《数学归纳法3》PPT课件
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数学归纳法讲课(整理好)ppt
原理分析
可以看出 , 使所有骨牌都倒下的条 件有两个:
1第一块骨牌倒下 ;
2 任意相邻的两块骨牌 , 前一块倒下一定导致后 一块 倒下.其中, 条件 2事实上就是一个递推关 系:当第k 块
倒下时, 相邻的第k 1块也倒下 .
只要保证1, 2成立, 那么所有的骨牌一定可 以全部 倒下.
证明：假设当n=k时等式成立，即 2+4+6+· · · +2k=k2+k+1, 那么,当n=k+1时，有 2+4+6+· · · +2k+2(k+1) =k2+k+1+2(k+1) =(k+1)2+(k+1)+1, 这就是说，当n=k+1时等式也成立. 所以，对一切n∈N+等式都成立.
案例二 (未证递推步) 设n∈N+，求证：2+4+6+· · · +2n=n2+n 证明: (1)当n=1时,左边=2,右边=12+1=2,等式成立. · · +2k=k2+k, (2)假设当n=k时等式成立,即 2+4+6+· 那么,当n=k+1时，有 (k+1)[2+2(k+1)] 2+4+6+· · · +2k+2(k+1) = 2 2 (k 1)(k 2) k 3k 2 =(k+1)2+(k+1) 这就是说，当n=k+1时等式也成立. 所以，对一切n∈N+等式都成立. 评注：证明递推步时一定要用假设的结论，否则 递推关系不能成立.
《数学归纳法》课件
《数学归纳法》课件一、教学内容本节课的教学内容选自人教版小学数学五年级下册第五单元《数学归纳法》。
本节课主要介绍了数学归纳法的概念、步骤以及应用。
具体内容包括：1. 数学归纳法的定义：给出一个关于自然数的命题，然后证明当n取任意一个自然数时，这个命题都成立。
2. 数学归纳法的步骤：(1) 验证当n=1时，命题是否成立；(2) 假设当n=k时，命题成立；(3) 证明当n=k+1时，命题也成立。
3. 数学归纳法的应用：通过具体例题，让学生学会如何运用数学归纳法证明命题。
二、教学目标1. 让学生理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的步骤。
2. 培养学生运用数学归纳法证明命题的能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力和创新能力。
三、教学难点与重点重点：数学归纳法的概念、步骤及应用。
难点：如何运用数学归纳法证明命题。
四、教具与学具准备教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
学具：笔记本、笔。
五、教学过程1. 实践情景引入：让学生举例说明生活中遇到的可以运用数学归纳法解决的问题。
2. 讲解数学归纳法的概念和步骤：通过PPT展示数学归纳法的定义和步骤，并进行解释。
3. 例题讲解：选取一道具有代表性的例题，引导学生运用数学归纳法进行证明。
4. 随堂练习：让学生尝试运用数学归纳法证明一些简单的命题。
5. 板书设计：将数学归纳法的步骤和关键点进行板书，以便学生理解和记忆。
6. 作业设计：题目1：用数学归纳法证明：1+3+5++(2n1)=n^2。
答案：略。
题目2：用数学归纳法证明：对于任意自然数n，n^2+n+41是一个质数。
答案：略。
七、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：本节课学生对数学归纳法的理解和运用情况，以及教学过程中的不足之处。
2. 拓展延伸：引导学生思考如何将数学归纳法应用于解决更复杂的问题，以及数学归纳法在数学发展史上的应用。
重点和难点解析一、教学内容重点和难点解析：本节课的教学内容选自人教版小学数学五年级下册第五单元《数学归纳法》。
数学归纳法(PPT)3-2
☺
的装置。又称异步电动机 [] 。 所谓二极是指定子绕组通电后将定子铁心内壁划分为一对磁极，磁感应线发出的极面称为N极，磁感应线进入的极面称为S极。 三相感应电动机主要由定子(电动机不动部分)和转子构成。定子包括铁心和绕组。定子铁心由硅钢片叠压而成，铁心内壁开槽，槽内安放定子绕组。定子绕 组是； 化工技术干货 https:///hgjs/jsgh 化工技术干货 ； 定子的电路部分，由漆包铜(或铝)线绕成，是三组材料、匝数、线径、绕法、形 状、大小完全相同的线圈，且空间位置互成°，称为对称三相绕组。 由于旋转磁场的转速与电源频率有固定的关系，所以旋转磁场的转速称为同步转速。旋
所以当n=k+1时等式也成立。
由①和②可知，对n∈N ，原等式都成立。
请问：
A、第②步中“当n=k+1时”的证明可否改换为：
1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]= 1+3+5+……+(2k-1)+(2k+1)
=（k 1)[1 (2k 1)] = (k+1)2 ?为什么？
2
B、假设n=k(k∈N )时，等式
应用一：证明恒等式 例1、用数学归纳法证明1+3+5+……+(2n-1)=n2 （n∈N ）.
