人教中考数学一元二次方程综合练习题含答案

一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为x=﹣1．

（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；

（2）若动点P 在第二象限内的抛物线上，动点N 在对称轴l 上．

①当PA ⊥NA ，且PA=NA 时，求此时点P 的坐标；

②当四边形PABC 的面积最大时，求四边形PABC 面积的最大值及此时点P 的坐标．

【答案】（1）y=﹣（x+1）2+4，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）①点P 2﹣1，2）；②P （﹣

32

，154） 【解析】

试题分析：（1）将B 、C 的坐标代入已知的抛物线的解析式，由对称轴为1x =-即可得到抛物线的解析式；

（2）①首先求得抛物线与x 轴的交点坐标，然后根据已知条件得到PD=OA ，从而得到方程求得x 的值即可求得点P 的坐标；

②ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形，表示出来得到二次函数，求得最值即可．

试题解析：（1）∵抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为1x =-，∴0

{3

12a b c c b a ++==-=-，解得：1

{23a b c =-=-=，∴二次函数的解析式为223y x x =--+=2(1)4x -++，∴顶点坐标为（﹣1，4）；

（2）令2230y x x =--+=，解得3x =-或1x =，∴点A （﹣3，0），B （1，0），作PD ⊥x 轴于点D ，∵点P 在223y x x =--+上，∴设点P （x ，223x x --+）， ①∵PA ⊥NA ，且PA=NA ，∴△PAD ≌△AND ，∴OA=PD ，即2232y x x =--+=，解得21（舍去）或x=21-，∴点P （21-，2）；

②设P(x ，y)，则223y x x =--+，∵ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形

=12OB?OC+12AD?PD+12(PD+OC)?OD=11131+(3)(3)()222x y y x ???+++-=333222

x y -+ =2333(23)222x x x -+--+=239622x x --+=23375()228

x -++， ∴当x=32-时，ABCP S 四边形最大值=758，当x=32

-时，223y x x =--+=154，此时P （32-，154）．

考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．压轴题．

2．已知关于x 的一元二次方程()22

2130x k x k --+-=有两个实数根． ()1求k 的取值范围；

()2设方程两实数根分别为1x ，2x ，且满足221223x x +=，求k 的值．

【答案】（1）134

k ≤

；（2）2k =-． 【解析】

【分析】 ()1根据方程有实数根得出()()

22[2k 1]41k 38k 50=---??-=-+≥，解之可得． ()2利用根与系数的关系可用k 表示出12x x +和12x x 的值，根据条件可得到关于k 的方程，可求得k 的值，注意利用根的判别式进行取舍．

【详解】

解：()1关于x 的一元二次方程()22

2130x k x k --+-=有两个实数根， 0∴≥，即()()22[21]4134130k k k ---??-=-+≥，

解得134

k ≤． ()2由根与系数的关系可得1221x x k +=-，2123x x k =-，

()

222222121212()2(21)23247x x x x x x k k k k ∴+=+-=---=-+，

221223x x +=， 224723k k ∴-+=，解得4k =，或2k =-， 134

k ≤， 4k ∴=舍去，

2k ∴=-．

【点睛】

本题考查了一元二次方程2ax bx c 0(a 0,++=≠a ，b ，c 为常数)根的判别式.当0>，方程有两个不相等的实数根；当0=，方程有两个相等的实数根；当0<，方程没有实数根.以及根与系数的关系．

3．解方程： 2212x x 6x 9-=-+（）

【答案】124x x 23

==-， 【解析】试题分析：先对方程的右边因式分解，直接开平方或移项之后再因式分解法求解即可.

试题解析：因式分解，得

2212x x 3-=-（）（）

开平方，得

12x x 3-=-，或12x x 3-=--（）

解得124x x 23

==-，

4．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．

（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？

（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？

【答案】（1）5；（2）180

【解析】

【分析】

（1）设平均一人传染了x 人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感，列方程求解即可；

（2）根据每轮传染中平均一个人传染的人数和经过两轮传染后的人数，列出算式求解即可．

【详解】

（1）设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，根据题意得：

x+1+（x+1）x ＝36，

解得：x ＝5或x ＝﹣7（舍去）．

答：每轮传染中平均一个人传染了5个人；

（2）根据题意得：5×36＝180（个），

答：第三轮将又有180人被传染．

【点睛】

本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是能根据题意找到等量关系并列方程.

5．关于x 的一元二次方程()22

210x k x k +-+=有两个不等实根1x ，2x . （1）求实数k 的取值范围；

（2）若方程两实根1x ，2x 满足121210x x x x ++-=，求k 的值.

