2015南充市数学试卷及答案
2015-2016年四川省南充市高一上学期数学期末试卷和解析
2015-2016学年四川省南充市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5.00分）已知集合A={1，2，3}，B={2，3，5}，则A∩B=（）A．{1，5}B．{1，2，5}C．{2，3}D．{1，2，3，5}2．（5.00分）计算：lg2+lg5=（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．13．（5.00分）已知函数f（x）=+，则f（﹣3）=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣24．（5.00分）设f（x）=3x+3x﹣8，用二分法求方程3x+3x﹣8=0在x∈（1，2）内近似解的过程中得f（1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则方程的根落在区间（）A．（1，1.25）B．（1.25，1.5）C．（1.5，2）D．不能确定5．（5.00分）已知角α的终边经过点P（﹣3，﹣4），则sinα=（）A．﹣ B．﹣ C．D．6．（5.00分）已知向量=（2，1），=（﹣3，4），则+=（）A．（﹣1，5）B．（1，5） C．（﹣1，﹣3）D．（1，3）7．（5.00分）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．y=cosx B．y=sinx C．y=lnx D．y=x2+18．（5.00分）要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需要将函数y=sin4x的图象（）个单位．A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移9．（5.00分）已知tanα=2，则=（）A．2 B．3 C．4 D．610．（5.00分）设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=（）A．﹣ B．﹣ C．D．11．（5.00分）已知函数f（x）=，若f[f（0）]=4a，则实数a等于（）A．B．C．2 D．912．（5.00分）如图，在四边形ABCD中，++=4，•=•=0，•+•=4，则（+）•的值为（）A．2 B．C．4 D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5.00分）已知幂函数y=f（x）的图象经过点（2，4），则这个函数的解析式是．14．（5.00分）已知cos（﹣α）=，则cos（+α）=．15．（5.00分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+3）=﹣f（x），则f（9）=．16．（5.00分）有下列叙述：①若=（1，k），=（﹣2，6），∥，则k=﹣3；②终边在y轴上的角的集合是{α|α=，k∈Z}；③已知f（x）是定义在R上的不恒为0的函数，若a，b是任意的实数，都有f （a•b）=f（a）+f（b），则y=f（x）的偶函数；④函数y=sin（x﹣）在[0，π]上是减函数；⑤已知A和B是单位圆O上的两点，∠AOB=π，点C在劣弧上，若=x+y，其中，x，y∈R，则x+y的最大值是2；以上叙述正确的序号是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12.00分）（Ⅰ）计算：﹣（）0+25；（Ⅱ）已知函数f（x）=，g（x）=x2+2，求f（x）的定义域和f（g（2））的值．18．（12.00分）已知向量=3﹣3，=4+，其中=（1，0），=（0，1），求：（Ⅰ）•和|+|的值；（Ⅱ）与夹角的余弦值．19．（12.00分）函数是定义在（﹣1，1）上的奇函数．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）用单调性定义证明函数f（x）在（0，1）上是增函数．20．（12.00分）函数f（x）=Asin（ωx﹣）+1（A＞0，ω＞0）的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为．（Ⅰ）求A，ω；（Ⅱ）设α∈（0，），f（）=2．求α的值．21．（12.00分）已知y=f（x）为二次函数，若y=f（x）在x=2处取得最小值﹣4，且y=f（x）的图象经过原点，（1）求f（x）的表达式；（2）求函数在区间上的最大值和最小值．请在22,23,24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答请写清题号.[选做题]22．（10.00分）某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质的20%．（Ⅰ）写出水中杂质含量y与过滤次数x之间的函数关系式；（Ⅱ）要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需要过滤几次？（参考数据lg2=0.3010）[选修题]23．如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin（ωx+φ）+b．（1）求这一天的最大温差；（2）写出这段曲线的函数解析式．[选修题]24．如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上，写出这个梯形的周长y 和腰长x之间的函数解析式，并求出它的定义域．2015-2016学年四川省南充市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5.00分）已知集合A={1，2，3}，B={2，3，5}，则A∩B=（）A．{1，5}B．{1，2，5}C．{2，3}D．{1，2，3，5}【解答】解：∵A={1，2，3}，B={2，3，5}，∴A∩B={2，3}，故选：C．2．（5.00分）计算：lg2+lg5=（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【解答】解：lg2+lg5=lg10=1．故选：D．3．（5.00分）已知函数f（x）=+，则f（﹣3）=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【解答】解：∵f（x）=+，∴f（﹣3）==﹣1．故选：B．4．（5.00分）设f（x）=3x+3x﹣8，用二分法求方程3x+3x﹣8=0在x∈（1，2）内近似解的过程中得f（1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则方程的根落在区间（）A．（1，1.25）B．（1.25，1.5）C．（1.5，2）D．不能确定【解答】解析：∵f（1.5）•f（1.25）＜0，由零点存在定理，得，∴方程的根落在区间（1.25，1.5）．故选：B．5．（5.00分）已知角α的终边经过点P（﹣3，﹣4），则sinα=（）A．﹣ B．﹣ C．D．【解答】解：∵角α的终边经过点P（﹣3，﹣4），∴x=﹣3，y=﹣4，r==5，∴sinα==﹣．故选：A．6．（5.00分）已知向量=（2，1），=（﹣3，4），则+=（）A．（﹣1，5）B．（1，5） C．（﹣1，﹣3）D．（1，3）【解答】解：向量=（2，1），=（﹣3，4），则+=（﹣1，5）．故选：A．7．（5.00分）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．y=cosx B．y=sinx C．y=lnx D．y=x2+1【解答】解：对于A，定义域为R，并且cos（﹣x）=cosx，是偶函数并且有无数个零点；对于B，sin（﹣x）=﹣sinx，是奇函数，由无数个零点；对于C，定义域为（0，+∞），所以是非奇非偶的函数，有一个零点；对于D，定义域为R，为偶函数，都是没有零点；故选：A．8．（5.00分）要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需要将函数y=sin4x的图象（）个单位．A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移【解答】解：因为函数y=sin（4x﹣）=sin[4（x﹣）]，要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象向右平移单位．故选：B．9．（5.00分）已知tanα=2，则=（）A．2 B．3 C．4 D．6【解答】解：∵tanα=2，∴===4．故选：C．10．（5.00分）设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=（）A．﹣ B．﹣ C．D．【解答】解：∵f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），∴=f（﹣）=﹣f（）=﹣2×（1﹣）=﹣，故选：A．11．（5.00分）已知函数f（x）=，若f[f（0）]=4a，则实数a等于（）A．B．C．2 D．9【解答】解：由题知f（0）=2，f（2）=4+2a，由4+2a=4a，解得a=2．故选：C．12．（5.00分）如图，在四边形ABCD中，++=4，•=•=0，•+•=4，则（+）•的值为（）A．2 B．C．4 D．【解答】解：∵++=4，•+•=4，∴+=2，，由已知•=•=0，知⊥⊥，∴∥，作如图辅助线∴=+=，即三角形AEC是等腰直角三角形，∠CAE=45°|，∴（+）•=||cos∠CAE=2×=4，故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5.00分）已知幂函数y=f（x）的图象经过点（2，4），则这个函数的解析式是y=x2．【解答】解：设幂函数y=f（x）=xα，α∈R，其图象经过点（2，4），所以2α=4，解得α=2；所以这个函数的解析式是y=x2．故答案为：y=x2．14．（5.00分）已知cos（﹣α）=，则cos（+α）=﹣．【解答】解：∵cos（﹣α）=，∴cos（+α）=cos[π﹣（﹣α）]=﹣cos （﹣α）=﹣，故答案为：﹣．15．（5.00分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+3）=﹣f（x），则f（9）=0．【解答】解：∵f（x+3）=﹣f（x），∴f（x+6）=﹣f（x+3）=f（x），则函数的周期是6，则f（9）=f（9﹣6）=f（3）=﹣f（0），∵函数f（x）为奇函数，∴f（0）=0，则f（9）=﹣f（0）=0，故答案为：0．16．（5.00分）有下列叙述：①若=（1，k），=（﹣2，6），∥，则k=﹣3；②终边在y轴上的角的集合是{α|α=，k∈Z}；③已知f（x）是定义在R上的不恒为0的函数，若a，b是任意的实数，都有f （a•b）=f（a）+f（b），则y=f（x）的偶函数；④函数y=sin（x﹣）在[0，π]上是减函数；⑤已知A和B是单位圆O上的两点，∠AOB=π，点C在劣弧上，若=x+y，其中，x，y∈R，则x+y的最大值是2；以上叙述正确的序号是①③⑤．【解答】解：①若=（1，k），=（﹣2，6），∥，则﹣2k﹣6=0得k=﹣3，故①正确；②终边在y轴上的角的集合是{α|α=kπ+，k∈Z}，故②错误；③令a=2，b=1，则f（2）=f（2）+f（1），解得f（1）=0，令a=﹣1，b=﹣1，则f（1）=f（﹣1）+f（﹣1）=2f（﹣1）=0，则f（﹣1）=0，令b=﹣1，代入上式，∴f（﹣a）=f（﹣1）+f（a）=f（a），∴f（x）是偶函数．故③正确；④函数y=sin（x﹣）=﹣cosx在[0，π]上是增函数，故④错误；⑤由已知条件知：==x2﹣xy+y2=（x+y）2﹣3xy；∴（x+y）2﹣1=3xy，根据向量加法的平行四边形法则，容易判断出x，y＞0，∴，∴；∴，∴（x+y）2≤4，∴x+y≤2，即x+y的最大值为2．故⑤正确，故答案为：①③⑤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12.00分）（Ⅰ）计算：﹣（）0+25；（Ⅱ）已知函数f（x）=，g（x）=x2+2，求f（x）的定义域和f（g（2））的值．【解答】解：（Ⅰ）﹣（）0+25=﹣4﹣1+5=0；（Ⅱ）∵函数f（x）=，∴x+1≠0，解得x≠﹣1，∴函数f（x）的定义域为{x|x≠﹣1}；又g（x）=x2+2，∴g（2）=22+2=6，∴f（g（2））=f（6）==．18．（12.00分）已知向量=3﹣3，=4+，其中=（1，0），=（0，1），求：（Ⅰ）•和|+|的值；（Ⅱ）与夹角的余弦值．【解答】解：∵；∴；（Ⅰ）；；∴；（Ⅱ），；∴=．19．（12.00分）函数是定义在（﹣1，1）上的奇函数．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）用单调性定义证明函数f（x）在（0，1）上是增函数．【解答】解：（I）∵函数f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，f（﹣x）=﹣f （x）…（2分）故，所以b=0，…（4分）所以．…（5分）（II）设0＜x1＜x2＜1，△x=x2﹣x1＞0，…（6分）则△y=f（x2）﹣f（x1）==…（8分）∵0＜x1＜x2＜1，∴△x=x2﹣x1＞0，1﹣x1x2＞0…（10分）∴而，∴△y=f（x2）﹣f（x1）＞0…（11分）∴f（x）在（0，1）上是增函数．…（12分）20．（12.00分）函数f（x）=Asin（ωx﹣）+1（A＞0，ω＞0）的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为．（Ⅰ）求A，ω；（Ⅱ）设α∈（0，），f（）=2．求α的值．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）的最大值为3，∴A+1=3，即A=2，∵函数f（x）的图象相邻两条对称轴之间的距离为，则函数的周期为T=π，即=π，得ω=2，则A=2，ω=2．（Ⅱ）∵A=2，ω=2．∴f（x）=2sin（2x﹣）+1则f（）=2sin（α﹣）+1=2，即sin（α﹣）=，∵α∈（0，），∴﹣＜α﹣＜，∴α﹣=，即α=．21．（12.00分）已知y=f（x）为二次函数，若y=f（x）在x=2处取得最小值﹣4，且y=f（x）的图象经过原点，（1）求f（x）的表达式；（2）求函数在区间上的最大值和最小值．【解答】解：（1）设二次函数f（x）=a（x﹣2）2﹣4，∵函数图象过原点，∴f（0）=0，解得a=1，∴f（x）=（x﹣2）2﹣4．（2）∵x∈，∴log，设t=log，则t∈[﹣1，3]，则g（t）=（t﹣2）2﹣4．且t∈[﹣1，3]，∴当t=2即x=时，函数y有最小值﹣4，当t=﹣1，即x=2时，函数y有最大值5．请在22,23,24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答请写清题号.[选做题]22．（10.00分）某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质的20%．（Ⅰ）写出水中杂质含量y与过滤次数x之间的函数关系式；（Ⅱ）要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需要过滤几次？（参考数据lg2=0.3010）【解答】解：（Ⅰ）设刚开始水中杂质含量为1，第1次过滤后，y=1﹣20%，第2次过滤后，y=（1﹣20%）（1﹣20%）=（1﹣20%）2，第3次过滤后，y=（1﹣20%）2（1﹣20%）=（1﹣20%）3，…第x次过滤后，y=（1﹣20%）x=0.8x，．∴水中杂质含量y与过滤次数x之间的函数关系式；y=（1﹣20%）x=0.8x，（x≥1且x∈N）．（Ⅱ）由题意列式0.8x＜5%，两边取对数得x＞log0.80.05===≈13.4．故x≥14．∴至少需要过滤14次．[选修题]23．如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin（ωx+φ）+b．（1）求这一天的最大温差；（2）写出这段曲线的函数解析式．【解答】解：（1）由图示，这段时间的最大温差是30℃﹣10℃=20℃，（2）图中从6时到14时的图象是函数y=Asin（ωx+φ）+b的半个周期，∴=14﹣6，解得ω=，由图示，A=（30﹣10）=10，B=（10+30）=20，这时，y=10sin（x+φ）+20，将x=6，y=10代入上式，可取φ=，综上，所求的解析式为y=10sin（x+）+20，x∈[6，14]．[选修题]24．如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上，写出这个梯形的周长y 和腰长x之间的函数解析式，并求出它的定义域．【解答】解：如图，作DE⊥AB于E，连接BD．因为AB为直径，所以∠ADB=90°．在Rt△ADB与Rt△AED中，∠ADB=90°=∠AED，∠BAD=∠DAE，所以Rt△ADB∽Rt△AED．所以，即．又AD=x，AB=4，所以．所以CD=AB﹣2AE=4﹣，于是y=AB+BC+CD+AD=4+x+4﹣+x=﹣+2x+8由于AD＞0，AE＞0，CD＞0，所以x＞0，，4﹣＞0，解得0＜x，故所求的函数为y=﹣+2x+8（0＜x）．赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：AB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DF45°DEa +b-a45°A1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠FAE ＝45°E-aaBE挖掘图形特征：x-aa-a运用举例：1．正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.（1）求证：EF=FM（2）当AE=1时，求EF的长．DE2.如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°．以D为顶点3．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，BC ＝CD ＝2AD ＝4，E 为线段CD 上一点，∠ABE ＝45°.（1）求线段AB 的长；（2）动点P 从B 出发，沿射线．．BE 运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t ，则t 为何值时，△ABP 为等腰三角形； （3）求AE －CE 的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．F。
2015年四川省南充市高中一年级下学期学业水平评估考试数学
广志联考2015年南充市高中一年级下期学业水平评估考试数学参考答案评分意见 ''二、填空题（）11、50231 12、21 13、10 14、外心 15、①③④ 三、解题题（本大题共6个小题，共75分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16、解：（1）、)120tan 3(10cos 70tan -20cos 20cos 20sin 310cos 70cos 70sin -= 20cos )3020sin(210cos 70cos 70sin -= 20sin )10sin 2(10cos -=1-= 6' （2）、xx x tan 1sin 22sin 2-+x x x x x x sin cos )sin (cos cos sin 2-+⋅=x x x tan 1)tan 1(2sin -+=)4tan(2sin π+⋅=x x πππππ2435,471217<+<∴<<x x 又54)4sin(,53)4cos(=+∴=+x x ππ 34)4tan(=+∴x π 257)4(cos 21)22cos(2sin 2=+-=+-=x x x ππ )4tan(2sin π+⋅∴x x =7528x x x tan 1sin 22sin 2-+∴=7528 ……21' 17、解：(1)、)(4,4-=A ，)()(∞+∞-=,62, B ,()2,4-==∴B A I ……5'（2）、由题意知⎩⎨⎧>->0)4(0)2(f f 得⎩⎨⎧>++>+-018160144a a 45817<<-∴a ……21' 18、解：设三边长分别为1,,1+-a a a ，对应的角为C B A ,, 由题意知A C 2=，由正弦定理得A a C a sin 1sin 1-=+ )1(21c o s -+=∴a a A ……6' 又)1(24)1(2)1()1(cos 222++=+--++=a a a a a a a A 所以)1(24)1(21++=-+a a a a ……01'5=∴a 所以三边分别为4,5,6 ……6'19、解：（1）设轮船每小时花费的燃料费为1W ,由题意得21kv W =，把96,101==W v 代人得96.0=k . ……4'（2）、由题意得150≤<v ，且vv v W 150********.02⨯+⋅= 2400144000021500096=≥+=vv ， 其中当且仅当v v 1500096=时等号成立， 解得155.129615000<==v ， 故该轮船航行100海里的总费用W 的最小值为2400元 ……21'20、（1）、证：EF D A EF A D A F A D A E A D A ⊥'∴'⊥'∴'⊥''⊥'面, ……5'(2)、解：2,1,122=+=='='BF BE EF F A E A222EF F A E A ='+'∴ F A E A '⊥'∴313121='⨯'⨯'⨯⨯=-'D A F A E A V DEF A ……31' 21、（1）、证：21221111=++=++=++n n n n n n a a a a b b 又2111=+=a b ，所以{}n b 是等比数列，其中公比为2首项为2； ……4'（2）、由（1）得n n b 2=，1221-=∴==+∴n n n n n a b a ……8'（3）、由n n a n c ⋅=得n n c n n -⋅=2n n c c c T +⋅⋅⋅++=∴21n n n -⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯=222212121)21(2222121n n n +⋅⋅⋅++-⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=令⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=n n n S 2222121①⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=+132222212n n n S ②由①—②得122222+⨯-+⋅⋅⋅++=-n n n n S 1221)21(2+⨯---=n n n 22)1(1-⋅-=+n n 所以22)1(1+⋅-=+n n n S 所以22)1(2)1(1++-⋅-=+n n n T n n ……41'。
