【精品】中考数学重高生培优复习讲义：(第7讲)一元二次方程
2024年中考数学一轮复习提高讲义：一元二次方程
一元二次方程知识梳理1.一元二次方程方程两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫作一元二次方程.2.一元二次方程的特点(1)含有一个未知数.(2)未知数的最高次数是 2.(3)是整式方程.要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理.如果能整理为ax²+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程.(4)将方程化为一般形式：ax²+bx+c=0时,应满足a≠0.3.一元二次方程的一般形式一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax²+bx+c=0(a≠0).其中ax²是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项.4.一元二次方程的解法(1)直接开平方法.(2)配方法.(3)公式法.(4)因式分解法.5.根的判别式一元二次方程根的判别式为Δ=b²−4ac.典型例题例 1若关于x 的一元二次方程(m−1)x²+5x+m²−3m+2=0的常数项为0，则 m 的值等于( ).A. 1B. 2C.1或2D.0分析首先为保证( (m−1)x²+5x+m²−3m+2=0是一元二次方程，则m−1≠0;；其次，根据题意，常数项为0，则m²−3m+2=0.解 B例2已知方程x²+bx+a=0有一个根是-a(a≠0)，则下列代数式的值恒为常数的是( ).A. abB. a/bC. a+bD. a-b分析将根代入方程，得a²−ab+a=0,提取公因式得到a(a-b+1)=0.解将-a代入原方程,得a(a-b+1)=0因为a≠0所以a-b=-1选 D.例3解下列一元二次方程.①9(x−1)²=(2x+1)²(用因式分解法)②x²−5x+2=0(用公式法)③y²−10y−10=0(用配方法)④(x+2)²−25=0(直接开平方法)解①9(x−1)²=(2x+1)²9(x−1)²−(2x+1)²=0[3(x-1)+(2x+1)][3(x-1)-(2x+1)]=0(5x-2)(x-4)=0x1=25,x2=4②x²−5x+2=0△=25-8=17x1=5+√172,x2=5−√172③y²−10y−10=0(y−5)²=35y1=√35+5,y2=−√35+5④(x+2)²−25=0(x+2)=±5x₁=3,x₂=−7例 4已知x²−x−1=0,求−x³+2x²+2014的值.分析 方法一，将 −x³+2x²+2014变形为含有 (x²−x )的形式；方法二，将 x²=x +1代入 −x³+2x²+2014逐次降幂.解 方法一 因为 −x³+2x²+2014=−x³+x²+x²+2014=x (−x 2+x )+x 2+2014⋯;又因为 x²−x −1=0,所以 −x 2+x =−1,将②代入①得原式= x ×(−1)+x 2+2014=−x +x 2+2007=−(−x 2+x )+2014⋯③;将②代入③得原式=-(-1)+2014=2015.方法二 −x 3+2x 2+2014=−x ⋅x 2+2x 2+2014又因为 x²−x −1=0,所以 x 2=x +1将②代入①得原式= −x (x +1)+2(x +1)+2014=−x²+x +2+2014=−1+2+2014=2015双基训练1. 方程 2x 2−1=√3x 的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是2.把一元二次方程(x+1)(1-x)=2x 化成二次项系数大于零的一般式是 ，其中二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 .3.关于x 的方程( (m −1)x²+(m +1)x +3m +2=0,当 m 时为一元一次方程，当m 时为一元二次方程.4.