2021届广东省东莞市高三上学期第一次调研考试数学(文)试题Word版含答案

2021届广东省东莞市高三上学期第一次调研考试数学（文）试题注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设集合2{|430}A x x x =-+< ，{|230}B x x =->，则AB =（A ）3(3,)2-- （B ）3(3,)2- （C ）3(1,)2 （D ）3(,3)2（2）若复数z 满足(12)(1)i z i +=-，则||z =（A ）25 （B ）35（C ）5 （D （3）等差数列}{n a 的前9项的和等于前4项的和，若0,141=+=a a a k ，则=k（A ）3 （B ）7 （C ）10 （D ）4（4）双曲线)0,0(1:2222>>=-b a b y a x C 的离心率213=e ，则它的渐近线方程（A ）x y 23±= （B ）x y 32±= （C ）x y 49±= （D ）x y 94±= （5）已知 1.22a =，8.02=b ，52log 2c =，则,,a b c 的大小关系为（A ）c b a << （B ）c a b << （C ）b a c << （D ）b c a << （6）已知tan 2θ=，且θ∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，则cos2θ= (Ａ)45 (Ｂ) 35 (Ｃ) 35- (Ｄ) 45- （7）已知两点()1,1A -，()3,5B ，点C 在曲线22y x =上运动，则AB •AC 的最小值为A ．2B ．12 C ．2- D ．12-（8）四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的 硬币.若硬币正面朝上, 则这个人站起来; 若硬币正面朝下, 则这个人继续坐着. 那么, 没 有相邻的两个人站起来的概率为 （A ）14 （B ）716 （C ）12 （D ）916（9）已知三棱锥S ABC -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形,2,2,AB SA SB SC ====则三棱锥的外接球的球心到平面ABC 的距离是（A ）33 （B ）1 （C 3（D ）332（10）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为A ．83 B ．163C ．323D ．16（11）设关于y x ,的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>-<+>+-00012m y m x y x 表示的平面区域内存在点),(00y x P 满足2200=-y x ，则m的取值范围是（A ）)34,(--∞ （B ）)0,32(-（C ）)31,(--∞ （D ）)32,(--∞（12）已知函数()2sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>）的图象在区间[]0,1上恰有3个最高点，则ω的取值范围为 A ．1927,44ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．913,22ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．1725,44ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．[)4,6ππ 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

第13～21题为必考题，每个考生都必须作答。

第22～23题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本小题共4题，每小题5分。

（13）已知向量a ()1,2=，b (),1=-x ，若a ∥()a b -，则a b ⋅= .（14）设ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若ABC ∆22243C =（15）已知等比数列}{n a 的公比为正数，且25932a a a =⋅，12=a ,则=1a ．（16）《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，约成书于四、五世纪，传本的《孙子算经》共三卷，其中下卷“物不知数”中有如下问题：“今有物，不知其数.三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？”其意思为：“现有一堆物品，不知它的数目.3个3个数，剩2个；5个5个数，剩3个；7个7个数，剩2个.问这堆物品共有多少个？”试计算这堆物品至少有 个．三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

（17）（本小题满分12分）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin b C b C a +=.（Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）若BC 边上的高等于14a ，求cos A 的值.（18）（本小题满分12分）为了解本校学生课外阅读情况，某校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查。

下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间(单位：分钟)的频率分布直方图，且将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”，低于60分钟的学生称为“非读书迷”。

（1）根据已知条件完成下面2×2列联表，（须在答题卷上画出2×2列联表）并据此判断是否有99%的把握认为“读书迷”与性别有关？非读书迷 读书迷 合计 男15女45合计（2）利用分层抽样从这100名学生的“读书迷”中抽取8名进行集训，从中选派2名参加市读书知识比赛，求至少有一名男生参加比赛的概率。

附： ()()()()()22,,n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++()20P K k ≥ 0.1000.050 0.025 0.010 0.001 k 02.7063.8415.0246.63510.828（19）（本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，ABC ∆为正三角形，16AA AB ==，D 为AC 的中点．（Ⅰ）求证：平面1BC D ⊥平面11A ACC ； （Ⅱ）求三棱锥1C BC D -的体积．（20）（本小题满分12分）已知函数()21ln 22f x ax x =--，R a ∈．（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）若函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围．（21）（本小题满分12分）已知椭圆E ： 22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，右焦点为()1,0F ，过点A 且斜率为1的直线交椭圆E 于另一点B ，交y 轴于点C ， 6AB BC =．（1）求椭圆E 的方程；（2）过点F 作直线l 与椭圆E 交于,M N 两点，连接MO （O 为坐标原点）并延长交椭圆E 于点Q ，求MNQ ∆面积的最大值及取最大值时直线l 的方程．（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。