证明：①当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立。
②假设n=k(k∈N ,k≥1)时等式成立,即：
1+3+5+……&1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]=k2+2k+1=(k+1)2，
转方向是顺时针。说明是由电流超前的相转向电流落后的相。 当定子三相绕组通入三相对称电流后电动机内就产生一个右图所示的旋转磁场。磁场顺时针旋
的装置。又称异步电动机 [] 。 所谓二极是指定子绕组通电后将定子铁心内壁划分为一对磁极，磁感应线发出的极面称为N极，磁感应线进入的极面称为S极。 三相感应电动机主要由定子(电动机不动部分)和转子构成。定子包括铁心和绕组。定子铁心由硅钢片叠压而成，铁心内壁开槽，槽内安放定子绕组。定子绕 组是； 化工技术干货 https:///hgjs/jsgh 化工技术干货 ； 定子的电路部分，由漆包铜(或铝)线绕成，是三组材料、匝数、线径、绕法、形 状、大小完全相同的线圈，且空间位置互成°，称为对称三相绕组。 由于旋转磁场的转速与电源频率有固定的关系，所以旋转磁场的转速称为同步转速。旋
所以当n=k+1时等式也成立。
由①和②可知，对n∈N ，原等式都成立。
请问：
A、第②步中“当n=k+1时”的证明可否改换为：
1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]= 1+3+5+……+(2k-1)+(2k+1)
=（k 1)[1 (2k 1)] = (k+1)2 ?为什么？
2
B、假设n=k(k∈N )时，等式
应用一：证明恒等式 例1、用数学归纳法证明1+3+5+……+(2n-1)=n2 （n∈N ）.
证明：①当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立。
②假设n=k(k∈N ,k≥1)时等式成立,即：
1+3+5+……&1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]=k2+2k+1=(k+1)2，
转方向是顺时针。说明是由电流超前的相转向电流落后的相。 当定子三相绕组通入三相对称电流后电动机内就产生一个右图所示的旋转磁场。磁场顺时针旋
《数学归纳法》ppt课件
第5课时 数学归纳法
导.学. .固 思
1.使学生了解归纳法, 理解数学归纳法的原理与实质. 2.掌握数学归纳法证题的两个步骤;会用“数学归纳法 ”证明简单的与自然数有关的命题.
导.学. .固 思
多米诺骨牌游戏,首先要用力推第一块骨牌,在任何两块 骨牌之间有恰当的距离时,第一块倒下,就会使第二块倒下,第 二块倒下就会导致第三块倒下,……以致很多都会倒下!如果我 们在骨牌间抽出几块,使有两块之间存在一个较大的缺口,推 倒了第一块骨牌,后面的骨牌就不会都倒下了.如果第一块骨 牌我们不使它倒下,后面的骨牌也就不会倒下的.
导.学. .固 思
【解析】其逆否命题“若当n=k+1时该命题不成立,则当 n=k时也不成立”为真,故n=5时不成立可知n=4时不成立.