【答案】(1) k ＜

14;(2) k=0. 【解析】

【分析】

（1）根据一元二次方程的根的判别式得出△＞0，求出不等式的解集即可；

（2）根据根与系数的关系得出x 1+x 2=-（2k-1）=1-2k ，x 1?x 2=k 2，代入x 1+x 2+x 1x 2-1=0，即可求出k 值．

【详解】

解：（1）∵关于x 的一元二次方程x 2+（2k-1）x+k 2=0有两个不等实根x 1，x 2， ∴△=（2k-1）2-4×1×k 2=-4k+1＞0，

解得：k ＜14

， 即实数k 的取值范围是k ＜

14； （2）由根与系数的关系得：x 1+x 2=-（2k-1）=1-2k ，x 1?x 2=k 2，

∵x 1+x 2+x 1x 2-1=0，

∴1-2k+k 2-1=0，

∴k 2-2k=0

∴k=0或2，

∵由（1）知当k=2方程没有实数根，

∴k=2不合题意，舍去，

∴k=0．

【点睛】

本题考查了解一元二次方程根的判别式和根与系数的关系等知识点，能熟记根的判别式和根与系数的关系的内容是解此题的关键，注意用根与系数的关系解题时要考虑根的判别式，以防错解．

6．如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB ，BC 各为多少米？

【答案】羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米.

【解析】

试题分析：设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米；然后根据矩形的面积公式列出方程．

试题解析：设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米．根据题意得（100﹣4x）x=400，

解得 x1=20，x2=5．则100﹣4x=20或100﹣4x=80．∵80＞25，∴x2=5舍去．即AB=20，BC=20

考点：一元二次方程的应用．

7．某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．

（1）求每个月生产成本的下降率；

（2）请你预测4月份该公司的生产成本．

【答案】（1）每个月生产成本的下降率为5%；（2）预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．

【解析】

【分析】

（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；

（2）由4月份该公司的生产成本=3月份该公司的生产成本×（1﹣下降率），即可得出结论．

【详解】

（1）设每个月生产成本的下降率为x，

根据题意得：400（1﹣x）2=361，

解得：x1=0.05=5%，x2=1.95（不合题意，舍去）．

答：每个月生产成本的下降率为5%；

（2）361×（1﹣5%）=342.95（万元），

答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．

8．解方程：（x2+x）2+（x2+x）＝6．

【答案】x1＝﹣2，x2＝1

【解析】

【分析】

设x2+x＝y，将原方程变形整理为y2+y﹣6＝0，求得y的值，然后再解一元二次方程即可．【详解】

解：设x2+x＝y，则原方程变形为y2+y﹣6＝0，

解得y1＝﹣3，y2＝2．

①当y＝2时，x2+x＝2，即x2+x﹣2＝0，

解得x1＝﹣2，x2＝1；

②当y＝﹣3时，x2+x＝﹣3，即x2+x+3＝0，

∵△＝12﹣4×1×3＝1﹣12＝﹣11＜0，

∴此方程无解；

∴原方程的解为x1＝﹣2，x2＝1．

【点睛】

本题考查了换元法和一元二次方程的解法，设出元化简原方程是解答本题的关键.

9．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（2m+1）=0有实数根．

（1）求m的取值范围；

（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2+x1+x2≥20，求m的取值范围．

【答案】（1）m≤4；（2）3≤m≤4．

【解析】

试题分析：（1）根据判别式的意义得到△=（-6）2-4（2m+1）≥0，然后解不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=6，x1x2=2m+1，再利用2x1x2+x1+x2≥20得到2

（2m+1）+6≥20，然后解不等式和利用（1）中的结论可确定满足条件的m的取值范围．试题解析：

（1）根据题意得△＝（－6）2－4（2m＋1）≥0，

解得m≤4；

（2）根据题意得x1＋x2＝6，x1x2＝2m＋1，

而2x1x2＋x1＋x2≥20，所以2（2m＋1）＋6≥20，解得m≥3，

而m≤4，所以m的范围为3≤m≤4．

10．自2018年1月10日零时起，高铁开通，某旅行社为吸引广大市民组团去仙都旅游，推出了如下收费标准：如果人数不超过10人，人均旅游费用为200元，如果人数超过10人，每增加1人，人均旅游费用降低5元，但人均旅游费用不得低于150元．

()1如果某单位组织12人参加仙都旅游，那么需支付旅行社旅游费用________元；()2现某单位组织员工去仙都旅游，共支付给该旅行社旅游费用2625元，那么该单位有多少名员工参加旅游？

【答案】（1）2280；（2）15

【解析】

【分析】

对于（1）根据人数超过10人，每增加1人，人均旅游费用降低5元，但人均旅游费用不得低于150来求解；

对于（2）设这次旅游可以安排x 人参加，而由10×200＝2000＜2625，可以得出人数大于10人，则根据x 列出方程：（10＋x ）（200－5x ）＝2625，求出x ，然后根据人均旅游费用降低5元，但人均旅游费用不得低于150来求出x 的范围，最后得出x 的值.

【详解】

（1）2280

()2因为1020020002625?=<．

因此参加人比10人多，

设在10人基础上再增加x 人，

由题意得：()()1020052625x x +-=．

解得 15x = 225x =，

∵2005150x -≥，

∴010x <≤，

经检验 15x =是方程的解且符合题意，225x =（舍去）．

1010515x +=+=

答：该单位共有15名员工参加旅游．

【点睛】

本题主要考查一元二次方程的应用和一元一次不等式的应用，根据题意作出判断，列出一元二次方程，求解方程，舍去不符合题意的解，从而得出结果.