2019届人教A版(文科数学) 古典概型 单元测试
人教版2019学年高中数学第三章概率3.2古典概型检测新人教A版必修3
（整数值）随机数（ random numbers）的产生A 级基础坚固一、选择题1．以下是古典概型的是()A．任意扔掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件B．求任意的一个正整数平方的个位数字是 1 的概率，将取出的正整数作为基本事件时C．从甲地到乙地共n 条路线，求某人正好选中最短路线的概率D．扔掷一枚均匀硬币首次出现正面为止剖析： A 项中由于点数的和出现的可能性不相等，故 A 不是； B 项中的基本事件是无限的，故 B 不是； C 项中知足古典概型的有限性和等可能性，故 C 是； D 项中基本事件既不是有限个也不拥有等可能性，故 D 不是．答案：C2．小明同学的QQ密码是由0， 1， 2， 3，4， 5， 6， 7， 8， 9 这10 个数字中的 6 个数字组成的六位数，由于长时间未登录QQ，小明忘记了密码的最后一个数字，若是小明登录QQ时密码的最后一个数字任意采用，则恰巧能登录的概率是()1111A.105 B.104C.102D.10剖析：只考虑最后一位数字即可，从0 至 9 这 10 个数字中随机选择一个作为密码的1最后一位数字有 10 种可能，选对只有一种可能，因此选对的概率是10.答案： D3．同时扔掷两颗大小完好相同的骰子，用( x，y) 表示结果，记A为“所得点数之和小于 5”，则事件A包含的基本事件数是()A．3B．4C．5D．6剖析：事件 A包含的基本事件有6个： (1 ，1) ， (1，2) ，(1， 3) ，(2 ，1) ，(2 ，2) ，(3 ，1) ．答案： D4．已知会合A＝{2，3，4，5，6，7}，B＝{2，3，6，9}，在会合 A∪ B 中任取一个元素，则它是会合A∩B 中的元素的概率是()2332A. 3B.5C.7D.5剖析： A∪ B＝{2，3，4，5，6，7，9}， A∩ B＝{2，3，6}，3因此由古典概型的概率公式得，所求的概率是7.答案： C5．以下列图是某企业10 个销售店某月销售某产品数量( 单位：台 ) 的茎叶图，则数据落在区间 [22 ， 30) 内的概率为 ()A．0.2 B．0.4 C．0.5 D．剖析： 10 个数据落在区间[22 ，30) 内的数据有22，22， 27，29 共 4 个，因此，所求4的频次即概率为10＝0.4.应选 B.答案： B二、填空题6．从字母a， b，c， d， e 中任取两个不相同字母，则取到字母 a 的概率为________．解：总的取法有：ab， ac， ad， ae， bc，bd， be， cd， ce， de，共10种，其中含有a 的有 ab， ac， ad， ae 共4种．4 2故所求概率为10＝5.答案：2 57．分别从会合A＝{1，2，3，4}和会合B＝{5，6，7，8}中各取一个数，则这两数之积为偶数的概率是________．剖析：基本事件总数为4× 4＝ 16，记事件M＝{两数之积为偶数} ，则M包含的基本12 3事件有 12 个，进而所求概率为16＝4.3答案：48．某人有 4 把钥匙，其中 2 把能翻开门，现随机地取 1 把钥匙试着开门，不能够开门的就扔掉，问第二次才能翻开门的概率是________；若是试过的钥匙不扔掉，这个概率是 ________．2 2 1剖析：第二次翻开门，说明第一次没有翻开门，故第二次翻开门的概率为4×3＝3.2 2 1若是试过的钥匙不扔掉，这个概率为4×4＝4.1 1答案：3 4三、解答题9．某中学检查了某班所有45 名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据( 单位：人 ) 以下表所示．项目参加书法社团未参加书法社团参加演讲社团85未参加演讲社团230(1)从该班随机选 1 名同学，求该同学最少参加上述一个社团的概率；(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8 名同学中，有 5 名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学 B1，B2，B3.现从这5名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人，求A1被选中且 B 未被选中的概率．1解： (1) 由检查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30 人，故最少参加一个社团的共有45－ 30＝15( 人 ) ，151因此从该班随机选 1名同学，该同学最少参加一个社团的概率为P＝45＝3.