【精品】2015年四川省南充市高一上学期期末数学试卷
2014-2015学年四川省南充市高一（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5.00分）sin的值为（）A．B．C．﹣D．﹣2．（5.00分）集合A={1，a，3}，B={3，a2，5，6}，若A∪B={1，2，3，4，5，6}则a的值为（）A．4 B．±2 C．2 D．﹣23．（5.00分）函数f（x）=+﹣1的定义域为（）A．（﹣∞，1]B．[﹣3，+∞）C．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）D．[﹣3，1]4．（5.00分）已知函数f（x）=，求f（0）的值（）A．﹣4 B．0 C．4 D．25．（5.00分）已知函数f（x）是偶函数，而且在上[1，6]是减函数，且有最小值为2，那么在[﹣6，﹣1]上说法正确的是（）A．增函数且有最小值为2 B．增函数且有最大值为2C．减函数且有最小值为2 D．减函数且有最大值为26．（5.00分）函数f（x）=的图象大致为（）A．B．C．D．7．（5.00分）设f（x）=1nx+2x﹣6，用二分法求方程lnx+2x﹣6=0在区间（2，3）内近似解的过程中，得f（2.5）＜0，f（3）＞0，f（2.75）＞0，f（2.625）＞0，则方程的根落在区间（）A．（2.5，3）B．（2.5，2.75）C．（2.625，2.75）D．（2.5，2.625）8．（5.00分）为了得到y=cos（2x+）函数的图象，只需将余弦函数曲线上所有的点（）A．先向右平移个长度单位，再把横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变B．先向左平移个长度单位，再把横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变C．先向左平移个长度单位，再把横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变D．先向右平移个长度单位，再把横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变9．（5.00分）已知||=1，||=6，•（﹣）=2，则与的夹角是（）A．B．C．D．10．（5.00分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）=f（x+2），当x∈[3，4]时，f（x）=x﹣2，则（）A．f（sin）＜f（cos）B．f（sin）＞f（cos）C．f（sin1）＜f（cos1）D．f（sin）＞f（cos）二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5.00分）不等式（）2x﹣7＞（）4x﹣1中的x取值范围为．12．（5.00分）已知幂函数f（x）过点（2，），则f（4）的值为．13．（5.00分）函数y=log2（x2﹣2x）的单调递减区间是．14．（5.00分）函数y=2sin（2x﹣）的最小正周期为，其单调递增区间为．15．（5.00分）已知D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，且=，=，=，则①=﹣，②=+，③=﹣+，④++=中正确的等式的个数为．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12.00分）化简下列各式：（1）4a b÷（﹣a b）•，（a，b均为正数）；（2）．17．（12.00分）如图，已知△ABC，A（7，8），B（3，5），C（4，3），M，N，D 分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于F．（1）求：．（2）求∠BAC的余弦值．18．（12.00分）已知函数f（x）=x+，且f（1）=2；（1）判断f（x）的奇偶性；（2）判断f（x）在（1，+∞）上的增减性，并证明．19．（12.00分）某企业一天中不同时刻用电量y（单位：万千瓦时）关于时间t （0≤t≤24，单位：小时）的函数y=f（t）近似地满足f（t）=Asin（ωt+φ）+B，（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），如图是该企业一天中在0点到12点时间段用电量y 与时间t的大致图象．（1）求这一天0～12时用电量的最大差；（2）写出这段曲线的函数解析式．20．（13.00分）设f（x）=a，g（x）=a2，其中a＞0，且a≠1，确定x为何值时，有：（1）f（x）=g（x）；（2）f（x）＞g（x）．21．（14.00分）已知=（1，x），=（x+2tanθ，y+1），且∥，其中θ∈（﹣，）．（1）将y表示为x的函数，并求出函数的表达式y=f（x）（2）若y=f（x）在x∈[﹣1，]上为单调函数，求θ的取值范围；（3）当θ∈[﹣，]时，y=f（x）在[﹣1，]上的最小值为g（θ），求g（θ）的表达式．2014-2015学年四川省南充市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5.00分）sin的值为（）A．B．C．﹣D．﹣【解答】解：由特殊角的正弦函数值可得：sin=．故选：A．2．（5.00分）集合A={1，a，3}，B={3，a2，5，6}，若A∪B={1，2，3，4，5，6}则a的值为（）A．4 B．±2 C．2 D．﹣2【解答】解：∵集合A={1，a，3}，B={3，a2，5，6}，A∪B={1，2，3，4，5，6}，∴，或，解得a=2．故选：C．3．（5.00分）函数f（x）=+﹣1的定义域为（）A．（﹣∞，1]B．[﹣3，+∞）C．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）D．[﹣3，1]【解答】解：∵函数f（x）=+﹣1，∴，解得﹣3≤x≤1；∴f（x）的定义域为[﹣3，1]．故选：D．4．（5.00分）已知函数f（x）=，求f（0）的值（）A．﹣4 B．0 C．4 D．2【解答】解：函数f（x）=，f（0）=f（0+2）=f（2）=22﹣4=0．故选：B．5．（5.00分）已知函数f（x）是偶函数，而且在上[1，6]是减函数，且有最小值为2，那么在[﹣6，﹣1]上说法正确的是（）A．增函数且有最小值为2 B．增函数且有最大值为2C．减函数且有最小值为2 D．减函数且有最大值为2【解答】解：∵偶函数f（x）在区间[1，6]上是减函数，∴根据偶函数的性质知f（x）在区间[﹣6，﹣1]上是增函数，又偶函数f（x）在区间[1，6]上有最小值，即f（x）min=f（6）=2，则f（x）在区间[﹣6，﹣1]上的最小值f（x）min=f（﹣6）=﹣f（6）=﹣2，故选：A．6．（5.00分）函数f（x）=的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）=，可知x＜0，函数是二次函数，开口向上，x≥0时，指数函数是减函数，所以函数的图形为：C．故选：C．7．（5.00分）设f（x）=1nx+2x﹣6，用二分法求方程lnx+2x﹣6=0在区间（2，3）内近似解的过程中，得f（2.5）＜0，f（3）＞0，f（2.75）＞0，f（2.625）＞0，则方程的根落在区间（）A．（2.5，3）B．（2.5，2.75）C．（2.625，2.75）D．（2.5，2.625）【解答】解：连续函数在区间（a，b）上有零点，必有f（a）f（b）＜0．f（2.5）＜0，f（3）＞0，f（2.75）＞0，f（2.625）＞0，则方程的根落在区间：（2.5，2.625）．故选：D．8．（5.00分）为了得到y=cos（2x+）函数的图象，只需将余弦函数曲线上所有的点（）A．先向右平移个长度单位，再把横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变B．先向左平移个长度单位，再把横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变C．先向左平移个长度单位，再把横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变D．先向右平移个长度单位，再把横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变【解答】解：将余弦函数曲线上所有的点先向左平移个长度单位，可得函数y=cos（x+）的图象，再把所得图象的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，可得y=cos（2x+）函数的图象，故选：B．9．（5.00分）已知||=1，||=6，•（﹣）=2，则与的夹角是（）A．B．C．D．【解答】解：设与的夹角是θ，则由题意可得=1×6×cosθ=6cosθ，再根据•（﹣）=﹣=6cosθ﹣1=2，∴cosθ=，∴θ=，故选：C．10．（5.00分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）=f（x+2），当x∈[3，4]时，f（x）=x﹣2，则（）A．f（sin）＜f（cos）B．f（sin）＞f（cos）C．f（sin1）＜f（cos1）D．f（sin）＞f（cos）【解答】解：x∈[3，4]时，f（x）=x﹣2，故偶函数f（x）在[3，4]上是增函数，又定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）=f（x+2），故函数的周期是2所以偶函数f（x）在（﹣1，0）上是增函数，所以f（x）在（0，1）上是减函数，观察四个选项A中sin＜cos，故A不对；B选项中sin＞cos，故B不对；C选项中sin1＞cos1，故C对；D亦不对．综上，选项C是正确的．故选：C．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5.00分）不等式（）2x﹣7＞（）4x﹣1中的x取值范围为（﹣3，+∞）．【解答】解：不等式（）2x﹣7＞（）4x﹣1即为2x﹣7＜4x﹣1，即2x＞﹣6，解得x＞﹣3．则解集为（﹣3，+∞）．故答案为：（﹣3，+∞）．12．（5.00分）已知幂函数f（x）过点（2，），则f（4）的值为2．【解答】解：设幂函数f（x）=x a，∵f（x）过点（2，），∴2a=，a=∴f（4）=4=2，故答案为：2．13．（5.00分）函数y=log2（x2﹣2x）的单调递减区间是（﹣∞，0）．【解答】解：令t=x2﹣2x，则函数y=log2t，本题即求当t＞0时，函数t的减区间，由t＞0，求得x＜0，或x＞2，即函数的定义域为（﹣∞，0）∪（2，+∞）．再利用二次函数的性质可得当t＞0时，函数t的减区间为（﹣∞，0），故答案为：（﹣∞，0）．14．（5.00分）函数y=2sin（2x﹣）的最小正周期为π，其单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈z．【解答】解：函数y=2sin（2x﹣）的最小正周期为=π，令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈z，故答案为：π；[kπ﹣，kπ+]，k∈z．15．（5.00分）已知D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，且=，=，=，则①=﹣，②=+，③=﹣+，④++=中正确的等式的个数为3．【解答】解：如图所示，对于①，==（+）=+=+，∴①错误；对于②，=+=+=+，∴②正确；对于③，=（+）=+=﹣+，∴③正确；对于④，++=（+）+（+）+（+）=（+++++）=，∴④正确；综上，正确的等式个数是3．故答案为：3．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12.00分）化简下列各式：（1）4a b÷（﹣a b）•，（a，b均为正数）；（2）．【解答】解：（1）4a b÷（﹣a b）•，（a，b均为正数）；=﹣6a b•=﹣6a．（2）==﹣tanα17．（12.00分）如图，已知△ABC，A（7，8），B（3，5），C（4，3），M，N，D 分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于F．（1）求：．（2）求∠BAC的余弦值．【解答】解：（1）∵A（7，8），B（3，5），C（4，3），∴=（﹣4，﹣3），=（﹣3，﹣5），∵D是BC的中点，∴=（+）=（，﹣4），∵M，N分别是AB，AC的中点，∴F是AD的中点，∴=（，2）．（2）∵=（﹣4，﹣3），=（﹣3，﹣5），∴cos∠BAC===．18．（12.00分）已知函数f（x）=x+，且f（1）=2；（1）判断f（x）的奇偶性；（2）判断f（x）在（1，+∞）上的增减性，并证明．【解答】解：（1）f（x）=x+，且f（1）=2，则1+m=2，解得m=1，f（x）=x+，定义域为{x|x≠0，x∈R}，关于原点对称，f（﹣x）=﹣x﹣=﹣（x+）=﹣f（x），则f（x）为奇函数；（2）f（x）在（1，+∞）上递增，理由如下：设1＜m＜n，则f（m）﹣f（n）=m+﹣（n+）=（m﹣n）+=（m﹣n）•由于1＜m＜n，则m﹣n＜0，mn＞1，即mn﹣1＞0，即有f（m）﹣f（n）＜0，即有f（m）＜f（n）．则f（x）在（1，+∞）上递增．19．（12.00分）某企业一天中不同时刻用电量y（单位：万千瓦时）关于时间t （0≤t≤24，单位：小时）的函数y=f（t）近似地满足f（t）=Asin（ωt+φ）+B，（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），如图是该企业一天中在0点到12点时间段用电量y 与时间t的大致图象．（1）求这一天0～12时用电量的最大差；（2）写出这段曲线的函数解析式．【解答】解：（1）由图象可得用电量的最大差为1万千瓦时．（2）由图象可得T=12，，∵A===，B===2，∴y=0.5sin（φ）+2，又函数y=0.5sin（φ）+2过点（0，2.5），代入可解得：φ=2kπ，又∵0＜φ＜π，∴φ=，综上可得：A=，，φ=，B=，即有：f（t）=sin（+）+2，20．（13.00分）设f（x）=a，g（x）=a2，其中a＞0，且a≠1，确定x为何值时，有：（1）f（x）=g（x）；（2）f（x）＞g（x）．【解答】解：（1）由f（x）=g（x），则=a2，即log2x=2，解得x=4．则有x=4时，f（x）=g（x）；（2）当a＞1时，f（x）＞g（x）即＞a2，则log2x＞2，解得x＞4；当0＜a＜1时，f（x）＞g（x）即＞a2，则log2x＜2，解得0＜x＜4．综上可得，a＞1时，x＞4时，f（x）＞g（x）；0＜a＜1时，0＜x＜4时，f（x）＞g（x）．21．（14.00分）已知=（1，x），=（x+2tanθ，y+1），且∥，其中θ∈（﹣，）．（1）将y表示为x的函数，并求出函数的表达式y=f（x）（2）若y=f（x）在x∈[﹣1，]上为单调函数，求θ的取值范围；（3）当θ∈[﹣，]时，y=f（x）在[﹣1，]上的最小值为g（θ），求g（θ）的表达式．【解答】解：（1）因为=（1，x），=（x+2tanθ，y+1），且∥，其中θ∈（﹣，）．所以y+1=x（x+2tanθ），即y=x2+2tanθx﹣1；（2）由（1）可知，y=f（x）在x∈[﹣1，]上为单调函数，即y=x2+2tanθx﹣1在x∈[﹣1，]上为单调函数；所以﹣tanθ≥或者﹣tanθ≤﹣1，θ∈（﹣，），所以θ∈（）或者θ∈（）．（3）当θ∈[﹣，]时，y=f（x）在[﹣1，]上的最小值为g（θ），则﹣tanθ∈（），所以当对称轴x=﹣tanθ＜﹣1时，函数y=x 2+2tanθx ﹣1在x ∈[﹣1，]上为单调增函数，所以最小值为g （θ）=f （﹣1）=﹣2tanθ；当x=﹣tanθ∈[﹣1，]时，g （θ）=f （﹣tanθ）=﹣tan 2θ﹣1，所以g （θ）=．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】 几何最值模型： 图形特征：P ABl运用举例：1. △ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为AP 的中点，则MF 的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为AB 的中点，F 为AC 上一动点，则EF +BF 的最小值为_________。
2015年四川省南充市八年级上学期期中数学试卷与解析答案
2014-2015学年四川省南充市八年级（上）期中数学试卷一．精心选一选1．（3分）的平方根是（）A．2 B．±2 C．4 D．±42．（3分）在实数﹣，0，，π，，，0.1010010001…中，无理数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（3分）下列图形中，是轴对称图形并且对称轴条数最多的是（）A．B．C．D．4．（3分）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B的度数为（）A．30°B．50°C．90°D．100°5．（3分）如果实数x、y满足y=，那么的值是（）A．0 B．1 C．2 D．﹣26．（3分）和三角形三个顶点的距离相等的点是（）A．三条角平分线的交点B．三边中线的交点C．三边上高所在直线的交点D．三边的垂直平分线的交点7．（3分）如图，已知∠1=∠2，AC=AD，增加下列条件之一：①AB=AE；②BC=ED；③∠C=∠D；④∠B=∠E．其中能使△ABC≌△AED的条件有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．（3分）如图，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴的原点为旋转中心，将过原点的对角线顺时针旋转，使对角线的另一端点落在数轴正半轴的点A处，则点A表示的数是（）A．B．1.4 C．D．9．（3分）如图点A和B关于直线y=1对称，已知点A坐标是（4，4），则点B 的坐标是（）A．（4，﹣4）B．（4，﹣2）C．（﹣2，4）D．（﹣4，2）10．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD=AE，则图中全等三角形的对数是（）A．3 B．2 C．1 D．0二．耐心填一填（每题3分，共18分，直接写出结果）11．（3分）计算|﹣|+2的结果是．12．（3分）①25x2=36，则x=；②若，则y=．13．（3分）点P关于x轴对称的点是（3，﹣4），则点P关于y轴对称的点的坐标是．14．（3分）如图，∠BAC=∠ABD，请你添加一个条件：，使OC=OD（只添一个即可）．15．（3分）如图，在△ABC 中，AD=DE，AB=BE，∠A=110°，则∠DEC=．16．（3分）如图，在△ABD和△ACE中，有下列四个论断：①AB=AC；②AD=AE；③∠B=∠C；④BD=CE．请以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题．（用序号ⓧⓧⓧ⇒ⓧ的形式写出）三．计算题17．（6分）解方程：25（x2﹣1）=24．18．（7分）计算：（）2﹣+4×+﹣|﹣3|19．（7分）如图，AB=AC，AD=AE．求证：∠B=∠C．四．解答题（解答要有理由和逻辑性，本大题有3个小题，每题8分，共24分）20．（8分）△ABC中，AD为角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AB=10cm，AC=8cm，△ABC的面积为54cm2，求DE的长．21．（8分）某居民小区搞绿化，要在一块长方形空地上建花坛，要求设计的图案由等腰三角形和正方形组成（个数不限），并且使整个长方形场地成轴对称图形，你有好的设计方案吗？请在如图的长方形中画出你的设计方案．22．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．（1）求出△ABC的面积．（2）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1．（3）写出点A1，B1，C1的坐标．五．解答题23．（9分）如图，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A=120°，∠C=60°，AB=CD=4cm，求四边形ABCD的周长．24．（9分）在你身边45°角的三角板ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，O为BC的中点，（1）试问点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离有何关系，说明理由．（2）如果将你身边另一块三角板的直角顶点放在O点上，两条直角边分别与AC、AB相交于N、M，请你探索说明△OMN的形状，并证明你的结论．25．（10分）如图，△ABC为等边三角形，D、E是BC、AC边上的点，且BD=CE，线段AD、BE交于F，（1）求∠AFE的度数；（2）若作EG⊥AD，G为垂足，且FG=3，BF=1，求AD的长；（3）如果D、E分别在BC、CA的延长线上，且仍有BD=CE，请探究BE、AD所在直线夹的锐角的度数是否是定值，请画图说明理由．