牢固掌握。
4·提高学生的思维品质，常规的运算方法，运算能力，逻辑推理能力以及动手操作能力。
5·培养学生的探究能力和灵活运用所学知识解决现实问题的能力。
6.适当加快复习进度,在不影响学生系统掌握各章节主要内容的基础上,早日完成第一轮的复习(目前只复习完二项式定理部分).
2011年04月21
日。