(2) 从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人，其所有可能的结果组成的基本事件有：{ A1，B1} ，{ A1，B2} ，{ A1，B3} ，{ A2，B1}， {A2，B2} ，{ A2，B3} ，{ A3，B1} ，{ A3，B2} ，{ A3，B3} ， { A4，B1} ，{ A4，B2} ， { A4，B3} ， { A5，B1 } ， { A5，B2} ， { A5，B3} ，共 15 个．依照题意，这些基本事件的出现是等可能的．事件“ A1被选中且 B1未被选中”所包含的基本事件有：{ A1，B2} ，{ A1，B3} ，共 2 个．2因此 A1被选中且 B1未被选中的概率为P＝15.10． (2015 ·天津卷 ) 设甲、乙、丙 3 个乒乓球协会的运动员人数分别为27， 9， 18.现采用分层抽样的方法从这 3 个协会中抽取 6 名运动员组队参加比赛．(1) 求应从这 3 个协会中分别抽取的运动员的人数．(2) 将抽取的 6 名运行号，号分A1，A2，A3，A4，A5，A6.从6名运中随机抽取 2 人参加双打比．①用所号列出所有可能的果；② 事件A“ 号A5和 A6的2名运中最罕有 1 人被抽到”，求事件 A 生的概率．解： (1) 从甲、乙、丙三个会中抽取的运人数分3，1， 2.(2) ①从 6 名运中随机抽取 2 人参加双打比的所有可能果{A，A} ，{A，121 A3}，{ A1， A4}，{ A1，A5}，{ A1， A6}，{ A2， A3}，{ A2， A4}，{ A2， A5}，{ A2， A6}，{ A3， A4}，{ A3，A5} ， { A3，A6} ，{ A4，A5} ， { A4，A6} ， { A5，A6 } ，共 15 种．② 号 A5和 A6的两名运中最罕有 1 人被抽到的所有可能果{ A1，A5} ，{ A1，A6}，{ A2， A5}，{ A2，A6}，{ A3， A5}，{ A3， A6}，{ A4， A5}，{ A4， A6}，{ A5， A6}，共9种．9 3因此，事件 A生的概率 P( A)＝15＝5.B能力提升1．从分有1，2，⋯， 9 的 9 卡片中不放回地随机抽取 2 次，每次抽取 1 ，抽到的 2 卡片上的数奇偶性不相同的概率是()5457A.18B.9C.9D.9答案： C2．将 2 本不相同的数学和 1 本文在架上随机排成一行， 2 本数学相的概率 ________．剖析： 2 本不相同的数学用a1，a2表示，文用 b 表示，由Ω＝{( a1，a2，b)，( a1，b，a2)，( a2， a1， b)，( a2， b， a1)，( b， a1， a2)，( b， a2， a1)}．于是两本数学相的4 2情况有 4 种，故所求概率6＝3.答案：2 33．(2016 ·山卷 ) 某儿童园在六一儿童推出了一兴趣活．参加活的儿童需如所示的两次，每次后，待停止，指所指地区中的数．两次的数分x，y.励以下：①若 xy≤3，励玩具一个；②若 xy≥8，励水杯一个；③其余情况励料一瓶．假定转盘质地均匀，四个地区划分均匀．小亮准备参加此项活动．(1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明原因．解：用数对 ( x，y) 表示儿童两次转动转盘记录的数，其活动记录与奖赏情况以下：123411234224683369124481216显然，基本事件总数为16.(1)xy≤3情况有55种，因此小亮获得玩具的概率＝.16xy≥8情况有663(2)种，因此获得水杯的概率＝16＝ 8.因此小亮获得饮料的概率＝ 1－5－3＝ 5 ＜3，即小亮获得水杯的概率大于获得饮料168168的概率．。
2019学年高中数学人教A版必修3课时达标检测(十八)古典概型的概念及简单应用含解析
(1)积为零的概率；
(2)积为负数的概率．
解： 从七个数中任取两个数相乘，共有
7×6＝ 21 个基本事件． 2
6 (1)从七个数中任取两个数相乘， 积为零时， 共有 6 个基本事件， 因此， 积为零的概率为 21
＝
2 7.
(2)从七个数中任取两个数相乘，积为负数时，共有
3× 3＝ 9 个基本事件，因此，积为负
(B， E)( B， F )， (C， D )， (C， E )， (C， F )，共 9 种．
则 “ 在中标的企业中，至少有一家来自福建省
” 的概率为
9＝ 15
3 5.
11．一个口袋内装有除颜色外其他均相同的 从中摸出 2 个球，求：
1 个白球和已经编有不同号码的 3 个黑球，
(1)基本事件总数，并写出所有的基本事件；
解析： 从 5 根竹竿中一次随机抽取 2 根的基本事件总数为 10，它们的长度恰好相差 0.3 m 的基本事件数为 2，分别是： 2.5 和 2.8,2.6 和 2.9，故所求概率为 0.2.