2014-2015学年四川省南充市八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．精心选一选1．（3分）的平方根是（）A．2 B．±2 C．4 D．±4【解答】解：∵=4，4的平方根为±2，∴的平方根是±2．故选：B．2．（3分）在实数﹣，0，，π，，，0.1010010001…中，无理数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：，π，0.1010010001…是无理数．故选：C．3．（3分）下列图形中，是轴对称图形并且对称轴条数最多的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是轴对称图形，有一条对称轴；B、是轴对称图形，有四条对称轴；C、是轴对称图形，有八条对称轴；D、是轴对称图形，有五条对称轴．故选：C．4．（3分）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B的度数为（）A．30°B．50°C．90°D．100°【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∴∠A=∠A′=50°，∠C=∠C′=30°；∴∠B=180°﹣80°=100°．故选：D．5．（3分）如果实数x、y满足y=，那么的值是（）A．0 B．1 C．2 D．﹣2【解答】解：根据题意，得x﹣1≥0，1﹣x≥0，∴x=1．把x=1代入已知等式，得y=1．∴=1+1=2．故选：C．6．（3分）和三角形三个顶点的距离相等的点是（）A．三条角平分线的交点B．三边中线的交点C．三边上高所在直线的交点D．三边的垂直平分线的交点【解答】解：根据线段垂直平分线的性质可得：三角形三个顶点的距离相等的点是三边的垂直平分线的交点．故选：D．7．（3分）如图，已知∠1=∠2，AC=AD，增加下列条件之一：①AB=AE；②BC=ED；③∠C=∠D；④∠B=∠E．其中能使△ABC≌△AED的条件有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：∵1=∠2，∴∠CAB=∠DAE，∵AC=AD，∴当AB=AE时，可根据“SAS”判断△ABC≌△AED；当BC=ED时，不能判断△ABC≌△AED；当∠C=∠D时，可根据“ASA”判断△ABC≌△AED；当∠B=∠E时，可根据“AAS”判断△ABC≌△AED．故选：C．8．（3分）如图，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴的原点为旋转中心，将过原点的对角线顺时针旋转，使对角线的另一端点落在数轴正半轴的点A处，则点A表示的数是（）A．B．1.4 C．D．【解答】解：数轴上正方形的对角线长为：=，由图中可知0和A之间的距离为．∴点A表示的数是．故选：D．9．（3分）如图点A和B关于直线y=1对称，已知点A坐标是（4，4），则点B 的坐标是（）A．（4，﹣4）B．（4，﹣2）C．（﹣2，4）D．（﹣4，2）【解答】解：根据题意，A和B关于直线y=1对称，则A、B的连线与y=1垂直，且两点到直线y=1的距离相等；由A、B的连线与y=1垂直，可得A、B的横坐标相等，又有两点到直线y=1的距离相等，可得y A﹣1=1﹣y B，解可得y B=﹣2；故B点的坐标为（4，﹣2）；答案为B．10．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD=AE，则图中全等三角形的对数是（）A．3 B．2 C．1 D．0【解答】解：图中全等三角形有△ADB≌△AEC，△AEB≌△ADC，理由是：∵AB=AC，AD=AE，∴∠B=∠C，∠ADE=∠AEB，∵∠ADE=∠B+∠BAD，∠AED=∠C+∠CAE，∴∠BAD=∠CAE，在△ADB和△AEC中，，∴△ADB≌△AEC（SAS），在△AEB和△ADC中，，∴△AEB≌△ADC（AAS），即共2个．故选：B．二．耐心填一填（每题3分，共18分，直接写出结果）11．（3分）计算|﹣|+2的结果是+．【解答】解：原式=﹣+2=+．12．（3分）①25x2=36，则x=±；②若，则y=﹣8．【解答】解：①∵25x2=36∴x=；②∵，∴y=﹣8．故答案为：①；②﹣8．13．（3分）点P关于x轴对称的点是（3，﹣4），则点P关于y轴对称的点的坐标是（﹣3，4）．【解答】解：∵点P关于x轴对称的点是（3，﹣4），则P点的坐标是（3，4）．∴点P关于y轴对称的点的坐标是（﹣3，4）14．（3分）如图，∠BAC=∠ABD，请你添加一个条件：∠C=∠D或AC=BD，使OC=OD（只添一个即可）．【解答】解：∵∠BAC=∠ABD，∴OA=OB，又有∠AOD=∠BOC；∴当∠C=∠D时，△AOD≌△BOC；∴OC=OD．故填∠C=∠D或AC=BD．15．（3分）如图，在△ABC 中，AD=DE，AB=BE，∠A=110°，则∠DEC=70°．【解答】解：在△ABD和△EBD中，，∴△ABD≌△EBD，∴∠DEB=∠A=110°，∴∠DEC=70°．故答案为：70°．16．（3分）如图，在△ABD和△ACE中，有下列四个论断：①AB=AC；②AD=AE；③∠B=∠C；④BD=CE．请以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题①③④⇒②（答案不唯一）．（用序号ⓧⓧⓧ⇒ⓧ的形式写出）【解答】解：由①②④⇒③或①③④⇒②；先证前一种：∵AB=AC，AD=AE，BD=CE，∴△ABD≌△ACE（SSS）；∴∠B=∠C；再证第二种：∵AB=AC，∠B=∠C，BD=CE，∴△ABD≌△ACE（SAS）；∴AD=AE．故答案为：①③④⇒②（答案不唯一）．三．计算题17．（6分）解方程：25（x2﹣1）=24．【解答】解：去括号得25x2﹣25=24，移项、合并同类项得：25x2=49，系数化为1得：．直接开平方得：x=±．18．（7分）计算：（）2﹣+4×+﹣|﹣3|【解答】解：原式=2﹣4+4×+5﹣3+=2+．19．（7分）如图，AB=AC，AD=AE．求证：∠B=∠C．【解答】证明：在△ABE与△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴∠B=∠C．四．解答题（解答要有理由和逻辑性，本大题有3个小题，每题8分，共24分）20．（8分）△ABC中，AD为角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AB=10cm，AC=8cm，△ABC的面积为54cm2，求DE的长．【解答】解：∵AD为角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE=DF，∵△ABC的面积为54cm2，∴AB•DE+AC•DF=54，∵AB=10cm，AC=8cm，∴×10×DE+×8×DE=54，解得DE=6cm．21．（8分）某居民小区搞绿化，要在一块长方形空地上建花坛，要求设计的图案由等腰三角形和正方形组成（个数不限），并且使整个长方形场地成轴对称图形，你有好的设计方案吗？请在如图的长方形中画出你的设计方案．【解答】解：22．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．（1）求出△ABC的面积．（2）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1．（3）写出点A1，B1，C1的坐标．=×5×3=（或7.5）（平方单位）．【解答】解：（1）S△ABC（2）如图．（3）A1（1，5），B1（1，0），C1（4，3）．五．解答题23．（9分）如图，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A=120°，∠C=60°，AB=CD=4cm，求四边形ABCD的周长．【解答】解：∵AD∥BC，∠A=120°，∠C=60°，∴∠ADC=120°，∠ABC=60°，∠ADB=∠DBC；∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠ADB=30°，∠BDC=90°；∴AB=AD，BC=2CD；又AB=CD=4cm，∴AD=4，BC=8，∴AB+BC+CD+AD=4+8+4+4=20（cm），∴四边形ABCD的周长为20cm．24．（9分）在你身边45°角的三角板ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，O为BC的中点，（1）试问点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离有何关系，说明理由．（2）如果将你身边另一块三角板的直角顶点放在O点上，两条直角边分别与AC、AB相交于N、M，请你探索说明△OMN的形状，并证明你的结论．【解答】解：（1）点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离相等，如图，连接OA，∵AB=AC，∠BAC=90°，O为BC的中点，∴△ABO和△ACO都是等腰直角三角形，∴0A=0B=OC，∴点O到△ABC得三个顶点A、B、C的距离相等；（2）△OMN的形状为等腰直角三角形．∵AB=AC，∠BAC=90°，O为BC的中点，∴∠AOB=90°，∠CAO=∠BAO=45°，∠ABO=45°，∵∠MON=90°，∴∠AON+∠AOM=90°，∵∠BOM+∠AOM=90°，∴∠AON=∠BOM，在△ONA和△OMB中，∴△ONA≌△OMB，∴ON=OM，又∵∠NOM直角，∴△OMN的为等腰直角三角形．25．（10分）如图，△ABC为等边三角形，D、E是BC、AC边上的点，且BD=CE，线段AD、BE交于F，（1）求∠AFE的度数；（2）若作EG⊥AD，G为垂足，且FG=3，BF=1，求AD的长；（3）如果D、E分别在BC、CA的延长线上，且仍有BD=CE，请探究BE、AD所在直线夹的锐角的度数是否是定值，请画图说明理由．【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC，∠ABC=∠C=60°．在△ABD和△BCE中，，∴△ABD≌△BCE，∴∠BAD=∠CBE．又∵∠AFE=∠ABF+∠BAD=∠ABC∴∠AFE=60°．（2）∵EG⊥AD，∠AFE=60°，∴∠FEG=30°，∴EF=2FG=6，∵BF=2，∴EB=1+6=7，∵△ABD≌△BCE，∴AD=BE，∴AD=7．（3）是定值，仍为60°，如图．∵△ABC为等边三角形，∴AC=BC，∠BAC=∠ACB=60°．∴∠BAE=∠ACD=120°，∵BD=CE，∴BD﹣BC=CE﹣AC，即CD=AE，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD，∴∠E=∠D．∴∠BFD=∠E+∠EAF=∠D+∠DAC=∠ACB=60°．赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：AB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DF45°DEa +b-a45°A1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠FAE ＝45°E-aaBE挖掘图形特征：x-a a-a运用举例：1．正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.（1）求证：EF=FM（2）当AE=1时，求EF的长．DE2.如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°．以D为顶点3．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，BC ＝CD ＝2AD ＝4，E 为线段CD 上一点，∠ABE ＝45°.（1）求线段AB 的长；（2）动点P 从B 出发，沿射线．．BE 运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t ，则t 为何值时，△ABP 为等腰三角形； （3）求AE －CE 的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．F第21页（共21页）。
四川省南充市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷 Word版含解析
四川省南充市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）sin的值为（）A．B．C．﹣D．﹣2．（5分）集合A={1，a，3}，B={3，a2，5，6}，若A∪B={1，2，3，4，5，6}则a的值为（）A．4B．±2 C．2D．﹣23．（5分）函数f（x）=+﹣1的定义域为（）A．（﹣∞，1]B．∪4．（5分）已知函数f（x）=，求f（0）的值（）A．﹣4 B．0C．4D．25．（5分）已知函数f（x）是偶函数，而且在上是减函数，且有最小值为2，那么在上说法正确的是（）A．增函数且有最小值为2 B．增函数且有最大值为2C．减函数且有最小值为2 D．减函数且有最大值为26．（5分）函数f（x）=的图象大致为（）A．B．C．D．7．（5分）设f（x）=1nx+2x﹣6，用二分法求方程lnx+2x﹣6=0在区间（2，3）内近似解的过程中，得f （2.5）＜0，f（3）＞0，f（2.75）＞0，f（2.625）＞0，则方程的根落在区间（）A．（2.5，3）B．（2.5，2.75）C．（2.625，2.75）D．（2.5，2.625）8．（5分）为了得到y=cos（2x+）函数的图象，只需将余弦函数曲线上所有的点（）A．先向右平移个长度单位，再把横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变B．先向左平移个长度单位，再把横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变C．先向左平移个长度单位，再把横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变D．先向右平移个长度单位，再把横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变9．（5分）已知||=1，||=6，•（﹣）=2，则与的夹角是（）A．B．C．D．10．（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）=f（x+2），当x∈时，f（x）=x﹣2，则（）A．f（sin）＜f（cos）B．f（sin）＞f（cos）C．f（sin1）＜f（cos1）D．f（sin）＞f（cos）二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）不等式（）2x﹣7＞（）4x﹣1中的x取值范围为．12．（5分）已知幂函数f（x）过点（2，），则f（4）的值为．13．（5分）函数y=log2（x2﹣2x）的单调递减区间是．14．（5分）函数y=2sin（2x﹣）的最小正周期为，其单调递增区间为．15．（5分）已知D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，且=，=，=，则①=﹣，②=+，③=﹣+，④++=中正确的等式的个数为．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）化简下列各式：（1）4a b÷（﹣a b）•，（a，b均为正数）；（2）．17．（12分）如图，已知△ABC，A（7，8），B（3，5），C（4，3），M，N，D分别是AB，AC，BC的（1）求：．（2）求∠BAC的余弦值．18．（12分）已知函数f（x）=x+，且f（1）=2；（1）判断f（x）的奇偶性；（2）判断f（x）在（1，+∞）上的增减性，并证明．19．（12分）某企业一天中不同时刻用电量y（单位：万千瓦时）关于时间t（0≤t≤24，单位：小时）的函数y=f（t）近似地满足f（t）=Asin（ωt+φ）+B，（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），如图是该企业一天中在0点到12点时间段用电量y与时间t的大致图象．（1）求这一天0～12时用电量的最大差；（2）写出这段曲线的函数解析式．20．（13分）设f（x）=a，g（x）=a2，其中a＞0，且a≠1，确定x为何值时，有：（1）f（x）=g（x）；（2）f（x）＞g（x）．21．（14分）已知=（1，x），=（x+2tanθ，y+1），且∥，其中θ∈（﹣，）．（1）将y表示为x的函数，并求出函数的表达式y=f（x）（2）若y=f（x）在x∈上为单调函数，求θ的取值范围；（3）当θ∈时，y=f（x）在上的最小值为g（θ），求g（θ）的表达式．四川省南充市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）sin的值为（）A．B．C．﹣D．﹣考点：三角函数的化简求值．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由特殊角的正弦函数值即可解得．解答：解：由特殊角的正弦函数值可得：sin=．故选：A．点评：本题主要考查了三角函数求值，特殊角的三角函数值一定要加强记忆，属于基本知识的考查．2．（5分）集合A={1，a，3}，B={3，a2，5，6}，若A∪B={1，2，3，4，5，6}则a的值为（）A．4B．±2 C．2D．﹣2考点：并集及其运算．专题：集合．分析：利用并集的定义求解．解答：解：∵集合A={1，a，3}，B={3，a2，5，6}，A∪B={1，2，3，4，5，6}，∴，或，解得a=2．故选：C．点评：本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要注意并集性质的合理运用．3．（5分）函数f（x）=+﹣1的定义域为（）A．（﹣∞，1]B．∪考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数f（x）的解析式中，二次根式的被开方数大于或等于0，列出不等式组，求出解集即可．解答：解：∵函数f（x）=+﹣1，∴，解得﹣3≤x≤1；∴f（x）的定义域为．故选：D．点评：本题考查了求函数定义域的应用问题，即求使函数解析式有意义的自变量的取值范围，是基础题目．4．（5分）已知函数f（x）=，求f（0）的值（）A．﹣4 B．0C．4D．2考点：函数的值；分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：直接利用分段函数以及抽象函数化简求解函数值即可．解答：解：函数f（x）=，f（0）=f（0+2）=f（2）=22﹣4=0．故选：B．点评：本题考查分段函数以及测试赛的应用，函数值的求法，考查计算能力．5．（5分）已知函数f（x）是偶函数，而且在上是减函数，且有最小值为2，那么在上说法正确的是（）A．增函数且有最小值为2 B．增函数且有最大值为2C．减函数且有最小值为2 D．减函数且有最大值为2考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：由偶函数在关于y轴对称的区间上单调性相反及偶函数定义可选出正确答案．解答：解：∵偶函数f（x）在区间上是减函数，∴根据偶函数的性质知f（x）在区间上是增函数，又偶函数f（x）在区间上有最小值，即f（x）min=f（6）=2，则f（x）在区间上的最小值f（x）min=f（﹣6）=﹣f（6）=﹣2，故选：A．点评：本题考查函数的奇偶性与单调性间的关系，注意偶函数在关于y轴对称的区间上单调性相反，奇函数在关于y轴对称的区间上单调性一致．6．（5分）函数f（x）=的图象大致为（）A．B．C．D．考点：函数的图象；分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：直接利用分段函数，判断函数的图象即可．解答：解：函数f（x）=，可知x＜0，函数是二次函数，开口向上，x≥0时，指数函数是减函数，所以函数的图形为：C．点评：本题考查函数的图象以及分段函数的应用，考查基本知识的应用．7．（5分）设f（x）=1nx+2x﹣6，用二分法求方程lnx+2x﹣6=0在区间（2，3）内近似解的过程中，得f （2.5）＜0，f（3）＞0，f（2.75）＞0，f（2.625）＞0，则方程的根落在区间（）A．（2.5，3）B．（2.5，2.75）C．（2.625，2.75）D．（2.5，2.625）考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：直接利用零点判定定理以及二分法求根的方法，判断即可．解答：解：连续函数在区间（a，b）上有零点，必有f（a）f（b）＜0．f（2.5）＜0，f（3）＞0，f（2.75）＞0，f（2.625）＞0，则方程的根落在区间：（2.5，2.625）．故选：D．点评：本题考查零点判定定理的应用．基本知识的考查．8．（5分）为了得到y=cos（2x+）函数的图象，只需将余弦函数曲线上所有的点（）A．先向右平移个长度单位，再把横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变B．先向左平移个长度单位，再把横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变C．先向左平移个长度单位，再把横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变D．先向右平移个长度单位，再把横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．解答：解：将余弦函数曲线上所有的点先向左平移个长度单位，可得函数y=cos（x+）的图象，再把所得图象的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，可得y=cos（2x+）函数的图象，故选：B．