请写出一个根为x=-1，另一根满足-1<x<1的一元二次方程 .5.在方程 (x−1x+3)2−4(x−1x+3)+1=0中，如果设 y =x−1x+3,那么原方程可以化为关于y 的整式方程是 .6.已知 6x²+xy −2y²=0,则Ixy 的值为 .7.关于x 的方程(1)ax²+bx +c =0;(2)x²−4x =8+x²;(3)1+(x-1)(x+1)=0;(4)(k²+1)x²+kx +1=0)中，一元二次方程的个数为( ).A. 1B. 2C. 3D.48.如果 (m +3)x²−mx +1=0是一元二次方程，则( ).A. m≠-3B. m≠3C. m≠0D. m≠-3且m≠09.已知方程 x²−2(m²−1)x +3m =0的两个根是互为相反数，则m 的值是 ( ).A. m=±1B. m=-1C. m=1D. m=010.关于x 的一元二次方程( (a −1)x²+x +a²−1=0的一个根是0,则a 的值( ).A. 1B. -1C.1或-1D. 1211. 方程( (x −1)²−3(x −1)−4=0的较适当的解法是( ).A.开平方B.因式分解C.配方法D.公式法12.用配方法解下列方程时，配方有错误的是( ).A.x²−2x −99=0化为 (x −1)²=100B.x²+8x +9=0化为 (x +4)²=25C.2t²−7t −4=0化为 (t −74)2=8116D.3y²−4y −2=0化为 (y −23)2=109 13.下面是李刚同学在一次测验中解答的填空题，其中答对的是( ).A.若 x²=4,则x=2B. 方程x(2x-1)=2x-1的解为x=1C.若 x²+2x +k =0的一个根为1,则k=-3;D.若分式 x 2−3x+2x−1的值为零,则x=1,214.若(x+y)(x+y+2)-8=0,则x+y 的值是( ). A. -4 或2 B. -2或 4 C.−32或3 D.3或-215.关于x 的方程 2²x²+(2k −1)x +1=( 有实数根，则下列结论正确的是( ).A. 当 k =12时方程的两根互为相反数B.当k=0时方程的根是x=--1C.当k=±1时方程的两根互为倒数D. 当 k ≤14时方程有实数根16.等腰三角形的两边的长是方程 x²−20x +91=0的两个根，则此三角形的周长为( ).A.27B.33C.27 和33D.以上都不对17.用适当的方法解下列一元二次方程①25x²−36=0 ②2(x −1)²=x²−1③2x²−7x +3=0 circle4x 2+2(√2−1)x +3−2√2=018.关于x 的方程 (m −√3)x m 2−1−x +3=0是一元二次方程，则m= .19.如果关于x 的一元二次方程 x²+px +q =0的两根分别为 x₁=3,x₂=1,那么这个一元二次方程是( ). A.x²+3x +4=0 B.x²−4x +3=0C.x²+4x −3=0D.x²+3x −4=0 20.已知 x²+3xy −4y²=0(y ≠0),求 x−y x+y 的值.能力提升21.方程( (x−2)²=9的解是( ).A.x₁=5,x₂=−1B.x₁=−5,x₂=1C.x₁=11,x₂=−7D.x₁=−11,x₂=722.如果关于 x 的方程mx²−2(m+2)x+m+5=0没有实根，那么关于x 的方程(m−5)x²−2(m+2)x+ m=0的实根个数为( ).A.2个B.1个C.0个D.不确定23. 关于x的方程( (m−2)x m2−2−x+4=0是一元二次方程，则m=.24.用配方法解一元二次方程：. x²−2x−2=0.的值为零，求 x 的值.25.若分式x2−3x−4|x−3|−126. 若3x²−x−1=0,求6x³+7x²−5x+2014的值.27.试证明：不论m 为何值，方程2x²−(4m−1)x−m²−m=0总有两个不相等的实数根.，求它的另一个根和 m 的值.28.已知方程2x²−3x−m=0的一个根是1229.已知关于x的方程kx²-2(k+1)x+k-1=0有两个不相等的实数根.