答案： 0.2
8． (新课标全国卷Ⅰ )将 2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行，则 2 本 数学书相邻的概率为 ________．
(B， C)， (B，D )， (B， E) ， (B， F )， (C， D)， (C， E)， (C， F )， (D， E) ， (D， F )， (E ， F )， 共有 15 种，以上就是中标情况．
(2)在中标的企业中，至少有一家来自福建省的选法有
(A， B )， ( A， C ) ， (B ， C) ， ( B， D ) ，
(2)事件“摸出 2 个黑球”包含的基本事件是多少个？ (3)摸出 2 个黑球的概率是多少？ 解：(1)从装有 4 个球的口袋内摸出 2 个球， 基本事件总数为 6，分别是： (黑 1，黑 2)，(黑
2019年新人教A版必修三3.2古典概型
2019年新人教A 版必修三3.2古典概型学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1.我国古代数学名著《数学九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为( )A. 134石B. 169石C. 338石D. 1365石2.掷一枚骰子,则掷得奇数点的概率是( ) A. 16 B. 12 C. 13 D. 143.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6),骰子朝上的面的点数分别为,x y ,则2log 1x y =的概率为( )A. 16B. 536C. 112D. 12 4.从分别写有A 、B 、C 、D 、E 的5张卡片中任取2张,这2张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率是( )A.15B. 25C. 310D. 710 5.已知函数3221()13f x x ax b x =+++,若a 是从1,2,3三个数中任取的一个数, b 是从0,1,2三个数中任取的一个数,则该函数有两个极值点的概率为( )A. 79B. 13C. 59D. 236.集合{}{}2,3,1,2,3A B ==从,A B 中各任意取一个数,则这两数之和等于4的概率是( ) A.23B.12C.13D.16 7.以连续掷两次骰子分别得到的点数,m n 作为点P 的坐标,则点(,)P m n 落在圆2216x y +=内的概率为( )A. 29B. 736C. 16D. 148.设a 是甲拋掷一个骰子得到的点数,则方程220x ax ++=有两个不相等的实数根的概率为( )A.23B. 13C.12D. 5129.如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数.从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为( ) A.310B. 15C. 110D. 120 10.盒中有10个铁钉,其中8个是合格的,2个是不合格的,从中任取一个恰为合格铁钉的概率是( )A.15B. 14C. 45D. 110 二、填空题11.从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数,则其中一个数是另一个数的两倍的概率是.12.从n个正整数1,2,,n,中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于5的概率为1,则n=__________.1413.在正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点,则构成的四边形是梯形的概率为__________14.在大小相同的5个球中,2个是红球,3个是白球,若从中任取2个,则所取的2个球中至少有一个红球的概率是__________.三、解答题A B C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测,从各地区进口此种商品的15.海关对从,,数量(单位:件)如表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.各地区商品的数量;(2).若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测,求这2件商品来自相同地区的概率.16.一个袋中装有四个形状大小完全相同的球,球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机抽取两个球,求取出的球的编号之和不大于4的概率;(2)先从袋中随机取一个球,该球的编号为m,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个球,该球的编号为n,求2<+的概率.n m参考答案一、选择题1.答案：B解析：设这批米内夹谷的个数为x ,则由题意并结合简单随机抽样可知, 282541534x =,即281534169254x =⨯≈,故应选B . 2.答案：B解析：掷一枚骰子可能出现奇数点,也可能出现偶数点,且出现奇数点与偶数点的概率相同,故概率为12. 3.答案：C解析：因为2log 1x y =,所以{}2,1,2,3,4,5,6x y x =∈,{}1,2,3,4,5,6y ∈,所以1,2,3,2,4,6,x x x y y y ⎧⎧======⎧⎨⎨⎨⎩⎩⎩共三种,故所求概率为316612=⨯. 4.答案：B解析：可看作分两次抽取,第一次任取一张有5种方法,第二次从剩下的4张中再任取一张有4种方法,因为(,)B C 与(,)C B 是一样的,故试验的所有基本事件总数为54210⨯÷=个,两字母恰好是相邻字母的有()()()(),,,,,,,A B B C C D D E 4个,故P= 42105P ==. 5.答案：D解析：求导可得22'()2f x x ax b =++ 要满足题意需2220x ax b ++=有两个不等实根, 即224()0a b ∆=->,即a b >,又,?a b 的取法共有339⨯=种,其中满足a b >的有()()()1,0,2,0,2,1,()()()3,0,3,1,3,2共6种, 故所求的概率为6293P ==. 6.答案：C解析：从,A B 中各取一个数有()()()()()()2,12,22,33,1,3,23,3共6种情况,其中和为4的有()()2,2,3,1共2种情况,所以所求概率2163P ==,故选C 。
2019-2020学年数学人教A版必修3作业与测评：3.2.1 古典概型(1) Word版含解析
