一类状态脉冲不育控制的单种群模型

于点ｆ ” 、 、 粤 ＋ ’ ， ＋ ） 是全局稳定的焦点， 一一 ～ “ … ” 所以
经过 Ｄ 的轨线 ｒ 肯定与脉冲集 Ｍ相交 ，设其交点
为Ｄ ，则其 坐标 可设 为 Ｄ （ ｈ ， Ｙ ｏ １ ） ， 则 ＞０ 。从 而
由 于 点 （ ｛ ，
其 坐标可 设为 Ｄ－ ， ｙ Ｄ ） ， 显然 ｙ Ｄ ＜ｙ ８ ， 故 ： ＜Ｙ Ｂ ： 。 从 而 Ｄ 的后 继 函数 ｇ （ Ｄ ） ＝Ｙ ｏ ＋ ＜Ｙ ｏ ． ＜０ 。 由后 继 函
Ｌ ， ， Ｊ 分别表示系统（ ２ ） 的等倾线
） ＝０ ， ｙ ） ＝０ ，
．
在 平 衡 点 （ 器 争 ， 手 ） 的 左 侧 。 记 等 倾 线 轴交 点 Ｄ ，则
） ＝０与相集 交 与 点 Ａ，由微 分 方程 定 性理 论 知 ， 在点 处 有 唯一 的轨线 ｒ 。 与直线 ＝（ １一 ｐ ） ｈ相 切 ，
＝０ 。 经过 Ｄ 的轨 线设 其 为 ，由
充分 考虑 作物 的补 偿作 用 ，有研 究结 果 表 明 ，草木 受害 后不 一定 就造 成 生长 损失 。相反 ，在一 定 程度 上， 可增 加 草木 生长 量 。 当受害程 度达 到补 偿 点时 ， 草 木生 长率 最大 ， 超 过 补偿 点 以后 ，才 出现生 长损 失 。因此 ，有 害 鼠不 一定 造 成危 害 。 从 而在 海 鼠防
李 晓霞 ： 一类状态脉 冲不育控制的单种群模型
。 １ ３ ‘
易得当 ｒ 一 ＞０及（ ｒ 一 ｄ—ｄ （ ｄ＋ ＜４ （ ｒ 一
（ Ｉ １ 点Ｂ 与 点 ４重 合 ；（ Ⅱ）点 Ｂ 在 点 ４ 正 上
方； （ １ ］ Ｉ ） 点Ｂ ＋ 在点 正 下方 。
定 理 １当 ｒ 一
是 全局 渐 近稳定 的 ；
０时 ，系统 （ １ ） 零 平 衡点 （ ０ ， ０ ）
治中 ， 应当充分考虑作物的补偿作用 ，确定害鼠的 经济危害水平 ， 制定 准确 的经济 阈值 。 基于此想 法， 本文建立一类不育控制下状态脉冲收获的害 鼠 防治 模 型 ，即 当 害 鼠数量 达 到经 济危 害水 平 ｈ ，实
定理 ３当 ｒ 一 ＞０ ，ｒ 一 ｄ／ ￣ （ ｄ＋ ） ，ｈ＜
期解 。
一ｄ （ ｄ＋ ＜４ （ ｒ 一
由 于 点 （ 篇 ，
） 是 全 局 稳 定 的 焦 点 ， 所
，
、
时 ，系 统 （ ２ ） 存 在 阶 １周
以经过 ｃ 的轨线 Ｉ ：（ １ 一 ｐ ） ｈ ， Ｙ－ ＞Ｏ ｌ 。
定 义 对 于 任 意 的点 Ｐ ∈Ｎ ，系 统 （ ２ ） 存 在 过 点 Ｐ的轨 线 ｒ，它与 脉 冲 集 交 与 点 Ｐ ｌ ， ＝， ） ∈ ＝ Ⅳ， 令 ： ， ． ， 分 别表 示 ， 尸 ・ 与 轴 距 离 ，
施 灭 杀 控 制 ，在 小 于 经 济 危 害 水 平 ｈ实施 不 育 控
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ３ — ０ ３ — １ ９
当ｒ 一 ＞０时 ，系 统 （ １ ） 的正 平 衡 点 （ ） 是 全局渐 近稳 定 的 。
，
Ｉ ｄ ＋“ ｝
基金项 目： 运城学 院科研项 日［ Ｙ Ｑ 一 ２ ０ １ ０ ０ １ １ 】 作者简介 ： 李晓霞（ １ ９ ８ ４ — １ ，女 ，山砥临猗 人 ， 硕士 ， 助教 ， 研 究厅向 ： 泛函分数。