3
用数学归纳法证明不等式
������
1+
+1 ������
1 +…+
+2
������
1 +������
>13
24
的过程中1,由
n=k 推导 n=k+1 时,不等式的左边增加的式子是 (2������ + 1)(2������ + 2.)
A.1
B.1+2
C.1+2+3
D.1+2+3+4
【解析】n=1时,n+3=4.
2 某个命题与自然数n有关,若n=k(k∈N+)时命题成立,那么 可推得当n=k+1时该命题也成立,现已知n=5时,该命题不 成立,那么可以推得C( ). A.n=6时该命题不成立 B.n=6时该命题成立 C.n=4时该命题不成立 D.n=4时该命题成立
导.学. .固 思
1.使学生了解归纳法, 理解数学归纳法的原理与实质. 2.掌握数学归纳法证题的两个步骤;会用“数学归纳法 ”证明简单的与自然数有关的命题.
导.学. .固 思
多米诺骨牌游戏,首先要用力推第一块骨牌,在任何两块 骨牌之间有恰当的距离时,第一块倒下,就会使第二块倒下,第 二块倒下就会导致第三块倒下,……以致很多都会倒下!如果我 们在骨牌间抽出几块,使有两块之间存在一个较大的缺口,推 倒了第一块骨牌,后面的骨牌就不会都倒下了.如果第一块骨 牌我们不使它倒下,后面的骨牌也就不会倒下的.
导.学. .固 思
【解析】其逆否命题“若当n=k+1时该命题不成立,则当 n=k时也不成立”为真,故n=5时不成立可知n=4时不成立.
3
用数学归纳法证明不等式
������
1+
+1 ������
1 +…+
+2
������
1 +������
>13
24
的过程中1,由
n=k 推导 n=k+1 时,不等式的左边增加的式子是 (2������ + 1)(2������ + 2.)
A.1
B.1+2
C.1+2+3
D.1+2+3+4
【解析】n=1时,n+3=4.
2 某个命题与自然数n有关,若n=k(k∈N+)时命题成立,那么 可推得当n=k+1时该命题也成立,现已知n=5时,该命题不 成立,那么可以推得C( ). A.n=6时该命题不成立 B.n=6时该命题成立 C.n=4时该命题不成立 D.n=4时该命题成立
数学归纳法PPT教学课件
数学归纳法的未来发展
不断完善理论
随着数学理论的发展，数学归 纳法的理论和应用将不断完善
和丰富。
应用领域拓展
随着科技的发展，数学归纳法的 应用领域将不断拓展，应用于更 多领域。
创新教学方法
随着教育理论的发展，将不断创新 教学方法，提高数学归纳法的教学 效果。
在实际生活中的应用
数据分析
在商业、金融等领域，数学归 纳法被广泛应用于数据分析， 帮助企业做出正确的决策。
组合数学的应用
总结词
数学归纳法在组合数学中的应用非常广泛，通过验证 n=1时结论是否成立，再假设n=k时结论成立，推理出 n=k+1时结论也成立，从而得出所有正整数n的结论都 成立。
详细描述
数学归纳法在组合数学中的应用可以通过以下步骤来体 现：首先，验证n=1时结论是否成立，通常取1作为起 始值；接着，假设n=k时结论成立，即已经得出前k个 组合数的结论；最后，推理出n=k+1时结论也成立， 即通过前k个组合数的结论推导出前k+1个组合数的结 论，从而得出所有正整数n的结论都成立。这种方法通 常用于求解组合数的性质和公式，如C(n,k)、P(n,k)等 。
总结与展望
数学归纳法的优缺点