3．2古典概型第20课时古典概型(1)知识点一基本事件及其计数问题1．一个家庭有两个小孩，则所有可能的基本事件有()A．(男，女)，(男，男)，(女，女)B．(男，女)，(女，男)C．(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)D．(男，男)，(女，女)答案C解析两个孩子出生有先后之分．2．做试验“从0，1，2这3个数字中，不放回地取两次，每次取一个，构成有序数对(x，y)，x为第1次取到的数字，y为第2次取到的数字”．(1)写出这个试验的基本事件；(2)求出这个试验的基本事件的总数；(3)写出“第1次取出的数字是2”这一事件包含的基本事件．解(1)这个试验的基本事件为(0，1)(0，2)，(1，0)，(1，2)，(2，0)，(2，1)．(2)基本事件的总数为6．(3)“第1次取出的数字是2”包含以下2个基本事件：(2，0)，(2，1)．知识点二古典概型的判断3．下列是古典概型的是()A．任意掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件时B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为基本事件时C．从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率D．抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止答案C解析A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是；B项中的基本事件是无限的，故B不是；C项满足古典概型的有限性和等可能性，故C是；D 项中基本事件可能会是无限个，故D不是．4．下列试验中，是古典概型的个数为()①种下一粒花生，观察它是否发芽；②向上抛一枚质地不均匀的硬币，观察正面向上的概率；③从正方形ABCD内，任意取一点P，点P恰与点C重合；④从1，2，3，4四个数字中，任取两个数字，求所取两数字之一是2的概率；⑤在区间[0，5]上任取一个数，求此数小于2的概率．A．0 B．1 C．2 D．3答案B解析①花生发芽与不发芽的可能性不相等，不是古典概型；②硬币不均匀，所以正面向上与反面向上的可能性不相等，不是古典概型；③点P的个数是无限的，不是古典概型；⑤在区间[0，5]上任取一个数有无限个，不是古典概型．故只有④是古典概型，选B．知识点三简单的古典概型的概率5．一个口袋内装有大小相同的6个小球，其中2个红球，记为A1，A2，4个黑球，记为B1，B2，B3，B4，从中一次摸出2个球．(1)写出所有的基本事件；(2)求摸出的2个球颜色不同的概率．解(1)从中一次摸出2个球，有如下基本事件：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B3，B4)，共15个．(2)由(1)知，从袋中的6个球中任取2个，所取的2球颜色不同的事件有(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，共8个，故所求事件的概率P＝8 15．6．一个盒子里装有标号为1，2，3，4的4张形状、大小完全相同的标签，先后随机地选取2张标签，根据下列条件，分别求2张标签上的数字为相邻整数的概率．(1)标签的选取是无放回的；(2)标签的选取是有放回的．解记事件A为“选取的2张标签上的数字为相邻整数”．(1)从4张标签中无放回地随机选取2张，共有12个基本事件，分别为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)．事件A包含了其中的6个基本事件：(1，2)，(2，1)，(2，3)，(3，2)，(3，4)，(4，3)．由古典概型概率计算公式知P(A)＝612＝12，故无放回地选取2张标签，其上数字为相邻整数的概率为1 2．(2)从4张标签中有放回地随机选取2张，共有16个基本事件，分别为(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)．事件A包含了其中的6个基本事件：(1，2)，(2，1)，(2，3)，(3，2)，(3，4)，(4，3)．由古典概型概率计算公式知P(A)＝616＝38，故有放回地选取2张标签，其上数字为相邻整数的概率为3 8．易错点混淆“等可能性”与“非等可能性”7．任意掷两枚骰子，计算：(1)出现点数之和为奇数的概率；(2)出现点数之和为偶数的概率．易错分析本题易出现认为点数之和为奇数与偶数共11种情况的错误；由于以上两种情况为不等可能事件，不属于古典概型，不能应用古典概型概率公式计算．正解 任意掷两枚骰子，所有可能的结果为(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共36个．(1)出现点数之和为奇数的有(1，2)，(1，4)，(1，6)，(2，1)，(2，3)，(2，5)，(3，2)，(3，4)，(3，6)，(4，1)，(4，3)，(4，5)，(5，2)，(5，4)，(5，6)，(6，1)，(6，3)，(6，5)，共18个．因此点数之和为奇数的概率为1836＝12．(2)点数之和为偶数的概率为1－12＝12．一、选择题1．如果一项试验中所有可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性相等，那么每一个基本事件的概率( )A ．都是1B ．都是1nC ．都是m nD ．不一定都相等答案 B解析 由古典概型的意义可得．2．将一个骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是3的倍数的概率是( )A ．19B ．16C ．14D ．13答案 D解析 抛掷2次所得的结果有36种，点数之和为3的倍数的基本事件有(1，2)，(1，5)，(2，1)，(2，4)，(3，3)，(3，6)，(4，2)，(4，5)，(5，1)，(5，4)，(6，3)，(6，6)，共12种结果，因此所求概率为1236＝13．3．从数字1，2，3中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于23的概率是( )A ．13B ．16C ．18D ．14答案 A解析 构成的两位数为12，13，21，23，31，32，共6个，这6个基本事件是等可能的，因此是古典概型．其中大于23的为31，32，共2个，所以所求概率P ＝26＝13．4．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现双方各出上、中、下等马各一匹分组分别进行一场比赛，胜两场及以上者获胜，若双方均不知道对方马的出场顺序，则田忌获胜的概率为( )A ．13B ．14C ．15D ．16答案 D解析 设齐王的下等马、中等马、上等马分别为a 1，a 2，a 3，田忌的下等马、中等马、上等马分别为b 1，b 2，b 3．齐王与田忌赛马，其情况有：(a 1，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 3)，齐王获胜；(a 1，b 1)，(a 2，b 3)，(a 3，b 2)，齐王获胜；(a 2，b 1)，(a 1，b 2)，(a 3，b 3)，齐王获胜；(a 2，b 1)，(a 1，b 3)，(a 3，b 2)，齐王获胜；(a 3，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 3)，田忌获胜；(a 3，b 1)，(a 1，b 3)，(a 2，b 2)，齐王获胜．共6种．其中田忌获胜的只有一种情形，即(a 3，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 3)，则田忌获胜的概率为16，故选D ．