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．9．（5分）已知||=1，||=6，•（﹣）=2，则与的夹角是（）A．B．C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：设与的夹角是θ，则由题意可得=6cosθ，再根据•（﹣）=2，求得cosθ的值，可得解答：解：设与的夹角是θ，则由题意可得=1×6×cosθ=6cosθ，再根据•（﹣）=﹣=6cosθ﹣1=2，∴cosθ=，∴θ=，故选：C．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量的数量积公式，属于基础题．10．（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）=f（x+2），当x∈时，f（x）=x﹣2，则（）A．f（sin）＜f（cos）B．f（sin）＞f（cos）C．f（sin1）＜f（cos1）D．f（sin）＞f（cos）考点：奇偶性与单调性的综合；函数的周期性．专题：证明题；压轴题；探究型．分析：观察题设条件与选项．选项中的数都是（0，1）的数，故应找出函数在（0，1）上的单调性，用单调性比较大小．解答：解：x∈时，f（x）=x﹣2，故偶函数f（x）在上是增函数，又定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）=f（x+2），故函数的周期是2所以偶函数f（x）在（﹣1，0）上是增函数，所以f（x）在（0，1）上是减函数，观察四个选项A中sin＜cos，故A不对；B选项中sin＞cos，故B不对；C选项中sin1＞cos1，故C对；D亦不对．综上，选项C是正确的．故应选C．点评：本题考查函数的周期性与函数的单调性比较大小，构思新颖，能开拓答题者的思维深度．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）不等式（）2x﹣7＞（）4x﹣1中的x取值范围为（﹣3，+∞）．考点：指、对数不等式的解法．专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：运用指数函数的单调性，可得2x﹣7＜4x﹣1，运用一次函数的解法解得即可得到解集．解答：解：不等式（）2x﹣7＞（）4x﹣1即为2x﹣7＜4x﹣1，即2x＞﹣6，解得x＞﹣3．则解集为（﹣3，+∞）．故答案为：（﹣3，+∞）．12．（5分）已知幂函数f（x）过点（2，），则f（4）的值为2．考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．专题：函数的性质及应用．分析：设幂函数f（x）=x a，由f（x）过点（2，），知2a=，由此能求出f（4）．解答：解：设幂函数f（x）=x a，∵f（x）过点（2，），∴2a=，a=∴f（4）=4=2，故答案为：2．点评：本题考查函数值的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意幂函数的性质和应用．13．（5分）函数y=log2（x2﹣2x）的单调递减区间是（﹣∞，0）．考点：复合函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得，本题即求当t＞0时，函数t的减区间，再利用二次函数的性质可得结论．解答：解：令t=x2﹣2x，则函数y=log2t，本题即求当t＞0时，函数t的减区间，由t＞0，求得x＜0，或x＞2，即函数的定义域为（﹣∞，0）∪（2，+∞）．再利用二次函数的性质可得当t＞0时，函数t的减区间为（﹣∞，0），故答案为：（﹣∞，0）．点评：本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．14．（5分）函数y=2sin（2x﹣）的最小正周期为π，其单调递增区间为，k∈z．考点：三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件利用正弦函数的周期性和单调性，求得f（x）的最小正周期以及单调递增区间．解答：解：函数y=2sin（2x﹣）的最小正周期为=π，令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数的增区间为，k∈z，故答案为：π；，k∈z．点评：本题主要考查正弦函数的周期性和单调性，属于基础题．15．（5分）已知D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，且=，=，=，则①=﹣，②=+，③=﹣+，④++=中正确的等式的个数为3．考点：向量加减混合运算及其几何意义．专题：平面向量及应用．分析：画出图形，结合图形，利用平面向量加减运算的几何意义进行解答即可．解答：解：如图所示，对于①，==（+）=+=+，∴①错误；对于②，=+=+=+，∴②正确；对于③，=（+）=+=﹣+，∴③正确；对于④，++=（+）+（+）+（+）=（+++++）=，∴④正确；综上，正确的等式个数是3．故答案为：3．点评：本题考查了平面向量的加减及数乘运算的应用问题，是基础题目．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）化简下列各式：（1）4a b÷（﹣a b）•，（a，b均为正数）；（2）．考点：运用诱导公式化简求值；有理数指数幂的化简求值．专题：计算题；三角函数的求值．分析：（1）根据指数运算和对数运算法则逐步化简即可求值；（2）运用诱导公式即可化简求值．解答：解：（1）4a b÷（﹣a b）•，（a，b均为正数）；=﹣6a b•=﹣6a．（2）==﹣tanα点评：本题主要考查了指数运算和对数运算法则的应用，诱导公式的应用，属于基本知识的考查．17．（12分）如图，已知△ABC，A（7，8），B（3，5），C（4，3），M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于F．（1）求：．（2）求∠BAC的余弦值．考点：平面向量数量积的运算；向量在几何中的应用．专题：平面向量及应用．分析：（1）根据向量的坐标公式进行计算即可求：．（2）利用数量积的应用即可求∠BAC的余弦值．解答：解：（1）∵A（7，8），B（3，5），C（4，3），∴=（﹣4，﹣3），=（﹣3，﹣5），∵D是BC的中点，∴=（+）=（，﹣4），∵M，N分别是AB，AC的中点，∴F是AD的中点，∴=（，2）．（2）∵=（﹣4，﹣3），=（﹣3，﹣5），∴cos∠BAC===．点评：本题主要考查平面向量的基本运算以及利用数量积求向量夹角问题，比较基础．18．（12分）已知函数f（x）=x+，且f（1）=2；（1）判断f（x）的奇偶性；（2）判断f（x）在（1，+∞）上的增减性，并证明．考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）求出f（x）的解析式，求出定义域，判断是否关于原点对称，计算f（﹣x），与f（x）比较，即可得到奇偶性；（2）f（x）在（1，+∞）上递增，运用定义法证明，注意作差、变形和定符号、下结论几个步骤．解答：解：（1）f（x）=x+，且f（1）=2，则1+m=2，解得m=1，f（x）=x+，定义域为{x|x≠0，x∈R}，关于原点对称，f（﹣x）=﹣x﹣=﹣（x+）=﹣f（x），则f（x）为奇函数；（2）f（x）在（1，+∞）上递增，理由如下：设1＜m＜n，则f（m）﹣f（n）=m+﹣（n+）=（m﹣n）+=（m﹣n）•由于1＜m＜n，则m﹣n＜0，mn＞1，即mn﹣1＞0，即有f（m）﹣f（n）＜0，即有f（m）＜f（n）．则f（x）在（1，+∞）上递增．点评：本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和证明，考查定义法的运用，考查运算能力，属于基础题．19．（12分）某企业一天中不同时刻用电量y（单位：万千瓦时）关于时间t（0≤t≤24，单位：小时）的函数y=f（t）近似地满足f（t）=Asin（ωt+φ）+B，（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），如图是该企业一天中在0点到12点时间段用电量y与时间t的大致图象．（1）求这一天0～12时用电量的最大差；（2）写出这段曲线的函数解析式．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：应用题；三角函数的图像与性质．分析：（1）由图象可得用电量的最大差为1万千瓦时．（2）由图象可得T=12，，可求得A，B，又函数y=0.5sin（φ）+2过点（0，2.5），又0＜φ＜π，从而解得φ，即可求得这段曲线的函数解析式．解答：解：（1）由图象可得用电量的最大差为1万千瓦时．（2）由图象可得T=12，，∵A===，B===2，∴y=0.5sin（φ）+2，又函数y=0.5sin（φ）+2过点（0，2.5），代入可解得：φ=2kπ，又∵0＜φ＜π，∴φ=，综上可得：A=，，φ=，B=，即有：f（t）=sin（+）+2，点评：本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，属于基本知识的考查．20．（13分）设f（x）=a，g（x）=a2，其中a＞0，且a≠1，确定x为何值时，有：（1）f（x）=g（x）；（2）f（x）＞g（x）．考点：对数的运算性质．专题：计算题；分类讨论；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：（1）运用对数函数的单调性，解方程即可得到x；（2）对a讨论，分a＞1，0＜a＜1，运用对数函数的单调性，解不等式，注意对数真数大于0，即可得到x的范围．解答：解：（1）由f（x）=g（x），则=a2，即log2x=2，解得x=4．则有x=2时，f（x）=g（x）；（2）当a＞1时，f（x）＞g（x）即＞a2，则log2x＞2，解得x＞4；当0＜a＜1时，f（x）＞g（x）即＞a2，则log2x＜2，解得0＜x＜4．综上可得，a＞1时，x＞4时，f（x）＞g（x）；0＜a＜1时，0＜x＜4时，f（x）＞g（x）．点评：本题考查对数方程和不等式的解法，考查对数函数的单调性的运用，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于基础题和易错题．21．（14分）已知=（1，x），=（x+2tanθ，y+1），且∥，其中θ∈（﹣，）．（1）将y表示为x的函数，并求出函数的表达式y=f（x）（2）若y=f（x）在x∈上为单调函数，求θ的取值范围；（3）当θ∈时，y=f（x）在上的最小值为g（θ），求g（θ）的表达式．考点：平面向量数量积的运算；函数解析式的求解及常用方法；平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：由向量平行坐标间的关系，得到y与x的关系式，然后解答本题．解答：解：（1）因为=（1，x），=（x+2tanθ，y+1），且∥，其中θ∈（﹣，）．所以y+1=x（x+2tanθ），即y=x2+2tanθx﹣1；（2）由（1）可知，y=f（x）在x∈上为单调函数，即y=x2+2tanθx﹣1在x∈上为单调函数；所以﹣tanθ≥或者﹣tanθ≤﹣1，θ∈（﹣，），所以θ∈（）或者θ∈（）．（3）当θ∈时，y=f（x）在上的最小值为g（θ），则﹣tanθ∈（），所以当对称轴x=﹣tanθ＜﹣1时，函数y=x2+2tanθx﹣1在x∈上为单调增函数，所以最小值为g（θ）=f（﹣1）=2tanθ；当x=﹣tanθ∈时，g（θ）=f（﹣tanθ）=﹣tan2θ﹣1，所以g（θ）=．点评：本题考查了向量平行的坐标关系以及与函数的单调性结合的求参数范围以及解析式的问题，属于中档题．。
2015年四川南充中考数学试题(全解全析)
2015年四川省南充市中考数学试题（满分120分，考试时间120分钟）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.（2015四川南充，1，3分）计算3＋（－3）的结果是（ ）A ．6B ．－6C ．1D ．0【答案】D【考点解剖】本题考查了有理数的加法运算，解题的关键是熟记运算法则．【解题思路】根据有理数的加法运算法则计算即可得解．【解答过程】解：∵3与－3互为相反数，且互为相反数的两数和为0．∴－3+3=0．应选D ．【易错点睛】此类问题容易出错的地方是搞错符号误选A ．【方法规律】在有理数的加法运算时，要先观察相加数的符号，再确定和的符号，最后计算和的绝对值，具体如下表：【试题难度】★【关键词】有理数的加法法则2. （2015四川南充，2，3分）下列运算正确的是（ ）A ．3x －2x ＝xB ．x x x 632=⋅C ．()x x 422= D ．x x x 326=÷ 【答案】A【考点解剖】本题考查整式的运算，主要是合并同类项，单项式的乘、除法，积的乘方，解题的关键是掌握它们的运算法则.【解题思路】逐项观察、分析该算式属于哪种运算，是否符合相应的运算法则、性质．根据单项式的乘、除法，积的乘方和合并同类项的法则进行计算.【解答过程】解：由同类项的合并法则“系数相加作为合并后的系数，字母及字母的指数不变”得 32x x x -=，故选项A 正确；由单项式乘以单项式运算法则“单项式乘以单项式，系数相乘，作为积的系数，同底数幂相乘，对于只在一个因式中含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式”得2326x x x =，故选项B 错误；由“()n n n ab a b =”得()2224x x =，故选项C 错误；由单项式的除法法则“单项式除以单项式，系数相除做为商的系数，同底数幂相除，对于只在被除式中含有的字母，连同它的指数做为商的一个因式”得623x x ÷=，故选项D 错误.应选A .【易错点睛】此类问题容易出错的地方是：混淆幂的运算性质，做同底数幂相乘时，误将指数相乘；做幂的乘方时误将指数相加；做同底数幂相除时，误将指数相除.【归纳拓展】在选择题中对于幂的运算考查主要有两种形式：（1）计算……的结果是；（2）下列运算正确的是……，其中第（2）类形式常常会与合并同类项、整式乘法公式结合考查，解此类题的总体原则是“准确判断运算类型，根据各自方法运算”．【试题难度】★★【关键词】合并同类项；积的乘方；单项式与单项式相乘；单项式除以单项式3. （2015四川南充，3，3分）如图是某工厂要设计生产的正六棱柱形密封罐的立体图形，它的主视图是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】A【考点解剖】本题考查了简单几何体的三视图，解题的关键是正确理解主视图的概念．【解题思路】根据“从几何体正面看到的几何图形是该几何体的主视图”进行判断即可.【解答过程】解：本题考查三视图.A .主视图，B .左视图，C .主视图、俯视图、左视图都不是，D .俯视图.故选A .【易错点津】此题容易出错的地方将主视图误认为左视图（或俯视图）.【方法规律】从前向后得到的正投影叫做主视图．从左向右得到的正投影叫做左视图．从上向下得到的正投影叫做俯视图．【关键词】画三视图4. （2015四川南充，4，3分）学校机房今年和去年共购置了100台计算机，已知今年购置计算机数量是去年购置计算机数量的3倍，则今年购置计算机的数量是（ ）A ．25台B ．50台C ．75台D ．100台【答案】C【考点解剖】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找出题中要列方程的相等关系．【解题思路】根据“今年购置计算机数量+去年购置计算机数量=100”建立方程即可.【解答过程】解：设去年购置计算机x 台，则3100,25x x x +==.故今年购置计算机有75台.应选C .【易错点睛】此类问题容易出错的地方是审题不清，混淆今年购置计算机数量和去年购置计算机数量，x 的值当成今年购置计算机数量.误选A .【思维模式】构建方程（或方程组）模型，首先应找到题目中的相等关系，可先用文字把等量关系写出来，再把文字用代数式表示，即可列出满足题意的方程（或方程组）．【试题难度】★★【关键词】商品利润问题5. （2015四川南充，5，3分）如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东55°方向，距离灯塔为2 海里的点A 处．如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，海轮航行的距离AB 长是（ ）A ．2 海里B ． 55sin 2海里C ． 55cos 2海里D ． 55tan 2海里【答案】C【考点解剖】本题考查了解直角三角形的应用－方向角问题，平行线的性质，三角函数的定义，解题的关键是正确理解方向角的定义．【解题思路】首先由方向角的定义及已知条件得出∠NP A =55°，AP =2海里，∠ABP =90°，再由AB ∥NP ，根据平行线的性质得出∠A =∠NP A =55°．然后解Rt △ABP ，得出AB =AP •cos A =2cos 55°海里.【解答过程】解：如图，由题意可知∠NP A =55°，AP =2海里，∠ABP =90°． ∵AB ∥NP ，∴∠A =∠NP A =55°．在Rt △ABP 中，∵∠ABP =90°，∠A =55°，AP =2海里，∴AB =AP •cos A =2cos 55°海里．故选C .【易错点津】此类问题容易出错的地方是将锐角三角函数弄错或是变式出错，导致不能正确得出AB =AP •cos A .【方法规律】在解决方向角问题时，先根据题意理清图形中各个角之间的关系，如果所给出的方向角不在一个直角三角形中，可以作出三角形的高构造出直角三角形，利用勾股定理，锐角三角函数的知识求解.【试题难度】★★【关键词】方位角问题6. （2015四川南充，6，3分）若m >n ，下列不等式不一定成立的是（ ）A ．m ＋2>n ＋2B ．2m >2nC ．22n m > D ．22n m > 【答案】D【考点解剖】本题考查了不等式的性质，解题的关键是熟知不等式的性质及注意事项．【解题思路】根据不等式的基本性质，进行选择即可．【解答过程】解：根据不等式性质“不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不改变”得选项A 正确；由不等式性质“不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不改变”得选项B 、C 均正确；选项D 错误，举个反例“15>-，但()2215<-”.故选D .【易错点睛】此类问题容易出错的地方是对不等式性质3掌握不透彻，认为C 答案也正确.【方法规律】熟悉不等式的三个性质（特别是第三个性质）：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．【试题难度】★★【关键词】不等式的基本性质7. （2015四川南充，7，3分）如图是一个可以自由转动的正六边形转盘，其中三个正三角形涂有阴影．转动指针，指针落在有阴影的区域内的概率为a ；如果投掷一枚硬币，正面向上的概率为b ．关于a ，b 大小的正确判断是（ ）A ．a ＞bB ．a ＝bC ．a ＜bD ．不能判断【答案】B【考点解剖】本题考查了几何概率的知识，解题的关键是分别利用概率公式求得a 、b 的值．【解题思路】分别利用概率公式将a 和b 求得后比较即可得到正确的选项.【解答过程】解：正六边形被分成相等的6部分，阴影部分占3部分，根据几何概率计算方法得3162a ==，投掷一枚硬币，正面向上的概率为12b =，故a b =.应选B . 【易错点睛】此类问题容易出错的地方是不能把握图形的性质，因而无法确定阴影部分的面积与整个图形面积的比值大小，而导致出现错误.【方法规律】概率常见的几种计算方法：(1)列举法：如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A 包含其中的m 种结果，那么事件A 发生的概率是()m P A n=． (2)面积比值法：概率的大小与面积大小有关.事件发生的概率等于该事件所得可能结果所组成的图形面积除以所有可能结果组成的图形面积.(3) 频率估值法：对于相同条件下进行的大量重复实验，一般用大数量实验时的频率稳定值估计该实验的概率.【试题难度】★★【关键词】求概率的方法；概率的计算公式8. （2015四川南充，8，3分）如图，P A 和PB 是⊙O 的切线，点A 和B 是切点，AC 是⊙O 的直径，已知∠P ＝40°，则∠ACB 的大小是（ ）A ．60°B ．65°C ．70°D ．75°第8题图【答案】C【考点解剖】本题考查了圆的切线的性质以及圆心角、圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆的切线的性质以及圆周角定理.【解题思路】由P A 、PB 是⊙O 的切线，可得∠OAP =∠OBP =90°，根据四边形内角和，求出∠AOB ，再根据圆心角、圆周角定理即可求∠ACB 的度数.【解答过程】解：连接OB .因为P A 和PB 是⊙O 的切线，点A 和B 是切点，所以090OAP BP ∠=∠=︒，根据四边形内角和为360︒且40P ∠=︒得40COB ∠=︒，故18040702ACB ︒-︒∠==︒. 故选C .P【易错点睛】此类问题容易出错的地方作不出辅助线，找不出∠ACB 与已知条件的关联．【归纳拓展】圆的切线垂直于过切点的半径，在同圆或等圆中，圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．【试题难度】★★★【关键词】切线的判定与性质；圆心角、圆周角定理9. （2015四川南充，9，3分）如图，菱形ABCD 的周长为8cm ，高AE 长为3cm ，则对角线AC 长和BD 长之比为（ ）A ．1:2B ．1:3C ．1:2D ．1:3第9题图【答案】D【考点解剖】本题考查了菱形的性质以及勾股定理，解题的关键是熟练应用勾股定理计算线段的的长度.【解题思路】首先设设AC ，BD 相交于点O ，由菱形ABCD 的周长为8cm ，可求得AB =BC =2cm ，又由高AEm ，利用勾股定理即可求得BE 的长，继而可得AE 是BC 的垂直平分线，则可求得AC 的长，继而求得BD 的长，则可求得答案.【解答过程】解：如图，设AC ，BD 相交于点O ，∵菱形ABCD 的周长为8cm ，∴AB =BC =2cm ，∵高AEcm ，∴BE=1（cm ）， ∴CE =BE =1cm ，∴AC =AB =2cm ，∵OA =1cm ，AC ⊥BD ，∴OB（cm ）， ∴BD =2OBcm ，∴AC ：BD =1D .