• 优点总结 • 直观易懂：数学归纳法是一种直观易懂的方法，易于学生理解和掌握。 • 严谨性强：数学归纳法是一种严谨的证明方法，可以有效地避免证明过程中的漏洞和错误。 • 应用广泛：数学归纳法在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。 • 缺点总结 • 使用条件限制：数学归纳法在使用上存在一定的限制，不适用于所有问题。 • 理解难度大：对于初学者来说，数学归纳法的理解难度较大，需要花费更多的时间和精力去掌握。 • 容易出错：在应用数学归纳法时，如果处理不当，容易出现错误和漏洞。
课件3-数学归纳法
an ,先计算a2,,a3,a4的值， 1 an
证明思路：先证明“第一项满足公式” （证题基础） （递推关系） 再证明命题“若某一项满足公式，则下一项也满足公式”
条 a1=1,右= 1 =1，所以公式成立。 1 （2）假设当n=k(k∈N)时,公式成立,即 ak= k
那么： ak+1=
ak 1 1 ak 1
k
1 k
1 k 1
∴当n=k+1时,公式成立
由(1) (2)知对任意自然数n, an=
1 成立. n
3.数学归纳法：
对于由不完全归纳法得到的某些与自然数有关的数学命题我 们常采用下面的方法来证明它们的正确性：先证明当n取第一个值 n0(例如n0=1) 时命题成立，然后假设当n=k(k∈N,k≥n0)时命题成立 证明当n=k+1时命题也成立，这种证明方法叫做数学归纳法. 证题步骤：
由不完全归纳法得到的一般结论带有猜测的成份，须寻求 数学证明
2.归纳与证明： 如何证明由不完全归纳法得到的一般结论？ 第一个正式研究此课题的是意大利科学家莫罗利科
以问题1为例：
问题1：在数列{an }中，a1=1, an1
再推测通项an的公式. 1 1 1 1 a2= , a3= , a4= , 推测 an= n 2 3 4
课 题： 数学归纳法（一）
1.归纳法： 由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法
问题1：在数列{an }中，a1=1, an1 n ,先计算a2 , a3 , a4的值，再推测通 1 an 项an 的公式. 解：
a2 1 1 1 1 , a3 , a4 , an 2 3 4 n
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数学归纳法完整PPT课件
问题4：这是一盒白色粉笔，怎么证明他们是白的？一一检查 。
请问：以上四个结论正确吗？为什么? ❖得出以上结论所用的方法有什么共同点和什么不同点
1、错； 2、错，a5=25≠1； 3、对； 4、对。
❖共同点：均用了归纳法得出结论；不同点：问题1、2、3是用的不完全 归纳法，问题4是用的完全归纳法。
☺
.
第二步就没有了意义；如果没有第二步，就成了不完全归纳，结论就没 有可靠性；第三步是总体结论，也不可少。
2、在第二步的证明中必须用到前面的归纳假设，否则就不是数学归纳法了。
3、数学归纳法只适用于和正整数有关ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ命题。
.
8
a 例2：已知数列{ n }，其通项公式为 an = 2n- 1，试猜想该
数列的前n和公式 s n ，并用数学归纳法证明你的结论。
数学归纳法
（一）
太康县第二高级中学 郭伟峰
.
1
引入
问题1：从前一个地主的孩子学写字，学过一二三后得出结论四就是四 横五就是五横。
问题 2：数列{an}的通项公式为an＝(n2-5n+5)2,计算得 a1＝1,a2＝1, a3 ＝1, 于是猜出数列{an}的通项公式为：an＝1。
问题3：三角形的内角和为180°，四边形的内角和为2•180°，五边形的内 角和为3•180°，于是有：凸n边形的内角和为(n-2) • 180°。
由(1)和(2)知,等式对于任何n∈ N *都成立。
.