(1)求 k 的取值范围.(2)是否存在实数k，使此方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出 k 的值；若不存在，说明理由.30.当 k 取何值时，一元二次方程x²−(2k−3)x+2k−4=0(1)有两个正根.(2)有两个异号根，且正根的绝对值较大.拓展资源31.简单高次方程的解法(换元法、因式分解法).(1)x¹−x²−20=0(2)(x²−x)²−7x²+7x+10=0(3)(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=24(4)x³−x²−x+1=0(5)5(x2+1)x+1+6(1+x)x2+1=1732.用配方法求代数式的最大值或最小值.(1)2x²+40x−88(2)12(t+10)(30−t)33.已知关于x 的方程(m−2)x²−2(m−1)x+m+1=0有实数根，求m 的非负整数值.34.若关于x的方程ax²−2ax−3=0有实数根，求a 的取值范围.35.已知关于x的方程x²−2mx−3m²+8m−4=0.(1)求证：当m>2时，原方程总有两实数根.(2)若原方程的两根一个小于5，另一个大于2，求m 的取值范围.1.2,- √3,--12. x²+2x-1=0,1,2,-13.=1,≠14.x²+x =05.y²−4y +1=06. 12或 −237. B8. A9. B 10. B11. B 12. B 13. C 14. A 15. D 16. C 17.①x=± 65;②x ₁=1,x ₂=3; ③.x ₁= 12,x ₂=3;④x=1- √218.−√3 19. B 20. 53或0. 21. A 22. A 23. -224.x 1=√3+1,x 2=−√3+1 25. x=-1 26.201727. 因为 Δ=(4m −1)²+8(m²+m )=24m²+1>0 28.1,m=-1 29.(1) △=12k+4>0,则 k >−13且 k≠0.(2)不存在.理由如下：因为 1x 1+1x 2=0x 1+x 2x 1x 2=0 k=-1与 k >−13矛盾.所以不存在.30.(1) k>2且≠ 52;(2)32<k <2 31.(1)x =±√5;(2)x 1=2,x 2=−1,x 3=1+√212,x 4=1−√212;(3)x₁=0,x₂=5;(4)x=±1;(5)x =3±√172. 32.(1) 当x=-10时,有最小值-288;(2)当t=10时,有最大值200.33. m≤3,m=0,1,2,334.a≤-3或a>0.35.(1) 提示: Δ=16m²−32m +16=16(m −1)²;(2)m<0或 m >43.。
中考复习之第7讲一元二次方程
C．2
【答案】 A
考点二 一元二次方程的解法 例 2 解方程： x2－ 2x－ 1＝ 0.
解： ∵ a＝ 1， b＝－ 2， c＝－ 1， ∴ b2－ 4ac＝ (－ 2)2－ 4× 1× (－ 1)＝ 8＞ 0,
D．－ 2
∴ x＝ 2± 8＝ 2±2 2＝ 1± 2.
2× 1
2
即 x1＝ 1－ 2， x2＝ 1＋ 2. 考点三 一元二次方程根的判别式 例 3 若关于 x 的一元二次方程 kx2＋ 4x＋3＝ 0 有实数根，则 k 的非负整数值是 _______．
中考复习之 第 7 讲 考点一 一元二次方程的定义
只含有 一 个未知数，并且未知数的最高次数是
一元二次方程 2 ，这样的整式方程叫做一元二次方程，
一元二次方程的标准形式是 ax2＋ bx＋ c＝ 0(a， b， c 是常数，且 a≠ 0).
考点二 一元二次方程的解法 1．直接开平方法：如果 x2＝ a(a≥ 0)，则 x＝ ± a，即 x1＝ a， x2＝－ a.
数值．
x1＝－ ef，
x2＝－
n m.
温馨提示
解一元二次方程时，要根据方程的特点灵活选择合适的方法，一般顺序为：直接开平
方法、因式分解法、公式法、配方法 .公式法和配方法可以解所有判别式大于或等于
0 的一
元二次方程 .