【易错点睛】此类问题容易出错的地方是不会将菱形问题转化为直角三角形问题.【方法规律】对以四边形（含特殊的四边形）为背景的有关证明题或计算题，（1）当涉及到证明线段或证明角相等时，可考虑从下列两方面思考：①直接利用平行四边形的性质，通过量的转换、等量代换进行求证；②通过三角形全等判定及性质进行证明.（2）当含有计算线段比、面积比时，可考虑从下列两方面思考：①直接利用平行四边形的性质先求出对应线段、面积的值，再求比值，再进行比值；②通过寻找相似三角形，利用三角形相似的性质求相应的比值，（3）四边形的问题常转化三角形的问题，常利用直角三角形和等腰三角形等知识解决问题.【试题难度】★★★【关键词】菱形的性质；勾股定理10. （2015四川南充，10，3分）关于x 的一元二次方程0222=++n mx x 有两个整数根DD且乘积为正，关于y 的一元二次方程0222=++m ny y 同样也有两个整数根且乘积为正．给出四个结论：①这两个方程的根都是负根；②2)1()1(22≥-+-n m ；③1221≤-≤-n m ．其中正确结论的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】D【考点解剖】本题主要考查了根与系数的关系，以及一元二次方程的根的判别式，反证法，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系．【解题思路】①根据题意，以及根与系数的关系，可知两个整数根都是负数；②根据根的判别式，以及题意可以得出m 2－2n ≥0以及n 2－2m ≥0，进而得解；③可以采用举例反证的方法解决，据此即可得解.【解答过程】解：解法一：①两个整数根且乘积为正，两个根同号，由根与系数的关系有，x 1•x 2=2n ＞0，y 1•y 2=2m ＞0，y 1+y 2=－2n ＜0，x 1+x 2=－2m ＜0，这两个方程的根都为负根，①正确；②由根判别式有：△1=b 12－4a 1c 1=4m 2－8n ≥0，△2=b 22－4a 2c 2=4n 2－8m ≥0，∴m 2－2n ≥0，n 2－2m ≥0，（m －1）2+（n －1）2=m 2－2m +1+n 2－2n +1=m 2－2n +n 2－2m +2≥2，②正确；③∵1y 、2y 为负整数，∴110y +≤，210y +≤，∴12(1)(1)0y y ++≥，∵1220y y m =>，1220y y n +=-<，∴121222y y y y m n ++=-，∴12122211m n y y y y -+=+++ 12(1)(1)0y y =++≥，∴122m n -≤-，同理：122n m -≤-，即221m n -≤，∴1221m n -≤-≤，∴③正确.故选D ．解法二：因为关于x 的一元二次方程2220x mx n ++=有两个整数根且乘积为正，由韦达定理得1220x x n =>，所以12,x x 同号；同理12,y y 为同号.根据121220,20x x m yy n +=-<+=-<得1212,,,x x y y 均为负整数，因此结论①正确；又由题意得220m n =-≥，220n m =-≥，则22220m n n m +--≥，()()22112m n -+-≥，故结论②正确；因为1212,,,x x y y 均为负整数，则它们均小于等于1-.设222X x mx n =++，222Y y ny m =++，则,X Y 分别为,x y 的二次函数，其图象开口向上，与横轴的交点坐标均小于或等于1-且为整数，因此当1x =-时，11220,2X m n m n =-+≥-≤.当1y =-时，11220,2Y n m m n =-+≥-≥-，即1122m n -≤-≤，故结论③正确.故选D . 解法三：设2220x mx n ++=的两个整数根为1x 、2x ， 2220y ny m ++=的两个整数根为1y 、2y ，则121222x x m x x n +=-⎧⎨=⎩，121222y y n y y m +=-⎧⎨=⎩， 由题意得：1220x x n =>，1220y y m =>，∴1220x x m +=-<，1220y y n +=-<，∴10x <，20x <，10y <，20y <，∴①正确；∵2220x mx n ++=的两个整数根为1x 、2x ，∴2(2)420m n ∆=-⨯≥，即22m n ≥， ∴220m n -≥，同理：220n m -≥.∴222(1)(1)(2)m n m n -+-=- 2(2)22n m +-+≥，∴②正确；∵1y 、2y 为负整数，∴110y +≤，210y +≤，∴12(1)(1)0y y ++≥，∵1220y y m =>，1220y y n +=-<，∴121222y y y y m n ++=-，∴12122211m n y y y y -+=+++12(1)(1)0y y =++≥，∴122m n -≤-，同理：122n m -≤-，即221m n -≤，∴1221m n -≤-≤，∴③正确.故选D .【易错点津】此类问题容易出错的地方是不能根据根与系数的关系等知识将③的结论推导出来，认为结论不正确，导致错选C .【方法规律】（1）对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠：（2）一元二次方程20(0)a x b x c a ++=≠得两个根为1x ，2x ，则12b x x a +=-，12c x x a⋅=，解题时先把代数式变形成两根和与积的形式，注意前提：方程有两个实数根，即判别式大于或等于0．常见的变形有：（1）222121212()2x x x x x x +=+-；（2）22121212()()4x x x x x x -=+-；（3）21212122112()2x x x x x x x x x x +-+=. 【试题难度】★★★【关键词】一元二次方程的解；根与系数的关系；反证法二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）11.（2015四川南充，11，3分）计算 45sin 28-的结果是＿＿＿＿＿． 【答案】2【考点解剖】本题考查了实数的运算，解题的关键是熟知二次根式的化简、特殊角的三角函数值.【解题思路】先计算各个部分的值，然后按照实数混合运算的顺序计算即可.【解答过程】解：原式=22－2×22=2，故答案为2. 【易错点津】此类问题容易出错的地方是一是不会化简二次根式，导致得不到最终结果，二是特殊角的三角函数值理解混淆导致结果出错．【方法规律】实数的计算没有捷径，需要认真计算，各个击破需注意的是：(1)实数的运算顺序；(2)特殊角的三角函数值，绝对值、二次根式，乘方，零指数幂，负指数幂等知识的灵活应用；(3)运算律的灵活应用．【试题难度】★★★【关键词】二次根式的化简；锐角三角函数值12. （2015四川南充，12，3分）不等式121>-x 的解集是＿＿＿＿＿＿． 【答案】x ＞3【考点解剖】本题考查了解一元一次不等式，掌握不等式的基本性质是解题关键．【解题思路】按照解不等式的步骤，先移项，然后合并同类项，最后系数化为1即得到不等式的解集． 【解答过程】解：21-x ＞1， 去分母：x －1＞2，移项，得x ＞3，故答案为x ＞3.【易错点津】此类问题容易出错的地方是去分母时易漏乘2，得x －1＞1，导致错解为x ＞2.【方法规律】不等式的基本性质：①不等式两边同时加上（或减去）同一个数或整式，不等号不改变方向；②不等式两边同时乘以同一个正数，不等号不改变方向；不等式的两边同时乘以同一个负数，不等号要改变方向．解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程的步骤相同，即去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，但要注意解不等式时，在去分母和系数化为1这两步时，不等号有可能要改变方向．【试题难度】★★【关键词】解一元一次不等式13. （2015四川南充，13，3分）如图，点D 在△ABC 边BC 的延长线上，CE 平分∠ACD ，∠A ＝80°，∠B ＝40°，则∠ACE 的大小是＿＿＿＿＿度．【答案】60°【考点解剖】本题考查了三角形的外角定理，解题的关键是根据三角形任意一个外角等于与之不相邻的两内角的和．【解题思路】由∠A =80°，∠B =40°，根据三角形任意一个外角等于与之不相邻的两内角的和得到∠ACD =∠B +∠A ，然后利用角平分线的定义计算即可.【解答过程】解：∵ACD ∠是△ABC 的外角，∴︒=∠+∠=∠120B A ACD ，∵CE 平分ACD ∠， ∴ACD ACE ∠=∠21=60°，故答案为 60°. 【易错点睛】此类问题容易出错的地方是利用三角形外角定理求ACD ∠错误．【方法规律】解答求角有关的问题时，常考虑三角形的内角和定理、三角形外角定理、角平分线、平行线的性质，建立已知角与要求角之间的数量关系．【试题难度】★★【关键词】三角形的外角和；角的平分线的性质14. （2015四川南充，14，3分）从分别标有数－3，－2，－1，0，1，2，3的七张卡片中，随机抽取一张，所抽卡片上数的绝对值小于2的概率是＿＿＿＿＿＿． 【答案】73 【考点解剖】本题主要考查了绝对值的性质以及概率公式等知识，解题的关键是正确得出绝对值小于2的数个数和正确运用概率公式．【解题思路】分别标有数－3，－2，－1，0，1，2，3的七张卡片中，数字的绝对值小于3的有－1、0、1，直接利用概率公式求解即可求得答案.【解答过程】解：由题意，得33-=，22-=，11-=，00=，11=，22=， 33=， 一共有7张，且每张出现的可能性相同，绝对值小于2的有3张，所以所抽卡片上的数绝对值小于2的概率是73.故答案为73. 【易错点津】此类问题容易出错的地方是将绝对值小于2当成小于2的数，导致得出错误的答案为57. 【方法规律】等可能性事件的概率的计算公式：P (A )＝n m，其中m 是总的结果数，n 是该事件成立包含的结果数． 【思维模式】先找到可能的情况,再找到符合条件的情况.再利用P (A )＝n m 求解. 【试题难度】★★【关键词】求概率的方法；概率的计算公式15. （2015四川南充，15，3分）已知关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧-=+=+12,32y x k y x 的解互为相反数，则k 的值是＿＿＿＿．【答案】－1【考点解剖】本题考查了方程组的解，解题的关键是用k 表示出x ，y 的值.【解题思路】将方程组用k 表示出x ，y ，根据方程组的解互为相反数，得到关于k 的方程，即可求出k 的值.【解答过程】解：解方程组⎩⎨⎧-=+=+12,32y x k y x 得23,2x k y k=+⎧⎨=--⎩，因为关于x ，y 的二元一次方程组2321x y k x y +=⎧⎨+=-⎩的解互为相反数， 可得：2k +3－2－k =0，解得：k =－1．故答案为：－1【易错点津】此类问题容易出错的地方是不理解方程的组的解无法用含k 的式子表示x ，y ，导致无法建立关于k 的方程求解.【方法规律】求解二元一次方程中的字母常数，一般有以下方法：①通常是先解求方程组的解，再根据第x 与y 之间的关系建立关于字母常数的方程求解；②先消去一个字母，再求另一个字母和常数字母组成的方程组的解；③组成一个三元方程一次方程组求解.【试题难度】★★★【关键词】二元一次方程组的解；解二元一次方程组；解一元一次方程；相反数16. （2015四川南充，16，3分）如图，正方形ABCD 边长为1，以AB 为直径作半圆，点P 是CD 中点，BP 与半圆交于点Q ，连接DQ ．给出如下结论：①DQ ＝1；②23=BQ PQ ；③S △PDQ ＝81；④cos ∠ADQ =53．其中正确结论是＿＿＿＿＿＿＿＿＿．（填写序号）【答案】①②④【考点解剖】本题考查了圆周角定理、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、等腰三角形的性质、平行线的性质、锐角三角函数的定义、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用相似三角形的性质、勾股定理、三角函数的定义来建立等量关系．【解题思路】①连接OQ，OD，如图1．易证四边形DOBP是平行四边形，从而可得DO∥BP．结合OQ=OB，可证到∠AOD=∠QOD，从而证到△AOD≌△QOD，则有DQ=DA=1；②连接AQ，如图2，根据勾股定理可求出BP．易证Rt△AQB∽Rt△BCP，运用相似三角形的性质可求出BQ，从而求出PQ的值，就可得到PQBQ的值；③过点Q作QH⊥DC于H，如图3．易证△PHQ∽△PCB，运用相似三角形的性质可求出QH，从而可求出S△DPQ的值；④过点Q作QN⊥AD于N，如图4．易得DP∥NQ∥AB，根据平行线分线段成比例可得DN AN =PQBQ=32，把AN=1－DN代入，即可求出DN，然后在Rt△DNQ中运用三角函数的定义，就可求出cos∠ADQ的值.【解答过程】解：解法一：①连接OQ，OD，如图1．易证四边形DOBP是平行四边形，从而可得DO∥BP．结合OQ=OB，可证到∠AOD=∠QOD，从而证到△AOD≌△QOD，则有DQ=DA=1．故①正确；②连接AQ，如图2．则有CP =12，BP =易证Rt △AQB ∽Rt △BCP ，运用相似三角形的性质可求得BQ ，则PQ ,∴PQ BQ =32. 故②正确；③过点Q 作QH ⊥DC 于H ，如图3．易证△PHQ ∽△PCB ，运用相似三角形的性质可求得QH =35， 11133222520DPQ S DP QH ==⨯⨯=. 故③错误；④过点Q 作QN ⊥AD 于N ，如图4．易得DP ∥NQ ∥AB ， 根据平行线分线段成比例可得DN AN=PQ BQ =32，则有1DN DN -=32,解得DN =35.由DQ =1，得cos ∠ADQ =35DN DQ ==32. 故④正确．综上所述：正确结论是①②④．故答案为①②④．解法二：①正确.理由：连接OQ ，OD ，∵DP =21CD =BO =21AB ，且DP ∥OB ， ∴四边形OBPD 是平行四边形.∴∠AOD =∠OBQ ,∠DOQ =∠OQB ，∵OB =OQ ，∴∠OBQ =∠OQB∴∠AOD =∠DOQ ，∴△AOD ≌△QOD ，∴∠OQD =∠DAO =90°，DQ =AD =1.所以①正确.②正确.理由：延长DQ 交BC 于点E ，过点Q 作QF ⊥CD ，垂足为F ，根据切线长定理，得QE =BE ，设QE =x ，则BE =x ，DE =1+x ，CE =1－x ，在Rt △CDE 中，（1+x ）2=（1－x ）2+1解得x =41，CE =43 ∵△DQF ∽△DEC ， ∴54==CE FQ DE DQ ， 得FQ =53， ∵△PQF ∽△PBC ， ∴53==CB FQ BP PQ , ∴23=BQ PQ ， 所以②正确；③错误，理由：S △PDQ =21DP ·QF =21×21×53=203， 所以③错误；④正确，理由：∵AD ∥BC ，∴∠ADQ =∠DEC ，∴cos ∠ADQ =cos ∠DEC =4543=DE CE =53， 所以④正确.综上所述：正确结论是①②④．故答案为①②④．【易错点津】此类问题容易出错的地方是应用相似三角形的性质、勾股定理、三角函数的定义来建立等量关系时，容易出现错误．【归纳拓展】解决此类题目应根据题目要求细心认真，步步深入，环环相扣，每个选项互相联系，逐渐判断每个结论的正误，直到得出最终结论．【试题难度】★★★★【关键词】正方形的性质；平行四边形的性质；平行四边形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的判定；勾股定理三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（2015四川南充，17，6分）计算：aa a a --⋅--+342)252(． 【考点解剖】本题主要考查了分式的混合运算．解答此类问题的关键按照分式的运算顺序和运算法则进行计算．【解题思路】本题计算先把括号内的减法进行通分，再能分解因式的分解因式，约分化简，注意分子各项的符号.【解答过程】解：原式=2452423a a a a---⋅-- =()()()332223a a a a a +--⋅--=－2（a +3）=－2a －6【易错点津】此类问题容易出错的地方是和分式方程混淆，不能乘以最简公分母．【方法规律】（1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．（2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．（3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．【思维模式】（1）异分母分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后按照同分母分式加减法的法则进行计算．如果分子和分母有公因式的，要约分，结果为最简分式式或整式；（2）分式的乘除法的法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘．【试题难度】★★★【关键词】异分母分式加减法；分式的乘除法18.（2015四川南充，18，6分）某学校为了了解学生上学交通情况，选取九年级全体学生进行调查.根据调查结果，画出扇形统计图（如图），图中“公交车”对应的扇形圆心角为60°，“自行车”对应的扇形圆心角为120°.已知九年级乘公交车上学的人数为50人．（1）九年级学生中，骑自行车和乘公交车上学哪个更多？多多少人？（2）如果全校有学生2 000人，学校准备的400个自行车停车位是否足够？【考点解剖】本题考查了扇形统计图，用样本估计总体，解题的关键是读懂统计图表是解题的关键．【解题思路】（1）由扇形统计图分析出骑自行车的人多，根据总数计算出骑自行车和乘公交车的人数，从而计算出多的人数；（2）根据扇形统计图用2000乘以120除以360计算出其自行车的人数，与400比较即可.【解答过程】解：（1）∵120°=60°×2，∴骑自行车的人数是成公交车人数的2倍.∴骑自行车的人数为50×2=100（人）.100－50=50人.答：骑自行车上学的人更多，多50人.（2）2000×120667360＞400. 所有学校准备400个自行车位可能不够.【易错点津】此类问题容易出错的地方是因为不能正确地从统计图中获取信息，而导致错误.【方法规律】扇形统计图，一般是两种形式出现，一种形式是以百分比的形式出现，这样，用1减去其他百分比，即可算出该百分比，另外一种形式是度数，则根据圆心角的度数除以360度，可算出该百分比，具体题目，还应学会灵活应用.【试题难度】★★★【关键词】 扇形图；用样本估计总体19.（2015四川南充，19，8分）如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，AE ＝CE ． 求证：（1）△AEF ≌△CEB ；（2）AF ＝2CD ．【考点解剖】本题考查了三角形全等的判定与性质，解题的关键是掌握全等的判定与性质．【解题思路】（1）由垂直得到互为余角的角从而有∠EAF =∠ECB ，利用角边角定理即可证B得△AEF ≌△CEB .（2）利用全等三角形的对应边相等，以及等腰三角形的三线合一的性质即可得出AF =BC ，BC =2CD ，即可得出AF =2CD .【解答过程】解：（1）∵AD ⊥BC ，∴∠B +∠BAD =90°.∵CE ⊥AB ，∴∠B +∠BCE =90°.∴∠EAF =∠ECB .在△AEF 和△CEB 中，AEF BEC AE CEEAF BCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AEF ≌△CEB .（2）∵△AEF ≌△CEB .∴AF =BC .∵AB =AC ，AD ⊥BC .∴CD =BD ,BC =2CD .∴AF =2CD .【易错点津】此类问题容易出错的地方是易误将不存在的边边角为边角边.【方法规律】判定两三角形全等的常见思路如下：当题目中已知两边“SS ”时，根据三角形全等的判定条件，可选择“SAS ”，或“SSS ”进一步探索推理的思路；若已知一边一角“SA ”时，可根据题意再补上一角或另一边，应用“SAS ”，或“ASA ”，或“AAS ”进行说理；若已知两角“AA ”时，则应补上一边，利用“AAS ”，或“ASA ”进行推理．总之，应根据具体条件灵活选择适当的判定方法．注意，若两边及其中一边的对角对应相等，则两个三角形不一定全等．可是，两边及其中较长边所对的角对应相等的两个是三角形全等的．事实上，当已知∠E 的度数，边DE 、DF 的长，作△DEF 时，若DE ＜DF ，则在先作出∠E ，并截得边ED 后，再以点D 为圆心，以DF 的长度为半径画弧时，与射线EN 只存在一个交点（如图所示），即此时△DEF 的形状、大小是惟一确定的，从而具备这样条件的三角形一定全等．【试题难度】★★★【关键词】三角形全等的识别；全等三角形的性质；等腰三角形的性质20.（2015四川南充，20，8分）已知关于x 的一元二次方程2)4)(1(p x x =--，p 为实数．（1）求证：方程有两个不相等的实数根．（2）p 为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，不需说明理由）【考点解剖】本题主要考查了一元二次方程的根的情况与根的判别式之间的关系，解题的关键是掌握方程的根的概念以及一元二次方程根的判别式解题．E DMNF。
南充市2015年中考数学试题及参考答案
2. 下列运算正确的是
(A) 3x-2x = x (C) (2x)2 = 4x
( B) 2x·3x = 6x (D) 6x衣2x = 3x
3. 如图是某工厂要设计生产的正六棱柱形密封罐的立体图形, 它的主 视图是
(第 3 题)
摇 摇 摇 (A) 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 (B) 摇 摇 摇 摇 摇 (C) 摇 摇 摇 摇 摇 (D)
一、选择题( 本大题共 10 个小题,每小题 3 分,共 30 分)
每小题都有代号为 A、B、C、D 四个答案选项,其中只有一个是正确的. 请根据正确选项的
代号填涂答题卡对应位置. 填涂正确记 3 分,不涂、错涂或多涂记 0 分.