7
注意
由以上可知，用数学归纳法需注意：
1、三个步骤却一不可:第一步是是奠基步骤，是命题论证的基础，称之为
归纳基础；第二步是归纳假设，是推理的依据，是判断命题的正确性能
否由特殊推广到一般，它反映了无限递推关系，其中 “假设n=k时成立”
请问：以上四个结论正确吗？为什么? ❖得出以上结论所用的方法有什么共同点和什么不同点
1、错； 2、错，a5=25≠1； 3、对； 4、对。
❖共同点：均用了归纳法得出结论；不同点：问题1、2、3是用的不完全 归纳法，问题4是用的完全归纳法。
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第二步就没有了意义；如果没有第二步，就成了不完全归纳，结论就没 有可靠性；第三步是总体结论，也不可少。
2、在第二步的证明中必须用到前面的归纳假设，否则就不是数学归纳法了。
3、数学归纳法只适用于和正整数有关ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ命题。
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8
a 例2：已知数列{ n }，其通项公式为 an = 2n- 1，试猜想该
数列的前n和公式 s n ，并用数学归纳法证明你的结论。
数学归纳法
（一）
太康县第二高级中学 郭伟峰
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1
引入
问题1：从前一个地主的孩子学写字，学过一二三后得出结论四就是四 横五就是五横。
问题 2：数列{an}的通项公式为an＝(n2-5n+5)2,计算得 a1＝1,a2＝1, a3 ＝1, 于是猜出数列{an}的通项公式为：an＝1。
问题3：三角形的内角和为180°，四边形的内角和为2•180°，五边形的内 角和为3•180°，于是有：凸n边形的内角和为(n-2) • 180°。
由(1)和(2)知,等式对于任何n∈ N *都成立。
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7
注意
由以上可知，用数学归纳法需注意：
1、三个步骤却一不可:第一步是是奠基步骤，是命题论证的基础，称之为
归纳基础；第二步是归纳假设，是推理的依据，是判断命题的正确性能
否由特殊推广到一般，它反映了无限递推关系，其中 “假设n=k时成立”
2.3 数学归纳法(3)
例7、平面内有n条直线，其中任何两条不平行，任何 平面内有n条直线，其中任何两条不平行， 三条不过同一点，求证交点个数是f(n)= 2 n(n三条不过同一点，求证交点个数是f(n)= 1 n(n-1).
证明： 证明：1）n=2时：两条直线交点个数为1, n=2时 两条直线交点个数为1, (2∴命题成立 命题成立。 而f(2)= 1 ×2×(2-1)=1, ∴命题成立。
3
时公式仍成立。 ∴ 当n=k+1时公式仍成立。 时公式仍成立
3
由1）、 2）可知，对一切 ∈N ，均有 S n ）、 ）可知，对一切n∈N
n ( 2 n 2 + 1) = 3
。
￭ 数学归纳法在整除问题、几何问题、归纳猜想问题 数学归纳法在整除问题、几何问题、 及不等式问题中的应用。 及不等式问题中的应用。
练习6.用数学归纳法证明：对任意自然数 ， 练习 用数学归纳法证明：对任意自然数n，数11n+2+122n+1是 用数学归纳法证明 133的倍数 的倍数 证明： 当 证明：(1)当n=1时，11n+2+122n+1=113+123=23×133 时 × 能被133整除 整除， ∴23×133能被 整除，即n=1时命题成立 × 能被 时命题成立 (2)假设 假设n=k时，11k+2+122k+1能被 能被133整除 假设 时 整除 那么11 那么 (k+1)+2+122(k+1)+1=11⋅11k+2+122⋅122k+1 ⋅ =11⋅(11k+2+122k+1)−11×122k+1+122⋅122k+1 ⋅ − × =11⋅(11k+2+122k+1)+ 122k+1(144−11) ⋅ − = 11⋅(11k+2+122k+1)+ 122k+1⋅133 ⋅ 由归纳假设知11 都能被133整除 由归纳假设知 k+2+122k+1及122k+1⋅133都能被 整除 都能被 能被133整除，即n=k+1时命题也成立 整除， 整除 时命题也成立 ∴11(k+1)+2+122(k+1)+1能被 由(1)、(2)，可知命题对一切自然数 都成立 、 ，可知命题对一切自然数n都成立
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作业： 作业：
平面内有n条直线,其中任何两条不平行, １:平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条 不过同一点, 不过同一点, 个区域. 证明这n条直线把平面分成f(n) f(n)＝ +n+2)/2个区域 证明这n条直线把平面分成f(n)＝(n2+n+2)/2个区域.