考点三 一元二次方程根的判别式 关于 x 的一元二次方程 ax2＋ bx＋ c＝ 0(a≠ 0)的根的判别式为 b2－ 4ac，一般用符号 Δ表示．
A． 1
B．－ 1
C．0
D ．无法确定
2．用配方法解一元二次方程 x2－ 4x＝ 5 时，此方程可变形为 ( D )
A． (x＋ 2)2＝ 1
一元二次方程培优专题讲义(最新整理)
数学培优专题讲义：一元二次方程一.知识的拓广延伸及相关史料1．一元二次方程几种解法之间的关系解一元二次方程有下列几种常用方法:（1）配方法:如，经配方得2670x x ++=，再直接用开平方法；2(3)2x +=（2）公式法；（3）因式分解法。
这三种方法并不是孤立的，直接开平方法，实际也是因式分解法，解方程，只2670x x ++=要变形为即可，或原方程22(3)0x +-=经配方化为，再求解时，2670x x ++=2(3)2x +=还是归到用平方差公式的因式分解法，所以配方法归为用因式分解法的手段。
公式法在推导公式过程中用的是配方法和直接开平方法，因此，它还是归到因式分解法，所不同的是，公式法用一元二次方程的系数来表示根，因而可以作为公式。
由此可见，对因式分解法应予以足够的重视。
因式分解法还可推广到高次方程。
2．我国古代的一元二次方程提起代数，人们自然就把它和方程联系起来。
事实上，过去代数的中心问题就是对方程的研究。
我国古代对代数的研究，特别是对方程解法的研究有着优良的传统，并取得了重要成果。
下面是我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题:”直田积（矩形面积）八百六十四步(平方步),只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步）,问阔及长各几步？”答:”阔二十四步,长三十六步.”这里,我们不谈杨辉的解法,只用已学过的知识解决上面的问题.上面的问题选自杨辉所著的《田亩比类乘除算法》。
原题另一个提法是:“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步?”这个问题同样可以类似求解.3. 掌握数学思想方法，以不变应万变。
本章内容蕴涵了丰富的数学方法，主要有转化思想、类比思想、降次法、配方法等。
（1）转化思想我们知道，解方程的过程就是不断地通过变形把原方程转化为与它等价的最简单方程的过程。
因此，转化思想就是解方程过程中思维活动的主导思想。
在本章，转化无所不在，无处不有，可以说这是本章的精髓和特色之一，其表现主要有以下方面：①未知转化为已知，这是解方程的基本思路:②一元二次方程转化为一元一次方程，这是通过将原方程降次达到的:③特殊转化为一般，一般转化为特殊。
中考数学一轮复习课件-第七讲一元二次方程
x1·x2=_____a_____.
【自我诊断】
1.关于x的方程ax2-3x+2=x2是一元二次方程,则a的取值范围为 ( C )
A.a≠0
B.a>0
C.a≠1
D.a>1
2.方程x2=4x的解是 ( B )
A.x=4 C.x=0
B.x1=0,x2=4 D.x1=2,x2=-2
3.已知一元二次方程(m-2)x2-3x+m2-4=0的一个根为0,则m=___-_2___. 4.如果关于x的方程x2-4x+2m=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是 _m_<_2_____. 5.经过两次连续降价,某药品销售单价由本来的50元降到32元,设该药品平均每 次降价的百分率为x,根据题意可列方程是___5_0_(_1_-_x_)_2=_3_2___.
三、根的判别式与一元二次方程的根的情况 1.Δ=b2-4ac>0⇔方程___有__两__个__不__相__等____的实数根. 2.Δ=b2-4ac=0⇔方程___有__两__个__相__等____的实数根. 3.Δ=b2-4ac<0⇔方程___没__有____实数根.
四、根与系数的关系 如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x1,x2,那么x1+x2=___ba___,
第七讲 一元二次方程
一、一元二次方程的概念 1.定义:只含有___1___个未知数,并且未知数的最高次数是___2___的整式方程. 2.一般情势:___a_x_2+_b_x_+_c_=_0_(_a_≠__0_)___.
