CDC课件-方差分析一(单因素方差分析new)

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单因素方差分析基本思想：
将所有测量值上的总变异按照其变异的来源分解为两个部分： 1）组间变异（处理因素的影响）用MS间表示 2）组内变异（个体因素的影响）用MS内表示 F= MS间/ MS内 如果：处理组因素确无效的话， MS间≈ MS内，F ≈1； 处理组因素确有效的话，MS间>> MS内，F >>1 F越大，P值越小，就越有理由认为组间有差别。
总变异SS总反映了所有测量值之间总的变异程 度。
总
其中：
C=
(∑∑ Xij )2
i=1 j =1
g ni
N
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2．组间变异： 计算公式为
各处理组由于接受处理的水平不同，各组的 ni 2 样本均数 (i＝1，2，…，g)也大小不等，这种变 ( X ij ) g g j =1 2 异称为组间变异。 i i 组间 其大小可用各组均数与总均数的离均差平方 i=1 i=1 i 和表示，记为SS组间 。
SS组间/v组间 MS组间/ MS SS组内/v组内
总
多重比较
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方差分析的实质
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方差分析的实质
如果原假设成立，即H0: μ1 = μ2 = μ3 = μ4
四种颜色饮料销售的均值都相等 没有系统误差
这意味着每个样本都来自均值为 μ、差为σ2的同一正 态总体
4.65 6.92 4.44 6.16 5.99 6.67 5.29 4.70 5.05 6.01 5.67 4.68 5.52
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回忆t检验
方差分析：
推断多个总体均数是否有差别。 也可用于两个（结果与t检验同效）
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t检验：
一个或两个样本均数的假设测验
方差分析： 多个样本均数的假设测验
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完全随机设计资料方差分析的步骤
例1：
为研究大豆对缺铁性贫血的恢复作用， 某研究者进行了如下实验：选取已做成贫血模型的大 鼠36只，随机等分为3组，每组12只，分别用三种不 同的饲料喂养：不含大豆的普通饲料、含10%大豆饲 料和含15%大豆饲料。喂养一周后，测定大鼠红细胞 1012 数(× /L)，试分析喂养三种不同饲料的大鼠贫 血恢复情况是否不同？
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方差分析要求条件： 1）各样本是随机独立； 2）样本来自正态总体（服从正态分布）； 3）各总体方差相等，即σ12= σ22 = ……=σn2 ；
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方差分析基本思想： 将所有测量值上的总变异按照其变异的来源 分解为两个或多个部分，即每个部分的变异可由某因 素的作用来解释。 通过比较可能由某因素所至的变异与随机误 差，即可了解该因素对测定结果有无影响（评价由某 种因素所引起的变异是否具有统计学意义）。
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基本概念
只分析处理组间有无差别，以说明研究因 素对结果有无影响的均数间比较的检验方 法。即只有一个因素变量的方差分析称为 单因素方差分析。 研究多个因素变量对因变量的影响的方差 分析称为多因素方差分析，其中最简单的 情况是双因素方差分析。
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方差分析用途： 1）用于多个（或两个）样本均数的比较； 2）用于分析因素间的交互作用； 3）用于方差齐性检验； 4）用于方程的拟合度检验。
定义：按照纳入和排除标准选择出来的全部实验单位 随机地分配到各处理组，再观察其实验效应。
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3差齐同的资料，常采用 完全随机设计的单因素方差分析(one-way ANOVA)或 成组资料的 t 检验（g=2）； 2）对于非正态分布或方差不齐的资料，可进 行数据变换或采用秩和检验。
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表2 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 均数
喂养三种不同饲料的大白鼠红细胞数(×1012/L) 普通饲料 4.78 4.65 3.98 4.04 3.44 3.77 3.65 4.91 4.79 5.31 4.05 5.16 4.38 10%大豆饲料 4.65 6.92 4.44 6.16 5.99 6.67 5.29 4.70 5.05 6.01 5.67 4.68 5.52
SS
= ∑∑(X − X )
ν 组内 = N − g
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三种变异的关系：
SS总
SS组间
SS组内
SS总 = SS组间 + SS组内
ν 总 = ν 组间 +ν 组内
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均方差，均方(mean square，MS)
MS组间 = MS组内 =
SS组间
ν 组间
SS组内
ν 组内
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检验统计量F：