1. 计算 3+( -3)的结果是
(A) 6摇 摇 摇 摇 摇 (B) -6摇 摇 摇 摇 摇 (C) 1摇 摇 摇 摇 摇 (D) 0
11.
2; 摇
摇 12. x>3; 摇
摇 13. 60; 摇 摇 14.
3 7
;
摇
摇
15.
-1; 摇
摇 16.
淤于榆.
三、 解答题 ( 本大题共 9 个小题, 共 72 分)
17.
解:
原式
=
éëêê (
a+2) (a a-2
-2)
-a-52
ùûúú
·2-
( a-2) ( a-3)
………………………………………
;
榆 cos 蚁ADQ =
3 5
.
其中正确结论是
( 第 16 题)
摇 摇 银摇 摇 . (填写序号)
三、 解答题 ( 本大题共 9 个小题, 共 72 分)
数学试卷第摇2 页(共 4 页)
四川省南充市2015年中考数学试卷及答案解析版
四川省南充市2015年中考数学试卷(解析版)（满分120分，考试时间120分钟）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）每小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的．请根据正确选项代号在答题卡对应位置填涂．填涂正确记3分，不涂、错涂或多涂记0分．1.计算3＋（－3）的结果是（）（A）6 （B）－6 （C）1 （D）0【答案】D考点：有理数的计算.2.下列运算正确的是（）（A）3x－2x＝x （B）（C）（D）【答案】A【解析】试题分析：同底数幂的相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减.A、正确；B、原式=6；C、原式=4；D、原式=3.考点：单项式的乘除法计算.3.如图是某工厂要设计生产的正六棱柱形密封罐的立体图形，它的主视图是（）【答案】A【解析】试题分析：根据三视图的法则可得：正六棱柱的主视图为3个矩形，旁边的两个矩形的宽比中间的矩形的宽要小.考点：三视图.4.学校机房今年和去年共购置了100台计算机，已知今年购置计算机数量是去年购置计算机数量的3倍，则今年购置计算机的数量是（）（A）25台（B）50台（C）75台（D）100台【答案】C考点：一元一次方程的应用.5.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东方向55°，距离灯塔为2 海里的点A处．如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置，海轮航行的距离AB长是（）（A）2 海里（B）海里（C）海里（D）海里【答案】C【解析】试题分析：根据题意可得∠PAB=55°，则cos∠PAB=，即cos55°=，则AB=2·cos55°. 考点：三角函数的应用.6.若m＞n，下列不等式不一定成立的是（）（A）m＋2＞n＋2 （B）2m＞2n （C）（D）【答案】D考点：不等式的应用.7.如图是一个可以自由转动的正六边形转盘，其中三个正三角形涂有阴影．转动指针，指针落在有阴影的区域内的概率为a；如果投掷一枚硬币，正面向上的概率为b．关于a，b大小的正确判断是（）（A）a＞b （B）a=b （C）a＜b （D）不能判断【答案】B【解析】试题分析：根据正六边形的性质可得图中六个三角形的面积相等，则指针落在阴影部分的概率为，即a=；投掷一枚硬币，正面向上的概率为，即b=，则a=b.考点：正六边形的性质、概率的计算.8.如图，PA和PB是⊙O的切线，点A和B是切点，AC是⊙O的直径，已知∠P＝40°，则∠ACB的大小是（）（A）60°（B）65°（C）70°（D）75°【答案】C考点：切线的性质、三角形外角的性质、圆的基本性质.9.如图，菱形ABCD的周长为8cm，高AE长为cm，则对角线AC长和BD长之比为（）（A）1:2 （B）1:3 （C）1:（D）1:【答案】D【解析】试题分析：设AC与BD的交点为O，根据周长可得AB=BC=2，根据AE=可得BE=1，则△ABC为等边三角形，则AC=2，BO=，即BD=2，即AC:BD=1：.考点：菱形的性质、直角三角形.10.关于x的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正．给出四个结论：①这两个方程的根都是负根；②；③．其中正确结论的个数是（）（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个【答案】D考点：一元二次方程根与系数的关系.二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）请将答案直接填写在对应横线上．11.计算的结果是＿＿＿＿＿．【答案】【解析】试题分析：首先根据二次根式和三角函数求出各式的值，然后进行计算.原式=2－2×=.考点：实数的计算.12.不等式的解集是＿＿＿＿＿＿．【答案】x＞3考点：解不等式.13.如图，点D在△ABC边BC的延长线上，CE平分∠ACD，∠A＝80°，∠B＝40°，则∠ACE 的大小是＿＿＿＿＿度．【答案】60考点：角平分线的性质、三角形外角的性质.14.从分别标有数－3，－2，－1，0，1，2，3的七张卡片中，随机抽取一张，所抽卡片上数的绝对值小于2的概率是＿＿＿＿＿＿．【答案】【解析】试题分析：绝对值小于2的数为：－1，0和1三个，则P(绝对值小于2)=.考点：概率的计算.15.已知关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，则k的值是＿＿＿＿．【答案】－1考点：二元一次方程.16.如图，正方形ABCD边长为1，以AB为直径作半圆，点P是CD 中点，BP与半圆交于点Q，连结DQ．给出如下结论：①DQ＝1；②；③S△PDQ＝；④cos∠ADQ=．其中正确结论是＿＿＿＿＿＿＿＿＿．（填写序号）【答案】①②④【解析】试题分析：根据切线的性质可得DQ=AD=1，过点Q作QE⊥BC，则△BQE∽△BPC，则，则，过点Q作QF⊥AD，则DF=，则cos∠ADQ==.则①②④正确.考点：圆的基本性质.三、解答题（本大题共9个小题，共72分）17.（6分）计算：．【答案】－2a－6考点：分式的化简.18.（6分）某学校为了了解学生上学交通情况，选取九年级全体学生进行调查。
2015年四川省南充市中考数学真题及答案
2015年四川省南充市中考数学真题及答案一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）每小题都有代号A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的．1．（3分）（2015•南充）计算3+（﹣3）的结果是（）A．6B．﹣6 C．1D．02．（3分）（2015•南充）下列运算正确的是（）A．3x﹣2x=x B．2x•3x=6x C．（2x）2=4x D．6x÷2x=3x3．（3分）（2015•南充）如图是某工厂要设计生产的正六棱柱形密封罐的立体图形，它的主视图是（）A．B．C．D．4．（3分）（2015•南充）学校机房今年和去年共购置了100台计算机，已知今年购置计算机数量是去年购置计算机数量的3倍，今年购置计算机的数量是（）A．25台B．50台C．75台D．100台5．（3分）（2015•南充）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的点A处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，海轮航行的距离AB长是（）A．2海里B．2sin55°海里C．2cos55°海里D．2tan55°海里6．（3分）（2015•南充）若m＞n，下列不等式不一定成立的是（）D．m2＞n2A．m+2＞n+2 B．2m＞2n C．＞7．（3分）（2015•南充）如图是一个可以自由转动的正六边形转盘，其中三个正三角形涂有阴影，转动指针，指针落在有阴影的区域内的概率为a，如果投掷一枚硬币，正面向上的概率为b，关于a、b大小的正确判断是（）A．a＞b B．a=b C．a＜b D．不能判断8．（3分）（2015•南充）如图，PA和PB是⊙O的切线，点A和B的切点，AC是⊙O的直径，已知∠P=40°，则∠ACB的大小是（）A．40°B．60°C．70°D．80°9．（3分）（2015•南充）如图，菱形ABCD的周长为8cm，高AE长为cm，则对角线AC长和BD长之比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：D．1：10．（3分）（2015•南充）关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②（m﹣1）2+（n﹣1）2≥2；③﹣1≤2m﹣2n≤1，其中正确结论的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．（3分）（2015•南充）计算﹣2sin45°的结果是．12．（3分）（2015•南充）不等式＞1的解集是．13．（3分）（2015•南充）如图，点D在△ABC边BC的延长线上，CE平分∠ACD，∠A=80°，∠B=40°，则∠ACE的大小是度．14．（3分）（2015•南充）从分别标有数﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3的七张卡片中，随机抽取一张，所抽卡片上数的绝对值小于2的概率是．15．（3分）（2015•南充）已知关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，则k的值是．16．（3分）（2015•南充）如图，正方形ABCD的边长为1，以AB为直径作半圆，点P是CD中点，BP与半圆交于点Q，连结PQ，给出如下结论：①DQ=1；②=；③S△PDQ=；④cos∠ADQ=，其中正确结论是（填写序号）三、解答题（本大题共9个小题，共72分）17．（6分）（2015•南充）计算：（a+2﹣）•．18．（6分）（2015•南充）某学校要了解学生上学交通情况，选取九年级全体学生进行调查，根据调查结果，画出扇形统计图（如图），图中“公交车”对应的扇形圆心角为60°，“自行车”对应的扇形圆心角为120°，已知九年级乘公交车上学的人数为50人．（1）九年级学业生中，骑自行车和乘公交车上学哪个更多？多多少人？（2）如果全校有学生2000人，学校准备的400个自行车停车位是否足够？19．（8分）（2015•南充）如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求证：（1）△AEF≌△CEB；（2）AF=2CD．20．（8分）（2015•南充）已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣4）=p2，p为实数．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）p为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，不需说明理由）21．（8分）（2015•南充）反比例函数y=（k≠0）与一次函数y=mx+b（m≠0）交于点A（1，2k﹣1）．（1）求反比例函数的解析式；（2）若一次函数与x轴交于点B，且△AOB的面积为3，求一次函数的解析式．22．（8分）（2015•南充）如图，矩形纸片ABCD，将△AMP和△BPQ分别沿PM和PQ折叠（AP＞AM），点A和点B都与点E重合；再将△CQD沿DQ折叠，点C落在线段EQ上点F处．（1）判断△AMP，△BPQ，△CQD和△FDM中有哪几对相似三角形？（不需说明理由）（2）如果AM=1，sin∠DMF=，求AB的长．23．（8分）（2015•南充）某工厂在生产过程中每消耗1万度电可以产生产值5.5万元，电力公司规定，该工厂每月用电量不得超过16万度，月用电量不超过4万度时，单价是1万元/万度；超过4万度时，超过部分电量单价将按用电量进行调查，电价y与月用电量x的函数关系可用如图来表示．（效益=产值﹣用电量×电价）（1）设工厂的月效益为z（万元），写出z与月用电量x（万度）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）求工厂最大月效益．24．（10分）（2015•南充）如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A、B和D的距离分别为1，2，，△ADP沿点A旋转至△ABP′，连结PP′，并延长AP与BC相交于点Q．（1）求证：△APP′是等腰直角三角形；（2）求∠BPQ的大小；（3）求CQ的长．25．（10分）（2015•南充）已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（m﹣2，0）和B（2m+1，0）（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为P，对称轴为l：x=1．（1）求抛物线解析式．（2）直线y=kx+2（k≠0）与抛物线相交于两点M（x1，y1），N（x2，y2）（x1＜x2），当|x1﹣x2|最小时，求抛物线与直线的交点M与N的坐标．（3）首尾顺次连接点O、B、P、C构成多边形的周长为L，若线段OB在x轴上移动，求L最小值时点O，B 移动后的坐标及L的最小值．2015年四川省南充市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）每小题都有代号A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的．1．（3分）（2015•南充）计算3+（﹣3）的结果是（）A．6B．﹣6 C．1D．0考点：有理数的加法．分析：根据有理数的加法运算法则计算即可得解．解答：解：∵3与﹣3互为相反数，且互为相反数的两数和为0．∴3+（﹣3）=0．故选D．点评：本题考查了有理数的加法运算，是基础题，熟记运算法则是解题的关键．2．（3分）（2015•南充）下列运算正确的是（）A．3x﹣2x=x B．2x•3x=6x C．（2x）2=4x D．6x÷2x=3x考点：整式的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；单项式乘单项式．分析：根据同类项、整式的乘法、幂的乘方和整式的除法计算即可．解答：解：A、3x﹣2x=x，正确；B、2x•3x=6x2，错误；C、（2x）2=4x2，错误；D、6x÷2x=3，错误；故选A．点评：此题考查同类项、整式的乘法、幂的乘方和整式的除法，关键是根据法则计算．3．（3分）（2015•南充）如图是某工厂要设计生产的正六棱柱形密封罐的立体图形，它的主视图是（）A．B．C．D．考点：简单几何体的三视图．分析：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．解答：解：根据主视图的定义，可得它的主视图为：，故选：A．点评：本题考查三视图的有关知识，本题只要清楚了解各个几何体的三视图即可求解．4．（3分）（2015•南充）学校机房今年和去年共购置了100台计算机，已知今年购置计算机数量是去年购置计算机数量的3倍，今年购置计算机的数量是（）A．25台B．50台C．75台D．100台考点：一元一次方程的应用．分析：设今年购置计算机的数量是x台，根据今年购置计算机数量是去年购置计算机数量的3倍列出方程解得即可．解答：解：设今年购置计算机的数量是x台，去年购置计算机的数量是（100﹣x）台，根据题意可得：x=3（100﹣x），解得：x=75．故选C．点评：此题考查一元一次方程的应用，关键是根据今年购置计算机数量是去年购置计算机数量的3倍列出方程．5．（3分）（2015•南充）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的点A处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，海轮航行的距离AB长是（）A．2海里B．2sin55°海里C．2cos55°海里D．2tan55°海里考点：解直角三角形的应用-方向角问题．分析：首先由方向角的定义及已知条件得出∠NPA=55°，AP=2海里，∠ABP=90°，再由AB∥NP，根据平行线的性质得出∠A=∠NPA=55°．然后解Rt△ABP，得出AB=AP•cos∠A=2cos55°海里．解答：解：如图，由题意可知∠NPA=55°，AP=2海里，∠ABP=90°．∵AB∥NP，∴∠A=∠NPA=55°．在Rt△ABP中，∵∠ABP=90°，∠A=55°，AP=2海里，∴AB=AP•cos∠A=2cos55°海里．故选C．点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，平行线的性质，三角函数的定义，正确理解方向角的定义是解题的关键．6．（3分）（2015•南充）若m＞n，下列不等式不一定成立的是（）A．m+2＞n+2 B．2m＞2n C．D．m2＞n2＞考点：不等式的性质．分析：根据不等式的性质1，可判断A；根据不等式的性质2，可判断B、C；根据不等式的性质3，可判断D．解答：解：A、不等式的两边都加2，不等号的方向不变，故A正确；B、不等式的两边都乘以2，不等号的方向不变，故B正确；C、不等式的两条边都除以2，不等号的方向不变，故C正确；D、当0＞m＞n时，不等式的两边都乘以负数，不等号的方向改变，故D错误；故选：D．点评：本题考查了不等式的性质，．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变7．（3分）（2015•南充）如图是一个可以自由转动的正六边形转盘，其中三个正三角形涂有阴影，转动指针，指针落在有阴影的区域内的概率为a，如果投掷一枚硬币，正面向上的概率为b，关于a、b大小的正确判断是（）A．a＞b B．a=b C．a＜b D．不能判断考点：几何概率．分析：分别利用概率公式将a和b求得后比较即可得到正确的选项．解答：解：∵正六边形被分成相等的6部分，阴影部分占3部分，∴a==，∵投掷一枚硬币，正面向上的概率b=，∴a=b，故选B．点评：本题考查了几何概率的知识，解题的关键是分别利用概率公式求得a、b的值，难度不大．8．（3分）（2015•南充）如图，PA和PB是⊙O的切线，点A和B的切点，AC是⊙O的直径，已知∠P=40°，则∠ACB的大小是（）A．40°B．60°C．70°D．80°考点：切线的性质．分析：由PA、PB是⊙O的切线，可得∠OAP=∠OBP=90°，根据四边形内角和，求出∠AOB，再根据圆周角定理即可求∠ACB的度数．解答：解：连接OB，∵AC是直径，∴∠ABC=90°，∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∴∠OAP=∠OBP=90°，∴∠AOB=180°﹣∠P=140°，由圆周角定理知，∠ACB=∠AOB=70°，故选C．点评：本题考查了切线的性质，圆周角定理，解决本题的关键是连接OB，利用直径对的圆周角是直角来解答．9．（3分）（2015•南充）如图，菱形ABCD的周长为8cm，高AE长为cm，则对角线AC长和BD长之比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：D．1：考点：菱形的性质．分析：首先设设AC，BD相较于点O，由菱形ABCD的周长为8cm，可求得AB=BC=2cm，又由高AE长为cm，利用勾股定理即可求得BE的长，继而可得AE是BC的垂直平分线，则可求得AC的长，继而求得BD 的长，则可求得答案．解答：解：如图，设AC，BD相较于点O，∵菱形ABCD的周长为8cm，∴AB=BC=2cm，∵高AE长为cm，∴BE==1（cm），∴CE=BE=1cm，∴AC=AB=2cm，∵OA=1cm，AC⊥BD，∴OB==（cm），∴BD=2OB=2cm，∴AC：BD=1：．故选D．点评：此题考查了菱形的性质以及勾股定理．注意菱形的四条边都相等，对角线互相平分且垂直．10．