二、一元二次方程的解法
解法 直接开平方法
情势 x2=p(p≥0) (mx+n)2=p(p≥0,m≠0)
中考数学培优复习 第7讲 一元二次方程
2019-2020年中考数学培优复习第7讲一元二次方程一：【知识梳理】1. 一元二次方程：只含有一个，且未知数的指数为的整式方程叫一元二次方程。
它的一般形式是（其中、）它的根的判别式是△= ；当△＞0时，方程有实数；当△=0时，方程有实数根；当△＜0时，方程有实数根；一元二次方程根的求根公式是、（其中）2．一元二次方程的解法：⑴配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；②移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；③配方，即方程两边都加上的绝对值一半的平方；④化原方程为的形式；⑤如果就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n=＜0，则原方程无解．⑵公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法。
它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是注意：用求根公式解一元二次方程时，一定要将方程化为。
⑶因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做．它的理论根据是两个因式中至少要有一个等于0，因式分解法的步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．3．一元二次方程的注意事项：⑴在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．如关于x的方程（k2－1）x2+2kx+1=0中，当k=±1时就是一元一次方程了．⑵应用求根公式解一元二次方程时应注意：①化方程为一元二次方程的一般形式；②确定a、b、c的值；③求出b2－4ac的值；④若b2－4ac≥0，则代人求根公式，求出x1 ,x2．若b2－4a＜0，则方程无解．⑶方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x＋4)2=3（x＋4）中，不能随便约去（x＋4）⑷ 注意：解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：直接开平方法→因式分解法→公式法．二：【经典考题剖析】1. 分别用公式法和配方法解方程：2. 选择适当的方法解下列方程：（1）； （2）（3）； （4）2(21)3(21)20x x ++++=3. 已知22222()()60a b a b +-+-=，求的值。
云南中考数学一轮复习第七讲一元二次方程课件
知识清单·主干回顾
一、一元二次方程的概念 1．定义：只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程． 2．一般情势：_a_x_2_＋__b_x_＋__c_＝__0_(a_≠_0_)_． 二、一元二次方程的解法
解法
情势 x2＝p(p≥0)
方程的根 x＝__±__p__
直接开平方法
【解析】扩充后广场的长为 90 m，宽为 60 m
【变式 2】(变换条件和结论)如图，有一农户要建一个矩形鸡舍，鸡舍的一边利用长 为 a m 的墙，另外三边用 25 m 长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于墙的一边 CD 上留一个 1 m 宽的门．
(1)若 a＝12，问矩形的边长分别为多少时，鸡舍面积为 80 m2? (2)问 a 的值在什么范围时，(1)中的解有两个？一个？无解？ (3)若墙的长度足够长，问鸡舍面积能否达到 90 m2?
【思路点拨】设小路的宽为 x m，那么草坪的总长度和总宽度分别为(16－2x)m，(9－ x)m，根据题意得出方程，解方程即可． 【解析】小路的宽应为 1 m
【变式 1】(变换条件和结论)某地计划对矩形广场进行扩建改造．如图，原广场长 50 m， 宽 40 m，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为 3∶2.扩充区域的扩建费用每平方米 30 元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用为每平方米 100 元．如果 计划总费用为 642 000 元，那么扩充后广场的长和宽应分别是多少米？
(x－x1)(x－x2)＝0
x＝_x_1或__x_2_三、来自的判别式与一元二次方程的根的情况
1．Δ＝b2－4ac＞0⇔方程_有__两__个__不__相__等__的实数根． 2．Δ＝b2－4ac＝0⇔方程_有__两__个__相__等__的实数根．
一元二次方程培优专题讲义
数学培优专题讲义：一元二次方程 一.知识的拓广延伸及相关史料 1． 一元二次方程几种解法之间的关系 解一元二次方程有下列几种常用方法: （1） 配方法:如2670x x ++=，经配方得2(3)2x +=，再直接用开平方法；（2） 公式法；（3） 因式分解法。
这三种方法并不是孤立的，直接开平方法，实际也是因式分解法，解方程2670x x ++=，只要变形为22(3)0x +-=即可，或原方程2670x x ++=经配方化为2(3)2x +=，再求解时，还是归到用平方差公式的因式分解法，所以配方法归为用因式分解法的手段。