5．甲、乙二人玩猜数字游戏，先由甲任想一数字，记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b ，且a ，b ∈{1，2，3，4}，若|a －b |≤1，则称甲乙“心有灵犀”．现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( )A ．38B ．58C ．316D ．516答案 B解析 两人分别从1，2，3，4四个数中任取一个，有16种情况，其中满足|a －b |≤1的情况有(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，3)，(4，4)，共10种，故他们“心有灵犀”的概率为1016＝58．二、填空题6．如图所示，有一个正十二面体，12个面上分别写有1～12这12个整数，投掷这个正十二面体一次，则向上一面的数字是2的倍数或3的倍数的概率为________．答案 23解析 由题意可知，所有的基本事件数为12，其中为2或3的倍数的是2，3，4，6，8，9，10，12，共8个．故所求的概率为812＝23．7．从长度分别为1，2，3，4的四条线段中，任取三条的不同取法共有n 种．在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的三角形的个数为m ，则m n 等于________．答案 14解析 试验发生包含的基本事件数n ＝4．即“1，2，3”，“1，2，4”，“1，3，4”，“2，3，4”．由三角形的性质“两边之和大于第三边”知可组成三角形的有“2，3，4”，m ＝1．所以m n ＝14．8．一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a ，b ，c ，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”(如213，134等)，若a ，b ，c ∈{1，2，3，4}，且a ，b ，c 互不相同，则这个三位数为“有缘数”的概率是______．答案1 2解析由1，2，3组成的三位自然数为123，132，213，231，312，321，共6个；同理，由1，2，4组成的三位自然数为6个，由1，3，4组成的三位自然数为6个，由2，3，4组成的三位自然数为6个，共有24个．由1，2，3或1，3，4组成的三位自然数为“有缘数”，共12个，所以三位数为“有缘数”的概率为12 24＝12．三、解答题9．盒中有3只灯泡，其中2只是正品，1只是次品．(1)从中取出1只，检验是否为正品后放回，再取出1只进行检验，求连续两次取出的都是正品的概率；(2)从中一次任取2只，求2只都是正品的概率．解(1)将灯泡中2只正品记为a1，a2，1只次品记为b，画出树状图如下图所示．基本事件总数为9，连续两次取得正品的基本事件数为4，所以所求概率P＝4 9．(2)“从中一次任取2只”得到的基本事件总数是3，即{a1，a2}，{a1，b}，{a2，b}({a1，a2}表示一次取出正品a1，a2)，“2只都是正品”的基本事件数是1，所以所求概率P＝1 3．10．抛掷两枚骰子，计算：(1)事件“两枚骰子点数相同”的概率；(2)事件“点数之和小于7”的概率；(3)事件“点数之和等于或大于11”的概率．解每枚骰子落地都有6种情况，所以基本事件总数为6×6＝36．(1)记“两枚骰子点数相同”为事件A，则事件A有6个基本事件，即A＝{(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)}，∴P (A )＝636＝16．(2)记“点数之和小于7”为事件B ，则事件B 有15个基本事件，即B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(4，1)，(4，2)，(5，1)，∴P (B )＝1536＝512．(3)记“点数之和等于或大于11”为事件C ，则事件C 有3个基本事件，即C ＝{(5，6)，(6，5)，(6，6)}，∴P (C )＝336＝112．。
2019-2020学年人教课标A版高中数学必修三课后作业19古典概型 Word版含解析
姓名，年级：时间：课后作业（十九）（时间45分钟）学业水平合格练(时间25分钟)1．下列概率模型中,是古典概型的个数为（)①从区间[1，10］内任取一个数，求取到1的概率；②从1～10中任意取一个整数,求取到1的概率;③在一个正方形ABCD内画一点P，求P刚好与点A重合的概率;④向上抛掷一枚不均匀的硬币，求出现反面朝上的概率．A．1 B．2 C．3 D．4［解析] 古典概型的概率特点是基本事件是有限个，并且每个基本事件发生的概率是等可能的，故②是古典概型，④由于硬币质地不均匀，故不是古典概型，故选A.［答案] A2．一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径,则它能获得食物的概率为( ）A。
错误!B。
错误!C.错误!D。
错误![解析] 该树枝的树梢有6处，有2处能找到食物，所以获得食物的概率P＝错误!＝错误!.[答案］C3．现有2名女教师和1名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为（)A.错误!B.错误! C。
错误! D。
错误!［解析] 设两道题分别为A,B，所以抽取情况共有:AAA，AAB,ABA,ABB，BAA,BAB，BBA，BBB，其中第1个,第2个分别表示两个女教师抽取的题目，第3个表示男教师抽取的题目,一共有8种；其中满足恰有一男一女抽到同一题目的事件有：ABA，ABB，BAA，BAB,共4种;故所求事件的概率为错误!.故选C。
［答案］C4．从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机(等可能)取两点,则该两点间的距离为错误!的概率是（）A.错误!B.错误!C.错误!D.错误
班级：姓名：日期：《古典概型》练案1.（2021·安徽定远县育才学校高一期末）随机掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则这个骰子向上的一面点数是奇数的概率为（）A．12B．13C．14D．152.（2021·广西防城港市防城中学高一月考）在区间[1，8]上任取一个整数x，则满足ln x≥1的概率为（）A．34B．14C．87e-D．17e-3.饕餮纹是青铜器上常见的花纹之一，最早见于长江中下游地区的良渚文化陶器和玉器上，盛行于商代至西周早期．将青铜器中的饕餮纹的一部分画到方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为一个单位长度，有一点P从点A出发，每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能的，那么点P经过3次跳动后恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B的概率为（）A．116B．18C．14D．124.抛掷两枚质地均匀的骰子各一次，则向上的点数不相同时，其中有一枚的点数为6的概率为（）A．1B．14C．13D．125.