中考数学 与三角形有关的存在性问题(含答案)

中考数学专题: 存在性问题考点（1）
与三角形有关的存在性问题
一、考点扫描：
存在性问题是近年来全国各地中考的热点，这类问题的知识覆盖面广，综合性强，题型构思精巧，解题方法灵活，对考生分析问题和解决问题的能力要求较高，其特点是在一定条件下探究发现某些数学结论和规律是否存在，由于结论有存在和不存在两种可能，所以具有开放性。

求解时常常要猜想或者假设问题的某种关系和结论存在，再经过分析、归纳、演算、推理、找出最后的答案。

二、典型例题：
（2008年山东临沂）如图，已知抛物线与x 轴交于A （－1，0）、B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，3）。

⑴求抛物线的解析式；
⑵设抛物线的顶点为D ，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P ，使得△PDC 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的
点P 的坐标;若不存在，请说明理由;
⑶若点M 是抛物线上一点，以B 、C 、D 、M 为顶点的四边形是
直角梯形，试求出点M 的坐标。

解法提示： 问题（1）易求，在问题（2）中，假设存在点P 、使得⊿PDC 是等腰三角形，由于没有说明哪两条边相等，所以应分成CD 为一腰和CD 为以边两种情况进行讨论，而解决问题（3）时应抓住B 、C 、D 三点为固定点，分别考虑以BC 、CD 、BD 分别为梯形一底时的情况，注意要按照顺序依次讨论，以做到不重复和不遗漏。

解：⑴∵抛物线与y 轴交于点C （0，3）， ∴设抛物线解析式为)0(32
≠++=a bx ax y 根据题意，得⎩⎨
⎧=++=+-,0339,03b a b a ，解得⎩⎨⎧=-=.
2,
1b a
∴抛物线的解析式为322
++-=x x y ⑵存在。

由322
++-=x x y 得，D 点坐标为（1，4），对称轴为x ＝1。

①若以CD 为底边，则PD ＝PC ，设P 点坐标为(x,y)，根据勾股定理， 得2
222)4()1()3(y x y x -+-=-+，即y ＝4－x 。

又P 点(x,y)在抛物线上，∴3242
++-=-x x x ，即0132
=+-x x 解得253±=
x ，1253<-，应舍去。

∴2
5
3+=x 。

∴2554-=
-=x y ，即点P 坐标为⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+255,253。

②若以CD 为一腰，因为点P 在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P 与点C 关
于直线x ＝1对称，此时点P 坐标为（2，3）。

∴符合条件的点P 坐标为⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-+255,253或（2，3）。

⑶由B （3，0），C （0，3），D （1，4），根据勾股定理, 得CB ＝23,CD ＝2,BD ＝52, ∴202
2
2
==+BD CD CB ,
∴∠BCD ＝90°,
设对称轴交x 轴于点E ，过C 作CM ⊥DE ，交抛物线于点M ，垂足为F ，在Rt △DCF 中， ∵CF ＝DF ＝1, ∴∠CDF ＝45°,
由抛物线对称性可知，∠CDM ＝2×45°＝90°,点坐标M 为（2，3）， ∴DM ∥BC,
∴四边形BCDM 为直角梯形, 由∠BCD ＝90°及题意可知，
以BC 为一底时，顶点M 在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况;
以CD 为一底或以BD 为一底，且顶点M 在抛物线上的直角梯形均不存在。