第２ ９卷第 ３期 ２ ０ １ ３年 ６月
文章 编号 ： １ ６ ７ ４ — ０ ８ ７ ４ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ３ — ０ ０ １ ２ － ０ ４
山西大同大学学 报（ 自然科 学版）
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｓ ｈ ａ ｎ ｘ ｉ Ｄ ａ ｔ ｏ ｎ ｇ ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｙ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ）
Ｍ ＝｛ ， ∈ Ｒ ： Ｊ ＝ｈ ， Ｙ＞ －０ ） ，
脉冲函数 为
，： （ ， ｙ ） ∈Ｍ 一 （ （ １一ｐ ） ｈ ， （ １一ｐ ） 。
充分 接 近 Ｂ， 根 据 系统 （ ２ ） 可得 Ｙ ｃ ＋ ＜ ： 。 从 而 Ｃ的
相集
Ｎ ：， （ ＝｛ ， ｙ ） ∈
） 是 全 局 稳 定的 焦 点， 所
以经过 的轨线 ｒ 肯定与脉冲集 相交 ， 设其交 点为 ， 则其坐标可设为 Ｂ （ ｈ ， ， 于是在点 日发 生脉 冲 ， 脉 冲后 的相 点设 为 日 （ （ １一ｐ ） ｈ ，（ １一Ｐ ） 显然 Ｂ （ （ １一ｐ ） ｈ ， （ １一 ｐ ） 与点 Ａ 的位置关 系
＋ ， 系 统 （ １ ） 的 正 平 衡 点 （ 甍 ，
全 局渐 近稳 定 的焦 点 。
） 是
当曰 与 点 重 合 时 ， 显 然 轨线 ｒ 。 就 是 系统 （ ２ ） 的阶 １ 周 期解 。下面 证 明在（ Ⅱ） ， （ Ⅲ） 这每 种情 形之 下， 都 存在 阶 １ 周期解 。 当 在 上 方 ， 在 点 的正 上方 且 充分接 近 取
而控 制种 群 数 量 的 增 长 。 首先 利 用微 分 方 程 几 何 理 论 和 后 继 函数 的 方 法得 到 系统 阶 １ 周期解得存在性 ， 并 给 出 了阶 １周期 解 得 渐 近 稳 定 性 的 充 分 条件 。 关键 词 ： 状态脉冲 ； 不 育 ；阶 １ 周 期 解 中图分类号 ： ０１ ７ ５ 文献标 识码： Ａ
一
２ 阶 １周期解 的存在性
主要 利 用 微 分 几 何 理 论 和后 继 函 数 的方 法 讨 论 状 态 依 赖 的 脉 冲微 分 系统 （ ２ ） 的阶 １周 期 解 的存
在性。
点 Ｃ 。经过 Ｃ的轨线 设其 为 ｒ ： ， 根据 微 分方 程解
函数 的性质 ， 轨线 ｒ 。 与 ｒ 充 分 接 近 ，且 在 两 轨线 都没 有与 脉 冲集相 交 之前 ，它们 没有 交 点 。又 由 于
，
点Ｄ 的相点为 Ｄ ｜ ＋ （ （ １ 一 ｐ ） ， （ １ 一 ｐ ） ｙ ｏ ） 。 从而 的后
。 由后 继 函数 的连 续性 继函数 ｇ（ Ｄ ） ＝ Ｙ ｏ 一 ＞０
） ＝ ｌ ａ ｘ—ｄ ｙ
ｆ ｌ １
一
其中 ｘ （ ｔ ） ， （ ） 分 别 是 害 鼠可 育 者 ，害 鼠不育 者 在 时
刻ｔ 的 密度 。近几 年 ，有关 学 者 对不 育 控 制下 的种