（2021·广东高州市高一期末）哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和”，如835=+．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在“2，3，5，7，11”这5个素数中，任取两个素数，其和不是合数的概率是( )A．25B．310C．35D．7106.（2021·天津市南开区南大奥宇培训学校高一月考）不透明袋子中装有6个球，其中有5个红球､1个绿球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是___________.7.（2021·安徽舒城县高一期末）一个三位自然数，百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a ＞b，b＜c时称为“凹数”（如213，312等），若a，b，c∈{1，2，3，4}，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率是_________．8.（2021·广东高州市高一期末）我市甲，乙两个企业都生产某种产品，贸易部门为将该种产品扩大市场份额．推向国内外，创造更高的收益，准备从甲、乙两个企业中选取优质的产品．参加2021年的广交会．现从甲、乙两个企业中各随机抽取5件产品进行质量检测．得到质量指数如下表：甲90 89 93 87 91乙92 88 90 88 92规定：质量指数在90以上（包括90）的视为“优质品”，质量指数低于90的视为“合格品”以此样本估计总体，频率作为概率，求解以下问题：若从甲．乙两个企业的优质品中随机取出2件去参加2021年的广交会，求取出的2件优质品中甲，乙企业各一件的概率.9.数学上有种水仙花数，它是指各位数字的立方和等于其本身的三位数．水仙花数共有4个，其中仅有1个在区间()150,160内，我们姑且称它为“水仙四妹”，则从集合｛147，152，154，157，“水仙四妹”｝的5个元素中任意取3个整数，则这3个整数中含有“水仙四妹”，且其余两个整数至少有一个比“水仙四妹”小的概率是（）A．310B．14C．710D．1210.（多选题）（2021·河北保定市第二十八中学高一月考）已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，4，5．现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A=“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件B=“抽取的两个小球标号之积大于8”，则（）A．从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为15B．事件A发生的概率为12C．事件A B发生的概率为25D．事件A B发生的概率为1211.（2021·浙江台州市路桥区高一月考）从编号为A、B、C、D的4名男生和编号为m、n的2名女生中任选3人参加演讲比赛．（1）把选中3人的所有可能情况一一列举出来；（2）求所选3人中恰有一名女生的概率；（3）求所选3人中至少有一名女生的概率.12.在人群流量较大的步行街，有一中年人吆喝“送钱咯，送钱咯”，只见他手拿一黑色布袋，袋中有3只黄色､3只白色的乒乓球（其体积､质地完全相同），旁边立着一块小黑板写着摸球方法：从袋中随机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱.（1）摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率是多少？（2）假定一天中有500人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月（按30天计）能赚多少钱13.书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示．（1）求a；（2）根据频率分布直方图，估计这100位年轻人每天阅读时间的平均数x（单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）（3）为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组[50,60)，[60,70)和[80,90)的年轻人中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求其中至少有1人每天阅读时间位于[80,90)的概率．14.某种婴儿用品主要材质是橡胶，在加工过程中，可能会残留一些未挥发完全的溶剂，以及橡胶本身含有的化合物等，长期潜伏积累，对免疫力尚未健全的婴幼儿会危害甚大，为了测量此类新产品的挥发性物质含量，从生产的产品中随机抽取100个，得到如下频率分布直方图，若以频率作为概率，规定该婴儿用品的挥发性物质含量<18‰为合格产品.（1）若这100个产品的挥发性物质含量的平均值大于16，则需进行技术改进，试问该新产品是否需要技术改进？（2）为了解产品不合格的原因，用分层抽样的方法从[)18,20与[)20,22中抽取6个进行分析，然后从这6个中抽取2个进一步实验，求2个均在[)18,20内的概率.。
2018-2019学年高一下学期数学人教A版必修三单元检测卷：(10)古典概型含解析
单元检测卷(10）古典概型1、甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军,乙队需要再贏两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为( )A.12B. 35C. 23D. 342、从甲、乙等名学生中随机选出人,则甲被选中的概率为( )52A.15B. 25C. 825D. 9253、从分别写有A 、B 、C 、D 、E 的5张卡片中任取2张,这2张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率是( )A.15B. 25C. 310D. 7104、集合从中各任意取一个数,则这两数之和等于的概率是{}{}2,3,1,2,3A B ==,A B 4( )A.23B. 12C.13D.165、某班准备到郊外野营,为此向商店定了帐篷,如果下雨与不下雨是等可能的,能否准时收到帐篷也是等可能的,只要帐篷如期运到,他们就不会淋雨,则下列说法正确的是( )A.一定不会淋雨B.淋雨的机会为34C.淋雨的机会为12D.淋雨的机会为146、假定某运动员每次投掷飞镖正中靶心的概率为40%,现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率:先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4表示命中靶心,5,6,7,8,9,0表示未命中靶心;再以每两个随机数为一组,代表两次的结果,经随机模拟产生了20组随机数:93 28 12 45 85 69 68 34 31 2573 93 02 75 56 48 87 30 11 35据此估计,该运动员两次掷镖恰有一次正中靶心的概率为( )A.0.50B.0.45C.0.40D.0.357、某种心脏病手术,成功率为0.6,现准备进行3例此种手术,利用计算机取整数值随机数模拟,用0,1,2,3代表手术不成功,用4,5,6,7,8,9代表手术成功,产生20组随机数:966,907,191,924,270,832,912,468,578,582,134,370,113,573,998,397,027,488,703,725,则恰好成功1例的概率为( )A.0.6B.0.4C.0.63D.0.438、用计算机随机模拟掷骰子的试验,估计出现2点的概率,则下列步骤中不正确的是( )A.