（3分）（2015•南充）关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②（m﹣1）2+（n﹣1）2≥2；③﹣1≤2m﹣2n≤1，其中正确结论的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：计算题．分析：①根据题意，以及根与系数的关系，可知两个整数根都是负数；②根据根的判别式，以及题意可以得出m2﹣2n≥0以及n2﹣2m≥0，进而得解；③可以采用举例反证的方法解决，据此即可得解．解答：解：①两个整数根且乘积为正，两个根同号，由韦达定理有，x1•x2=2n＞0，y1•y2=2m＞0，y1+y2=﹣2n＜0，x1+x2=﹣2m＜0，这两个方程的根都为负根，①正确；②由根判别式有：△=b2﹣4ac=4m2﹣8n≥0，△=b2﹣4ac=4n2﹣8m≥0，4m2﹣8n=m2﹣2n≥0，4n2﹣8m=n2﹣2m≥0，m2﹣2m+1+n2﹣2n+1=m2﹣2n+n2﹣2m+2≥2，（m﹣1）2+（n﹣1）2≥2，②正确；③∵y1+y2=﹣2n，y1•y2=2m，∴2m﹣2n=y1+y2+y1•y2，∵y1与y2都是负整数，不妨令y1=﹣3，y2=﹣5，则：2m﹣2n=﹣8+15=7，不在﹣1与1之间，③错误，其中正确的结论的个数是2，故选C．点评：本题主要考查了根与系数的关系，以及一元二次方程的根的判别式，还考查了举例反证法，有一定的难度，注意总结．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．（3分）（2015•南充）计算﹣2sin45°的结果是．考点：实数的运算；特殊角的三角函数值．分析：利用二次根式的性质以及特殊角的三角函数值求出即可．解答：解：﹣2sin45°=2﹣2×=．故答案为：．点评：此题主要考查了实数运算等知识，正确掌握相关性质是解题关键．12．（3分）（2015•南充）不等式＞1的解集是x＞3 ．考点：解一元一次不等式．分析：利用不等式的基本性质来解不等式．解答：解：去分母得：x﹣1＞2，移项得：x＞3，所以不等式的解集是：x＞3．故答案为：x＞3．点评：本题考查了解简单不等式的能力．解不等式要依据不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．13．（3分）（2015•南充）如图，点D在△ABC边BC的延长线上，CE平分∠ACD，∠A=80°，∠B=40°，则∠ACE的大小是60 度．考点：三角形的外角性质．分析：由∠A=80°，∠B=40°，根据三角形任意一个外角等于与之不相邻的两内角的和得到∠ACD=∠B+∠A，然后利用角平分线的定义计算即可．解答：解：∵∠ACD=∠B+∠A，而∠A=80°，∠B=4°，∴∠ACD=80°+40°=120°．∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=60°，故答案为60点评：本题考查了三角形的外角定理，关键是根据三角形任意一个外角等于与之不相邻的两内角的和．14．（3分）（2015•南充）从分别标有数﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3的七张卡片中，随机抽取一张，所抽卡片上数的绝对值小于2的概率是．考点：概率公式．分析：根据写有数字﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2、3、的七张一样的卡片中，数字的绝对值小于2的有﹣1、0、1，直接利用概率公式求解即可求得答案．解答：解：∵写有数字﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2、3、的七张一样的卡片中，数字的绝对值小于2的有﹣1、0、1、，∴任意抽取一张卡片，所抽卡片上数字的绝对值小于2的概率是：．故答案为：．点评：本题主要考查了绝对值的性质以及概率公式等知识，正确得出绝对值小于2的数个数和正确运用概率公式是解题的关键．15．（3分）（2015•南充）已知关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，则k的值是﹣1 ．考点：二元一次方程组的解．分析：将方程组用k表示出x，y，根据方程组的解互为相反数，得到关于k的方程，即可求出k的值．解答：解：解方程组得：，因为关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，可得：2k+3﹣2﹣k=0，解得：k=﹣1．故答案为：﹣1．点评：此题考查方程组的解，关键是用k表示出x，y的值．16．（3分）（2015•南充）如图，正方形ABCD的边长为1，以AB为直径作半圆，点P是CD中点，BP与半圆交于点Q，连结PQ，给出如下结论：①DQ=1；②=；③S△PDQ=；④cos∠ADQ=，其中正确结论是①②④（填写序号）考点：圆的综合题；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．专题：推理填空题．分析：①连接OQ，OD，如图1．易证四边形DOBP是平行四边形，从而可得DO∥BP．结合OQ=OB，可证到∠AOD=∠QOD，从而证到△AOD≌△QOD，则有DQ=DA=1；②连接AQ，如图2，根据勾股定理可求出BP．易证Rt△AQB∽Rt△BCP，运用相似三角形的性质可求出BQ，从而求出PQ的值，就可得到的值；③过点Q作QH⊥DC于H，如图3．易证△PHQ∽△PCB，运用相似三角形的性质可求出QH，从而可求出S△DPQ的值；④过点Q作QN⊥AD于N，如图4．易得DP∥NQ∥AB，根据平行线分线段成比例可得==，把AN=1﹣DN代入，即可求出DN，然后在Rt△DNQ中运用三角函数的定义，就可求出cos∠ADQ的值．解答：解：正确结论是①②④．提示：①连接OQ，OD，如图1．易证四边形DOBP是平行四边形，从而可得DO∥BP．结合OQ=OB，可证到∠AOD=∠QOD，从而证到△AOD≌△QOD，则有DQ=DA=1．故①正确；②连接AQ，如图2．则有CP=，BP==．易证Rt△AQB∽Rt△BCP，运用相似三角形的性质可求得BQ=，则PQ=﹣=，∴=．故②正确；③过点Q作QH⊥DC于H，如图3．易证△PHQ∽△PCB，运用相似三角形的性质可求得QH=，∴S△DPQ=DP•QH=××=．故③错误；④过点Q作QN⊥AD于N，如图4．易得DP∥NQ∥AB，根据平行线分线段成比例可得==，则有=，解得：DN=．由DQ=1，得cos∠ADQ==．故④正确．综上所述：正确结论是①②④．故答案为：①②④．点评：本题主要考查了圆周角定理、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、等腰三角形的性质、平行线的性质、锐角三角函数的定义、勾股定理等知识，综合性比较强，常用相似三角形的性质、勾股定理、三角函数的定义来建立等量关系，应灵活运用．三、解答题（本大题共9个小题，共72分）17．（6分）（2015•南充）计算：（a+2﹣）•．考点：分式的混合运算．分析：首先将括号里面通分运算，进而利用分式的性质化简求出即可．解答：解：（a+2﹣）•=[﹣]×=×=﹣2a﹣6．点评：此题主要考查了分式的混合运算，正确进行通分运算是解题关键．18．（6分）（2015•南充）某学校要了解学生上学交通情况，选取九年级全体学生进行调查，根据调查结果，画出扇形统计图（如图），图中“公交车”对应的扇形圆心角为60°，“自行车”对应的扇形圆心角为120°，已知九年级乘公交车上学的人数为50人．（1）九年级学业生中，骑自行车和乘公交车上学哪个更多？多多少人？（2）如果全校有学生2000人，学校准备的400个自行车停车位是否足够？考点：扇形统计图；用样本估计总体．分析：（1）根据乘公交车的人数除以乘公交车的人数所占的比例，可得调查的样本容量，根据样本容量乘以自行车所占的百分比，可得骑自行车的人数，根据有理数的减法，可得答案；（2）根据学校总人数乘以骑自行车所占的百分比，可得答案．解答：解：（1）乘公交车所占的百分比=，调查的样本容量50÷=300人，骑自行车的人数300×=100人，骑自行车的人数多，多100﹣50=50人；（2）九年级骑自行车的人数2000×≈667人，667＞400，故学校准备的400个自行车停车位不足够．点评：本题考查了扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．19．（8分）（2015•南充）如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求证：（1）△AEF≌△CEB；（2）AF=2CD．考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．专题：证明题．分析：（1）由AD⊥BC，CE⊥AB，易得∠AFE=∠B，利用全等三角形的判定得△AEF≌△CEB；（2）由全等三角形的性质得AF=BC，由等腰三角形的性质“三线合一”得BC=2CD，等量代换得出结论．解答：证明：（1）∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠BCE+∠CFD=90°，∠BCE+∠B=90°，∴∠CFD=∠B，∵∠CFD=∠AFE，∴∠AFE=∠B在△AEF与△CEB中，，∴△AEF≌△CEB（AAS）；（2）∵AB=AC，AD⊥BC，∴BC=2CD，∵△AEF≌△CEB，∴AF=BC，∴AF=2CD．点评：本题主要考查了全等三角形性质与判定，等腰三角形的性质，运用等腰三角形的性质是解答此题的关键．20．（8分）（2015•南充）已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣4）=p2，p为实数．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）p为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，不需说明理由）考点：根的判别式．分析：（1）要证明方程总有两个不相等的实数根，那么只要证明△＞0即可；（2）要是方程有整数解，那么x1•x2=4﹣p2为整数即可，于是求得当p=0，±1时，方程有整数解．解答：解；（1）原方程可化为x2﹣5x+4﹣p2=0，∵△=（﹣5）2﹣4×（4﹣p2）=4p2+9＞0，∴不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）∵方程有整数解，∴x1•x2=4﹣p2为整数即可，∴当p=0，±1时，方程有整数解．点评：本题考查了一元二次方程的根的情况，判别式△的符号，把求未知系数的范围的问题转化为解不等式的问题是解题的关键．21．（8分）（2015•南充）反比例函数y=（k≠0）与一次函数y=mx+b（m≠0）交于点A（1，2k﹣1）．（1）求反比例函数的解析式；（2）若一次函数与x轴交于点B，且△AOB的面积为3，求一次函数的解析式．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．分析：（1）把A（1，2k﹣1）代入y=即可求得结果；（2）根据三角形的面积等于3，求得点B的坐标，代入一次函数y=mx+b即可得到结果．解答：解：（1）把A（1，2k﹣1）代入y=得，2k﹣1=k，∴k=1，∴反比例函数的解析式为：y=；（2）由（1）得k=1，∴A（1，1），设B（a，0），∴S△AOB=•|a|×1=3，∴a=±6，∴B（﹣6，0）或（6，0），把A（1，1），B（﹣6，0）代入y=mx+b得：，∴，∴一次函数的解析式为：y=x+，把A（1，1），B（6，0）代入y=mx+b得：，∴，∴一次函数的解析式为：y=﹣．所以符合条件的一次函数解析式为：y=﹣或y=x+．点评：本题考查了用待定系数法确定函数的解析式，三角形的面积，解题时注意数形结合思想的体现．22．（8分）（2015•南充）如图，矩形纸片ABCD，将△AMP和△BPQ分别沿PM和PQ折叠（AP＞AM），点A和点B都与点E重合；再将△CQD沿DQ折叠，点C落在线段EQ上点F处．（1）判断△AMP，△BPQ，△CQD和△FDM中有哪几对相似三角形？（不需说明理由）（2）如果AM=1，sin∠DMF=，求AB的长．考点：翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；解直角三角形．分析：（1）由矩形的性质得∠A=∠B=∠C=90°，由折叠的性质和等角的余角相等，可得∠BPQ=∠AMP=∠DQC，所以△AMP∽△BPQ∽△CQD；（2）先证明MD=MQ，然后根据sin∠DMF==，设DF=3x，MD=5x，表示出AP、BP、BQ，再根据△AMP∽△BPQ，列出比例式解方程求解即可．解答：解：（1）△AMP∽△BPQ∽△CQD，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠C=90°，根据折叠的性质可知：∠APM=∠EPM，∠EPQ=∠BPQ，∴∠APM+∠BPQ=∠EPM+∠EPQ=90°，∵∠APM+∠AMP=90°，∴∠BPQ=∠AMP，∴△AMP∽△BPQ，同理：△BPQ∽△CQD，根据相似的传递性，△AMP∽△CQD；（2）∵AD∥BC，∴∠DQC=∠MDQ，根据折叠的性质可知：∠DQC=∠DQM，∴∠MDQ=∠DQM，∴MD=MQ，∵AM=ME，BQ=EQ，∴BQ=MQ﹣ME=MD﹣AM，∵sin∠DMF==，∴设DF=3x，MD=5x，∴BP=PA=PE=，BQ=5x﹣1，∵△AMP∽△BPQ，∴，∴，解得：x=（舍）或x=2，∴AB=6．点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、翻折的性质以及锐角三角函数的综合运用，在求AB长的问题中，关键是恰当的设出未知数表示出一对相似三角形的对应边列比例式．23．（8分）（2015•南充）某工厂在生产过程中每消耗1万度电可以产生产值5.5万元，电力公司规定，该工厂每月用电量不得超过16万度，月用电量不超过4万度时，单价是1万元/万度；超过4万度时，超过部分电量单价将按用电量进行调查，电价y与月用电量x的函数关系可用如图来表示．（效益=产值﹣用电量×电价）（1）设工厂的月效益为z（万元），写出z与月用电量x（万度）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）求工厂最大月效益．考点：一次函数的应用．分析：（1）根据题意知电价y与月用电量x的函数关系是分段函数，当0≤x≤4时，y=1，当4＜x≤16时，函数过点（4，1）和（8，1.5）的一次函数，求出解析式；再根据效益=产值﹣用电量×电价，求出z与月用电量x（万度）之间的函数关系式；（2）根据（1）中得到函数关系式，利用一次函数和二次函数的性质，求出最值．解答：解：（1）根据题意得：电价y与月用电量x的函数关系是分段函数，当0≤x≤4时，y=1，当4＜x≤16时，函数过点（4，1）和（8，1.5）的一次函数，设一次函数为y=kx+b，∴，解得：，∴y=，∴电价y与月用电量x的函数关系为：y=∴z与月用电量x（万度）之间的函数关系式为：z=即z=（2）当0≤x≤4时，z=∵，∴z随x的增大而增大，∴当x=4时，z有最大值，最大值为：=18（万元）；当4＜x≤16时，z=﹣=﹣，∵﹣，∴当x≤22时，z随x增大而增大，16＜22，则当x=16时，z最大值为54，故当0≤x≤16时，z最大值为54，即工厂最大月效益为54万元．点评：本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是图中的函数为分段函数，分别求出个函数的解析式，注意自变量的取值范围．对于最值问题，借助于一次函数的性质和二次函数的性质进行解答．24．（10分）（2015•南充）如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A、B和D的距离分别为1，2，，△ADP沿点A旋转至△ABP′，连结PP′，并延长AP与BC相交于点Q．（1）求证：△APP′是等腰直角三角形；（2）求∠BPQ的大小；（3）求CQ的长．考点：几何变换综合题．分析：（1）根据旋转的性质可知，△APD≌△AP′B，所以AP=AP′，∠PAD=∠P′AB，因为∠PAD+∠PAB=90°，所以∠P′AB+∠PAB=90°，即∠PAP′=90°，故△APP′是等腰直角三角形；（2）根据勾股定理逆定理可判断△PP′B是直角三角形，再根据平角定义求出结果；（3）作BE⊥AQ，垂足为E，由∠BPQ=45°，P′B=2，求出PE=BE=2，在Rt△ABE中，运用勾股定理求出AB，再由cos∠EAB=cos∠EBQ，求出BQ，则CQ=BC﹣BQ．解答：解：（1）∵△ADP沿点A旋转至△ABP′，∴根据旋转的性质可知，△APD≌△AP′B，∴AP=AP′，∠PAD=∠P′AB，∵∠PAD+∠PAB=90°，∴∠P′AB+∠PAB=90°，即∠PAP′=90°，∴△APP′是等腰直角三角形；（2）由（1）知∠PAP′=90°，AP=AP′=1，∴PP′=，∵P′B=PD=，PB=2，∴P′B2=PP′2+PB2，∴∠P′PB=90°，∵△APP′是等腰直角三角形，∴∠APP′=45°，∴∠BPQ=180°﹣90°﹣45°=45°；（3）作BE⊥AQ，垂足为E，∵∠BPQ=45°，P′B=2，∴PE=BE=2，∴AE=2+1=3，∴AB==，BE==2，∵∠EBQ=∠EAB，cos∠EAB=，∴cos∠EBQ=，∴，∴BQ=，∴CQ=﹣=．点评：本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及逆定理、锐角三角函数的综合运用，有一定难度，作BE⊥AQ，构造等角的余弦值相等列方程或运用相似三角形对应线段成比例求出BQ是解决问题的关键．25．（10分）（2015•南充）已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（m﹣2，0）和B（2m+1，0）（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为P，对称轴为l：x=1．（1）求抛物线解析式．（2）直线y=kx+2（k≠0）与抛物线相交于两点M（x1，y1），N（x2，y2）（x1＜x2），当|x1﹣x2|最小时，求抛物线与直线的交点M与N的坐标．（3）首尾顺次连接点O、B、P、C构成多边形的周长为L，若线段OB在x轴上移动，求L最小值时点O，B 移动后的坐标及L的最小值．考点：二次函数综合题．分析：（1）根据对称轴公式求出b的值，再根据根与系数的关系求出c的值，从而求出二次函数解析式；（2）将一次函数与二次函数组成方程组，得到一元二次方程x2+（k﹣2）x﹣1=0，根据根与系数的关系求出k的值，进而求出M（﹣1，0），N（1，4）；（3）O，B，P，C构成多边形的周长L=OB+BP+PC+CO，根据线段OB平移过程中，OB、PC长度不变，得到要使L最小，只需BP+CO最短，作点P关于x轴（或OB）对称点P′（1，﹣4），连接C′P′与x轴交于点B′，然后根据平移知识和勾股定理解答．解答：解：（1）由已知对称轴为x=1，得﹣=1，∴b=2，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（m﹣2，0）和B（2m+1，0），即﹣x2+2x+c=0的解为m﹣2和2m+1，（m﹣2）+（2m+1）=2，3m=3，m=1，将m=1代入（m﹣2）（2m+1）=﹣c得，（1﹣2）（2+1）=﹣c，∴c=3，∴m=1，c=3，抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）由，∴x2+（k﹣2）x﹣1=0，x1+x2=﹣（k﹣2），x1x2=﹣1，∴（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=（k﹣2）2+4，∴当k=2时，（x1﹣x2）2的最小值为4，即|x1﹣x2|的最小值为2，∴x2﹣1=0，x1=1，x2=﹣1，即y1=4，y2=0，∴当|x1﹣x2|最小时，抛物线与直线的交点为M（﹣1，0），N（1，4）；（3）O（0，0），B（3，0），P（1，4），C（0，3），O，B，P，C构成多边形的周长L=OB+BP+PC+CO，∵线段OB平移过程中，OB、PC长度不变，∴要使L最小，只需BP+CO最短，。