（22）（本小题满分10分）[选修 4-4]参数方程与极坐标系在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C ： 22134x y +=，以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系.已知直线 l ： ()2cos sin 6ρθθ-=. (Ⅰ)试写出直线l 的直角坐标方程和曲线1C 的参数方程；(Ⅱ)在曲线1C 上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最大，并求出此最大值.（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数f (x )＝|x －a |.（Ⅰ）若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．2021届广东省东莞市高三上学期第一次调研考试数学（文）试题参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案DCCAACDBABAC1.2.【解析】113||1255i i z z i ---==⇒=+，故选C. （3）解析：因为49S S =，所以05796549==+++=-a a a a S S ，即07=a ，于是027410==+a a a ，可知答案选C.另解：由已知直接求出61-=d . 4.【解析】双曲线)0,0(1:2222>>=-b a b y a x C 的离心率213=e ，可得4131,4132222=+∴=a b a c ，可得23=a b ，双曲线的渐近线方程为：x y 23±=． （6）解析：显然 1.22a =2>，8.02=b ，21<<b ，14log 5<=c ，因此a 最大，c 最小，故选A.9. 【解析】由题意S 在平面ABC 内的射影为AB 的中点H ，SH ∴⊥平面ABC ，3SH =，1CH =，在面SHC 内作SC 的垂直平分线MO ，则O 为S ABC -的外接球球心．2SC =，1SM ∴=，30OSM ∠=︒，33SO OH ∴==O 到平面ABC 的距离，故选A ． （11）解析：画出可行域，由题意只需要可行域的顶点),(m m -在直线22=-y x 的下方即可，得到22>--m m ，解得32-<m .故选D.二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）52-（14）30°或3π（16）23（15）【解析】∵2693a a a =⋅，∴25262a a =,因此,22=q 由于,0>q 解得,2=q ∴2221==q a a 三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．解：（Ⅰ）因为cos sin b C b C a +=， 由正弦定理sin sin sin a b cA B C==得， sin cos sin sin B C B C +sin A =.……………2分因为A B C π++=，所以sin cos sin sin B C B C +()sin B C =+. 即sin cos sin sin B C B C +sin cos cos sin B C B C =+.……………4分因为sin 0C ≠，所以sin cos B B =.……………5分 因为cos 0B ≠，所以tan 1B =. 因为()0,B π∈，所以4B π=.……………6分（Ⅱ）设BC 边上的高线为AD ，则14AD a =.……………7分 因为4B π=，则14BD AD a ==，34CD a =.……………9分所以22AC AD DC =+10a =，24AB a =.……………10分 由余弦定理得222cos 2AB AC BC A AB AC+-=⋅5=-.所以cos A 的值为5-.…12分（18）（本小题满分12分）……………2分19．解：（Ⅰ）证明：因为1AA ⊥底面ABC ，所以1AA BD ⊥……………2分非读书迷读书迷 合计 男401555女 20 25 45 合计6040100因为底面ABC 正三角形， D 是AC 的中点,所以BD AC ⊥……………4分 因为A AC AA =⋂1，所以BD ⊥平面11ACC A ………………5分 因为平面BD ⊂平面1BC D ,所以平面1BC D ⊥平面11ACC A …………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知ABC ∆中，BD AC ⊥，sin 60BD BC =︒=所以132BCD S ∆=⨯⨯=………………………………9分所以11163C BC D C C BD V V --=== ………………………12分21. 解：（Ⅰ）011)(2>-=-='x xax x ax x f ， ……………1分当)0()(,0)(0∞+<'≤，在时，x f x f a 上单调递减；当aax x f a =='>解得时，令,0)(0.………… 3分 0)()(0)()0(>'∞+∈<'∈x f aax x f a a x 时，，；当时，，当.…………4分内单调递增，内单调递减；在，在函数)()0()(∞+∴aa a a x f …………5分综上：当)()(∞+≤，在时，00x f a 上单调递减； 当a>0时，内单调递增，内单调递减；在，在函数)()0()(∞+∴aaa a x f …………6分（Ⅱ）当0时，a ≤由（Ⅰ）得()在（0，+)f x 上单调递减，函数)(x f 不可能有两个零点；………7分当a>0时，由（Ⅰ）得，()(0)f x +∞函数在内单调递减，在内单调递增，且当x 趋近于0和正无穷大时，)(x f 都趋近于正无穷大，………8分故若要使函数)(x f 有两个零点，则)(x f 的极小值0f <，………………10分 即11ln -2022a +<，解得30e a <<,综上所述，a 的取值范围是)0(3e ， …………………12分 （21）解：（Ⅰ）由题知),0(),0,(a C a A -，故)76,7(aa B -，……………1分 代入椭圆E 的方程得1493649122=+b a ，……………2分 又122=-b a ，……………3分故3,422==b a ，……………4分 椭圆134:22=+y x E ；……………5分（Ⅱ）由题知，直线l 不与x 轴重合，故可设1:+=my x l ，由⎪⎩⎪⎨⎧=++=134122y x my x 得096)43(22=-++my y m ，……………8分 设),(),,(2211y x N y x M ，则439,436221221+-=+-=+m y y m m y y ，由Q 与M 关于原点对称知， 431124)(||2222122121++=-+=-==∆∆m m y y y y y y S S MONMNQ 11131222+++=m m ，……………10分211m +≥，223141m m ∴++，即3MNQ S ∆≤，当且仅当0=m 时等号成立，MNQ ∆∴面积的最大值为3，此时直线l 的方程为1=x ……………12分……………2分……………5分……………8分……………10分23. （本小题满分10分）解：（Ⅰ）由f (x )≤3，得|x －a |≤3.解得a －3≤x ≤a ＋3.又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}．所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2. ………………………………4分（Ⅱ）当a ＝2时，f (x )＝|x －2|.设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)＝|x －2|＋|x ＋3|.由|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5(当且仅当－3≤x ≤2时等号成立)， ∴g (x )的最小值为5.因此，若g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)≥m 对x ∈R 恒成立，知实数m 的取值范围是(－∞，5]． …………………………………10分。