用计算器的随机函数或计算机的随机函数RAN 产()1,7RANDI ()1,7RANDBETWEEN 生个不同的到之间的取整数值的随机数,如果,我们认为出现点616x 2x =2B.我们通常用计算器记录做了多少次掷骰子试验,用计数器记录其中有多少次出现n m 2点,置0,0n m ==C.出现点,则的值加,即;否则的值保持不变2m 11m m =+m D.程序结束,出现点的频率作为概率的近似值2m n答案以及解析1答案及解析：答案：D解析：方法一:以甲队再打的局数分类讨论,若甲队再打一局得冠军的概率为,则,1p 112p =若甲队再打两局得冠军的概率为 ,2p 则,2111224p =⨯=故甲队获得冠军的概率为,故选D.1234p p +=方法二:设乙队获得冠军的概率为,则,1p 1111224p =⨯= 故甲队获得冠军的概率为,故选D.1314p p =-=2答案及解析：答案：B解析：所求概率为,故选B.142525C P C ==考点:古典概型【名师点睛】如果基本事件的个数比较少,可用列举法把古典概型试验所含的基本事件一一列举出来,然后再求出事件中的基本事件数,利用公式求出事件的概率,这是一个形象直A ()m P A n=A 观的好方法,但列举时必须按照某一顺序做到不重不漏.如果基本事件个数比较多,列举有一定困难时,也可借助两个计数原理及排列组合知识直接计算,,再运用公式m n ()mP A n =求概率.3答案及解析：答案：B解析：可看作分两次抽取,第一次任取一张有5种方法,第二次从剩下的4张中再任取一张有4种方法,因为与是一样的,故试验的所有基本事件总数为个,两字(,)B C (,)C B 54210⨯÷=母恰好是相邻字母的有4个,故P= .()()()(),,,,,,,A B B C C D D E 42105P ==4答案及解析：答案：C 解析：从中各取一个数有共种情况,其中和为的,A B ()()()()()()2,12,22,33,1,3,23,364有共种情况,所以所求概率,故选。
(2019新教材)人教A版高中数学必修第二册：古典概型
(2019·高考天津卷)2019 年，我国施行个人所得 税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、 住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某 单位老、中、青员工分别有 72，108，120 人，现采用分层抽样 的方法，从该单位上述员工中抽取 25 人调查专项附加扣除的享 受情况． (1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？ (2)抽取的 25 人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有 6 人， 分别记为 A，B，C，D，E，F.享受情况如下表，其中“○”表 示享受，“×”表示不享受．现从这 6 人中随机抽取 2 人接受采 访．
求古典概型概率的步骤 (1)判断是否为古典概型． (2)算出样本点的总数 n. (3)算出事件 A 中包含的样本点个数 m. (4)算出事件 A 的概率，即 P(A)＝mn . 在运用公式计算时，关键在于求出 m，n.在求 n 时，应注意这 n 种结果必须是等可能的，在这一点上比较容易出错．
1．如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称
这 3 个数为一组勾股数，从 1，2，3，4，5 中任取 3 个不同的
数，则这 3 个数构成一组勾股数的概率为( )
3
1
A.10
B.5
C.110
D.210
解析：选 C.从 1，2，3，4，5 中任取 3 个不同的数，共有如下 10 个不同的结果：(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3， 4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)， (3，4，5)，其中勾股数只有(3，4，5)，所以概率为110.故选 C.
袋中有 2 个标号分别为 1，2 的白球和 2 个标 号分别为 3，4 的黑球．这 4 个球除颜色、标号外完全相同，4 个人按顺序依次从中摸出 1 个球，求样本点的个数． 解：4 个人按顺序依次从袋中摸出 1 个球的所有可能结果用树 状图表示如图所示：
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(五十三)古典概型(对应学生用书第230页)A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．(2018·太原模拟)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为()A．12B．13C．23D．56C[设两本不同的数学书为a1，a2,1本语文书为B．则在书架上的摆放方法有a1a2b，a1ba2，a2a1b，a2ba1，ba1a2，ba2a1，共6种，其中数学书相邻的有4种．因此2本数学书相邻的概率P＝46＝23.]2．在集合A＝{2,3}中随机取一个元素m，在集合B＝{1,2,3}中随机取一个元素n，得到点P(m，n)，则点P在圆x2＋y2＝9内部的概率为()A．12B．13C．34D．25B[点P(m，n)共有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，6种情况，只有(2,1)，(2,2)这2个点在圆x2＋y2＝9的内部，所求概率为26＝13.]3．(2018·茂名模拟)在{1,3,5}和{2,4}两个集合中各取一个数组成一个两位数，则这个数能被4整除的概率是()A．13B．12C．16D．14D [所有的两位数为12,14,21,41,32,34,23,43,52,54,25,45，共12个，能被4整除的数为12,32,52，共3个．故所求概率P ＝312＝14.故选D.]4．(2017·威海模拟)从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数a ，从集合{1,3,5}中随机抽取一个数b ，则向量m ＝(a ，b )与向量n ＝(1，－1)垂直的概率为( )A ．16B ．13C ．14D ．12A [由题意知，向量m 共有4×3＝12个，由m ⊥n ，得m ·n ＝0，即a ＝b ，则满足m ⊥n 的m 有(3,3)，(5,5)共2个，故所求概率P ＝212＝16.]5．