公式法在推导公式过程中用的是配方法和直接开平方法，因此，它还是归到因式分解法，所不同的是，公式法用一元二次方程的系数来表示根，因而可以作为公式。
由此可见，对因式分解法应予以足够的重视。
因式分解法还可推广到高次方程。
2． 我国古代的一元二次方程提起代数，人们自然就把它和方程联系起来。
事实上，过去代数的中心问题就是对方程的研究。
我国古代对代数的研究，特别是对方程解法的研究有着优良的传统，并取得了重要成果。
下面是我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题:”直田积（矩形面积）八百六十四步(平方步),只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步）,问阔及长各几步？”答:”阔二十四步,长三十六步.” 这里,我们不谈杨辉的解法,只用已学过的知识解决上面的问题.上面的问题选自杨辉所着的《田亩比类乘除算法》。
原题另一个提法是:“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步?”这个问题同样可以类似求解.3. 掌握数学思想方法，以不变应万变。
本章内容蕴涵了丰富的数学方法，主要有转化思想、类比思想、降次法、配方法等。
（1）转化思想我们知道，解方程的过程就是不断地通过变形把原方程转化为与它等价的最简单方程的过程。
因此，转化思想就是解方程过程中思维活动的主导思想。
在本章，转化无所不在，无处不有，可以说这是本章的精髓和特色之一，其表现主要有以下方面： ① 未知转化为已知，这是解方程的基本思路:② 一元二次方程转化为一元一次方程，这是通过将原方程降次达到的: ③ 特殊转化为一般，一般转化为特殊。
初中九年级数学竞赛培优讲义全套专题07 一元二次方程的应用-精选
专题07 一元二次方程的应用阅读与思考一元二次方程是解数学问题的有力工具，许多数学问题都可转化为解一元二次方程、研究一元二次方程根的性质等而获解. 现阶段，一元二次方程的应用主要有以下两方面： 1. 求代数式的值；2. 列二次方程解应用题.从本质上讲，列二次方程解应用题与前面我们已经学过的列一元二次方程解应用题没有区别，通常都要经过设、列、解、答等四个步骤，解题的关键是寻找实际问题中的等量关系. 特别需要注意的是，列出的一元二次方程一般会有两个不同的实数根，所以在检验时应特别注意，很可能其中有不符合实际问题的根，必须舍去.例题与求解【例1】 甲、乙两地分别在河的上、下游，每天各有一班船准点以匀速从两地对开，通常它们总在11时于途中相遇，一天乙地的船因故晚发了40分钟，结果两船在上午11时15分在途中相遇，已知甲地开出的船在静水中的速度数值为44千米/时，而乙地开出的船在静水中的速度为水流速度ν千米/时数值的平方，则ν的值为___________.（安徽省竞赛试题）解题思路：利用甲船15分钟所行路程是乙船（40-15）分钟所行路程建立方程.【例2】 自然数n 满足()()1616247222222-+--=--n n n n n n ，这样的n 的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 （江苏省竞赛试题） 解题思路：运用幂的性质，将问题转化为解方程.【例3】 如图，在平面直角坐标系中，直线1+=x y 与343+-=x y 交于点A ，分别交x 轴于点B 和点C ，点D 是直线AC 上的一个动点. （1） 求点A ，B ，C 的坐标；（2） 当△CBD 为等腰三角形时，求点D 的坐标.（太原市中考试题） 解题思路：对于（2），利用“腰相等”建立方程，解题的关键是分类讨论.yx BCAO【例4】如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点E在直角边AC上（点E与A，C两点均不重合）.；（1）若点F在斜边AB上，且EF平分Rt△ABC的周长，设AE＝x，试用x的代数式表示SAEF（2）若点F在折线ABC上移动，试问：是否存在直线EF将Rt△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，则求出AE的长；若不存在直线EF，请说明理由. （常州市中考试题）解题思路：几何计算问题代数化，通过定量分析回答是否存在这样的直线EF，将线段的计算转化为解方程.【例5】某公司投资新建了一商场，共有商铺30间，据预测，当每间的年租金定为10万元时，可全部租出. 每间的年租金每增加5000元，少租出商铺1间，该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用5000元.（1）当每间商铺的年租金定为13万元时，能租出多少间？（2）当每间商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益（收益＝租金－各种费用）为275万元？（绍兴市中考试题）解题思路：解题的关键是把复杂的数量关系分解成若干个小问题，再寻找各个小问题间量与量的关系.【例6】 已知：如图1，在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，AC ＝4cm ，BC ＝3cm ，点P 由点B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，速度为1cm /s ；点Q 由点A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，速度为2 cm /s .连结PQ .若设运动的时间为t （s ）（0＜t ＜2），解答下列问题： （1）当t 为何值时，PQ ∥BC ？