害生 物 ， 如 果 是 鼠类 ， 则 称 为 害 鼠 。害 鼠 的综 合治 理早在 ２ ０世 纪 ６ ０年代 后 期 收 到 了人 们 的普 遍 关 注 ，控制 害 鼠的方 法分 为化 学控 制 ， 不 育 控 制 ，生 物 防治 ，机械 防治 ， 物 理 防治 等 。化 学 控 制会 污 染 环境 破 坏生 态 系统 的稳 定性 。近年 来 ， 不 育控 制 下
｛ Ａ ｘ （ ｔ ） ＝
一
．
ｐ ｘ）
，
ｆ ２ １ 一
制 下 的害 鼠种 群模 型 。但 是 ， 不育 控 制下 种 群 的减 小 是 一个缓 慢 的过 程 。
在害 鼠防治 中 ，不应 当见 鼠就治 ，而应 当考 虑
１ Ａ ｙ （ ｔ 、 ＝－ ｐ ｘ）
这里所有系数均为非负的 ， 是每次投放不育剂使
的数学模 型 已受 到广 大学 者关 注 Ｉ １ ， 研 究 了不 育 控
群模 型 做 了不少 的研 究 ， 但 关 于状 态 反馈 脉 冲不 育 控 制 的 单 种 群 模 型 还 没 有 见到 ，因 此 研 究 以下 系
统：
ｌ ｊ ｙ ） ＝ ｔ （ ｘ ｒ ｘ 一 － ＋ ｄ ｙ ｙ ） 一 ） ｝
取一点 ｃ 。 经过 ｃ 的轨线设其为 ｒ ｊ ， 根据微分方
程解 函数 的性质 ， 轨线 ｒ 与ｒ ｊ 充分 接近 ， 且在两 轨线都没有与脉冲集相交之前 ， 它们没有交点。又
定 理 ２当 ｒ 一 ＜０时 ，系 统 （ ２ ） 的平衡点（ ０ ， ０ ）
是全 局渐 近稳 定 的 。
健 康 的生态 系统 是 稳定 、 具 有活 力 、有 自调 节 能 力 的 系统 。系 统 为每一 种 植 物 、 动物 、 微 生物 都 准 备 了它们 所需 要 的食 物 和生存 空间 ， 任 何 一种 植 物、 动物 、微生 物在 系统 中都 有 自己 的位 置 ； 它 们 的存在 不仅 无 害 ， 还有 助 于维 持 整个 系 统 的健康 发 展 。然 而在 自然变化 过程 和人 类 不合 理活 动 的影 响 下 ，系统平 衡 常 常会被 打 破 ， 有 些生 物 会偏 离 它们 原来 的动 态轨 迹 ，发生 种 群数 量 的爆 发 ， 破 坏 生态
数的连续性知 ， 在线 段 Ｃ Ｄ一定存在一点 Ｅ， 使得 目 ＝０ ， 从而系统（ ２ ） 存在阶 １ 周期解 。 当曰 在 Ａ 正下 方 ， 在 点 Ａ 的正 下方 且 充分 接 近
） ， —Ｙ ｔ ， 那么ｇ 就 是 点 Ｐ的后 继 函数 ，其 中 称
为点 Ｐ的后 继点 。
尺 Ｉ ＝（ １一ｐ ） ｈ ， Ｙ ０ ｝ 。
后继 函数 ０ ＝ｙ —Ｙ 。 ． ＞０ 。 同样在 上方且充 分接近取一点 Ｄ， 经过 Ｄ的轨线设其为 Ｉ １ ３ ， 由于点
（ 芸 ， 篙 ） 是 全 局 稳 定 的 焦 点 ， 所 以 经 过 Ｄ
的轨线 ｒ ， 肯定与脉冲集 相交 ， 设其交点为 Ｄ 。 ， 则
为 了使 用方 便 ， 下 面 给 出一 些 记号 和定 义 。 脉 冲集 为
点 （ 嚣 ，
） 是 全 局 稳 定 的 焦 点 ， 所 以 经
．
过 ｃ的轨线 ｒ 肯 定 与脉 冲集 相 交 ，设 其 交 点 为
Ｃ ，则其 坐标 可设 为 Ｃ （ ， Ｙ 。 ） ， 显然 Ｙ ＜Ｙ Ｂ ， 且 Ｃ