(2018·大同模拟)现有2名女教师和1名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为( )A ．13B ．23C ．12D ．34C [记两道题分别为A ，B ，所有抽取的情况为AAA ，AAB ，ABA ，ABB ，BAA ，BAB ，BBA ，BBB (其中第1个，第2个分别表示两个女教师抽取的题目，第3个表示男教师抽取的题目)，共有8种；其中满足恰有一男一女抽到同一道题目的情况为ABA ，ABB ，BAA ，BAB ，共4种．故所求事件的概率为12.故选C ．]二、填空题6．在集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＝n π3，n ＝1，2，3，…，10中任取一个元素，所取元素恰好满足方程cos x ＝12的概率是________．15[基本事件总数为10，满足方程cos x＝12的基本事件数为2，故所求概率为P＝210＝15.]7．(2016·四川高考)从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则log a b 为整数的概率是________．16[从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则有2,3；2,8；2,9；3,8；3,9；8,9；3,2；8,2；9,2；8,3；9,3；9,8，共12种取法，其中log a b为整数的有(2,8)，(3,9)两种，故P＝212＝16.]8．在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖．甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是________．13[记“两人都中奖”为事件A，设中一、二等奖及不中奖分别记为1,2,0，那么甲、乙抽奖结果有(1,2)，(1,0)，(2,1)，(2,0)，(0,1)，(0,2)，共6种．其中甲、乙都中奖有(1,2)，(2,1)，共2种，所以P(A)＝26＝13.]三、解答题9．(2015·湖南高考)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖方法是：从装有2个红球A1，A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1，a2和2个白球b1，b2的乙箱中，各随机摸出1个球．若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖．(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果；(2)有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率．你认为正确吗？请说明理由．[解](1)所有可能的摸出结果是{A1，a1}，{A1，a2}，{A1，b1}，{A1，b2}，{A2，a1}，{A2，a2}，{A2，b1}，{A2，b2}，{B，a1}，{B，a2}，{B，b1}，{B，b2}．(2)不正确．理由如下：由(1)知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为{A1，a1}，{A1，a2}，{A2，a1}，{A2，a2}，共4种，所以中奖的概率为4 12＝13，不中奖的概率为1－13＝23>13，故这种说法不正确．10．(2017·山东高考)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．[解](1)由题意知，从6个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，共15个. 3分所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3个，则所求事件的概率为P＝315＝15. 6分(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，共9个. 9分包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共2个，则所求事件的概率为P＝29. 12分B组能力提升(建议用时：15分钟)1．(2018·黄山模拟)从集合A＝{2,4}中随机抽取一个数记为a，从集合B＝{1,3}中随机抽取一个数记为b，则f(x)＝12ax2＋bx＋1在(－∞，－1]上是减函数的概率为()A．12B．34C．16D．0B[(a，b)的所有取值情况如下：(2,1)，(2,3)，(4,1)，(4,3)，共4种，记“f(x)在区间(－∞，－1]上是减函数”为事件A，由条件知f(x)的图象开口一定向上，a＞0，对称轴为直线x＝－ba，且－ba≥－1，则事件A包含的情况如下：(2,1)，(4,1)，(4,3)，共3种，则P(A)＝3 4.]2．将号码分别为1,2,3,4的四个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个小球，其号码为a，放回后，乙从此口袋中再摸出一个小球，其号码为b，则使不等式a－2b＋4＜0成立的事件发生的概率为________．14[由题意知(a，b)的所有可能结果有4×4＝16个．其中满足a－2b＋4＜0的有(1,3)，(1,4)，(2,4)，(3,4)共4种结果．故所求事件的概率P＝416＝14.]3．(2018·新合模拟)某汽车美容公司为吸引顾客，排出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下表：(1)估计该公司一位会员至少消费两次的频率；(2)某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；(3)该公司要从这100位里至少消费两次的顾客中按消费次数用分层抽样方法抽出8人，再从这8人中抽出2人发放纪念品，求抽出的2人中恰有1人消费两次的概率．[解](1)100位会员中，至少消费两次的会员有40位，所以估计一位会员至少消费两次的概率为40100＝0.4. 2分(2)该会员第1次消费时，公司获得的利润为200－150＝50(元)，3分第2次消费时，公司获得的利润为200×0.95－150＝40(元)，4分所以，公司获得的平均利润为50＋402＝45(元). 5分(3)因为20∶10∶5∶5＝4∶2∶1∶1，所以用分层抽样方法抽出的8人中，消费2次的有4人，分别设为A1，A2，A3，A4，消费3次的有2人，分别设为B1，B2，消费4次和5次及以上的各有1人，分别设为C，D，从中抽出2人，抽到A1的有A1A2，A1A3，A1A4，A1B1，A1B2，A1C，A1D，共7种；7分去掉A1后，抽到A2的有A2A3，A2A4，A2B1，A2B2，A2C，A2D，共6种；…去掉A1，A2，A3，A4，B1，B2后，抽到C的有：CD，共1种，总的抽取方法有7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝28种，9分其中恰有1人消费两次的抽取方法有4＋4＋4＋4＝16种，10分所以，抽出的2人中恰有1人消费两次的概率为1628＝47. 12分。