（2）设△AQP 的面积为y （2cm ），求y 与t 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t ，使线段PQ 恰好把Rt △ACB 的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由；（4）如图2，连结PC ，并把△PQC 沿QC 翻折，得到四边形PQP ´C ，那么是否存在某一时刻t ，使四边形PQP ´C 为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由. （青岛市中考试题） 解题思路：对于（3），先求出PQ 平分Rt △ACB 周长时t 的值，再看求出t 的值是否满足由面积关系建立的方程.图2图1P'ACB B CAQ PQ P能力训练A 级1. 某工厂把500万元资金投入新产品生产，第一年获得了一定的利润，在不抽调资金和利润（即将第一年获得的利润也作为生产资金）的前提下，继续生产，第二年的利润率（即所获利润与投入生产资金的比）比第一年的利润率增加了8%.如果第二年的利润为112万元，为求第一年的利润率，可设它为x ，那么所列方程为_______________. （济南市中考试题）2. 如图，在长为10cm 、宽为8cm 的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下阴影部分面积是原矩形面积的80%，则所截去的小正方形的边长是_________. （广东省中考试题）3. 有一旅客携带了30千克行李从南京禄口国际机场乘飞机去天津. 按民航规定，旅客最多可免费携带20千克行李，超重部分每千克按飞机票价的1.5%购买行李票，现该旅客买了120元的行李票，则他的4. 已知实数x 、y 满足3,3243424=+=+y y xx ，则444y x +的值为（ ） A.7 B.2131+ C.2137+ D. 5 5. 一个跳水运动员从10米高台上跳水，他每一时刻所在的高度（单位：米）与所用时间（单位：秒）的关系式是()()125+--=t t h ，则运动员起跳到入水所用的时间是（ ）A. －5秒B. 1秒 C . －1秒 D. 2秒6. 某种出租车的收费标准时：起步价7元（即行驶距离不超过3千米都需付7元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2.4元（不足1千米按1千米计），某人乘这种出租车从甲地到乙地共支付车费19元，设此人从甲地到乙地经过的路程是x 千米，那么x 的最大值是（ ） A. 11 B. 8 C . 7 D.57. 如图，菱形ABCD 的边长为a ，O 是对角线AC 上的一点，且OA ＝a ，OB ＝OC ＝OD ＝1，则a ＝（ ） A .215+ B . 215- C . 1 D .2DCABO第2题图 第7题图8. 我市向民族地区的某县赠送一批计算机，首批270台将于近期起运. 经与某物流公司联系，得知用A 型汽车若干辆刚好装完；用B 型汽车不仅可少用1辆，而且有一辆车差30台计算机才装满.（1）已知B 型汽车比A 型汽车每辆车可多装15台，则A ，B 两种型号的汽车各能装计算机多少台？ （2）已知A 型汽车的运费是每辆350元，B 型汽车的运费是每辆400元。
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一元二次方程
一：【知识梳理】
1. 一元二次方程：只含有一个 ，且未知数的指数为 的整式方程叫一元二次方程。
它的一
般形式是 （其中 、 ）
它的根的判别式是△= ；当△＞0时，方程有 实数；当△=0时，方程有
实数根；当△＜0时，方程有 实数根；
一元二次方程根的求根公式是 、（其中 ）
2．一元二次方程的解法：
⑴ 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．用配方法解
一元二次方程：ax 2＋bx+c=0(k ≠0）的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系
数；②移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；③配方，即方程两边都加上 的
绝对值一半的平方；④化原方程为2(x+m)=n 的形式；⑤如果n 0≥就可以用两边开平方来求出方程的
解；如果n=＜0，则原方程无解．
⑵ 公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法。
它是通过配方推导出来的．一元二次
方程的求根公式是 2(40)b ac -≥
注意：用求根公式解一元二次方程时，一定要将方程化为 。
⑶ 因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做 ．它的理论根据是两个因
式中至少要有一个等于0，因式分解法的步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次
因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原
一元二次方程的解．
3．一元二次方程的注意事项：
⑴ 在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a ≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方
程．如关于x 的方程（k 2－1）x 2+2kx+1=0中，当k=±1时就是一元一次方程了．