MS组间 F= , ν 1 = ν 组间 , ν 2 = ν 组内 MS组内 如果 μ1 = μ2 = L = μ g，则 MS组间 , MS组内 都为随
机误差 σ 的估计，F值应接近于1。
2
如果 μ1 , μ2 ,L , μ g 不全相等，F值将明显大于1。 用F界值（单侧界值）确定P值。
f(X)
μ1 = μ2 = μ3 = μ4
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X
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方差分析的实质
如果备择假设成立，即H1: μi (i=1，2，3，4)不全相等 至少有两个总体的均值是不同的 有系统误差 意味着四个样本来自的四个正态总体均值不全相同，极端情况： f(X)
μ3 ≠ μ1 ≠ μ2 ≠ μ4
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第一节
第三节
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标准差的直观含义：
均数 {0, 5, 9, 14} {5, 6, 8, 9}
A、B两组各有6位学生参加同一次语文测验 A组分数：95、85、75、65、55、45， B组分数：73、72、71、69、68、67。 均数10 标准差3
标准差
均数10 标准差10
这两组的平均数都是70，但A组的标准差为18.708分，B组的标 准差为2.37分，说明A组学生之间的差距要比B组学生之间的差 距大得多。
X
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计算公式为 1.总变异:
SS 总总变异的大小可以用离均差平方和(sum of C = ∑ ∑ ( X ij − X ) = ∑ ∑ X ij −
i
全部测量值大小不同，这种变异称为总变异。 g n g n
2
i
2
=1 i =1 j =1 squares iof j =1 deviations from mean，SS)表示，即 各测量值Xij与总均数差值的平方和，记为SS总。 ν = N −1
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20%大豆饲料 6.80 5.91 7.28 7.51 7.51 7.74 8.19 7.15 8.18 5.53 7.79 8.03 7.30
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表3 区组 1 2 3 4 5 6 7 8 均数
血滤液放置不同时间的血糖浓度（mmol/L） 放置时间（分）
0 5.27 5.27 5.88 5.44 5.66 6.22 5.83 5.27 5.60
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方差分析的 用途、要求条件 学习要点 单因素方差分析的定义
方差分析设计基本思 想、基本原理
单因素方差分析过程 以及 SAS实现
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方差分析（一） ——概述、单因素 方差分析
第一节
方差分析概述 完全随机设计资料的方差分析 方差分析概述 多个样本均数两两比较 SAS实现
中国疾病预防控制中心 第四节 第二节
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表1 喂养不同饲料的大白鼠红细胞数(×1012/L)
编号 普通饲料 10%大豆饲料 X %大豆饲料
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 均数
4.78 4.65 3.98 4.04 3.44 3.77 3.65 4.91 4.79 5.31 4.05 5.16 4.38
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方差分析的基本原理
H0: μ1 = μ2 = … = μn ； H1: μi (i=1，2，…，n)不全相等 自由度和平方和的分解 F测验
表4 完全随机设计的方差分析表
变异来源
组间(处理组间) 组内(误差)
SS SS组间 SS组内 SS总
df k-1 N-k N-1
MS
F
组内
45 5.27 5.22 5.83 5.38 5.44 6.25 5.72 5.11 5.50
90 4.94 4.88 5.38 5.27 5.38 5.61 5.38 5.00 5.20
135 4.61 4.66 5.00 5.00 4.88 5.22 4.88 4.44 4.80
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——新编《齐物论》
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ANOVA 由英国统 计学家R.A.Fisher首 创，为纪念Fisher， 以F命名，故方差分析 又称 F 检验 （F test）。用于推断多个 总体均数有无差异
/wiki/R.A._Fisher
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SS
= ∑n ( X − X ) = ∑
∑
n
−C
ν 组间 = g − 1
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3．组内变异： 计算公式为
在同一处理组中，虽然每个受试对象接受的处 g ni 理相同，但测量值仍各不相同，这种变异称为组内 2 ij i 组内 变异（误差）。组内变异可用组内各测量值Xij与其 i =1 j =1 所在组的均数的差值的平方和表示，记为SS组内, 表 示随机误差的影响。