例:是否存在常数a、b,使得等式: 是否存在常数a b,使得等式: 使得等式
在上例的题设条件下还可以有如下二个结论: 注:在上例的题设条件下还可以有如下二个结论: (1)设这n条直线互相分割成f(n)条线段或射线, (1)设这n条直线互相分割成f(n)条线段或射线, 设这 f(n)条线段或射线 ---则 ---则: f(n)=n2. (2)这 条直线把平面分成(n +n+2)/2个区域 个区域. (2)这n条直线把平面分成(n2+n+2)/2个区域.
12 22 k2 ( k + 1 )2 + +… + + 1 i3 3 i5 ( 2 k i1 ) ( 2 k + 1 ) ( 2 k + 1 ) ( 2 k + 3 ) k2 + k ( k + 1 )2 k ( k + 1 ) ( 2 k + 3 )+ 2 ( k + 1 )2 = + = 4k + 2 (2k + 1)(2k + 3) 2(2k + 1)(2k + 3) (k + 1)(2k 2 + 3k + 2k + 2) (k + 1)(2k + 1)(k + 2) = = 2(2k + 1)(2k + 3) 2(2k + 1)(2k + 3) k 2 + 3 k + 2 ( k + 1 )2 +( k + 1 ) . = = 4k + 6 4 ( k + 1 )+ 2
回顾
注意
用数学归纳法进行证明时, 用数学归纳法进行证明时,要分两个 步骤,两个步骤缺一不可. 步骤,两个步骤缺一不可. (1)(奠基)是递推的基础 (1)(奠基) 找准n0 找准n 奠基 (2)(递推)是递推的依据 (2)(递推) 若n＝k时命 递推 题成立，能推出n k+1时命题也成立 题成立，能推出n＝k+1时命题也成立（利用假 已知、定理、定义求证） 设、已知、定理、定义求证）。
ห้องสมุดไป่ตู้
以下用数学归纳法证明: 以下用数学归纳法证明:
12 22 n2 n2 + n + + …+ = (n ∈ N * ). 1 3 3 5 (2n 1)(2n +1) 4n + 2
点拨:对这种类型的题目,一般先利用n 点拨:对这种类型的题目,一般先利用n的 特殊值,探求出待定系数, 特殊值,探求出待定系数,然后用数学归纳 法证明它对一切正整数n都成立. 法证明它对一切正整数n都成立.
(1)当n=1时 由上面解法知结论正确. (1)当n=1时,由上面解法知结论正确. (2)假设当n=k时结论正确 假设当n=k时结论正确, (2)假设当n=k时结论正确,即: 则当n=k+1时 则当n=k+1时, n=k+1
12 22 k2 k2 + k + +… + = . 1 i3 3 i5 (2k - 1)(2k + 1) 4k + 2
12 22 n2 an 2 + n + +… + = 1 i3 3 i5 (2 n - 1)( 2n + 1) bn + 2
对一切正整数n都成立,并证明你的结论. 对一切正整数n都成立,并证明你的结论.
3a b = 1 a =1 n=1,2,并整理得 解:令n=1,2,并整理得{10a 3b = 2 ,∴{b = 4.
故当n=k+1时 结论也正确. 故当n=k+1时,结论也正确. n=k+1 根据(1) (2)知 对一切正整数n,结论正确. (1)、 n,结论正确 根据(1)、(2)知,对一切正整数n,结论正确.
利用数学归纳法可以解决有关几何问题
1.平面内有n条直线,其中任何两条不平行, 1.平面内有n条直线,其中任何两条不平行, 平面内有 任何三条不过同一点, 任何三条不过同一点,证明交点的个数 f(n)=n(n-1)/2. f(n)=n(n-
2.设平面内凸n边形有f(n)条对角线， 条对角线， 2.设平面内凸n边形有 设平面内凸 条对角线 证明f(n)=n(n f(n)=n(n证明f(n)=n(n-3)/2.