综上所述，符合条件的点M 的坐标为（2，3），
温馨小贴士：
存在性问题探究的结果有两种：一种是存在，一种是不存在。

在解决这类题目时的一般思路是：假设存在→推理论证→得出结论。

即首先猜想或者假设问题的某种关系和结论存在，再经过分析、归纳、演算、推理，如果得出的结论和关系与已知条件和某个定理，公理等相符，则表明原来猜想或者假设问题的某种关系存在或结论存在，如果得出的结论和关系与已知条件和某个定理，公理等相矛盾，则表明原来猜想或者假设问题的某种关系存在或结论不存在，
三、名题精练：
1、（2007福建龙岩）（14分）如图，抛物线254y ax ax =-+经过ABC △的三个顶点，已知BC x ∥轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC BC =．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）写出A B C ，，三点的坐标并求抛物线的解析式；
（3）探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在PAB △是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P 坐标；不存在，请说明理由．
2、（2008年海南）（本题满分14分）如图13，已知抛物线经过原点O 和x 轴上另一点A ,它
的对称轴x =2 与x 轴交于点C ，直线y =-2x -1经过抛物线上一点B (-2,m )，且与y 轴、直线x =2分别交于点D 、E .
（1）求m 的值及该抛物线对应的函数关系式； （2）求证：① CB =CE ；② D 是BE 的中点；
（3）若P (x ，y )是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P ,使得PB =PE ,若存在，试求出所有符合条件的点P
3、（2010年福建龙岩）在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为（10，0），（2，4）. （1）若点C 是点B 关于x 轴的对称点，求经过O 、C 、A 三点的抛物线的解析式； （2）若P 为抛物线上异于C 的点，且△OAP 是直角三角形，请直接写出点P 的坐标； （3）若抛物线顶点为D ，对称轴交x 轴于点M ,探究：抛物线对称轴上是否存在异于D 的
点Q ，使△AQD 是等腰三角形，若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由
答案：
1、解：（1）抛物线的对称轴55
22
a x a -=-
= （2）(30)A -，
(54)B ， (04)C ， 把点A 坐标代入254y ax ax =-+中，解得1
6
a =-
215
466
y x x ∴=-++
（3）存在符合条件的点P 共有3个．以下分三类情形探索． 设抛物线对称轴与x 轴交于N ，与CB 交于M ．
过点B 作BQ x ⊥轴于Q ，易得4BQ =，8AQ =， 5.5AN =，52
BM = ① 以AB 为腰且顶角为角A 的PAB △有1个：1
PAB △． 222228480AB AQ BQ ∴=+=+=
在1Rt ANP △
中，12
PN ==
=
1522P ⎛∴- ⎝
⎭， ②以AB 为腰且顶角为角B 的PAB △有1个：2P AB △． 在2Rt BMP △
中，2MP
====
252P ⎛∴ ⎝⎭
③以AB 为底，顶角为角P 的PAB △有1个，即3P AB △．
画AB 的垂直平分线交抛物线对称轴于3P ，此时平分线必过等腰ABC △的顶点C ． 过点3P 作3P K 垂直y 轴，垂足为
K ，显然3Rt Rt PCK BAQ △∽△．
31
2
P K BQ CK AQ ∴
==． 3 2.5P K = 5CK ∴= 于是1OK =
3(2.5
1)P ∴-， 注：第（3）小题中，只写出点P 的坐标，无任何说明者不得分．
2、解.（1）∵ 点B (-2,m )在直线y =-2x -1上，
∴ m =-2×(-2)-1=3. ∴ B (-2,3)
∵ 抛物线经过原点O 和点A ，对称轴为x =2， ∴ 点A 的坐标为(4,0) .
设所求的抛物线对应函数关系式为y =a (x -0)(x -4).
将点B (-2,3)代入上式，得3=a (-2-0)(-2-4)，∴ 4
1
=a .
∴ 所求的抛物线对应的函数关系式为)4(41-=x x y ，即x x y -=24
1
. （6分）
（2）①直线y =-2x -1与y 轴、直线x =2
过点B 作BG ∥x 轴，与y 轴交于F 、直线x 则BG ⊥直线x =2，BG =4.
在Rt △BGC 中，BC =52
2=+BG CG .
∵ CE =5，
∴ CB =CE =5.
②过点E 作EH ∥x 轴，交y 轴于H ，
则点H 的坐标为H (0,-5). 又点F 、D 的坐标为F (0,3)、D (0,-1)， ∴ FD =DH =4，BF =EH =2，∠BFD =∠EHD =90° ∴ △DFB ≌△DHE （SAS ），
∴ BD =DE .
即D 是BE 的中点.
（3） 存在. 由于PB =PE ，∴ 点P 在直线CD 上，
∴ 符合条件的点P 是直线CD 与该抛物线的交点.
设直线CD 对应的函数关系式为y =kx +b .
将D (0,-1) C (2,0)代入，得⎩⎨⎧=+-=0
21b k b . 解得 1,21
-==b k .
∴ 直线CD 对应的函数关系式为y =2
1
x -1.
∵ 动点P 的坐标为(x ，x x -24
1
)，
∴ 21x -1=x x -24
1
.
解得 531+=x ，532-=x . ∴ 2511+=
y ，2
5
11-=y . ∴ 符合条件的点P 的坐标为(53+，251+)或(53-，2
5
1-)。

(注：用其它方法求解参照以上标准给分.)。