2015-2016年四川省南充市高一下学期期末数学试卷及答案
2015-2016学年四川省南充市高一（下）期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）sin20°cos10°+cos20°sin10°=（）A．B．C．D．2．（5分）设a＞b，c＞d，则有（）A．a﹣c＞b﹣d B．ac＞bd C．D．a+c＞b+d3．（5分）若两条直线和一个平面相交成等角，则这两条直线的位置关系是（）A．平行B．异面C．相交D．平行、异面或相交4．（5分）已知等差数列{a n}的通项公式为a n=5﹣4n，则它的公差为（）A．4 B．5 C．﹣4 D．﹣55．（5分）在△ABC中，∠A=60°，AB=2，且△ABC的面积S=，则AC的长为（）A．2 B．1 C．D．6．（5分）已知直线m、n与平面α，β，给出下列三个命题：①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，n⊥α，则n⊥m；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β．其中真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．37．（5分）在△ABC中，一定成立的等式是（）A．asinA=bsinB B．acosA=bcosB C．asinB=bsinA D．acosB=bcosA8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．8 C．12 D．9．（5分）已知等差数列{a n}，a3=﹣a9，公差d＜0，则使前n项和S n取是最大值的项数n是（）A．4或5 B．5或6 C．6或7 D．不存在10．（5分）已知正数x、y满足，则x+2y的最小值是（）A．18 B．16 C．8 D．1011．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则A=（）A．30°B．60°C．120° D．150°12．（5分）数列{a n}中，已知对任意n∈N*，a1+a2+a3+…+a n=3n﹣1，则a12+a22+a32+…+a n2等于（）A．（3n﹣1）2B．C．9n﹣1 D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）计算：cos215°﹣sin215°=．14．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BD1与平面ABCD所成角的正切值是．15．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B=60°，且a，b，c成等比数列，则A=度，C=度．16．（5分）下列命题：①已知a，b，m都是正数，并且a＜b，则＞；②在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若∠A=60°，a=7，b=8，则三角形有一解；③若函数f（x）=，则f（）+f（）+f（）+…+f（）=5；④在等比数列{a n}中，a1+a2+…+a n=（其中n∈N*，q为公比）；⑤如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M，N分别是CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成角的大小是90°．其中真命题有（写出所有真命题的序号）．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）已知A、B、C为△ABC的三个内角，且其对边分别为a、b、c，若cosBcosC﹣sinBsinC=．（1）求角A；（2）若a=2，b+c=4，求△ABC的面积．18．（12分）已知{a n}是一个等差数列，且a2=1，a5=﹣5．（Ⅰ）求{a n}的通项a n；（Ⅱ）求{a n}前n项和S n的最大值．19．（12分）如图，边长为2的正方形ABCD中，（1）点E是AB的中点，点F是BC的中点，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A′．求证：A′D⊥EF（2）当BE=BF=BC时，求三棱锥A′﹣EFD的体积．20．（12分）已知函数f（x）=3x2+bx+c，不等式f（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）已知函数g（x）=f（x）+mx﹣2在（2，+∞）上单调递增，求实数m的取值范围．21．（12分）已知数列{a n}中，已知a1=1，，（1）求证数列{}是等差数列；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）若对一切n∈N*，等式a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n=2n恒成立，求数列{b n}的通项公式．请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22．（10分）如图，正方形ABCD的边长为1，P、Q分别为边AB、DA上的点，当△APQ的周长为2时，求∠PCQ的大小．23．如图，隔河看两目标A、B，但不能到达，在岸边选取相距km的C、D两点，并测得∠ACB=75°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°（A、B、C、D在同一平面内），求两目标A、B之间的距离．24．若二次函数y=f（x）的图象经过原点，且1≤f（﹣1）≤2，3≤f（1）≤4，求f（﹣2）的范围．2015-2016学年四川省南充市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）sin20°cos10°+cos20°sin10°=（）A．B．C．D．【解答】解：sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin（20°+10°）=sin30°=，故选：A．2．（5分）设a＞b，c＞d，则有（）A．a﹣c＞b﹣d B．ac＞bd C．D．a+c＞b+d【解答】解：a＞b，c＞d，可得a+c＞b+d．故选：D．3．（5分）若两条直线和一个平面相交成等角，则这两条直线的位置关系是（）A．平行B．异面C．相交D．平行、异面或相交【解答】解：如图，在正方体AC1中，∵A1A⊥平面ABCD，∴A1A⊥AD，A1A⊥BC，又∵AD∥BC，∴选项A有可能；∵A1A⊥平面ABCD，∴A1A⊥AD，A1A⊥AB，又∵AD∩AB=A，∴选项B有可能；∵A1A⊥平面ABCD，A1A⊥平面A1B1C1D1，∴A1A⊥AC，A1A⊥A1D1，又∵AC与A1D1不在同一平面内，∴选项C有可能．故选：D．4．（5分）已知等差数列{a n}的通项公式为a n=5﹣4n，则它的公差为（）A．4 B．5 C．﹣4 D．﹣5【解答】解：∵等差数列{a n}的通项公式为a n=5﹣4n，=（5﹣4n）﹣[5﹣4（n﹣1）]=﹣4．（n≥2）∴公差d=a n﹣a n﹣1∴该数列的公差为﹣4．故选：C．5．（5分）在△ABC中，∠A=60°，AB=2，且△ABC的面积S=，则AC的长为（）A．2 B．1 C．D．【解答】解：由三角形面积计算公式=S=，解得AC=1．故选：B．6．（5分）已知直线m、n与平面α，β，给出下列三个命题：①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，n⊥α，则n⊥m；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β．其中真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：m∥α，n∥α，时，m与n可能平行、可能异面也可能相交，故①错误；m∥α，n⊥α时，存在直线l⊂α，使m∥l，则n⊥l，也必有n⊥m，故②正确；m⊥α，m∥β时，直线l⊂β，使l∥m，则n⊥β，则α⊥β，故③正确；故选：C．7．（5分）在△ABC中，一定成立的等式是（）A．asinA=bsinB B．acosA=bcosB C．asinB=bsinA D．acosB=bcosA【解答】解：根据正弦定理得：=，即asinB=bsinA．故选：C．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．8 C．12 D．【解答】解：由三视图得到几何体是正方体和四棱锥的组合体，正方体的棱长为2，四棱锥的底面是边长为2 的正方形，高为2，所以几何体是体积为；故选：A．9．（5分）已知等差数列{a n}，a3=﹣a9，公差d＜0，则使前n项和S n取是最大值的项数n是（）A．4或5 B．5或6 C．6或7 D．不存在【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，则∵a3=﹣a9，∴a1+2d=﹣a1﹣8d解得a1=﹣5d，则a1+5d=a6=0，a5＞0，故使前n项和取最大值的正整数n是5或6．故选：B．10．（5分）已知正数x、y满足，则x+2y的最小值是（）A．18 B．16 C．8 D．10【解答】解：∵，∴x+2y=（x+2y）•（）=10++≥10+8=18（当且仅当x=4y时等号成立）答案为：18．故选：A．11．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则A=（）A．30°B．60°C．120° D．150°【解答】解：由及正弦定理可得c=2b，再由可得a2=7b2 ．再由余弦定理可得cosA===，故A=30°，故选：A．12．（5分）数列{a n}中，已知对任意n∈N*，a1+a2+a3+…+a n=3n﹣1，则a12+a22+a32+…+a n2等于（）A．（3n﹣1）2B．C．9n﹣1 D．【解答】解：∵a1+a2+a3+…+a n=3n﹣1，①∴a1+a2+a3+…+a n=3n+1﹣1，②+1=3n+1﹣3n=2×3n，②﹣①得：a n+1∴a n=2×3n﹣1．当n=1时，a1=31﹣1=2，符合上式，∴a n=2×3n﹣1．∴=4×9n﹣1，∴=4，=9，∴{}是以4为首项，9为公比的等比数列，∴a12+a22+a32+…+a n2==（9n﹣1）．故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）计算：cos215°﹣sin215°=．【解答】解：由二倍角的余弦公式可得，cos215°﹣sin215°=cos30°=．故答案为：．14．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BD1与平面ABCD所成角的正切值是．【解答】解：正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，设棱长为1，连接BD，直线BD1与平面ABCD所成角为∠D1BD它的正切值：tan∠D1BD===故答案为：．15．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B=60°，且a，b，c成等比数列，则A=60度，C=60度．【解答】解：∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，∴cos60°==，化为：（a﹣c）2=0，解得a=c．∴△ABC是等边三角形，∴A=C=60°．故答案分别为：60°；60°．16．（5分）下列命题：①已知a，b，m都是正数，并且a＜b，则＞；②在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若∠A=60°，a=7，b=8，则三角形有一解；③若函数f（x）=，则f（）+f（）+f（）+…+f（）=5；④在等比数列{a n}中，a1+a2+…+a n=（其中n∈N*，q为公比）；⑤如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M，N分别是CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成角的大小是90°．其中真命题有①③⑤（写出所有真命题的序号）．【解答】解：①∵a，b，m都是正数，并且a＜b，∴=＞0，∴，即①为真命题；②bsin60°=8×=4，∵0＜bsin60°＜7，∴三角形有2解；故②错误③若函数f（x）=，则f（x）+f（1﹣x）=+=+=+==1，则f（）+f（）+f（）+…+f（）=5；成立，故③正确，④在等比数列{a n}中，当q≠1时，a1+a2+…+a n=（其中n∈N*，q为公比）；当q=1时，a1+a2+…+a n=na1，故④错误，⑤以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．设棱长为2，则D（0，0，0），N（0，2，1），M（0，1，0），A1（2，0，2），=（0，2，1），=（﹣2，1，﹣2）•=0，所以⊥，即A1M⊥DN，异面直线A1M与DN所成的角的大小是90°，故⑤正确，故答案为：①③⑤三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）已知A、B、C为△ABC的三个内角，且其对边分别为a、b、c，若cosBcosC﹣sinBsinC=．（1）求角A；（2）若a=2，b+c=4，求△ABC的面积．【解答】解：（1）在△ABC中，∵cosBcosC﹣sinBsinC=，∴cos（B+C）=，又∵0＜B+C＜π，∴B+C=，∵A+B+C=π，∴A=；（Ⅱ）由余弦定理a2=b2+c2﹣2bc•cosA，得（2）2=（b+c）2﹣2bc﹣2bc•cos，把b+c=4代入得：12=16﹣2bc+bc，整理得：bc=4，则△ABC的面积S=bcsinA=×4×=．18．（12分）已知{a n}是一个等差数列，且a2=1，a5=﹣5．（Ⅰ）求{a n}的通项a n；（Ⅱ）求{a n}前n项和S n的最大值．【解答】解：（Ⅰ）设{a n}的公差为d，由已知条件，，解出a1=3，d=﹣2，所以a n=a1+（n﹣1）d=﹣2n+5．（Ⅱ）=4﹣（n﹣2）2．所以n=2时，S n取到最大值4．19．（12分）如图，边长为2的正方形ABCD中，（1）点E是AB的中点，点F是BC的中点，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A′．求证：A′D⊥EF（2）当BE=BF=BC时，求三棱锥A′﹣EFD的体积．【解答】解：（1）由正方形ABCD知，∠DCF=∠DAE=90°，∴A'D⊥A'F，A'D⊥A'E，∵A'E∩A'F=A'，A'E、A'F⊆平面A'EF．∴A'D⊥平面A'EF．又∵EF⊂平面A'EF，∴A'D⊥EF．（2）由四边形ABCD为边长为2的正方形故折叠后A′D=2，A′E=A′F=，EF=则cos∠EA′F==则sin∠EA′F=故△EA′F的面积S=•A′E•A′F•sin∠EA′F=△EA′F由（1）中A′D⊥平面A′EF可得三棱锥A'﹣EFD的体积V=××2=．20．（12分）已知函数f（x）=3x2+bx+c，不等式f（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）已知函数g（x）=f（x）+mx﹣2在（2，+∞）上单调递增，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵不等式f（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）．∴，…（2分）解得，∴f（x）=3x2+6x；…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=3x2+6x，∵g（x）=f（x）+mx﹣2，∴g（x）=3x2+6x+mx﹣2，=3[x+（1+）]2﹣2﹣3×+（1+）2，（9分）∵函数g（x）在（2，+∞）上单调递增，∴﹣（1+）≤2，∴m≥﹣18；…（12分）∴实数m的取值范围为m≥﹣18…（13分）21．（12分）已知数列{a n}中，已知a1=1，，（1）求证数列{}是等差数列；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）若对一切n∈N*，等式a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n=2n恒成立，求数列{b n}的通项公式．【解答】解：（1）由，得a n+2a n a n+1=a n，+1=2a n a n+1即a n﹣a n+1两边同除以a n a n+1，得，，又，所以数列{}是首项为1，公差为2的等差数列．（2）由（1），所以数列{a n}的通项公式（3）因为对一切n∈N*，有a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n=2n①所以当n≥2时，a1b1+a2b2+a3b3+…+a n﹣1b n﹣1=2n﹣1②①﹣②得，当n≥2时，a nb n=2n﹣1，又，所以b n=（2n﹣1）2n﹣1又n=1时，a1b1=21，a1=1，所以b1=2；综上得．请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22．（10分）如图，正方形ABCD的边长为1，P、Q分别为边AB、DA上的点，当△APQ的周长为2时，求∠PCQ的大小．【解答】解：设AQ=x，AP=y，则DQ=1﹣x，PB=1﹣y，（0＜x＜1，0＜y＜1），则tan∠DCQ==1﹣x，tan∠BCP=1﹣y，tan（∠DCQ+∠BCP）==①．在Rt△APQ中，PQ2=AQ2+AP2=x2+y2，又PQ=2﹣（x+y），∴（2﹣x﹣y）2=x2+y2，即xy=2（x+y）﹣2 ②．把②代入①可得tan（∠DCQ+∠BCP）=1，∴∠DCQ+∠BCP=45°，∴∠PCQ=45°．23．如图，隔河看两目标A、B，但不能到达，在岸边选取相距km的C、D两点，并测得∠ACB=75°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°（A、B、C、D在同一平面内），求两目标A、B之间的距离．【解答】解：在△ACD中，∠ADC=30°，∠ACD=120°，∴∠CAD=30°．∴AC=CD=．在△BDC中，∠CBD=180°﹣（45°+75°）=60°．由正弦定理，得BC=．由余弦定理，得AB2=AC2+BC2﹣2AC•BC•cos∠BCA==5．∴AB=．∴两目标A、B之间的距离为km．24．若二次函数y=f（x）的图象经过原点，且1≤f（﹣1）≤2，3≤f（1）≤4，求f（﹣2）的范围．【解答】解：因为y=f（x）的图象经过原点，所以可设y=f（x）=ax2+bx．于是∴（I）解法一（利用基本不等式的性质）不等式组（Ⅰ）变形得∴6≤4a﹣2b≤10，∴6≤f（﹣2）≤10，所以f（﹣2）的取值范围是[6，10]．解法二（数形结合）建立直角坐标系aob，作出不等式组（Ⅰ）所表示的区域，如图中的阴影部分．因为f（﹣2）=4a﹣2b，所以4a﹣2b﹣f（﹣2）=0表示斜率为2的直线系．如图，当直线4a﹣2b﹣f（﹣2）=0过点A（2，1），B（3，1）时，分别取得f（﹣2）的最小值6，最大值10．即f（﹣2）的取值范围是：6≤f（﹣2）≤10．解法三（利用方程的思想）∵，∴又f（﹣2）=4a﹣2b=3f（﹣1）+f（1），而1≤f（﹣1）≤2，3≤f（1）≤4，①所以3≤3f（﹣1）≤6．②①+②得4≤3f（﹣1）+f（1）≤10，即6≤f（﹣2）≤10．。