⑵ 应用求根公式解一元二次方程时应注意：①化方程为一元二次方程的一般形式；②确定a 、b 、c 的
值；③求出b 2－4ac 的值；④若b 2－4ac ≥0，则代人求根公式，求出x 1 ,x 2．若b 2－4a ＜0，则方程无解．
⑶ 方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x ＋4)2=3（x ＋4）中，不能随便约去（x ＋4）
⑷ 注意：解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程
的一般顺序是：直接开平方法→因式分解法→公式法．
二：【经典考题剖析】
1. 分别用公式法和配方法解方程：2232x x -=
2. 选择适当的方法解下列方程：
（1）27(23)28x -=； （2）223990y y --=
（3）221x +=； （4）2
(21)3(21)20x x ++++=
3. 已知22222()()60a b a b +-+-=，求22a b +的值。
三、当堂训练
一、选择题
1．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( )
A ．x 2＋1x 2＝0
B ．ax 2＋bx ＋c ＝0
C ．(x －1)(x ＋2)＝1
D ．3x 2－2xy －5y 2＝0 2．(2014·昆明)已知x 1，x 2是一元二次方程x 2
－4x ＋1＝0的两个根，则x 1·x 2等于( )
A ．－4
B ．－1
C ．1
D ．4
3．已知3是关于x 的方程x 2－5x ＋c ＝0的一个根，则这个方程的另一个根是( )
A ．－2
B ．2
C ．5
D ．6
4．(2014·宁夏)一元二次方程x 2－2x －1＝0的解是( )
A ．x 1＝x 2＝1
B ．x 1＝1＋2，x 2＝－1－2
C ．x 1＝1＋2，x 2＝1－2
D ．x 1＝－1＋2，x 2＝－1－ 2
5.(2014·云南)某果园2011年水果产量为100吨，2013年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年
平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x ，则根据题意可列方程为( )
A ．144(1－x )2＝100
B ．100(1－x )2＝144
C ．144(1＋x )2＝100
D ．100(1＋x )2＝144
6．(2014·泰安)某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；
若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆
多植x 株，则可以列出的方程是( )
A ．(3＋x )(4－0.5x )＝15
B ．(x ＋3)(4＋0.5x )＝15
C ．(x ＋4)(3－0.5x )＝15
D ．(x ＋1)(4－0.5x )＝
15
二、填空题
7．(2014·永州)方程x 2－2x ＝0的解为__ __．
8．(2014·哈尔滨)若x ＝－1是关于x 的一元二次方程x 2＋3x ＋m ＋1＝0的一个解，则m 的值为__ __．
9．(2014·莱芜)若关于x 的方程x 2＋(k －2)x ＋k 2＝0的两根互为倒数，则k ＝__ __．
10．(2014·牡丹江)现有一块长80 cm ，宽60 cm 的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为x cm 的
小正方形，做成一个底面积为1500 cm 2的无盖的长方体盒子，根据题意列方程，化简可得__
__．
11．(2014·呼和浩特)已知m ，n 是方程x 2＋2x －5＝0的两个实数根，则m 2－mn ＋3m ＋n 的值为__ __．
12．(2013·绵阳)已知整数k ＜5，若△ABC 的边长均满足关于x 的方程x 2－3kx ＋8＝0，则△ABC 的周
长是__ __．
三、解答题
13．解方程：2(x ＋5)2＝x (x ＋5)．
14．(2014·河北)用配方法解方程：x 2－2x －2＝0.
15．(2014·扬州)已知关于x 的方程(k －1)x 2－(k －1)x ＋14
＝0有两个相等的实数根，求k 的值．
16．(2014·新疆)如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？
17．(2014·安顺)天山旅行社为吸引游客组团去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游，推出了如下收费标准(如图所示)：
某单位组织员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游，共支付给旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少名员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游？
18．(2014·株洲)已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC 三边的长．
(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
(3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．。